❑ (f ± g)(x) = f(x) ± g(x) ❑ (kf)(x) = k . f(x) ❑ (f . g)(x) = f(x) . g(x) ❑ fⁿ(x) = (f(x))ⁿ, n bilangan bulat ❑ (x) = , g(x) ≠ 0
Contoh 1 Diketahui fungsi f(x) = x²- 9 dan g(x) = x + 3 .Tentukan hasil operasi fungsi berikut. d. (x) c. (f . g)(x) = f(x) . g(x) a. (f + g)(x) e. g2(x) = (x²- 9)(x + 3) b. (3f – 2g)(x) = x³ + 3x²- 9x - 27 c. (f . g)(x) Penyelesaian: d. (x) = a. (f + g)(x) = f(x) + g(x) = = x²- 9 + x + 3 = x² + x – 6 e. g4(x) = (g(x)) 2 b. (3f – 2g)(x) = 3f(x) – 2g(x) = (x + 3) 2 = x 2 + 6x + 9 = 3(x²- 9) – 2(x + 3) = 3x² - 27 – 2x – 6 = 3x²- 2x – 33
2 Diketahui fungsi f(x) = x² + x dan g(x) = . Tentukan: a. (f + g)(x – 3) c. (f . g)(-1) b. (2f – 5g)(2) d. (-2) Penyelesaian: a. (f + g)(x – 3) = f(x – 3) + g(x – 3) = (x – 3)² + (x – 3) + b. (2f – 5g)(2) = x² - 6x + 9 + x – 3 + = x² - 5x + 6 + = 2(f(2)) – 5(g(2)) = 2(2² + 2) – 5 = 2(4 + 2) – = 2(6) – 2 = 12 - 2 = 10
c. (f . g)(-1) = f(-1) . g(-1) = ((-1)² + (-1)) = (1 – 1) = 0(1) =0 d. (-2) = = = = = =
Fungsi komposisi adalah gabungan dari beberapa fungsi yang ada. Fungsi komposisi disimbolkan dengan “o” (bundaran) AB C x f f(x) g g(f(x)) (f o g)(x) (f o g)(x) = f(g(x)) (f o g)(x) ≠ (g o f)(x) (g o f)(x) = g(f(x))
1 Diketahui beberapa fungsi sebagai berikut f(x) = 2x + 5 Ingat!!! g(x) = 3x – 4 f(x) = 2x + 5 h(x) = 1 – 2x Tentukan : a. (f o g)(x) f(a) = 2a + 5 b.(g o f)(x) f(b) = 2b + 5 c.(g o h)(x) d.(f o g o h)(x) f(p) = 2p + 5 Jawab f(5) = 2.5 + 5 a. (f o g)(x) = f(g(x)) b. (g o f)(x) = g(f(x)) = 2(g(x)) + 5 = 3x – 4 = 2(3x – 4) + 5 =3(2x + 5) – 4 = 6x – 8 + 5 = 6x + 15 – 4 (f o g)(x) = 6x -3 (g o f)(x) = 6x + 11
c. (g o h)(x) = g(h(x)) Cara 2 = 3(h(x)) – 4 (f o g o h)(x) = (f o g)(h(x)) = 3(1 – 2x) – 4 = 3 – 6x – 4 = 6(h(x)) – 3 = 6(1 – 2x) – 3 (g o h)(x) = – 6x – 1 = 6 – 12x – 3 d. Cara 1 (f o g o h)(x) = - 12x + 3 (f o g o h)(x) = f((g o h)(x)) = 2((g o h)(x)) + 5 = 2( - 6x – 1) + 5 = - 12x – 2 + 5 (f o g o h)(x) = - 12x + 3
2 Diketahui beberapa rumusfungsi sebagai berikut f(x) = 4x + 1 g(x) = 5x – 2 Tentukan nilai (f o g)(2)! Jawab Cara 1 : mencari (f o g)(x) dulu Cara 2 : mencari g(2) dulu (f o g)(x) = f(g(x)) ❑ g(x) = 5x – 2 = 4(g(x)) + 1 = 4(5x – 2) + 1 g(2) = 5.2 – 2 = 20x – 8 + 1 (f o g)(x) =20x – 7 g(2) = 10 – 2 (f o g)(2) = 20.2 – 7 = 40 – 7 g(2) = 8 (f o g)(2) = 33 ❑ (f o g)(2) = f(g(2)) (f o g)(2) = 4(g(2)) + 1 (f o g)(2) = 4.8 + 1 (f o g)(2) = 32 + 1 (f o g)(2) = 33
1 Diiketahui beberapa rumus fungsi nsebagai berikut f(x) = 3x + 5 2 g(x) =x–9 (f o g)(x) = 6x – 7 g(x) = ....? (g o f)(x) = 3x + 2 f(x) = ......? Jawab Jawab (f o g)(x) = 6x – 7 (g o f)(x) = 3x + 2 f(g(x)) = 6x – 7 g(f(x)) = 3x + 2 3(g(x)) + 5 = 6x – 7 f(x) – 9 = 3x + 2 3(g(x) = 6x – 7 – 5 f(x) = 3x + 2 + 9 3(g(x)) = 6x – 12 f(x) = 3x + 11 g(x) =2 4 1 g(x) = 2x -4
1 f(x) =....? Sehingga (f o g)(x) = 6x + 11 f(x – 5) = 6x + 11 g(x) = x – 5 Jawab f(p) = 6(p + 5) + 11 f(p) = 6p + 30 + 11 (f o g)(x) = 6x + 11 f(p) = 6p + 41 f(x) = 6x + 41 f(g(x)) = 6x + 11 f(x – 5) = 6x + 11 Misal x=p+5 x–5=p
2 f(x) = .....? sehingga (f o g)(x) = 10x – 4 g(x) = 2x – 1 f(2x – 1) = 10x – 4 Jawab (f o g)(x) = 10x – 4 f(p) = 10 -4 f(g(x)) = 10 x – 4 f(2x – 1) = 10x – 4 f(p) = 5(p + 1) – 4 Misal 2x - 1 = p , 2x = p + 1 f(p) = 5p + 5 – 4 x= f(p) = 5p – 1 f(x) = 5x – 1
Fungsi invers merupakan fungsi kebalikan dan dilambangkan dengan f-1(x) jadi, jika fungsi f memetakan dari himpunan A ke himpunan B maka fungsi f-1(x) memetakan dari himpunan B ke himpunan A AB f xy f(x) = y f-1 f-1 (y) = x
➢ Ubah fungsi f(x) kedalam persamaan y = f(x) ➢ Selesaikan persamaan tersebut untuk variabel x ➢ Ganti x dengan f-1(y) ➢ Ganti variabel y menjadi x sehingga diperoleh f-1(x) Invers dari fungsi f(x) = Dapat dengan cepat ditentukan menggunakan f-1(x) =
1. Diketahu f(x) = 3x – 1. Tentukan invers dari f(x). Penyelesaian: y = f(x) y = 3x – 1 3x = y + 1 f-1(y) = f-1(x) = 2. Tentukan f-1(x) dari fungsi-fungsi berikut. a. f(x) = b. f(x) = c. f(x) = 2x3 – 1
Penyelesaian: menggunakan rumus a. f(x) = f-1(x) = f-1(x) = b. f(x) = , menggunakan rumus f-1(x) = c. f(x) = 2x3 – 1 x= y = 2x3 – 1 f-1(x) = f-1(x) = 2x3 = y + 1 x3 =
❑ Persamaan lingkaran ➢ Persamaan lingkaran berpusat di P(0,0) r² = x² + y² x² + y² = r² Contoh: Tentukan persamaan lingkaran yang berpusat di O(0,0) dan melalui titik (-3,4) xy Penyelesaian: x² + y² = r² x² + y² = r² (-3)² + 4² = r² x² + y² = 25 9 + 16 = r² 25 = r² r² = 25
➢ Persamaan Lingkaran berpusat di P(a,b) r² = (x a)² + (y – b)² (x - a)² + (y – b)² = r² Contoh: Tentukan persamaan lingkaran yang berpusat di P(2,-3) dan ab berjari-jari 4r Penyelesian (x – a)² + (y – b)² = r² (x – 2)² + (y – (-3))² = 4² (x – 2)² + (y + 3)² = 6
➢ Bentuk Umum Persamaan Lingkaran (x – a)² + (y – b)² = r² x² - 2ax + a² + y² - 2by + b² = r² x² + y² - 2ax – 2by + a² + b² - r² = 0 AB C x² + y² + Ax + By+ C = 0 A = -2a r² = a² + b² - C B = -2b r= C = a² + b² - C
Tentukan koordinat titik pusat dan jari-jari dari lingkaran berikut x² + y² - 2x + 4y – 20 = 0 Penyelesaian r= x² + y² - 2x + 4y – 20 = 0 AB C r= =5 Jadi koordinat titik pusat lingkaran tersebut adalah (1,-2) dengan jari-jari r = 5
❑ PERSAMAAN GARIS SINGGUNG LINGKARAN (PGSL) A. Jika diketahui titik singgung (x₁, y₁) 1. Lingkaran x² + y² = r² P(0,0) PGSL x₁x + y₁y = r² 2. Lingkaran (x – a)² + (y – b)² = r² P(a,b) PGSL (x₁ - a)(x – a) + (y₁ - b)(y – b) = r² 3. Lingkaran x² + y² + Ax + By + C = 0 P(a,b) PGSL x₁x + y₁y + A(x₁ + x) + B(y₁ + y) + C = 0
Contoh: Tentukan Persamaan garis singgung lingkaran (PGSL) dari persamaan lingkaran berikut: 1. x² + y² = 8 Menyinggung (2,2) 2. (x -3)² + (y + 2)² = 25 Menyinggung (6,2) 3. x² + y² - 8x + 6y + 12 = 0 Menyinggung (7,-5)
Penyelesaian: 1. x² + y² = 8 P(0,0) x₁x + y₁y = 8 (2,2) x₁ y₁ 2x + 2y = 8 PGSL 2. (x – 3)² + (y + 2)² = 25 (6,2) x₁ y₁ (x₁ - 3)(x – 3) + (y₁ + 2)(y + 2) = 25 (6 – 3)(x – 3) + (2 + 2)(y + 2) = 25 3(x – 3) + 4(y + 2) = 25 3x – 9 + 4y + 8 = 25 3x + 4y = 25 + 9 – 8 3x + 4y = 26
3. x² + y² - 8x + 6y + 12 = 0 Menyinggung (7,-5) 6(y₁ + y) + 12 = 0 x₁ y₁ x₁x + y₁y - 8(x₁ + x) + 7x + (-5)y – 4(7 + x) + 3(-5 + y) + 12 = 0 7x – 5y – 28 – 4x – 15 + 3y + 12 = 0 3x – 2y = 28 + 15 – 12 3x – 2y = 43 – 12 3x – 2y = 31
PERSAMAAN GARIS SINGGUNG LINGKARAN B. Jika diketahui gradien garis singgung 1. Lingkaran x² + y² = r² PGSL y = mx ± r 2. Lingkaran (x – a)² + (y – b)² = r² PGSL y – b = m(x – a) ± r
Pernyataan adalah kalimat yang bisa benar atau bisa salah. Contoh: • Indonesia Raya adalah lagu kebangsaan Indonesia. (pernyataan benar) • Bika ambon berasal dari Ambon. (pernyataan salah) Kalimat Terbuka adalah jenis kalimat “yang belum diketahui kebenarannya”. Sehingga, untuk menentukan benar atau salahnya, kita perlu pengamatan lebih lanjut. Contoh: • 12x + 6 = 91 (kalimat terbuka karena masih harus dibuktikan kebenarannya). • Maaf ya, aku semalem ketiduran. Hehehe. (Pernyataan ini dinamakan kalimat terbuka karena masih harus dibuktikan kebenarannya).
Ingkaran/negasi/penyangkalan (~) Dari sebuah pernyataan, kita dapat membuat pernyataan baru berupa “ingkaran/negasi/penyangkalan” atas pernyataan tadi. Berikut adalah tabel kebenaran ingkaran: B = pernyataan bernilai benar S = pernyataan bernilai salah Artinya, jika suatu pertanyaan (p) benar, maka ingkaran (~p) akan bernilai salah. Begitu pula sebaliknya.
Contoh: 1.p : Besi memuai jika dipanaskan (pernyataan bernilai benar) ~p: Besi tidak memuai jika dipanaskan (pernyataan bernilai salah) 2.p : Semua unggas adalah burung. ~p: Ada unggas yang bukan burung.
PERNYATAAN MAJEMUK
Dalam ilmu matematika, terdapat 4 macam pernyataan majemuk: 1. Konjungsi (^) Konjungsi adalah pernyataan majemuk dengan kata hubung “dan”. Sehingga, notasi “p^q” dibaca “p dan q”. Tabel kebenaran konjungsi
Dari tabel di atas, kita dapat melihat bahwa konjungsi hanya akan benar jika kedua pernyataan (p dan q) benar. Contoh: p : 3 adalah bilangan prima (pernyataan bernilai benar) q : 3 adalah bilangan ganjil (pernyataan bernilai benar) p^q: 3 adalah bilangan prima dan ganjil (pernyataan bernilai benar)
2. Disjungsi (V) Disjungsi adalah pernyataan majemuk dengan kata hubung “atau”. Sehingga notasi “p V q” dibaca “p atau q”. Tabel nilai kebenaran disjungsi:
Jika kita lihat pada tabel kebenaran, disjungsi hanya salah jika kedua pernyataan (p dan q) salah. Contoh: P : Paus adalah mamalia (pernyataan bernilai benar) q : Paus adalah herbivora (pernyataan bernilai salah) p V q: Paus adalah mamalia atau herbivora (pernyataan bernilai benar)
3. Implikasi (→) Implikasi adalah pernyataan majemuk dengan kata hubung “jika… maka…” Sehingga notasi dari “p → q” dibaca “Jika p, maka q”. Adapun tabel nilai kebenaran dari implikasi:
Dari tabel terlihat bahwa implikasi hanya bernilai salah jika anteseden (p) benar, dan konsekuen (q) salah. Contoh: p : Andi belajar dengan aplikasi google classroom. (pernyataan bernilai benar) q : Andi dapat belajar di mana saja. (pernyataan bernilai benar) p → q : Jika Andi belajar dengan aplikasi google classrom, maka Andi dapat belajar di mana saja (pernyataan bernilai benar)
Biimplikasi (↔) Biimplikasi adalah pernyataan majemuk dengan kata hubung “… jika dan hanya jika”. Sehingga, notasi dari “p ↔ q” akan dibaca “p jika dan hanya jika q”. Tabel nilai kebenaran Biimplikasi:
Dari tabel kebenaran tersebut, dapat kita amati bahwa biimplikasi akan bernilai benar jika sebab dan akibatnya (pernyataan p dan q) bernilai sama. Baik itu sama-sama benar, atau sama-sama salah. Contoh: P : 30 x 2 = 60 (pernyataan bernilai benar) Q : 60 adalah bilangan ganjil (pernyataan bernilai salah) p ↔ q: 30 x 2 = 60 jika dan hanya jika 60 adalah bilangan ganjil (pernyataan bernilai salah).
Negasi Pernyataan Majemuk (Konjungsi, Disjungsi, Implikasi, dan Biimplikasi) 1. Negasi Konjungsi Perhatikan tabel kebenaran berikut untuk melihat nilai kebenaran dari kedua pernyataan majemuk tersebut.
Pada tabel kebenaran di atas, pada kolom p ∧ q dan ~p ∨ ~q memiliki nilai yang saling berkebalikan. Artinya, bentuk negasi untuk p ∧ q adalah ~p ∨ ~q.
2. Negasi Disjungsi Tabel kebenaran Disjungsi
3. Negasi Implikasi
3. Negasi Biimplikas
Search