BAB 1 Bentuk Pangkat, Akar dan Logarigma

Ismail Sitorus Bentuk Pangkat, Akar dan Logaritma P Ketika di SMP, kita sudah mengenal bentuk pangkat dan akar pangkat dua atau akar kuadrat. Materi tersebut akan kita pelajari lagi dan kita perdalam dengan bentuk pangkat rasional dan akar. Perhitungan-perhitungan yang menggunakan bentuk pangkat rasional dan akar ini banyak kita jumpai dalam pelajaran Matematika dan pelajaran lain seperti Kimia dan Fisika. 1.1 BENTUK PANGKAT A. Pangkat Bulat Positif 1. Pengertian Pangkat Bulat Positif Kita tentu masih ingat dengan pengertian bilangan kuadrat atau bilangan bilangan berpangkat dua, yaitu perkalian bilangan-bilangansebanyak dua faktor. Misalnya, 32 = 3 × 3 42 = 4 × 4 a2 = a × a Pada bilangan kuadrat 32, angka 3 disebut bilangan pokok (dasar), sedangkan angka 2 disebut pangkat. Dengan konsep yang sama, kita dapat memahami pangkat suatu bilangan selain dua, yaitu pangkatnya merupakan bilangan positif. Misalnya, 23 dibaca 2 pangkat 3 (angka 2 merupakan bilangan pokok dan 3 merupakan pangkat) 23 = 2 × 2 × 2 …….. ( 2 dikalikan sampai 3 kali) 54 dibaca 5 pangkat 4 (angka 5 merupakan bilangan pokok dan 4 merupakan pangkat) 54 = 5 × 5 × 5 × 5 …….. ( 5 dikalikan sampai 4 kali) 65 dibaca 6 pangkat 5 (angka 6 merupakan bilangan pokok dan 5 merupakan pangkat) 65 = 6 × 6 × 6 × 6 × 6 …….. ( 6 dikalikan sampai 5 kali) Semakin besar usaha anda, maka semakin besar kemungkinan anda berhasil. 1

Ismail Sitorus Bentuk Pangkat, Akar dan Logaritma 2. Sifat-Sifat Bilangan Berpangkat Bulat Positif Dalam suatu operasi aljabar yang melibatkan bilangan bulat positif, berlaku sifat- sifat berikut. Jika a dan b adalah bilangan real, sedangkan m dan n adalah bilangan bulat positif, berlaku sifat-sifat berikut. 1. am × an = am + n 2. am  amn , dengan m > 0 dan a ≠ 0 an 3. (am)n = am×n 4. (a.b)m = am. bm 5.  a m  am b bm Contoh-contoh dari sifat-sifat bilangan berpangkat bulat positif. Sifat 1 : am × an = am + n (perkalian bilangan berpangkat dengan bilangan pokok sama maka pangkatnya di jumlahkan) Contoh 1 Tentukanlah hasil perkalian bilangan berpangkat berikut. a. 23 × 24 d. a4 × a2 b. 32 × 35 e. p3 × p4 c. 43 × 46 f. m7 × m2 Penyelesaian a. 23 × 24 = 23 + 4 = 27 Bukti: 23 × 24 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 = 27 23 24 Semakin besar usaha anda, maka semakin besar kemungkinan anda berhasil. 2

Ismail Sitorus Bentuk Pangkat, Akar dan Logaritma b. 32 × 35 = 32 + 5 = 37 Bukti: 32 × 35 = 3 × 3 × 3 × 3 × 3 × 3 × 3 = 37 32 35 c. 43 × 46 = 43 +6 = 49 Bukti: 43 × 46 = 4 × 4 × 4 × 4 × 4 × 4 × 4 × 4 × 4 = 49 43 46 d. a4 × a2 = a4 + 2 = a6 Bukti: a4 × a2 = a × a × a × a × a × a = a6 a4 a2 e. p3 × p4 = p3 + 4 = p7 Bukti: p3 × p4 = p × p × p × p × p × p × p = p7 p3 p4 f. m7 × m2 = m7 + 2 = m9 Bukti: m7 × m2 = m × m × m × m × m × m × m × m × m = m9 m7 m2 Setelah memahami contoh-contoh tersebut, kerjakanlah latihan berikut. Latihan 1 Tentukanlah hasil perkalian bilangan berpangkat berikut. a. 35 × 34 e. b3 × b8 b. 74 × 73 f. q7 × q6 c. 63 × 69 g. n9 × n8 d. 87 × 85 h. 1011 × 108 Semakin besar usaha anda, maka semakin besar kemungkinan anda berhasil. 3

Ismail Sitorus Bentuk Pangkat, Akar dan Logaritma Sifat 2 : am  amn an (pembagian bilangan berpangkat dengan bilangan pokok sama maka pangkatnya di kurangkan) Contoh 2 Tentukanlah hasil pembagian bilangan berpangkat berikut. a. 25 c. 48 e. c 9 23 43 c6 b. 37 d. a12 f. x 7 34 a7 x3 Penyelesaian a. 25 = 25 - 3 = 22 25 23 Bukti: 25 = 22222 = 2 × 2 = 22 23 222 23 b. 37 = 37 - 4 = 33 37 34 Bukti: 37 = 3333333 = 3 × 3 × 3 = 33 34 3333 34 c. 48 = 48 - 3 = 45 48 43 Bukti: 48 = 44444444 = 4 × 4 × 4 × 4 × 4 = 45 43 444 43 Semakin besar usaha anda, maka semakin besar kemungkinan anda berhasil. 4

Ismail Sitorus Bentuk Pangkat, Akar dan Logaritma d. a12 = a12 - 7 = a5 a12 a7 Bukti: a12 = aaaaaaaaaaaa = aaaaa = a5 a7 aaaaaaa a7 e. c 9 = c9 - 6 = c3 c9 c6 Bukti: c9 = ccccccccc = ccc = c3 c6 cccccc c6 f. x 7 = x7 - 3 = x4 x7 x3 Bukti: x 7 = x x x x x x x = x x x x = x4 x3 xxx x3 Latihan 2 Tentukanlah hasil pembagian bilangan berpangkat berikut. a. 57 e. b 6 55 b4 b. 98 f. r11 92 r6 c. 1013 g. d 14 105 d7 d. 69 h. t 9 63 t5 Semakin besar usaha anda, maka semakin besar kemungkinan anda berhasil. 5

Ismail Sitorus Bentuk Pangkat, Akar dan Logaritma Sifat 3 : (am)n = am×n (bilangan berpangkat dipangkatkan lagi, maka pangkatnya dikalikan) Contoh 3 Sederhanakanlah operasi bilangan berpangkat berikut. a. (23)2 d. (a6)3 b. (32)3 e. (n2)4 c. (75)2 f. (p4)3 Penyelesaian a. (23)2 = 23× 2 = 26 Bukti: = (2 × 2 × 2)2 (23)2 = (2 × 2 × 2) × (2 × 2 × 2) =2×2×2×2×2×2 atau = 26 (23)2 = 23 × 23 =2×2×2×2×2×2 = 26 b. (32)3 = 32× 3 = 36 Bukti: = (3 × 3)3 (32)3 = (3 × 3) × (3 × 3) × (3 × 3) =3×3×3×3×3×3 atau = 36 (32)3 = (32) × (32) × (32) = (3 × 3) × (3 × 3) × (3 × 3) = 36 c. (75)2 = 75× 2 = 710 Bukti: = (7 × 7 × 7 × 7 × 7)2 (75)2 = (7 × 7 × 7 × 7 × 7) × (7 × 7 × 7 × 7 × 7) =7 ×7 ×7×7 ×7 ×7 ×7×7×7 ×7 = 710 Semakin besar usaha anda, maka semakin besar kemungkinan anda berhasil. 6

Ismail Sitorus Bentuk Pangkat, Akar dan Logaritma atau = (75) × (75) (75)2 = (7 × 7 × 7 × 7 × 7) × (7 × 7 × 7 × 7 × 7) = 710 d. (a6)3 = a6 × 3 = a18 Bukti: (a6)3 = (a × a × a × a × a × a)3 = (a × a × a × a × a × a) × (a × a × a × a × a × a) × (a × a × a × a × a × a) =a×a×a×a×a×a×a×a×a×a×a×a×a×a×a×a×a×a = a18 atau (a6)3 = (a6) × (a6) × (a6) = (a × a × a × a × a × a) × (a × a × a × a × a × a) × (a × a × a × a × a ×a =a×a×a×a×a×a×a×a×a×a×a×a×a×a×a×a×a×a = a18 e. (n2)4 = n2 × 4 = n8 Bukti: (n2)4 = (n × n)4 = (n × n) × (n × n) × (n × n) × (n × n) =n×n×n×n×n×n×n×n = n8 atau (n2)4 = (n2) × (n2) × (n2) × (n2) = (n × n) × (n × n) × (n × n) × (n × n) =n×n×n×n×n×n×n×n = n8 f. (p4)3 = p4 × 3 = p12 7 Bukti: (p4)3 = (p × p × p × p)3 = (p × p × p × p) × (p × p × p × p) × (p × p × p × p) =p×p×p×p×p×p×p×p×p×p×p×p = p12 atau (p4)3 = (p4) × (p4) × (p4) Semakin besar usaha anda, maka semakin besar kemungkinan anda berhasil.

Ismail Sitorus Bentuk Pangkat, Akar dan Logaritma = (p × p × p × p) × (p × p × p × p) × (p × p × p × p) =p×p×p×p×p×p×p×p×p×p×p×p = p12 Latihan 3 Sederhanakanlah operasi bilangan berpangkat berikut. a. (53)4 f. (a2)4 b. (44)3 g. (c5)3 c. (y7)2 h. (p3)6 d. (s5)4 i. (d3)7 e. (t2)9 j. (105)6 Sifat 4 : (a.b)m = am. bm (jika dua buah bilangan atau lebih di dalam kurung kemudian dipangkatkan, maka masing- masing bilangan tersebut dipangkatkan) Contoh 4 Sederhanakanlah operasi bilangan berpangkat berikut. a. (2 × 3)2 d. (m.n)5 b. (a.b)4 e. (p.q)7 Penyelesaian a. (2 × 3)2 = 22 × 32 Bukti: = (2 × 3) × (2 × 3) (2 × 3)2 =2×3×2×3 =2×2×3×3 = 22 × 32 b. (a.b)4 = a4.b4 Bukti: Ingat ! (a.b)4 = (a.b) (a.b) (a.b) (a.b) Titik artinya kali Tanda kurung artinya kali = a.b.a.b.a.b.a.b a × b dapat ditulis dengan a.b atau ab = a.a.a.a.b.b.b.b = a4.b4 Semakin besar usaha anda, maka semakin besar kemungkinan anda berhasil. 8

Ismail Sitorus Bentuk Pangkat, Akar dan Logaritma c. (m.n)5 = m5.n5 Bukti: (m.n)5 = (m.n) (m.n) (m.n) (m.n) (m.n) = m.n.m.n.m.n.m.n.m.n = m.m.m.m.m.n.n.n.n.n = m5.n5 d. (p.q)7 = p7.q7 Bukti: = (p.q) (p.q) (p.q) (p.q) (p.q) (p.q) (p.q) (p.q)7 = p.q.p.q.p.q.p.q.p.q.p.q.p.q = p.p.p.p.p.p.p.q.q.q.q.q.q.q = p7.q7 Latihan 4 Sederhanakanlah operasi bilangan berpangkat berikut. a. (5 × 4)3 e. (3y)4 i. (2mn)6 b. (a.b)6 f. (4ab)3 j. (3xy)4 c. (5a)2 g. (r.s)8 k. (8pqr)2 d. (2x)5 h. (p.q)9 l. (2abc)7 Sifat 5 :  a m  am b bm Contoh 5 Sederhanakanlah operasi bilangan berpangkat berikut. a.  2 3 b.  a 6 c.  p  5 3 b g Penyelesaian a.  2 3  23 3 33 Bukti:  2 3 =  2   2   2  = 222 = 23 3 3 3 3 333 33 Semakin besar usaha anda, maka semakin besar kemungkinan anda berhasil. 9

Ismail Sitorus Bentuk Pangkat, Akar dan Logaritma b.  a 6  a6 b b6 Bukti:  a 6 =  a   a   a   a   a   a  = aaaaaa = a6 b bbbbbb bbbbbb b6 c.  p 5  p5 q q5 Bukti:  p  5 =  p   p   p   p   p  = p p p p p = p5 g q q q q q qqqqq q5 Latihan 5 Sederhanakanlah operasi bilangan berpangkat berikut. a.  3 4 c.  4  3 e.  m 8 5 p n b.  c 5 d.  q 5 f.  v 10 d  3 t B. Pangkat Nol dan Pangkat Bulat Negatif 1. Pangkat Nol Pangkat nol suatu bilangan didefensikan sebagai berikut. Untuk setiap bilangan real a, dengan a ≠ 0, berlaku a0 = 1 Mengapa a0 = 1 ? Perhatikan contoh-contoh berikut. b. 32  32  2  30  1 a. 23  233  20  1 32 Bukti: 32  33  9  1 23 32 33 9 Bukti: 23  2 2  2  8  1 23 222 8 Jadi, setiap bilangan jika dipangkatkan nol hasilnya adalah 1 Semakin besar usaha anda, maka semakin besar kemungkinan anda berhasil. 10

Ismail Sitorus Bentuk Pangkat, Akar dan Logaritma 2. Pangkat Bulat Negatif Pangkat negative suatu bilangan didefenisikan sebagai berikut. Untuk setiap bilangan real a, dengan a ≠ 0, berlaku an  1 atau 1  an an a n Contoh 6 Nyatakan bentuk-bentuk dibawah ini dalam pangkat bulat positif a. 3-2 c. 5-2 × 4 e. 4ab-7 b. a-5 d. p f. 1 2 3 3m 6 Penyelesaian c. 3-2 = 1 c. 5-2 × 4 = 4 e. 4ab-7 = 4a 32 52 b7 d. a-5 = 1 d. p = 23 p f. 1 = m6 a5 2 3 3m 6 3  Jika bilangan yang berpangkat negatif sebagai pembilang (letaknya diatas), maka untuk merubah menjadi pangkat positif bilangan tersebut diletakkan sebagai penyebut (letaknya dibawah).  Jika bilangan yang berpangkat negatif sebagai penyebut (letaknya dibawah), maka untuk merubah menjadi pangkat positif bilangan tersebut diletakkan sebagai pembilang (letaknya diatas). Latihan 6 Nyatakan bentuk-bentuk dibawah ini dalam pangkat bulat positif a. 8-6 e. 6-2b i. 3p-4q-3 b. n-9 f. 1 j. 2a 5 c. 2-4ab-3 53 3b 8 d. m5 g. 2ab-1 k. a7 3n 4 31 b 2 h. x 2 l. m5 2y3 8n 6 Semakin besar usaha anda, maka semakin besar kemungkinan anda berhasil. 11

Ismail Sitorus Bentuk Pangkat, Akar dan Logaritma Penyelesaian soal dengan menggunakan beberapa sifat-sifat dari bilangan berpangkat. Contoh 7 Nyatakan bentuk-bentuk pangkat berikut kebentuk yang paling sederhana tanpa pangkat negatif. a. (23a4b-7)-2 c. (54 mn5 )2 57 m6n9 b. p2q-5r × 2p-2q4r3 d.  3s 3t 2  4   32 s4t5  4 st s2t 3 Penyelaseaian *Sifat 4 : (ab)m = am bm a. (23a4b-7)-2 = 23× (-2) a4 × (-2) b-7 × (-2) *Sifat 3 : (am)n = am × n * Masing-masing bilangan berpangkat = 2-6 a-8b14 = b14 dipangkatkan lagi * Pangkat negatif sebagai pembilang 26 a8 (letaknya diatas), maka dipindahkan b. p2q-5r × 2p-2q4r3 = 2 p2p-2 q4q-5 r r3 sebagai penyebut (letaknya dibawah) = 2 p2 + (-2)q4 + (-5) r1+ 3 menjadi pangkat positif. = 2 p0 q-1 r4 *Sifat 1 : am × an = am + n = 2 1 1 r4 *p0 = 1 q1 * Pangkat negatif sebagai pembilang (letaknya diatas), maka dipindahkan sebagai penyebut (letaknya dibawah) menjadi pangkat positif. = 2r 4 q c. (54 mn5 ) 2 = 54 2 m1 2 n 5 2 57 m6n9 57 m6n9 58 m 2 n 10 = 57 m6n9 5 m n= 8  (7) 2  (6) 10  9 = 51 m8 n 19 = m8 5n19 Semakin besar usaha anda, maka semakin besar kemungkinan anda berhasil. 12

Ismail Sitorus Bentuk Pangkat, Akar dan Logaritma d.  3s 3t 2  4   32 s4t5  4 = 34 s 3 4t 2 4  3 s t2 (4) 4 (4) 5 (4) st s2t 3 s4t 4 s t2 (4) 3 (4) = 34 s12t 8  38 s 16t 20 s4t 4 s 8t 12 = 34 s12 4t 8  4  38 s 168t 20 (12) = 34 s8t 12  38 s 24t 8 = 3 s t4  (8) 8  (24) 12  (8) = 34 s 16t 20 =1 34 s16t 20 =1 81s16t 20 Latihan 7 Sederhanakanlah bentuk pangkat berikut dan nyatakan hasilnya dalam pangkat bulat positif. i. (4m-3n-5)2 × (m-4n4)-2 a. 2-4a2b-9 × 23a-3b-4 b. p2q-4r-2 × p3q3r4 j. (2a8b-2)-2 × (4a2b2)3 c. m-5n-3 × m2n9 k. (8p-7q-2r-3)2 × 2(4p-3q3r4)-3 d. 5 p 2 q l. (5 p 3q 2 r 3 ) 4 4 1 pq 1 (52 p 4 q 3r 2 ) 2 e. 7m2n m. (6m12n 3 ) 2 73 m2n3 (3m3n 4 )6 f. a 2b 2c 3 n.  4a 2b 5  3   a 3b 4  2 ab 6c 5 3a 2b 2 ab g.  3 p 2q 3  4 o.  5x2 y 6  2   5x3 y4  2 p 5q 25x 4b 2 xy7 h. (3 p 2b2r 4 )3 p.  16 p 3q8  2   p 4 q  2 (2 p 1q 2 r 3 ) 2 8p5q3 4p2 y6 Semakin besar usaha anda, maka semakin besar kemungkinan anda berhasil. 13

Ismail Sitorus Bentuk Pangkat, Akar dan Logaritma 1.2 BENTUK AKAR A. Pengertian Bentuk Akar Masih ingatkah kalian dengan teorema Pythagoras? Bagaimana cara menentukan sisi miring (hipotenusa) sebuah segitiga siku-siku? Perhatikan segitiga siku-siku berikut. Berdasarkan teorema Pyyhagoras, panjang AC pada segitiga dibawah ini adalah Panjang AC = ( panjang AB)2  ( panjang BC )2 C = 32 12 = 91 1cm = 10 BA Jadi, panjang AC adalah 10 cm. 3cm Hasil perhitungan diatas menunjukkan bahwa panjang AC adalah 10 cm. Bilangan 10 tidak dapat disederhanakan lagi. Dengan kata lain, kita tidak dapat mencari suatu bilangan rasional yang apabila dipangkatkan dua hasilnya 10. Bilangan- bilangan yang demekian ini disebut bentuk akar. Misalnya 2 , 3 , 5 dan 0,1 . Jadi bentuk akar dapat didefenisikan sebagai berikut. \"Bentuk akar adalah akar dari suatu bilangan yang hasilnya bukan merupakan bilangan rasional.\" Berdasarkan defenisi tersebut, akar suatu bilangan yang hasilnya berupa bilangan rasional tidak termasuk bentuk akar. Dibawah ini diberikan beberapa contoh akar bilangan yang hasilnya berupa bilangan rasional yang harus diingat. 4 =2 49 = 7 144 = 12 9 =3 64 = 8 169 = 13 16 = 4 81 = 9 196 = 14 25 = 5 100 = 10 225 = 15 36 = 6 121 = 11 256 = 16 Semakin besar usaha anda, maka semakin besar kemungkinan anda berhasil. 14

Ismail Sitorus Bentuk Pangkat, Akar dan Logaritma B. Menyederhanakan Bentuk Akar Suatu bentuk akar dapat dinyatakan sebagai perkalian antara suatu bilangan rasional dengan bentuk akar lainnya. Agar lebih mudah dalam menyederhanakan bentuk akar, kita harus mengetahui salah satu sifat dari bentuk akar, yaitu ab = a  b Langkah-langkah menyederhanakan bentuk akar 1. Cari dua bilangan jika dikalikan hasilnya adalah bilangan dari bentuk akar yang ingin disederhanakan dan salah satu bilangan tersebut dapat ditarik akarnya seperti 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100. 2. Tentukan akar dari bilangan yang dapat ditarik akarnya tadi. Contoh 8 Sederhanakan bentuk akar dibawah ini. a. 8 c. 63 e. 108 b. 24 d. 98 f. 600 Penyelesaian 1. Kita cari dua bilangan jika dikalikan hasilnya 8, a. 8 = 42 bilangan tersebut adalah 4 dan 2. = 4× 2 2. Bilangan yang bisa ditarik akarnya adalah 4, akar =2 2 4 adalah 2 ( 4 = 2) b. 24 = 46 1. Kita cari dua bilangan jika dikalikan hasilnya 24, = 4× 6 bilangan tersebut adalah 4 dan 6. =2 6 2. Bilangan yang bisa ditarik akarnya adalah 4, akar 4 adalah 2 ( 4 = 2) c. 63 = 97 1. Kita cari dua bilangan jika dikalikan hasilnya 63, = 9× 7 bilangan tersebut adalah 9 dan 7. =3 7 2. Bilangan yang bisa ditarik akarnya adalah 9, akar 9 adalah 3 ( 9 = 3) Semakin besar usaha anda, maka semakin besar kemungkinan anda berhasil. 15

Ismail Sitorus Bentuk Pangkat, Akar dan Logaritma d. 98 = 492 1. Kita cari dua bilangan jika dikalikan hasilnya 98, = 49 × 2 bilangan tersebut adalah 49 dan 2. =7 2 2. Bilangan yang bisa ditarik akarnya adalah 49, e. 2 108 = 2 363 akar 49 adalah 7 ( 49 = 7) = 2 36 × 3 = 2.6 3 1. Kita cari dua bilangan jika dikalikan hasilnya = 12 3 108, bilangan tersebut adalah 36 dan 3. f. 5 600 = 5 1006 2. Bilangan yang bisa ditarik akarnya adalah 36, = 5 100 × 6 akar 36 adalah 6 ( 36 = 6) = 5.10 6 = 50 6 1. Kita cari dua bilangan jika dikalikan hasilnya 600, bilangan tersebut adalah 100 dan 6. 2. Bilangan yang bisa ditarik akarnya adalah 100, akar 100 adalah 10 ( 100 = 10) Latihan 8 Sederhanakanlah bentuk akar dibawah ini. a. 18 e. 3 128 j. 2 96 n. 5 150 b. 48 f. 5 32 k. 3 192 o. 3 27 c. 3 1000 g. 7 45 l. 2 112 p. 2 294 d. 2 75 h. 6 180 m. 8 147 q. 4 54 C. Operasi Aljabar Bentuk Akar Pada bentuk akar dapat dilakukan operasi aljabar seperti penjumlahan (+), pengurangan (–) dan perkalian (×). 1. Penjumlahan dan Pengurangan Bentuk Akar Di SMP anda telah mempelajari bahwa bentuk aljabar hanya bisa dijumlahkan atau dikiurangkan pada variabel-variabel yang sejenis. Sebagai contoh, 4a + 5a = (4 + 5)a = 9a 6b – 4b = (6 – 4)b = 2b 4a + 3b tidak dapat dijumlahkan Semakin besar usaha anda, maka semakin besar kemungkinan anda berhasil. 16

Ismail Sitorus Bentuk Pangkat, Akar dan Logaritma Begitu pula dengan penjumlahan dan pengurangan bentuk akar. Penjumlahan atau pengurangan bentuk akar dapat dilakukan apabila bentuk-bentuk akarnya sejenis atau bilangan yang didalam akar adalah sama. Untuk itu, itu digunakan sifat distributif perkalian pada penjumlahan atau pengurangan sebagai berikut. Jika p,q, dan r bilangan rasional, sedangkan r adalah bentuk akar, berlaku : a. p r + q r = (p + q) r b. p r – q r = (p – r) r Contoh 9 Selesaikanlah penjumlahan atau pengurangan berikut dalam bentuk yang paling sederhana. a. 5 3 + 3 3 d. 2 12 + 3 75 b. 8 6 – 4 6 e. 3 24 – 5 80 + 54 c. 3 2 + 6 2 – 7 2 f. 2 48 – 2 45 – 3 108 + 7 180 Penyelesaian a. 5 3 + 3 3 = (5 + 3) 3 =8 3 b. 8 6 – 4 6 = (8 – 4) 6 =4 6 c. 3 2 + 6 2 – 7 2 = (3 + 6 – 7) 2 =2 2 d. 2 12 + 3 75 = 2 43 + 3 253 17 = 2 4 × 3 + 3 25 × 3 = 2.2 3 + 3.5 3 = 4 3 + 15 3 = (4 + 15) 3 = 19 3 Semakin besar usaha anda, maka semakin besar kemungkinan anda berhasil.

Ismail Sitorus Bentuk Pangkat, Akar dan Logaritma e. 3 24 – 5 80 + 54 = 3 46 – 5 165 + 96 = 3 4 × 6 – 5 16 × 5 + 9× 6 = 3.2 6 – 5.4 5 + 3 6 = 6 6 – 20 5 + 3 6 = 6 6 + 3 6 – 20 5 = (6 + 3) 6 – 20 5 = 9 6 – 20 5 f. 2 48 – 2 45 – 3 108 + 7 180 = 2 163 – 2 95 – 3 363 + 7 363 = 2 16 × 3 –2 9 × 5 – 36 × 3 +7 36 × 5 = 2.4 3 – 2.3 5 – 3.6 3 + 7.6 5 = 8 3 – 6 5 – 18 3 + 42 5 = 8 3 – 18 3 – 6 5 + 42 5 = – 10 3 + 36 5 Latihan 9 Selesaikanlah penjumlahan atau pengurangan berikut dalam bentuk yang paling sederhana. a. 7 2 + 5 2 g. 8 50 – 18 – 3 32 b. 9 5 – 3 5 h. 3 45 – 72 + 6 8 – 20 c. 2 7 – 8 7 + 14 7 i. 6 + 72 – 32 – 24 d. 3 27 + 6 48 j. 2 63 + 3 20 – 2 28 + 3 80 e. 12 50 – 4 72 k. 3 405 – 2 180 – 5 320 f. 2 28 + 3 63 – 5 112 l. 3 352 + 3 343 – 6 567 2. Perkalian Bentuk Akar Untuk melakukan operasi perkalian pada bentuk-bentuk akar, kita dapat menggunakan sifat-sifat perkalian. a b × c d = a × c bd b × b =b Semakin besar usaha anda, maka semakin besar kemungkinan anda berhasil. 18

Ismail Sitorus Bentuk Pangkat, Akar dan Logaritma Disamping itu, ada beberapa sifat perkalian bilangan yang dapat digunakan untuk melakukan pengerjaan operasi hitung perkalian pada bentuk akar, antara lain sebagai berikut. 1. a(b + c) = ab + ac 2. a(b – c) = ab – ac 3. (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 4. (a – b)2 = a2 – 2ab + b2 5. (a + b)(a – b) = a2 – b2 Contoh 10 Tentukan penyelesaian operasi hitung berikut dalam bentuk yang paling sederhana. a. 2 × 2 e. 3 (4 + 6 ) b. 5 3 × 3 f. ( 2 – 7 )2 c. 2 3 × 4 5 g. (4 + 5 5 )(4 – 5 5 ) d. 5 × 20 h. 2( 5 + 3 )( 5 – 3 ) Penyelesaian → 2 × 2 = 22 = 4 =2 a. 2 × 2 = 2 b. 5 3 × 3 = 5.3 →5 3× 3 = 5 33 = 5 9 = 5.3 = 15 = 15 c. 2 3 × 4 5 = 8 15 → 2 3 × 4 5 = 2×4× 3 × 5 = 8 35 = 8 15 d. 5 × 20 = 5 × 45 atau 5 × 20 = 5 20 = 5 ×2 5 = 100 = 2×5 = 10 = 10 e. 3 (4 + 6 ) = 4 3 + 3 × 3 × 2 → 6 = 3× 2 =4 3 +3 2 * 4 3 + 3 2 tidak dapat dijumlahkan karna bentuk akar tidak sama. 19 Semakin besar usaha anda, maka semakin besar kemungkinan anda berhasil.

Ismail Sitorus Bentuk Pangkat, Akar dan Logaritma f. ( 2 – 7 )2 = 2 2 – 2 2 × 7 + 7 2 atau = 2 – 2 14 + 7 ( 2– = 9 – 2 14 7 )2 = ( 2 – 7 )( 2 – 7 ) 2× 7 + 7× 7 = 2× 2 – 2× 7 – = 2 – 14 – 14 + 7 = 9 – 2 14 g. (4 + 5 5 )(4 – 5 5 ) = 4 × 4 – 5 5 × 5 5 = 16 – 25 × 5 = 16 – 125 = –109 h. 2( 5 + 3 )( 5 – 3 ) = 2( 5 × 5 – 3× 3) = 2(5 – 3) = 2.2 =4 Latihan 10 Tentukan penyelesaian operasi hitung berikut dalam bentuk yang paling sederhana. a. 7 × 7 m. –2 7 (7 – 3 14 ) b. 5 × 5 n. ( 6 + 3 )( 6 – 3 ) c. 4 6 × 6 o. (3 – 5 )(3 + 5 ) d. 3 × 2 3 p. ( 7 + 4)( ( 7 – 4) e. 5 2 × 3 2 q. (3 2 + 2)(3 2 – 2) f. 5 × 10 r. (3 + 6 )(3 – 6 ) g. 27 × 18 s. ( 5 – 7 )( 5 + 7 ) h. 12 × 15 t. (4 + 2 3 )(3 – 2 3 ) i. 5 ( 2 + 3 ) u. (2 13 – 4 2 )(2 13 + 4 2 ) j. 2 6 ( 3 – 2 2 ) v. (2 + 3 6 )2 k. 5 2 (3 2 – 5 ) w. ( 5 – 3 )2 l. 2 5 (3 10 – 4 5 ) x. (2 2 – 11 )2 Semakin besar usaha anda, maka semakin besar kemungkinan anda berhasil. 20

Ismail Sitorus Bentuk Pangkat, Akar dan Logaritma D. Merasionalkan Penyebut Misalkan kita akan menghitung nilai pecahan 8 . Jika kita ambil nilai 2 = 2 1,4142, maka nilai dari 8 adalah 8 dan kita akan membutuhkan waktu yang 2 1,4142 agak lama untuk menentukan hasil 8 dibagi 1,4142. Oleh karena itu, kita memerlukan suatu cara yang lebih sederhana dan lebih mudah. Dengan mengingat sifat 2 × 2 = 2, bentuk 8 dapat kita ubah menjadi 2 8 =8 2 2 22 =8 2 2 =4 2 Kita peroleh nilai 8 = 4 2 = 4 × 1,4142 = 5,6568. 2 Pengubahan bentuk 8 menjadi 4 2 diatas dinamakan dengan meyederhanakan 2 pecahan dengan merasionalkan penyebut. 1. Bentuk p a Seperti yang telah disinggung diatas bahwa untuk merasionalkan penyebut pecahan 8 , pecahan tersebut dikalikan dengan 2 . Dengan cara yang sama, kita 22 dapat merasionalkan penyebut pecahan-pecahan berikut. 2 dikalikan dengan 3 33 3 dikalikan dengan 5 p dapat disederhanakan dengan 55 a Secara umum, suatu pecahan yang berpentuk a sehingga diperoleh p  p  ap a a a aa a Semakin besar usaha anda, maka semakin besar kemungkinan anda berhasil. 21

Ismail Sitorus Bentuk Pangkat, Akar dan Logaritma Contoh 11 Sederhanakan pecahan berikut dengan merasionalkan penyebutnya a. 3 c. 10 e. 6 5 5 23 b. 2 d. 5 f. 5 32 2 10 Penyelesaian a. 3  3  5  3 5  3 5 * 5× 5 =5 5 5555 * 2× 2 =2 * 3× 3 =3 b. 2  2  2  2 2  2 2  1 2 * 10 × 10 = 10 3 2 3 2 2 3.2 6 3 * 2  2:2  1 c. 10  10  5  10 5  10 5  2 5 6 6:2 3 555 5 5 * 3  3:3  1 d. 5  5  2  10  1 10 2 2222 6 6:3 2 e. 6  6  3  18  3 2  3 2  1 2 * 2  2 :2  1 2 3 2 3 3 2.3 2.3 6 2 10 10: 2 5 f. 2 2  2  10  2 10  1 10 10 10 10 10 10 5 2. Bentuk p atau p a b a b Perhatikan penyebut pecahan diatas, yaitu (a + b ) dan (a – b ). Jika kedua bilangan itu dikalikan, diperoleh (a + b )(a – b ) = a2 – b 2 = a2 – b Jadi dengan hasil diatas, kita dapat merasionalkan penyebut dengan mengalikan dengan sekawan penyebut tersebut. Berikut ini diberikan beberapa contoh perkalian bilangan dengan sekawannya. Semakin besar usaha anda, maka semakin besar kemungkinan anda berhasil. 22

Ismail Sitorus Bentuk Pangkat, Akar dan Logaritma (2 + 3 )(2 – 3 ) = 22 – 3 2 = 4 – 3 = 1 (5 – 6 )(5 + 6 ) = 52 – 6 2 = 25 – 6 = 19 ( 7 + 3)( 7 – 3) = 7 2 – 32 = 7 – 9 = –2 (4 – 2 5 )(4 + 2 5 ) = 42 – (2 5 )2 = 16 – 4.5 = 16 – 20 = –4 a. Untuk merasionalkan penyebut pecahan p , pecahan itu dikalikan dengan a b a  b sehingga a b p = p  a b a b a b a b b. Untuk merasionalkan penyebut pecahan p , pecahan itu dikalikan dengan a b a  b sehingga a b p = p  a b a b a b a b Contoh 12 Sederhanakan pecahan-pecahan berikut dengan merasionalkan penyebutnya. a. 2 c. 6 e. 4 3 2 2 74 5 3 b. 5 d. 2 2 32 42 5 Penyelesaian a. 2 = 2  3  2 = 2(3  2) = 2(3  2) = 2(3  2) = 2 (3  2) 3 2 3 2 3 2 2 9 2 77 32  2 b. 5 = 5  3  2 = 5( 3  2) = 5( 3  2) = 5( 3  2) =  5( 3  2) 32 32 32 2 3 4 1  22 3 Semakin besar usaha anda, maka semakin besar kemungkinan anda berhasil. 23

Ismail Sitorus Bentuk Pangkat, Akar dan Logaritma c. 6 = 6  2 7  4 d. 2 2 = 2 2  4  2 5 2 74 2 74 2 74 42 5 42 5 42 5 = 6 (2 7  4) = 2 2 (4  2 5) (2 7)2  42 42  (2 5)2 = 6 (2 7  4) = 2 2 (4  2 5) 4.7 16 16  4.5 = 2 2 (4  2 5) = 6 (2 7  4) 16  20 28 16 = 8 2  4 10 4 = 6 (2 7  4) 12 =  2 2  10 = (2 7  4) = 10  2 2 2 = 72 e. 4 = 4  5  3 5 3 5 3 5 3 = 4( 5  3) 52  2 3 = 4( 5  3) 53 = 4( 5  3) 2 = 2( 5  3) = 2 5  2 3 Latihan 11 Sederhanakanlah pecahan berikut dengan merasionalkan penyebutnya. a. 1 d. 2 g. 4 j. 2 2 3 36 5 3 3 6 b. 15 e. 6 h. 3 k. 2 3 5 2 2 5 5 7 c. 6 f. 3 i. 9 l. 2 3 2 2 2 7 5 72 6 Semakin besar usaha anda, maka semakin besar kemungkinan anda berhasil. 24

Ismail Sitorus Bentuk Pangkat, Akar dan Logaritma E. Pangkat Pecahan Sampai sejauh ini, kita baru mempelajari defenisi dan sifat-sifat bilangan berpangkat bilangan bulat, baik bulat positif, nol maupun bulat negative. 12 1 Bagaimanakah defenisi bilangan berpangkat pecahan seperti 2 2 , 4 3 , dan a 4 ? Untuk mengetahui defenisi bilangan berpangkat pecahan, mari kita simak beberapa uraian berikut. Misalkan 1. 2 = 2a ( 2 )2 = (2a)2 → untuk menghilangkan bentuk akar, maka kedua ruas pangkatkan 2 2 = 22a → 2 2 = 2 × 2 = 2 dan (2a)2 = 2a × 2 = 22a 21 = 22a → 2 artinya 21 (biasanya pangkat 1 tidak perlu dituliskan) 1 = 2a → jika bilangan pokoknya sama maka pangkatnya juga harus sama 2a = 1 a = 1 → ruas kiri dan ruas kanan masing-masing dibagi 2 2 1 Jadi, 2 = 2 2 2. a × a = a 11 → ( a = 2 a1 ) a2 × a2 = a a11 =a 22 =a a1 1 Jadi, a = a 2 3. 3 a × 3 a × 3 a = a 111 a3×a3×a3 = a a111 =a 333 =a a1 1 Jadi, 3 a = a 3 Secara umum dapat dikatakan bahwa 1 ma = am Dengan menggunakan sifat (am)n = am × n, dapat kita tentukan bahwa m an = (a n ) 1 = n m am n Jadi, m an = a m Contoh 13 Semakin besar usaha anda, maka semakin besar kemungkinan anda berhasil. 25

Ismail Sitorus Bentuk Pangkat, Akar dan Logaritma 1. Tentukan nilai dari: 1 2 b. 1 3 d. 49 2 a. 8 3 49 2 c. 81 4 Penyelesaian 2 2 22 atau 8 3 = 3 82 a. 8 3 = (3 8) 2 = (2)2 = 4 atau 8 3 = (23 ) 3 = 3 64 = 4 (karna 4 × 4 × 4 = 64) 3 2 =2 3 = 22 =4 1 1 1 b. 49 2 = 2 49 = 7 atau 49 2 = (7 2 ) 2 2 1 =7 2 = 71 =7 c. 3 1 1  1 1 ( 4 81  3 karna 3×3×3×3 = 81) (4 81)3 33 27 81 4  3 814 atau 3 1 1  1  1 1 3 33 27 81 4  3 (34 ) 4 4 3 814 34 1 1  1 1 49 7 d. 49 2  1 49 2 atau 1 1  1 1 1 1  49 2  1 21 7 49 2 (7 2 ) 2 7 2 2. Nyatakan bilangan-bilangan berikut dalam bentuk m an . 4 3 5 7 a. 6 5 b. 5 4 c. 7 8 d. 1012 Penyelesaian 26 Semakin besar usaha anda, maka semakin besar kemungkinan anda berhasil.

Ismail Sitorus Bentuk Pangkat, Akar dan Logaritma 4 3 5 7 a. 6 5 = 5 64 b. 5 4 = 4 53 c. 7 8 = 8 75 d. 1012 = 12 a7 3. Nyatakan bilangan-bilangan berikut dalam bilangan berpangkat dengan bilangan pokok 2. a. 6 32 b. 5 16 3 1 Penyelesaian d. 9 c. 4 7 8 5 c. 33 2 3 6 a. 6 32 = 6 25 = 2 6 4 7 = (22 ) 7 =2 7 = 27 4 d. 1 1 =9 2 3 = 3 1 =9 b. 5 16 = 5 24 = 2 5 9 29 =2 3 23 8 Latihan 11 4 2 1. Hitunglah nilai dari: d. (8) 3 g. (64) 3 1 4 1 a. 16 4 e. 8 3 h. (216) 3 1 1 5 b. 9 2 f. (125) 3 i. 256 8 3 c. 4 2 2. Nyatakan bilangan-bilangan berikut dalam bentuk m an 2 3 2 a. 3 3 c. 6 7 e. 32 5 3 4 3 b. 4 8 d. 8 5 f. 2435 3. Nyatakan bilangan-bilangan berikut dalam bilangan berpangkat dengan bilangan pokok 3. a. 3 9 c. 6 81 e. 243 b. 4 27 d. 3 1 f. 7 1 9 243 4. Hitunglah nilai P. 11 a. P = 3a 2 b 4 , jika diketahui a = 25 dan b = 81 b. P = 2m  1 n 2 , jika diketahui m = 256 dan n = 4 4 Semakin besar usaha anda, maka semakin besar kemungkinan anda berhasil. 27

Ismail Sitorus Bentuk Pangkat, Akar dan Logaritma c. P = 16 , jika diketahui k = 16 dan l = 6 3 k 4l2 d. P = x 2 , jika diketahui x = 4 dan y = 16 13 x2 y4 e. P = 4 a 3 , jika diketahui a = 81 dan b = 125 3 b2 1.3 LOGARITMA A. Logaritma Sebagai Invers dari Perpangkatan Bilangan-bilangan seperti 1000, 100, dan 10 dapat dinyatakan sebagai perpangkatan dari 10, yaitu 10x, dimana x adalah bilangan real positif nol atau negatif. 1 1000 = 103; 100 = 102; 0,1 = 10-1; 0,01 = 10-2; 0,001 = 10-3; 10 = 10 2 . Misalkan ax = y, maka x adalah pangkat dari a, sedangkan terhadap y, maka x adalah logaritma dengan bilangan pokok a. Jadi, untuk ax = y maka x adalah logaritma dari y dengan bilangan pokok a dinyatakan alog y = x, sehingga, ax = y → alog y = x Dari uraian diatas dapat dikatakan bahwa logaritma adalah invers (kebalikan) dari perpangkatan. Contoh 14 Nyatakan perpangkatan berikut dalam bentuk logaritma. a. 23 = 8 b. 104 = 10.000 c. 42 = 16 d. bx = y Penyelesaian a. 23 = 8 → 2log 8 = 3 c. 42 = 16 → 4log 16 = 2 b. 104 = 10.000 → log 10.000 = 4 d. bx = y → blog y = x Perhatikan soal b. 28 Semakin besar usaha anda, maka semakin besar kemungkinan anda berhasil.

Ismail Sitorus Bentuk Pangkat, Akar dan Logaritma 104 = 10.000 seharusnya ditulis dalam bentuk logaritma menjadi 10log 10.000 = 4 Angka 10 dibelakang logaritma merupakan bilangan pokok, jika bilangan pokoknya 10, maka tidak perlu ditulis sehingga penulisannya menjadi 10log 10.000 = 4. Contoh 15 Nyatakan logaritma berikut dalam bentuk perpangkatan. a. 3log 9 = 2 b. 6log 36 = 2 c. 3log 1 = -2 d. 8log 2 = 1 9 3 Penyelesaian a. 3log 9 = 2 → 23 = 9 c. 3log 1 = -2 → 3-2 = 1 b. 6log 36 = 2 → 62 = 36 99 d. 8log 2 = 1 1 3 → 83 = 2 Latihan 12 1. Nyatakan bentuk-bentuk berikut dalam bentuk logaritma. a. 52 = 25 d. 34 = 81 1 g. 64 2 = 8 b. 25 = 32 e. 8-1 = 1 h. 53 = 125 c. 43 = 64 8 i. 106 = 1.000.000 f. 43 = 64 2. Nyatakan bentuk-bentuk berikut menjadi bentuk perpangkatan. a. 3log 27 = 3 1 g. 8log 4 = 2 b. 7log 49 = 2 3 d. 2 log 64 = -2 h. 10log 100 = 2 e. 2log 64 = 6 c. 2log 1 = -4 f. 9log 81 = 2 i. alog b = c 16 B. Sifat-sifat Logaritma Pada pembahasan yang lalu, kita sudah mengetahui bahwa logaritma adalah invers (kebalikan) dari perpangkatan. Pada pembahasan ini kita akan membahas tentang sifat-sifat logaritma, yaitu sebagai berikut. Semakin besar usaha anda, maka semakin besar kemungkinan anda berhasil. 29

Ismail Sitorus Bentuk Pangkat, Akar dan Logaritma Untuk a > 0, a ≠ 1, b > 0 dan c > 0, berlaku; 1. alog a = 1 6. alog b = alog b – alog c 2. alog an = n c 3. alog bn = n alog b 7. alog b × blog c = alog c 8. alog b = 1 b log a 4. am log bn = m alog b 9. alog b = – alog c n cb 5. alog b×c = alog b + alog c 10. alog b = p log a p log a 1. Sifat 1 : alog a = 1 b. 3log 3 = 1 c. 7log 7 = 1 Contoh 16 a. 2log 2 = 1 2. Sifat 2 : alog an = n b. 9log 95 = 5 c. 2log 16 = 2log 24 = 4 Contoh 17 a. 3log 32 = 2 3. Sifat 3 : alog bn = n alog b Contoh 18 a. 3log 32 = 2.3log 3 = 2.1 = 2 b. 2log 32 = 2.2log 3 c. 3log 25 = 3log 52 = 2.3log 5 d. 6log 1 = 6log 1 = 6log 2-3 = -36log 2 8 23 4. Sifat 4 : am log bn = m alog b n Contoh 19 a. 23 log 52 = 2 2log 5 3 b. 9log 16 = 32 log 24 = 4 3log 2 = 2 3log 2 2 c. 2 5log 4 = 5log 42 = 5log 16 Semakin besar usaha anda, maka semakin besar kemungkinan anda berhasil. 30

Ismail Sitorus Bentuk Pangkat, Akar dan Logaritma 5. alog b×c = alog b + alog c Contoh 20 a. 2log 3×2 = 2log 3 + 2log 2 = 2log 3 + 1 b. 6log 4 + 6log 9 = 6log 4×9 = 6log 36 = 6log 62 = 2 6. Sifat 6 ; alog b = alog b – alog c c Contoh 21 a. 5log 3 = 5log 3 – 5log 25 = 5log 3 – 5log 52 = 5log 3 – 2 25 b. 3log 54 – 3log 2 = 3log 54 = 3log 27 = 3log 33 = 3 2 7. Sifat 7 ; alog b × blog c = alog c Contoh 22 a. 2log 3 × 3log 8 = 2log 8 = 2log 23 = 3 b. 5log 2 × 4log 25 = 5log 2 × 22 log 25 = 5log 2 × 1 2log 25 2 = 5log 2 × 1 2log 25 2 = 1 5log 2 × 2log 25 2 = 1 5log 25 2 = 1 5log 52 2 = 1 . 2 2 =1 8. Sifat 8 ; alog b = 1 31 b log a Contoh 23 a. 2 log 3 = 1 3 log 2 b. 1 = 7log 5 5 log 7 Semakin besar usaha anda, maka semakin besar kemungkinan anda berhasil.

Ismail Sitorus Bentuk Pangkat, Akar dan Logaritma 9. Sifat 9 ; alog b = – alog c cb Contoh 24 a. 3log 7 = – 3log 5 atau – 3log 5 = 3log 7 57 75 b. 6log 10 – 6log 5 = 6log 10 – (– 6log 18 ) 18 5 = 6log 10 + 6log 18 5 = 6log 10 × 18 5 = 6log 10 × 18 5 = 6log 2 × 18 = 6log 36 = 6log 62 =2 10. Sifat 10 ; alog b = p log a p log a Contoh 25 a. 5log 2 = 2 log 2 = 1 2 log 5 2 log 5 bilangan pokok 2 dapat diganti dengan bilangan berapapun, ditulis sesuai dengan angka yang dibutuhkan, jadi bilangan pokoknya boleh 2, 3, 4, dan seterusnya. b. 3log 6 = log 6 = 2 log 6 = 3 log 6 = 4 log 6 = 5 log 6 = 6 log 6 dst. log 3 2 log 3 3 log 3 4 log 3 5 log 3 6 log 3 Contoh 26 1. Jika 4log 3 = a, tentukan nilai logaritma berikut ini dalam a. a. 4log 9 b. 16log 27 c. 9log 4 Penyelesaian Semua bentuk logaritma pada soal harus diubah kedalam bentuk 4log 3. a. 4log 9 = 4log 32 → 9 harus diubah menjadi 32 agar didapatbentuk 4log 3 = 2 4log 3 → 4log 3 diganti dengan a, karna 4log 3 = a = 2a Semakin besar usaha anda, maka semakin besar kemungkinan anda berhasil. 32

Ismail Sitorus Bentuk Pangkat, Akar dan Logaritma b. 16log 27 = 42 log 33 → 16 diubah menjadi 42 dan 27 diubah menjadi 33 = 3 4log 3 → 3 didapat dari sifat 4 ; am log bn = m alog b 2 n 2 → 4log 3 diganti dengan a, karna 4log 3 = a = 3a → 1 didapat dari sifat 4 ; am log bn = m alog b 2 2 n = 3a → 1 didapat sifat 8 ; alog b = 1 2 b log a 4 log 3 c. 9log 4 = 32 log 4 (bentuk 3log 4 harus diubah menjadi 4log 3) = 1 3log 4 2 = 1. 1 2 4 log 3 = 1.1 2a =1 2a 2. Jika 7log 2 = a dan 2log 3 = b, maka 6log 98 = …. (soal pilihan berganda) a. a c. a  2 e. a  2 a  b a(b 1) b(a 1) b. a  2 d. a 1 b 1 b2 Penyelesaian Ket: bentuk 6log 98 harus diubah sehingga mengandung 7log 2 dan 2log 3 6log 98 = 6log 49 × 2 Diketahui : 7log 2 = a dan 2log 3 = b = 6log 49 + 6log 2 6log 7 dan 6log 2 diubah menjadi = 6log 72 + 6log 2 1 dan 1 (sifat 8; alog b = 1 ) = 2. 6log 7 + 6log 2 7 log 6 2 log 6 b log a Karna bilangan pokok yang diinginkan = 2 1  1 adalah 7 dan 2. 7 log 6 2 log 6 =21 7log 3 = 7log 2 × 2log 3 = a × b atau ab 7 log 3 2 2 log 3 2 (sifat 7; alog b × blog c = alog c) =21 7 log 3  7 log 2 2 log 3  2log 2 = 2 1 ab  a b 1 Semakin besar usaha anda, maka semakin besar kemungkinan anda berhasil. 33

Ismail Sitorus Bentuk Pangkat, Akar dan Logaritma = 2  1 a Untuk menjumlahkan pecahan syaratnya samakan penyebut, jadi 1  a  a ab  a b 1 a b 1 a ab  a =2a ab  a ab  a = 2a a(b + 1) = ab + a ab  a = a  2 , jawabannya adalah c a(b 1) Latihan 13 j. 8log 16 1. Tentukan nilai dari k. 9log 27 a. 3log 9 b. 2log 8 l. 25log 125 c. 5log 125 m. 32log 8 d. 11log 121 e. 8log 1 1 64 n. 3 log 9 f. 3log 81 1 g. 6log 1 o. 4 log 8 h. 16log 1 1 16 p. 9 log 27 q. 2 log 32 2. Tentukan nilai dari a. 6log 9 + 6log 4 l. (4log 18 – 4log 2) × 3log 64 m. 3log 7 – 3log 27 + 3log 9 – 3log 63 b. 2log 1 + 2log 64 8 n. 2log 48 + 5log 50 – 2log 3 – 5log 2 o. 9log 64 × 25log 27 × 16log 25 c. 7log 98 – 7log 2 p. 3log 15 + 3log 6 – 3log 10 d. 5log 1.000 – 5log 8 q. 25log 27 × 9log 5 e. 4log 32 + 4 log 8 r. 3log 2 × 2log 54 – 3log 2 f. 6log 42 – 6log 63 + 6log 9 s. 6log 9 + 6log 8 – 6log 2 g. 2log 16 + 5log 5 – 3log 27 t. 2log 3 × 4log 8 × 3log 4 h. 8log 2 + 8log 32 u. 2log 12 – 2log 6 + 2log 4 i. 2log 6 - 1 . 2log 3 v. 6log 2 + 6log 9 × 3log 108 2 j. 5log 100 – 2.5log 2 k. 2log 6 × 6log 32 Semakin besar usaha anda, maka semakin besar kemungkinan anda berhasil. 34

Ismail Sitorus Bentuk Pangkat, Akar dan Logaritma 3. Jika 2log 5 = p, buktikan bahwa 4log 5 = 1 p. 2 4. Jika 8log 9 = b, buktikan bahwa 4log 9 = 3b. 5. Jika 3log 5 = 3m, buktikan bahwa 9log 15 = 1  3m 2 6. Jika 2log 3 = m dan 3log 7 = n, tunjukkan bahwa 14log 9 = 2m nm 1 7. Jika 3log 2 = x dan 2log 5 = y, tunujkkan bahwa 5log 15 = xy 1 xy Semakin besar usaha anda, maka semakin besar kemungkinan anda berhasil. 35

Ismail Sitorus Bentuk Pangkat, Akar dan Logaritma 1. Bentuk 3p4 × 5p6 sama dengan …. a. 15p10 c. 15p24 e. 15p-2 b. 8p10 d. 8p24 2. Bentuk sederhana dari 6 p4q2r1 adalah …. 3 pq3r2 a. 2 p5q c. 2 p3q5 e. 2 p3q5  r3 r3 r3 b. 3 p3q5r d. 3 p5qr3 3. (4a3) : 2a2 = …. c. 4a3 e. 2a3 a. 2a4 d. 8a4 b. 4a3 4.  m2 3   n6 2 = …. n3 m3 a. 1 c. n e. n3 n2 d. n2 b. 1 n 5. (3 p2q3)2 = …. c. 81p e. 81q (32 p1q2 )3 d. 9q a. 27p b. 81p q 6. Bentuk p-3 × q2 × s-4 dapat ditulis tanpa pangkat negatif menjadi …. a. q2 c. q e. p3q2s4 ( ps)7 p3s2 b. q2 d. p2s4 p3s4 q2 Semakin besar usaha anda, maka semakin besar kemungkinan anda berhasil. 36

Ismail Sitorus Bentuk Pangkat, Akar dan Logaritma 2 e. b a 7. Bentuk  a b1 3  3 dapat disederhanakan menjadi …. 2  a1 b 3   2  a. b c. ab a d. a b b. a b 8. Jika a ≠ 0, maka (2a)3 (2a) 3 = …. 2 1 (16a4 )3 a. -22a c. -2a2 e. 22a b. -2a d. 2a2 e. 218 9. Bentuk sederhana dari 23 × (22)3 adalah …. a. 27 c. 29 b. 28 d. 212 2   1 2  3  = …. 1253 10. Nilai dari 23 a. 1 c. 4 e. 16 b. 2 d. 8 11. Jika a = 27 dan b = 32, maka nilai dari 3( a  1 )  4b 2 adalah …. 3 3 a. -25 c. 0 e. 25 b. -16 d. 16 12. Bentuk paling sederhana dari 4p3q-8r5 × p-5q3r-4 adalah …. a. 4p-2q-5r-2 c. 4r e. 4 p2q5 p2q5r b. 4 p2q5 d. 4p2q5r r 13. Jika penyebut bilangan 6 dirasionalkan, maka penyebutnya menjadi …. 18 a. 2 c. 6 e. 2 6 b. 3 d. 2 3 14. Hasil kali (3 + 2 3 )(3 – 2 3 ) sama dengan …. a. -7 c. -3 e. 3 b. -5 d. 1 Semakin besar usaha anda, maka semakin besar kemungkinan anda berhasil. 37

Ismail Sitorus Bentuk Pangkat, Akar dan Logaritma 15. Jika m = 3 5 +2 3 dan n = 3 5 – 2 3 , maka nilai m × n adalah …. a. -23 b. 23 c. 9 5 – 4 3 e. 33 – 12 15 d. 9 5 – 12 15 + 4 3 16. 75  2 12  27 = …. c. 4 3 e. 6 3 a. 2 3 d. 5 3 b. 3 3 17. ( 7  2)( 7  2) = …. c. 7 e. 2 2 a. 2 d. 2 7 b. 5 18. Jika a = (2 + 50 ), b = (2 + 18 ) dan c = (7 – 2 32 ) maka bentuk paling sederhana dari (a + b – c) sama dengan …. a. 6 c. 2 e. 12 2 b. 2 2 d. 4 2 19. Bentuk 13 sama dengan …. 4 3 a. 13(4 + 3 ) c. 13 (4 + 3 ) e. (4 – 3 ) b. 13(4 – 3 ) 7 d. (4 + 3 ) 20. Jika penyebut pecahan 4 dirasionalkan, maka bentuknya menjadi …. 5 3 a. 2 5 + 3 c. 2 5 – 3 e. 2 2 b. 2 5 + 2 3 d. 2 5 – 2 3 21. Bentuk sederhana dari 4 adalah …. 3 5 a. 3 5 c. 3 + 5 e. 3 – 5 b. 4 + 5 d. 4 – 5 22. Dengan merasionalkan penyebut, bentuk sederhana dari 4 adalah …. 3  11 a. -2(3 + 11 ) c. -2(3 – 11 ) e. 2(3 + 11 ) b. 4(3 – 11 ) d. -4(3 – 11 ) Semakin besar usaha anda, maka semakin besar kemungkinan anda berhasil. 38

Ismail Sitorus 80  5  125 adalah …. Bentuk Pangkat, Akar dan Logaritma c. 6 5 23. Bentuk sederhana dari d. 8 5 e. 10 5 a. 2 5 b. 4 5 24. Bentuk sederhana dari 10 adalah …. 35 a. 1 5 c. 2 5 e. 3 5 5 3 10 b. 1 5 d. 5 5 e. 6 + 2 6 3 3 25. Bentuk sederhana dari 3( 8  12) adalah…. a. 6 – 6 c. 6 b. 6 – 2 6 d. 6 + 6 26. Bentuk sederhana dari 20  2 45  125 adalah …. a. 5 c. 3 5 e. 5 5 b. 2 5 d. 4 5 27. Bentuk sederhana dari 3 …. 3 7 a. 12 – 7 c. 4 7 – 12 e. 4 7 – 6 b. 6 – 2 7 d. 2 7 – 16 28. Bentuk sederhana dari 27  3 12  2 75 adalah …. a. 3 3 c. 6 3 e. 8 3 b. 4 3 d. 7 3 29. Bentuk sederhana dari 2 2(3 6  12) adalah …. a. 12 3 – 4 6 c. 8 10 e. 8 6 b. 12 3 + 4 6 d. 8 3 30. Bentuk sederhana dari 5 adalah …. 2 23 a. 10 + 15 2 c. 15 – 10 2 e. 2 – 3 2 b. 15 + 10 2 d. 10 – 15 2 Semakin besar usaha anda, maka semakin besar kemungkinan anda berhasil. 39

Ismail Sitorus Bentuk Pangkat, Akar dan Logaritma 31. Bentuk sederhana dari 3 32  2 50  72 adalah …. a. 6 2 c. 10 2 e. 14 2 b. 8 2 d. 12 2 32. Bentuk sederhana dari 2 12  27  3 48 adalah …. a. 3 3 c. 5 3 e. -5 3 b. 4 3 d. -4 3 33. Bentuk sederhana dari 3 adalah …. e. 6 + 3 6 3 a. -(3 + 6 ) b. -(3 – 6 ) c. 3 + 6 d. 6 – 3 34. Bentuk sederhana dari 2 2 ( 12  3 27) adalah …. a. 12 6 c. 14 6 e. 16 6 b. -12 6 d. -14 6 35. Bentuk sederhana dari 2 150  5 54  7 96 adalah …. a. -43 6 c. -33 6 e. -23 6 b. 43 6 d. 33 6 36. Nilai dari 3log 2 × 2log 3 – 2log 1 adalah …. 16 a. -5 c. 3 e. 7 b. -3 d. 5 37. Nilai dari 4log 3 × 3log 64 + 3log 1 adalah …. 27 a. 0 c. 3 e. 6 b. 1 d. 5 38. Nilai dari 6log 4 + 6log 9 – 3log 81 adalah …. e. -2 a. 4 c. -3 b. 3 d. 2 39. Nilai dari (3log 36 – 3log 4) × 2log 8 adalah …. e. 10 a. 2 c. 6 b. 4 d. 8 40. Nilai dari 2log 9 × 3log 4 + 2log 1 adalah …. 64 a. 0 c. 4 e. -2 b. 2 d. -4 Semakin besar usaha anda, maka semakin besar kemungkinan anda berhasil. 40

Ismail Sitorus Bentuk Pangkat, Akar dan Logaritma 41. Jika 2log 3 = p, maka 3log 4 = …. a. p c. 2p e. 5 2 p b. 2 d. 1 p 2p 42. Jika 2log 7 = a, maka 2log 49 = …. a. 2a c. 2 e. 3a a b. 1 d. a 2a 2 43. Jika 3log 8 = n, maka 3log 4 = …. a. 3n c. 2n e. n 3 2 b. n d. 2n 3 44. Jika 4log 3 = m, maka 4log 1 …. 9 a. 1 – 2m c. 1 e. 2m 2m b. - 1 d. -2m 2m 45. Jika 2log 5 = b, maka 5log 8 = …. a. 3b c. 1 e. 3 3b b b. -3b d. b 3 46. Nilai dari 2log 6 – 2log 24 + 3log 27 adalah …. e. -2 a. 0 c. 2 b. 1 d. -1 47. Nilai dari 2 2log 3 × 3log 4 – 3log 1 adalah …. 27 a. 1 c. 3 e. 5 b. 2 d. 4 48. Jika 2log 7 = p, maka 2log 14 = …. a. 1 + p c. 2p e. p 2 b. 2 + p d. 2 p 49. Nilai dari 2log 3 + 2log 48 – 3log 9 = …. e. -5 a. 3 c. 6 b. 4 d. -6 Semakin besar usaha anda, maka semakin besar kemungkinan anda berhasil. 41

Ismail Sitorus Bentuk Pangkat, Akar dan Logaritma 50. jika 2log 9 = a, maka 2log 27 = …. a. 3a c. 3a e. 3 2 2a b. 2a d. 2a 3 51. Hasil dari (2 2  6) ( 2  6) = …. UN 2009 dan UN 2010 Matematika IPS a. 2(1 – 2 ) c. 2( 3 – 1) e. 4(2 3 + 1) b. 2(2 – 2 ) d. 3( 3 – 1) UN 2009 Matematika IPS 52. Diketahui m = 16 dan n = 27. Nilai 3 2 = …. e. 72 m 4 .n 3 a. -72 c. 6 9 b. 9 d. 9 64 8 53. Diketahui 2log 3 = x, dan 2log 5 = y maka 4log 45 adalah …. UN 2009 Matematika IPS a. 2x + y c. 1 (2x + y) e. 1 (2x – y) 2 2 b. x + y d. 1 (x + y) 2 54. Hasil dari 3log 5. 5 log 9  8log 2 = …. UN 2010 Matematika IPA 2log 12  2log 3 a. 4 b. 7 c. 5 d. 13 e. 26 6 6 3 6 6 55 UN 2010 Matematika IPA 55. Bentuk sederhana dari 212 .126 = …. 31 84 .63 2 1 2 2 3 1 3 3 2 a. ( ) 2 c. ( ) 3 e. ( ) 2 2 1 3 1 3 2 b. ( ) 3 d. ( ) 3 56. Bentuk sederhana dari 4(1 2)(1 2) adalah …. UN 2010 Matematika IPA 32 2 e. -12 – 8 2 a. 12 + 2 c. -12 + 2 b. -12 + 8 2 d. -12 – 2 57. Bentuk sederhana dari (m2)2 . n5 = …. UN 2010 Matematika IPS m5 . n4 a. m b. mn c. n d. m2n e. m2 n m n Semakin besar usaha anda, maka semakin besar kemungkinan anda berhasil. 42

Ismail Sitorus Bentuk Pangkat, Akar dan Logaritma 58. Nilai dari 1  5log 4  2log 1  (5log 25)2 = …. UN 2010 Matematika IPS 8 2 log 5 e. -12 a. 24 b. 12 c. 8 d. -4 59. Bentuk Sederhana dari (5 3  7 2)(6 3  4 2) adalah …. UN 2011 Matematika IPS a. 22 – 24 3 c. 22 + 34 6 e. 146 + 22 6 b. 34 – 22 3 d. 34 + 22 6 60. Nilai dari 9log 25. 5log 2  3log 54 = …. UN 2011 Matematika IPS a. -3 b. -1 c. 0 d. 2 e. 3 Semakin besar usaha anda, maka semakin besar kemungkinan anda berhasil. 43