ใบความรู้ประกอบการสอน_เรื่อง_สมบัติของจำนวนเต็มและการนำสมบัติของจำนวนเต็มไปใช้

1. สมบัติเกีย่ วกบั การบวกและการคูณจานวนเต็ม 1.1 สมบัติการสลบั ที่ 1) เม่ือมีจานวนเตม็ สองจานวนบวกกนั เราสามารถสลับทีร่ ะหวา่ งตวั ต้ังและตวั บวกไดโ้ ดยที่ ผลลัพธ์ยังคงเท่ากนั เช่น 3 +(5) = (5) + 3 = 2 น่ันคอื ถา้ a และ b แทนจานวนเตม็ ใด ๆ แลว้ a + b = b + a สมบัตินเ้ี รียกว่า สมบตั กิ ารสลับท่สี าหรบั การบวก 2) เมื่อมจี านวนเตม็ สองจานวนคูณกัน เราสามารถสลับทร่ี ะหว่างตวั ตั้งและตัวคูณได้โดยทผี่ ลลพั ธ์ ยังคงเท่ากนั เช่น 8  (9) = (9)  8 = 72 นั่นคอื ถา้ a และ b แทนจานวนเต็มใด ๆ แลว้ a  b = b  a สมบัตินีเ้ รียกว่า สมบตั กิ าร สลับท่สี าหรบั การคณู 1.2 สมบตั กิ ารเปล่ียนหมู่ 1) เมอ่ื มีจานวนเต็มสามจานวนบวกกัน เราสามารถบวกจานวนเต็มค่แู รกหรือคูห่ ลงั ก็ได้ โดย ทีผ่ ลลัพธ์สุดท้ายยงั คงเทา่ กัน เชน่ [(5) +7] + (10) = (5) + [7 + (10)] = 8 น่ันคอื ถ้า a, b และ c แทนจานวนเตม็ ใด ๆ แล้ว ( a + b) + c = a + ( b + c) สมบตั นิ เ้ี รียกว่า สมบตั ิการเปลยี่ นหมสู่ าหรับการบวก 2) เมอ่ื มีจานวนเต็มสามจานวนคูณกัน เราสามารถคณู จานวนเตม็ คู่แรกหรอื คหู่ ลังกไ็ ด้ โดยที่ ผลลพั ธส์ ดุ ทา้ ยยงั คงเท่ากัน เช่น [(-12) (-11)]  3 = (-12)  [(-11) 3 ] = 396 นัน่ คือ ถา้ a, b และ c แทนจานวนเตม็ ใด ๆ แล้ว ( a  b)  c = a  ( b  c) สมบัตนิ เี้ รียกว่า สมบตั ิการเปลี่ยนหมู่สาหรับการคูณ

1.3 สมบตั กิ ารแจกแจง สมบัติการแจกแจง เปน็ สมบัตทิ แี่ สดงความเก่ยี วข้องระหว่างการบวกและการคณู ที่กลา่ ว วา่ ถา้ a , b และ c แทนจานวนเต็มใด ๆ แลว้ a  (b + c) = (a  b) + ( a  c) และ (b + c)  a = (b a) + (ca) เช่น (7) [( 4) +9] = [(7) ( 4)] + [(7) 9] =28 + (63) = 35 [( 4) +9] (7) = [( 4) (7)]+[ 9(7] = 35 สมบัติของหนง่ึ และศนู ย์ 1. สมบัตขิ องหนึ่ง 1) การคูณจานวนใด ๆ ดว้ ยหน่ึงหรอื คณู หน่งึ ด้วยจานวนใด ๆ จะไดผ้ ลคูณเทา่ กบั จานวนน้ัน เช่น 25  1 = 1  25 = 25 (27) 1 = 1 (27) = 27 น่ันคอื ถา้ a แทนจานวนใดๆ แลว้ a  1 = 1 a = a 2) การหารจานวนใดๆ ด้วยหน่งึ จะไดผ้ ลหารเท่ากับจานวนนนั้ เชน่ 19  19 37  37 1 1 นนั่ คือ ถา้ a แทนจานวนใดๆ แลว้ a  a 1 2. สมบัตขิ องศนู ย์ 1) การบวกจานวนใด ๆ ดว้ ยศูนย์หรือการบวกศูนย์ดว้ ยจานวนใดๆจะได้ผลบวกเทา่ กับจานวน นน้ั เชน่ 3+0=0+3=3 (53) + 0 = 0 + (53) = 53 0+0=0 นนั่ คอื ถ้า a แทนจานวนใด ๆ แลว้ a +0 = 0 + a = a 2) การคูณจานวนใด ๆ ดว้ ยศนู ย์หรือการคูณศนู ยด์ ว้ ยจานวนใดๆจะได้ผลคูณเท่ากับศูนย์ เชน่ 15  0 = 0  15 = 0 (34)  0 = 0 (34) = 0 0  0=0 นัน่ คอื ถ้า a แทนจานวนใด ๆ แลว้ a  0 = 0  a = 0

3) ถ้าหารศนู ยด์ ้วยจานวนใด ๆ ท่ีไมใ่ ช่ศนู ย์ จะได้ผลหารเทา่ กับ ศนู ย์ เชน่ 0  0 21 0  0 27 น่ันคอื ถ้า a แทนจานวนใด ๆ ทไี่ มใ่ ช่ 0 แล้ว 0  0 หมายเหตุ ในทางคณิตศาสตรเ์ ราไมใ่ ช้ 0 เปน็ ตวั หาร นัน่ คือ a a ถา้ a แทนจานวนใด ๆแลว้ 0 ไมม่ คี วามหมายทางคณติ ศาสตร์ 4) ถา้ ผลคูณของจานวนสองจานวนใดเท่ากับศนู ย์ จานวนใด จานวนหน่ึงอยา่ งน้อยหนึ่งจานวนตอ้ ง เปน็ ศนู ย์ กลา่ วคอื ถา้ a และ b แทนจานวนใดๆ และ a b =0 แลว้ จะได้ a = 0 หรอื b = 0 เราสามารถนาสมบัติของจานวนเต็มดังกล่าวขา้ งต้นมาใช้ในการคานวณและในการแกป้ ัญหา ดงั ตวั อย่างต่อไปนี้ ตัวอยา่ งท่ี 1 จงหาผลคูณ (–8)×(–2)×(–10) วธิ ีทา (–8)(–2)(–10) = (–8)×[(–2)(–10) ] = (–8) × (20) = –160 ตอบ –160 ตวั อย่างที่ 2 จงหาผลลพั ธ์ 10a + 12a เมอื่ a แทนจานวนใด ๆ (สมบตั ิการแจกแจง) วธิ ีทา 10a + 12a = (10+12)a = 22a