jak-zdac-mature-nie-lubiac-matematyki-mariusz-kawecki-Helion.pl

helion kopia dla: Jacek Krzywonos jacek.krzywonos@gmail.com ##7#52#aSUZPUk1BVC1FYm9va1BvaW50L0hlbGlvbg==

Jak zdać maturę nie lubiąc matematyki – tylko 20 godzin powtórki do matury. Mariusz Kawecki tylko 20 godzin powtórki do matury wydanie II uzupełnione © Copyright by M. Kawecki 2017 helion kopia dla: Jacek Krzywonos jacek.krzywonos@gmail.com 1 ##7#52#aSUZPUk1BVC1FYm9va1BvaW50L0hlbGlvbg== e99b6b01451b80f5c97505e046bf1c49 e

Jak zdać maturę nie lubiąc matematyki – tylko 20 godzin powtórki do matury. Spis treści Wstęp 4 9 1. Liczby 14 2. Procenty 19 3. Przedziały i wartość bezwględna 23 4. Logarytmy 25 5. Wyrażenia algebraiczne 31 6. Równania liniowe 37 7. Prosta w układzie współrzędnych 40 8. Układy nierówności 45 9. Równania kwadratowe 51 10. Funkcja kwadratowa i jej wykres 56 11. Funkcja kwadratowa w zadaniach 61 12. Nierówności kwadratowe 70 13. Funkcje trygonometryczne 74 14. Własności funkcji 79 15. Ciągi 82 16. Ciąg arytmetyczny i geometryczny w zadaniach 85 17. Planimetria 90 18. Zadania z planimetrii 98 19. Geometria analityczna 102 20. Statystyka, elementy kombinatoryki i rachunek prawdopodobieństwa 21. Dodatek. Matura poziom podstawowa helion kopia dla: Jacek Krzywonos jacek.krzywonos@gmail.com 2 ##7#52#aSUZPUk1BVC1FYm9va1BvaW50L0hlbGlvbg== e99b6b01451b80f5c97505e046bf1c49 e

Jak zdać maturę nie lubiąc matematyki – tylko 20 godzin powtórki do matury. Wstęp Większość uczniów, niestety, nie lubi matematyki, nie rozumie jej i w związku z tym nie zna. Przedmaturalne powtórki odkłada na później, aż w końcu, zwykle w okoli- cach studniówki strach przed maturą z matematyki osiągnie apogeum. Jak zdać ma- turę nie lubiąc matematyki? Przede wszystkim, nie należy zakładać, że nauczymy się całego materiału przez parę miesięcy, skoro nie udało to się w ciągu trzech lub czte- rech lat. Lepiej nauczyć się rzeczy najważniejszych i takich, które najczęściej obecne są w zadaniach maturalnych, niż niepotrzebnie tracić czas na cały, trudny materiał. W tej książce wybrano około 60% materiału z profilu podstawowego, który obecny jest w około 90% zadań maturalnych. Nie znajdziemy tu funkcji wykładniczej, prze- kształceń funkcji, przekształceń płaszczyzny, geometrii przestrzennej i innych trud- niejszych fragmentów programu, których uczeń nie lubiący matematyki i nie znający jej nie nauczy się w trakcie powtórek. Wszystko, co jest w książce da się zrozumieć i da się nauczyć w ciągu 20 lekcji, co zagwarantuje sukces maturalny na poziomie powyżej 40%. Uczeń nie lubiący matematyki męczy się także w trakcie rozwiązywania zadań. Nie ma sensu robić coś na siłę. Lepiej przeczytać przykładowe rozwiązania, podpatrzeć je, niż samemu tracić czas na wyważanie otwartych drzwi. W książce wszystkie przy- kłady mogące wystąpić w zadaniach maturalnych są rozwiązane. Rozwiązania te są zwykle zbliżone do rozumowań uczniowskich, co oznacza, że nie są optymalne ale łatwo przyswajalne. Zadania przedstawione w książce podzielono na dwa rodzaje, typowe problemy sprawdzane w testach maturalnych oraz zadania zaproponowane przez CKE. Sposoby rozwiązań tych ostatnich wielokrotnie różnią się od propozycji CKE i idą w kierunku rozumowań uczniowskich. Do przeczytania książki i nauczenia się tego zakresu materiału wystarczy 20 godzin. Proponowałbym każdego dnia przerobić jedną godzinę. Moje wieloletnie doświadcze- nie uczy, że taki dobór materiału i metoda gwarantują sukces maturalny, czego życzę wszystkim czytelnikom zdającym egzaminy dojrzałości. Chciałbym też prosić wszyst- kich czytelników o przesyłanie uwag i dostrzeżonych błędów na adres: ksiazki2017@gmail.com Mariusz Kawecki helion kopia dla: Jacek Krzywonos jacek.krzywonos@gmail.com 3 ##7#52#aSUZPUk1BVC1FYm9va1BvaW50L0hlbGlvbg== e99b6b01451b80f5c97505e046bf1c49 e

Jak zdać maturę nie lubiąc matematyki – tylko 20 godzin powtórki do matury. Godzina 1 Liczby Liczby naturalne to zbiór liczb postaci N  {0,1, 2,3...} . Czasami mówi się o licz- bach naturalnych dodatnich N  {1, 2,3...} (liczba 0 nie jest dodatnia, nie jest też ujemna). Wśród liczb naturalnych wyróżniamy liczby pierwsze. Liczby pierwsze to takie, które są większe od 1 i dzielą się tylko przez 1 i siebie np. 2, 3, 5, 7, 11... Liczb pierwszych jest nieskończenie wiele. Liczby, które nie są pierwsze oprócz siebie i 1 mają inne dzielniki np. 4  2  2  22 , 6  2 3 , 8  2  2  2  23 , 9  33  32 , 12  2  2 3  22 3... Każdą liczbę naturalną można zapisać jako iloczyn liczb pierw- szych. Procedurę, która to czyni nazywamy rozkładem na czynniki pierwsze. Polega ona na tym, że rozkładaną liczbę dzielimy przez kolejne liczby pierwsze dopóki się da. 120 2 200 2 Liczba 120  2  2  2 35 Liczba 200  2  2  2 55 60 2 100 2 30 2 50 2 15 3 25 5 55 55 1 1 Jeżeli z obu rozłożonych liczb wybierzemy wspólne czynniki pierwsze i je pomnoży- my, to otrzymana liczba będzie dzielnikiem obu wyjściowych i to największym dzielni- kiem. Taką liczbę nazywamy Największym Wspólnym Dzielnikiem: NWD(120, 200)  2  2  2 5  40 Jeżeli do wspólnych czynników dopiszemy z obu liczb te czynniki, które wspólne nie są i pomnożymy je, to otrzymana liczba będzie dzieliła się przez obie wyjściowe i bę- dzie najmniejszą o tej własności. Taką liczbę nazywamy Najmniejszą Wspólna Wielokrotną: NWW (120, 200)  2  2  2 535  600 Dwie liczby a, b dla których NWD(a,b)  1 nazywają się względnie pierwsze np. NWD(7, 20)  1, NWD(30, 49)  1. Sprawdź czy rozumiesz! Policz: NWD(180, 250) i NWW (280,160) . Jeżeli do liczb naturalnych dorzucimy liczby naturalne poprzedzone znakiem minus, otrzymamy liczby całkowite: C  {0,1, 1, 2, 2,3, 3,...} . Ilorazy (dzielenie) liczb cał- kowitych przez siebie tworzą liczby wymierne: W={0,1, 1, 2, 2 / 3,...} . Zauważmy, że 0  0 , 1  1 2  2 to ilorazy liczb całkowitych a więc również liczby wymierne. 21 1 helion kopia dla: Jacek Krzywonos jacek.krzywonos@gmail.com 4 ##7#52#aSUZPUk1BVC1FYm9va1BvaW50L0hlbGlvbg== e99b6b01451b80f5c97505e046bf1c49 e

Jak zdać maturę nie lubiąc matematyki – tylko 20 godzin powtórki do matury. Pozostałe liczby nazywamy liczbami niewymiernymi NW  { 2, 3, 3 4, ...}. Za- uważmy, że liczba  (w przybliżeniu 3,14 ) jest liczbą niewymierną. Często używa- nymi liczbami wymiernymi są ułamki dziesiętne. Jeżeli w zapisie ułamka dziesiętnego ilość cyfr po przecinku jest skończona, to uła- mek dziesiętny nazywa się ułamkiem skończonym np. 2,35. Jeżeli ilość cyfr jest nieskończona i powtarza się w pewnych grupach, to taki ułamek nazywamy ułam- kiem okresowym 2,12121212... = 2, (12). Jeżeli ilość cyfr po przecinku jest nie- skończona i nie powtarza się w pewnych grupach to jest to liczba niewymierna: 2,1234567891011... Sposób zamiany ułamka okresowego na zwykły jest bardzo prosty. Spójrzmy na przykłady: 0, (2)  2 , 0, (3)  3  1 , 0, (15)  15 , 2, (12)  2  0, (12)  2 12  2 4 , 0, (123)  123 , 9 93 99 99 33 999 0, (251)  251 i ogólnie: 0, (abcde)  abcde więc 0, (56471)  56471 999 99999 99999 Sprawdź czy rozumiesz! Zamień na ułamek zwykły: 0, (323) , 3, (25) Oprócz czterech podstawowych działań (dodawanie, odejmowanie, mnożenie i dzie- lenie) liczby możemy potęgować i pierwiastkować. Przypominamy definicję potęgi: a0  1, a1  a an  aa a n a 1  1, an  1 a an Symbol 00 nie jest określony. Liczba, którą podnosimy do potęgi ujemnej musi być różna od 0. Pierwiastkowanie, to w gruncie rzeczy potęgowanie gdyż: 1 n a  an Pierwiastkując pamiętajmy, że pierwiastki stopni parzystych istnieją tylko z liczb dodatnich i same są liczbami dodatnimi. Pierwiastki stopni nieparzystych mogą być wyciągane z liczb ujemnych i są wtedy liczbami ujemnymi. 1 1 1  3 27  3, 1  1 1  2 ,  2 3   3 3  27  2   3   2  8 5  52 , 3 4  43 , (27)3 813  3 81  3 , Potęgi i pierwiastki spełniają podobne prawa, zwróćmy uwagę na grupy (2) i (3). helion kopia dla: Jacek Krzywonos jacek.krzywonos@gmail.com 5 ##7#52#aSUZPUk1BVC1FYm9va1BvaW50L0hlbGlvbg== e99b6b01451b80f5c97505e046bf1c49 e

Jak zdać maturę nie lubiąc matematyki – tylko 20 godzin powtórki do matury. am  an  amn (am )n  amn (n a)m  n am (1) am  amn (3) n a  n b  n a  b (2) an  bn  (a  b)n an na n a an   a n nb b bn  b  Zadania występujące na maturze 1. Ze zbioru liczb  5 , 7, 1.(13), 9, 3 9, 5, 2, 1  wybierz liczby wymierne.  7 2  4  Liczby wymierne w tym zbiorze to: 5 , 1, (13)  113 , 9  3, 5, 1  1 . 7 99 42 2. Pokaż, że liczby 180 i 245 nie są względnie pierwsze. Rozkładamy obie liczby na czynniki: 180 2 245 5 90 2 49 7 45 3 77 15 3 1 55 1 Obie liczby mają wspólny czynnik większy od 1. Ich NWD(180, 245)  5 , zatem nie są względnie pierwsze.  2  3  5      3. Policz:  (1, (7)   3  12  1 .  4 5 7 Przykład pozornie wygląda na skomplikowany ale jak policzymy wartość nawiasu kwadratowego okaże się, że:  (7)   3 2  17   4 2  16  16  0 (1,  4   9  3  9 9   Zatem wartość całego wyrażenia wynosi 0. 4. Policz: 33  274 . 2 95 :  1   81 Zauważmy, że potęgowane liczby same są potęgo 3. Przekształcamy wyrażenie tak, żeby to wykorzystać: 33  274  33  (33 )4  33  312  39  327 310 : 38 318 95 :  1 2 (32 )5 :  1 2  81   34  helion kopia dla: Jacek Krzywonos jacek.krzywonos@gmail.com 6 ##7#52#aSUZPUk1BVC1FYm9va1BvaW50L0hlbGlvbg== e99b6b01451b80f5c97505e046bf1c49 e

Jak zdać maturę nie lubiąc matematyki – tylko 20 godzin powtórki do matury. 5. Porównaj liczby: 5300 i 7200 . Zauważmy, że: 5300  53100  (53 )100  125100 i 7200  72100  (72 )100  49100 , więc 5300  7200 . 6. Pomiędzy liczby 3 i 4 wstaw dwie różne liczby wymierne. 77 77 Należy rozszerzyć ułamek, to znaczy licznik i mianownik pomnożyć przez tę samą liczbę większą od 1. Ponieważ mamy wstawić dwie różne liczby pomnóżmy licznik i mianownik przez 3, otrzymamy: 9 i 12 231 231 Między te liczby można wstawić: 10 i 11 231 231 Gdybyśmy mieli wstawić trzy a nie dwie różne liczby, należałoby pomnożyć licznik i mianownik przez 4, dla wstawienia jednej liczby wystarczy pomnożyć przez 2. 7. a) Wyłącz czynnik przed pierwiastek 10 64 . b) Wprowadź czynnik pod pierwiastek 33 2 . a) 6 128  6 27  6 26  2  6 26  6 2  2 6 2 b) 33 2  3 33  2  3 27  2  3 54 8. Usuń niewymierność z mianownika: a) 3 b) 2 c) 3 35 32 3 2 W przykładzie a) licznik i mianownik mnożymy przez sam pierwiastek, w przykładach b) i c) licznik i mianownik mnożymy przez tzw. sprzężenie czyli wyrażenie z mianow- nika ze zmienionym znakiem i korzystamy ze wzoru skróconego mnożenia (a  b)(a  b)  a2  b2 : a) 3  3  5  15  15 3 5 3 5 5 35 15 b) 2  2  3  2  2 3  4  2 3  4  2 3  4 3  2 3  2 3  2 ( 3)2  (2)2 3  4 c) 3  3  3  2  3 3  3 2  3 3  3 2  3 3  3 2 3  2 3  2 3  2 ( 3)2  ( 2)2 32 9. Policz 162  8 . 1 1 256  (24 1    (28 1 1 2 1  22  21  21  1    2 16 2  )2   )2 2   22  (28 )8   helion kopia dla: Jacek Krzywonos jacek.krzywonos@gmail.com 7 ##7#52#aSUZPUk1BVC1FYm9va1BvaW50L0hlbGlvbg== e99b6b01451b80f5c97505e046bf1c49 e

Jak zdać maturę nie lubiąc matematyki – tylko 20 godzin powtórki do matury.  10. Policz 23  2 1,( 3)  3 1 4   1 5 . 814  2   2 1,( 3) 3 1 13  4 0 4  2 93 2 11      23   23  23  1 15  1 5  814  2  (3  2)5  Zadania proponowane przez CKE 11. Wartość wyrażenia 3 4  3 16 jest równa: 8 1 1 C. 21 D. 22 A. 23 B. 22 3 4  3 16  3 4  (16)   3 4  4  4  4  1  21 8 8 8 8 2 12. Odwrotnością liczby 2 2  1  4 jest liczba:  8  3 11 B. 11 C. 11 11 A. 2 2 2 2 22 D. 2 2  1  4 1 4 2 1 8 11 11  8  3  222  3  22 22 22  2 2 D. 212  22 23 11 13. Liczba 3 41  24 163 jest równa: 1 1 1 A. 26 B. 24 C. 23 3 41 1 1  1 1 1  2 1 4  8 3 16  11 24 163 (22 )3  24  (24 )3 23  24 23 2 12  212  212 212  222  222 2 , (2)(22 )2 . Ile róż-  (2)  14. Na tablicy zapisano następujące potęgi: (22 )(22 ) , , nych liczb reprezentują zapisy? A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 (22 )(22 )  (22 )4  28  222 2 (2) 222   (2)(24 )  216  (24 )2  28 (2)(22 )2  (2)24  216 helion kopia dla: Jacek Krzywonos jacek.krzywonos@gmail.com 8 ##7#52#aSUZPUk1BVC1FYm9va1BvaW50L0hlbGlvbg== e99b6b01451b80f5c97505e046bf1c49 e

Jak zdać maturę nie lubiąc matematyki – tylko 20 godzin powtórki do matury. Godzina 2 Procenty Procent to jedna setna 1%  0, 01 . Promil to jedna tysięczna 1%o  0, 001. Jeże- li umiesz liczyć na ułamkach, to umiesz również liczyć procenty. Jeżeli chcesz policzyć 15% ze 120 to znaczy mnożysz 0,15120  18 . Jeżeli cenę towaru zwiększono o 20% a przed podwyżką towar kosztował 250 zł, to teraz kosztuje 250  0, 2  250  300 zł. Jeżeli teraz obniżymy cenę o 20% to nie wrócimy do ceny pierwotnej, gdyż 20% z 300 odejmujemy od 300: 300  0, 2 300  240 zł. Postawmy pytanie o ile procent należy obniżyć cenę, żeby powrócić do ceny wyjściowej 250 zł.? Zauważmy, że nasze pytanie można opisać równaniem: 300  x 300  250  50  x 300  x  50  0,1666...  16, 6% 300 Punkty procentowe to różnica tego samego typu wielkości wyrażanych w procen- tach. Dwa ośrodki badawcze badają jaki procent populacji nosi w zimie czapki uszat- ki. Jeden ośrodek stwierdził, że jest to 15%, drugi, że czapki uszatki nosi 20% popu- lacji. Oba wyniki różnią się o 5 punktów procentowych. Gdybyśmy powiedzieli, że wyniki różnią się o 5%, popełnilibyśmy błąd gdyż: 15%  5% 15%  0,15  0, 05 0,15  0,1575  15, 75% Co oznacza, że drugi ośrodek musiałby stwierdzić, że czapki uszatki nosi 15,75% po- pulacji. W zagadnieniach bankowych ważną rolę odgrywa odróżnienie procentu prostego od procentu składanego. Kwota, którą deponujemy w banku nazywa się kapita- łem. Jeżeli po okresie rozliczeniowym odsetki nie są dopisywane do kapita- łu i w następnym okresie rozliczeniowym nie są od nich naliczane kolejne odsetki, to mamy doczynienia z procentem prostym. Wartość depozytu z ta- kiej lokaty obliczamy zgodnie ze wzorem: W  K (1 p  n) gdzie W to wartość depozytu (to co mamy w banku wraz z kapitałem początkowym), K kapitał początkowy, p procent przypadający na okres obliczeniowy, n ilość okre- sów obliczeniowych. Jeżeli po okresie rozliczeniowym odsetki są dopisywane do kapitału i w następnym okresie rozliczeniowym są od nich naliczane ko- lejne odsetki, to mamy doczynienia z procentem składanym. Wartość depo- zytu przy procencie składanym liczymy ze wzoru: W  K (1 p)n Zwróćmy uwagę, że w obu wypadkach procent p musi przypadać na okres oblicze- niowy n . Przykładowo jeżeli bank proponuje procent składany w wysokości 12% w skali roku a odsetki kapitalizuje kwartalnie to z 1000 zł lokaty otrzymamy po roku helion kopia dla: Jacek Krzywonos jacek.krzywonos@gmail.com 9 ##7#52#aSUZPUk1BVC1FYm9va1BvaW50L0hlbGlvbg== e99b6b01451b80f5c97505e046bf1c49 e

Jak zdać maturę nie lubiąc matematyki – tylko 20 godzin powtórki do matury. kwotę W  1000(1 0, 03)4  1125,51 zł, gdyż p  12% : 4  3% , n  4 (w roku są 4 kwartały). Gdyby bank proponował procent zwykły, to: W  1000(1 0, 03 4)  1120 zł, co oznacza, że lokata przy procencie składanym jest bardziej opłacalna. Sprawdź czy rozumiesz! Który z banków daje lepsze warunki: A, gdzie lokata jest na 5% w skali roku, odsetki kapitalizowane są kwartalnie czy B, gdzie lokata jest na 4% w skali roku a odsetki kapitalizowane są miesięcznie? Zadania występujące na maturze 1. a) Oblicz 120% z liczby 12. b) Jakim procentem liczby 60 jest liczba 100? c) Jaka to liczba, której 2% równa się 25? a) 1, 2 12  14, 4 b) p  60  100  p  100  1, 666...  166, 6% 60 c) 0, 02x  25  x  25  1250 0, 02 2. Za prawidłowe rozwiązanie testu można uzyskać 50 punktów. Jacek uzyskał 45 punktów, Placek 25. O ile procent wynik Jacka był większy od wyniku Placka? O ile punktów procentowych różnią się wyniki Jacka i Placka. 25  p  25  45  p  25  20  p  20  0,8  80% 25 Jacek uzyskał: 45  0,9  90% punktów. 50 Placek uzyskał: 25  0,5  50% punktów. 50 Oba wyniki różnią się o 40 punktów procentowych. 3. Cenę pewnego towaru zwiększono o 10%. Ponieważ nie zanotowano wzrostu sprzedaży nową cenę obniżono o 15%. Po tych operacjach towar kosztuje 233,75 zł. Jaka cena towaru była na początku? x - początkowa cena towaru, stąd równanie: (x  0,1x)  0,15(x  0,1x)  233, 75 1,1x  0,151,1x  233, 75  0,935x  233, 75  x  233, 75  250 zł. 0, 939 4. Jaka to liczba, której 75% jest równe tej liczbie zmniejszonej o 10? x - nieznana liczba, z treści zadania mamy 0, 75x  x 10 , 0, 25x  10 x  10  40 0, 25 helion kopia dla: Jacek Krzywonos jacek.krzywonos@gmail.com 10 ##7#52#aSUZPUk1BVC1FYm9va1BvaW50L0hlbGlvbg== e99b6b01451b80f5c97505e046bf1c49 e

Jak zdać maturę nie lubiąc matematyki – tylko 20 godzin powtórki do matury. 5. Zmieszano 2 kg solanki 10% z 3 kg solanki 20%. Roztwór o jakim stężeniu soli otrzymano? W tego typu zadaniach należy pamiętać, że ilość soli przed zmieszaniem jest równa ilości soli po zmieszaniu roztworów. stąd równanie 0,1 2  0, 2 3  p 5 , gdzie p to stężenie soli otrzymanego roztworu. p  0,1 2  0, 2 3  0,8  0,16  16% 55 6. Ile czystej wody należy dodać do 3 kg solanki 15% aby jej stężenie spadło do 10%? Podobnie jak w zadaniu poprzednim ilość soli przed i po dodaniu wody pozostaje nie- zmienna. Niech x oznacza ilość wody, którą należy dodać do solanki. 0,153  0,1(3  x)  0, 45  0,3  0,1x  0,1x  0,15  x  0,15  1,5 [kg] 0,1 7. Liczba mieszkańców największego miasta w pewnym kraju stanowi 40% pozosta- łej liczby mieszkańców tego kraju. Ile procent mieszkańców kraju stanowi liczba mieszkańców tego miasta? x - liczba mieszkańców kraju, y - liczba mieszkańców największego miasta p - procent mieszkańców kraju, którzy są mieszkańcami największego miasta y  0, 4(x  y)  y  0, 4x  0, 4 y  1, 4 y  0, 4x  y  0, 4  0, 2857  28, 6% x 1, 4 px  y  p  y  28, 6% x 8. Cenę pewnego towaru obniżono dwukrotnie. Za pierwszym razem o 15%, za dru- gim o 20%. O ile procent obniżono cenę towaru po obu obniżkach w stosunku do ceny pierwotnej? x - początkowa cena towaru (x  0,15x)  0,85x - cena towaru po pierwszej obniżce 0,85x  0, 2  0,85x - cena towaru po drugiej obniżce 0,85x  0, 2  0,85x  0, 68x Skoro po obniżkach towar kosztuje 0, 68x , jego cenę obniżono o 0,32 czyli 32%. 9. Po pierwszym roku produkcji nowego modelu samochodu fabryka sprzedała 20000 sztuk. W ciągu następnych 4 lat sprzedaż wzrastała o 10% rocznie. Ile samochodów sprzedała fabryka po piątym roku produkcji? Ile samochodów sprzedała fabryka od początku produkcji? Zgodnie z warunkami zadania można zbudować tabelkę sprzedaży: po I roku po II roku Po III roku Po IV roku Po V roku 29282 Ilość 20000 22000 24200 26620 helion kopia dla: Jacek Krzywonos jacek.krzywonos@gmail.com 11 ##7#52#aSUZPUk1BVC1FYm9va1BvaW50L0hlbGlvbg== e99b6b01451b80f5c97505e046bf1c49 e

Jak zdać maturę nie lubiąc matematyki – tylko 20 godzin powtórki do matury. Łączna ilość = 20000+22000+24200+26620+29282=122102 Po piątym roku produkcji sprzedano 29282 samochodów, łącznie sprzedano 122102 samochodów. 10. Odsetki dwóch kredytów o łącznej wartości 150000 zł wynoszą rocznie 5500 zł. Jeden kredyt został wzięty na 3% w skali roku, drugi na 4%. Oblicz wielkość każdego kredytu. x - wartość pierwszego kredytu, (150000  x) - wartość drugiego kredytu 0, 03x  0, 04(150000  x)  5500  0, 03x  6000  0, 04x  5500 500  0, 01x  x  500  50000 0, 01 Wartość pierwszego kredytu 50000 zł, wartość drugiego kredytu 100000 zł. Zadania proponowane przez CKE 11. Na początku roku akademickiego mężczyźni stanowili 40% wszystkich studen- tów. Na koniec roku liczba wszystkich studentów zmalała o 10% i wówczas okazało się, że mężczyźni stanowią 33 1 % wszystkich studentów. O ile procent zmieniła się 3 liczba mężczyzn na koniec roku w stosunku do liczby mężczyzn na początku roku? x - liczba wszystkich studentów na początku roku p - procent zmiany liczby mężczyzn na koniec roku Liczba mężczyzn na początek roku: 40%x  4 x 10 Liczba mężczyzn na koniec roku: 33 1 % 90%x  1  9 x  3 x 3 3 10 10 4 x  p  3 x  p  3  75% 10 10 4 Liczba mężczyzn na koniec roku stanowi 75% liczby mężczyzn z początku roku, za- tem zmalała o 25% w stosunku do liczby mężczyzn z początku roku. 12. Na lokacie złożono 1000 zł przy rocznej stopie procentowej p% (procent składa- ny). Odsetki naliczane są co kwartał. Po upływie roku wielkość kapitału na lokacie będzie równa: A. 1000 1  4p  B. 1000 1  p 4 C. 1000 1  p  D. 1000 1  p 4 100  100  400  400  Zgodnie ze wzorem na procent składany poprawne jest D, zwróćmy uwagę, że p%  p . 100 13. Dany jest trójkąt o bokach długości a, b, c. Stosunek a:b:c jest równy 3:5:7. Któ- re zdanie jest fałszywe? A. Liczba c jest o 12,5% mniejsza od liczby a+b. helion kopia dla: Jacek Krzywonos jacek.krzywonos@gmail.com 12 ##7#52#aSUZPUk1BVC1FYm9va1BvaW50L0hlbGlvbg== e99b6b01451b80f5c97505e046bf1c49 e

Jak zdać maturę nie lubiąc matematyki – tylko 20 godzin powtórki do matury. B. Liczba a stanowi 20% liczby a+b+c. C. Liczba a stanowi 25% liczby b+c. D. Liczba b to 60% liczby c. Możemy przyjąć a=3, b=5, c=7 wtedy: A. a+b=8, 12,5% z 8 to 1, a+b-1=c, zdanie prawdziwe B. a+b+c=15, 20% z 15 to 3=a, zdanie prawdziwe C. b+c=12, 25% z 12 to 3=a, zdanie prawdziwe D. zdanie fałszywe ponieważ 60% z 7 to 4,2 14. Nominalna stopa oprocentowania lokaty wynosi 3% w stosunku rocznym (bez uwzględnienia podatku). Odsetki kapitalizowane są na koniec każdego kolejnego okresu czteromiesięcznego. Oblicz, jaką kwotę wpłacono na tę lokatę, jeśli na ko- niec ośmiu miesięcy oszczędzania na rachunku lokaty było o 916,56 zł więcej niż przy jej otwarciu. Zwróćmy uwagę, że lokata kapitalizowana jest co cztery miesiące i trwa dwa takie okresy. Stopę procentową roczną należy podzielić przez 3 aby obliczyć stopę procen- tową na okres rozliczeniowy (4 miesiące). x - kwota wpłacona na lokatę, z warunków zadania mamy: x  916, 56  x 1  0, 03 2  x  916,56  x 1, 0201  916,56=0,0201x 3  x  916,56  45600 [zł] 0,0201 15. W pewnej szkole przez trzy kolejne lata zmieniała się liczba uczniów. W pierwszym roku liczba uczniów zmalała i na koniec roku była o 10% mniejsza niż na początku. W drugim roku wzrosła i ukończyło go 20% więcej uczniów niż pierwszy. O ile procent, w stosunku do liczby uczniów kończących drugi rok, zmniejszyła się ich liczba w następnym roku, jeśli na koniec trzeciego roku było tyle samo uczniów co na początku pierwszego? Wynik zaokrąglij do 0,1%. x - liczba uczniów na początku pierwszego roku p - procent zmiany liczby uczniów pomiędzy II i III rokiem Treść zadania można opisać tabelką: Okres Początek I Koniec I roku Koniec II roku Koniec III roku Uczniów x 0, 9 x 0,9x  0, 2  0,9x  1, 08x x 1, 08x  p  x  p  1:1, 08  0,9259  92, 6% Liczba uczniów zmniejszyła się o 7,4% helion kopia dla: Jacek Krzywonos jacek.krzywonos@gmail.com 13 ##7#52#aSUZPUk1BVC1FYm9va1BvaW50L0hlbGlvbg== e99b6b01451b80f5c97505e046bf1c49 e

Jak zdać maturę nie lubiąc matematyki – tylko 20 godzin powtórki do matury. Godzina 3 Przedziały i wartość bezwzględna Przedział o końcach a , b to zbiór liczb leżących między liczbami a , b wraz z tymi liczbami jeżeli przedział jest domknięty lub bez tych liczb jeżeli przedział jest otwarty. (2, 3) to zbiór liczb x spełniających nierówność 2  x  3  1, 4) to zbiór liczb x spełniających nierówność 1  x  4 (2,8  to zbiór liczb x spełniających nierówność 2  x  8  3,5  to zbiór liczb x spełniających nierówność 3  x  5 (, 2) to zbiór liczb x spełniających nierówność x  2  3, ) to zbiór liczb x spełniających nierówność x  3 Na przedziałach można dokonywać działań jak na zbiorach: a)  2,4)  (3,5  Wynikiem jest przedział otwarty (3,4) . b) ( 2,2)  (2,3) Wynikiem jest przedział otwarty ( 2,3) pozbawiony punktu {2}. c) {2,7}  (2,7) Do otwartego przedziału dodano końce. Wynikiem jest przedział domknięty  2,7  . d)  1,2) \\ {0} {2} Najpierw odejmujemy jeden punkt z wnętrza przedziału a następnie dodajemy jeden z jego końców. Wynikiem będzie przedział domknięty  1,2  bez punktu {0}. e) (,3)  (6,0  (3,) helion kopia dla: Jacek Krzywonos jacek.krzywonos@gmail.com 14 ##7#52#aSUZPUk1BVC1FYm9va1BvaW50L0hlbGlvbg== e99b6b01451b80f5c97505e046bf1c49 e

Jak zdać maturę nie lubiąc matematyki – tylko 20 godzin powtórki do matury. Najpierw wykonywany jest iloczyn zbiorów w wyniku, którego uzyskamy przedział otwarty (6,3) , do którego dodajemy przedział (3,) otrzymując przedział otwar- ty (6,) pozbawiony punktu {-3}. Wartość bezwzględna pozbawia liczbę znaku. Wartością bezwzględną z liczby do- datniej jest ta sama liczba. Wartością bezwzględną z liczby o jest liczba 0. Wartością bezwzględną z liczby ujemnej, jest ta liczba pozbawiona znaku minus (a więc liczba dodatnia). x  x, x  0 x, x  0 Sens powyższego zapisu jest następujący. Jeżeli liczba jest równa 0 to jej wartość bezwzględna równa jest 0. Jeżeli liczba jest dodatnia, to wartość bezwzględna nic nie zmienia. Jeżeli liczba jest ujemna, to wartość bezwzględna „poprzedza liczbę dodat- kowym minusem” czyniąc zeń liczbę dodatnią. Wartość bezwzględna liczby jest to po prostu „odrzucenie minusa” jeżeli taki liczba posiada. Wartość bezwzględną liczby interpretujemy na osi liczbowej jako odległość liczby od zera. Równość x  2 oznacza, że x jest liczbą „odległą” od zera o 2, więc x  2 lub x  2 gdyż tylko te dwie liczby położone są na osi w odległości dwa od zera. Ta in- terpretacja okaże się ważna podczas rozwiązywania równań i nierówności. Należy zapamiętać bardzo ważną równość: x2 | x |  ( 2  3)2  2  3   2  3  3  2 Sprawdź czy rozumiesz! Pozbądź się pierwiastków: (3   )2 , ( 2  2)2 Rozwiążmy równanie z wartością bezwzględną 1 x  2 . Metoda jest bardzo krótka i szybko prowadzi do rozwiązania należy jednak pamiętać, że możemy ją stosować tylko do równań postaci ...  k (gdzie k jest liczbą). Meto- dę tę nazywa się żartobliwie „metodą zasłaniania palcem”. Wyobraźmy sobie, że za- słaniamy kciukiem „zawartość” wartości bezwzględnej i pytamy, jakie liczby zasłonię- te kciukiem maja tę własność, że oddalone są od zera o 2? Oczywiście mamy dwie takie liczby 2 i -2. Stąd: 1 x  2  1 x  2 x  1  x  3 Rozwiążmy nierówność z wartością bezwzględną 1 x  2 . W ten sam sposób możemy postąpić rozwiązując nierówność. W przypadku 1 x  2 , „zasłaniając palcem 1 x ” pytamy o liczby, których odległość od zera jest mniejsza helion kopia dla: Jacek Krzywonos jacek.krzywonos@gmail.com 15 ##7#52#aSUZPUk1BVC1FYm9va1BvaW50L0hlbGlvbg== e99b6b01451b80f5c97505e046bf1c49 e

Jak zdać maturę nie lubiąc matematyki – tylko 20 godzin powtórki do matury. niż dwa. Zatem są to liczby, które należą do przedziału (2, 2) , co jest równoznaczne z koniunkcją: 2  1 x i 1 x  2 z czego wynika, że x  3 i 1  x czyli x  (1,3) . W przypadku nierówności w drugą stronę 1 x  3 , „zasłaniając palcem 1 x ” pyta- my o liczby, których odległość od zera jest większa niż dwa. Zatem są to liczby, któ- re należą do sumy przedziałów (  2)  (2, ) , co jest równoznaczne z alternaty- wą: 1 x  2 lub 2  1 x z czego wynika, że 3  x lub x  1 czyli x należy do sumy dwóch przedziałów x  (, 1)  (3, ) . Czasami z budowy równania możemy natychmiast odczytać informację o rozwiąza- niu. Weźmy równanie x  1  2 . Skoro po lewej stronie mamy zawsze wielkość nie- ujemną a po prawej zawsze ujemną, równanie jest sprzeczne. Rozwiązywanie nierówności z wartością bezwzględną ułatwia spostrzeżenie: y  a  y  (a, a) y  b  y  (, b)  (b, ) y  a  y  a, a  y  b  y  (, b    b, ) Warto zwrócić uwagę, że rozwiązaniem nierówności typu ...  k jest przedział skończony o końcach k i k . Rozwiązaniem nierówności typu ...  k jest przedział nieskończony o jednym z końców k lub k . Zadania występujące na maturze 1. Dla przedziałów A  (4, 6  , B   0,8  policz: a) A  B b) A  B c) A \\ B a) (4, 6    0,8   (4,8  b) (4, 6    0,8    0, 6  c) (4, 6  \\  0,8   (4, 0) 2. Opisz w postaci przedziałów zbiory: a) (1,1) {1} b)  2, 4) {4} c) R\\(, 2) . a) (1,1) {1}  (1,1  b)  2, 4) {4}   (przedział jest zbiorem pustym) c) R\\(, 2)  2, ) 3. Wskaż przykłady zbiorów A, B , które spełniają warunki: a) A  B  (2, 4) b) A  B  2, 6  c) A \\ B  (8,12  a) A  B  (2, 4) np. A  (10, 4  , B  (2, 6) helion kopia dla: Jacek Krzywonos jacek.krzywonos@gmail.com 16 ##7#52#aSUZPUk1BVC1FYm9va1BvaW50L0hlbGlvbg== e99b6b01451b80f5c97505e046bf1c49 e

Jak zdać maturę nie lubiąc matematyki – tylko 20 godzin powtórki do matury. b) A  B  2, 6  np. A  2, 4  , B  (0, 6  c) A \\ B  (8,12  np. A  (8, 20  , B  (12,30  4. Podaj najmniejszy przedział o końcach będących liczbami całkowitymi do którego należą liczby: a) 3  3 b) 1 c) 2  3 d) 2  3 2 1 a) 3  3  (1, 2) b) 1  1  2 1  2 1  (2,3) c) 2  3  (3, 4) 2 1 2 1 2 1 d) 2  3  (1, 0) 5. Zapisz w postaci przedziału liczbowego zbiór, dla którego wyrażenie ma sens: a) x  2 b) 1 x c) 1 d) 1 x x2 x a) x  2 ma sens jeżeli x  2  0  x  2  x  2, ) b) 1 x ma sens jeżeli 1 x  0  x  1  x  (,1  c) 1 ma sens jeżeli x  2  0  x  2  x  (2, ) (w mianowniku nie może x2 być 0) d) 1 x ma sens jeżeli 1 x  0  x  1 i x  0  x  1, 0)  (0, ) x 6. Rozwiąż równania: a) 2 x 1  1 b) 1 2x  2 c) x2  4x  4  2 d) x2  6x  9  4 a) 2 x 1  1  x 1  1  x 1  1  x 1   1  x  3  x  1 2 2 2 22 b) 1 2x  2  1 2x  2  1 2x  2  2x  1  2x  3  x   1  x  3 22 c) x2  4x  4  (x  2)2  2  x  2  2  x  2  2  x  2  2  x  4  x  0 d) x2  6x  9  (x  3)2  4  x  3  4  x  3  4  x  3  4  x  1  x  7 2 1 3 7. Policz: a) 3  2  1 3  b) a) 3  2  1 3  ( 3  2)  (1 3)  2 3  3 2 1 3  1 3   1 3  3 1    b) helion kopia dla: Jacek Krzywonos jacek.krzywonos@gmail.com 17 ##7#52#aSUZPUk1BVC1FYm9va1BvaW50L0hlbGlvbg== e99b6b01451b80f5c97505e046bf1c49 e

Jak zdać maturę nie lubiąc matematyki – tylko 20 godzin powtórki do matury. 8. Rozwiąż nierówności: a) 2  x  4 b) x  3  0 c) x 1  2 d) 3  x  1 a) 2  x  4  2  x  4  2  x  4  x  6  x  2  x  (2, 6) b) x  3  0 Liczba, która nie spełnia tej nierówności to -3. Stąd: x  R \\{3} c) x 1  2  x 1  2  x 1  2  x  1  x  3  x  (, 3    1, ) d) 3  x  1  3  x  1  3  x  1  x  2  x  4  x  2, 4  helion kopia dla: Jacek Krzywonos jacek.krzywonos@gmail.com 18 ##7#52#aSUZPUk1BVC1FYm9va1BvaW50L0hlbGlvbg== e99b6b01451b80f5c97505e046bf1c49 e

Jak zdać maturę nie lubiąc matematyki – tylko 20 godzin powtórki do matury. Godzina 4 Logarytmy Logarytmem z liczby b przy podstawie a nazywamy liczbę c wtedy i tylko wtedy gdy a podniesione do potęgi c daje liczbę b . Logarytmy istnieją tylko z liczb dodatnich. Podstawa logarytmu musi być liczbą dodatnią różną od 1. loga b  c  ac  b b0  a 0  a 1 log2 8  3  23  8, log3 81  4  34  81, log 1 16  2   1 2  16 , log1  0  100 1 4  4  Jeżeli nie podano podstawy, to taki logarytm nazywamy dziesiętnym. Zauważmy, że logarytmowanie jest operacją odwrotną do potęgowania. Sprawdź czy rozumiesz! Policz: log2 32 , log4 1, log3 1, log 0, 001 27 Aby sprawnie liczyć logarytmy należy zapamiętać najważniejsze prawa związane z logarytmami. Wszystkie one wynikają z definicji. 1. loga a  1 2. loga 1  0 3. loga xy  loga x  loga y 4. loga x  loga x  loga y y 5. loga xn  n loga x 6. aloga b  b 7. loga b  1 a logb Przy porównywaniu logarytmów należy zapamiętać, że jeżeli podstawy są więk- sze od 1 to zwrot nierówności między logarytmami jest taki sam jak zwrot nierówno- ści między liczbami logarytmowanymi. a  1  loga x  loga y  x  y loga x  loga y  x  y Jeżeli podstawa jest mniejsza od 1 (zawsze większa od zera) to zwrot nierówności między logarytmami jest przeciwny do zwrotu nierówności między liczbami logaryt- mowanymi. 0  a  1  loga x  loga y  x  y loga x  loga y  x  y helion kopia dla: Jacek Krzywonos jacek.krzywonos@gmail.com 19 ##7#52#aSUZPUk1BVC1FYm9va1BvaW50L0hlbGlvbg== e99b6b01451b80f5c97505e046bf1c49 e

Jak zdać maturę nie lubiąc matematyki – tylko 20 godzin powtórki do matury. Zadania występujące na maturze 1. Policz: a) log8 2  log8 32 b) log2 8  log2 32 c) log1 9  log1 27 33  a) log8 2  log8 32  log8 64  x  8x  64  23 x  25  3x  5  x  5 3 b) log2 8  log2 32  log2 8  log2 1  2 32 4 c) log1 9  log1 27  log1 9  log1 1 1 27 3 33 3 3 2. Policzyć: a) 3log3 2  log5 5 b) 2log2 3  log3 3 9 c) 4log4 3  log6 9  a) 3log3 2  log5 5  2 log5 5  log5 2 5  log5 5  1  b) 2log2 3  log3 3 9  3log3 3 9  log3 3 3 9  log3 9  2 c) 4log4 3  log5 25  3 2  6 3. Policz: a) log2 3 log9 4 b) log3 2  log9 4 c) log4 2  log2 9 a) log2 3 log9 4  log2 3 log9 22  2 log2 3 log9 2 2 log 2 3  1 9  2 log2 3  2 1 3 1 log2 log 2  b) log3 9  log9 27  2  log9 33  log9 36  x  32 x  36  2x  6  x  3 c) log4 2  log2 9  1  log 9  log 9 1  log2 3 2 2 2 2 4. Niech a  log3 10 , b  log3 5 . Wyraź za pomocą a, b logarytmy: a) log3 50 b) log3 500 c) log3 250 d) log3 2 a) log3 50  log3 5 10  log3 5  log3 10  b  a b) log3 500  log3 5102  log3 5  log3 102  log3 5  2 log3 10  b  2a c) log3 250  log3 52 10  log3 52  log3 10  2 log3 5  log3 10  2b  a d) log 3 2  log3 10  log3 10  log3 5  a  b 5 5. Oblicz x jeżeli: a) log3 x  3 b) log243 9  x c) logx 64  3 a) log3 x  3  x  33  27  b) log243 9  x  243x  9  35 x  32  5x  2  x  2 5 c) logx 64  3  x3  64  x  4 helion kopia dla: Jacek Krzywonos jacek.krzywonos@gmail.com 20 ##7#52#aSUZPUk1BVC1FYm9va1BvaW50L0hlbGlvbg== e99b6b01451b80f5c97505e046bf1c49 e

Jak zdać maturę nie lubiąc matematyki – tylko 20 godzin powtórki do matury. 6. Wiedząc, że log 5  0, 7 , log 8  0,9 policz: a) log 4 b) log 20 c) log 40 d) log 1 25 a) log 4  2 log 2  2  1 log 23  2 log 8  2  9  3 3 3 3 10 5 b) log 20  log 4 5  log 4  log 5  3  7  6  7  13 5 10 10 10 10 c) log 40  log 4 10  log 4  log10  3 1  1 3 55 d) log 1  log 52  2  log 5  2  0, 7  1, 4 25 7. Wykaż, że wartość wyrażenia jest liczbą całkowitą: a) log5 9  4(log5 1 log5 3) b) log3 162  2 log3 2 c) (log 20  log 5)(log 40  log 4)  a) log5 9  4(log5 1 log5 3)  log5 9  4 log5 3  log5 9  log5 4 3  log5 9  log5 9  0  b) log3 162  2 log3 2  log3 162  log3 2    162  log3 81  4 2 2 log3 162 log3 2 log3 c) (log 20  log 5)(log 40  log 4)  (log 20  5)  log 40   log100  log10  21  2  4  8. Dane są liczby a 1 , b  log1 64 , c  log1 27 . Policz iloczyn abc . 27 4 3 abc   1  log 1 64  log 1 27   1 (3)(3)   1 27 27 3 4 3 9. Porównaj liczby: b) log 1 5 i log 1 2 c) log0,9 99 i log 9 99 a) log 3 i log 6 22 10 33 b) log x  log y a) log 3  log 6 gdyż 3  1 i 3  6 33 33 22 b) log 1 5  log 1 2 gdyż 0  1 1 i 5 2 2 22 c) log0,9 99  log 9 99 10 10. Porównaj liczby x, y gdy: a) log x  log y 22 a) log x  log y , x  y gdyż 2  1 22 b) log x  log y , x  y gdyż 0  3  1 33 2 22 helion kopia dla: Jacek Krzywonos jacek.krzywonos@gmail.com 21 ##7#52#aSUZPUk1BVC1FYm9va1BvaW50L0hlbGlvbg== e99b6b01451b80f5c97505e046bf1c49 e

Jak zdać maturę nie lubiąc matematyki – tylko 20 godzin powtórki do matury. Zadania proponowane przez CKE 11. Dane są liczby a  log 3 , b  log 2 . Wyznacz logarytm dziesiętny z liczby 72 za pomocą a, b .  log 72  log 23 32  log 23  log 32  3log 2  2 log 3  3b  2a 12. Liczba o 2 większa od liczby log5 4 jest równa: A. log5 6 B. log5 8 C. log5 29 D. log5 100 log5 4  2  log5 4  log5 25  log5 100 13. Dane są liczby a  3log3 2  log3 16 , a  2 log3 6  log3 18 . Wykaż, że a  b  0 . a  b   3 log3 2  log3 16  2 log3 6  log3 18  log3 23  log3 62  log3 23  62  log3 1  0 16 18 24 18 14. Uzasadnij, że dla wszystkich liczb rzeczywistych dodatnich x  1 wartość wyra- 3  żenia log3x 3x2  log3x 9x jest większa od 2.      log3x 3x2  log3x 9x  log3x 3x2 9x  log3x 27x3  log3x 3x3  3log3x 3x  3 helion kopia dla: Jacek Krzywonos jacek.krzywonos@gmail.com 22 ##7#52#aSUZPUk1BVC1FYm9va1BvaW50L0hlbGlvbg== e99b6b01451b80f5c97505e046bf1c49 e

Jak zdać maturę nie lubiąc matematyki – tylko 20 godzin powtórki do matury. Godzina 5 Wyrażenia algebraiczne Przekształcając wyrażenia algebraiczne zwykle stosujemy wzory skróconego mnoże- nia: (a  b)2  a2  2ab  b2 (a  b)3  a3  3a2b  3ab2  b3 (I) (a  b)2  a2  2ab  b2 (II) (a  b)3  a3  3a2b  3ab2  b3 a2  b2  (a  b)(a  b) a3  b3  (a  b)(a2  ab  b2 ) a3  b3  (a  b)(a2  ab  b2 ) Wzory grupy (I) są wymagane na poziomie podstawowym, wzory grupy (II) mogą być stosowane i należy mieć świadomość ich istnienia. Drugą ważną sprawą przy przekształcaniu wyrażeń algebraicznych jest ich dziedzina tzn. maksymalny zbiór liczb, przy których wyrażenie ma sens. Wyrażenie: x traci sens dla liczb ujemnych (pierwiastki stopni parzystych istnieją tylko z liczb x 1 nieujemnych) oraz dla wartości 1 gdyż wtedy w mianowniku mamy 0. Wyrażenie za- tem ma sens jeżeli x  0,1)  (1, ) . Sprawdź czy rozumiesz! Ustal dziedzinę wyrażeń: x , x2 , 3 x x 1 x2 1 x2 1 Zadania występujące na maturze 1. Uzupełnij wyrażenie do pełnego kwadratu. a) x2  4x  ... b) 1 2x  ... c) 4x2  4x  ... d) ...  6x  x2 a) x2  4x  4  (x  2)2 c) 4x2  4x 1  (2x 1)2 b) 1 2x  x2  (1 x)2 d) 9  6x  x2  (3  x)2 2. Policz wartość wyrażenia: 22 2 22  2 3  2 3 5 3  5 3       a) b)  2    c)  2 3 3 22 2  3  2  3  22 2 3322 2 33 4 6    a) 2  2 2 2    2       b)  (2  3)2 1  2 3 2 3  3 22 5 3  5 3  5 3 5 3       c) 5 3 5 3 0 helion kopia dla: Jacek Krzywonos jacek.krzywonos@gmail.com 23 ##7#52#aSUZPUk1BVC1FYm9va1BvaW50L0hlbGlvbg== e99b6b01451b80f5c97505e046bf1c49 e

Jak zdać maturę nie lubiąc matematyki – tylko 20 godzin powtórki do matury. 3. Dla x  3 1, y  3 oblicz wartość wyrażeń: a) (x  y)2  (x  y)2 b) x2  (x  y)2 c)  x  y 12 d) y2  x2 a) (x  y)2  (x  y)2  ( 3 1 3)2  ( 3 1 3)2  1 (2 3 1)2  14  4 3  b) x2  (x  y)2   x  x  y x  x  y  y 2x  y  3 2 3  2  3  3  2 3 22 3 1 3 1  2 3  12    c)  x  y 12   d) y2  x2   y  x y  x  1 2 3 1  2 3 1 4. Podaj dziedzinę wyrażeń algebraicznych: a) x 1 b) 2  x c) x  2 d) 2x 1 x 1 x x2 (x  2)(x 1) a) x 1  0  x 1  0 czyli x  1  x  1, x  (1, ) b) 2  x  0  x  0 czyli x  2  x  0 , x  (0, 2  c) x  2  0 czyli x  2 , x  R \\{2} d) (x  2)(x 1)  0 czyli x  2  0  x 1  0 , x  2  x  1, x  R \\{1, 2} 5. Uprość wyrażenia algebraiczne: a) 4x2  4x 1 b) 1 2x  x2 c) 2 x2  6x  9 d) x 1 (2x 1)(x 1) x2 1 x3 x 2 x2  2x 1 a) 4x2  4x 1  (2x 1)2  2x 1 (2x 1)(x 1) (2x 1)(x 1) x 1 b) 1 2x  x2  (1 x)2  x 1 x2 1 (x 1)(x 1) x 1 c) 2 x2  6x  9  2 (x  3)2  2 x  3  2 x3 x x3 x x3 x x d) x 1  x 1  x 1  1 2 x2  2x 1 2 (x 1)2 2 x 1 2 Zadania proponowane przez CKE 6. Do wyrażenia 1 określonego dla x  1 dodano jego odwrotność. Oblicz x , dla x 1 którego otrzymana suma jest równa 2. 1  x 1  1   x 12  x2  2x  2  2 x 1 1 x 1 x 1 x 1 x2  2x  2  2(x 1)  x2  0  x  0 helion kopia dla: Jacek Krzywonos jacek.krzywonos@gmail.com 24 ##7#52#aSUZPUk1BVC1FYm9va1BvaW50L0hlbGlvbg== e99b6b01451b80f5c97505e046bf1c49 e

Jak zdać maturę nie lubiąc matematyki – tylko 20 godzin powtórki do matury. Godzina 6 Równania liniowe W profilu podstawowym na maturze sprawdza się umiejętność rozwiązywania trzech typów równań: liniowych, kwadratowych i wymiernych. Z równaniami liniowymi i ich układami związane są przede wszystkim zadania z treścią. Przypomnijmy, że układ równań liniowych jest to układ, który po uporządkowaniu przyjmuje postać: ax  by  c dx  ey  f Przypomnijmy, że prosta w postaci ogólnej ma równanie Ax  By  C  0 i każde z równań powyższego układu da się zapisać w takiej postaci. Wynika stąd, że układ równań może mieć jedno rozwiązanie (parę liczb x, y ). Układ nazywa się wtedy oznaczonym, ma to miejsce jeżeli proste reprezentujące układ przetną się. Układ może mieć nieskończenie wiele rozwiązań, jest układem nieoznaczonym, jeżeli proste reprezentujące układ pokryją się. Układ może być w końcu sprzeczny (nie posiadać rozwiązań) jeżeli proste, które go reprezentują będą równoległe. Układem oznaczonym jest układ: 2x  y  3 x  y  0 Jeżeli oba równania dodamy stronami (metoda przeciwnych współczynników) otrzy- mamy 3x  3  x  1. Podstawiając wyliczoną wartość x do któregokolwiek z rów- nań obliczamy y  1. Układ ma zatem jedno rozwiązanie, parę liczb x  1 , y  1. Gdybyśmy narysowali obie proste okazałoby się, że przecinają się one w punkcie o współrzędnych (1, 1) . Układem nieoznaczonym jest układ: 3x  2 y  1 6x  4 y  2 Dzieląc drugie z równań przez 2 otrzymujemy pierwsze równanie, oznacza to, że mamy doczynienia z tym samym równaniem, zatem proste, które są wykresami tych równań pokryją się (będą miały nieskończenie wiele punktów wspólnych). Układem sprzecznym jest układ: x  2y 1 x  2 y  2 Dodając równania stronami otrzymamy sprzeczność 0  3 . Gdybyśmy narysowali pro- ste przedstawiające równania, otrzymalibyśmy proste równoległe (nie przecinające się w żadnym punkcie). Powszechnie stosujemy dwie metody do rozwiązywania układów równań liniowych. Metodę podstawiania, gdzie z jednego z równań wylicza się jedną z niewiadomych i tak wyliczoną wartość postawia do równania drugiego. W ten sposób uzyskujemy helion kopia dla: Jacek Krzywonos jacek.krzywonos@gmail.com 25 ##7#52#aSUZPUk1BVC1FYm9va1BvaW50L0hlbGlvbg== e99b6b01451b80f5c97505e046bf1c49 e

Jak zdać maturę nie lubiąc matematyki – tylko 20 godzin powtórki do matury. równanie z jedną niewiadomą. Drugą metodą jest metoda przeciwnych współczynni- ków gdzie równania mnoży się stronami przez takie liczby, żeby po dodaniu ich stro- nami jedna z niewiadomych się zredukowała. bez względu na metodę, której używa- my układ równań powinien być na początku uporządkowany, co ułatwia późniejsze operacje. Sprawdź czy rozumiesz! Używając metody przeciwnych współczynników oraz me- tody podstawiania rozwiąż układy równań: 3x  y  2 , 2x 3y  4 , 6x  y  7  x  y  3 Zadania występujące na maturze 1. Podaj liczbę rozwiązań układu równań, w zależności od wartości parametru m . a) mx  y  2 b) 3x  2my 4 c) 2x  y  2m 2x  y  4    m 1  x  y  2  x  2 y a) Jeżeli dodamy oba równania, redukcji ulegnie niewiadoma y i otrzymamy równa- nie mx  2x  6  (m  2)x  6 . Zauważmy, że konkretną wartość x da się podać jeżeli m  2 i w tym wypadku układ jest oznaczony x  6 , y  2x  4 (posiada m2 jedno rozwiązanie). Dla m  2 układ pozostaje sprzeczny, gdyż otrzymujemy fał- szywą równość 0  6 . Dla żadnego m układ nie jest nieoznaczony. b) Tym razem dolne równanie pomnóżmy przez -3. Po dodaniu równań stronami otrzymamy 2my  3y  2   (2m  3) y  2 . Podobnie jak w poprzednim przykła- dzie dla m   3 możemy wyliczyć wartość y  2 , x  2  y , układ posiada jedno 2 2m  3 rozwiązanie (jest układem oznaczonym). Dla m   3 otrzymujemy układ sprzeczny, 2 gdyż ostatnia równość będzie sprzecznością 0  2 . Dla żadnego m układ nie jest nieoznaczony. c) W tym przypadku pomnóżmy górne równanie przez 2 i dodajmy równania strona- mi, otrzymamy: 5x  5m 1. W tym wypadku wartość x  5m 1 , y  2x  2m , dla 5 każdego m istnieje i układ ma zawsze konkretne rozwiązanie (jest zawsze układem oznaczonym). 2. Dwie sztabki srebra o próbach 0,980 i 0,700 stopiono z 4 kg czystego srebra. Otrzymano 20 kg stopu o próbie 0,800. Oblicz masy użytych sztab. Przy tego typu zadaniach pozostaje niezmienna ilość czystego srebra. Zadanie można rozwiązywać posługując się układem równań jak również jednym równaniem. Sposób I (układ równań). Wprowadzimy oznaczenia: helion kopia dla: Jacek Krzywonos jacek.krzywonos@gmail.com 26 ##7#52#aSUZPUk1BVC1FYm9va1BvaW50L0hlbGlvbg== e99b6b01451b80f5c97505e046bf1c49 e

Jak zdać maturę nie lubiąc matematyki – tylko 20 godzin powtórki do matury. x masa srebra próby 0,980 y masa srebra próby 0,700 Biorąc pod uwagę, że ilość czystego srebra przed przetopieniem, jak i potem pozo- staje niezmienna otrzymamy układ równań: Po uporządkowaniu: 0,980x  0, 700 y  4  0,800  20 x  y  4  10 0,98x  0, 70 y  12 x  y  6 Górne równanie mnożymy przez 100 dolne przez -70, po dodaniu stronami redukuje się zmienna y : 28x  780  x  780  2 11 , y3 3 28 14 14 Sposób II (jedno równanie): x masa srebra próby 0,980 0,980x  0, 700(6  x)  4  0,800  20  98x  420  70x  1200  28x  780 3. Z punktu A do punktu B oddalonego o 10 km wyrusza rowerzysta. W tym samym czasie z punktu B do punktu A wyrusza piechur. Obaj spotykają się w odległości 2 km od punktu B. Jakie były prędkości obu, jeżeli wiadomo, że piechur dociera do celu po 2 godzinach marszu? Skoro piechur dociera do celu po 2 godz. marszu to jego prędkość wynosiła vp  10  5 [km/h]. Skoro spotkali się 2 km od punktu B, to piechur wędrował 2 t  2  0, 4 [h]. Tyle samo jechał rowerzysta przejechawszy 8 km. Zatem jego pręd- 5 kość, to vr  8  20 [km/h] 0, 4 4. Pokaż, że nie istnieje liczba dwucyfrowa, która zapisana wspak jest dwa razy mniejsza od liczby wyjściowej. Jeżeli x, y są cyframi odpowiednio dziesiątek i jedności szukanej liczby to jej wartość można zapisać jako 10x  y . W zadaniu chodzi o to, żeby pokazać, że równanie 10x  y  2(10 y  x) nie ma rozwiązań. Po uporządkowaniu otrzymamy: 8x  19 y . Obie zmienne są cyframi przy czym x {1, 2,...,9} . Zauważmy, że 19 jest liczbą pierwszą, zatem żeby równość była zachowana 8 musi dzielić y (bo dzieli lewą stronę), stąd y  8 co nie może zajść bo x nie będzie cyfrą. helion kopia dla: Jacek Krzywonos jacek.krzywonos@gmail.com 27 ##7#52#aSUZPUk1BVC1FYm9va1BvaW50L0hlbGlvbg== e99b6b01451b80f5c97505e046bf1c49 e

Jak zdać maturę nie lubiąc matematyki – tylko 20 godzin powtórki do matury. 5. Statek płynąc w dół reki przebywa drogę z portu A do portu B w ciągu dwóch go- dzin. Płynąc pod prąd tę samą drogę pokonuje o pół godziny dłużej. Oblicz prędkość statku i prędkość prądu rzeki, wiedząc, że od A do B jest 20 km. Płynąc w dół rzeki płyniemy z prędkością, która jest sumą prędkości statku i rzeki. Płynąc pod prąd (w górę rzeki) płyniemy z prędkością, która jest różnicą prędkości statku i rzeki. Wprowadzimy oznaczenia: vs prędkość statku, vr prędkość prądu rzeki 22,(5vs(vs vr ) 20  vvss  vr  10  vvrs 9  vr )  20  vr 8 1 Równania wynikają z elementarnego prawa fizyki: czas pomnożony przez prędkość równa się przebytej drodze. Układ rozwiązaliśmy najpierw dodając równania stronami (wyliczymy vs ), następnie odejmując od równania górnego dolne, (wyliczymy vr ). Odpowiedź należy uzupełnić o jednostki vs  9 [km/h], vr  1 [km/h]. 6. Zbiornik z wodą napełniono w 1/3 objętości. Jeżeli do zbiornika dolejemy 20 l wo- dy to napełnimy go w 2/5 objętości. Jaka jest objętość zbiornika? Skoro przed dolaniem wody 1/3 zbiornika była napełniona a po dolaniu 2/5 oznacza to, że dolana woda zajmuje 2/5-1/3=6/15-5/15=1/15 objętości. To znaczy 20 l sta- nowi 1/15 objętości, zatem cała objętość to 15 razy więcej czyli 300 l. 7. Za 6 lat córka będzie 3 razy młodsza od swojej mamy. Za 20 lat mama będzie 2 razy starsza od swojej córki. Ile lat obecnie ma każda z nich. Zauważmy, że dla obu pań czas biegnie jednakowo a także zwrot córka trzy razy młodsza oznacza to samo co matka trzy razy starsza. Wprowadźmy oznaczenia: x obecny wiek córki y obecny wiek matki Z treści zadania mamy układ równań: 3(x  6)  y  6  3x  y 12  x  8 2(x  20)  y  20 2x  y  20   y  36 Układ rozwiązujemy odejmując od równania górnego, równanie dolne. Po obliczeniu x jego wartość podstawiamy np. do równania dolnego i wyliczamy y . helion kopia dla: Jacek Krzywonos jacek.krzywonos@gmail.com 28 ##7#52#aSUZPUk1BVC1FYm9va1BvaW50L0hlbGlvbg== e99b6b01451b80f5c97505e046bf1c49 e

Jak zdać maturę nie lubiąc matematyki – tylko 20 godzin powtórki do matury. 8. Jeżeli Jacek do Plackowi 2 zł to będą mieli tyle samo pieniędzy. Jeżeli Placek da Jackowi 4 zł, to Jacek będzie miał dwa razy więcej od Placka. Ile pieniędzy ma Jacek a ile Placek? Zauważmy, że Jeżeli Jacek traci 2 zł to Placek je zyskuje i na odwrót. Wprowadzimy oznaczenia: x oszczędności Jacka y oszczędności Placka x 2  y  2  x  y  4  x  20  x  2 y  12   x  4  2( y  4)  y  16 Najlepiej od równania górnego odjąć dolne wtedy natychmiast wyliczymy y . Po pod- stawieniu wyliczonej wartości do równania górnego wyliczamy x . 9. Suma cyfr liczby dwucyfrowej równa jest 12. Po przestawieniu cyfr otrzymujemy liczbę, która jest mniejsza od połowy liczby wyjściowej. Jaka jest liczba wyjściowa? Niech liczba wyjściowa ma pozycyjny zapis xy gdzie x, y są cyframi. Jej wartość równa jest 10x  y . Po przestawieniu cyfr otrzymujemy liczbę yx , której wartość wy- nosi 10 y  x . Zgodnie z warunkami zadania mamy układ równania i nierówności: x  y  12   y  12  x   y  12  x   y  12  x  10x  y  10x  12  x 240 18x  9x 12  228 10 y  x  2 10(12  x)  x  2  27  x Ostatnia nierówność oznacza, że x  9 (ponieważ jest cyfrą), zatem y  3 . Liczba wyjściowa to 93. 10. Jeżeli bilety na spektakl zostaną równo rozdzielone miedzy 3 klasy, to każda z nich otrzyma po 10 biletów mniej, niż gdyby je rozdzielić między 2 klasy. Ile jest biletów na spektakl? Oznaczmy przez x liczbę biletów. Jeżeli rozdzielimy je między 3 klasy, to każda otrzyma x biletów. Jeżeli do tej ilości dodamy 10, to klasa będzie miała tyle biletów 3 ile przy podziale na dwie równe części. Stąd równanie: 2  x  10   x  2x  60  3x  x  60  3  helion kopia dla: Jacek Krzywonos jacek.krzywonos@gmail.com 29 ##7#52#aSUZPUk1BVC1FYm9va1BvaW50L0hlbGlvbg== e99b6b01451b80f5c97505e046bf1c49 e

Jak zdać maturę nie lubiąc matematyki – tylko 20 godzin powtórki do matury. Zadania proponowane przez CKE 11. Rozwiązaniem układu równań pierwszego stopnia z dwiema niewiadomymi jest para różnych dodatnich liczb całkowitych. Jednym z równań tego układu jest 2x  y  6 . Wyznacz drugie równanie układu, wiedząc, że jest to równanie prostej przechodzącej przez początek układu współrzędnych. Skoro drugie równanie jest równaniem prostej przechodzącej przez początek układu współrzędnych, to ma ono postać y  ax . Wstawiając wartość y do pierwszego rów- nania i wyliczając x otrzymamy x  6 . Skoro ma to być liczba całkowita, to a 2a może przyjąć jedną z 5 wartości. Tabelka poniżej rozpatruje wszystkie te przypadki. a 0 1 -1 4 -4 x 3 2 6 1 -3 y 0 2 -6 4 12 Treść zadania mówi o rozwiązaniu będącym parą różnych dodatnich wartości całko- witych, zatem chodzi o parę x  1 , y  4 dla wartości a  4 . Stąd drugie równanie układu to y  4x . helion kopia dla: Jacek Krzywonos jacek.krzywonos@gmail.com 30 ##7#52#aSUZPUk1BVC1FYm9va1BvaW50L0hlbGlvbg== e99b6b01451b80f5c97505e046bf1c49 e

Jak zdać maturę nie lubiąc matematyki – tylko 20 godzin powtórki do matury. Godzina 7 Prosta w układzie współrzędnych Wiemy, że równanie postaci: Ax  By  C  0 gdzie jednocześnie A, B nie są zerami przedstawia prostą w postaci ogólnej. Do narysowania prostej potrzeba dwóch dowolnych jej punktów. Aby narysować prostą 2x  y 1  0 można na przykład przyjąć x  1 , wtedy łatwo wyliczymy, że y  1. Pierwszy nasz punkt do narysowania prostej to A(1, 1) . Teraz przyjmijmy x  1 , obliczymy y  3 . Drugi punkt prostej to B(1,3) . Oczywiście za x można przyjąć do- wolną inną wartość ale postępujemy tak aby obliczenia były najłatwiejsze. Można też brać wartości y i wyliczać dla nich odpowiednie x . Czasami postępuje się inaczej. Za punkty wyznaczające prostą bierzemy punkty jej przecięcia z osiami układu (uwaga tak narysujemy tylko te proste, które przecinają obie osie). Jeżeli przecinana jest oś Y w jakimkolwiek punkcie, to współrzędna x tego punktu równa jest 0. Wystarczy zatem w równaniu podstawić x  0 i znajdziemy współrzędna y szukanego punktu (w naszym przykładzie dla x  0 mamy y  1). Jeżeli przecinana jest oś X, to współ- rzędna y tego punktu równa jest 0. Aby go znaleźć w równaniu podstawiamy y  0 (w naszym przykładzie dla y  0 mamy x   1 ). Otrzymaliśmy inne punkty, które 2 także leżą na tej prostej C 0,1 , D   1 , 0  . Rysunek poniżej przedstawia szukaną  2  prostą. Oprócz postaci ogólnej często mamy doczynienia z prostymi w postaci kierunkowej, są to takie równania gdzie po lewej stronie znaku równości występuje tylko y a po helion kopia dla: Jacek Krzywonos jacek.krzywonos@gmail.com 31 ##7#52#aSUZPUk1BVC1FYm9va1BvaW50L0hlbGlvbg== e99b6b01451b80f5c97505e046bf1c49 e

Jak zdać maturę nie lubiąc matematyki – tylko 20 godzin powtórki do matury. stronie prawej cała reszta. Dla naszej prostej z przykładu mamy y  2x 1. Oczywi- ście oba równania prostych są równoważne i jeżeli z postaci ogólnej przechodzimy do postaci kierunkowej lub odwrotnie, otrzymamy tę samą prostą. Przykładowo: 2x 3y  4  0  y   2 x  4 3x  y  2  0  y  3x  2 33 Liczba stojąca przy zmiennej x w postaci kierunkowej nazywa się współczynni- kiem kierunkowym prostej. Jest ona równa tangensowi kąta nachylenia prostej, do osi X układu. Ponadto jeżeli jest dodatnia to prosta jest wykresem funkcji rosną- cej, jeżeli jest ujemna to prosta jest wykresem funkcji malejącej. Prosta w postaci kierunkowej ma zatem równanie: y  ax  b (*) gdzie a  tg . Aby znaleźć równanie prostej nachylonej do osi X pod kątem 60 i przechodzącej przez punkt A(2,1) liczymy: a  tg60  3 zatem równanie prostej ma postać y  3x  b . Aby wyliczyć b korzystamy ze znajomości współrzędnych punktu, przez który przechodzi szukana prosta. Podstawiając x  2, y  1 mamy 1  2 3  b  b  1 2 3 . Równanie szukanej prostej to: y  3x 1 2 3 . Równie łatwo znajdziemy równanie prostej przechodzącej przez dwa punkty na przykład A(1, 2) i B(3, 1) . Szukamy prostej w postaci (*) zatem podstawiając w miejsce x, y współrzędne punktów otrzymamy układ dwóch równań z którego wyliczamy a, b : 2  a  b   3  2a  a   3 1  3a  b   2 b 7 2 Aby rozwiązać układ odjęliśmy od równania dolnego, równanie górne redukując b . Dwie proste w postaci kierunkowej y  a1x  b1 i y  a2x  b2 są prostopadłe, jeżeli: są równoległe, jeżeli: a1  a2  1 a1  a2 Znaleźć proste prostopadłą i równoległą do prostej y  2x  3 przechodzące przez punkt A(2, 1) . Prostych szukamy w postaci (*), skoro ma być ona prostopadła do danej musi być spełniony warunek 2  a  1  a  1 . Zatem szukamy prostej po- 2 staci y  1 x  b , gdzie b wyznaczymy podstawiając do równania współrzędne punktu 2 A(2, 1) . Mamy więc 1  2  1  b  b  2 . Prosta prostopadła to y  1 x  2 . Po- 22 dobnie dla prostej równoległej musi być spełniony warunek a  2 , więc jej równanie to y  2x  b . Przechodzi ona przez A(2, 1) zatem 1  2  2  b  b  3 . Równanie helion kopia dla: Jacek Krzywonos jacek.krzywonos@gmail.com 32 ##7#52#aSUZPUk1BVC1FYm9va1BvaW50L0hlbGlvbg== e99b6b01451b80f5c97505e046bf1c49 e

Jak zdać maturę nie lubiąc matematyki – tylko 20 godzin powtórki do matury. prostej równoległej to y  2x  3 . Zauważmy, że obie znalezione proste są do siebie wzajemnie prostopadłe gdyż 2  1  1 . Jeżeli prosta przechodzi przez początek 2 układu współrzędnych (punkt (0, 0) ), to b  0 . Proste y  2x , y  3x przechodzą przez początek układu współrzędnych. Sprawdź czy rozumiesz! Znajdź równanie prostej prostopadłej oraz prostej równo- ległej do prostej y  x 1, przechodzącej przez punkt A(1, 2) . Zadania występujące na maturze 1. Znaleźć równanie prostej przechodzącej przez dwa dane punkty: a) A(1, 2), B(2,1) b) A(1, 0), B(0,1) c) A(0, 0), B(3, 2) a) Do równania prostej y  ax  b podstawiamy współrzędne punktów otrzymując układ równań na wyliczenie a, b : 2  a  b  a  1  a  1 1  2a  b b  3 Odejmując od równania dolnego, równanie górne, natychmiast policzymy a . Pod- stawiając a  1 do równania górnego, policzymy b . Stąd równanie szukanej prostej to y  x  3 . b) Postępujemy podobnie jak w przykładzie wyżej: 0  a  b  b 1  a 1 1  b b  1 Szukana prosta ma równanie y  x 1. c) Tym razem prosta przechodzi przez początek układu współrzędnych, zatem ma równanie y  ax . Wystarczy podstawić do tego równania współrzędne drugiego punktu aby otrzymać 2  3a  a  2 . Stąd równanie prostej: y  2 x . 33 2. Znaleźć prostą równoległą do danej prostej, przechodzącą przez wskazany punkt: a) y  2x 1, A(1, 2) b) 6x  2 y  2  0, A(2, 1) c) y  x  2, A(0, 0) a) Prosta ma być równoległa zatem a  2 , więc jej równanie to y  2x  b . Pod- stawiając w równaniu współrzędne punktu obliczymy b , 2  2 1 b  b  4 . Rów- nanie szukanej prostej to y  2x  4 . b) Najpierw przerobimy równanie do postaci kierunkowej. Przenieśmy odpowiednie wyrazy na drugą stronę i skróćmy przez 2, otrzymamy y  3x 1 . Zatem prosta równoległa ma współczynnik a  3 i jest postaci y  3x  b . Podstawiając współ- rzędne punktu, przez który prosta przechodzi otrzymamy 1  3 2  b  b  5 . Szu- kane równanie prostej to y  3x  5 . helion kopia dla: Jacek Krzywonos jacek.krzywonos@gmail.com 33 ##7#52#aSUZPUk1BVC1FYm9va1BvaW50L0hlbGlvbg== e99b6b01451b80f5c97505e046bf1c49 e

Jak zdać maturę nie lubiąc matematyki – tylko 20 godzin powtórki do matury. c) Tym razem współczynnik kierunkowy szukanej prostej a  1 . Prosta przechodzi przez początek układu współrzędnych zatem ma równanie y  x . 3. Znaleźć prostą prostopadłą do danej prostej, przechodzącą przez wskazany punkt: a) y  x  2, A(1, 0) b) 4x  y  2  0, A(2, 1) c) y  2x 1, A(0, 0) a) Szukamy prostej, której współczynnik kierunkowy spełnia warunek 1 a  1. Stąd a  1. Szukana prosta ma równanie y  x  b . Podstawiając do tego równania współ- rzędne punktu otrzymamy 0  1 b  b  1 . Równanie szukanej prostej to y  x 1. b) Przekształcamy prostą do postaci kierunkowej y  4x  2 . Z warunku prostopadło- ści wyznaczamy współczynnik kierunkowy 4a  1  a   1 . Szukana prosta jest 4 postaci y   1 x  b . Podstawiając do tego równania współrzędne punktu, otrzymamy 4 1   1  (2)  b  b   3 . Równanie szukanej prostej to y   1 x  3 . 42 42 c) Obliczamy współczynnik kierunkowy 2  a  1  a  1 . Szukana prosta przecho- 2 dzi przez środek układu współrzędnych ma zatem równanie y  1 x . 2 4. Znaleźć prostą nachyloną do osi X pod wskazanym kątem i przechodzącą przez podany punkt: a)   45, A(1, 2) b)   30, A(2,1) c)   60, A(0, 2) a) Pamiętając, że współczynnik a  tg mamy a  tg45  1, stąd równanie y  x  b . Podstawiamy w nim współrzędne punktu 2  1 b  b  1. Równanie szukanej prostej to y  x 1. b) a  tg30  3 stąd równanie y  3 x  b . Po podstawieniu współrzędnych punktu 33 mamy 1  3 2  b  b  3  2 3 . Szukana prosta y  3 x  3  2 3 . 33 33 c) a  tg60  3 stąd równanie y  3x  b . Po podstawieniu współrzędnych punktu mamy 2  3  0  b  b  2 . Szukana prosta y  3x  2 . 5. Dla jakich wartości parametru k prosta y  (k 1)x  2 jest prostopadła do prostej y  (k 1)x 1 a dla jakiej proste są równoległe? Proste są prostopadłe jeżeli (k 1)(k 1)  1  k 2 1  1  k  0 . Proste są równo- ległe jeżeli k 1  k 1  1  1. Sprzeczność oznacza, że nie istnieje wartość k , dla której obie proste są równoległe. helion kopia dla: Jacek Krzywonos jacek.krzywonos@gmail.com 34 ##7#52#aSUZPUk1BVC1FYm9va1BvaW50L0hlbGlvbg== e99b6b01451b80f5c97505e046bf1c49 e

Jak zdać maturę nie lubiąc matematyki – tylko 20 godzin powtórki do matury. Zadania proponowane przez CKE 6. Na rysunku przedstawiono wykresy trzech parami przecinających się prostych. Te proste to: x  2 y  1 x  2 y  1 x2y 1 x  2 y  1 A. 3x  y  11 B. 3x  y  11 C. 3x  y  11 D. 3x  y  11 3x  8y  17 3x  8y  17 3x  8y  17 3x  8y  17 Zauważmy, że proste przecinają się w punktach A(3, 2) , B(5, 4) , C(3,1) . Można znaleźć równania prostych przechodzących przez każdą parę z tych trzech punktów ale można też sprawdzić, które z prostych zawierają te punkty (współrzędne punktu podstawione w miejsce zmiennych dają tożsamość). Punkt A(3, 2) spełnia równania x  2 y  1 i 3x  y  11 , które powtarzają się w odpowiedziach A, D. Zatem odpowie- dzi C, B należy wyeliminować. Punkt B(5, 4) spełnia równanie 3x  y  11 oraz 3x  8y  17 , które znajdują się w odpowiedzi A zatem D odpada. Proste, których szukamy to odpowiedź A. 7. Dany jest trójkąt ABC, którego boki zawierają się w prostych o równaniach: y  1 x 1 , y  7  x , y  0 . Oblicz pole trójkąta ABC. 2 Narysujmy te proste. Trzecia prosta jest osią X (współrzędne Y wszystkich punktów równe są 0). Przecina ona pozostałe proste w punktach, których współrzędna y  0 . Podstawiając tę wartość do równań otrzymamy punkty x  2 oraz x  7 . Rozwiązu- jąc układ równań:  y  1 x 1  1 x 1 7  x  x  4 2 2   y  7  x  y  3 helion kopia dla: Jacek Krzywonos jacek.krzywonos@gmail.com 35 ##7#52#aSUZPUk1BVC1FYm9va1BvaW50L0hlbGlvbg== e99b6b01451b80f5c97505e046bf1c49 e

Jak zdać maturę nie lubiąc matematyki – tylko 20 godzin powtórki do matury. Zatem obie proste przechodzą przez punkt A(4,3) . Zauważmy, że podstawa tego trójkąta ma długość 7+|-2|=9, wysokość ma długość 3, zatem pole trójkąta S  1 9 3  27 . 22 8. Równanie 3(2  x)  3 nie ma takiego samego rozwiązania jak równanie: 4x 3 2 A. 6(2  x)  3(4x  3) C. 92  x  24x  3 B. 2 6  3x  4x  3 D. 32  x  3 4x  3 3 2 Ustalmy jakie jest rozwiązanie równania wyjściowego. Ze względu na mianownik x  3 . Po wymnożeniu na krzyż mamy 12  6x  12x  9  18x  21  x  7 . Pod- 46 stawiając tę wartość do każdego z równań w odpowiedziach ustalmy, które z nich nie jest spełnione. A. 6(2  7)  3(4  7  3) C. 9  2  7  2  4  7  3 66  6   6 B. 2  6  3 7   4  7  3 D. 3 2  7   3  4  7  3 3  6  6 6  2  6 Rachunek na ułamkach pokazuje, że nie jest spełnione równanie C. helion kopia dla: Jacek Krzywonos jacek.krzywonos@gmail.com 36 ##7#52#aSUZPUk1BVC1FYm9va1BvaW50L0hlbGlvbg== e99b6b01451b80f5c97505e046bf1c49 e

Jak zdać maturę nie lubiąc matematyki – tylko 20 godzin powtórki do matury. Godzina 8 Układy nierówności Równanie typu Ax  By  C  0 jest równaniem prostej czyli opisuje wszystkie punkty, które leżą na prostej. Punkty, które leżą poza prostą, po którejś z jej stron, opisuje jedna z nierówności: Ax  By  C  0 lub Ax  By  C  0 (*) Jeżeli nierówności ostre zastąpimy nierównościami słabymi ,  to opiszemy punkty, które leżą na prostej a także po jednej stronie tej prostej czyli na półpłaszczyźnie. Aby się przekonać, którą stronę prostej opisuje nierówność typu (*) należy wziąć dowolny punkt nie leżący na prostej i jego współrzędne podstawić do badanej nie- równości. Jeżeli nierówność stanie się prawdziwą nierównością liczbową czyli współ- rzędne badanego punktu ją spełnią będzie to oznaczało, że współrzędne każdego punktu po tej stronie ją spełnią. Zatem będzie to szukana strona prostej. Jeżeli współrzędne badanego punktu, podstawione w miejsce zmiennych zamienią nierówność w fałszywą nierówność liczbową (nie spełnią tej nierówności) oznacza to, że żaden punkt po tej stronie prostej nie spełni tej nierówności i rozwiązaniem będzie strona przeciwna. Rozważmy nierówność 2x  3y 1  0 Narysujmy prostą „graniczną” 2x  3y 1  0 . Dla x  1 otrzymamy y  1, zatem prosta przechodzi przez punkt A(1,1) . Dla x  4 otrzymamy y  3 , zatem prosta przechodzi przez punkt B(4,3) . Prosta zielona jest prostą graniczną. Weźmy punkt (0, 0) , oczywiście możemy wziąć każdy inny punkt nie leżący na zielonej prostej ale ten jest wyjątkowo dogodny do obliczeń. Po podstawieniu współrzędnych punktu do nierówności 2x  3y 1  0 helion kopia dla: Jacek Krzywonos jacek.krzywonos@gmail.com 37 ##7#52#aSUZPUk1BVC1FYm9va1BvaW50L0hlbGlvbg== e99b6b01451b80f5c97505e046bf1c49 e

Jak zdać maturę nie lubiąc matematyki – tylko 20 godzin powtórki do matury. otrzymamy nierówność liczbową prawdziwą 2  0  3 0 1  0 . Oznacza to, że wszystkie punkty leżące poniżej zielonej prostej spełnią nierówność. Sprawdź czy rozumiesz! Zaznacz w układzie współrzędnych rozwiązanie nierów- ności: 2x  y  4  0 . Nierówności mogą występować w układach (po dwie, trzy itd..). Aby zaznaczyć roz- wiązanie układu nierówności należy zaznaczyć rozwiązanie każdej z nierówności od- dzielnie a następnie zaznaczyć część wspólną otrzymanych obszarów. Zaznaczmy na płaszczyźnie rozwiązanie układu nierówności: 2x  y  5  0 (**) x  y  2  0 Narysujmy proste graniczne znajdując ich punkty przecięcia z osiami układu. Dla pierwszej prostej 2x  y  5  0 , podstawiając x  0 otrzymamy y  5 , co daje punkt (0,5) . Podstawiając y0 otrzymamy x  5 , co daje punkt  5 , 0  . Rysujemy prostą 2  2  zieloną. Dla drugiej prostej x  y  2  0 , podstawiając x  0 otrzymamy y  2 czyli punkt (0, 2) . Podstawiając y  0 otrzymamy x  2 , co daje punkt (2, 0) . Rysujemy prostą czerwoną. Po narysowaniu prostych granicznych ustalamy która z półpłasz- czyzn spełnia każdą z nierówności. Weźmy w tym celu punkt (0, 0) , który jest dogod- ny do obliczeń. Po wstawieniu jego współrzędnych do nierówności pierwszej otrzy- mamy 0  x  0  y  5  0 co jest prawdą. Zatem obszar powyżej prostej zielonej wraz z tą prostą (nierówność słaba) spełnia nierówność. Po wstawieniu współrzędnych punktu do nierówności drugiej otrzymamy 0  0  2  0 , co prawdą nie jest. Zatem nierówność jest spełniona przez obszar przeciwny to znaczy leżący pod i na (nierów- ność słaba) prostej czerwonej. Częścią wspólną tych obszarów a więc graficznym rozwiązaniem układu nierówności (**) jest zaznaczony na rysunku kąt (wraz z ra- mionami). helion kopia dla: Jacek Krzywonos jacek.krzywonos@gmail.com 38 ##7#52#aSUZPUk1BVC1FYm9va1BvaW50L0hlbGlvbg== e99b6b01451b80f5c97505e046bf1c49 e

Jak zdać maturę nie lubiąc matematyki – tylko 20 godzin powtórki do matury. Niektóre z układów nierówności można rozwiązać graficznie znacznie prościej. Jeżeli jedna z nierówności (lub obie) będą nierównościami z jedną zmienną oznacza to, że prosta graniczna jest prostą prostopadłą lub równoległą do osi układu. Układ nierów- ności: x  0   y  0 Oznacza zbiór takich punktów, których obie współrzędne są większe od zera, zatem są to wszystkie punktu pierwszej ćwiartki układu współrzędnych nie leżące na osiach układu. Układ nierówności: x  y  0 x  y  0 Przedstawia prostą graniczną x  y  0 , która jest sieczną drugiej i czwartej ćwiartki. Gdyby w ostatnim układzie nierówności były ostre, układ przedstawiałby zbiór pusty. helion kopia dla: Jacek Krzywonos jacek.krzywonos@gmail.com 39 ##7#52#aSUZPUk1BVC1FYm9va1BvaW50L0hlbGlvbg== e99b6b01451b80f5c97505e046bf1c49 e

Jak zdać maturę nie lubiąc matematyki – tylko 20 godzin powtórki do matury. Godzina 9 Równania kwadratowe Równanie x2  4  0 można rozwiązywać przenosząc liczbę na prawo x2  4 i wycią- gając pierwiastek | x | 2 (pamiętamy, że x2 | x | i wiemy, że 4  2 ). Ostatnie równanie oznacza, że x  2 lub x  2 . Jeżeli weźmiemy równanie podobne x2  4  0 , to przenosząc liczbę na drugą stronę otrzymamy x2  4 , co oznacza, że tym razem nasze równanie nie ma rozwiązań. Żadna liczba podniesiona do kwadratu nie może być ujemna. Weźmy teraz równanie x2  2x  0 . Zauważmy, że tym razem można x wyciągnąć przed nawias, otrzymamy x(x  2)  0 . Iloczyn dwóch wielkości równy jest 0, jeżeli jedna z nich równa jest 0. Mamy więc x  0 lub x  2  0 , co oznacza dwa rozwiąza- nia równania wyjściowego x  0 lub x  2 . Powyższe równania nazywa się równaniami kwadratowymi niepełnymi. W rów- naniach niepełnych b  0 ( x2  4  0 ) lub c  0 ( x2  2x  0 ) w odróżnieniu od równań pełnych ax2  bx  c  0 , gdzie wszystkie współczynniki są różne od 0. Sprawdź czy rozumiesz! Rozwiąż równania kwadratowe niepełne x2 16  0 , x2 10  0 , 3x2  x  0 . Niektóre z równań pełnych można rozwiązać nie korzystając ze wzoru na deltę i pier- wiastki. Używamy w tym celu wzorów skróconego mnożenia i zwijamy równanie do kwadratu sumy lub różnicy. Równanie x2  2x 1  0 to  x 12  0 , czyli x 1  0 , więc x  1 . Równanie x2  6x  9  0 to  x  32  0 , czyli x  3  0 , więc x  3 . Sprawdź czy rozumiesz! Rozwiąż równania kwadratowe x2  4x  4  0 . Równania kwadratowe, które są pełne i w łatwy sposób nie zwijają się do kwadratu sumy lub różnicy rozwiązujemy korzystając ze znanych wzorów: x1  b   x2  b   2a 2a gdzie   b2  4ac Ze wzorów tych wynika, że: 1. Równanie kwadratowe ma dwa rozwiązania jeżeli   0 , 2. Podwójne rozwiązanie czyli x1  x2  b jeżeli  0, 2a 3. Nie ma rozwiązań jeżeli   0 . helion kopia dla: Jacek Krzywonos jacek.krzywonos@gmail.com 40 ##7#52#aSUZPUk1BVC1FYm9va1BvaW50L0hlbGlvbg== e99b6b01451b80f5c97505e046bf1c49 e

Jak zdać maturę nie lubiąc matematyki – tylko 20 godzin powtórki do matury. 1. 3x2  2x 1  0,   22  4 3 (1)  16, x1  2  16  1, x2  2  16  1 23 23 3 2. 4x2  2x 1  0,   20, x1  22 5  1 5 , x2  22 5  1 5 8 4 8 4 3. 4x2  4x 1  0,   42  4 41  0, x1  x2  4  1 24 2 4. x2 10x  25  0,   0, x1  x2  10  5 2 5. 2x2  x 1  0,   (1)2  4  2 1  7 , brak rozwiązań 6. x2  2x  2  0,   4 , brak rozwiązań Korzystając z równań kwadratowych można rozwiązywać inne typy równań. Równa- nia dwukwadratowe są to równania, w których niewiadoma jest w czwartej i dru- giej potędze. Rozwiązujemy je podstawiając x2  t . Z tego podstawienia wynika, że aby znaleźć wartość x , wartość t nie może być mniejsza od 0. Rozwiążmy równania: 1. x4  2x2  3  0 , podstawiamy x2  t t2  2t  3  0 ,   16 , t1  2  4  3, t2  2  4 1 2 2 wartość t1 jako ujemną odrzucamy, pozostaje x2  1  x  1, x  1 2. 2x4  x2 1  0 , podstawiamy x2  t 2t2  t2 1  0 ,   7 ostatnie równanie nie ma rozwiązań zatem równanie wyjściowe także rozwiązań nie posiada. 3. x4  4x2  4  0 , podstawiamy x2  t t2  4t  4  0  (t  2)2  0  t  2  0  t  2 x2  2  x  2  x   2 Równania wymierne są to równania, w których niewiadoma występuje również w mianowniku. Należy pamiętać, że rozwiązanie równania wymiernego nie może do- prowadzać do zerowania mianownika. Rozwiążmy równania wymierne: 4. 1  x 1 ze względu na mianownik x  1. Możemy równanie potraktować jak x 1 2 proporcję i pomnożyć na krzyż, otrzymamy: (x 1)(x 1)  2 x2 1  2 x2  3  x  3  x   3 5. x  3x  2 ze względu na mianownik x  2, x  1 x 2 x 1 x(x 1)  (x  2)(3x  2) x2  x  3x2  2x  6x  4 helion kopia dla: Jacek Krzywonos jacek.krzywonos@gmail.com 41 ##7#52#aSUZPUk1BVC1FYm9va1BvaW50L0hlbGlvbg== e99b6b01451b80f5c97505e046bf1c49 e

Jak zdać maturę nie lubiąc matematyki – tylko 20 godzin powtórki do matury. 2x2 5x  4  0 ,   57 , x1  5  4 57 , x2  5  57 4 6. x 1  x  2 ze względu na mianownik x  3 x3 x 1  (x  3)(x  2) x 1  x2  2x  3x  6 x2  2x 5  0 ,   24 , x1  2  24  22 6 1 6, x2  2  24 1 6 2 2 2 Zadania występujące na maturze 1. Rozwiąż równanie kwadratowe: d) (x 1)2  5(x 1)  4  0 a) (2x 1)(x  2)  (2x 1)(3x 1) e) 10x2  3(5x2  2)  4  0 b) (3x 1)(x 1)  x2 1 f) 3x2  2 3x  3  0 c) 16(x  2)2  4(x  2)2  0 a) Przekształćmy równanie wyjściowe: (2x 1)(x  2)  (2x 1)(3x 1) (2x 1)(x  2)  (2x 1)(3x 1)  0 (2x 1)(x  2)  (3x 1)  0 (2x 1)(2x 1)  0   (2x 1)(2x 1)  0 2x 1 0  x  1 2 b) Podobnie przekształcamy równanie wyjściowe: (3x 1)(x 1)  x2 1 (3x 1)(x 1)  (x 1)(x 1)  0 (x 1)(3x 1)  (x 1)  0 (x 1)(2x  2)  0  2(x 1)(x 1)  0 x 1  0  x  1 c) Tym razem przekształcając wykorzystamy wzór na różnicę kwadratów: 16(x  2)2  4(x  2)2  0 4(x  2)2  2(x  2)2  0 4(x  2)  2(x  2)4(x  2)  2(x  2)  0 2x 126x  4  0 2x 12  0  6x  4  0 x6  x2 3 helion kopia dla: Jacek Krzywonos jacek.krzywonos@gmail.com 42 ##7#52#aSUZPUk1BVC1FYm9va1BvaW50L0hlbGlvbg== e99b6b01451b80f5c97505e046bf1c49 e

Jak zdać maturę nie lubiąc matematyki – tylko 20 godzin powtórki do matury. d) Rozwiązując podstawimy t  x 1 t2  5t  4  0 ,  9, t1  5  9  4, t2  5  9  1 2 2 4  x 1  1 x 1 x  3  x  2 e) Przekształcamy równanie: 10x2  3(5x2  2)  4  0 2(5x2  2)  3(5x2  2)  0 5(5x2  2)  0 5x2  2  0  x2   2 brak rozwiązań 5 f) Tym razem korzystamy ze wzorów na deltę i pierwiastki: 3x2  2 3x  3  0 ,   48 , x1  2 3 48  2 34 3  3, x2  2 3 48  2 3  4 3  3 6 6 3 6 6 2. Rozwiąż niepełne równanie kwadratowe: a) 3x2  4  0 d) 2x2  x  0 b) 2x2 1  0 e) x2  3x  0 c) 5x2  2  0 f) 2x  5x2  0 a) 3x2  4  0  x2  4  x  4  x  2  x   2 3 33 3 b) 2x2 1  0  x2  1  x  1  x  1  x   1 2 22 2 c) 5x2  2  0  x2   2 brak pierwiastków 5 d) 2x2  x  0  x(2x 1)  0  x  0  2x 1  0  x  0  x   1 2 e) x2  3x  0  x(x  3)  0  x  0   x  3  0  x  0  x  3 f) 2x  5x2  0  x(2  5x)  0  x  0  2  5x  0  x  0  x  2 5 3. Liczbę 16 przedstaw w postaci sumy dwóch składników, takich że suma ich kwa- dratów wynosi 136. Oznaczmy x, y szukane składniki. Z treści zadania mamy: x  y  16   y  16  x  x2  256  32x  x2 136  0    x2  y2  136  x 2  (16  x)2  136 2x2  32x 120  0  x2 16x  60  0 helion kopia dla: Jacek Krzywonos jacek.krzywonos@gmail.com 43 ##7#52#aSUZPUk1BVC1FYm9va1BvaW50L0hlbGlvbg== e99b6b01451b80f5c97505e046bf1c49 e

Jak zdać maturę nie lubiąc matematyki – tylko 20 godzin powtórki do matury.   16, x1  16  4  6  y1  10, x2  16  4  10  y2  6 2 2 4. Wyznaczyć liczbę dwucyfrową wiedząc, że jej cyfra jedności jest o 2 większa od cyfry dziesiątek a jej iloczyn przez sumę jej cyfr wynosi 280. Niech x oznacza cyfrę dziesiątek, y cyfrę jedności. Liczba zapisana jako xy ma war- tość 10x  y . Z warunków zadania mamy: y  x2  10x  x  2 x  x  2  280  11x  22x  2  280 (10x  y)(x  y)  280 Ostatnie równanie skracamy przez 2 i po wymnożeniu nawiasów uzyskujemy równa- nie kwadratowe: 11x  2 x 1  140  11x2 11x  2x  2 140  0  11x2 13x 138  0   6241,   79, x1  13  79 wartość nie przedstawia cyfry, x2  13  79  66  3 22 22 22 Cyfra jedności to y  5 . Szukana liczba to 35. 5. Suma kwadratów trzech kolejnych liczb nieparzystych wynosi 83. Jakie to liczby? Jeżeli pierwszą liczbę oznaczymy przez n to z warunków zadania mamy: n2  (n  2)2  (n  4)2  83 n2  n2  4n  4  n2  8n 16  83  0 3n2 12n  63  0  n2  4n  21  0   100,   10, n1  4 10  7 , n2  4 10 3 2 2 Istnieją dwa zestawy szukanych liczb -7, -7, -3 oraz 3, 5, 7. Zadania proponowane przez CKE 6. Do wyrażenia 1 określonego dla x  1 dodano jego odwrotność. Oblicz x , dla x 1 którego otrzymana suma jest równa 2. Z warunków zadania mamy równanie: 1  x 1 2 x 1 mnożymy równanie obustronnie przez x 1. 1 (x 1)2  2(x 1)  1 x2  2x 1 2x  2  0  x2  0  x  0 . helion kopia dla: Jacek Krzywonos jacek.krzywonos@gmail.com 44 ##7#52#aSUZPUk1BVC1FYm9va1BvaW50L0hlbGlvbg== e99b6b01451b80f5c97505e046bf1c49 e

Jak zdać maturę nie lubiąc matematyki – tylko 20 godzin powtórki do matury. Godzina 10 Funkcja kwadratowa i jej wykres Funkcja kwadratowa może być zapisana w trzech równoważnych postaciach. Każda funkcja kwadratowa ma postać ogólną: oraz kanoniczną: f (x)  ax2  bx  c, a  0 f (x)  a x  p2  q p b , q  2a 4a Dla funkcji kwadratowej z nieujemna deltą   0 istnieje jeszcze postać iloczynowa: f (x)  a  x  x1  x  x2  x1  b   , x2  b   2a 2a Zapiszmy funkcję w różnych postaciach: a) f (x)  3x2  2x 1,   16 zatem istnieje postać iloczynowa x1  2  16  1, x2  2  16 1 6 6 3 Postać iloczynowa: f (x)  3 x  1  x  1   3  p  2   1 , q   16   4 63 12 3 Postać kanoniczna: f (x)  3 x  1 2  4 3  3 b) f (x)  2  x  1 2 1  2  Podnosząc do kwadratu i porządkując otrzymamy postać ogólną: f (x)  2  x  1 2 1  2  x2  x  1  1  2x2  2x  3  2   4  2 Aby przejść do postaci iloczynowej policzmy   4  4  2  3  8 . Ponieważ   0 , 2 funkcja nie posiada miejsc zerowych i nie posiada postaci iloczynowej. c) f ( x)  2  x  1   x  3  2  Po wymnożeniu i uporządkowaniu otrzymamy postać ogólną: helion kopia dla: Jacek Krzywonos jacek.krzywonos@gmail.com 45 ##7#52#aSUZPUk1BVC1FYm9va1BvaW50L0hlbGlvbg== e99b6b01451b80f5c97505e046bf1c49 e

Jak zdać maturę nie lubiąc matematyki – tylko 20 godzin powtórki do matury. f (x)  2  x  1   x  3  2x2  6x  x  3  2x2  5x  3  2  Aby przejść do postaci kanonicznej liczymy , p, q :   25  24  49 , p   5 , q   49 48 f (x)  2  x  5 2  49  4  8 Sprawdź czy rozumiesz! Przejdź do postaci iloczynowej i kanonicznej: f (x)  2x2  2x  4 Wykresem funkcji kwadratowej f (x)  ax2  bx  c, a  0 jest parabola. Ważna jest umiejętność rysowania paraboli dla każdego zadanego wzoru. Pamiętajmy, że para- bola jest symetryczna. Jej oś symetrii przechodzi przez jej wierzchołek, którego współrzędne to wartości p, q z przedstawienia kanonicznego: p b , q  2a 4a q  f ( p) Ramiona paraboli skierowane są do góry jeżeli a  0 (liczba przy kwadracie zmiennej jest dodatnia) lub do dołu jeżeli a  0 (liczba przy kwadracie zmiennej jest ujemna). Jeżeli parabola przecina oś X to w punktach x1, x2 to znaczy pierwiastkach równania kwadratowego f (x)  0 . Każda parabola przecina oś Y w punkcie f (0) (wartość funkcji kwadratowej w 0). Narysujmy wykresy funkcji: a) f (x)  2x2  3x 1 b) f (x)  3 x 12  2 c) f (x)  (x  3)(x  2) a) W przypadku funkcji danej w sposób ogólny policzmy  , ewentualne pierwiastki i współrzędne wierzchołka a także punkt przecięcia z osią Y. Im więcej znajdziemy punktów, tym rysunek uda się dokładniej narysować.  981, x1  31  1 , x2  31 1, p 3, q  1 4 2 4 4 8 Zatem rysowana parabola ma wierzchołek w punkcie  3 ,  1  przecina oś X w punk-  4 8  tach 1 , 1, przecina oś Y w punkcie f (0)  1. 2 helion kopia dla: Jacek Krzywonos jacek.krzywonos@gmail.com 46 ##7#52#aSUZPUk1BVC1FYm9va1BvaW50L0hlbGlvbg== e99b6b01451b80f5c97505e046bf1c49 e

Jak zdać maturę nie lubiąc matematyki – tylko 20 godzin powtórki do matury. b) Funkcja dane jest w postaci kanonicznej, więc mamy dany wierzchołek paraboli (1, 2) , znajdźmy jeszcze punkt przecięcia paraboli z osią Y f (0)  30 12  2  5 . Ko- rzystając z symetrii paraboli z łatwością wykonamy rysunek: c) W tym przypadku ramiona paraboli skierowane są do dołu ( a  0 ). Na osi X para- bola przechodzi przez punkty 3, -2. Ze względu na symetrię wierzchołek paraboli bę- dzie miał współrzędną p  1 (w połowie odcinka od -2 do 3), współrzędną q  f ( p) 2 czyli q    1  3  1  2   5  3  15 . Możemy też łatwo znaleźć punkt przecięcia  2  2  2 2 4 z osią Y f (0)  6 : helion kopia dla: Jacek Krzywonos jacek.krzywonos@gmail.com 47 ##7#52#aSUZPUk1BVC1FYm9va1BvaW50L0hlbGlvbg== e99b6b01451b80f5c97505e046bf1c49 e

Jak zdać maturę nie lubiąc matematyki – tylko 20 godzin powtórki do matury. Zadania występujące na maturze 1. Sporządzić wykresy następujących funkcji: a) f (x)  x2  2x 1 d) f (x)  2(x 1)2  2 b) f (x)  2x2  4x 1 e) f (x)  3(x 1)(x  2) c) f (c)  2(x  2)2  3 f) f (x)  (x  3)(x  3) a) b) c) d) e) f) helion kopia dla: Jacek Krzywonos jacek.krzywonos@gmail.com 48 ##7#52#aSUZPUk1BVC1FYm9va1BvaW50L0hlbGlvbg== e99b6b01451b80f5c97505e046bf1c49 e

Jak zdać maturę nie lubiąc matematyki – tylko 20 godzin powtórki do matury. 2. Przedstaw daną funkcję, o ile to możliwe, w pozostałych postaciach: 2 2     a) f (x)  2x2  2x  3 b) f (x)  2 x  3 c) f (x)  2 x  2 x 3 a) f (x)  2x2  2x  3   2  8 3  0 delta ujemna brak postaci iloczynowej p   2 , q   28 3  14 3 4 84 Postać kanoniczna:  2 2  1  4 3 f (x)  2 x  4  4  b) f (x)  2 x  2 3 2 Postać ogólna: f (x)  2x2  4 2x  4  3 Deltę łatwiej policzyć ze wzoru q       4aq 4a   8 3  0 delta ujemna brak postaci iloczynowej   c) f (x)  2 x  2 x  3  Postać ogólna: f (x)  2x2  2 3x  2 2x  2 2 3  2x2  2 3  2 2 x  2 6 Do postaci kanonicznej potrzebne są współrzędne wierzchołka zatem liczymy:      2 3  2 2 2  4 2  2 6  20  8 6 16 6  20  8 6   2 3  2 2  3 2 , q   20  8 6  5  2 6 p 4 2 8 2 Postać kanoniczna:  3 2 2  5  2 6 f (x)  2 x  2  2 3. Oblicz najmniejszą i największą wartość funkcji w przedziale: a) f (x)  2x2  4x  3 ,  0, 2  b) f (x)  x2  3x 1 ,  1,1  c) f (x)  x2  2 ,  2, 4  W tego typu zadaniach należy ustalić czy współrzędna p wierzchołka paraboli znaj- duje się w podanym przedziale. Jeżeli nie to wartości ekstremalnych (minimum lub maksimum) szukamy wśród wartości na końcach przedziału, jeżeli tak to jedna z wartości ekstremalnych jest w wierzchołku. Maksimum jeżeli parabola ma ramiona do dołu ( a  0 ) bądź minimum, jeżeli parabola ma ramiona do góry ( a  0 ). a) f (x)  2x2  4x  3 ,  0, 2  p  4  1   0, 2  , zatem w punkcie p  1 parabola minimum, które wynosi f (1)  1 4 helion kopia dla: Jacek Krzywonos jacek.krzywonos@gmail.com 49 ##7#52#aSUZPUk1BVC1FYm9va1BvaW50L0hlbGlvbg== e99b6b01451b80f5c97505e046bf1c49 e