Materi Matematika ( Bilangan Berpangkat KPK dan FPB )

Assalamu Alaikum

Bab I Bilangan A. Mengenal Bilangan Berpangkat Bulat Positif B. Kelipatan Persekutuan Terkecil dan Faktor Persekutuan Terbesar

Kompetensi Inti 3 (Pengetahuan): 3. Memahami pengetahuan (faktual, konseptual, dan prosedural) berdasarkan rasa ingin tahunya tentang ilmu pengetahuan, teknologi, seni, budaya terkait fenomena dan kejadian tampak mata.

Kompetensi Inti 4 (Keterampilan): 4. Mencoba, mengolah, dan menyaji dalam ranah konkret (menggunakan, mengurai, merangkai, memodifikasi, dan membuat) dan ranah abstrak (menulis, membaca, menghitung, menggambar, dan mengarang) sesuai dengan yang dipelajari di sekolah dan sumber lain yang sama dalam sudut pandang/teori.

Kompetensi Dasar: 3.3 Menjelaskan dan menentukan representasi bilangan dalam bentuk bilangan berpangkat bulat positif 4.3 Menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan bilangan dalam bentuk bilangan berpangkat bulat positif

A. Mengenal Bilangan Berpangkat Bulat

MaI.naBkIaLhAyNanGgAbNenBaEr pRePrnAyNaGtaKanAdTibBaUwaLhAiTni ? 1). 53 = 5 x 3 = 15 A. BILANGAN BERPANGKAT BULAT POSITIF 2). 53 = 3 x 3 x 3 x 3 x 3 = 243 Jika a dan n dua bilangan dengan n bilangan 3)b.ula5t 3po=sit5f ,xma5kax:5 = 125 an = a x a x a x … x a a = bilangan pokok n = pangkatnya n faktor

Contoh : 1. 23 = 2 x 2 x 2 = 8 2. (-3)5 = (-3) x (-3) x (-3) x (-3) x (-3) = - 243 3. k9 = k x k x k x k x k x k x k x k x k

4. Nyatakan dalam Jawab : bentuk perkalian : a. 7k3 = 7 x k x k x k a. 7k3 b. 3m4 = 3 x m x m x m x m c. 2kn5 = 2 x k x n x n x n x n x n b. 3m4 d. (7k)3 = 7k x 7k x 7k c. 2kn5 e. (3m)4 = 3m x 3m x 3m x 3m d. (7k)3 f. (2kn)5 = 2kn x 2kn x 2kn x 2kn x 2kn e. (3m)4 f. (2kn)5

PERTANYAAN UNTUK DISKUSI KELOMPOK Pada pernyataan (i) dan (ii) dibawah ini yang benar adalah : ... 1. Hasil perkalian : (i). am x an = am + n (ii). am x an = am x n 2. Hasil pembagian : (i). am : an = am : n (ii). am : an = am - n 3. (i). Suatu Bilangan berpangkat negatif hasilnya = bilangan negatif. (ii). Suatu Bilangan berpangkat negatif hasilnya = bilangan pecahan 4. Hasil dari : (i). (am)n = am + n (ii). (am)n = am x n Cara kerjanya : ■ Pembentukan kelompok (6 orang sampai 8 orang perkelompok). ■ Satu / dua Rumus menjadi tanggungjawab satu orang pada kelompoknya yang dikerjakan pada tim ahli , selanjutnya dibawa ke kelompok untuk digabung dengan pekerjaan temannya dalam satu kelompok diskusi.

B. SIFAT-SIFAT OPERASI BILANGAN BERPANGKAT (i) Perkalian Bilangan Berpangkat Pada perkalian bilangan berpangkat berlaku sifat : am x an = am+n Jadi bila bilangan berpangkat dengan bilangan pokok sama jika dikalikan maka pada hasil pangkatnya ditambahkan.

Contoh : 1. 23 x 24 = 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 = 23 + 4 = 27 2. (-5)4 x (-5)2 = (-5) x (-5) x (-5) x (-5) x (-5) x (-5) = (-5)4 + 2 = (-5)6 3. 4b3 x 3b2 = (4 x b x b x b) x (3 x b x b) =4x3xbxbxbxbxb = 12b5

(ii) Pembagian Bilangan Berpangkat Pada pembagian bilangan berpangkat berlaku sifat : am : an = am - n Jadi pada pembagian bilangan berpangkat dengan bilangan pokok sama jika dibagi maka pada hasil pangkat bilangan yang dibagi dikurang pangkat pembaginya.

Contoh : 1. Hitunglah 29 : 25 ! Jawab : Cara I : 29 : 25 = 512 : 32 = 16 Cara II : 29 : 25 = 29 - 5 = 24 = 16 2. Tentukan hasil yang paling sederhana dari : 24k45 : 8k30 Jawab : 24k45 : 8k30 = (24 : 8)k45 – 30 = 3k15

(iii) Perpangkatan Bilangan Berpangkat Pada bilangan berpangkat berlaku sifat : (am)n = am x n Jadi jika suatu bilangan berpangkat dipangkatkan lagi maka pada hasilnya pangkat pertama dikalikan dengan pangkat kedua.

Contoh : 1. Tentukan hasil dari (23)2 ! Jawab : Cara I : (23)2 = 23x2 = 26 = 64 Cara II : (23)2 = 82 = 64 2. Tunjukkan hasil paling sederhana dari : (r2)4 ! Jawab : (r2)4 = r2 x 4 = r8 3. Sederhanakanlah : a. ((2r)4)2 b. (3n2)5 Jawab : b. (3n2)5 = 35n2 x 5 a. ((2r)4)2 = (2r)4 x 2 = 35n10 = 243n10 = (2r)8 = 28r8 = 256r8

(iv) Penjumlahan dan Pengurangan Bilangan Berpangkat Pada penjumlahan bilangan berpangkat berlaku sifat : am + an = am(1 + an - m) Contoh : 1. Hitunglah 104 + 106 ! Jawab : Cara I : 104 + 106 = 10.000 + 1.000.000 = 1.010.000 Cara II : 104 + 106 = 104(1 + 106 - 4) = 104(1 + 102) = 10.000(1 + 100) = 10.000 x 101 = 1.010.000

2. Tentukan hasil dari : 57 + 2x53 ! Jawab : 57 + 2x53 = 53(57-3 + 2) = 53(54 + 2) = 125(625 + 2) = 125 x 627 = 78.375

Pada pengurangan bilangan berpangkat berlaku sifat : an – am = am(an - m – 1) Contoh : Hitunglah 106 - 102 ! Jawab : Cara I : 106 - 102 = 1.000.000 - 100 = 999.900 Cara II : 106 - 102 = 102(106-2 - 1) = 102(104 - 1) = 100(10.000 - 1) = 100 x 9999 = 999.900

(v) Bilangan Berpangkat Nol Pada setiap bilangan berpangkat dengan nol hasilnya selalu 1 (satu) a0 = 1 , dengan a ≠ 0 Contoh : 1. Hitunglah : 34 : 34 ! Jawab : Cara I : 34 : 34 = 81 : 81 = 1 Cara II : 34 : 34 = 34-4 = 30 Dari Cara I dan Cara II bahwa : 30 = 1 sebab 1 maupun 30 adalah sama-sama hasil 34 : 34

2. Tunjukkan hasil paling sederhana dari : a. (-4)0 b. 12p0 c. 6p2 : (4p x 2p) Jawab : a. (-4)0 = 1 b. 12p0 = 12.1 = 12 c. 6p2 : (4p x 2p) = 6p2 : 8p2 = (6 : 8)p2-2 = 3/4p0 = 3/4

C. BILANGAN BERPANGKAT NEGATIF Sifat Bilangan Berpangkat Negatif Contoh : Berapakah hasil dari : 23 : 27 ? Jawabannya : Cara I : 23 : 27 = 8 : 128 = 1/16 Cara II : 23 : 27 = 23-7= 2-4 Dari cara I dan cara II didapat : 2-4 = 1/16 Perhatikan bahwa 24 = 16 , maka :

Dari contoh diatas dengan mudah kita mengerti bahwa :

Jawab : 1. 2. 3. 4.

B. Kelipatan Persekutuan Terkecil dan Faktor Persekutuan Terbesar

Kelipatan dan Faktor 1. KCoenliptoahtaSnoal: Tentukan KPK dari 4 dan 6. Penyelesaian: K4 = {4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, ...} dan K6 = {6, 12, 18, 24, 30, ...} Jadi, KP 4 dan 6 = 12. KPK dari dua bilangan atau lebih adalah bilangan bulat positif terkecil yang habis dibagi oleh bilangan-bilangan itu.

2. Faktor Contoh Soal: Tentukan FPB dari 8 dan 12. Penyelesaian: F 8 = {1, 2, 4, 8} F 12 = {1, 2, 3, 4, 6, 12} FP dari 8 dan 12 = {1, 2, 4} Jadi, FPB dari 8 dan 12 = 4 Faktor persekutuan terbesar (FPB) dari dua bilangan atau lebih adalah bilangan bulat positif terbesar yang dapat membagi habis bilangan-bilangan.

3. Menentukan KPK dan FPB Dua Bilangan atau Lebih dengan Memfaktorkan Contoh Soal

4. Menyelesaikan Masalah dalam Kehidupan Sehari-hari yang Berkaitan dengan KPK dan FPB Amati masalah berikut! Tiga orang yaitu Aris, Surya, dan Nali, diberi tugas ronda oleh Pak Lurah. Aris bertugas tiap 3 hari sekali, Surya 4 hari sekali, dan Nali tiap 6 hari sekali. Bila ronda pertama kali secara bersama-sama pada tanggal 20 Oktober 2015, maka pada tanggal berapa mereka bertugas secara bersama-sama lagi untuk yang kedua kalinya? Penyelesaian

Assalamu Alaikum