เอกสารประกอบการเรียนเรื่องฟังก์ชันตรีโกณมิติ

เร่อื ง ฟงั กช์ ันตรโี กณมิติ ชั้นมัธยมศกึ ษาปีท่ี 5 ช่อื ...............................................................................ชน้ั ................เลขที่......... จดั ทำโดย นางสาววราภรณ์ ศลิ าลัย ตำแหน่ง ครผู ้ชู ว่ ย โรงเรยี นนารายณ์คำผงวทิ ยา สำนกั งานเขตพน้ื ท่ีการศึกษามธั ยมศึกษา เขต 33

1 ฟงั กช์ นั ตรโี กณมิติ 1. ทบทวนความรเู้ บ้อื งตน้ ถา้ ให้ ABC เป็นสามเหล่ียมทมี่ ีมมุ C เปน็ มมุ ฉาก และมี a, b และ c เปน็ ความ ยาวของดา้ นตรงข้ามมุม A, B และ C ตามลำดับ อัตราส่วนตรีโกณมติ ิ sin A = = cosec A = = sec A = = cos A = = tan A = = cot A = = 2. การวดั มมุ 2.1 การวัดมมุ ในทิศทวนเข็มนาฬกิ า ....................................................... ....................................................... ....................................................... ...

2 2.2 การวัดมุมในทิศตามเขม็ นาฬกิ า ....................................................... ....................................................... ....................................................... ... 3. หนว่ ยของมมุ 3.1 องศา 1 องศา = .......... ลิปดา เขยี นแทนด้วย............................................. 1 ลิปดา = .......... ฟลิ ิปดา เขียนแทนด้วย.......................................... 3.2 เรเดียน กำหนดวงกลมท่ีมจี ุดศูนย์กลาง O มีรศั มี r หน่วย และ  เปน็ มุมท่ีจุด ศนู ย์กลางรองรับด้วยส่วนโค้งที่ยาว a o  = [ เรเดยี น ]  = [ เรเดยี น ] **** โดยท่ัวๆไป การเขยี นขนาดมุมเปน็ เรเดียนมกั จะไม่เขยี นหนว่ ยกำกบั การแปลงเรเดยี นใหเ้ ปน็ องศา  radian = ............ องศา 1 radian = = ..........................................

3 4. วงกลมหนง่ึ หน่วย มมุ 0 30 45 60 90 sin cos tan cosec sec cot

ตัวอยา่ งที่ 1 จงหาพกิ ัด (Coordinate) ของจุดต่อไปนี้ 4 1.1 P (- π2) ...................................... ...................................... 1.2 P (21) ...................................... ...................................... ................ 1.3 P (- 154π) ตัวอยา่ งท่ี 2 จงหา  ซึ่ง -2 ≤  ≤ 2 เมื่อ P() มโี คออร์ดิเนท ดงั น้ี 2.1 (√22 ,- √22) 2.2 ( -1,0 ) 2.3 (√23 , 21)

5 แบบฝึกหดั ที่ 1 (การแปลงมมุ ) 1. จงหาพกิ ัด (Coordinate) ของจุดต่อไปนี้ 1.2 P (-64) 1.1 P (334π) 1.3 P (361π) 1.4 P (- 256π) 1.5 P (- 1238π) 1.6 P (- 4043π) 1.7 P (1052) 1.8 P (- 233π)

6 แบบฝกึ หดั ที่ 2 (ทบทวนความรตู้ รโี กณเบอื้ งตน้ ) 1. จงหาค่าของ sin และ cos เม่ือกำหนด  เปน็ จำนวนจรงิ ต่อไปนี้ 1) 5 2) 11 3) -7 4) -100 5) 9π 6) 11π 2 2 7) - 5π 8) - 7π 2 2

7 9) 25π 10) 13π 6 6 11) - 11π 12) 25π 6 4 2. ถ้า  เป็นจำนวนจริง ซ่ึง -2 <  < 2 จงหาวา่  จะเป็นเท่าใดบา้ ง ซ่ึงทำให้ สมการเป็นจริง 1) sin = 1 2) cos = - 1 √2 2 3) cos = - 1 4) sin = √3 √2 2

8 3. จงหาค่าของ 1) sin π + cosπ4 6 2) sin π  cosπ6 + cosπ3  sin π 3 6 3) cos156π + sin 13π 4 4) cos 25π  cos154π - sin163π  sin 13π 4 4

9 5) 2cos(π3) + cos3(π3) – 2sin2(π3) + 34sin2 (π6) 6) 3cos2(0)  sin(π2) + 2sin2(32π)  sin0 - 21sin2 (π4)

10 5. เอกลกั ษณต์ รโี กณ sin  csc = 1 sin2 + cos2 = 1 cos  sec = 1 sec2 - tan2 = 1 tan  cot = 1 csc2 - cot2 = 1 ฟงั กช์ นั ตรโี กณมติ ขิ องมมุ ของรปู สามเหลีย่ มมมุ ฉาก ตัวอยา่ งที่ 3 ABC มีดา้ น b ยาว 20√3 มมุ A กาง 30 และมุม B กาง 60 จงหาด้าน a และ ดา้ น c

11 ตวั อยา่ งที่ 4 สามเหลี่ยมด้านเทา่ รปู หนง่ึ แนบในวงกลม ซ่ึงมสี ี่เหลี่ยมจตั รุ สั ลอ้ มรอบ ถา้ ด้านของส่ีเหล่ียมจัตุรสั ยาวดา้ นละ 10 น้ิว จงหาพน้ื ทข่ี องสามเหล่ียมนี้

12 แบบฝึกหดั ที่ 3 1. สามเหล่ียม ABC รูปหน่ึง กำหนดให้มมุ A=30 , C=90 และดา้ น a = 9√3 จงหามมุ B และดา้ นของสามเหลี่ยมอีกสองด้าน 2. ชายคนหนึ่งยืนอยู่บนหน้าผาสูง 100 ฟุต เห็นกองหินสองกองบนพนื้ ดินเบ้อื ง ล่างในแนวเดยี วกัน ถ้ามุมกดลงของกองหินทั้งสองเปน็ 60 และ 45 ตามลำดบั อยากทราบวา่ หนิ สองกองนัน้ อยหู่ ่างกันเท่าไร

13 6. ตรโี กณมติ แิ ละการประยกุ ต์ ฟงั กช์ นั ตรโี กณมติ ขิ องผลบวกและผลตา่ งของจำนวนจริงหรอื มมุ ให้ A , B เป็นจำนวนจริงสองจำนวนหรือมมุ สองมุม จะได้ความสมั พนั ธ์ ต่อไปน้ี sin(A+B) = sinAcosB + cosAsinB sin(A-B) = sinAcosB – cosAsinB cos(A+B) = cosAcosB – sinAsinB cos(A-B) = cosAcosB + sinAsinB ตัวอยา่ งที่ 5 จงหาค่าของ cos 75 , sin 105 cos 75 = sin 105 =

14 tan(A+B) = tanA + tanB 1 - tanAtanB tan(A-B) = tanA - tanB 1 + tanAtanB cot(A+B) = cotAcotB - 1 cotB + cotA cot(A-B) = cotAcotB + 1 cotB - cotA ตวั อยา่ งท่ี 6 จงหาค่าของ tan(-15) ตัวอยา่ งที่ 7 กำหนด sin A = 3 , π < A <  และ cos B = 12 , 3π < B < 2 จงหา 5 2 13 2 ค่าของ tan(A-B)

15 1. จงหาค่าของ แบบฝึกหัดที่ 4 1.1) sin 15 1.2) cos 15 1.3) tan 15 1.4) cot 15 1.5) cosec 15 1.6) sec 15 1.7) sin 75 1.8) cos 75

16 1.9) tan 75 1.10) sec 75 2. ถา้ sin A = 4 เม่ือ π < A <  และ sin B = - 2 เมื่อ  < B < 3π แล้ว จงหาค่า 5 2 √5 2 ของ 2.1) cos A 2.2) cos B 2.3) sin(A+B) 2.4) cos(A+B) 2.5) tan(A-B) 2.6) tan(A+B)

17 7. ฟังก์ชันอนิ เวอร์สของฟังกช์ นั ตรีโกณมติ ิ เราสามารถจำกดั โดเมนของฟังก์ชนั ตรโี กณมิตอิ ่ืนๆ เพื่อใหเ้ ป็นฟังก์ชนั 1-1 และสามารถหาอินเวอร์สฟงั กช์ ันได้ จึงมีการจำกดั โดเมนและเรนจ์ ดังตารางต่อไปนี้ ฟงั ก์ชนั โดเมน เรนจ์ sin [-1 , 1] cos [- π , π2] [-1 , 1] 2 [0 , ] tan (- π , π R 2 2) R cot (0 , ) sec [0 , ππ , π] (-∞ , -1] ∪ [1 , ∞) cosec 2) ∪ (2 (-∞ , -1] ∪ [1 , ∞) [- π , 0) ∪ (0 , π2] 2 ถา้ ให้ f = {(x,y) | y=sin x , x ∈ [- π , π2]} อินเวอรส์ ของฟังกช์ ัน f คือ 2 f-1 = {(x,y) | x=sin y , y ∈ [- π , π2]} และเขยี น x = sin y ในเทอมของ y เปน็ 2 y = arcsin x หรอื y = sin-1x (อ่านวา่ อารค์ ไซนเ์ อ็กซ์) ในทำนองเดียวกนั arccos แทนอินเวอรส์ ของ cos arctan แทนอินเวอรส์ ของ tan arccot แทนอินเวอร์สของ cot arcsec แทนอินเวอรส์ ของ sec arccosec แทนอินเวอร์สของ cosec

18 ตารางแสดงอินเวอรส์ ของฟังกช์ ันตรโี กณมติ ิ พรอ้ มโดเมนและเรนจ์ ฟงั กช์ นั โดเมน เรนจ์ sin [-1 , 1] [- π , π 2 2] cos [-1 , 1] [0 , ] tan R (- π , π2) cot R 2 (0 , ) sec (-∞ , -1] ∪ [1 , ∞) [0 , π ∪ π , π] cosec (-∞ , -1] ∪ [1 , ∞) 2) (2 [- π , 0) ∪ (0 , π 2 2] ***หมายเหตุ arcsin อาจเขียนแทนด้วย ....................... arccos อาจเขยี นแทนด้วย ....................... arctan อาจเขยี นแทนด้วย ....................... arccot อาจเขียนแทนด้วย ....................... arcsec อาจเขียนแทนด้วย ....................... arccosec อาจเขยี นแทนด้วย .......................

19 ตัวอยา่ งท่ี 8 จงหาค่าของ 1. arccos(21) 2. arcsin(√22) 3. arcsin(cos (π4))

20 8. กฎของโคไซนแ์ ละไซน์ กฎของโคไซน์ ในรูปสามเหลี่ยม ABC ใดๆ ถ้า a, b, c เป็นความยาวของด้านตรงข้ามมมุ A, B, C ตามลำดบั จะไดว้ ่า a2 = b2 + c2 – 2bc(cos A) b2 = a2 + c2 – 2ac(cos B) c2 = a2 + b2 – 2ab(cos C) กฎของไซน์ ในรปู สามเหล่ียม ABC ใดๆ ถ้า a, b, c เปน็ ความยาวของดา้ นตรงข้ามมุม A, B, C ตามลำดบั จะได้ sin A = sin B = sin C a b c หรือ อาจเขยี นเป็น a = b = c sin A sin B sin C

21 เราสามารถหาพืน้ ท่ีของรูปสามเหลี่ยมใดๆ ได้ดังนี้ ถา้ ABC รูปสามเหล่ียมใดๆ ท่ี a, b, c เปน็ ความยาวของดา้ นตรงขา้ มมมุ A, B, C ตามลำดบั พื้นท่ี ∆ABC = 21ab(sin C) ตารางหน่วย พน้ื ท่ี ∆ABC = 21bc(sin A) ตารางหน่วย พ้ืนท่ี ∆ABC = 21ac(sin B) ตารางหน่วย ตวั อยา่ งที่ 9 กำหนด a = 3 , c = 5 และ B = 120 จงหา b b2 = a2 + c2 – 2ac(cos B) ตวั อยา่ งที่ 10 กำหนด a = 15 , b = 7 , c = 13 จงหามุม C

22 ตวั อยา่ งที่ 11 ในสามเหลี่ยม ABC ซึ่งมีมมุ A และ B เป็นมุมแหลม ถา้ sin A = 3 , cos B = 5 และถ้า a ยาว 12 น้วิ จงหาความยาวด้าน c 5 13 ตัวอยา่ งที่ 12 ณ จดุ โคนเสาต้นหนง่ึ จะมองเห็นมุมยกขึ้นของยอดหอคอยเทา่ กบั 45 และจากยอดของเสานัน้ ซึ่งสูง 10 เมตร มมุ ยกขึ้นของยอดหอคอยเท่ากบั 30 ดงั นัน้ หอคอยสงู เทา่ ไร

23 แบบฝึกหดั ที่ 5 1. ในสามเหลี่ยม ABC รปู หนง่ึ a = 7 , b = 5 และ c = 3 จงหามมุ ทใี่ หญ่ท่ีสุด 2. จงแกส้ ามเหลี่ยม ABC รปู หนงึ่ b = 75, c = 150 และ B = 30 3. กำหนดใหส้ ามเหลี่ยม ABC รปู หน่ึง a = 300 หน่วย , b = 120 หน่วย และ C = 150 จงหาพนื้ ทขี่ องสามเหลี่ยม ABC 4. ในสามเหล่ียม ABC รปู หนงึ่ A = 22.5, B = 45 และ b = 220 หน่วย จงหา พ้นื ท่ีของสามเหลี่ยม ABC

24 5. ในสามเหล่ียม ABC รปู หนงึ่ a = 17 หน่วย , b = 25 หน่วย และ c = 28 หน่วย จงหาพ้ืนท่ีของสามเหลี่ยม ABC 6. ชตุ มิ ายนื อยหู่ ่างจากตึกหลังหนึ่ง 18 เมตร มองเหน็ ยอดตึกและเสาอากาศซึ่งอยู่ บนยอดตกึ เป็นมุมเงย 30 และ 60 ตามลำดับ แล้วจงหาความสูงของเสาอากาศ 7. เรือสองลำทอดสมออยู่ห่างกัน 60 เมตร และอยู่ในแนวเส้นตรงเดียวกับประภาคาร ลกู เรอื ในเรือแต่ละลำมองเหน็ ยอดประภาคารเป็นมมุ เงย 45 และ 30 จงหาวา่ เรอื ลำที่ อยู่ใกล้ประภาคารอยหู่ ่างจากประภาคารเทา่ ไร

25 ทำไดไ้ หมนะ? จงหาค่าของ 1) tan345 + 4cos360 2) cot 60  tan 30 + sec245 3) tan245  sin 60  tan 30  tan260

26 4) 1 cosec260 + sec245 – 2cot260 2 5) cot245 + cos 60 – sin260 - 3 cot260 4 6) cos 60 – tan245 + 34tan230 + cos230 – sin 30

27 7) sin330cot 30 – 2sec245 + 3cos 60tan 45 + tan260 8) 2cot 45 + cos360 – 2sin460 + 34tan230 เก่งมากๆ เลย