Bahan Ajar 2

Bahan Ajar TRIGONOMETRI CORNELIA ANITA W, S.PD.

PERBANDINGAN DAN FUNGSI TRIGONOMETRI A. Ukuran Sudut Terdapat dua macam satuan sudut yang biasa dipakai sehari-hari, yaitu satuan derajat dan satuan radian. Disamping itu, ada ukuran-ukuran sudut yang lebih kecil dari ukuran derajat, yakni ukuran menit (dilambangkan dengan ‘) dan ukuran detik. (dilambangkan dengan “). Ukuran sudut dalam derajat, menit dan detik mempunyai hubungan sebagai berikut : 1 derajat = 60 menit ditulis 10 = 60’ atau 1 menit = 1/60 derajat 1 menit = 60 detik ditulis 1’ = 60” atau 1 detik = 1/60 menit Sehingga : 1 derajat = 3600 detik ditulis 10 = 3600” atau 1 detik = 1/3600 derajat Untuk lebih jelasnya, ikutilah contoh soal berikut ini : 01. Nyatakan setiap sudut berikut ini ke dalam satuan derajat sampai menit dan detik (a) 48,410 (b) 32,26250 Jawab (a) 48,410 = 480 + 0,410 = 480 + (0,41 x 60)’ = 480 + 24,6’ = 480 + (24 + 0,6)’ = 480 + 24’ + (0,6 x 60)’ = 480 + 24’ + 36” Jadi 48,410 = 480 24’ 36” (b) 32,26250 = 320 + 0,26250 = 320 + (0,2625 x 60)’ = 320 + 15,75’ = 320 + 15’ + 0,75’ = 320 + 15’ + (0,75 x 60)’’ = 320 + 15’ + 45” Jadi 32,26250 = 320, 15’, 45” 02. Nyatakan setiap satuan sudut sampai menit dan detik berikut ini ke dalam satuan derajat dengan desimal (b) 380 30’ 27” (a) 230 6’ 18” Jawab Perbandingan dan Fungsi Trigonometri 1

(a) 230 6’ 18” = 230   6 0   18 0  60   3600  = 230 + 0,10 + 0,0050 = 23,1050 (b) 380 30’ 27” = 380   30 0   27 0  60   3600  = 380 + 0,50 + 0,00750 = 38,50750 Ukuran sudut yang lain adalah satuan radian. Satu radian (ditulis 1 rad) didefinisikan sebagai ukuran sudut yang berada diantara dua jari-jari lingkaran dengan panjang busur sama dengan panjang jari-jari lingkaran itu. Sehingga : Dari aturan perbandingan lingkaran, A diperoleh : Busur AB = Sudut AOB O 1rad Keliling lingkaran 3600 r = 1 rad B 2 r 3600 2πr radian = r.3600 π radian = 1800 Dari hubungan di atas diperoleh : x π rad = (180.x)0 atau x0 = x π rad 180 Untuk mengetahui besarnya 1 rad dalam derajat, maka dihitung pendekatan sebagai berikut : 1 rad = 1800 = 1800 = 57,320  3,14 Untuk lebih jelasnya, ikutilah contoh soal berikut ini : 03. Ubahlah sudut-sudut berikut ini kedalam satuan radian (a) 300 (b) 1200 (c) 2250 Jawab (a) 300 = 30 π rad = 1 π rad 180 6 (b) 1200 = 120 π rad = 2 π rad 180 3 (c) 2250 = 225 π rad = 5 π rad 180 4 04. Ubahlah sudut-sudut berikut ini kedalam satuan derajat (a) 5  rad (b) 3  rad (c) 5  rad 12 4 3 Perbandingan dan Fungsi Trigonometri 2

Jawab (a) 5  rad =  5 x 1800 π rad = 750 12 12  (b) 3  rad =  3 x 1800 π rad = 1350 4 4  (c) 5  rad =  5 x 1800 π rad = 3000 3 3  Perbandingan dan Fungsi Trigonometri 3

PERBANDINGAN DAN FUNGSI TRIGONOMETRI B. Perbandingan-Perbandingan Trigonometri Perhatikan segitiga siku-siku ABC disamping. Dengan titik sudut siku-siku di C. Panjang sisi dihadapan sudut A ( sisi depan) dinamakan a atau Panjang sisi dihadapan sudut B ( sisi samping) dinamakan b atau Panjang sisi dihadapan sudut C ( sisi miring) dinamakan c atau B c miring a  depan C samping  b A Yang dimaksud nilai perbandingan dalam trigonometri adalah enam nilai perbandingan sisi sisi segitiga siku-siku, yaitu : sin α = a = sisi depan cosec α = c = sisi miring c sisi miring a sisi depan cos α = b = sisi samping sec α = c = sisi miring c sisi miring b sisi samping tan α = a = sisi depan cotan α = b = sisi samping b sisi samping a sisi depan Dari nilai perbandingan di atas terdapat beberapa hubungan satu sama lain, yaitu cosec α = 1 sec α = 1 cotan α = 1 sin  cos t an  Untuk lebih jelasnya, ikutilah contoh soal berikut ini : 01. Dari segitiga siku-siku disamping tentukanlah nilai dari :  (a) sin  (b) cos  5 (c) tan  (d) sin  (d) tan  (e) csc  4 3 Perbandingan dan Fungsi Trigonometri 1

Jawab (b) cos α = samping = 4 (a) sin α = depan = 3 miring 5 miring 5 (b) sin β = depan = 4 (c) tan α = depan = 3 miring 5 samping 4 (d) csc β = samping = 5 (c) tan β = depan = 4 depan 4 samping 3 02. Jika koordinat A(8,4) dan  adalah sudut antara OA dan sumbu X, maka tentukanlah nilai : (a) sin α (b) tan  (c) sec  Jawab y OA2 = OB2 + AB2 A(8, 4) OA2 = 82 + 42 4 OA2 = 80 OA = 80 = 4 5  8 x O B (a) sin α = AB = 4 = 4 x 5 = 5 OA 4 5 4 5 5 5 (b) tan α = AB = 4 = 1 OB 8 2 (c) sec α = OA = 4 5 = 5 OB 8 2 03. Diketahui segitiga ABC siku-siku di B, dimana AB = 12 cm dan AC = 4 cm. Tentukanlah nilai (a) cos A (b) tan C (c) csc A Jawab C BC2 = AC2 – AB2 BC2 = 42 – ( 12)2 4 BC2 = 16 – 12 BC2 = 4 BC = 2 A 12 B maka Perbandingan dan Fungsi Trigonometri 2

(a) cos A = AB = 12 = 2 3 = 3 AC 4 42 (b) tan C = AB = 12 = 2 3 = 3 BC 2 2 (c) csc A = AC = 4 = 2 BC 2 Perbandingan dan Fungsi Trigonometri 3

PERBANDINGAN DAN FUNGSI TRIGONOMETRI C. Perbandingan Trigonometri Sudut-sudut Istimewa Yang dimaksud dengan sudut istimewa adalah sudut-sudut 00, 300, 450, 600dan 900. Sudut-sudut tersebut dikatakan istimewa karena mempunyai nilai perbandingan trigonometri yang spesifik, yakni sebagai berikut : B C c a  b CA C/B A/B A Jika  = 00, maka segitiga ABC menjadi sebuah garis horizontal karena sisi AB dan AC berimpit, sehingga sin 00 = 0 = 0, cos 00 = c = 1 dan tan 00 = 0 = 0 cc c Jika  = 900, maka segitiga ABC menjadi sebuah garis vertikal karena sisi AB dan CB berimpit, sehingga sin 900 = c = 1, cos 900 = 0 = 0 dan tan 900 = c =  cc 0 C  Misalkan segitiga ABC disamping adalah segitiga samasisi. Maka sudut  = 600 dan sudut  = 300. Jika sisi segitiga ABC itu s cm, maka diperoleh :  B AC = s cm dan AD = 1 s cm AD 2 s2 1 s 2 4s2  s2 = 3s 2 = s 3 cm  2 Sehingga CD =  = 44 42 Dari sini didapat : sin  = CD maka sin 600 = s 3 / 2 = 1 3 AC s2 cos  = AD maka cos 600 = s / 2 = 1 AC s2 tan  = CD maka tan 600 = s 3 / 2 = 3 AD s / 2 Perbandingan dan Fungsi Trigonometri 1

sin  = AD maka sin 300 = s / 2 = 1 AC s2 cos  = CD maka cos 300 = s 3 / 2 = 1 3 AC s2 tan  = AD maka tan 300 = s / 2 = 1 3 CD s 3/2 3 DC Misalkan ABCD adalah persegi, sehingga segitiga ABD  adalah segitiga siku-siku sama kaki dan sudut  = 450 Jika sisi persegi ABCD itu s cm, maka diperoleh :  AB = s cm AB AD = s cm BD = s2  s2 = 2.s2 = s 2 cm Dari sini didapat : sin  = AD maka sin 450 = s = 1 2 BD s2 2 cos  = AB maka cos 450 = s = 1 2 BD s2 2 tan  = AD maka tan 450 = s = 1 AB s Nilai-nilai perbandingan trigonometri untuk sudut-sudut istimewa tersebut selengkapnya terangkum dalam tabel berikut ini : 00 300 450 600 900. Sin  01 1 1 1 Cos  2 3 Tan  2 2 2 1 1 1 1 0 3 2 2 2 2 0 1 1 3 3 3 Untuk lebih jelasnya, ikutilah contoh soal berikut ini : 01. Tentukanlah nilai dari : (a) 6.sin600 + 8cos300 – 2tan600 (b) 12.sin300.cos300. tan450 (c) sin 2 600  cos2 600 2sos300 tan600 Jawab Perbandingan dan Fungsi Trigonometri 2

(a) 6.sin600 + 8cos300 – 2tan600 = 6.( 1 3 ) + 8( 1 3 ) – 2( 3 ) 22 =3 3 +4 3 –2 3 =5 3 (b) 12.sin300.cos300. tan450 = 12. ( 1 ).( 1 3 ). (1) 22 =3 3 (c) sin 2 600  cos2 600 =  1 3 2   1 2 2  2 2sos300 tan600  2 1 3 . 3 2  31 =4 4 3 = 1/ 2 3 =1 6 02. Tentukanlah nilai dari : (b) csc 450 (c) cot 600 (a) sec 300 Jawab (a) cos 300 = 3 Maka sec 300 = 2 23 sec 300 = 2 x 3 3 3 sec 300 = 2 3 3 (b) sin 450 = 2 Maka csc 450 = 2 22 csc 450 = 2 2 x 22 csc 450 = 2 (c) tan 600 = 3 Maka cot 600 = 1 13 cot 600 = 1 x 3 3 3 cot 600 = 1 3 3 Perbandingan dan Fungsi Trigonometri 3

03. Diketahui segitiga ABC siku-siku di B dan besar sudut C adalah 600. Jika panjang AC = 12 cm, maka tentukanlah panjang : (a) AB (b) BC Jawab C (a) sin 600 = AB AC 60 0 3 = AB 12 cm 2 12 AB = 12 x 3 2 A B AB = 6 3 cm (b) cos 600 = BC AC 1 = BC 2 12 BC = 6 cm 04. Seseorang melihat puncak menara dari suatu tempat dengan sudut elevasi 600. Jika diketahui tinggi menara adalah 90 m maka tentukanlah jarak orang tersebut ke kaki menara (tinggi orang diabaikan) Jawab C posisi orang adalah A Jarak orang ke menara = AB 90 m A 600 B Maka : tan 600 = BC AB 3 = 90 AB AB = 90 x 3 33 AB = 90 3 3 AB = 30 3 m Jadi jarak orang tersebut ke kaki menara = 30 3 m Perbandingan dan Fungsi Trigonometri 4

05. Seorang anak menaikkan layang-layang di sebuah lapangan. Jika sudut yang dibentuk oleh benang layang-layang dengan arah mendatar adalah 450 , sedangkan panjang benang tadi 120 m maka tentukanlah tinggi layang-layang tersebut (Tinggi anak diabaikan) Jawab C A adalah posisi posisi anak C adalah posisi layang-layang 120 m 450 B A Maka : sin 450 = BC AC 2 = BC 2 120 BC = 120 x 2 2 BC = 60 2 m Jadi tinggi layang-layang = 60 2 m Perbandingan dan Fungsi Trigonometri 5

PERBANDINGAN DAN FUNGSI TRIGONOMETRI D. Rumus Perbandingan Trigonometri di Semua Kuadran Dalam pembahasan sebelumnya, kita telah melihat nilai perbandingan trigonometri untuk sudut sudut istimewa yang besarnya kurang dari 900 (dinamakan sudut lancip). Selanjutnya akan dibahas nilai perbandingan trigonometri untuk sudut sudut istimewa yang besarnya lebih dari 900. Yang dimaksud sudut istimewa yaitu sudut 00 dan sudut kelipatan 300 dan 450 . Dalam interval 00  x  3600 sudut-sudut tersebut dikelompokkan atas empat kuadran, yaitu : Kuadran I , yakni sudut-sudut yang besarnya antara 00 sampai 900 (dinamakan sudut lancip) Kuadran II , yakni sudut-sudut yang besarnya antara 900 sampai 1800 (dinamakan sudut tumpul) Kuadran III , yakni sudut-sudut yang besarnya antara 1800 sampai 2700 Kuadran IV , yakni sudut-sudut yang besarnya antara 2700 sampai 3600 Nilai perbandingan trigonometri untuk sudut-sudut istimewa dapat dikelompokkan menjadi dua bagian, yakni : - Dengan menggunakan aturan pelurus (1800 –  ), (1800 +  ) dan (3600 –  ) - dengan menggunakan aturan penyiku (900 +  ), (2700 –  ) dan (2700 +  ). Untuk nilai perbandingan trigonometri sudut-sudut istimewa dengan menggunakan aturan pelurus dapat dijelaskan sebagai berikut : y Misalkan sebuah lingkaran dengan jari-jari 1 Q(x, y) 1 1 P(x, y) satuan dengan ujung titik P(x, y) diletakkan Q'   y pada koordinat Cartesius. O x x Kemudian pada kuadran II terdapat titik Q(– P' x, y) pada lingkaran tersebut sehingga segitiga siku-siku OP’P dan OQ’Q kongruen. Perbandingan dan Fungsi Trigonometri 1

Dari segitiga OP’P diperoleh nilai : Sin  = y = y cos  = x = x tan  = y 11 x Dari segitiga OQ’Q diperoleh : sin (180 –  ) = y = y = sin  maka sin (180 –  ) = sin  1 cos (180 –  ) =  x = –x = –cos  maka cos (180 –  ) = –cos  1 tan (180 –  ) = y =  y = –tan  maka tan (180 –  ) = –tan  x x Sebuah lingkaran dengan jari-jari 1 satuan dengan ujung titik P(x, y) diletakkan pada koordinat Cartesius. Kemudian pada kuadran III terdapat titik Q(– y x, –y) pada lingkaran tersebut sehingga segitiga siku-siku OP’P dan OQ’Q kongruen. P(x, y) Dari segitiga OP’P diperoleh nilai : Q' 1 y Sin  = y = y Q(x,y)  P' x1  Ox cos  = x = x 1 1 tan  = y x Dari segitiga OQ’Q diperoleh : sin (180 +  ) =  y = –y = –sin  maka sin (180 +  ) = –sin  1 cos (180 +  ) =  x = –x = –cos  maka cos (180 +  ) = –cos  1 tan (180 +  ) =  y = y = tan  maka tan (180 +  ) = tan  x x Nilai perbandingan trigonometri untuk sudut-sudut istimewa dikuadran IV dapat dijelaskan sebagai berikut : y sebuah lingkaran dengan jari-jari 1 satuan P(x, y) dengan ujung titik P(x, y) diletakkan pada koordinat Cartesius. 1y Kemudian pada kuadran IV terdapat titik  Q(x, –y) pada lingkaran tersebut sehingga 0  x P' x segitiga siku-siku OPP’ dan OQP’ kongruen. 1 Q(x,y) Perbandingan dan Fungsi Trigonometri 2

Dari segitiga OPP’ diperoleh nilai : Sin  = y = y cos  = x = x tan  = y 1 1 x Dari segitiga OQP’ diperoleh : sin (360 –  ) =  y = –y = –sin  maka sin (360 –  ) = –sin  1 cos (360 –  ) = x = x = cos  maka cos (360 –  ) = cos  1 tan (360 –  ) = y = y = –tan  maka tan (360 –  ) = –tan   xx Berdasarkan uraian di atas dapat ditarik kesimpulan bahwa dengan menggunakan aturan pelurus untuk sudut-sudut istimewa dalam interval 00  x  3600 berlaku hubungan : sin (180 – α) = sin α sin (180 + α) = –sin α sin (360 – α) = –sin α cos (180 – α) = –cos α cos (180 + α) = –cos α cos (360 – α) = cos α tan (180 – α) = –tan α tan (180 + α) = tan α tan (360 – α) = –tan α Disamping itu, dengan menggunakan aturan penyiku terdapat pula hubungan antara nilai- nilai perbandingan trigonometri di berbagai kuadran, yakni sebagai berikut : y sebuah lingkaran dengan jari-jari 1 satuan dengan ujung titik P(x, y) diletakkan pada Q P(x, y) koordinat Cartesius. x Sehingga pada segitiga siku-siku OPR y1 berlaku :  R Sin  = y = y 0x 1 cos  = x = x 1 tan  = y x cot  = x y Dari segitiga siku-siku OPQ diperoleh : sin (900 –  ) = x = x = cos  maka sin (900 –  ) = cos  1 cos (900 –  ) = y = y = sin  maka cos (900–  ) = sin  1 tan (900 –  ) = x = cot  maka tan (900 –  ) = cot  y Perbandingan dan Fungsi Trigonometri 3

y Sebuah lingkaran dengan jari-jari 1 satuan T(y, x) W dengan ujung titik P(x, y) diletakkan pada 1Q koordinat Cartesius. P(x, y) Sehingga pada segitiga siku-siku OPR 1 y berlaku :  R S x Sin  = y = y  1 0x cos  = x = x 1 tan  = y x cot  = x y Terdapat pula titik T(–y, x) pada lingkaran yang membentuk segitiga siku-siku OTS sehingga berlaku: sin (900 +  ) = x = x = cos  maka sin (900 +  ) = cos  1 cos (900 +  ) =  y = –y = –sin  maka cos (900 +  ) = –sin  1 tan (900 +  ) = x =  x = –cot  maka tan (900 +  ) = –cot  y y y Sebuah lingkaran dengan jari-jari 1 satuan dengan ujung titik P(x, y) diletakkan pada Q P(x, y) koordinat Cartesius. 1 y Sehingga pada segitiga siku-siku OPR  x S 0 0 x berlaku : R 1 Sin  = y = y cos  = x = x 1 1 tan  = y cot  = x x y T(x,y) W Terdapat pula titik T(–y, –x) pada lingkaran yang membentuk segitiga siku-siku OTS sehingga berlaku: sin (2700 –  ) =  x = –x = –cos  maka sin (2700 –  ) = –cos  1 cos (2700 –  ) =  y = –y = –sin  maka cos (2700 –  ) = –sin  1 tan (2700 –  ) =  x = x = cot  maka tan (2700 –  ) = cot  y y Perbandingan dan Fungsi Trigonometri 4

y Sebuah lingkaran dengan jari-jari 1 satuan Q dengan ujung titik P(x, y) diletakkan pada 1 P(x, y) koordinat Cartesius.  y 0x S Sehingga pada segitiga siku-siku OPR R  berlaku : 1 T(y,x) x y=y cos  = x = x W Sin  = 1 1 tan  = y cot  = x x y Terdapat pula titik T(y, –x) pada lingkaran yang membentuk segitiga siku-siku OTS sehingga berlaku: sin (2700 +  ) =  x = –x = –cos  maka sin (2700 +  ) = –cos  1 cos (2700 +  ) = y = y = sin  maka cos (2700 +  ) = sin  1 tan (2700 +  ) =  x =  x = –cot  maka tan (2700+  ) = –cot  yy Berdasarkan uraian di atas dapat ditarik kesimpulan bahwa dengan menggunakan aturan pelurus untuk sudut-sudut istimewa dalam interval 00  x  3600 berlaku hubungan : sin (900 – α) = cos α sin (900 + α) = cos α cos (900 – α) = sin α cos (900 + α) = –sin α tan (900 – α) = cot α tan (900 + α) = –cot α sin (2700 – α) = –cos α sin (2700 + α) = –cos α cos (2700 – α) = –sin α cos (2700 + α) = sin α tan (2700 – α) = cot α tan (2700 + α) = –cot α Untuk lebih jelasnya akan diuraikan pada contoh soal berikut : 01. Tentukanlah nilai dari : (b) sin 2250 (a) cos 1500 (d) sec 1350 (c) tan 2400 (e) cot 1200 (d) csc 3000 Jawab (a) cos 1500 = cos (180 – 30)0 = –cos 300 = –1 3 2 Perbandingan dan Fungsi Trigonometri 5

(b) sin 2250 = sin (180 + 45)0 = –sin 450 = –1 2 2 (c) tan 2400 = tan (180 + 60)0 = tan 600 =3 (d) sin 3000 = sin (360 – 60)0 = sin 600 = 3 2 Jadi csc 3000 =  2 3 = 2 x 3 33 = 2 3 3 (e) tan 1200 = tan (180 – 60)0 = –tan 600 = 3 Jadi ctg 1200 =  1 3 =1 x 3 3 3 = 1 3 3 02. Jika diketahui cos  = 1 dan  pada kuadran IV maka tentukanlah nilai 3 (a) sin  (b) tan  (d) sec  Jawab Jika diketahui nilai cos  = 1 , maka untuk menentukan nilai-nilai perbandingan 3 trigonometri yang lain, kita menggunakan bantuan segitiga siku-siku. BC2 = 32 – 12 B BC2 = 8 BC = 8 3 BC = 2 2 22  1 C A Perbandingan dan Fungsi Trigonometri 6

Sehingga karena  pada kuadran IV maka diperoleh : (a) sin  =  2 2 3 (b) tan  =  2 2 =  2 2 1 (c) sec  = 3 = 3 1 03. Tentukanlah nilai dari : (a) cos 5  (b) sin 7  (c) tan 3  3 6 2 Jawab (a) cos 5  = cos (5 x 1800 ) 33 = cos 3000 = cos (360 – 60)0 = cos 600 = 1/2 (b) sin 7  = sin (7 x 1800 ) 66 = sin 2100 = sin (180 + 30)0 = –sin 300 = –1/2 (c) tan 3  = tan ( 3 x 1800 ) 22 = tan 2700 = tan (180 + 90)0 = tan 900 = tidak ada Aturan lain yang diambil dari sudut (3600 – α) adalah aturan sudut negatif. Dimana aturan yang dipakai adalah sebagai berikut: sin (3600 – α) = –sin α cos (3600 – α) = cos α tan (3600 – α) = –tan α tan (00 – α) = –tan α sin (00 – α) = –sin α cos (00 – α) = cos α tan (–α) = –tan α sin (–α) = –sin α cos (–α) = cos α Untuk menentukan nilai perbandingan trigonometri terhadap sudut-sudut yang besarnya lebih dari 3600 maka digunakanlah aturan periodisitas trigonometri. Nilai sinus dan cosinus akan berulang setiap kelipatan 3600 sedangkan nilai tangens akan berulang setiap 1800. ini berati sin 300 = sin 3900 = sin 7500 dan seterusnya. Sehingga dapat dirumuskan : dimana k adalah bilangan bulat sin (k.3600 + α ) = sin α cos (k.3600 + α ) = cos α tan (k.1800 + α ) = tan α Perbandingan dan Fungsi Trigonometri 7

Namun dalam praktiknya aturan periodisitas di atas dapat disederhanakan dengan rumusan : sin (α – k.3600) = sin α cos (α – k.3600) = cos α tan (α – k.3600) = tan α dimana k adalah bilangan asli dan α ≥ k.3600 Untuk lebih jelasnya akan diuraikan pada contoh soal berikut : 04. Tentukanlah nilai dari (b) cos ( 4  ) 3 (a) sin (–315)0 Jawab (a) sin (–315)0 = –sin 3150 = –sin (360 – 45)0 = sin 450 =1 2 2 (b) cos ( 4  ) = cos 4  33 = cos ( 4 x 1800 ) 3 = cos 2400 = cos (180 + 60)0 = –cos 600 = 1 3 2 05. Tentukanlah nilai dari (b) sin 12150 (c) tan 6000 (a) cos 9300 Jawab (a) cos 9300 = cos (930 – 720)0 = cos 2100 = cos (180 + 30)0 = –cos 300 = 1 3 2 (b) sin 12150 = sin (1215 – 1080)0 = sin 1350 = sin (180 – 45)0 = sin 450 =1 2 2 Perbandingan dan Fungsi Trigonometri 8

(b) tan 6000 = tan (600 – 360)0 = tan 2400 = tan (180 + 60)0 = tan 600 =3 06. Tentukanlah nilai dari (a) sin 11 (b) cos 20  (c) csc 25  3 3 6 Jawab (a) sin 11 = sin ( 11 x 180 )0 3 3 = sin 6600 = sin (660 – 360)0 = sin 3000 = sin (360 – 60)0 = –sin600 = 1 3 2 (b) cos 20  = cos ( 20 x 180 )0 33 = cos 12000 = cos (1200 – 1080)0 = cos 1200 = cos (180 – 60)0 = –cos600 = 1 2 (c) sin 25  = sin ( 25 x 180 )0 6 6 = sin 7500 = sin (750 – 732)0 = sin 300 =1 2 Jadi csc 25  = 2 = 2 61 Perbandingan dan Fungsi Trigonometri 9

PERBANDINGAN DAN FUNGSI TRIGONOMETRI E. Identitas Trigonometri Identitas trigonometri adalah bentuk persamaan trigonometri yang menghubungkan suatu perbandingan trigonometri dengan perbandingan trigonometri yang lainnya. Dalam hal ini terdapat identitas trigonometri dasar yang sudah pernah dibahas pada materi sebelumnya, yaitu : (1) cosec α = 1 (2) sec α = 1 (3) cotan α = 1 sin  cos t an  Disamping itu terdapat pula identitas-identitas dasar yang lain, yang didapat dari proses sebagai berikut: Pada segitiga siku-siku di samping berlaku : sin α = y r r y cos α = x r  tan α = y x x Menurut teorema Pythagoras, berlaku: x2 + y2 = r2 (kedua ruas dibagi dengan r2 ) x2 + y2 = r2 r2 r2 r2 x2 + y2 = 1  r   r  cos2 x + sin 2 x = 1 ……………………………………………………………………. (1) Jika kedua ruas dibagi cos2 x diperoleh : cos2 x + sin 2 x = 1 cos2 x cos2 x cos2 x 1 + tan2 x = sec2 x …………………. (2) Jika kedua ruas dibagi sin 2 x diperoleh : cos2 x + sin 2 x = 1 sin 2 x sin 2 x sin 2 x cot2 x + 1 = csc2 x …………………. (3) Sedangkan dari rumus perbandingan tangens diperoleh : Perbandingan dan Fungsi Trigonometri 1

tan x = y (pembilang dan penyebut dibagi r) x tan x = y / r x/r tan x = sin x ………………………………………………………………………….. (4) cos x Selain identitas dasar di atas, identitas-identitas yang lain dapat dikembangkan dengan memanfaatkan rumus identitas dasar tersebut. Untuk lebih jelasnya, ikutilah contoh soal berikut ini : 01. Buktikanlah bahwa 3 + 5sin2  = 8 – 5cos2  Jawab = 3 + 5sin2  Ruas kiri = 3 + 5(1 – cos2  ) = 3 + 5 – 5cos2  = 8 – 5cos2  = Ruas kanan 02. Buktikanlah bahwa sec2  – sin2  .sec2  = 1 Jawab = sec2  – sin2  .sec2  Ruas kiri = sec2  (1 – sin2  ) = sec2  . cos2  = 1 . cos2  cos 2  =1 = Ruas kanan 03. Buktikanlah bahwa 1  sin  = cos  cos  1  sin  Jawab Ruas kiri = 1  sin  cos  =  1  sin   .  1  sin    cos   1  sin   = 1  sin 2  cos (1  sin  ) = cos 2  cos (1  sin ) cos  = 1  sin  = Ruas kanan Perbandingan dan Fungsi Trigonometri 2

04. Buktikanlah bahwa tan  – cot  = 1  2 cos2  3 sin  cos Jawab Ruas kiri = tan  – cot  = sin  – cos cos sin  = sin 2   cos 2  sin  . cos  = 1  cos 2   cos 2  sin .cos = 1  2 cos2  sin  cos = Ruas kanan 05. Buktikanlah bahwa tan = sin  cos 1  tan2  cos2   sin 2  Jawab Ruas kiri = tan 1  tan2  sin  = cos 1  sin 2  cos2  sin  = cos cos2   sin 2  cos2  cos2  sin  = cos cos2   sin 2  cos2  = sin .cos2  cos.(cos2   sin 2  ) = sin .cos cos2   sin 2  = Ruas kanan Perbandingan dan Fungsi Trigonometri

06. Buktikanlah bahwa sec   csc  = tan  1 sec   css tan  1 Jawab Ruas kiri = sec   csc  sec   css 1 1 = cos sin  1 1 cos sin  sin   cos = sin .cos sin   cos sin .cos = sin   cos sin   cos sin   cos cos  cos  = sin   cos cos cos = tan  1 tan  1 = Ruas kanan Perbandingan dan Fungsi Trigonometri 4