Bahan Ajar 1

Bahan Ajar PERSAMAAN & FUNGSI KUADRAT CORNELIA ANITA W, S.PD.

SISTEM PERSAMAAN LINIER DAN KUADRAT A. Menyelesaikan Persamaan Kuadrat Persamaan merupakan bentuk relasi dalam matematika yang menghubungkan dua ruas (kiri dan kanan) yang nilainya sama, dan dilambangkan dengan notasi ”=”. Atau ditulis Ruas kiri = Ruas kanan Suatu persamaan biasanya memuat satu atau lebih variabel-variabel, sehingga menyelesaikan suatu persamaan adalah mencari nilai variabel-variabel itu supaya persamaan tersebut bernilai benar. Persamaan linier adalah persamaan yang mengandung variabel dengan pangkat tertinggi satu. Sedangkan persamaan kuadrat adalah suatu persamaan yang mengandung variabel dengan pangkat tertinggi dua. Demikian juga untuk persamaan pangkat tiga dan seterusnya. Dalam uraian selanjutnya, pembahasan akan lebih dititik beratkan pada persamaan kuadrat. Misalkan a, b, c  Real dan a  0, maka persamaan yang berbentuk ax2 + bx + c = 0 dinamakan persamaan kuadrat dalam variabel x. Dimana a merupakan koefisien dari x2, b adalah koefisien dari x dan c adalah suatu tetapan (konstanta) Untuk lebih jelasnya ikutilah contoh soal berikut ini : 01. Ubahlah setiap persamaan berikut ini kedalam bentuk baku persamaan kuadrat : (a) (2x – 2)(x + 4) – (x + 3)(x + 1) = 0 (b) 2x – 5 = 3 x (c) 4 + 1 = 3 x 1 x  2 Jawab (a) (2x – 2)(x + 4) – (x + 3)(x + 1) = 0 (2x2 + 8x – 2x – 8) – (x2 + x + 3x + 3) = 0 (2x2 + 6x – 8) – (x2 + 4x + 3) = 0 2x2 + 6x – 8 – x2 – 4x – 3 = 0 x2 + 2x – 11 = 0 Sistem Persamaan Linier dan Kuadrat 1

(b) 2x – 5 = 3 x x(2x – 5) = 3 2x2 – 5x – 3 = 0 (c) 4 + 1 = 3 x 1 x  2 4(x  2)  1(x 1) = 3 (x 1)(x  2) 4(x – 2) + (x – 1) = 3(x – 1)(x – 2) 4x – 8 + x – 1 = 3(x2 – 2x – x + 2) 5x – 9 = 3(x2 – 3x + 2) 5x – 9 = 3x2 – 9x + 6 3x2 – 9x + 6 – 5x + 9 = 0 3x2 – 14x + 15 = 0 Misalkan x = x1 adalah penyelesaian dari persamaan kuadrat ax2 + bx + c = 0 maka persamaan kuadrat itu memenuhi nilai x = x1 dan x1 dikatakan akar dari persamaan kuadrat tersebut. Pada umumnya persamaan kuadrat memiliki dua buah akar yang dinamakan x1 dan x 2 . Terdapat tiga cara untuk mendapatkan akar-akar dari suatu pasamaan kuadrat, yakni : a. Dengan memfaktorkan Metoda pemfaktoran untuk menyelesaikan persamaan kuadrat ini dapat dipahami dengan uraian berikut ini (1) x2 – 7x + 10 = 0 (x  …) (x  …) = 0 faktor dari 10 adalah : 1 x 10 sehingga (x + 1) (x + 10) = 0 tidak memenuhi (–1) x (–10) sehingga (x – 1) (x – 10) = 0 tidak memenuhi 5 x 2 sehingga (x + 5) (x + 2) = 0 tidak memenuhi (–5) x (–2) sehingga (x – 5) (x – 2) = 0 memenuhi Jadi x2 – 7x + 10 = (x – 5) (x – 2) = 0 Sehingga x – 5 = 0 x1 = 5 x – 2 = 0 x2 = 2 Untuk lebih jelasnya ikutilah contoh soal berikut ini : 02. Tentukanlah penyelesaian dari setiap persamaan kuadrat berikut ini dengan memfaktorkan: (a) x2 – x – 12 = 0 (b) x2 – 6x + 8 = 0 (c) x2 + 5x – 24 = 0 (d) x2 – 8x + 16 = 0 Jawab Sistem Persamaan Linier dan Kuadrat 2

(a) x2 – x – 12 = 0 (x – 4)(x + 3) = 0 x1 = 4 dan x 2 = –3 (b) x2 – 6x + 8 = 0 (x – 4)(x – 2) = 0 x1 = 4 dan x 2 = 2 (c) x2 + 5x – 24 = 0 (x + 8)(x – 3) = 0 x1 = –8 dan x 2 = 3 (c) x2 – 8x + 16 = 0 (x – 4)(x – 4) = 0 x1 = 4 dan x 2 = 4 03. Tentukanlah penyelesaian dari setiap persamaan kuadrat berikut ini dengan memfaktorkan: (b) 2x2 – 7x + 3 = 0 (a) 2x2 + 7x + 6 = 0 (d) 5x2 – 18x – 8 = 0 (c) 3x2 – x – 4 = 0 Jawab (a) 2x2 + 7x + 6 = 0 (2x + 3)(x + 2) = 0 x1 = –3/2 dan x 2 = –2 (b) 2x2 – 7x + 3 = 0 (2x – 1)(x – 3) = 0 x1 = 1/2 dan x 2 = 3 (c) 3x2 – x – 4 = 0 (3x – 4)(x + 1) = 0 x1 = 4/3 dan x 2 = –1 (c) 5x2 – 18x – 8 = 0 (5x + 2)(x – 4) = 0 x1 = –2/5 dan x 2 = 4 b. Dengan melengkapkan kuadrat sempurna Kuadrat sempurna yang dimaksud adalah bentuk (x  b)2 = 0 Metoda melengkapkan kuadrat sempurna untuk menyelesaikan persamaan kuadrat ini dapat dipahami dengan uraian berikut ini x2 – 6x + 8 = 0 x2 – 6x = –8 (Kedua ruas ditambah 9) x2 – 6x + 9 = –8 + 9 (x – 3)2 = 1 Sistem Persamaan Linier dan Kuadrat 3

x–3 =  1 x = 1 + 3 Jadi x1 = 1 + 3 = 4 dan x 2 = –1 + 3 = 2 Untuk lebih jelasnya ikutilah contoh soal berikut ini : 04. Tentukanlah penyelesaian dari setiap persamaan kuadrat berikut ini dengan melengkapkan kuadrat sempurna (a) x2 + 6x + 5 = 0 (b) x2 – 8x + 12 = 0 (c) x2 – 10x = 0 (d) x2 + 5x – 6 = 0 Jawab (a) x2 + 6x + 5 = 0 (Kedua ruas ditambah 9) dan x 2 = –2 + 3 = 1 Jawab x2 + 6x + 5 = 0 x2 + 6x = –5 x2 – 6x + 9 = –5 + 9 (x – 3)2 = 4 x–3 =  4 x = 2 + 3 Jadi x1 = 2 + 3 = 5 (b) x2 – 8x + 12 = 0 Jawab x2 – 8x + 12 = 0 x2 – 8x = –12 (Kedua ruas ditambah 16) x2 – 8x + 16 = –12 + 16 (x – 4)2 = 4 x–4 =  4 x = 2 + 4 dan x 2 = –2 + 4 = 2 Jadi x1 = 2 + 4 = 6 (c) x2 – 10x = 0 Jawab (Kedua ruas ditambah 25) x2 – 10x = 0 x2 – 10x + 25 = 25 (x – 5)2 = 25 x – 5 =  25 x = 5 + 5 Jadi x1 = 5 + 5 = 10 dan x 2 = –5 + 5 = 0 Sistem Persamaan Linier dan Kuadrat 4

(d) x2 + 5x – 6 = 0 Jawab x2 + 5x – 6 = 0 x2 + 5x = 6 (Kedua ruas ditambah 25 ) 4 x2 + 5x + 25 = 6 + 25 44 (x  5)2 = 24 + 25 2 44 (x  5)2 = 49 24 x  5 =  49 24 x5 = 7 22 Jadi x1 = 7– 5 =1 dan x2 = 7 – 5 = –6 2 2 2 2 05. Tentukanlah penyelesaian dari setiap persamaan kuadrat berikut ini dengan melengkapkan kuadrat sempurna (b) x2 – 10x + 13 = 0 (a) x2 – 8x + 11 = 0 (d) 4x2 – 8x + 1 = 0 (c) 2x2 + 8x + 5 = 0 Jawab (a) x2 – 8x + 11 = 0 Jawab x2 – 8x + 11 = 0 x2 – 8x = –11 (Kedua ruas ditambah 16) x2 – 8x + 16 = –11 + 16 (x – 4)2 = 5 x–4 =  5 x =  5 +4 Jadi x1 = 5 + 4 dan x 2 = – 5 + 4 (b) x2 – 10x + 13 = 0 Jawab x2 – 10x + 13 = 0 x2 – 10x = –13 (Kedua ruas ditambah 25) x2 – 10x + 25 = –13 + 25 (x – 5)2 = 12 x – 5 =  12 x = 2 3 +5 x2 = –2 3 + 5 Jadi x1 = 2 3 + 5 dan Sistem Persamaan Linier dan Kuadrat 5

(c) 2x2 + 8x + 5 = 0 (Kedua ruas ditambah 4) Jawab 2x2 + 8x + 5 = 0 +4 x2 + 4x + 5 = 0 2 x2 + 4x = – 5 2 x2 + 4x + 4 = – 5 2 (x + 2)2 = 3 2 x+2 =  3 2 x = –2  6 2 x = 4  6 22 x = 4 6 2 Jadi x1 = 4 6 dan x2 = 4 6 2 2 (d) 4x2 – 8x + 1 = 0 (Kedua ruas ditambah 1) Jawab 4x2 – 8x + 1 = 0 +1 x2 – 2x + 1 = 0 4 x2 – 2x = – 1 4 x2 – 2x + 1 = – 1 4 (x – 1)2 = 3 4 x–1 =  3 4 x = 1 3 2 x = 2 3 2 Jadi x1 = 2 3 dan x2 = 2 3 2 2 Sistem Persamaan Linier dan Kuadrat 6

c. Dengan menggunakan rumus Persamaan kuadrat Rumus menentukan akar-akar suatu persamaan kuadrat ax2 + bx + c = 0 , a ≠ 0 dapat diturunkan dengan metoda melengkapkan kuadrat sempurna, yaitu : ax2 + bx + c = 0 (Kedua ruas dibagi a) x2 + b x + c = 0 aa x2 + b x =  c aa x2 + b x +  b 2 = c +  b 2 a  2a  a  2a  x  b 2 = c + b2 2a  a 4a 2 x  b 2 =  4ac + b2 2a  4a 2 4a 2 x  b 2 = b2 – 4ac 2a  4a 2 4a 2 x  b 2 = b2  4ac 2a  4a 2 x  b =  b2  4ac 2a 4a 2 x12   b  b2  4ac sehingga x12   b  b2  4ac 2a 2a 2a Jadi akar akar suatu persamaan kuadrat ax2 + bx + c = 0 , a ≠ 0 dapat ditentukan dengan rumus : Dimana √a dan √a a a Untuk lebih jelasnya ikutilah contoh soal berikut ini : 06. Tentukanlah penyelesaian dari setiap persamaan kuadrat berikut ini dengan mengunakan rumus persamaan kuadrat (b) x2 – 4x – 8 = 0 (a) x2 – 6x + 8 = 0 Jawab Sistem Persamaan Linier dan Kuadrat 7

(a) x2 – 6x + 8 = 0 Maka x12   b  b2  4ac 2a x12   (6)  (-6)2  4(1)(8) 2(1) x12  6  36  32 2 x12  6  4 2 x12  6  2 2 Jadi x1  6  2 = 4 dan x2  6  2 =2 2 2 (b) x2 – 4x – 8 = 0 Maka x12   b  b2  4ac 2a x12   (4)  (4)2  4(1)(8) 2(1) x12  4  16  32 2 x12  4  48 2 x12  4 4 3 2 Jadi x1  4 4 3 = 22 3 dan x1  4 4 3 = 22 3 2 2 07. Tentukanlah penyelesaian dari setiap persamaan kuadrat berikut ini dengan mengunakan rumus persamaan kuadrat (b) 2x2 – 8x + 5 = 0 (a) x2 – 9 = 0 Jawab (a) x2 – 9 = 0 Maka x12   b  b2  4ac 2a x12  0  02  4(1)(9) 2(1) Sistem Persamaan Linier dan Kuadrat 8

x12   36 2 x12  6 2 Jadi x1  6 =3 dan x2  6 = –3 2 2 (b) 2x2 – 8x + 5 = 0 Maka x12   b  b2  4ac 2a x12   (8)  (8)2  4(2)(5) 2(2) x12  8  64  40 4 x12  8  4 24 x12  8  2 6 4 x12  4  6 2 Jadi x1  4  6 dan x2  4  6 2 2 08. Tentukanlah penyelesaian dari setiap persamaan kuadrat berikut ini dengan metoda bebas (a) (x – 6)(x + 1) + 2(x – 2)(x – 3) = –6 (b) x – 4 – 7 = 0 x2 Jawab (a) (x – 6)(x + 1) + 2(x – 2)(x – 3) = –6 (x2 + x – 6x – 6) + 2(x2 – 3x – 2x + 6) = –6 x2 + x – 6x – 6 + 2x2 – 6x – 4x + 12 = –6 3x2 – 15x + 6 + 6 = 0 3x2 – 15x + 12 = 0 x2 – 5x + 4 = 0 (x – 4)(x – 1) = 0 x1  4 dan x 2 1 (b) x – 4 – 7 = 0 x2 (x – 4)  x  2  – 7 =0  x  2  x2 Sistem Persamaan Linier dan Kuadrat 9

(x  4)(x  2) – 7 = 0 x2 x2 x2  2x  8 – 7 = 0 x2 x2 x2  2x 15 = 0 x2 x2 – 2x – 15 = 0 (x – 5)(x + 3) = 0 x1  5 dan x 2   3 09. Tentukanlah nilai x yang memenuhi persamaan x  6 – x  7 = x  8 – x  9 x5 x6 x7 x8 Jawab x6 – x7 = x8 – x9 x5 x6 x7 x8 (x2 12x  36)  (x2 12x  35) = (x2 16x  64)  (x2 16x  63) x2 11x  30 x2 15x  56 1 = 1 x2 11x  30 x2 15x  56 x2 15x  56 = x2 11x  30 4x = –26 x = –13/2 10. Tentukan nilai x bilangan real yang memenuhi (x2 + 2x + 3)(2x2 + 4x – 33) = –54 Jawab Misalkan p = x2 + 2x (x2 + 2x + 3)(2x2 + 4x – 33) = –54 ([x2 + 2x] + 3)(2[x2 + 2x] – 33) = –54 (p + 3)(p – 33) = –54 2p2 – 27p – 45 = 0 (2p + 3)(p – 15) = 0 Untuk p = –3/2 maka x2 + 2x = –3/2 tidak memenuhi 2x2 + 2x + 3 = 0 Untuk p = 15 maka x2 + 2x = 15 2x2 + 2x – 15 = 0 (x + 5)(x – 3) = 0 Jadi x = –5 atau x = 3 Sistem Persamaan Linier dan Kuadrat 10

11. Jika 1 + 1 = 3 dan a.b = 1 maka tentukanlah nilai a dan b ab Jawab 1 + 1 = 3 dan a.b = 1 maka 1 + a = 3 ab a 1 + a2 = 3a a2 – 3a + 1 = 0 jadi a12 = 3  5 2 Untuk a1  3 5 maka b1  2 = 3 5 2  2 3 5 Untuk a2  3 5 maka b2  2 = 3 5 2 2 3 5 Sistem Persamaan Linier dan Kuadrat 11

SISTEM PERSAMAAN LINIER DAN KUADRAT B. Sifat-Sifat Akar Persamaan Kuadrat Pada pembahasan sebelumnya, telah diuraikan tentuang cara menentukan akar-akar persamaan kuadrat ax2 + bx + c = 0 yakni dengan rumus kudrat, yaitu : x12   b  b2  4ac 2a Dari rumus diatas terlihat bahwa akar-akar suatu persamaan kuadrat sangat dipengaruhi dari nilai b2 – 4ac. Jika nilai ini negatif tentu saja akar-akarnya tidak dapat ditentukan (imajiner) dan jika nilai ini berbenentuk bilangan kuadrat maka akar- akarnya akan rasional, dan seterusnya Nilai b2 – 4ac dinamakan diskriminan dari persamaan kuadrat ax2 + bx + c = 0. Ditinjau dari diskriminan tersebut, maka persamaan kuadrat dapat dibagi menjadi tiga macam, yaitu : D > 0 : Mempunyai dua akar real yang berlainan Dimana untuk D bilangan kuadrat, maka akar-akarnya rasional dan untuk D bukan bilangan kuadrat, maka akar-akarnya irrasional D = 0 : Mempunyai dua akar real yang sama D < 0 : Mempunyai akar-akar imajiner (tidak nyata) Untuk lebih jelasnya ikutilah contoh soal berikut ini : 01. Tentukanlah jenis-jenis akar persamaan kuadrat berikut ini : (a). 2x2 – 7x + 6 = 0 (b) x2 – 6x + 12 = 0 (c) x2 – 4x + 1 = 0 Jawab (a). 2x2 – 7x + 6 = 0 Uji : D = b2 – 4ac D = (–7)2 – 4(2)(6) D = 49 – 48 D=1 Jadi akar-akar persamaan kuadrat di atas rasional berlainan (b). x2 – 6x + 12 = 0 Uji : D = b2 – 4ac D = (–6)2 – 4(1)(12) D = 36 – 48 D = –12 Jadi akar-akar persamaan kuadrat di atas imajiner (tidak nyata) Sistem Persamaan Linier dan Kuadrat 1

(c). x2 – 4x – 1 = 0 Uji : D = b2 – 4ac D = (–4)2 – 4(1)( –1) D = 16 + 4 D = 20 Jadi akar-akar persamaan kuadrat di atas irrasional berlainan 02. Tentukanlah nilai p agar persamaan kuadrat berikut ini memiliki akar yang sama (a) x2 – px + 16 = 0 (b) (p + 3)x2 – 4x + p = 0 Jawab (a) x2 – px + 16 = 0 Syarat : D = 0 b2 – 4ac = 0 (–p)2 – 4(1)(16) = 0 p2 – 64 = 0 (p – 8)(p + 8) = 0 Jadi nilai p = 8 atau p = –8 (b) (p + 3)x2 – 4x + p = 0 Syarat : D = 0 b2 – 4ac = 0 (–4)2 – 4(p + 3)(p) = 0 16 – 4p2 – 12p = 0 –4p2 – 12p + 16 = 0 p2 + 3p – 4 = 0 (p + 4)(p – 1) = 0 Jadi nilai p = –4 atau p = 1 03. Tentukanlah batas-batas nilai m agar persamaan kuadrat berikut ini tidak memiliki akar yang nyata (a) x2 – 3x – 3m = 0 (b) (m + 1)x2 + 2mx + (m – 2) = 0 Jawab (a) x2 – 3x – 3m = 0 Syarat : D < 0 b2 – 4ac < 0 (–3)2 – 4(1)(–3m) < 0 9 + 12m < 0 12m < –9 m < –9/12 m < –3/4 Sistem Persamaan Linier dan Kuadrat 2

(b) (m + 1)x2 + 2mx + (m – 2) = 0 Syarat : D < 0 b2 – 4ac < 0 (2m)2 – 4(m + 1)(m – 2) < 0 4m2 – 4(m2 – m – 2) < 0 4m2 – 4m2 – 4m – 8 < 0 –4m – 8 < 0 –4m < 8 m > –2 Jika x1 dan x2 adalah akar-akar persamaan kuadrat ax2 + bx + c = 0 dimana x1  x2 maka akar akar tersebut dapat ditentukan dengan rumus persamaan kuadrat yaitu : x1   b  b2  4ac dan x 2   b  b2  4ac . Sehingga diperoleh : 2a 2a x1  x2 = b b2  4ac + b b2  4ac 2a 2a =  2b 2a = b a x1 . x2 =   b  b2  4ac    b  b2  4ac       2a   2a  = (b)2  (b2  4ac) 4a 2 = 4ac 4a 2 =c a x1  x2 =   b  b2  4ac  –   b  b2  4ac       2a   2a  = 2 b2  4ac 2a =D a Jadi disimpulan : Suatu persamaan kuadrat ax2 + bx + c = 0 , a ≠ 0 mempunyai akar akar x1 dan x2 , dimana x1  x2 , maka berlaku : x1  x2  b x1 . x2  c x1  x2 = D a a a Sistem Persamaan Linier dan Kuadrat 3

Untuk lebih jelasnya ikutilah contoh soal berikut ini : 01 Jika x1 dan x2 adalah akar-akar persamaan x2 – 3x + 6 = 0 maka tentukanlah nilai (a) x1 + x2 dan x1 . x2 (b) x12  x 2 2 (c) x13x 2  x 23x1 (d) x1  x 2 x2 x1 Jawab (a) x2 – 3x + 6 = 0 x1 + x2 =  b x1 . x2 = c a a x1 + x2 =  (3) x1 . x2 = 6 1 1 x1 + x2 = 3 x1 . x2 = 6 (b) Dikietahui : x2 – 3x + 6 = 0 Maka (x1  x 2 )2 = x12  2.x1x 2  x 22 (x1  x 2 )2 – 2.x1x 2 = x12  x 2 2 32 – 2(6) = x12  x 2 2 x12  x 2 = –3 2 (c) Dikietahui : x2 – 3x + 6 = 0 Maka x13x 2  x 23x1 = x12 x1x2  x22 x1x2 x13x 2  x 23x1 = x1x 2 (x12  x 22 ) x13x 2  x 23x1 = 6(–3) x13x 2  x 23x1 = –18 (d) Dikietahui : x2 – 3x + 6 = 0 Maka x1  x2 = x12  x 22 x2 x1 x1x 2 x1  x2 =  3 x2 x1 6 x1  x2 =  1 x2 x1 2 02 Jika salah satu akar dari persamaan x2 – 10x + (k + 3) = 0 adalah empat kali akar yang lain, maka tentukanlah nilai k Jawab x2 – 10x + (k + 3) = 0 maka x1 + x2 = 10 x1 . x2 = (k + 3) x1 = 4.x2 Sistem Persamaan Linier dan Kuadrat 4

sehingga : x1 + x2 = 10 4x2 + x2 = 10 5x2 = 10 x2 = 2 dan x1 = 4(2) = 8 x1 . x2 = k + 3 (8)(2) = k + 3 Jadi k = 13 03 Jika jumlah kebalikan dari akar-akar persamaan x2 – px + (p – 1) = 0 adalah 3/2 maka hitunglah nilai p dan akar-akar persamaan kuadrat itu Jawab x2 – px + (p – 1) = 0 maka x1 + x2 = p x1 . x2 = (p – 1) 11 = 3 x1 x2 2 sehingga : 1  1 = 3 x1 x2 2 x1  x2 = 3 x1x2 2 p =3 p 1 2 2p = 3(p – 1) 2p = 3p – 3 Jadi p = 3 Persamaan kuadrat itu adalah : x2 – 3x + (3 – 1) = 0 x2 – 3x + 2 = 0 (x – 2)(x – 1) = 0 x1 = 2 x2 = 1 04 Jika  dan  adalah akar-akar persamaan kuadrat x2 + 3x – m = 0 serta diketahui  + 3  = 5 maka hitunglah nilai m Jawab x2 + 3x – m = 0 maka  +  = –3  .  = –m sehingga :  + 3  = 5  +  + 2 = 5 –3 + 2  = 5 2  = 8 maka  = 4  +  = –3  + 4 = –3 maka  = –7 Jadi  .  = –m (–7)(4) = –m m = –28 Sistem Persamaan Linier dan Kuadrat 5

Persamaan kuadrat dapat disusun dengan menggunakan perkalian faktor dan rumus jumlah dan hasil kali akar-akarnya. Misalkan x1 dan x2 adalah akar-akar suatu persamaan kuadrat, maka menyusun persamaan kuadrat dengan perkalian faktor menggunakan formula sebagai berikut : (x − x1)(x – x2) = 0 Jika bentuk diatas dikalikan satu sama lain, maka akan diperoleh : (x − x1)(x – x2) = 0 x2 − x1x – x2 x + x1. x2 = 0 x2 − ( x1 + x2 )x + (x1 . x2 ) = 0 Jadi, misalkan jumlah dan hasil kali akar-akar persamaan kuadrat adalah ( x1 + x2 ) dan (x1 . x2) maka persamaan kuadrat dapat dibentuk dengan formula sebagai berikut x2 − ( x1 + x2 )x + (x1 . x2 ) = 0 Untuk lebih jelasnya ikutilah contoh soal berikut ini : 01. Tentukanlah persamaan kuadrat yang akar-akarnya –3 dan 4 Jawab x2 − ( x1 + x2 )x + (x1 . x2 ) = 0 x2 − (–3 + 4)x + (–3)(4) = 0 x2 − x – 12 = 0 02. Tentukanlah persamaan kuadrat yang akar-akarnya 3 – 5 dan 3 + 5 Jawab x1 + x2 = (3 – 5 ) + (3 + 5 ) = 6 x1 . x2 = (3 – 5 )(3 + 5 ) = 9 – 5 = 4 maka : x2 − ( x1 + x2 )x + (x1 . x2 ) = 0 x2 − (6)x + (4) = 0 x2 − 6x + 4 = 0 03. Tentukanlah persamaan kuadarat yang akar-akarnya empat lebihnya dari akar-akar x2 + 5x – 2 = 0 Jawab maka Misalkan x2 + 5x – 2 = 0 akar akarnya x1 dan x2 , maka x1 + x2 = –5 x1 . x2 = –2 Misalkan persamaan kuadrat baru akar-akarnya  dan   = x1 + 4  = x2 + 4 Sehingga  +  = x1 + 4 + x2 + 4  +  = x1 + x2 + 8  +  = –5 + 8  +  = 3 ............................................................................ (1) Sistem Persamaan Linier dan Kuadrat 6

 .  = (x1 + 4)(x2 + 4)  .  = x1 x2 + 4x1 + 4x2 + 16  .  = x1 x2 + 4(x1 + x2) + 16  .  = –2 + 4(–5) + 16  .  = –6 ............................................................................. (2) Jadi : x2 − ( +  )x + ( .  ) = 0 x2 − (3)x + (–6) = 0 x2 − 3x – 6 = 0 Atau dengan cara lain : Karena  = x1 + 4 maka x1 =  – 4 Sehingga x2 + 5x – 2 = 0 ( – 4)2 + 5( – 4) – 2 = 0  2 – 8 + 16 + 5 – 20 – 2 = 0  2 – 3 – 6 = 0 Jadi persamaan kuadrat baru adalah x2 − 3x – 6 = 0 04. Jika akar-akar persamaan kuadarat x2 – 6x + 4 = 0 adalah α dan β maka tentukanlah persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya 3 dan 3   Jawab Misalkan x2 – 6x + 4 = 0 akar akarnya  dan  , maka  +  =6  . = 4 Misalkan persamaan kuadrat baru akar-akarnya x1 dan x2 maka x1 = 3  x2 = 3  Sehingga x1 + x2 = 3 + 3   x1 + x2 = 3  3  x1 + x2 = 3(   )  x1 + x2 = 3(6) 4 x1 + x2 = 9 ............................................................................ (1) 2 x1 . x2 = 3 . 3   x1 . x2 = 9  x1 . x2 = 9 ............................................................................. (2) 4 Jadi : x2 − ( x1 + x2 )x + (x1 . x2 ) = 0 x2 − ( 9 )x + ( 9 ) = 0 2 4 4x2 − 18x + 9 = 0 Sistem Persamaan Linier dan Kuadrat 7

Atau dengan cara lain : Karena x1 = 3 maka  = 3  x 1 Sehingga x2 – 6x + 4 = 0  3 2 – 6  3  + 4 = 0 x1 x1  9  –  18  +4=0  x12  x1 9 – 18x1 + 4 x12 = 0 Jadi persamaan kuadrat baru adalah 4x2 − 18x + 9 = 0 Sistem Persamaan Linier dan Kuadrat 8

PERSAMAAN DAN FUNGSI KUADRAT C. Grafik Fungsi Kuadrat Bentuk umum fungsi kuadrat adalah f(x) = ax2 + bx + c = 0 dimana a, b, dan c adalah bilangan real dan a ≠ 0. Grafik fungsi kuadat ini gambarnya y berbentuk parabola. Untuk menggambarnya diperlukan langkah- langkah sebagai berikut : (1) Menentukan titik potong dengan sumbu x , x syaratnya y = 0 x O x sehingga ax2 + bx + c = 0 1 2 (x – x1)( x – x2) = 0 y Titiknya (x1,0) dan (x2,0) P (2) Menentukan titik potong dengan sumbu y, xx syaratnya x = 0 sehingga y = a(0)2 + b(0) + c = c P Titiknya (0, c) (3) Menentukan persamaan sumbu simetri, yakni : x = x P , dimana x P adalah titik tengah x1 dan x2. Sehingga : xP = 1 (x1  x 2 ) 2 xP = 1 ( b) 2a xP = b 2a Jadi persamaan sumbu simetri adalah : x =  b 2a (4) Menentukan nilai ekstrim atau nilai maksimum/minimum fungsi, yakni yP Dimana y P = axP2 + bxP + c yP = a   b  2 + b   b  + c  2a   2a  yP = ab 2 – b2 +c 4a 2 2a yP = ab 2 – 2ab 2 + 4a 2c 4a 2 4a 2 4a 2 Persamaan dan Fungsi Kuadrat 1

yP =  ab 2  4a 2c 4a 2 yP = b2  4ac  4a Jadi nilai maksimum/minimum fungsi adalah y = b2  4ac  4a Catatan: Jika a > 0 maka nilai minimum dan jika a < 0 maka nilai maksimum (5) Menentukan titik balik fungsi (maksimum/minimum), yaitu P  b , b2  4ac   2a  4a  (6) Menggambar grafik fungsi Untuk lebih jelasnya ikutilah contoh soal berikut ini : 01 Lukislah grafik fungsi f(x) = x2 – 2x – 8 Jawab Titiik potong dengan sumbu-X, yakni x2 – 2x – 8 = 0 (x – 4)(x + 2) = 0 x1 = 4 dan x2 = –2 Titiknya (–2, 0) dan (4, 0) Titiik potong dengan sumbu-Y, yakni y = x2 – 2x – 8 y = (0)2 – 2(0) – 8 = –8 Titiknya (0, –8) Persamaan sumbu simetri, yakni x =  b 2a x =  (2) 2(1) x=1 y Persamaan sumbu simetri, yakni y = b2  4ac  4a x = (2)2  4(1)(8)  4(1) x = –9 Titik balik minimumnya di P(1, –9) Gambar grafiknya : 2 O x 4 9 P(1,  9) x 1 Persamaan dan Fungsi Kuadrat 2

02 Lukislah grafik fungsi f(x) = –x2 + 6x – 5 Jawab Titiik potong dengan sumbu-X, yakni –x2 + 6x – 5 = 0 x2 – 6x + 5 = 0 (x – 1)(x – 5) = 0 x1 = 1 dan x2 = 5 Titiknya (1, 0) dan (5, 0) Titiik potong dengan sumbu-Y, yakni y = –x2 + 6x – 5 y = –(0)2 + 6(0) – 5 = –5 Titiknya (0, –5) Persamaan sumbu simetri, yakni x =  b 2a x= 6 2(1) x=3 Persamaan sumbu simetri, yakni y = b2  4ac  4a x = 62  4(1)(5)  4(1) x = 36  20 4 x=4 Titik balik minimumnya di P(3, 4) Gambar grafiknya : y P(1, 4) 4 O1 x 5 5 x3 Persamaan dan Fungsi Kuadrat 3

03. Lukislah grafik fungsi f(x) = 2x2 – 4x + 5 Jawab Titiik potong dengan sumbu-X, yakni 2x2 – 4x + 5 = 0 Uji D = b2 – 4ac D = (–4)2 – 4(2)(5) D = –24 < 0 Akar-akarnya tidak real Tidak ada titik potong dengan sumbu-X Titiik potong dengan sumbu-Y, yakni y = 2x2 – 4x + 5 y = 2(0)2 – 4(0) + 5 = 5 Titiknya (0, 5) Persamaan sumbu simetri, yakni x =  b 2a x =  (4) 2(2) x = –1 Persamaan sumbu simetri, yakni y = b2  4ac  4a x = (4)2  4(2)(5)  4(2) x=3 Titik balik minimumnya di P(–1, 3) Gambar grafiknya : y 5 P(1, 3) 3 x 1 O x  1 Persamaan dan Fungsi Kuadrat 4

Fungsi kuadrat f(x) = ax2 + bx + c = 0 , a ≠ 0 dengan diskriminan D = b2 – 4ac akan mempunyai sifat-sifat sebagai berikut : (1) Memotong sumbu x di dua titik jika D > 0 (2) Menyinggung sumbu x jika D = 0 (3) Tidak memotong atau menyinggung sumbu x jiks D < 0 (4) Membuka ke atas jika a > 0 (5) Membuka ke bawah jika a < 0 (6) Seluruh fungsinya berada di atas sumbu x (definit positip) jika D < 0 dan a > 0 (7) Seluruh fungsinya berada di bawah sumbu x (definit negatip) jika D < 0 dan a < 0 D<0 D=0 D>0 x a>0 a>0 a>0 x x xx x D<0 D=0 D>0 a<0 a<0 a<0 Terkadang suatu fungsi kuadrat dapat disusun jika diketahui beberapa unsurnya, yaitu a. Jika fungsi kuadrat diketahui titik potong dengan sumbu x yaitu (x1 , 0) dan (x2 , 0) maka persamaannya adalah f(x) = a(x – x1)(x – x2) b. Jika suatu fungsi kuadrat diketahui titik baliknya P(p , q), maka persamaannya adalah f(x) = a(x – p)2 + q Untuk lebih jelasnya ikutilah contoh soal berikut ini : 01. Tentukanalah persamaan fungsi kuadrat yang mempunyai titik balik minimum P(3, –6) dan melalui titik (5, 2) Jawab 2 = a(52 – 6(5) + 9) – 6 y = a(x – p)2 + q y = a(x – 3)2 + (–6) y = a(x2 – 6x + 9) – 6 Melalui titik (5, 2) maka : 2 + 6 = a(25 – 30 + 9) 8 = a(4) sehingga a = 2 Jadi y = 2(x2 – 6x + 9) – 6 y = 2x2 – 12x + 12 Persamaan dan Fungsi Kuadrat 5

02. Tentukanalah persamaan fungsi kuadrat jika titik potongnya dengan sumbu-X adalah A(4, 0) dan B(–2, 0) serta melalui titik (2, –8) Jawab y = a(x – x1)(x – x2) y = a(x – 4)(x – (–2)) y = a(x – 4)(x + 2) y = a(x2 – 2x – 8) Melalui titik (2, –8) maka : –8 = a((2)2 – 2(2) – 8) –8 = a(4 – 4 – 8) –8 = a(–8) sehingga a = 1 Jadi y = 1(x2 – 2x – 8) y = x2 – 2x – 8 03. Tentukanlah nilai m agar fungsi kuadrat y = mx2 + (2m + 1) x + (m + 2) menyinggung sumbu-X Jawab Syarat menyinggung : D = 0 b2 – 4ac = 0 (2m + 1)2 – 4(m)(m + 2) = 0 4m2 + 4m + 1 – 4m2 – 8m = 0 –4m + 1 = 0 m = 1/4 04. Diberikan soal “Sebuah perusahaan bus memiliki 8000 penumpang per hari dengan tarip tetap untuk jauh dekat 2000 rupiah. Untuk mengantisipasi kenaikan biaya operasional, perusahaan tersebut mengadakan survey terhadap pelanggan. Hasilnya adalah untuk setiap kenaikan 500 rupiah, pelanggan akan berkurang 800 penumpang per hari. Berapa rupiah kenaikan tarip yang harus diterapkan untuk memaksimalkan pendapatan perusahaan?”. Jawab Persamaan dan Fungsi Kuadrat 6