โครงสร้าง-structure1

ENGINEERING MECHANICS I: STATICS กลศาสตร์วศิ วกรรม 1: สถิตยศาสตร์ โดย อ.ดร. เจษฎาภรณ์ ปริยดากล ภาควชิ าวศิ วกรรมเคร่ืองกล คณะวศิ วกรรมศาสตร์ มหาวทิ ยาลยั มหิดล 1

บทท่ี 4 โครงสร้าง (Structure) 2

ทบทวนบทท่ี 3 สภาวะสมดุล (Equilibrium) วธิ ีการแก้ปัญหา 1. เขียน FBD ชิน้ สว่ นวตั ถทุ ่ีสนใจ 2. ระบแุ รงทงั้ หมด โดยแสดงใน FBD เช่น แรง โมเมนต์แรงคคู่ วบ แรงปฏิกิริยาจดุ รองรับ นา้ หนกั 3. ระบแุ กนอ้างองิ (x-y หรือ x-y-z) สาหรับโจทย์ 2 มติ ิ นิยมให้โมเมนต์ทวนเขม็ นาฬกิ าเป็นบวก ให้แรงแกน x ไปทางขวาเป็นบวก ให้แรงแกน y ขนึ ้ ไปทางข้างบนเป็นบวก 4. ใช้สมการสมดลุ ∑F = 0 , ∑M = 0 3

ทบทวนบทท่ี 3 สมดลุ 2 มติ ิ สมดุล 3 มติ ิ ∑ Fx = 0 ∑ M0 = 0 ∑ Fx = 0 ∑ Fy = 0 ∑ Fz = 0 ∑ Fy = 0 (1) ∑ Mx = 0 ∑ My = 0 ∑ Mz = 0 ; x,y,z = แกน x,y,z หลักการหา ∑M = 0 (สมดุล 2 มิติ และ 3 มิติ) (2) ∑ MA = 0 ; A = จุ ดใดๆ ที่ตัวไม่รู้คา่ ผา่ นเยอะ take mement ท่ีจดุ (สมดุล 2 มติ )ิ หรือ (3) ∑ MAB = 0 ; AB = แกนใดๆ ทตี่ วั ไม่รูค้ ่าผ่านเยอะ จดุ /แกน (สมดลุ 3 มิต)ิ ท่ีตวั ไมท่ ราบคา่ ผา่ นมากท่ีสดุ “แยกแยะให้ออกว่า ต้องหาโมเมนต์โดยวธิ ีใด (1/2/3)” 4

(เพม่ิ เตมิ ) บทที่ 2.5 โมเมนตย์ อ่ ยรอบแกนใดๆ Mλ คือ โมเมนต์ยอ่ ยของ Mo รอบแกน λ ใดๆ ที่ผ่านจดุ O การหา Mλ ขนาด ������λ = ������������ ∙ ������ = ���റ��� × ���റ��� ∙ ������ เวกเตอร์ ������λ = ������λ������ = (���റ��� × ���റ��� ∙ ������)������ 5

(เพมิ่ เติม) ตวั อยา่ งท่ี 2.18 _ ระบบแรง Determine the moment MAB produced by the force F, which tends to rotate the rod about the AB axis. Ans: MAB = 72.07i +36.04j N.m Ref. (2) D 6 x

(เพมิ่ เตมิ ) ตวั อยา่ งท่ี 3.12_ สมดุล 3 มิติ ระบบมีแรง 2 kN กระทาํ ตามภาพ ท่ี A เป็นฐานยึดแบบลูกปืนและเบ้า (ball and socket joint) ส่วน ท่ี B เป็นแหวนปลอก(loose-fitting ring) สว่ น CD เป็นเคเบิลท่ปี ้องกันการหมุน ระบบนอี้ ยูใ่ นสมดลุ โดยไม่คดิ นา้ํ หนกั ของชิน้ ส่วนต่างๆ จงหาแรง T ในเคเบิล แรงปฏกิ ริ ยิ าท่แี หวน B และแรงปฏกิ ิริยาท่ี A ANS: T = 2.83 kN, Bx = 0.417 kN, Bz = 4.05 kN, Ax = -1.25 kN, Ay = -3.04 kN, Az = -1.56 kN FBD (Ref. [1]) 7

(เพมิ่ เตมิ ) ตวั อยา่ งท่ี 3.13 _ สมดุล 3 มิติ แทง่ กลมประกอบกันและรับนาํ้ หนัก 1.25 kN จงหาสว่ นประกอบย่อย ของแรงปฏิกริ ยิ าท่ขี อ้ ต่อ A ซ่ึง เป็นแบบลกู ปืนและเบา้ (ball and socket joint), journal bearing ท่ี E, และแรงในแท่ง CD กําหนดให้ จุ ดต่อท่ี C และ D เป็นแบบลูกปื นและเบ้า ANS: Ax = Ay = 0 kN, Az = 0.315 kN, E������ = 0 kN, Ez = 2.81 kN, FE = 2.81k kN FBD 8

บทที่ 4 โครงสร้าง (Structure) 1. บทนา 2. โครงถกั ระนาบ/โครงข้อหมนุ (Trusses) วิธีคานวนแรงในชิน้ สว่ นของโครงถกั ระนาบ โครงถกั สามมติ ิ (Space trusses) 3. โครงกรอบ (Frame) และเครื่องจกั รกล (Machine) 9

1. บทนา บทท่ผี ่านมา • เน้นยา้ ท่ีแรงท่ีเกิดขนึ ้ กบั วตั ถแุ บบโครงสร้างเดีย่ วๆ หรือแรงที่กระทาตอ่ โครงสร้างที่เชื่อมตอ่ แต่ พิจารณาเป็นโครงสร้างเดี่ยว เช่น เนือ้ หาในบทที่ 3 บทนี ้ • เมอื่ วตั ถเุ กร็งหลายๆชนิ ้ ถกู นามาประกอบกนั เป็นโครงสร้าง และต้องรับแรงกระทา • แรงยดึ เหน่ียวนีค้ ือแรงท่เี กดิ ขนึ้ ภายในตัวโครงสร้าง • ในบทนีจ้ ะเน้นการหาแรงท่ยี ดึ เหน่ียวให้วตั ถหุ ลายๆชิน้ นนั้ ให้ยงั คงประกอบกนั เป็น โครงสร้างที่มรี ูปร่างลกั ษณะแบบเดมิ 10

1. บทนา 1 3 2 1. โครงถกั ระนาบ/โครงข้อหมนุ (Trusses) 11 เป็นโครงสร้างที่เกิดจากการนา Two-Force member มาตอ่ กนั 2. โครงกรอบ (Frame) ใช้รับแรงในลกั ษณะที่อยกู่ บั ท่ี ตา่ งจากโครงถกั ตรงท่ีจะต้องมี ชิน้ สว่ นอยา่ งน้อย 1 ชิน้ ที่รับแรงเกินสองแรง 3. เครื่องจกั รกล (Machine) มีชิน้ สว่ นอยา่ งน้อย 1 ชิน้ ท่ีรับแรงเกินสองแรง ใช้รับแรงสง่ ผา่ นแรง ตา่ งจากโครงกรอบตรงที่มกั มีชิน้ สว่ นที่เคลอ่ื นท่ีได้ (Ref. [2])

1. บทนา Two - force member = ชนิ้ ส่วนรับแรงสองแรงโดยไม่คดิ นา้ หนัก 1. แรงอยใู่ นแนวเดียวกนั 2. แรงมีขนาดเทา่ กนั แตม่ ีทิศตรงกนั ข้าม 3. แรงท่เี กิดขนึ ้ จะต้องกระทาตามแนวของชิน้ สว่ นแตล่ ะชิน้ (โดยไมค่ านงึ ถงึ รูปร่างชิน้ สว่ น) 4. รับแรงกด (Compression) หรือรับแรงดงึ (Tension) 12

1. โครงถกั ระนาบ (Plane truss) 1. เขียน FBD 2. หาแรงปฏิกิริยาบริเวณจดุ รองรับเน่ืองจากแรงกระทาภายนอก 3. คานวณแรงในชิน้ สว่ น 13

2. โครงถกั ระนาบ/โครงขอ้ หมุน (Trusses) ประกอบขนึ ้ จาก ชนิ้ ส่วนตรง หลายชิน้ ยดึ ติดกนั ที่จดุ ต่อด้วยหมดุ ใช้ระบบพนื้ ช่วยถ่ายแรงไปลงท่ีจุดต่อ (Ref. [2]) (Ref. [1]) 14

2. โครงถกั ระนาบ/โครงขอ้ หมุน (Trusses) (Ref. [2]) 15

2. โครงถกั ระนาบ/โครงขอ้ หมุน (Trusses) • ปกติ นา้ หนกั ตวั เองของชิน้ สว่ น ถกู ถา่ ยไปลงที่จดุ ต่อซงึ่ ยดึ ปลายแตล่ ะข้างของชิน้ ส่วนนนั้ ข้างละคร่ึงหนง่ึ ของชิน้ สว่ นนนั้ W/2 W = mg W/2 • หรือ ให้พจิ ารณาวา่ นา้ หนกั ของโครงสร้างมีคา่ น้อยมากเม่ือเทียบกบั แรงกระทา • ในทางปฎิบตั ิ ชิน้ สว่ นทกุ ชิน้ ไมว่ า่ จะยดึ ติดกนั ด้วยหมดุ ยา้ (Rivet) หรือ เช่ือม (Welding) จะถือวา่ ชิน้ สว่ นถกู ยดึ กนั ด้วยหมดุ (Pin) • ชิน้ สว่ นทกุ ชิน้ รับแรงสองแรง 16

2. โครงถกั ระนาบ/โครงขอ้ หมุน (Trusses) • แรงท่ีพยายามดงึ ปลายชิน้ สว่ นให้ออกจากกนั เรียกวา่ แรงดงึ (Tension) • แรงทพ่ี ยายามกดอบั ปลายชิน้ สว่ นให้เข้าหากนั เรียกวา่ แรงอดั (Compression) • แรงภายนอกที่กระทากบั โครงถกั ให้พิจารณาวา่ กระทาท่ีจดุ ต่อเทา่ นนั้ xx 17

2. โครงถกั ระนาบ/โครงขอ้ หมุน (Trusses) ประกอบด้วย โครงกรอบที่ตอ่ กนั เป็นโครงสร้างท่ีแขง็ แรงในระนาบเดียวกนั ซ่ึงโดย สว่ นมากแล้วโครงสร้างจะถกู ตอ่ ขนึ ้ ด้วยการใช้หมดุ หรือการเชื่อมติดกนั ตวั อยา่ งโครงถกั สะพาน ตวั อยา่ งโครงถกั หลงั คา 18

2. โครงถกั ระนาบ/โครงขอ้ หมุน (Trusses) โครงถกั ระนาบ แบง่ ออกเป็น 2 ชนิดคือ FAx Ex. FAy m=9 1) โครงถกั ระนาบท่ีคานวณได้ด้วยสมการสมดลุ j=6 9+3 = 2(6) m + 3 = 2j Statically determinate structure FDy m = จานวนชิ้นส่วนของโครงถกั ระนาบ 3 = จานวนตวั ไม่ทราบค่าสูงสุด ณ จุดรองรับ j = จานวนจุดต่อของโครงถกั ระนาบ 2) โครงถกั ระนาบที่ไมส่ ามารถคานวณได้ด้วยสมการสมดลุ Statically indeterminate structure m + 3 > 2j คือชิ้นส่วนมีมากเกินความจาเป็นสาหรับสมดุล m + 3 < 2j คือชิ้นส่วนมีนอ้ ยเกินไป โครงสร้างจะยบุ ตวั ได้ 19

2. โครงถกั ระนาบ/โครงขอ้ หมุน (Trusses) องค์ประกอบพืน้ ฐานของโครงถกั ระนาบคือ โครงรูปสามเหล่ยี ม ซง่ึ เกิดจากเหลก็ ทอ่ นตรง ประกอบด้วยหมดุ ทาปลาย ซงึ่ จะทาให้กลายเป็นกรอบแข็งขนึ ้ มา โครงสร้างท่ีเกิดจากการประกอบกนั ของโครงถกั รูปสามเหล่ียม เรียกวา่ โครงถกั อยา่ งงา่ ย (Simple truss) (Ref. [2]) 20

2.1 วธิ ีคานวนแรงในชิ้นส่วนของโครงถกั ระนาบ เราสามารถคานวนแรงภายในชนิ้ ส่วน 2 วิธี 2.1.1 วธิ ีจดุ ตอ่ (Method of joints) 2.1.2 วิธีภาคตดั (Method of sections) เมื่อต้องการรู้แรงภายในชนิ ้ สว่ นทุกชนิ้ เมื่อต้องการรู้แรงภายในชนิ ้ สว่ นบางชนิ้  Fx=0  Fx=0 M = 0  Fy=0  Fy=0 21

2.1 วธิ ีคานวนแรงในชิ้นส่วนของโครงถกั ระนาบ 2.1.1 วิธีจดุ ตอ่ (Method of joints) วิธีนี ้คือ การวเิ คราะห์แรง ณ จดุ ตอ่ แตล่ ะจดุ โดยใช้สมการ σ ������ = 0 ในระนาบของโครงถกั โดยมี ขนั้ ตอนดงั นี ้ (1) เขียน FBD ของโครงถกั ทงั้ ชิน้ (2) หาแรงปฏิกิริยาท่ีจดุ รองรับของโครงถกั ทงั้ ชิน้ (3) เร่ิมพิจารณาแรงในชิน้ ส่วนของโครงถักจากจุดท่ีมีแรงปฏิกิริยาจากวตั ถุข้างเคียงกระทาอยู่ โดย สมมตทิ ศิ ทางของแรงในชนิ ้ สว่ นวา่ เป็นแรงกดหรือแรงดงึ ไปกอ่ น (4) ใช้สมการ σ ������������ = 0 และ σ ������������ = 0 (5) พิจารณาที่จดุ อื่นๆ ตอ่ ไป จนครบทงั้ โครงสร้าง (พิจารณาจากตาแหนง่ ใดๆ ต้องมีตวั แปรไมท่ ราบคา่ ไมเ่ กิน 2 ตวั แปร) 22

2.1 วธิ ีคานวนแรงในชิ้นส่วนของโครงถกั ระนาบ FF F FF F F F FF FF F F F F F (Ref. [1]) 23

ตวั อยา่ งที่ 4.1 • Compute the force in each member of the loaded cantilever truss by the method of joints. Ans: T= 80 kN, Ex = 69.28 kN, Ey = 10 kN FAB = 34.64 kN (T), FAC = 17.32 kN (C), FBC = 34.64 kN (C), FBD = 34.64 kN (T), FDE = 11.54 kN(C) , FCE = 63.51 kN (C), FCD = 57.74 kN (T) 1. เขียน FBD (Ref. [1]) 24

ตวั อยา่ งที่ 4.1 2. - หาโมเมนตร์ อบจุด (ท่ีแรงผา่ นมากท่ีสุด) - หาแรงปฏิกิริยาจุดอื่นๆ 25

ตวั อยา่ งที่ 4.1 3. พจิ ารณาท่จี ุด (Joint) จุด A 26

ตวั อยา่ งท่ี 4.1 จุด E จุด B 27 จุด C

ตวั อยา่ งท่ี 4.2 Find the forces in the members AB, BC, AC of the truss shown in figure. 1 หาแรงปฏกิ ิริยาจดุ รองรับ 28

ตวั อยา่ งที่ 4.2 2. พจิ ารณาท่ีจุด จุด B จุด C 29

ตวั อยา่ งที่ 4.3 Determine the reaction and the forces in each member of a simple triangle truss supporting two loads as shown in figure. 30

ตวั อยา่ งที่ 4.3 จุด A จุด C 31

ตวั อยา่ งที่ 4.3 จุด B จุด D 32

ตวั อยา่ งที่ 4.4 Determine the force in each member of the truss. Indicate whether the members are in tension or compression. Ans: Ay = 600 N, Cx = 600 N, Cy = 200 N, FAB = 750 N (C), FAD = 450 N (T), FBD = 250 N (T), FCD = 200 N (C) (Ref. [2]) 33

ตวั อยา่ งที่ 4.5 หาแรงในแตล่ ะชิน้ สว่ นของโครงถกั ระนาบ ดงั ภาพ Ans: FAB = 736 N (T), FAC = 368 N (T), FBC = 736 N (C) (Ref. [1]) 34

2.1 วธิ ีคานวนแรงในชิ้นส่วนของโครงถกั ระนาบ 2.1.2 วิธีภาคตดั (Method of sections) วิธีนีเ้ป็นอีกวธิ ีหนงึ่ ในการหาแรงในชิน้ สว่ นของโครงถกั โดยเราสามารถที่จะหาแรงในชิน้ สว่ นท่ี ต้องการทราบได้โดยตรง โดยไมต่ ้องทาการหาทีจ่ ดุ ต่อทกุ จดุ ดงั นนั้ จงึ อาจจะเป็นวิธีที่เร็วกวา่ (Ref. [1]) 35

2.1 วธิ ีคานวนแรงในชิ้นส่วนของโครงถกั ระนาบ 2.1.2 วิธีภาคตดั (Method of sections) ขนั้ ตอนการวิเคราะห์ (1) เขียน FBD (2) หาแรงปฏิกิริยาที่กระทากบั โครงสร้างทงั้ ชิน้ (เทา่ ท่ีจาเป็น) (3) ใช้การตดั โครงสร้างโดยให้แนวผ่านชิน้ สว่ นที่ต้องการหาแรง ระนาบตดั ผา่ นชิน้ สว่ นได้ไม่เกนิ 3 ชิน้ (เพราะสามารถมีตวั ไมท่ ราบคา่ ได้ไมเ่ กิน 3 ตวั ) (Ref. [316 ])

2.1 วธิ ีคานวนแรงในชิ้นส่วนของโครงถกั ระนาบ 2.1.2 วิธีภาคตดั (Method of sections) ขนั้ ตอน(ตอ่ ) (4) ใช้สมการ σ Mz = 0, σ ������������ = 0 และ σ ������������ = 0 ในการคานวนหาแรง (5) ถ้าจาเป็นต้องตดั ผา่ นชิน้ สว่ นตงั้ แต่ 4 ชิน้ ขนึ ้ ไป ต้องใช้ระนาบอกี อนั ช่วยหาแรงท่ีไมท่ ราบคา่ เสียกอ่ น (6) จดุ สาคญั คือการหาจดุ ที่เหมาะสมในการใช้สมการ σ Mz = 0 หากเราสามารถหาจดุ ท่ีแรงที่ไมท่ ราบคา่ บางแรงผา่ นจดุ ๆนนั้ แล้วทาให้แรงที่ไมท่ ราบค่าอ่ืนหาได้งา่ ยขนึ ้ จดุ ๆนนั้ อาจจะเป็นจดุ ท่ีเหมาะสมในการ ใช้ σ Mz = 0 ก็ได้ ปล. จดุ ท่ีจะได้ σ Mz = 0 ไมจ่ าเป็นต้องอยใู่ นตวั โครงถกั อาจจะเป็นจดุ ที่ตอ่ ออกมาข้างนอกก็ได้ 37

2.1 วธิ ีคานวนแรงในชิ้นส่วนของโครงถกั ระนาบ 2.1.2 วธิ ีภาคตดั (Method of sections) Y x X y ข้อควรจา (สว่ นใหญ่ใช้ตอนคานวณโมเมนต์) 38 • วิธีการหามมุ ตา่ งๆ • หลกั การตรีโกณมติ ิ • กฎของ Sine และ Cosine • สามเหล่ยี มคล้าย X=x Yy

ตวั อยา่ งท่ี 4.6 Calculate the forces induced in members KL, CL, and CB by the 20-ton load on the cantilever truss. Ans: FKL = 649.9 kN (T), FCL = 57.65 kN (C), FCB = 571.43 kN (C) (Ref. [1]) 39

ตวั อยา่ งที่ 4.6 40 (Ref. [1])

ตวั อยา่ งที่ 4.7 Calculate the force in member DJ of the Howe roof truss illustrated. Neglect any horizontal components of force at the supports. Ans: FDJ = 16.66 kN (T) (Ref. [1]) 41

ตวั อยา่ งที่ 4.7 Section 1 Section 2 42

ตวั อยา่ งท่ี 4.8 Determine the force in member EB of the roof truss. Indicate whether the member is in tension or compression. Ans: FEB = 2000 N (T) (Ref. [2]) 43

การบา้ น Determine the forces in members GH and CG for the truss loaded and supported as shown. Does the statical indeterminacy of the supports affect your calculation? (Ref. [1]) 44

เอกสารอา้ งอิง [1] J.L. Meriam, L,G, Kraige, Engineering Mechanics: Statics. [2] R.C. Hibbeler, Engineering Mechanics: Statics. 45