كتاب الطالب-الفصل الأولسابع

‫الوحد ُة ‪3‬‬ ‫يمك ُن حســا ُب الح ِّد الأقصى لمع َّد ِل ضربا ِت قل ِب الإنســا ِن (‪ )y‬في الدقيق ِة في أثنا ِء‬ ‫معلوم ٌة‬ ‫ممارستِ ِه الرياض َة بالمعادل ِة‪ ، y = 208 - 0.7x :‬حي ُث ‪ x‬العم ُر بالسنوا ِت‪.‬‬ ‫ُتعر ُف التمرينا ُت الهوائ ّي ُة‬ ‫ ‪  17‬ما الح ُّد الأقصى لمع ّد ِل ضربا ِت قل ِب شخ ٍص عمر ُه ‪ 30‬سن ًة‪ ،‬وآخ ُر عم ُر ُه ‪ 50‬سن ًة؟‬ ‫بتمرينا ِت القلب‪ ،‬ومنها‪:‬‬ ‫ ‪  18‬ما عم ُر شخ ٍص معد ُل ضربا ِت قلبِ ِه ‪ 194‬نبض ًة في الدقيق ِة؟‬ ‫المش ُي والرك ُض‪ ،‬وال ّسباح ُة؛‬ ‫إِ ْذ إ ّنا تتط َّل ُب ض َّخ ال ّد ِم‬ ‫ ‪  19‬ه ْل مع ّد ُل ضربا ِت القل ِب يزدا ُد أ ْم ينق ُص م َع العم ِر؟ أب ِّر ُر إجابتي‪.‬‬ ‫المؤكس ِد م َن القل ِب إلى‬ ‫العضلا ِت‪.‬‬ ‫ ‪ُ   20‬أم ِّث ُل المعادل َة بيان ًّيا‪.‬‬ ‫‪y‬‬ ‫ ‪  21‬تح ٍّد‪ :‬الشك ُل الـــمجاو ُر تـــمثي ٌل‬ ‫مهارا ُت التفكي ِر ال ُعليا‬ ‫‪6‬‬ ‫بيـــا ِ ٌّن للمعادل ِة ‪، y = ax +3‬‬ ‫أف ِّك ُر‬ ‫أ ِج ُد قيم َة ‪. a‬‬ ‫‪5‬‬ ‫ه ْل توج ُد علاق ٌة بي َن التمثي ِل‬ ‫البيان ِّي للمعادل ِة الخ ِّط َّي ِة‪،‬‬ ‫‪4‬‬ ‫وإشار ِة معام ِل ‪ x‬فيها؟‬ ‫‪3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪-5 -4 -3 -2 -1 0‬‬ ‫‪1 2345‬‬ ‫‪-1‬‬ ‫‪-2‬‬ ‫‪-3‬‬ ‫‪-4‬‬ ‫ ‪  22‬تح ٍّد‪ُ :‬أم ِّث ُل بيانِ ًّيا كلّ م ّما يأتي‪:‬‬ ‫‪َ y = −3‬و ‪x = 5‬‬ ‫ ‪   23‬أكت ُب كي َف ُأم ِّث ُل المعادل َة ‪ y = 4x −3‬بيانِ ًّيا؟‬ ‫‪101‬‬

‫اختبا ُر الوحد ِة‬ ‫ ‪  6‬قاعد ُة الاقترا ِن المو َّض َح ُة بالمخ َّط ِط ال َّس ْه ِم ِّي‪ ،‬ه َي‪:‬‬ ‫أختا ُر رم َز الإجاب ِة الصحيح ِة لك ٍّل م ّما يأتي‪:‬‬ ‫‪10‬‬ ‫ إذا ُقس َم عد ٌد على ‪ 6‬و ُط ِر َح م َن النات ِج ‪ 10‬أصب َح‬ ‫ ‪1‬‬ ‫‪23‬‬ ‫‪36‬‬ ‫النات ُج ‪ ، 2‬أ ُّي المعادلا ِت الآتي ِة تع ِّب ُر ع ْن هذ ِه العلاق ِة؟‬ ‫‪49‬‬ ‫ ‪a)  x -10 = 2‬‬ ‫ )‪b‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪-10 = 2‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪6‬‬ ‫ ‪a)  y = 3x+1‬‬ ‫‪b)  y = 3x – 3‬‬ ‫‪c)  10-‬‬ ‫‪x‬‬ ‫ ‪= 2‬‬ ‫ )‪d‬‬ ‫‪10 -x‬‬ ‫=‬ ‫‪2‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪c)   y = 3 –3x d)  y = x +1‬‬ ‫ زو ُج الإحداث ّيــا ِت ا ّلذي يق ُع على المســتقي ِم ا ّلذي‬ ‫ ‪7‬‬ ‫ ‪  2‬المستقي ُم الذي تق ُع علي ِه النقط ُة (‪ )-3, -2‬ه َو‪:‬‬ ‫معادل ُت ُه ‪ y = 3x -1‬ه َو‪:‬‬ ‫‪a)  2x - 3y = 0 b)  2x –y = -1‬‬ ‫)‪a)  (0, 0) b)  (0, 1‬‬ ‫ ‪c)   y +x = 1‬‬ ‫‪d)  3x+2y = 13‬‬ ‫)‪c)  (1, 2) d)  (1 , -2‬‬ ‫ الح ُّد العا ُّم للمتتالي ِة ‪ 2, 5, 8, 11, ....‬ه َو‪:‬‬ ‫ ‪3‬‬ ‫‪a)  Tn = 2n+3‬‬ ‫ ‪  8‬الح ُّد الخام ُس في المتتالي ِة التي ح ُّدها العا ُّم‬ ‫‪b)  Tn = 3n+3‬‬ ‫‪ ، Tn = 2n +3‬ه َو‪:‬‬ ‫‪c)   Tn = 3n –1‬‬ ‫‪d)  Tn = n+3‬‬ ‫‪a)  8   b)  13    c)  10    d)  5‬‬ ‫أج ُد الح َّد المفقو َد في المتتاليا ِت الآتي ِة‪:‬‬ ‫‪9    3, …., ….., 24, 48, 96‬‬ ‫ ‪  4‬ح ُّل المعادل ِة‪ 5(x + 9) = -10 :‬ه َو‪:‬‬ ‫‪a)  x = -11 b)  x = 11‬‬ ‫‪10    64, 32, ….., ..…, 4‬‬ ‫ ‪  11‬أصـ ُل بخـ ٍّط بن َي آلـ ِة الاقرتا ِن وصورتِـ ِه التـي عىل‬ ‫‪c)  x = -7 d)  x = 7‬‬ ‫الشـك ِل ‪: x‬‬ ‫ ‪ x =2  5‬هو ح ٌّل للمعادل ِة‪:‬‬ ‫‪A ×2 +1 ×3‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪2 x +1‬‬ ‫‪W‬‬ ‫‪a)  x + 3 = 6‬‬ ‫‪B +1 ×2 ÷3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪C ÷3 +1 ×2‬‬ ‫‪D ×2 +1 ÷3‬‬ ‫‪x‬‬ ‫)‪2 ( x +1‬‬ ‫‪X‬‬ ‫‪b)  2x-3 = 5x-1‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪c)  3)2x-1( = 9‬‬ ‫‪x‬‬ ‫(‪2‬‬ ‫‪x‬‬ ‫)‪+1‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪Y‬‬ ‫‪d)  5 = 2x-1‬‬ ‫‪x 3(2x+1) Z‬‬ ‫‪102‬‬

‫الوحد ُة ‪3‬‬ ‫ ‪  24‬يبــ ِّ ُن الجــدو ُل الآتي العلاق َة بي َن عد ِد ســاعا ِت العم ِل‬ ‫أح ُّل ك َّل معادل ٍة م ّما يأتي‪ ،‬وأتح َّق ُق م ْن ص ّح ِة الح ِّل‪:‬‬ ‫الإضاف ِّي والمبل ِغ المدفو ِع‪:‬‬ ‫‪12    2x –12 = –11‬‬ ‫‪13    – 6w +3 = 15 – 3w‬‬ ‫عد ُد ساعا ِت العم ِل ‪4 3 2 1‬‬ ‫‪14    2(2y – 3)+ 8 = y – 9‬‬ ‫‪15    3(k+ 4) = 4(2k –5) +17‬‬ ‫المبل ُغ المدفو ُع ‪14 11 8 5‬‬ ‫ ‪  16‬عد ٌد إذا َأ َض ْفنا ُر ْب َع ُه إلــى نِص ِف ِه كا َن النات ُج ‪ ، 15‬فما‬ ‫‪  )a‬أم ِّث ُل الاقترا َن بيانِ ًّيا‪.‬‬ ‫ذل َك العد ُد؟‬ ‫‪  )b‬ما مقدا ُر المبلــ ِغ المدفو ِع إذا كا َن عد ُد ســاعا ِت‬ ‫العم ِل الإضاف ِّي ‪ 6‬ساعا ٍت؟‬ ‫تدري ٌب على الاختبارا ِت ال ّد ْولِيّ ِة‪:‬‬ ‫أم ِّث ُل ك ًّل م َن الاقتران ْي ِن الآتي ْي ِن بيانِ ًّيا‪:‬‬ ‫‪17    y = –2x+3‬‬ ‫ ‪  25‬يزي ُد ثم ُن قل ِم حب ٍر نص َف دينا ٍر على ثم ِن قل ِم رصا ٍص‪.‬‬ ‫إذا اشــرى ســفيا ُن َق َل َم ْي ِح ْ ٍب َو ‪ 3‬أقــا ِم رصا ٍص‬ ‫‪18    y = 4x–6‬‬ ‫ب ِــــ‪ 1.7 ‬دينا ًرا‪ .‬فك ْم دينا ًرا ســيدف ُع صدي ُق ُه وائِ ٌل إذا‬ ‫ ‪  19‬ما قيم ُة الح ِّد الذي رتب ُت ُه ‪ 35‬في المتتالي ِة الآتي ِة؟‬ ‫…… ‪9 , 11 , 13 , 15 ,‬‬ ‫اشترى َقل َم حب ٍر واح ًدا و َق َل َم ْي رصا ٍص؟‬ ‫ما الح ُّد العا ُّم لك ٍّل م َن المتتاليتي ِن الآتيت ْي ِن‪:‬‬ ‫‪a)  0.92  b)  24.1  c)  87.0  d)  4.3‬‬ ‫‪20    17 , 13, 9 , 5 , ….‬‬ ‫ ‪  26‬يظه ُر في الشك ِل ‪ 13‬عو َد ثقا ٍب تك ّو ُن ‪ 4‬مر ّبعا ٍت‪ .‬فك ْم مر َّب ًعا‬ ‫‪21    –7 , -3 , 1 , 5 , 9 ….‬‬ ‫يمك ُن بنا ُؤ ُه بالطريق ِة نف ِسها باستخدا ِم ‪ 73‬عو َد ثقا ٍب؟‬ ‫ ‪  22‬م َع عبي َر دينا ٌر واح ٌد‪ ،‬وت َّد ِخ ُر ك َّل أسبو ٍع ‪ 5‬دناني َر‪ .‬أكت ُب‬ ‫الح َّد العا َّم الذي يع ِّ ُب ع ْن مقــداِر ما ت َّد ِخ ُر عبي ُر بع َد أ ِّي‬ ‫ ‪a) 18‬‬ ‫ ‪b) 24‬‬ ‫ ‪c) 14‬‬ ‫عد ٍد م َن الأسابي ِع‪.‬‬ ‫‪d) 15‬‬ ‫ ‪ 3  23‬أمثا ِل ُع ْم ِر ليلى قب َل ‪ 5‬ســنوا ٍت يســاوي ِم ْث َ ْل ُع ْم ِرها‬ ‫العد ِد؟‬ ‫هذا‬ ‫‪1‬‬ ‫فما‬ ‫‪،‬‬ ‫عد ٍد هو ‪48‬‬ ‫كا َن ‪ 4‬أمثا ِل‬ ‫ إذا‬ ‫ ‪27‬‬ ‫الآ َن ُمضا ًفا إلي ِه ‪ 4‬سنوا ٍت‪ ،‬فما ُع ْم ُر َل ْيلى الآ َن؟‬ ‫‪3‬‬ ‫‪a)  4  b)  8  c)  21  d)  61‬‬ ‫‪103‬‬

‫ال َّزوايا وال ُمض َّلعا ُت وال َّتحويلا ُت الهندس ّي ُة‬ ‫الوحد ُة‬ ‫‪4‬‬ ‫ما أَهميَّ ُة هذ ِه الوحد ِة؟‬ ‫ُتسـتعم ُل خصائـ ُص الزوايـا والمض ّلعـا ِت‬ ‫والتحويلا ِت الهندسـ ّي ِة فـي كثيـ ٍر مـ َن‬ ‫المهـ ِن‪ ،‬مثـ ِل تصمي ِم الزخـار ِف الإسلام ّي ِة‬ ‫التـي تعتمـ ُد كثيـ ًرا علـى َتكـرا ِر و َتدا ُخـ ِل‬ ‫مض ّلعـا ٍت مختلفـ ٍة‪ ،‬ويبدو ذلـ َك واض ًحا في‬ ‫منبـ ِر صلا ِح الديـن الأيوبـ ِّي فـي المسـج ِد‬ ‫الأقصـى الـذي ُأعيـ َد بِنـاؤ ُه عـا َم ‪2007‬م‬ ‫بتب ُّر ٍع شـخص ٍّي مـ ْن جلالـ ِة الملـ ِك عب ِد‪ ‬الله‬ ‫الثانـي ابـ ِن الحسـي ِن حف َظـ ُه اللـ ُه‪.‬‬ ‫سأتعلَّ ُم في هذ ِه الوحد ِة‪:‬‬ ‫تعلَّم ُت سا ِب ًقا‪:‬‬ ‫ الزوايا الناتج َة م ْن تقا ُط ِع مستقيمي ِن‪.‬‬ ‫ أنوا َع الزوايا وكيف َّي َة قيا ِسها وتنصي ِفها‪.‬‬ ‫ الزوايا الناتج َة عن مستقيمي ِن متوازيي ِن وقاط ٍع‪.‬‬ ‫ العلاق َة بي َن الزوايا الداخل ّي ِة والخارج َّي ِة‬ ‫ الأشكا َل الرباع َّي َة وخصائ َصها‪.‬‬ ‫ أنوا َع المث ّلثا ِت وخصائ َصها‪.‬‬ ‫لمث َّل ٍث‪.‬‬ ‫ مجمو َع قياسا ِت الزاويا الداخل ّي ِة لمض َّل ٍع‪.‬‬ ‫ تحدي َد محو ِر التما ُث ِل لأشكا ٍل ثنائ ّي ِة‬ ‫البع ِد‪.‬‬ ‫ ر ْس َم انسحا ٍب ودورا ٍن في المستوى‬ ‫الإحداث ِّي‪.‬‬ ‫‪104‬‬

‫مشرو ُع الوحد ِة‪ :‬الهندس ُة حولَنا‬ ‫ال َمه ّم ُة ‪:2‬‬ ‫أسـتع ُّد ومجموعتـي لتنفيـ ِذ مشـرو ِعنا الخـا ِّص‬ ‫ ‪  1‬أرس ُم الحر َف الأو َل م ْن اسمي على ورق ِة رس ٍم بيان ٍّي‬ ‫الـذي نسـتخد ُم فيـ ِه مـا َنتع َّل ُمـ ُه فـي هـذ ِه الوحـد ِة حـو َل‬ ‫كما في الشك ِل المجاو ِر‪ ،‬ث ّم أن ِّف ُذ ما يأتي‪:‬‬ ‫الزوايـا والمض ّلعـا ِت والتحويلا ِت الهندسـ ّي ِة‪.‬‬ ‫هد ُف المشرو ِع‪:‬‬ ‫تنميـ ُة مهارتـي وتعزيـ ُر معرفتـي بالعلاقـا ِت بيـ َن الزوايـا‬ ‫والتحويلا ِت الهندسـ ّية واسـتخدا ِمها في تطبيقـا ٍت حيات ّي ٍة‪.‬‬ ‫خطوا ُت تنفي ِذ المشرو ِع‪:‬‬ ‫ أر ُس ُم انسحا ًبا للحر ِف‪ ،‬واص ًفا قاعد َة الانسحا ِب‪.‬‬ ‫ ‪2‬‬ ‫ال َمه ّم ُة ‪:1‬‬ ‫ ‪3‬‬ ‫  ُأجري دورا ًنا لصور ِة الانســحا ِب بزاويــ ٍة معين ٍة م ْن‬ ‫ أبح ُث في أشيا َء حولي ع ْن مستقي ٍم يقط ُع مستقيمي ِن‬ ‫ ‪1‬‬ ‫نقط ٍة تق ُع خار َجها‪ ،‬ث ّم أص ُف ذل َك الدورا َن‪.‬‬ ‫آخ َر ْي ِن غي ِر متواز َي ْي ِن‪ ،‬وع ْن مستقي ٍم آخ َر يقط ُع مستقيمي ِن‬ ‫ ‪2‬‬ ‫ال َمه ّم ُة ‪:3‬‬ ‫متواز َي ْي ِن‪ ،‬وألتق ُط صور ًة لك ٍّل منهما ُث َّم أطب ُعها‪.‬‬ ‫أص ِّمــ ُم نموذ ًجا ُأ ْثب ُت بــ ِه ِص ّح َة إحدى خصائــ ِص الزوايا‬ ‫ أكت ُب على الصورتي ِن رم ًزا لك ِّل زاوي ٍة ناتج ٍة ع ْن تقا ُط ِع‬ ‫التي تعلم ُتها في هذه الوحد ِة‪ .‬مث ًل‪ :‬مجمو ُع قياســا ِت زوايا‬ ‫المستقيما ِت‪ ،‬ث َّم أكم ُل الجدو َل الآت َي‪:‬‬ ‫المض ّل ِع الخماس ِّي يساوي ‪. 540°‬‬ ‫الصور ُة (‪ )1‬الصور ُة (‪)2‬‬ ‫أزوا ُج الزوايا‬ ‫ال ُمتقابل ُة بالرأ ِس‬ ‫ال ُمتجاور ُة‬ ‫عر ُض النتائ ِج‪:‬‬ ‫ال ُمتكامل ُة‬ ‫‬ ‫ال ُمتبادل ُة داخل ًّيا‬ ‫ ⦁أص ِّم ُم مطو ّي ًة وأض ُع فيها الصو َر والأشــكا َل والجداو َل‬ ‫ال ُمتبادل ُة خارج ًّيا‬ ‫ ‪3‬‬ ‫التي أنشأ ُتها‪.‬‬ ‫ال ُمتناظِرة‬ ‫ ⦁أكتــ ُب في المطو ّي ِة أ َّي معلوم ٍة جديــد ٍة عر ْف ُتها في أثنا ِء‬ ‫العم ِل على المشرو ِع‪.‬‬ ‫ في الصور ِة الثاني ِة‪ُ :‬أق ِّد ُر قيا َس واحد ٍة م َن الزوايا‪ ،‬ث َّم‬ ‫أ ِج ُد قياســا ِت الزوايا الأخرى ُمب ِّينًا الخصائ َص التي‬ ‫ ⦁أعر ُض المطو ّي َة والنّمــوذ َج الذي ص ّمم ُت ُه في ال َمه ّم ِة ‪4‬‬ ‫أما َم ال ّص ِّف‪.‬‬ ‫اعت َم ْد ُت عليها في الح ِّل‪.‬‬ ‫‪105‬‬

‫العلاقا ُت بي ِن ال ّزوايا‪1‬‬ ‫الدر ُس‬ ‫ أستكش ُف‬ ‫فكر ُة الدر ِس‬ ‫للتقليــ ِل م َن التل ّو ِث البصر ِّي النات ِج ع ْن شــك ِل أبرا ِج نق ِل‬ ‫أتع َّر ُف العلاقا ِت بي َن الزوايا‬ ‫الطاقــ ِة الكهربائ َّي ِة‪ ،‬فإ ّن بع َض البلدا ِن ُتغطي أجزا َء م ْن هذ ِه‬ ‫وأستخد ُمها لح ِّل المسائ ِل‪.‬‬ ‫‪1‬‬ ‫الأبرا ِج بألوا ٍح مث َّلث ِة الشــك ِل ذا ِت ألــوا ٍن جميل ٍة‪ .‬وحي َن‬ ‫المصطلحا ُت‬ ‫‪32‬‬ ‫يص ِّم ُم المهندسو َن هذ ِه الألوا َح فإن َّهم يحتاجو َن إلى معرف ِة‬ ‫قياسا ِت الزوايا الناتج ِة ع ْن تقاط ِع دعائ ِم البر ِج‪ .‬فه ْل يمك ُن‬ ‫الزاويتا ِن المتقابلتا ِن بالرأ ِس‪،‬‬ ‫إيجا ُد قياســا ِت الزوايا المفقود ِة في الشــك ِل المجاو ِر م ْن‬ ‫الزاويتا ِن المتجاورتا ِن‪،‬‬ ‫دو ِن استخدا ِم ال ِمنقل ِة؟ ‪48°‬‬ ‫الزاويتا ِن المتتا َّمتا ِن‪،‬‬ ‫الزاويتا ِن المتكاملتا ِن‪.‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪21 2‬‬ ‫الزاويتا ِن ال ُم َتجا ِو َرتا ِن )‪(adjacent angles‬‬ ‫الزاويتا ِن ال ُم َتقابِ َلتا ِن بالرأ ِس )‪(vertical angle‬‬ ‫هما زاويتا ِن لهما الرأ ُس نف ُسه ولـ ُهما ِض ْل ٌع‬ ‫هما زوايتا ِن متقابلتا ِن َتن ُتجا ِن ع ْن تقاط ِع مستقي َم ْي ِن‪،‬‬ ‫مش َت َر ٌك ولا تتداخلا ِن‪.‬‬ ‫وك ُّل زاويتي ِن متقابلتي ِن بالرأ ِس لـ ُهما القيا ُس نف ُسه‪.‬‬ ‫رمو ٌز رياض ّي ٌة‪ :‬يرم ُز‬ ‫‪m∠1 = m∠2‬‬ ‫الحر ُف‪ m :‬في ‪m∠1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫إلى قيا ِس الزاوي ِة ‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫الزاويتا ِن ال ُم َتتا َّمتا ِن )‪(complementary angles‬‬ ‫‪2‬‬ ‫هما زاويتا ِن مجمو ُع قيا َس ْي ِهما ‪90°‬‬ ‫‪m∠1+m∠2 = 90°‬‬ ‫الزاويتا ِن ال ُمتكا ِم َلتا ِن )‪(supplementary angles‬‬ ‫هما زاويتا ِن مجمو ُع قيا َس ْي ِهما ‪180°‬‬ ‫‪m∠1+m∠2 = 180°‬‬ ‫‪106‬‬

‫الوحد ُة ‪4‬‬ ‫‪E‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪K‬‬ ‫مثال ‪  1‬‬ ‫‪Q‬‬ ‫‪P‬‬ ‫‪L‬‬ ‫‪Y‬‬ ‫أستخد ُم الشك َل المجاو َر و ُأ َس ّمي‪:‬‬ ‫‪ 1‬زاويتي ِن متقابل َت ْي ِن بالرأ ِس‪:‬‬ ‫ ‪ ∠CPK, ∠QPY‬لأنهما َن َت َجتا ع ْن تقاط ِع المستقيمي ِن ‪Q→K, C→Y‬‬ ‫‪ 2‬زاويتي ِن ُمتكا ِم َل َت ْي ِن‪:‬‬ ‫ ‪ ∠CPE, ∠CPL‬لأن مجمو َع قيا َس ْي ِهما ‪ 180°‬تش ِّكلا ِن زاوي ًة مستقيم ًة‪.‬‬ ‫‪U‬‬ ‫‪ 3‬زاويتي ِن ُمتجا ِور َت ْي ِن‪:‬‬ ‫‪R‬‬ ‫ ‪ ∠KPL, ∠LPY‬لأن لهما رأ ًسا مشت َر ًكا (‪ )P‬وضل ًعا مشت َر ًكا ‪ P→L‬ولا َت َتداخلا ِن‪.‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪  5‬زاويتي ِن ُمتكا ِم َل َت ْي ِن‪.‬‬ ‫  أتحقق من فهمي‪:‬‬ ‫‪  7‬زاويتي ِن ُمتتا ّمتي ِن‪.‬‬ ‫‪P‬‬ ‫أستخد ُم الشك َل المجاو َر و ُأ َس ّمي‪:‬‬ ‫‪T‬‬ ‫‪  4‬زاويتي ِن متقابل َت ْي ِن بالرأ ِس‪ .‬‬ ‫‪  6‬زاويتي ِن ُمتجا ِور َت ْي ِن ‪ .‬‬ ‫‪A‬‬ ‫يمك ُن استخدا ُم العلاقا ِت بي َن الزوايا والمعادلا ِت في إيجا ِد زوايا مفقود ٍة‪.‬‬ ‫مثال ‪A   2‬‬ ‫أستخد ُم الشك َل المجاو َر لإيجا ِد قيم ِة ك ٍّل م ّما يأتي‪:‬‬ ‫‪ E 1 m∠SYH‬‬ ‫‪F‬‬ ‫‪ 30° Y S mm∠∠SSYYHH‬‬ ‫=‬ ‫ ‪m∠EYF‬‬ ‫زاويتا ِن متقابلتا ِن بالرأ ِس‬ ‫=‬ ‫ ‪30°‬‬ ‫‪ H 2 m∠AYE‬‬ ‫زوايا متجاور ٌة على مستقي ٍم‬ ‫ ‪ T m∠SYA+m∠AYE+m∠EYF =180°‬‬ ‫ُأع ِّو ُض‬ ‫ ‪    90°+m∠AYE + 30° =180°‬‬ ‫ ‪        m∠AYE + 120° = 180°‬‬ ‫أجم ُع‬ ‫ ‪ m∠AYE = 60°‬‬ ‫أطر ُح ‪ 120°‬م َن ال َّطرفي ِن‬ ‫‪107‬‬

‫  أتحق ُق من فهمي‪:‬‬ ‫‪3   m∠TYH 4   m∠FYT‬‬ ‫‪2y°‬‬ ‫   مثال ‪ :3‬م َن الحيا ِة‬ ‫‪(4y -42)°‬‬ ‫أ ِج ُد قيم َة ‪ y‬في الشك ِل المجاو ِر‪.‬‬ ‫بما أ َّن العبارت ْي ِن الجبر َّيت ْي ِن ُهما قياسا زاويتي ِن متقابلت ْي ِن بالرأ ِس؛‬ ‫فإ َّن ُه يمك ُن كتاب ُة المعادل ِة الآتي ِة‪:‬‬ ‫‪ 4y - 42 = 2y‬‬ ‫أطر ُح ‪ 4y‬م َن الطر َف ْ ِي‬ ‫ ‪ -42 = -2y‬‬ ‫أقس ُم الطر َف ْ ِي على ‪-2‬‬ ‫ ‪ 21 = y‬‬ ‫  أتحق ُق من فهمي‪:‬‬ ‫‪(20y + 5)°‬‬ ‫‪15y °‬‬ ‫أ ِج ُد قيمة ‪ y‬في الشك ِل المجاو ِر‪.‬‬ ‫أستخد ُم الشك َل المجاو َر وأس ّمي‪R :‬‬ ‫أَﺗـﺪر ُب‬ ‫ ‪  1‬زاويتي ِن متقابلتي ِن بالرأ ِس ‪  2  .‬زاويت ِن متجاورتي ِن‪K F Q .‬‬ ‫وأﺣ ﱡﻞ اﳌﺴﺎﺋ َﻞ‬ ‫‪GD‬‬ ‫ ‪  4‬زاويتي ِن متتا َّمتي ِن‪.‬‬ ‫ ‪  3‬زاويتي ِن متكامل تي ِن‪ .‬‬ ‫أتذ َّكر‬ ‫أستخد ُم الشك َل الآت َي لإيجا ِد قيم ِة ك ٍّل م ّما يأتي‪:‬‬ ‫‪5    m∠BNC 6    m∠CNH  7    m∠RNH‬‬ ‫مجمـو ُع قياسـا ِت الزوايـا‬ ‫حـو َل نقطـ ٍة ‪360°‬‬ ‫‪R 125°‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪N‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪H‬‬ ‫‪108‬‬

‫الوحد ُة ‪4‬‬ ‫معلوم ٌة‬ ‫جب ٌر‪ :‬أ ِج ُد قيمة ‪ x‬في ك ٍّل م َن الأشكا ِل الآتي ِة‪:‬‬ ‫حـــ َن أنظـــ ُر إلى قلـــ ِم‬ ‫ ‪8      9  10‬‬ ‫الرصــا ِص في المــا ِء يبــدو‬ ‫كأ ّنـــ ُه مكســـو ٌر‪ .‬هـــذ ِه‬ ‫‪(3x+6)°‬‬ ‫الظاهـــر ُة ناتجـــ ٌة عـــ ِن‬ ‫‪(5x-5)°‬‬ ‫‪48° 3x ° (5x+2)°‬‬ ‫انكســـا ِر ال َّضـــ ْو ِء عن َدمـــا‬ ‫ينتقـــ ُل مـــ ْن مـــا ّد ٍة إلى‬ ‫‪(2x+97)°‬‬ ‫  ‬ ‫  ‬ ‫أخـــرى‪.‬‬ ‫‪B‬‬ ‫ ‪  11‬علو ٌم‪ :‬معتم ًدا على الشك ِل المجاو ِر‬ ‫‪G‬‬ ‫َأ ِج ُد ‪. m∠AGC‬‬ ‫معلوم ٌة‬ ‫‪146°‬‬ ‫عرو ُق أورا ِق الشج ِر هي‬ ‫نهاي ُة النسي ِج الوعائ ِّي‪،‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪C‬‬ ‫ووظيف ُتها توصي ُل الأملا ِح‬ ‫والغذا ِء والما ِء إلى الورق ِة‪.‬‬ ‫ ‪  12‬أشــجا ٌر‪ :‬معتمــ ًدا على الشــك ِل المجــاو ِر أكت ُب‬ ‫معادل ًة وأح ُّلها لإيجا ِد ‪. m∠ABC‬‬ ‫«إذا كان ْت إحدى الزوايا الناتج ِة‬ ‫ تبري ٌر‪ :‬أح ِّد ُد ما إذا كانــ ِت العبار ُة المجاور ُة‬ ‫ ‪13‬‬ ‫مهارا ُت التفكي ِر ال ُعليا‬ ‫عن تقاط ِع مستقيمي ِن حا َّد ًة‪ ،‬فإ َّن‬ ‫صحيحــ ًة دائ ًما أو أحيا ًنا أو غي َر صحيح ٍة‪.‬‬ ‫الزوايا الثلا َث الأخرى الناتج َة‬ ‫معلوم ٌة‬ ‫أب َّر ُر إِجابتي‪.‬‬ ‫ع ْن هذا التقاط ِع حا َّد ٌة أي ًضا»‪.‬‬ ‫زها حديد‪ :‬معماري ٌة‬ ‫عراقي ٌة أبدع ْت بتصميما ِتا‬ ‫‪AD‬‬ ‫ ‪  14‬أكتشــ ُف الخطــ َأ‪ :‬يقــو ُل بــد ٌر‪ :‬إ ّن الزاويتيــ ِن‬ ‫الهندس ّي ِة التي و َّظ َف ْت فيها‬ ‫‪N‬‬ ‫‪ ∠RNF , ∠AND‬متقابلتــا ِن بالــرأ ِس‪ ،‬فهــ ْل ما يقو ُل ُه ‪F‬‬ ‫المستقيما ِت وال ّزوايا‪.‬‬ ‫صحي ٌح‪ .‬أب ِّر ُر إِجابتي‪.‬‬ ‫‪R‬‬ ‫ ‪َ   15‬تـــ َح ٍّد‪ :‬متى تكو ُن قياسا ُت جمي ِع الزوايا الناتج ِة ع ْن تقاط ِع مســتقيمي ِن لها القيا ُس‬ ‫نف ُس ُه‪ .‬أب ِّر ُر إِجابتي‪.‬‬ ‫ ‪   16‬أكت ُب كي َف َأ ِج ُد قياسا ِت الزوايا الأرب ِع الناتج ِة ع ْن تقاط ِع مستقيمي ِن‪ ،‬م ْن دو ِن‬ ‫استخدا ِم المنقل ِة‪ ،‬إذا علم ُت قيا َس إحدى هذ ِه الزوايا‪.‬‬ ‫‪109‬‬

‫المستقيما ُت المتوازي ُة والقاط ُع‪2‬‬ ‫الدر ُس‬ ‫ أستكش ُف‬ ‫فكر ُة الدر ِس‬ ‫صنع ْت رحم ُة نموذ َج ســيا ٍج‬ ‫أتع َّر ُف العلاقا ِت بي َن الزوايا‬ ‫باستعما ِل أعوا ِد المث َّلجا ِت‪.‬‬ ‫الناتج ِة ع ْن تقاط ِع مستقي ٍم‬ ‫م َع مستقيمي ِن متوازيي ِن‪.‬‬ ‫كي َف تتح َّق ُق م ْن أ َّن الأعمد َة‬ ‫الرأس ّي َة في ال ّسيا ِج متوازي ٌة؟‬ ‫المصطلحا ُت‬ ‫القا ِط ُع‪ ،‬زاويتا ِن متناظِرتا ِن‪،‬‬ ‫زاويتا ِن متبا ِدلتا ِن داخل ًّيا‪،‬‬ ‫زاويتا ِن متبا ِدلتا ِن خارج ًّيا‪،‬‬ ‫زاويتا ِن داخل ّيتا ِن في جه ٍة‬ ‫واحد ٍة‪.‬‬ ‫‪D‬‬ ‫منطق ٌة خارجّي ٌة‬ ‫‪Q‬‬ ‫منطق ٌة خارجّي ٌة‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫منطق ٌة داخلّي ٌة‬ ‫‪H‬‬ ‫القاطِ ُع )‪ (transversal‬هو مستقي ٌم يقط ُع مستقيمي ِن في المستوى نف ِس ِه‬ ‫‪4‬‬ ‫في نقطتي ِن مختلف َتي ِن‪ .‬في الشك ِل المجاو ِر‪ ،‬المستقيما ِن ‪ Q ، H‬يقط ُعهما‬ ‫منطق ٌة داخلّي ٌة‬ ‫القاطــ ُع ‪ ،D‬وينت ُج من هذا التقاط ِع ثماني زوايا‪ .‬ولهذ ِه الزوايا تســميا ٌت‬ ‫‪5‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪7‬‬ ‫منطق ٌة خارجّي ٌة‬ ‫‪8‬‬ ‫خا َّص ٌة مب ّين ٌة في ما يأتي‪:‬‬ ‫منطق ٌة خارجّي ٌة‬ ‫زا ِويتا ِن دا ِخل َّيتا ِن في ج َه ٍة‬ ‫الزاويتاِن المتبادلتا ِن خا ِرج ًّيا‬ ‫الزا ِويتاِن ال ُمتبا َد َلتا ِن داخل ًّيا‬ ‫الزا ِويتا ِن ال ُمتناظِرتا ِن‬ ‫واحد ٍة‬ ‫‪(alternate exterior‬‬ ‫‪(alternate interior‬‬ ‫‪(corresponding‬‬ ‫‪(same side interior‬‬ ‫)‪angles‬‬ ‫)‪angles‬‬ ‫)‪angles‬‬ ‫)‪angles‬‬ ‫زاويتا ِن غي ُر متجاورتي ِن‬ ‫زاويتا ِن غي ُر متجاورتي ِن‬ ‫زاويتا ِن غي ُر متجاورتي ِن‬ ‫تقعا ِن في المنطق ِة الخارجي ِة‬ ‫تقعا ِن في المنطق ِة الداخلي ِة‬ ‫تقعاِن في جه ٍة واحد ٍة م َن‬ ‫زاويتا ِن تقعا ِن في المنطق ِة‬ ‫وفي جهت ْي ِن مختلفتي ِن م َن‬ ‫وفي جهت ْي ِن مختلفتي ِن م َن‬ ‫الداخلي ِة‪ ،‬وفي جه ٍة واحد ٍة‬ ‫القاط ِع‪ ،‬إحدا ُهما داخلي ٌة‬ ‫القاط ِع‪.‬‬ ‫القاط ِع‪.‬‬ ‫م َن القاط ِع‪.‬‬ ‫والأخرى خارجي ٌة‪.‬‬ ‫‪110‬‬

‫الوحد ُة ‪4‬‬ ‫‪W‬‬ ‫‪Q‬‬ ‫مثال ‪  1‬‬ ‫أستخد ُم الشك َل المجاو َر وأس ّمي‪:‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪ 1‬زاويتي ِن متناظرتي ِن‪:‬‬ ‫‪1‬‬ ‫ ‪ ∠8, ∠4‬لأنهما زاويتا ِن تقعاِن في جه ٍة واحد ٍة م َن القاط ِع‪،‬‬ ‫‪K‬‬ ‫‪S‬‬ ‫إحدا ُهما داخلي ٌة والأخرى خارجي ٌة‪.‬‬ ‫‪76‬‬ ‫‪85‬‬ ‫‪ 2‬زاويتي ِن متبادلتي ِن داخل ًّيا‪:‬‬ ‫ ‪ ∠6, ∠4‬لأنهما زاويتا ِن غي ُر متجاورتي ِن تقعا ِن في المنطق ِة‬ ‫‪N‬‬ ‫الداخلي ِة وفي جهت ْي ِن مختلفتي ِن م َن القاط ِع‪.‬‬ ‫‪Y‬‬ ‫‪ 3‬زاويتي ِن متبادلتي ِن خارج ًّيا‪:‬‬ ‫ ‪ ∠3, ∠5‬لأنهما زاويتا ِن غي ُر متجاورتي ِن تقعا ِن في المنطق ِة الخارجي ِة وفي جهت ْي ِن مختلفتي ِن م َن القاط ِع‪.‬‬ ‫‪ 4‬زا ِويتي ِن دا ِخل َّيتي ِن في ج َه ٍة واحد ٍة‪:‬‬ ‫ ‪ ∠1, ∠6‬لأنهما زاويتا ِن تقعا ِن في المنطق ِة الداخلي ِة‪ ،‬وفي جه ٍة واحد ٍة م َن القاط ِع‪.‬‬ ‫‪56‬‬ ‫‪12‬‬ ‫  أتحق ُق من فهمي‪:‬‬ ‫‪87‬‬ ‫‪43‬‬ ‫أستخد ُم الشك َل المجاو َر وأس ّمي‪:‬‬ ‫‪ 5‬زاويتي ِن متناظرتي ِن‪.‬‬ ‫‪ 6‬زاويتي ِن متبادلتي ِن داخل ًّيا‪.‬‬ ‫‪ 7‬زاويتي ِن متبادلتي ِن خارج ًّيا‪.‬‬ ‫‪ 8‬زا ِويتي ِن دا ِخل َّيتي ِن في ج َه ٍة واحد ٍة‪.‬‬ ‫‪111‬‬

‫إذا َقط َع مســتقي ٌم مستقيمي ِن متوازيي ِن و ُع ِر َف قيا ُس إحدى الزوايا الثماني فإ َّن ُه يمك ُن إيجا ُد قياسا ِت الزوايا الأخرى م ْن خلا ِل‬ ‫العلاقا ِت الآتي ِة‪:‬‬ ‫⦁  ك ُّل زاويتي ِن متناظرتي ِن لـ ُهما القيا ُس نف ُس ُه‪q .‬‬ ‫‪12‬‬ ‫‪r‬‬ ‫‪m∠1 = m∠7‬‬ ‫‪83‬‬ ‫⦁  ك ُّل زاويتي ِن متبادلتي ِن داخل ًّيا لـ ُهما القيا ُس نف ُس ُه‪.‬‬ ‫‪74‬‬ ‫‪s‬‬ ‫‪m∠4 = m∠8‬‬ ‫‪65‬‬ ‫⦁  ك ُّل زاويتي ِن متبادلتي ِن خارج ًّيا لـ ُهما القيا ُس نف ُس ُه‪.‬‬ ‫‪m∠2 = m∠6‬‬ ‫⦁  ك ُّل زا ِويتي ِن دا ِخل َّيتي ِن في ج َه ٍة واحد ٍة من القاطع تتكاملا ِن‪ ،‬ومجمو ُع‬ ‫قياسيهما ‪( 180°‬وتس َّميا ِن زاويت ْي ِن متحالِف َت ْي ِن)‪.‬‬ ‫‪m∠7+ m∠8 =180°‬‬ ‫   مثال ‪ :2‬م َن الحيا ِة‬ ‫سيا ٌج‪ :‬في الشك ِل المجاو ِر‪ ،‬أج ُد قيا َس ك ٍّل م َن الزوايا الآتي ِة‪c :‬‬ ‫‪ 1   m∠2‬‬ ‫ ‪   m∠2 = 110°‬‬ ‫ُتقاب ُل بالرأ ِس الزاوي َة التي قيا ُسها ‪110°‬‬ ‫‪ 110°1 32 2   m∠5‬‬ ‫ُتناظ ُر الزاوي َة التي قيا ُسها ‪110°‬‬ ‫ ‪ 54 76   m∠5 = 110°‬‬ ‫‪ 3   m∠3‬‬ ‫زاويتا ِن متحالفتا ِن‬ ‫ ‪   m∠3+ m∠5=180°‬‬ ‫ ‪   m∠3+ 110°=180°‬‬ ‫ُأع ِّو ُض قيمة ‪m∠5‬‬ ‫ ‪   m∠3 = 70°‬‬ ‫أطر ُح ‪ 110°‬م َن ال ّط َر َفي ِن‬ ‫  أتحق ُق من فهمي‪:‬‬ ‫‪4   m∠1      5   m∠4      6   m∠6      7   m∠7‬‬ ‫‪112‬‬

‫الوحد ُة ‪4‬‬ ‫أستخد ُم الشك َل المجاو َر وأس ّمي‪:‬‬ ‫أَﺗـﺪر ُب‬ ‫‪76‬‬ ‫وأﺣ ﱡﻞ اﳌﺴﺎﺋ َﻞ‬ ‫‪89‬‬ ‫ ‪  2‬زاويت ِن متبادلتي ِن داخل ًّيا‪.‬‬ ‫ ‪  1‬زاويتي ِن متناظر تي ِن‪ .‬‬ ‫ ‪  3‬زاويتي ِن متبادلتي ِن خارج ًّيا ‪  4  .‬زا ِويتيــ ِن دا ِخل َّيتيــ ِن في ‪5 3‬‬ ‫ج َه ٍة واحد ٍة‪1 2 .‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫مستشفيا ٌت‪ :‬في الشك ِل المجاو ِر‬ ‫‪4‬‬ ‫ســري ٌر ط ِّبــي ذو ِســيا ٍج لحماي ِة‬ ‫‪1 98°‬‬ ‫المري ِض م ْن خط ِر الســقو ِط‪ ،‬فإذا‬ ‫كا َن هذا الســيا ُج ُموا ِز ًيا لِ َســط ِح‬ ‫السري ِر‪ ،‬وال ّدعاما ُت موا ِزي ًة بع َضها‪،‬‬ ‫أ ِج ُد ما يأتي‪:‬‬ ‫‪5    m∠1    6    m∠2    7    m∠3    8    m∠4‬‬ ‫أتع َّل ُم‬ ‫في الشك ِل المجاو ِر‪ ،‬أج ُد قيا َس ك ٍّل م َن الزوايا الآتي ِة‪:‬‬ ‫إذا قط َع مستقي ٌم‬ ‫مستقيمي ِن‪ ،‬وتساو ْت‬ ‫ ‪ 43 21 9    m∠3‬‬ ‫‪10    m∠5‬‬ ‫قياسا ُت الزوايا المتبادل ِة‬ ‫والمتناظر ِة أو تكامل ِت‬ ‫الزوايا المتحالف ُة فإ َّن‬ ‫المستقيمي ِن متوازيا ِن‪.‬‬ ‫ ‪ 60° 5‬‬ ‫ ‪11    m∠4‬‬ ‫‪12    m∠2‬‬ ‫ ‪ 6 7‬‬ ‫ ‪13    m∠1‬‬ ‫‪14    m∠6‬‬ ‫‪(2x+50) °‬‬ ‫‪(x+80) °‬‬ ‫ ‪َ   15‬ج ْب ٌر‪ :‬معتم ًدا الشك َل المجاو َر‪،‬‬ ‫أكت ُب معادل ًة ث َّم أح ُّلها لأج َد قيم َة ‪. x‬‬ ‫‪113‬‬

‫‪51°‬‬ ‫ ‪  16‬أج ُد قيم َة ‪ x‬في الشك ِل المجاو ِر‪.‬‬ ‫‪116°‬‬ ‫‪x‬‬ ‫تبري ٌر‪ :‬معتم ًدا الشك َل المجاو َر‪ ،‬أي ُّالعبارا ِت الآتي ِة صحيح ٌة وأ ُّيها خط ٌأ؟ ُأب ِّر ُر إجابتي‪.‬‬ ‫مهارا ُت التفكي ِر ال ُعليا‬ ‫ ‪ ∠CAG ، ∠FDG  17‬متناظرتا ِن‪H .‬‬ ‫أتع َّل ُم‬ ‫‪A‬‬ ‫‪C‬‬ ‫ ‪m∠HBC = m∠BED  18‬‬ ‫يمك ُنني الاستدلا ُل على‬ ‫زو ِج المستقيما ِت المتوازي ِة‬ ‫‪B 55°‬‬ ‫في الشك ِل م ْن خلا ِل عد ِد‬ ‫رؤو ِس الأسه ِم المرسوم ِة‬ ‫ ‪ ∠BED ، ∠EDG  19‬متبادلتا ِن داخل ًّيا‪.‬‬ ‫عليها‪.‬‬ ‫‪D EF‬‬ ‫ ‪m∠BED = 55°  20‬‬ ‫‪GI‬‬ ‫ ‪ ∠ABE ، ∠ADF  21‬متناظرتا ِن‪.‬‬ ‫ ‪  22‬أكتشــ ُف الخط َأ‪ :‬تقو ُل مريــ ُم‪ :‬إ َّن عد َد أزوا ِج‬ ‫الزوايا المتناظر ِة في الرســ ِم المجاو ِر يساوي‬ ‫‪ 12‬زو ًجــا‪ ،‬أ ّمــا ســال ٌم فيقــو ُل‪ :‬إ ّن عد َدها‬ ‫‪ 16‬زو ًجــا‪ ،‬فــأ ٌّي منهما على صــوا ٍب؟ أب ِّر ُر‬ ‫إجابتي‪.‬‬ ‫ ‪  23‬تبري ٌر‪ :‬متى تتساوى جمي ُع قياســا ِت الزوايا الناتج ِة ع ْن تقاط ِع مستقي ٍم م َع مستقيمي ِن‬ ‫متوزايي ِن؟ أب ِّر ُر إجابتي‪.‬‬ ‫ ‪   24‬أكت ُب كي َف أج ُد قيا َس جميــ ِع الزوايا الثماني ِة الناتج ِة ع ْن تقاط ِع مســتقي ٍم م َع‬ ‫مستقيمي ِن متوازيي ِن إذا علم ُت قيا َس واحد ٍة منها؟‬ ‫‪114‬‬

‫زوايا المثلَّ ِث‪3‬‬ ‫الدر ُس‬ ‫ أستكش ُف‬ ‫فكر ُة الدر ِس‬ ‫ُب ْر ِم َج ْت آلــ ُة َق ْط ِع الصفي ِح بالليــز ِر لِ ُصن ِع‬ ‫أب ّر ُر العلاقا ِت بي َن الزوايا‬ ‫مث ّلثا ٍت‪ ،‬بحي ُث يكــو ُن قيا ُس ك ٍّل م ْن زوايا‬ ‫الداخلي ِة والخارجي ِة في مث ّل ٍث‪.‬‬ ‫انعطافِهــا الثلا ِث يســاوي ‪ .60°‬فه ْل ح ًّقا‬ ‫المصطلحا ُت‬ ‫سينت ُج ع ْن حرك ِة هذ ِه الآلة مث ّلثا ٌت؟‬ ‫الزاوي ُة الداخلي ُة‪ ،‬الزاوي ُة‬ ‫الخارجي ُة‪.‬‬ ‫ُيشــ ِّك ُل ك ُّل ِض ْلعي ِن في مث ّل ٍث زاوي ًة داخلي ًة )‪ ،(interior angle‬ومجمو ُع قياســا ِت هذ ِه الزوايا الداخلي ِة الثلا ِث يساوي‬ ‫‪180°‬؛ أتح ّق ُق م ْن ذل َك باستعما ِل ما تع َّلم ُته حو َل الزوايا الناتج ِة ع ْن تقاط ِع مستقي ٍم م َع مستقيمي ِن متوازيي ِن‪:‬‬ ‫‪RA‬‬ ‫  عن َد َر ْس ِم المستقي ِم ‪ AR‬الذي يوازي ضل َع المث ّل ِث ‪ CB‬نلاح ُظ ما يأتي‪:‬‬ ‫‪12 3‬‬ ‫‪m∠1= m∠4‬‬ ‫  زاويتا ِن متبادلتا ِن داخل ًّيا‬ ‫‪m∠3 = m∠5‬‬ ‫  زاويتا ِن متبادلتا ِن داخل ًّيا‬ ‫‪4‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪m∠1 + m∠2 + m∠3 =180°‬‬ ‫  زوايا متجاور ٌة على مستقي ٍم‬ ‫‪C‬‬ ‫‪B‬‬ ‫   ُأع ِّو ُض ع ِن الزاوي ِة ‪ m∠1‬بــ ‪m∠4 + m∠2 + m∠5 =180° m∠4‬‬ ‫و ‪ m∠3‬بــ ‪m∠5‬‬ ‫أتح ّق ُق م ْن أ َّن زوايا‬ ‫‪80‬‬ ‫‪90‬‬ ‫‪100‬‬ ‫‪110‬‬ ‫‪610205013040140‬‬ ‫المثل ِث ‪180°‬‬ ‫إذ ْن‪ ،‬مجمو ُع قياسا ِت زوايا المثل ِث الداخل ّي ِة يساوي ‪180°‬‬ ‫‪100‬‬ ‫‪80‬‬ ‫‪70‬‬ ‫باستعما ِل‬ ‫‪70‬‬ ‫‪1530014040130 50‬‬‫‪60120 110‬‬ ‫‪1503016020‬‬ ‫المنقل ِة‪180 .‬‬ ‫‪20‬‬ ‫‪170‬‬ ‫‪160‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪170‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪180‬‬ ‫يمك ُن استخدا ُم العلاق ِة بي َن مجمو ِع قياسا ِت زوايا المثل ِث لإيجا ِد قياسا ِت زوايا مجهول ٍة‪.‬‬ ‫‪115‬‬

‫مثال ‪  1‬معتم ًدا الشك َل المجاو َر‪ ،‬أج ُد ك ٍّل م ّما يأتي‪:‬‬ ‫‪ 1   m∠4‬‬ ‫زوايا داخلي ٌة في مثل ٍث‬ ‫ ‪30° 1 30°+95°+ m∠4 =180°‬‬ ‫أجم ُع‬ ‫ ‪ 4 2 3   1 25°+ m∠4 =180°‬‬ ‫أطر ُح ‪125°‬‬ ‫ ‪ 95 ° 5 25° 60°    m∠4 = 55°‬‬ ‫‪ 2   m∠2‬‬ ‫زاويتا ِن متجاورتا ِن على مستقي ٍم‬ ‫ ‪ m∠2 + m∠4 = 180°‬‬ ‫ ‪   m∠2 + 55° = 180°‬‬ ‫أع ِّو ُض ‪m∠4‬‬ ‫ ‪  m∠2 = 125°‬‬ ‫أطر ُح ‪55°‬‬ ‫ ‪3   m∠5 4   m∠3‬‬ ‫   أتحق ُق من فهمي‪:‬‬ ‫‪5   m∠1‬‬ ‫الزاوي ُة الخارج ّي ُة )‪ (exterior angle‬للمثل ِث ه َي الزاوي ُة ا ّلتي تتش َّك ُل م ْن أح ِد أضلا ِع المث ّل ِث وامتدا ِد ال ّضل ِع المجاو ِر له‪،‬‬ ‫وقيا ُس أ ِّي زاوي ٍة خارجي ٍة في المثل ِث يساوي مجمو َع قيا َس ِي الزاويتي ِن الداخلي َت ْي ِن البعي َد َت ْي ِن‪.‬‬ ‫‪H‬‬ ‫خارج ّي ٌة ‪1‬‬ ‫في الرس ِم المجاو ِر‪ ∠4 ،‬خارجي ٌة للمثل ِث؛ ولذل َك ‪m∠4 = m∠1+m∠2‬‬ ‫داخل ّي ٌة‬ ‫‪3‬‬ ‫‪4‬‬ ‫أتح َّق ُق م ْن ذل َك م ْن خلا ِل ما تعلم ُته ع ْن حقائ ِق الزوايا‪.‬‬ ‫‪R‬‬ ‫في المث ّل ِث ‪2 :△HRL‬‬ ‫‪L‬‬ ‫زوايا داخلي ٌة في مثل ٍث‬ ‫ ‪ m∠1+ m∠2+ m∠3 = 180°‬‬ ‫ ‪ m∠4+m∠3 = 180°‬‬ ‫زاويتا ِن متجاورتا ِن على مستقي ٍم‬ ‫ ‪ m∠4+m∠3 = m∠1 + m∠2 + m∠3‬‬ ‫أع ِّو ُض‬ ‫ ‪ m∠4 = m∠1 + m∠2‬‬ ‫أطر ُح ‪ m∠3‬م َن الطرفي ِن‬ ‫يمكنُني استخدا ُم خاصي ِة الزاوي ِة الخارجي ِة للمثل ِث لإيجا ِد قياسا ِت زوايا مجهول ٍة‪.‬‬ ‫‪116‬‬

‫الوحد ُة ‪4‬‬ ‫   مثال ‪ :2‬م َن الحيا ِة‬ ‫أرجوح ٌة‪ُ :‬تش ِّك ُل دعاما ُت أرجوح ٍة ُمث َّل ًثا كما في الشك ِل المجاو ِر‪ ،‬أج ُد قيا َس كلٍّ م َن الزوايا الآتي ِة معت ِم ًدا الشك َل‪:‬‬ ‫‪ 1   m∠2‬‬ ‫ ‪   110° = 60°+ m∠2‬‬ ‫زاوي ٌة خارجي ٌة للمثل ِث‬ ‫أطر ُح ‪ 60°‬م َن الطرفي ِن‬ ‫‪60º‬‬ ‫زوايا داخلي ٌة في مثل ٍث‬ ‫ ‪ 2 1   m∠2 = 50°‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪110º‬‬ ‫‪ 4 2   m∠1‬‬ ‫ ‪ m∠1+m∠2+ 60°=180°‬‬ ‫ ‬ ‫ ‪m∠1+ 50°+60° =180°‬‬ ‫أع ِّو ُض ‪m∠2‬‬ ‫ ‬ ‫ ‪m∠1+ 110° =180°‬‬ ‫أجم ُع‬ ‫أطر ُح ‪ 110°‬م َن الطرف ِ ِي ‪ m∠1= 70°‬‬ ‫   أتحق ُق من فهمي‪:‬‬ ‫‪3   m∠3 4   m∠4  5   m∠5‬‬ ‫أج ُد قياسا ِت الزوايا المر َّقم ِة في ك ٍّل م َن الأشكا ِل الآتي ِة‪:‬‬ ‫أَﺗـﺪر ُب‬ ‫وأﺣ ﱡﻞ اﳌﺴﺎﺋ َﻞ‬ ‫   ‪1      2     3‬‬ ‫‪60° 1‬‬ ‫‪2 32°‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪32‬‬ ‫‪70°‬‬ ‫‪32° 55°‬‬ ‫‪105°‬‬ ‫‪45°‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪47°‬‬ ‫   ‪4      5     6‬‬ ‫‪108°‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪62°‬‬ ‫‪1 125°‬‬ ‫‪30°‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪112°‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪32°‬‬ ‫‪21‬‬ ‫‪70°‬‬ ‫‪117‬‬

‫‪Q‬‬ ‫‪(4x-24)°‬‬ ‫ ‪َ   7‬ج ْب ٌر‪ :‬أصنِّ ُف ‪ △QHD‬إلى حا ِّد‬ ‫أتذ َّك ُر‬ ‫‪H‬‬ ‫الزوايا أ ْو قائ ِم الزاوي ِة أ ْو منف ِر ِج الزاوي ِة‪.‬‬ ‫‪(x+5)°‬‬ ‫ُتس ّمى المث َّلثا ُت بحس ِب‬ ‫زواياها‪:‬‬ ‫‪(2x+11)°‬‬ ‫‪D‬‬ ‫ ⦁حا ّد َة الزوايا وفيها‬ ‫‪Q 92° 38°‬‬ ‫‪R‬‬ ‫ ‪  8‬إنشاءا ٌت‪ :‬يمث ُل الشك ُل المجاو ُر ِسقا َل ًة ُتستخ َد ُم‬ ‫ثلا ُث زوايا حا َّد ٌة‪.‬‬ ‫‪V 62°‬‬ ‫‪S‬‬ ‫في أعما ِل البنا ِء‪ .‬أستعي ُن ب ِه ِليجا ِد ‪. m∠1‬‬ ‫ ⦁قائم َة الزاوي ِة وفيها‬ ‫‪T‬‬ ‫زاوي ٌة قائم ٌة واحد ٌة‪.‬‬ ‫ ⦁منف ِرج َة الزاوي ِة وفيها‬ ‫زاوي ٌة منفرج ٌة واحد ٌة‪.‬‬ ‫‪C1‬‬ ‫ ‪ُ   9‬أصح ُح الخط َأ‪ :‬تقو ُل فاطم ُة‪ :‬إ َّن ‪A m∠BCD = 25°‬‬ ‫مهارا ُت التفكي ِر ال ُعليا‬ ‫لأ َّن لها نف َس قيا ِس الزاوي ِة المجاور ِة لها‪ .‬لك َّن ما‬ ‫إرشا ٌد‬ ‫‪D 52°‬‬ ‫تقو ُله فاطم ُة خط ٌأ‪ ،‬أو ِّض ُح لها كيف َّي َة إيجا ِد ‪B m∠BCD‬‬ ‫أعتم ُد في التبري ِر على‬ ‫و ُأب ِّر ُر إجابتي‪.‬‬ ‫العلاقا ِت بي َن زوايا المث َّل ِث‬ ‫الداخل ّي ِة والخارج ّي ِة‪ ،‬ولا‬ ‫‪C 25°‬‬ ‫تبري ٌر‪ :‬أعتم ُد على الشك ِل المجاو ِر لإيجا ِد‬ ‫أستخد ُم المنقل َة‪.‬‬ ‫‪1‬‬ ‫الزاويــ ِة التي تح ِّق ُق الشــر َط ال ُم ْعطى و ُأب ِّر ُر‬ ‫‪3‬‬ ‫‪92‬‬ ‫‪6‬‬ ‫إجابتي‪:‬‬ ‫‪87‬‬ ‫ ‪  10‬قيا ُسها أق ُّل من ‪4 5 m∠2‬‬ ‫ ‪  11‬قيا ُسها أكب ُر من ‪m∠4‬‬ ‫مجمو ُع قياسا ِت الزوايا‬ ‫ ‪  12‬تبري ٌر‪ :‬أح ِّد ُد ما إذا كان ِت العبار ُة المجاور ُة صحيح ًة‬ ‫الخارجي ِة ع ِن المثل ِث ‪360°‬‬ ‫دائ ًما أو أحيا ًنا أو غي َر صحي ٍحة أب ًدا‪ .‬وأب ِّر ُر إجابتي‪.‬‬ ‫ ‪   13‬أكت ُب أو ِّضــ ُح مســتعينًا بالرســ ِم العلاقــ َة بيــ َن أ ِّي زاويــ ٍة خارجيــ ٍة للمثلــ ِث‬ ‫والزاويتيـ ِن الداخل ّيتيـ ِن غيـ ِر المجاورتيـ ِن لهـا‪.‬‬ ‫‪118‬‬

‫زوايا المضلّعِ‪4‬‬ ‫الدر ُس‬ ‫ أستكش ُف‬ ‫فكر ُة الدر ِس‬ ‫نشا ٌط‪ :‬بع َد أ ْن ُأكم َل الجدو َل الآت َي أ ِج ُد‪:‬‬ ‫أ ِج ُد مـجمو َع قياسا ِت زوايا‬ ‫ ⦁عد َد المثلثا ِت ومجمو َع قياسا ِت الزوايا في مض َّل ٍع له سبع ُة أضلا ٍع‪.‬‬ ‫مض َّل ٍع ُمع ًطى‪.‬‬ ‫ ⦁مقدا ًرا جبر ًّيا يم ِّث ُل عد َد المثلثا ِت ومجمو َع قياسا ِت الزوايا لمض َّل ٍع عد ُد أضلا ِعه ‪.n‬‬ ‫أم ّي ُز المض َّل َع المنت َظ َم وأج ُد قيا َس‬ ‫عد ُد الأضلا ِع‬ ‫الشك ُل‬ ‫مجمو ُع قياسا ِت الزوايا عد ُد المثلثا ِت‬ ‫زاويتِه الداخلي ِة والخارجي ِة‪.‬‬ ‫المصطلحا ُت‬ ‫المض َّل ُع المنت َظ ُم‬ ‫‪3 1 1 × 180°‬‬ ‫‪4 2 2 × 180°‬‬ ‫‪5 3 3 × 180°‬‬ ‫‪6‬‬ ‫ُيس ّمى المض َّل ُع بحس ِب عدد أضلا ِع ِه؛‬ ‫الزاوي ُة الداخلي ُة لمض ّل ٍع ه َي الزاويــ ُة الناتج ُة ع ِن التقاء ِض ْلعي ِن متجاوري ِن في‬ ‫فالمض َّلع الذي ل ُه سبع ُة أضلا ٍع يس ّمى‬ ‫المض ّل ِع وتق ُع داخ َله‪ ،‬ومـجمو ُع قياسـا ِت الزوايا الداخلي ِة )‪ (S‬لمض ّل ٍع ه َو‬ ‫‪ ، S = (n −2)×180°‬حي ُث ‪ n‬تم ِّث ُل عد َد الأضلا ِع‪.‬‬ ‫مضل ًعا ُسباع ًّيا‪ ،‬والمض ّل ُع الذي له‬ ‫تسع ُة أضلا ٍع يس ّمى ُتسا ِع ًّيا‪.‬‬ ‫مثال ‪  1‬‬ ‫أج ُد مجمو َع قياسا ِت الزوايا الداخلي ِة لك ِّل ُمض َّل ٍع م ّما يأتي‪:‬‬ ‫‪   1‬ال ُّسباع ُّي‪:‬‬ ‫ ‪ S = (n −2) × 180°‬‬ ‫صيغ ُة مجموعِقياسا ِت زوايا المض ّلعِ‬ ‫ ‪ S = (7−2) × 180°‬‬ ‫أع ِّو ُض ‪n = 7‬‬ ‫ ‪ S = (5) × 180°= 900°‬‬ ‫ُأب ِّس ُط‬ ‫‪119‬‬

‫ ‪ S = (n −2) ×180°‬‬ ‫‪   2‬ال ُعشار ُّي‪:‬‬ ‫ ‪ S = (10 −2) ×180°‬‬ ‫صيغ ُة مجمو ِع قياسا ِت زوايا المض ّل ِع‬ ‫ ‪ S = (8)×180°= 1440°‬‬ ‫أع ِّو ُض ‪n = 10‬‬ ‫‪  5‬ذو ثماني َة عش َر ِض ْل ًعا‬ ‫‪  4‬ذو أربع َة عش َر ِض ْل ًعا ‬ ‫ُأب ِّس ُط‬ ‫  أتحق ُق من فهمي‪:‬‬ ‫‪  3‬ال ُّتساع ُّي ‬ ‫‪x‬‬ ‫‪x‬‬ ‫المض ّلــ ُع ال ُمن َت َظــ ُم )‪ (regular polygon‬هو ُمض َّلــ ٌع جمي ُع أضلا ِع ِه‬ ‫‪x‬‬ ‫‪x‬‬ ‫لها الطو ُل نف ُس ُه‪ ،‬وزوايا ُه الداخلي ُة جمي ُعها لها القيا ُس نف ُس ُه‪.‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪x‬‬ ‫قيا ُس الزاويــ ِة الداخليــ ِة )‪ (x‬لمض َّلــ ٍع ُمنْ َت َظ ٍم عد ُد أضلا ِعه ‪ُ n‬يســاوي‬ ‫مجمو َع قياسا ِت زوايا ُه الداخلي ِة )‪ (s‬مقسو ًما على عد ِد أضلا ِع ِه‪.‬‬ ‫= ‪x°‬‬ ‫‪(n−2)×180°‬‬ ‫‪n‬‬ ‫   مثال ‪ :2‬م َن الحيا ِة  ‬ ‫ص ّم َم ْت ماجد ُة إطارا ٍت خشــب ّي ًة على شــك ِل مضلعا ٍت ُسداس ّي ٍة منتظم ٍة‪ ،‬أ ِج ُد قيا َس‬ ‫الزاوي ِة الداخلي ِة لتل َك الإطارا ِت‪:‬‬ ‫= ‪ x°‬‬ ‫‪(n−2)×180°‬‬ ‫صيغ ُة قيا ِس الزاوي ِة الداخلي ِة للمض َّلع ِالمنت َظمِ‬ ‫ ‪n‬‬ ‫أع ِّو ُض ‪n = 6‬‬ ‫= ‪ x°‬‬ ‫‪(6−2)×180°‬‬ ‫ُأب ِّس ُط‬ ‫ ‪6‬‬ ‫ ‪ x° = 120°‬‬ ‫  أتحق ُق من فهمي‪:‬‬ ‫أج ُد قيا َس الزاوي ِة الداخلي ِة لك ٍّل م َن المض ّلعا ِت المنتظم ِة الآتي ِة‪ُ ( .‬أق ِّر ُب إجابتي إلى َأ ْق َر ِب درج ٍة)‪.‬‬ ‫‪  2‬ال ُعشار ُّي المنت َظ ُم‬ ‫‪   1‬ال ُّثماني المنت َظ ُم ‬ ‫‪120‬‬

‫الوحد ُة ‪4‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫الزاوي ُة الخارج ّي ُة للمض ّل ِع ه َي الزاوي ُة المتشــ ِّكل ُة م ْن أح ِد الأضلا ِع وامتدا ِد الضل ِع المجاو ِر‬ ‫‪6‬‬ ‫‪3‬‬ ‫له‪ .‬ومجمو ُع قياسا ِت الزوايا الخارج ّي ِة لأ ِّي مض ّل ٍع منتظ ٍم عد ُد أضلاع ِه )‪ - (n‬زاوي ٌة واحد ٌة‬ ‫لك ِّل رأ ٍس ‪ -‬يســاوي ‪ ،360°‬وفي هذ ِه الحال ِة يكو ُن قيــا ُس ك ِّل زاوي ٍة خارج ّي ٍة )‪ (x‬من هذ ِه‬ ‫‪5‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪360°‬‬ ‫الزوايا يساوي‪:‬‬ ‫‪n‬‬ ‫=‪x°‬‬ ‫مثال ‪  3‬‬ ‫أج ُد قيا َس الزاوي ِة الخارجي ِة لك ٍّل م ِن المض ّلعا ِت الآتي ِة لأقر ِب درج ٍة‪:‬‬ ‫= ‪ x°‬‬ ‫‪360°‬‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫‪   1‬ال ُّسباع ُّي المنت َظ ُم‪:‬‬ ‫‪n‬‬ ‫أكت ُب المعادل َة‬ ‫= ‪ x°‬‬ ‫‪360°‬‬ ‫ ‬ ‫أع ِّو ُض ‪n = 7‬‬ ‫‪7‬‬ ‫ُأب ِّس ُط‬ ‫ ‪ x° ≈ 51°‬‬ ‫  أتحق ُق من فهمي‪:‬‬ ‫‪  4‬ذو خمس َة عش َر ضل ًعا منتظ ًما‬ ‫‪  3‬ال ُعشار ُّي المنت َظ ُم ‬ ‫‪   2‬ال ُسدا ِس ُّي المنت َظ ُم ‬ ‫ُيم ِكنُني استخدا ُم مجمو ِع قياسا ِت زوايا ُمض َّل ٍع لإيجا ِد قياسا ِت زوايا مجهول ٍة في ِه‪.‬‬ ‫مثال ‪  4‬أج ُد قياسا ِت الزوايا المجهول ِة في الشك ِل المجاو ِر‪:‬‬ ‫‪ 2 1   m∠1‬‬ ‫زاويتا ِن متجاورتا ِن على مستقي ٍم‬ ‫ ‪12 6° 96° m∠1+ 61° =180°‬‬ ‫أطر ُح ‪ 61°‬م َن الطرفي ِن‬ ‫ ‪    m∠1 = 119°‬‬ ‫‪9 0° 61 °1 2   m∠2‬‬ ‫أو ًل‪ :‬أج ُد مجمو َع قياسا ِت زوايا المض َّلع ِال ُم ْعطى‪.‬‬ ‫ ‪ S = (n−2)×180°‬‬ ‫صيغ ُة مجمو ِع قياسا ِت زوايا المض َّل ِع‬ ‫ ‪ S = (5−2)×180°‬‬ ‫أع ِّو ُض ‪ ،n = 5‬فالشك ُل خما ِ ٌّس‬ ‫ ‪ S = (3)×180°=540°‬‬ ‫أب ِّس ُط‬ ‫‪121‬‬

‫ثان ًيا‪ :‬أستعم ُل مجمو َع قياسا ِت الزوايا لإيجا ِد قيا ِس الزاوي ِة المجهول ِة‪.‬‬ ‫أجم ُع قياسا ِت الزوايا الداخلي ِة َوأساويها بِـ ‪ m∠2+119°+96°+126°+90°= 540° 540°‬‬ ‫ ‪   m∠2+431°= 540°‬‬ ‫أجم ُع‬ ‫ ‪   m ∠2 = 109°‬‬ ‫أطر ُح ‪ 431°‬م َن الطرفي ِن‬ ‫‪145° 140°‬‬ ‫  أتحق ُق من فهمي‪:‬‬ ‫‪2 93°‬‬ ‫أج ُد قياسا ِت الزوايا المجهول ِة في الشك ِل المجاو ِر‪:‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪130°‬‬ ‫‪ 136° 134 ° 3   m∠1 4   m∠2‬‬ ‫أستخد ُم المعادلا ِت الخ ِّط َّي َة لإيجا ِد عد ِد أضلا ِع مض َّل ٍع منت َظ ٍم أع َل ُم قيا َس زاويتِ ِه الداخل ّي ِة‪.‬‬ ‫مثال ‪  5‬أج ُد عد َد أضلا ِع مض َّل ٍع منت َظ ٍم قيا ُس زاويتِ ِه الداخل ّي ِة ‪:135°‬‬ ‫أفر ُض أ َّن عد َد الأضلا ِع ُيساوي ‪n‬‬ ‫ ‬ ‫ ‪S = n×135°‬‬ ‫بِما أ َّن المض َّل َع منت َظ ٌم فإِ َّن زواياه جمي َعها لها القيا ُس نف ُس ُه‬ ‫ ‪ S = (n−2)×180°‬‬ ‫صيغ ُة مجمو ِع قياسا ِت زوايا المض َّل ِع‬ ‫ ‪ n×135° = (n -2)×180°‬‬ ‫أك ُت ُب معادل ًة‬ ‫ ‪ 135°n = 180°n −360°‬‬ ‫خاصي ُة التوزي ِع‬ ‫ ‪ − 45°n = -360°‬‬ ‫أطر ُح ‪ 180°n‬م ْن طر َ ِف المعادل ِة‬ ‫ ‪ n = 8‬‬ ‫ُأق ِّس ُم على ‪-45°‬‬ ‫إذ ْن‪ ،‬عد ُد أضلا ِع المض َّل ِع ثماني ٌة‪.‬‬ ‫  أتحق ُق من فهمي‪:‬‬ ‫أ ِج ُد عد َد أضلا ِع مض َّل ٍع منت َظ ٍم قيا ُس زاويتِ ِه الداخلي ِة ‪.140°‬‬ ‫‪122‬‬

‫الوحد ُة ‪4‬‬ ‫أجـ ُد مجمـو َع قياسـا ِت الزوايـا الداخل ّيـ ِة للمض َّلـ ِع ال ُمعطـى عـد ُد أضلا ِعـ ِه فـي ك ٍّل‬ ‫أَﺗـﺪر ُب‬ ‫م ّمـا يأتـي‪:‬‬ ‫وأﺣ ﱡﻞ اﳌﺴﺎﺋ َﻞ‬ ‫ ‪ 13  2‬ضل ًعا  ‪ 20  3‬ضل ًعا  ‪ 32  4‬ضل ًعا‬ ‫ ‪ 11  1‬ضل ًع ا‬ ‫إرشا ٌد‬ ‫أج ُد قيا َس الزاوي ِة الداخلي ِة للمض َّلــ ِع المنتظ ِم ال ُم ْعطى َعد ُد أضلا ِعه في ك ٍّل م ّما يأتي‪.‬‬ ‫( ُأق ِّر ُب إجابتي إلى َأ ْق َر ِب درج ٍة)‪.‬‬ ‫يمك ُنني استخدا ُم طريق ٍة‬ ‫أخرى لإيجا ِد قيا ِس الزاوي ِة‬ ‫ ‪ 11  6‬ضل ًعا  ‪ 12  7‬ضل ًعا  ‪ 20  8‬ضل ًعا‬ ‫ ‪ 9  5‬أضلا ٍع ‬ ‫الخارج َّي ِة للمض َّل ِع ال ُمن َت َظ ِم‪،‬‬ ‫وذلك بإيجا ِد قيا ِس زاويتِ ِه‬ ‫أج ُد قيا َس الزاويــ ِة الخارجي ِة لك ٍّل م َن المض ّلعا ِت المنتظم ِة الآتي ِة‪ُ ( .‬أق ِّر ُب إجابتي إلى‬ ‫َأ ْق َر ِب درج ٍة)‪.‬‬ ‫الداخل َّي ِة و َط ْر ِح هذا‬ ‫القيا ِس م ْن ‪180°‬‬ ‫ ‪  12‬ذو عشري َن ضل ًعا‬ ‫ ‪  11‬تساع ٌّي ‬ ‫ ‪  10‬ثمان ي‬ ‫ ‪  9‬خماس ٌّ ي‬ ‫أج ُد قيا َس الزاوي ِة المجهول ِة في ك ِّل شك ٍل م ّما يأتي‪:‬‬ ‫   ‪13     14‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪146° 116°‬‬ ‫‪120°‬‬ ‫‪100°‬‬ ‫‪y 67°‬‬ ‫‪40° x‬‬ ‫‪116°‬‬ ‫أ ِج ُد عد َد أضلا ِع المض َّل ِع المنت َظ ِم ال ُم ْعطى قيا ُس زاويتِ ِه الداخلي ِة في ك ٍّل م ّما يأتي‪:‬‬ ‫ ‪15   162°‬‬ ‫ ‪16   144°‬‬ ‫‪17   150°‬‬ ‫‪(4x-26)°‬‬ ‫ ‪َ   18‬ج ْب ٌر‪ :‬أكت ُب معادل ًة وأح ُّلها بإيجا ِد‬ ‫‪x° x°‬‬ ‫قيا ِس زوايا المض َّل ِع المجاو ِر‪:‬‬ ‫‪(2x+18)°‬‬ ‫‪123‬‬

‫ ‪  19‬يريـــ ُد مـــحم ٌد ُصنْ َع إطا ٍر على شك ِل مض َّل ٍع ُتســاع ٍّي منت َظ ٍم‬ ‫باستعما ِل ألوا ٍح خشــبي ٍة‪ .‬فما الزاوي ُة التي سيقط ُع بها ك َّل لو ٍح‬ ‫عن َد طر َف ْي ِه؛ ليتم َّك َن م ْن َج ْم ِع الألوا ِح بع ِضها ببع ٍض لتشكي ِل الإطا ِر‬ ‫المطلوب؟ أب ِّر ُر إجابتي‪.‬‬ ‫  ُعملا ٌت‪ :‬تم ِّث ُل القطع ُة النقد ّيــ ُة م ْن فئ ِة ال ُّر ْب ِع دينا ٍر ُمض َّل ًعا‬ ‫ ‪20‬‬ ‫معلوم ٌة‬ ‫منت َظ ًما‪ .‬أ ِجــ ُد قيا َس ك ٍّل مــ ْن زاويتِ ِه الداخليــ ِة وزاويتِ ِه‬ ‫تو ّل مجل ُس النق ِد الأردن ُّي‬ ‫الخارجي ِة‪.‬‬ ‫مه ّم َة إصدا ِر النق ِد الأردن ِّي‬ ‫من ُذ عا ِم ‪1949‬م ح ّتى عا ِم‬ ‫قيا ُس الزاوي ِة الداخلي ِة لمضل ٍع منتظ ٍم يساوي ‪ ،4x‬وقيا ُس الزاوي ِة الخارجي ِة يساوي ‪:2x‬‬ ‫ ‪  21‬أج ُد قيم َة ‪. x‬‬ ‫‪1964‬م‪ ،‬وبع َد أ ْن تأ َّس َس‬ ‫البن ُك المركز ُّي الأردن ُّي عا َم‬ ‫ ‪  22‬أج ُد قيا َس الزاوي ِة الداخلي ِة و قيا َس الزاوي ِة الخارجي ِة‪.‬‬ ‫‪1964‬م تو ّل تل َك المه ّم َة‬ ‫ ‪  23‬أج ُد عد َد أضلا ِع المضل ِع المنتظ ِم‪.‬‬ ‫إلى يو ِمنا هذا‪.‬‬ ‫مهارا ُت التفكي ِر ال ُعليا‬ ‫‪90o N‬‬ ‫‪R‬‬ ‫ ‪َ   24‬ت َح ٍّد‪ :‬إذا كا َن المض ّلعا ِن في الشك ِل المجاو ِر منت َظمي ِن‪،‬‬ ‫‪D‬‬ ‫فأ ِج ُد ‪ ، m∠RND‬أب ِّر ُر إجابتي‪.‬‬ ‫ ‪  25‬تبري ٌر‪ :‬ه ْل يوج ُد مض ّل ٌع منت َظ ٌم قيا ُس زاويتِ ِه الداخلي ِة ‪160°‬؟ أب ِّر ُر إجابتي‪.‬‬ ‫ ‪   26‬أكت ُب فقر ًة قصير ًة أب ِّي ُن فيها العلاق َة بيــ َن عد ِد أضلا ِع المض ّل ِع المنت َظ ِم وقيا ِس‬ ‫زاويتِ ِه الداخلي ِة‪.‬‬ ‫‪124‬‬

‫الانْ ِسحا ُب‪5‬‬ ‫الدر ُس‬ ‫ أستكش ُف‬ ‫فكر ُة الدر ِس‬ ‫غ َّي َر ْت ري ُم موق َع صــور ٍة مث َّب َت ٍة على جدا ِر‬ ‫أرس ُم انسحا ًبا في المستوى‬ ‫غرفتِها مــ ْن مو ِق ِعهــا المب َّي ِن في الشــك ِل‬ ‫الإحداث ِّي‪.‬‬ ‫المجــاو ِر إلــى الموقــ ِع المظ َّلــل بال ّلو ِن‬ ‫الأزر ِق‪ .‬أ ِصــ ُف مســا َر نق ِل الصــور ِة إلى‬ ‫المصطلحا ُت‬ ‫مو ِقعها الجدي ِد‪.‬‬ ‫الا ْن ِسحا ُب‬ ‫الا ْن ِسحا ُب )‪ (translation‬هو انتقا ُل الشك ِل م ْن مكا ٍن إلى آخ َر م ْن دو ِن تغيي ِر أبعا ِد ِه أ ْو تدوي ِر ِه‪.‬‬ ‫مثال ‪  1‬‬ ‫أ ِص ُف ك َّل انسحا ٍب م ّما يأتي ُمعت ِم ًدا على الشك ِل المجاو ِر‪:‬‬ ‫‪ E 1  A → D‬‬ ‫‪ 6‬وحدا ٍت إلى اليمي ِن‪ ،‬و‪ 3‬وحدا ٍت إلى الأعلى‪.‬‬ ‫‪BD‬‬ ‫ ‪ 2  B → A‬‬ ‫‪ 3‬وحدا ٍت إلى اليسا ِر‪ ،‬و‪ 3‬وحدا ٍت إلى الأسف ِل‪.‬‬ ‫‪A 3  D → B‬‬ ‫‪ 3‬وحدا ٍت إلى اليسا ِر‪.‬‬ ‫‪C‬‬ ‫  أتحق ُق من فهمي‪:‬‬ ‫‪4   C → B 5   E → C 6   E → D‬‬ ‫يمك ُنني التعبي ُر عن انسحا ِب ال ّز ْو ِج المر َّت ِب )‪ (x, y‬في المستوى الإحداث ِّي على صور ِة )‪ (x+a, y+b‬حي ُث ‪ a‬تم ِّث ُل مقدا َر‬ ‫الانسحا ِب الأفق ِّي (إلى اليمي ِن أو اليسا ِر) و ‪ b‬تم ِّث ُل مقدا َر الانسحا ِب الرأس ِّي (إلى الأعلى أو الأسف ِل)‪.‬‬ ‫‪125‬‬

‫مثال ‪  2‬‬ ‫أرس ُم المث ّل َث ‪ ∆ABC‬الذي إحداث ّيا ُت رؤو ِس ِه)‪ A(−2, 4), B(0, 1), C(3, 2‬ث َّم أ ِج ُد إحداث ّيا ِت رؤو ِس ِه تح َت تأثي ِر‪:‬‬ ‫‪ 1‬انسحا ِب ‪ 4‬وحدا ٍت إلى اليمي ِن و‪ 3‬وحدا ٍت إلى الأعلى‪.‬‬ ‫الخطو ُة الثالثــ ُة‪ :‬أكت ُب إحداث ّيا ِت‬ ‫الخطو ُة الثاني ُة‪ :‬أســح ُب ك ًّل م ْن‬ ‫الخطو ُة الأولى‪ :‬أر ُس ُم المثل َث في‬ ‫المواق ِع الجديد ِة للرؤو ِس‪.‬‬ ‫رؤو ِس المثلــ ِث ‪ 4‬وحدا ٍت إلى‬ ‫المستوى الإحداث ِّي‪.‬‬ ‫اليمي ِن و‪ 3‬وحدا ٍت إلى الأعلى‪.‬‬ ‫إحداث ّيا ُت رؤو ِس‬ ‫إحداث ّيا ُت‬ ‫‪y‬‬ ‫'‪A‬‬ ‫‪y‬‬ ‫الشك ِل الأصل ِّي‬ ‫الصور ِة‬ ‫)‪A (-2 , 4‬‬ ‫)‪A' (2 , 7‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪6‬‬ ‫)‪B ' (4 , 4‬‬ ‫)‪B (0 , 1‬‬ ‫)‪C ' (7 , 5‬‬ ‫‪6‬‬ ‫'‪C‬‬ ‫)‪C (3 , 2‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪A4‬‬ ‫'‪B‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪2C‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪1B x‬‬ ‫‪1B‬‬ ‫‪-3 -2 -1 1 2 3 4 5 6‬‬ ‫‪-3 -2 -1 1 2 3 4 5 6‬‬ ‫‪-1‬‬ ‫‪-1‬‬ ‫‪-2‬‬ ‫‪-2‬‬ ‫  أتحق ُق من فهمي‪:‬‬ ‫‪   2‬انسحا ِب وحد ٍة واحد ٍة إلى اليمي ِن‪ ،‬و ‪ 3‬وحدا ٍت إلى الأسف ِل‪.‬‬ ‫‪   3‬انسحا ِب ‪ 4‬وحدا ٍت إلى اليسا ِر‪ ،‬و‪ 5‬وحدا ٍت إلى الأعلى‪.‬‬ ‫يمكنُني تحدي ُد صور ِة نقط ٍة في المستوى الإحداث ِّي تح َت تأثي ِر انسحا ٍب ُمع ًطى م ْن دو ِن أ ْن أرس َم‪.‬‬ ‫مثال ‪  3‬‬ ‫أجـ ُد ُصـ َو َر ال ِّنقـا ِط ال ُمعطـا ِة إحداث ّيا ُتها في مـا يأتي تح َت تأثي ِر انسـحا ٍب مقـدا ُر ُه ‪ 4‬وحدا ٍت إلى اليسـا ِر‪ ،‬و ‪ 10‬وحدا ٍت‬ ‫إلى الأعلى‪:‬‬ ‫)‪1 A(6, 8‬‬ ‫ )‪ (x, y) (x − 4 , y + 10‬‬ ‫قاعد ُة الانسحا ِب‬ ‫ )‪ A(6, 8) A´(6 − 4 , 8 + 10‬‬ ‫أع ِّو ُض الإحداثِ َّي ْي ِن‬ ‫ )‪ A(6, 8) A´(2, 18‬‬ ‫إحداثِ ّيا الصور ِة‬ ‫‪126‬‬

‫الوحد ُة ‪4‬‬ ‫)‪2   B (4, −9‬‬ ‫ )‪(x − 4 , y + 10‬‬ ‫قاعد ُة الانسحا ِب‬ ‫)‪ (x, y‬‬ ‫ )‪B´(4 − 4 , -9 + 10‬‬ ‫أع ِّو ُض الإحداثِ َّي ْي ِن‬ ‫)‪ B(4, -9‬‬ ‫ )‪B´(0, 1‬‬ ‫إحداثِ ّيا الصور ِة‬ ‫)‪ B(4, -9‬‬ ‫  أتحق ُق من فهمي‪:‬‬ ‫ )‪3   S(0, −3‬‬ ‫)‪   4   K(4, −10‬‬ ‫ )‪5   N(10, 4‬‬ ‫)‪   6   M(−16, −20‬‬ ‫َأص ُف ك َّل انسحا ٍب م ّما يأتي ُم ْع َت ِم ًدا على الشك ِل المجاو ِر‪:‬‬ ‫أَﺗـﺪر ُب‬ ‫‪BB FF   1    B → A‬‬ ‫وأﺣ ﱡﻞ اﳌﺴﺎﺋ َﻞ‬ ‫‪ CC  2    F → E‬‬ ‫إرشا ٌد‬ ‫‪  3    E → B‬‬ ‫عنــ َد و ْصــ ِف الانســحا ِب‬ ‫‪ A DD EE  4    B → F‬‬ ‫أبــد ُأ بِو ْصــ ِف الإزاحــ ِة‬ ‫الأفق َّيـ ِة (يمي ًنـا‪ ،‬أو يسـا ًرا)‬ ‫أرس ُم المر ّب َع الذي إحداث ّيا ُت رؤو ِس ِه )‪،A(0, 0) ,B(2, 0), C(2, 2), D(0, 2‬‬ ‫ثــ َّم الرأســ ّي ِة (أعــى‪ ،‬أو‬ ‫في المستوى الإحداث ِّي‪ ،‬ث ّم أ ِج ُد إحداث ّيا ِت رؤو ِس ِه تح َت تأثي ِر الانسحا ِب ال ُم ْعطى في‬ ‫أســف َل)‪.‬‬ ‫ك ٍّل م ّما يأتي‪:‬‬ ‫ ‪ 5  5‬وحدا ٍت إلى اليمي ِن‪ ،‬ووحدتا ِن إلى الأعلى‪.‬‬ ‫ ‪ 6  6‬وحدا ٍت إلى الأعلى‪.‬‬ ‫ ‪  7‬وحد ٌة واحد ٌة إلى اليسا ِر‪ ،‬و‪ 4‬وحدا ٍت إِلى الأسف ِل‪.‬‬ ‫أج ُد ُص َو َر ال ِّنقا ِط ال ُمعطا ِة إحداث ّيا ُتها في ما يأتي تح َت تأثي ِر انسحا ٍب مقدا ُر ُه ‪ 3‬وحدا ٍت‬ ‫إلى اليمي ِن و ‪ 5‬وحدا ٍت إلى الأسف ِل‪.‬‬ ‫ )‪8    (-4, 6‬‬ ‫)‪9    (2, 8)   10    (0, -5‬‬ ‫‪127‬‬

‫ ‪  11‬عن َد إجرا ِء انسحا ٍب لشك ٍل رباع ٍّي إحداث ّيا ُت رؤو ِس ِه‬ ‫)‪ ،A(2, 0), B(-2, 0), C(1, 4),D(-3, 5‬كا َن إحداثِ ّيا الرأ ِس )‪A´(-5, 4‬‬ ‫أ ِج ُد إحداث ّيا ِت ك ٍّل م َن الرؤو ِس‪ ،B´, C´, D´ :‬ث َّم أص ُف الانسحا َب ‪.‬‬ ‫مهارا ُت التفكي ِر ال ُعليا‬ ‫ تبري ٌر‪ :‬إذا ُأج ِر َي انســحا ٌب لشــك ٍل باســتعما ِل القاعد ِة )‪ ،(x-3, y+6‬ث َّم ُأجر َي‬ ‫ ‪12‬‬ ‫انسحا ٌب آخ ُر للشك ِل النات ِج ع ْن عمل ّي ِة الانسحا ِب باستعما ِل القاعد ِة )‪(x+3, y-6‬‬ ‫أذك ُر الموق َع النهائ َّي للشك ِل م ْن دو ِن استعما ِل الرس ِم‪ ،‬وأب ِّر ُر إجابتي‪.‬‬ ‫ ‪  13‬أكتشــ ُف الخط َأ‪ :‬قا َل خال ٌد‪ :‬إ َّن الشــك َل الرباع َّي ´‪ A´, B´, C´, D‬في الرس ِم الآتي‬ ‫ُيم ِّث ُل انسحا ًبا للشك ِل الرباع ِّي ‪ .ABCD‬فه ْل ما قال ُه خال ٌد صحي ٌح؟ أب ِّر ُر إجابتي‪.‬‬ ‫‪y‬‬ ‫'‪D‬‬ ‫'‪C‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫'‪1 A‬‬ ‫‪B' x‬‬ ‫‪-9-8-7-6-5 -4-3 -2-1 1 2 3 4 5 6 7 8 9‬‬ ‫‪A D -1‬‬ ‫‪-2‬‬ ‫‪-3‬‬ ‫‪-4‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪-5‬‬ ‫‪-6‬‬ ‫ ‪  14‬أ ّيها ُمختلــ ٌف‪ :‬أ ُّي قواع ِد الانســحا ِب الآتيــ ِة ُمخت ِل ٌف عــ ِن البق ّي ِة؟ أبــ ِّر ُر إجابتي‪.‬‬ ‫)‪(x−6, y+10), (x+7, y ), (x, y+8‬‬ ‫ ‪   15‬أكت ُب أكت ُب مسأل ًة أستخد ُم فيها انسحا ًبا لمض ّل ٍع منت َظ ٍم‪ ،‬ث ّم َأ ُح ُّلها‪.‬‬ ‫‪128‬‬

‫ال ّد َورا ُن‪6‬‬ ‫الدر ُس‬ ‫‪A‬‬ ‫ أستكش ُف‬ ‫فكر ُة الدر ِس‬ ‫أرس ُم دورا ًنا في المستوى ُتعـ ُّد الريـا ُح مـ ْن أهـ ِّم مصـاد ِر الطاقـ ِة المتجـدد ِة؛ '‪A‬‬ ‫الإحداث ِّي‪.‬‬ ‫فه َي تديـ ُر مـراو َح كبير ًة متصلـ ًة بتوربينـا ٍت تح ِّو ُل‬ ‫الطاقـ َة الحركيـ َة إلى طاقـ ٍة كهربائي ٍة‪ .‬أصـ ُف حرك َة‬ ‫المصطلحا ُت‬ ‫ذرا ِع المروحـ ِة الـذي يجع ُل النقطـ َة ‪ A‬منطبِ َق ًة على‬ ‫ال ّد َورا ُن ‪ ،‬مرك ُز ال َّد َورا ِن‬ ‫النقط ِة ´‪A‬؟‬ ‫‪A‬‬ ‫يعم ُل ال ّدورا ُن )‪ (rotations‬على تحري ِك ك ِّل نقط ٍة في الشك ِل الأصل ِّي بزاوي ٍة محدد ٍة واتجا ٍه‬ ‫‪O 80°‬‬ ‫محد ٍد حو َل نقط ٍة ثابت ٍة ُتســ ّمى مرك َز الــدورا ِن )‪ (center of rotation‬م َع المحافظ ِة على‬ ‫أبعا ِد الشك ِل الأصل ِّي وزوايا ُه‪.‬‬ ‫´‪A‬‬ ‫في الرســ ِم المجاو ِر‪ ،‬النقط ُة ´‪ A‬ه َي صور ٌة للنقط ِة ‪َ A‬ن َت َج ْت عــ ْن دورانِها بزاوي ِة ‪ 80°‬باتجا ِه‬ ‫حرك ِة عقار ِب الساع ِة‪ ،‬و ُتس ّمى النقط ُة ‪ O‬مرك َز الدورا ِن‪ ،‬حي ُث ´‪. OA = OA‬‬ ‫‪S‬‬ ‫مثال ‪  1‬‬ ‫‪A‬‬ ‫أستخ ِد ُم المسطر َة والمنقل َة لرس ِم صور ِة المثل ِث ‪ ∆SRT‬الناتج ِة ع ْن‪R :‬‬ ‫‪T‬‬ ‫‪   1‬دورا ٍن مرك ُز ُه النقط ُة ‪ A‬وبزاوي ٍة قيا ُسها ‪ 110°‬عك َس عقار ِب الساع ِة‪.‬‬ ‫ أرس ُم القطع َة المستقيم َة م َن الرأ ِس ‪ S‬إلى النقط ِة ‪S A‬‬ ‫ا ْل ُخ ْطــ َو ُة ‪1‬‬ ‫‪R‬‬ ‫ا ْل ُخ ْطــ َو ُة ‪2‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪T‬‬ ‫‪80 90‬‬ ‫‪100‬‬ ‫‪110 120‬‬ ‫‪130‬‬ ‫‪4410041043010530200116050‬‬ ‫‪70110 100‬‬ ‫‪80‬‬ ‫‪50120 130‬‬ ‫‪70 60‬‬ ‫ أرس ُم زاوي ًة قيا ُسها ‪ 110°‬يكو ُن ‪ SA‬أح َد ضل َع ْيها ورأ ُسها النقط َة ‪A‬‬ ‫‪60 50‬‬ ‫‪90‬‬ ‫‪100‬‬ ‫‪110‬‬ ‫‪180‬‬ ‫‪80100‬‬ ‫‪80‬‬ ‫‪70‬‬ ‫‪R‬‬ ‫‪50‬‬ ‫‪1350012060110 70‬‬ ‫‪16012700110 7010‬‬‫‪180‬‬‫‪T‬‬ ‫‪130 12060‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪40‬‬ ‫‪S‬‬ ‫‪40‬‬ ‫‪140‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪140‬‬ ‫‪30‬‬ ‫‪150‬‬ ‫‪30‬‬ ‫‪20‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪150‬‬ ‫‪160‬‬ ‫‪180‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪170‬‬ ‫‪20‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪160‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪170‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪180‬‬ ‫‪129‬‬

‫'‪S‬‬ ‫ا ْل ُخ ْطــ َو ُة ‪  3‬أستخد ُم المسطر َة لتحدي ِد النقط ِة ´‪S‬‬ ‫بحي ُث يكو ُن ´‪R AS = AS‬‬ ‫‪S‬‬ ‫ا ْل ُخ ْطــ َو ُة ‪  4‬أك ِّر ُر الخطوا ِت السابق َة لبق َّي ِة‬ ‫‪A‬‬ ‫‪T‬‬ ‫رؤو ِس المثل ِث ث َّم أرس ُم ´‪∆S´R´T‬‬ ‫'‪R‬‬ ‫   أتحق ُق من فهمي‪R :‬‬ ‫'‪T‬‬ ‫‪   2‬دورا ٍن مرك ُز ُه النقط ُة ‪ A‬وبزاوي ٍة قيا ُسها ‪ 70°‬باتجا ِه عقار ِب الساع ِة‪.‬‬ ‫‪   3‬دورا ٍن مرك ُز ُه النقط ُة ‪ T‬وبزاوي ٍة قيا ُسها ‪ 100°‬عك َس عقار ِب الساع ِة‪.‬‬ ‫‪S' S‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪T‬‬ ‫يمكنُني رســ ُم صور ِة شك ٍل في المستوى الإحداث ِّي تح َت تأثي ِر دورا ٍن مرك ُز ُه نقط ُة الأص ِل بزاوي ِة ‪ 270°,180° , 90°‬با ّتجا ِه‬ ‫عقار ِب الساع ِة وف ًقا للقواع ِد الآتي ِة‪:‬‬ ‫دورا ٌن ‪90°‬‬ ‫دورا ٌن ‪180°‬‬ ‫دورا ٌن ‪270°‬‬ ‫أضر ُب الإحداث َّي ‪ x‬في ‪ -1‬ث َّم‬ ‫أضر ُب ك ًّل مــ َن الإحداث َّيي ِن ‪x, y‬‬ ‫أضــر ُب الإحداث َّي ‪ y‬في ‪ -1‬ث َّم‬ ‫أب ّد ُل َم ْو ِق َع ِي الإحداث َّيي ِن ‪x, y‬‬ ‫في ‪-1‬‬ ‫أب ّد ُل َم ْو ِق َع ِي الإحداث َّيي ِن ‪x, y‬‬ ‫)‪(x, y ) → (y, -x‬‬ ‫)‪(x, y ) → (-y, x‬‬ ‫)‪(x, y ) → (-x, -y‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪C 4y‬‬ ‫‪C4y‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪C4‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫'‪3 B‬‬ ‫‪B A1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪B A1‬‬ ‫‪x‬‬ ‫'‪C‬‬ ‫‪-5 -4 -3 -2 -1‬‬ ‫‪12‬‬ ‫'‪B A 1 A‬‬ ‫‪x‬‬ ‫'‪-1 A‬‬ ‫‪34‬‬ ‫‪-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3‬‬ ‫'‪C‬‬ ‫‪-1‬‬ ‫'‪B‬‬ ‫‪-2‬‬ ‫‪-3 -2 -1‬‬ ‫‪1 234‬‬ ‫‪-2‬‬ ‫'‪A‬‬ ‫‪-1‬‬ ‫‪-3‬‬ ‫‪-3‬‬ ‫‪-2‬‬ ‫'‪-4 C‬‬ ‫'‪B‬‬ ‫‪130‬‬

‫الوحد ُة ‪4‬‬ ‫مثال ‪  2‬‬ ‫َأرســ ُم فــي المســتوى الإحداثــ ِّي المر ّبــ َع الــذي إحداثيــا ُت رؤو ِســ ِه )‪A(0,2), B(2,2), C(2,4), D(0,4‬‬ ‫ث َّم أ ِج ُد صو َر َت ُه تح َت تأثي ِر‪:‬‬ ‫‪ 1‬دورا ٍن مركز ُه نقط ُة الأص ِل بزاوي ِة ‪ 270°‬باتجا ِه عقار ِب الساع ِة‪.‬‬ ‫‪y‬‬ ‫ أب ِّد ُل موق َع الإحداث ّيا ِت )‪ ، (x, y‬وأض ِر ُب ‪ y‬في ‪-1‬‬ ‫‪5‬‬ ‫)‪C (2,4‬‬ ‫)‪(x , y) → (−y , x‬‬ ‫)‪D(0,4‬‬ ‫‪4‬‬ ‫)‪C' (-4,2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫)‪B(2,2‬‬ ‫‪x‬‬ ‫)‪A (0, 2) → A' (−2, 0‬‬ ‫ ‬ ‫)‪D'(-4,0‬‬ ‫)‪B (2, 2) → B ' (−2, 2‬‬ ‫ ‬ ‫‪B'(-2,2) 2‬‬ ‫‪23‬‬ ‫‪4‬‬ ‫)‪C (2, 4) → C ' (−4, 2‬‬ ‫ ‬ ‫)‪D (0, 4) → D' (−4, 0‬‬ ‫)‪A (0,2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫)‪A' (-2,0‬‬ ‫‪-5 -4 -3 -2 -1‬‬ ‫‪-1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪-2‬‬ ‫يمك ُنني إجرا ُء الدورا ِن بزاوي ِة ‪270°‬‬ ‫   أتحق ُق من فهمي‪:‬‬ ‫بعم ِل دورا ٍن بزاوي ِة ‪ 90°‬ث َّم ‪180°‬‬ ‫أو بِ َع َم ِل دورا ٍن بزاوي ٍة ‪ 90°‬بالاتجا ِه‬ ‫‪   2‬دورا ٍن مرك ُزه نقط ُة الأص ِل بزاوي ِة ‪ 180°‬باتجا ِه عقار ِب الساع ِة‪.‬‬ ‫المعاك ِس للدورا ِن المطلو ِب‪.‬‬ ‫‪   3‬دورا ٍن مرك ُزه نقط ُة الأص ِل بزاوي ِة ‪ 270°‬باتجا ِه عقار ِب الساع ِة‪.‬‬ ‫يمكنُني رس ُم صور ِة شك ٍل في المستوى الإحداث ّي تح َت تأثي ِر دورا ٍن مركز ُه نقط ُة الأص ِل بزاوي ِة ‪ 90° ، 180° ، 270°‬عك َس‬ ‫عقار ِب الساع ِة وف ًقا للقواع ِد الآتي ِة‪:‬‬ ‫دورا ٌن ‪90°‬‬ ‫دورا ٌن ‪180°‬‬ ‫دورا ٌن ‪270°‬‬ ‫)‪(x, y ) → (-y, x‬‬ ‫)‪(x, y ) → (-x, -y‬‬ ‫)‪(x, y ) → (y, -x‬‬ ‫أضــر ُب الإحداث َّي ‪ y‬في ‪ -1‬ث َّم‬ ‫أضــر ُب ك ًّل مــ َن الإحداث َّييــ ِن‬ ‫أضر ُب الإحداثــ َّي ‪ x‬في ‪ -1‬ث َّم‬ ‫أب ّد ُل َم ْو ِق َع ِي الإحداث َّيي ِن )‪(x, y‬‬ ‫‪ x, y‬فــي ‪-1‬‬ ‫أب ّد ُل َم ْو ِق َع ِي الإحداث َّيي ِن )‪(x, y‬‬ ‫‪131‬‬

‫مثال ‪  3‬‬ ‫أرسم في المستوى الإحداثي المثل َث الذي إحداث ّيا ُت رؤو ِس ِه )‪ A(1,4), B(5,4), C(1,6‬ث َّم أ ِج ُد صور َت ُه تح َت تأثي ِر‪:‬‬ ‫‪ 1‬دورا ٍن مرك ُز ُه نقط ُة الأص ِل بزاوي ِة ‪ 90°‬عك َس عقار ِب الساع ِة‪.‬‬ ‫‪y‬‬ ‫ أب ِّد ُل موق َعي الإحداث ّيي ِن )‪ ، (x, y‬وأض ِر ُب ‪ y‬في ‪-1‬‬ ‫‪7‬‬ ‫)‪(x , y) → (−y , x‬‬ ‫‪6C‬‬ ‫‪B' 5‬‬ ‫‪4A‬‬ ‫‪B‬‬ ‫)‪A (1,4) → A' (−4, 1‬‬ ‫ ‬ ‫‪3‬‬ ‫'‪C' A‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪x‬‬ ‫)‪B (5,4) → B ' (−4, 5‬‬ ‫ ‬ ‫‪1‬‬ ‫‪-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6‬‬ ‫)‪C (1,6) → C ' (−6, 1‬‬ ‫ ‬ ‫‪-1‬‬ ‫‪-2‬‬ ‫‪-3‬‬ ‫   أتحق ُق من فهمي‪:‬‬ ‫‪   2‬دورا ٍن مرك ُز ُه نقط ُة الأص ِل بزاوي ِة ‪ 180°‬عك َس عقار ِب الساع ِة‪.‬‬ ‫‪   3‬دورا ٍن مرك ُز ُه نقط ُة الأص ِل بزاوي ِة ‪ 270°‬عك َس عقار ِب الساع ِة‪.‬‬ ‫أنس ُخ ك َّل شك ٍل م َما يأتي‪ ،‬ث َّم أستخد ُم المســطر َة والمنقل َة لرس ِم صور ِة الشك ِل النات ِج‬ ‫أَﺗـﺪر ُب‬ ‫ع ْن دورا ٍن مرك ُز ُه النقط ُة ‪ M‬وبالزاوي ِة والاتجا ِه المعطى‪:‬‬ ‫وأﺣ ﱡﻞ اﳌﺴﺎﺋ َﻞ‬ ‫ ‪ 45°  3‬عك َس عقار ِب‬ ‫ ‪ 90°  2‬با ِّتجا ِه عقار ِب‬ ‫ ‪ 90°  1‬عك َس عقار ِب‬ ‫الساع ِة‬ ‫الساع ِة‬ ‫الساع ِة‬ ‫إرشا ٌد‬ ‫‪A‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪A‬‬ ‫ا ِّتجا ُه عقار ِب‬ ‫‪M‬‬ ‫‪M‬‬ ‫الساع ِة‬ ‫‪M‬‬ ‫‪D‬‬ ‫‪BC‬‬ ‫عك َس عقار ِب‬ ‫الساع ِة‬ ‫‪C DC‬‬ ‫‪132‬‬

‫الوحد ُة ‪4‬‬ ‫أم ِّث ُل بيان ًّيا الشــك َل وصو َر َت ُه الناتج َة ع ْن دورا ٍن مركــز ُه نقط ُة الأص ِل بالاتجا ِه والزاوي ِة‬ ‫المعطا ِة في ك ٍّل م ّما يأتي‪:‬‬ ‫ مر ّب ٌع إحداث ّيا ُت رؤو ِس ِه )‪ ، (2,0), (5,0), (5,3), (2,3‬بزاوي ِة دورا ٍن ‪ 90°‬با ّتجا ِه‬ ‫ ‪4‬‬ ‫عقار ِب الساع ِة‪.‬‬ ‫ ‪5‬‬ ‫ ‪6‬‬ ‫ مســتطي ٌل إحداث ّيا ُت رؤو ِســ ِه )‪ ، (2,4), (2,2), (−5,4), (−5,2‬بزاوي ِة دورا ٍن‬ ‫ ‪7‬‬ ‫‪ 180°‬عك َس عقار ِب الساع ِة‪.‬‬ ‫ مثل ٌث إحداث ّيــا ُت رؤو ِســ ِه )‪ ،(7,−4), ( 1,−4), ( 4,−1‬بزاوي ِة دورا ٍن ‪270°‬‬ ‫با ّتجا ِه عقار ِب الساع ِة‪.‬‬ ‫‪GF‬‬ ‫‪BA‬‬ ‫ أح ِّد ُد النقط َة التي تم ِّث ُل مرك َز دورا ِن المســتطي ِل‬ ‫‪ ABCD‬إلى صورتِ ِه ‪ .GFED‬أب ِّر ُر إجابتي‪.‬‬ ‫‪C DE‬‬ ‫‪y‬‬ ‫ في الشك ِل المجاو ِر‪ ،‬أح ّد ُد الدورا َن الذي‬ ‫ ‪8‬‬ ‫ُن ِق َل فيه الرأ ُس ‪ D‬إلى صورتِ ِه )‪. D´(-5,-3‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪D5‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪A1‬‬ ‫‪-5 -4 -3 -2 -1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2 3 4x‬‬ ‫‪-1‬‬ ‫‪-2‬‬ ‫‪-3‬‬ ‫مثل ٌث إحداث ّيا ُت رؤو ِســ ِه )‪ ، A(0, 0), B(0, 3), C(4, 0‬أ ِج ُد إحداث ّيا ِت رؤو ِس ِه‬ ‫تح َت تأثي ِر ك ٍّل م ّما يأتي‪:‬‬ ‫ ‪  9‬انسحا ُب وحدتي ِن إلى اليسا ِر‪ ،‬و ‪ 7‬وحدا ٍت إلى الأسف ِل‪.‬‬ ‫ ‪  10‬دورا ٌن مركز ُه نقط ُة الأص ِل بزاوي ِة ‪ 270°‬عك َس عقار ِب الساع ِة‪.‬‬ ‫ ‪  11‬مر ّب ٌع إحداثيا ُت رؤو ِســ ِه )‪ A(1, 1),B(1, 3),C(x, y),D(3, 3‬ت َّم تدوي ُر ُه حو َل‬ ‫نقط ِة الأص ِل بزاوي ِة ‪ 270°‬باتجا ِه عقار ِب الساع ِة‪ ،‬فما إحداث ّيا ُت صور ِة الرأ ِس ‪ C‬بع َد‬ ‫الدورا ِن؟‬ ‫‪133‬‬

‫‪y‬‬ ‫‪E‬‬ ‫ ‪َ   12‬ت َح ٍّد‪ :‬إذا ُأجر َي انســحا ٌب للشك ِل‬ ‫مهارا ُت التفكي ِر ال ُعليا‬ ‫المجــاو ِر بمقــدا ِر وحدتي ِن إلى‬ ‫‪6‬‬ ‫الأعلى و ‪ 3‬وحــدا ٍت إلى اليمي ِن‪،‬‬ ‫إرشا ٌد‬ ‫‪5M‬‬ ‫ث ّم أجــر َي له دورا ٌن مركــ ُز ُه نقط ُة‬ ‫ُأجري التحويلا ِت‬ ‫‪4‬‬ ‫الأص ِل بزاوي ِة ‪ 90°‬با ّتجا ِه عقار ِب‬ ‫الهندس َّي َة وف َق الترتيب‬ ‫الســاع ِة‪ ،‬فما إحداث ّيــا ُت رؤو ِس‬ ‫الذي ور َد في السؤا ِل‪:‬‬ ‫‪3‬‬ ‫الشك ِل النات ِج؟‬ ‫الانسحا ُب أ َّول ًا ث َّم‬ ‫‪2‬‬ ‫ال ّدورا ُن‪.‬‬ ‫‪1H‬‬ ‫‪N‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪-6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6‬‬ ‫‪-1‬‬ ‫‪-2‬‬ ‫‪-3‬‬ ‫‪-4‬‬ ‫‪-5‬‬ ‫ تبري ٌر‪ :‬إذا ُأجر َي لشــك ٍل ما دورانا ِن با ّتجا ِه عقار ِب الســاع ِة مرك ُز ُهما نقط ُة الأص ِل‪:‬‬ ‫ ‪13‬‬ ‫أتع َّل ُم‬ ‫أح ُدهما بزاويــ ِة )‪ (90°‬والآخ ُر بزاوي ِة )‪ ،(180°‬فه ْل لترتيــ ِب الدوراني ِن تأثي ٌر على‬ ‫عن َد إجرا ِء تحوي ٍل هندس ٍّي‬ ‫موق ِع الصور ِة الناتج ِة؟ أب ِّر ُر إجابتي‪.‬‬ ‫على شك ٍل‪ ،‬ث ّم إجرا ِء‬ ‫ ‪  14‬أ ّيها مختل ٌف‪ :‬أ ُّي التحويلا ِت الهندسي ِة الآتي ِة مختل ٌف‪:‬‬ ‫تحوي ٍل هندس ٍّي آخ َر على‬ ‫ ⦁  دورا ٌن مرك ُز ُه نقط ُة الأص ِل بزاوي ِة ‪ 90°‬عك َس عقار ِب الساع ِة‪.‬‬ ‫صورتِ ِه فإ َّن التحوي َل الذي‬ ‫ ⦁  دورا ٌن مرك ُز ُه نقط ُة الأص ِل بزاوي ِة ‪ 90°‬باتجا ِه عقار ِب الساع ِة‪.‬‬ ‫ ⦁  دورا ٌن مرك ُز ُه نقط ُة الأص ِل بزاوي ِة ‪ 270°‬با ّتجا ِه عقار ِب الساع ِة‪.‬‬ ‫ينق ُل الشك َل الأصل َّي إلى‬ ‫صورتِ ِه النهائ َّي ِة ُيس ّمى‬ ‫تحوي ًل هندس ًّيا مر َّك ًبا‪.‬‬ ‫ ‪  15‬مسأل ٌة مفتوح ٌة‪ :‬أرس ُم شك ًل في المستوى الإحداث ِّي‪ ،‬وأ ِص ُف دورا ًنا زاوي ُت ُة لا تساوي‬ ‫صف ًرا‪ ،‬وتكو ُن في ِه ك ٌّل م َن الصور ِة والشك ِل الأصل ِّي منطبق ْي ِن على بع ِض ِهما‪.‬‬ ‫ ‪   16‬أكت ُب أكت ُب المعلوما ِت التي أحتا ُج إليها؛ لكي ُأجر َي دورا ًنا لشك ٍل ما‪.‬‬ ‫‪134‬‬

‫ال ّد َورا ُن‬ ‫معـمــ ُل‬ ‫برمجـيـ ِة‬ ‫جيو جبرا‬ ‫يمك ُن اســتعما ُل برمجي ِة جيوجبرا )‪ (GeoGebra‬لإجرا ِء دورا ٍن لأ ِّي شــك ٍل في المستوى الإحداث ِّي؛ فهي مجان َّي ٌة وسهل ُة‬ ‫الاستخدا ِم‪ .‬أستخد ُم الراب َط ‪ www.geogebra.org/download‬لتثبي ِت نسخ ِة ‪ GeoGebra Classic 6‬م ْن هذه‬ ‫البرمجي ِة على الحاســو ِب‪ .‬ويمكنُني أي ًضا استخدا ُم النسخ ِة ا ّلتي على الإنترنت من دو ِن الحاج ِة إلى تثبيتِها على الحاسو ِب‪،‬‬ ‫م َن الراب ِط ‪www.geogebra.org/classic‬‬ ‫مثال  ‬ ‫أســتخد ُم برمجي َة جيوجبرا؛ لأ ِج َد صور َة المثل ِث الذي إحداث ّيا ُت رؤو ِســ ِه )‪ A(2, 2), B(4, 4), C(8, 1‬بع َد إجرا ِء‬ ‫دورا ٍن مرك ُزه نقط ُة الأص ِل وبزاوي ٍة ‪ 90°‬م َع اتجا ِه عقار ِب الساع ِة‪.‬‬ ‫ا ْل ُخ ْطــ َو ُة ‪  1‬أرس ُم المث ّل َث ‪: ABC‬‬ ‫ •  أختــا ُر أيقون َة م ْن شــري ِط الأدوا ِت‪ ،‬ث َّم أن ُق ُر بالمؤ ِّشــ ِر على‬ ‫مواق ِع الأزوا ِج المر ّتب ِة التي تق ُع عن َدها رؤو ُس المثل ِث في المستوى‬ ‫الإحداث ِّي‪ .‬ولإغلا ِق الشك ِل أن ُق ُر على الرأ ِس الأو ِل مر ًة أخرى‪.‬‬ ‫ا ْل ُخ ْطــ َو ُة ‪  2‬أح ِّد ُد مرك َز الدورا ِن‪:‬‬ ‫م َن شري ِط الأدوا ِت‪.‬‬ ‫ •  أختا ُر أيقون َة ‪Point‬‬ ‫ •  أنق ُر بالمؤ ِّش ِر على نقط ِة الأص ِل (مرك ِز الدورا ِن)‬ ‫ا ْل ُخ ْطــ َو ُة ‪  3‬أجري الدورا َن‪:‬‬ ‫ •  م ْن شري ِط الأدوا ِت‪ ،‬أختا ُر أيقون َة ‪.‬‬ ‫   ‬ ‫‪135‬‬

‫الزاوي ُة‬ ‫الدورا ُن حو َل نقط ٍة‬ ‫ •  أنق ُر بالمؤ ِّشــ ِر وســ َط المث ّل ِث‪ ،‬ث َّم أنق ُر على مرك ِز الدورا ِن‪،‬‬ ‫ث َّم أح ِّد ُد زاوي َة الــدورا ِن وا ِّتجا َه ُه في صندو ِق الحوا ِر الذي‬ ‫يظه ُر‪ ،‬ث َّم أنق ُر‬ ‫عك َس عقار ِب الساع ِة‬ ‫با ّتجا ِه عقار ِب الساع ِة‬ ‫مقارن ُة قياسا ِت المثلَّ ِث ‪ ABC‬وصورتُه‬ ‫•  أ ِج ُد أطوا َل أضلا ِع المث َّل ِث ‪ ABC‬وصو َر َته ´‪ A´B´C‬باســتخدا ِم أدا ِة قيــا ِس أطوا ِل الأضلا ِع ث َّم أنق ُر على‬ ‫الضل ِع المطلو ِب‪.‬‬ ‫ث َّم أنق ُر على ِض ْل َع ِي الزاوي ِة‬ ‫•   َأ ِج ُد قياسا ِت زوايا المث ّل ِث ‪ ABC‬وصو َر َت ُه ´‪ A´B´C‬باستخدا ِم أدا ِة قيا ِس الزوايا‬ ‫المطلوب ِة‪.‬‬ ‫•  ماذا ألا ِح ُظ؟‬ ‫أســتخد ُم برمجي َة جيوجبرا؛ لأُجر َي دورا ًنا مرك ُزه نقط ُة الأصــ ِل وبزاوي ِة ‪ 90°‬با ّتجا ِه‬ ‫أَﺗـﺪر ُب‬ ‫عقار ِب الساع ِة للمث ّلث ْي ِن المعطى إحداث ّيا ُت رؤو ِس ِهما في ما يأتي‪:‬‬ ‫)‪1    A(-6, -8), B(-5, -3), C(-3, -7‬‬ ‫)‪2    A(5, 4), B(7, 9), C(12, 5‬‬ ‫‪136‬‬

‫الوحد ُة ‪4‬‬ ‫اختبا ُر الوحد ِة‬ ‫ ‪  6‬في الشك ِل المجاو ِر ‪A : m∠ABC‬‬ ‫أختا ُر رم َز الإجاب ِة الصحيح ِة في ك ٍّل م ّما يأتي‪:‬‬ ‫‪ 60° B a)  33°‬‬ ‫ ‪  1‬إذا كان ْت ‪ ∠1, ∠2‬متتا َّمتي ِن و ‪ ،m∠1 = 70°‬فإ َّن‬ ‫‪ C b)  87°‬‬ ‫‪ m∠2‬يساوي‪:‬‬ ‫‪ 9 3° E c)  60°‬‬ ‫‪a)  70° b)  110°‬‬ ‫‪ D d)  48°‬‬ ‫‪c)  20° d)  30°‬‬ ‫ صــور ُة النقط ِة )‪ A(-2,7‬تح َت تأثي ِر انســحا ٍب في‬ ‫ ‪7‬‬ ‫ ‪  2‬في الشك ِل المجاو ِر‪A L ،‬‬ ‫المستوى الإحداث ِّي مقدا ُره ‪ 6‬وحدا ٍت إلى اليسا ِر و‪5‬‬ ‫ )‪ D M 3620°° N a‬‬ ‫يساوي‪:‬‬ ‫‪m∠AML‬‬ ‫وحدا ٍت إلى الأسف ِل‪ ،‬هي‪:‬‬ ‫ ‪88°‬‬ ‫‪b)  32°‬‬ ‫)‪a)  A´(−8, 12) b)  A´(−8, 2‬‬ ‫‪K‬‬ ‫‪d)  120°‬‬ ‫ ‪ c)  30‬‬ ‫ )‪c)  A´(4, 12‬‬ ‫)‪d)  A´(4, 2‬‬ ‫ ‪  3‬في الشك ِل المجاو ِر‬ ‫ ‪  8‬مض َّلــ ٌع منت َظ ٌم عــد ُد أضلا ِع ِه ‪ 20‬فإ َّن قيــا َس زاويتِ ِه‬ ‫‪ ∠1,∠2‬زاويتا ِن‪2 :‬‬ ‫الخارج ّي ِة‪:‬‬ ‫‪  )a‬متبادلتا ِن داخل ًّيا‪1 .‬‬ ‫‪  )b‬متبادلتا ِن خارج ًّيا‪.‬‬ ‫‪a)  18° b)  162°‬‬ ‫‪  )c‬متناظرتا ِن‪.‬‬ ‫‪c)  198° d)  55°‬‬ ‫‪  )d‬متحالفتا ِن‪.‬‬ ‫‪ML‬‬ ‫في الشك ِل المجاو ِر‬ ‫ ‪  4‬قيم ُة ‪ x‬في الشك ِل ‪(2x)°‬‬ ‫‪12‬‬ ‫‪9 10‬‬ ‫‪m∠1 = 65°, m∠8 = 86°‬‬ ‫‪110° (x-10)°‬‬ ‫المجاو ِر هي‪:‬‬ ‫‪34‬‬ ‫‪11 12‬‬ ‫أج ُد قيا َس الزوايا الآتي ِة‪ ،‬وأب ِّر ُر‬ ‫خطوا ِت الح ِّل جمي َعها‪:‬‬ ‫‪5768‬‬ ‫‪11351146‬‬ ‫‪a)  70° b)  80°‬‬ ‫‪c)  40° c)  55°‬‬ ‫ ‪9    m∠16‬‬ ‫‪10    m∠11‬‬ ‫ ‪  5‬عدد أضلاع المض َّلع المنت َظم الذي قيا ُس زاويتِه‬ ‫ ‪11    m∠5‬‬ ‫‪12    m∠13‬‬ ‫الداخل ّي ِة ‪ 165°‬يساوي‪:‬‬ ‫‪a)  24    b)  22    c)  20    d)  25‬‬ ‫‪137‬‬

‫اختبا ُر الوحد ِة‬ ‫تدري ٌب على الاختبارا ِت ال َّد ْول ّي ِة‪:‬‬ ‫‪LM‬‬ ‫ ‪  13‬في الشك ِل المجاو ِر‬ ‫‪(2x+48)° (3x-23)°‬‬ ‫إذا علم ُت أ َّن‬ ‫ ‪  20‬فــي الشــك ِل الآتــي‪ ،‬إذا علمــ ُت أ َّن ‪ ، L∥M‬فــإ َّن‬ ‫‪ L∥M‬فما قيم ُة ‪x‬؟‬ ‫‪ m∠ABC‬يساوي‪:‬‬ ‫مب ِّر ًرا خطوا ِت الح ِّل جمي َعها‪.‬‬ ‫‪L‬‬ ‫‪A‬‬ ‫معتم ًدا على الشك ِل المجاو ِر‪،‬‬ ‫‪38°‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪B‬‬ ‫أجي ُب ع ّما يأتي‪:‬‬ ‫‪M‬‬ ‫‪33°‬‬ ‫‪2 64°‬‬ ‫ ‪  14‬أ ِج ُد ‪m∠1, m∠2‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪60°‬‬ ‫‪a) 71°   b) 109°   c) 38°   d) 77°‬‬ ‫ ‪  15‬إذا كانـ ِت ال ّدعامـ ُة الرافعـ ُة‬ ‫ ‪  21‬في الشك ِل الآتي‪ ،‬إذا كان ْت ‪ 4‬و ‪ 5‬زاويتي ِن متجاورتي ِن‬ ‫للغطـا ِء أقصـ َر مـن طولِهـا‬ ‫على مستقي ٍم‪، m∠1 = 2x ، m∠2 = 3x−20 ،‬‬ ‫الحالـي فأ ِصـ ُف التغييـ َر فـي ‪ m∠1, m∠2‬مبـ ِّر ًرا‬ ‫‪ ، m∠3 = x−4‬فإ َّن ‪ m∠3‬يساوي‪:‬‬ ‫إجابتـي‪.‬‬ ‫ ‪ a) 26°‬‬ ‫ ‪  16‬في الرس ِم أدناه‪ ،‬أج ُد قياسا ِت زوايا ‪:∆ABC‬‬ ‫‪ b) 28°‬‬ ‫‪ 1 2 3 4 c) 30°‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪CB‬‬ ‫‪ d) 32°‬‬ ‫في الشك ِل المجاو ِر‪ ،‬أصنِّ ُف ال ّتحويلا ِت الهندس ّي َة الآتي َة إلى‬ ‫دورا ٍن أو انسحا ٍب‪ ،‬م َع توضي ِح القاعد ِة‪:‬‬ ‫‪P‬‬ ‫‪Q‬‬ ‫ ‪  22‬إذا كا َن ‪PQRSTU‬‬ ‫‪U‬‬ ‫‪R‬‬ ‫سداس ًّيا منتظ ًما فإ َّن‬ ‫‪y‬‬ ‫ ‪A → B  17‬‬ ‫ ‪A → C  18‬‬ ‫‪T‬‬ ‫‪S‬‬ ‫‪:M∠QUS‬‬ ‫‪8‬‬ ‫ ‪A → D  19‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪B5‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1x‬‬ ‫‪-8-7-6-5 -4 -3 -2-1‬‬ ‫‪123 45678‬‬ ‫‪-1‬‬ ‫‪a) 30° b) 60°‬‬ ‫‪-2‬‬ ‫‪-3 C‬‬ ‫‪-4‬‬ ‫‪c) 90° d) 20°‬‬ ‫‪D‬‬ ‫‪-5‬‬ ‫‪-6‬‬ ‫‪-7‬‬ ‫‪138‬‬