كتاب الطالب-الفصل الأولسابع

‫الوحد ُة ‪2‬‬ ‫‪100 - 4 ×3‬‬ ‫‪4 42 - 23‬‬ ‫‪100 - 4 ×3‬‬ ‫أستبد ُل بالكس ِر عمل ّي َة القسم ِة‬ ‫ )‪ = (100 - 4 × 3) ÷ (42-23‬‬ ‫أحس ُب الضر َب داخ َل القو ِس الأو ِل والأس َس‬ ‫‪42 - 23‬‬ ‫داخ َل القو ِس الثاني‪.‬‬ ‫ ‬ ‫ )‪= (100 -12) ÷ (16-8‬‬ ‫أحس ُب قيم َة القو ِس الأو ِل‪ ،‬ث َّم القو ِس الثاني‬ ‫أقس ُم‬ ‫ ‬ ‫ ‪= 88 ÷ 8‬‬ ‫ ‬ ‫ ‪= 11‬‬ ‫)‪5   243÷(32)2 × (5-8) 6   256÷(23)2 × (2-7‬‬ ‫أتحق ُق من فهمي‪:‬‬ ‫‪(-4)5‬‬ ‫‪(6)7‬‬ ‫ ‪7   (-4)3 × 3 - 40‬‬ ‫‪8   (6)5 ÷ 3-10‬‬ ‫يمكنُني أ ْن أع ِّب َر ع ْن كثي ٍر م َن المواق ِف الحيات َّي ِة بمقادي َر عدد َّي ٍة‪ ،‬ث َّم أط ِّب ُق أولو ّيا ِت العمل ّيا ِت الحساب َّي ِة لحسا ِب ِق َي ِمها‪.‬‬ ‫   مثال ‪ :3‬م َن الحيا ِة‬ ‫يم ِّث ُل الجدو ُل الآتي أسعا َر بع ِض الخضا ِر والفواك ِه‪.‬‬ ‫ت ّفا ٌح برتقا ٌل منجا بندور ٌة‬ ‫الصن ُف‬ ‫السع ُر ‪0.4 2.5 0.75 1 JD / kg‬‬ ‫اشترى حسا ٌن ‪ 2 kg‬تفا ًحا‪ 2 kg ،‬منجا‪ 5 kg ،‬بندور ًة‪ ،‬أكت ُب عبارتي ِن‬ ‫عدد َّي َت ْي ِن مختلف َت ْي ِن أج ُد م ْن خلالِهما ثم َن ما اشترا ُه حسا ٌن‪.‬‬ ‫ما دف َع ُه حسا ٌن‪ :‬ثم ُن التفا ِح ‪ ،2 × 1‬ثم ُن المنجا ‪ ، 2 × 2.5‬ثم ُن البندور ِة ‪5 × 0.4‬‬ ‫ ‪5 × 0.4 + 2 × 2.5 + 2 × 1‬‬ ‫العبار ُة الأولى‪:‬‬ ‫ ‪ = 2 + 5 + 2‬‬ ‫أك ُت ُب العبار َة الع َد ِد ّي َة‬ ‫ ‪ = 9 JD‬‬ ‫أضر ُب م َن اليسا ِر إلى اليمي ِن‬ ‫أجم ُع م َن اليسا ِر إلى اليمي ِن‬ ‫‪51‬‬

‫ )‪5 × 0.4 + 2 × (2.5 + 1‬‬ ‫العبار ُة الثاني ُة‪:‬‬ ‫ ‪ = 5 × 0.4+ 2 × 3.5‬‬ ‫أكت ُب العبار َة الع َد ِد ّي َة‬ ‫ ‪ = 2 + 7 = 9 JD‬‬ ‫أج ُد قيم َة ما داخ َل القو ِس‬ ‫أضر ُب م َن اليسا ِر إلى اليمي ِن‪ ،‬ث ّم أجم ُع‬ ‫أتحق ُق من فهمي‪:‬‬ ‫إذا اشــترى حســا ٌن ‪ 4 kg‬برتقا ًل و ‪ 4 kg‬بندور ًة‪ ،‬وكغم واحــ ًدا منجا‪ ،‬فأكت ُب عبار َت ْي ِن عدد َّيتيــ ِن مختلف َت ْي ِن أ ِج ُد م ْن‬ ‫خلالِهما ثم َن ما اشترا ُه حسا ٌن‪.‬‬ ‫َأ ِج ُد قيم َة ك ٍّل م ّما يأتي‪:‬‬ ‫أَﺗـﺪر ُب‬ ‫))‪2    200 × (25-(20-5‬‬ ‫‪4   4(7-1)2 - 34‬‬ ‫وأﺣ ﱡﻞ اﳌﺴﺎﺋ َﻞ‬ ‫ ))‪1    120 ÷ (10-(7-2‬‬ ‫ ‪3   6(-2)3 + 10‬‬ ‫َأ ِج ُد قيم َة ك ٍّل م ّما يأتي‪:‬‬ ‫)‪5    128 ÷ ((-2)2)3 + (10-6) 6    625 ÷ (5)3 + (4+2‬‬ ‫ ‪7    60 - 2 × 6‬‬ ‫‪8    50 - 6 × 3‬‬ ‫‪25 - 42‬‬ ‫‪20 - 62‬‬ ‫ تغذي ٌة‪ :‬إذا كان ْت ك ّم ّي ُة البروتي ِن الموجود ِة في ح ّب ٍة واحد ٍة م َن ال َّتم ِر ‪ ، 1.81 gm‬وفي‬ ‫ ‪9‬‬ ‫معلوم ٌة‬ ‫كو ٍب م َن الحلي ِب ‪ ، 7.6 gm‬وفي البيض ِة الواحد ِة ‪ ، 12.56 gm‬إذا تناو َل حســا ٌم‬ ‫على وجب ِة الفطــو ِر ‪ 3‬ح ّبا ٍت من التم ِر ونص َف كو ٍب م َن الحليــ ِب وبيض ًة‪ ،‬فما ك ّم ّي ُة‬ ‫ُي َع ُّد البروتي ُن أكث َر الموا ِد‬ ‫وفر ًة في جس ِم الإنسا ِن بع َد‬ ‫البروتي ِن التي حص َل عليها م ْن وجبت ِه؟‬ ‫الما ِء‪.‬‬ ‫‪52‬‬

‫الوحد ُة ‪2‬‬ ‫ اشــتر ْت ُمنى ‪ 3‬عبوا ِت عصي ٍر بســع ِر ‪ 1.8‬دينــا ٍر للعبو ِة الواحد ِة‪ ،‬ووجب َت ْي ِن بســع ِر‬ ‫ ‪10‬‬ ‫إرشا ٌد‬ ‫‪ 2.3‬دينا ٍر للوجب ِة الواحد ِة‪ ،‬وصح َن سلط ِة خضا ٍر بسع ِر ‪ 75‬قر ًشا‪ .‬فإذا دف َع ْت للمطع ِم‬ ‫إذا احتوى أ ُّي سؤا ٍل‬ ‫‪ 15‬دينا ًرا‪ ،‬فأ ُّي العبارا ِت الآتي ِة تم ِّث ُل المبل َغ الذي س ُيعي ُده البائ ُع إلى ُمنى بالدينا ِر؟‬ ‫على وحدا ٍت مختلف ٍة يج ُب‬ ‫)‪a) 15 – 3×1.8+2×2.3+0.75 c) 15 –(3+2+1)×(1.8+2.3+0.75‬‬ ‫توحي ُد المقاما ِت‪.‬‬ ‫مهارا ُت التفكي ِر ال ُعليا‬ ‫)‪b) 15 –(3×1.8+2×2.3+75) d) 15 –(3×1.8+2×2.3+0.75‬‬ ‫ ‪11    20 + ( -3 × 5) =30‬‬ ‫أكت ُب العد َد المفقو َد في ‪:‬‬ ‫‪12    (52 - 4 × 2) ÷ = 11‬‬ ‫ ‪  13‬أكتشــ ُف الخطاَء‪ :‬أوج َد ْت رزا ُن وشفا ُء قيم َة العبار ِة ‪ ،-15 – 36 ÷ 6 × 2‬فكان ْت‬ ‫إجابتا ُهما كما يأتي‪:‬‬ ‫�شفا ُء‬ ‫رزا ُن‬ ‫‪  -15-36 ÷ 6×2‬‬ ‫‪ = -15-6×2‬‬ ‫‪  -15-36 ÷ 6×2‬‬ ‫‪ = -15-12‬‬ ‫‪ = -15-36÷12‬‬ ‫‪ = -27‬‬ ‫‪ = -15-3‬‬ ‫‪ = -18‬‬ ‫أ ٌّي من ُهما كان ْت إجاب ُتها صحيح ًة؟ أب ِّر ُر إجابتي‪.‬‬ ‫إرشا ٌد‬ ‫ ‪  14‬تح ٍّد‪ :‬أض ُع الأعدا َد ‪ 9, 11, 20, 45‬في المكا ِن المناســ ِب؛ لأجع َل المعادل َة الآتي َة‬ ‫لح ِّل السؤال ‪ 14‬يمك ُنني‬ ‫صحيح ًة‪( + ) ÷ ( - ) = 6 :‬‬ ‫الاستفاد ُة م ْن حقائ ِق‬ ‫تحـ ٍّد‪ :‬أضـ ُع أقوا ًسـا فـي المـكا ِن المناسـ ِب‪ ،‬بحيـ ُث تتسـاوى العبـار ُة العدد ّيـ ُة مـ َع‬ ‫الضر ِب المتع ِّلق ِة بالعد ِد ‪.6‬‬ ‫القيمـ ِة المعطـا ِة‪:‬‬ ‫‪15    60 +12 ÷ 4×1+2 = 20 16    60 +12 ÷ 4×1+2 = 65‬‬ ‫‪17    48 + 12 ÷ 4 × 1 + 2 = 57 18    48 +12 ÷ 4 × 1 + 2 = 45‬‬ ‫ ‪   19‬أكت ُب مسأل ًة حيات َّي ًة يتط َّل ُب ح ُّلها استخدا َم أولو ّيا ِت العمل ّيا ِت الحساب ّي ِة‪.‬‬ ‫‪53‬‬

‫الحدو ُد والمقادي ُر الجبريّ ُة‪3‬‬ ‫الدر ُس‬ ‫ أستكش ُف‬ ‫فكر ُة الدر ِس‬ ‫إذا كا َن طو ُل ملع ِب كر ِة الس ّل ِة‬ ‫أتع َّر ُف الحدو َد والمقادي َر‬ ‫يزيــ ُد ‪ 13 m‬علــى عر ِض ِه‪،‬‬ ‫الجبر َّي َة‪.‬‬ ‫فكيــ َف أع ِّبــ ُر عــ ْن محيطِ ِه‬ ‫المصطلحا ُت‬ ‫بمقدا ٍر جبر ٍّي؟‬ ‫متغ ِّي ٌر‪ ،‬ح ٌّد جبر ٌّي‪ ،‬معا ِم ٌل‪،‬‬ ‫ح ٌّد ثاب ٌت‪ ،‬مقدا ٌر جبر ٌّي‪.‬‬ ‫يمكنُني التعبي ُر ع ْن أ ِّي قيم ٍة مجهول ٍة باستخدا ِم ُمتغ ِّي ٍر )‪ ،(variable‬و ُير َم ُز للمتغ ّي ِر بأح ِد الأحر ِف‪ ،‬مثل ‪… x, y, t, n‬‬ ‫يتك َّو ُن الح ُّد الجبر ُّي )‪ (algebraic term‬م ْن متغ ِّي ٍر أو أكث َر مضرو ٍب بعد ٍد ُيس ّمى المعام َل )‪.(coefficient‬‬ ‫ثلاث ُة حدو ٍد جبر ّي ٍة‬ ‫فمث ًل‪ 6x ،‬ح ٌّد جبر ٌّي معا ِم ُل ُه ‪ 6‬ومتغ ِّي ُره ‪ ، x‬كذل َك ‪ -4.0 x2 y‬ح ُّد جبر ٌّي‬ ‫معا ِم ُل ُه ‪ -4.0‬و ُمت َغ ِّيرا ُه ‪ x‬و ‪ ، y‬و ُيس ّمى العد ُد ح ًّدا ثاب ًتا )‪.(constant term‬‬ ‫‪2x + 6 + x‬‬ ‫المقدا ُر الجبر ُّي )‪ (algebraic expression‬ه َو مجموع ٌة م َن الحدو ِد الجبر َّي ِة والثابت ِة‬ ‫تفص ُل بينَها إشارا ُت جم ٍع أو ط ْر ٍح‪ .‬فمث ًل‪ ،‬يتك َّو ُن المقدا ُر الجبر ُّي ‪ 2x + 6 + x‬م ْن ثلاث ِة‬ ‫حدو ٍد‪ ،‬ه َي ‪.2x، 6 ، x‬‬ ‫مثال ‪  1‬أم ِّي ُز الحدو َد الجبر ّي َة ومعاملاتِها والحدو َد الثاب َت َة والمقادي َر الجبر ّي َة في ما يأتي‪ ،‬وأب ِّر ُر إجابتي‪:‬‬ ‫ ‪1 5 x‬‬ ‫ح ٌّد جبر ٌّي؛ لأ ّن ُه يحتوي على المتغ ِّي ِر ‪ ، x‬و معام ُل ُه ‪5‬‬ ‫ ‪2 17 st‬‬ ‫ح ٌّد جبر ٌّي؛ لأ ّن ُه يحتوي على متغ ّيري ِن‪ ،‬هما ‪ s‬و ‪ ،t‬و معام ُل ُه ‪17‬‬ ‫ ‪3 8.2‬‬ ‫ح ٌّد ثاب ٌت؛ لأ ّن ُه يتك َّو ُن م ْن عد ٍد ثاب ٍت من دو ِن متغ ّيرا ٍت‬ ‫مقدا ٌر جبر ٌّي؛ لأ ّن ُه يتك َّو ُن م ْن ح َّد ْي ِن‬ ‫‪4‬‬ ‫‪ 6 x y +‬‬ ‫‪5‬‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫‪8‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪3‬‬ ‫أتحق ُق من فهمي‪:‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪5‬‬ ‫ ‬ ‫ ‪y 3‬‬ ‫  ‬ ‫‪6‬‬ ‫   )‪ (6)(0.01‬‬ ‫‪7‬‬ ‫ ‬ ‫‪xy-1‬‬ ‫‪54‬‬

‫الوحد ُة ‪2‬‬ ‫يمكنُني التعبي ُر ع ْن كثي ٍر م َن المواق ِف الحيات ّي ِة التي تحتوي على قي ٍم مجهول ٍة باستخدا ِم مقادي َر جبر ّي ٍة‪.‬‬ ‫ ‪ x‬‬ ‫مثال ‪  2‬أكت ُب مقدا ًرا جبر ًّيا يم ِّث ُل ك ًّل م ّما يأتي‪:‬‬ ‫ ‪ x + 7‬‬ ‫‪   1‬عد ٌد ما مضا ٌف إلي ِه ‪7‬‬ ‫العد ُد‬ ‫العد ُد مضا ٌف إلي ِه ‪7‬‬ ‫ ‪ x‬‬ ‫‪َ   2‬ط ْر ُح العد ِد ‪ 12‬م ْن ِم ْث َل ْي َعد ٍد ما‬ ‫ ‪ 2x‬‬ ‫ ‪ 2x - 12‬‬ ‫العد ُد‬ ‫ِمثلا العد ِد‬ ‫طر ُح ‪ 12‬من ِم ْث َ ِل العد ِد‬ ‫‪   3‬ثم ُن وجب ِة غدا ٍء ‪ x‬دينا ٍر‪ ،‬فما ثم ُن ‪ 3‬وجبا ٍت مضا ٍف إليها ‪ 5‬دناني َر؟‬ ‫ ‪ x‬‬ ‫ثم ُن الوجب ِة الواحد ِة‬ ‫ ‪ 3x‬‬ ‫ثم ُن ‪ 3‬وجبا ٍت‬ ‫ ‪ 3x + 5‬‬ ‫ثم ُن ‪ 3‬وجبا ٍت مضا ٍف إلي ِه ‪ 5‬دناني َر‬ ‫  أتحق ُق من فهمي‪:‬‬ ‫‪   4‬عد ٌد مضا ٌف إلي ِه ‪. 5‬‬ ‫‪َ   5‬ط ْر ُح العد ِد ‪ 23‬م ْن ِم ْث َل ْي عد ٍد‪.‬‬ ‫‪  6‬ثم ُن فرشا ِة أسنا ٍن ‪ x‬دينا ًرا وثم ُن عبو ِة معجو ِن أسنا ٍن ‪ 1.6 JD‬ما ثم ُن ‪ُ 5‬ف َر ٍش وعبو ِة معجو ِن أسنا ٍن؟‬ ‫لحسا ِب قيم ِة مقدا ٍر جبر ٍّي أستبد ُل القي َم العدد ّي َة بالمتغ ِّيرا ِت‪ ،‬ث َّم أجري العمل ّيا ِت ب َح ْس ِب أولو ّياتِها‪.‬‬ ‫مثال ‪  3‬أج ُد قيم َة ك ٍّل م َن المقادي ِر الآتي ِة‪:‬‬ ‫‪1   x 2 – (8 + x ) , x = 5‬‬ ‫أع ِّو ُض ‪ x = 5‬ث َّم أ ِج ُد قيم َة ما داخ َل القو ِس ‪ 52 – (8 + 5) = 52 –13‬‬ ‫ ‬ ‫ ‪= 25 –13‬‬ ‫أج ُد المقدا َر الأُ ّ َّس‬ ‫ ‬ ‫ ‪= 12‬‬ ‫أطر ُح‬ ‫‪55‬‬

‫‪2   y 2 ÷ 4y , y = -6‬‬ ‫ )‪ (–6)2 ÷ 4 × (–6) = 36 ÷ 4 ×(–6‬‬ ‫أع ِّو ُض ‪ x = -6‬ث َّم أ ِج ُد قيم َة ما داخ َل القو ِس‬ ‫ ‪ = 9 × – 6‬‬ ‫أقس ُم‬ ‫ ‪ = –54‬‬ ‫أضر ُب‬ ‫‪3  (p 2 – 4p) – 5 ÷ d , p = 3 , d = –1‬‬ ‫أع ِّو ُض قيم َت ْي ‪ d = -1‬و ‪ ، p = 3‬ث َّم أج ُد‬ ‫ )‪  ( 32 – 4 ×3) – 5 ÷ (–1)= (9 –12) - 5 ÷ (–1‬‬ ‫قيم َة الأُ ِّس‪ُ ،‬ث َّم الضر ِب داخ َل القو ِس‬ ‫أج ُد ما داخ َل القو ِس‬ ‫ )‪ = (–3) – 5 ÷ (–1‬‬ ‫ )‪ = (–3) – (–5‬‬ ‫أقس ُم‬ ‫ ‪ = –3 + 5 = 2‬‬ ‫أطر ُح ثم أجم ُع‬ ‫‪4   y 2 + (4 – 2y) , y = 5    5  8d – d 2 +1 , d = 3‬‬ ‫أتحق ُق من فهمي‪:‬‬ ‫‪6   (2b – b 2) – d ÷ 4 , b = 6 , d = 8‬‬ ‫أم ّي ُز الحدو َد الجبر َّيــ َة ومعاملاتِها والحدو َد الثابت َة والمقادي َر الجبر ّي َة في ما يأتي‪ ،‬وأب ِّر ُر‬ ‫أَﺗـﺪر ُب‬ ‫إجابتي‪.‬‬ ‫وأﺣ ﱡﻞ اﳌﺴﺎﺋ َﻞ‬ ‫‪1   –18y   2    3 – u 3 3    xy 2‬‬ ‫‪4    5(– 0.1)    5   9x –5y 6   124‬‬ ‫أكت ُب مقدا ًرا جبر ًّيا يم ِّث ُل ك ًّل م ّما يأتي‪:‬‬ ‫ ‪7‬‬ ‫ ‪8‬‬ ‫ إضاف ُة عد ٍد ما إلى ‪.8‬‬ ‫ ‪9‬‬ ‫  َط ْر ُح ‪ 15‬م ْن ثلاث ِة أمثا ِل عد ٍد ما‪.‬‬ ‫ ثم ُن كي ِس الس َّك ِر ‪ b‬دينا ٍر ‪ .‬اشترى َح َم ٌد ‪ 3‬أكيا ِس س َّك ٍر‪ ،‬ودف َع للتاج ِر ‪ 15‬دينا ًرا‪ ،‬فك ْم‬ ‫س ُيعي ُد التاج ُر ل َح َم ٍد؟‬ ‫‪56‬‬

‫الوحد ُة ‪2‬‬ ‫أج ُد قيم َة ك ٍّل م َن المقادي ِر الآتي ِة‪:‬‬ ‫أتذ ّك ُر‬ ‫‪10    12 × d ÷ d 2 –1 , d = – 6‬‬ ‫يجــ ُب مراعــا ُة أولو ّيــا ِت‬ ‫العمل ّيــا ِت الحســاب ّي ِة عنــ َد‬ ‫‪11    (3n+ n 2) +12 ÷ m , n = 5 , m = 4‬‬ ‫إيجـا ِد قيمـ ِة مقـدا ٍر جـر ٍّي‬ ‫‪12    (3n – 1)2 +12 – m , n = 2 , m = –1‬‬ ‫لعــد ٍد ُمع ًطــى‪.‬‬ ‫ حواســي ُب‪ :‬ثم ُن حاســو ٍب محمو ٍل ‪ 250 JD‬وتكلف ُة تنزي ِل البرنامــ ِج الواح ِد علي ِه‬ ‫ ‪13‬‬ ‫معلوم ٌة‬ ‫‪ .3 JD‬أكت ُب مقدا ًرا جبر ًّيا يم ِّث ُل التكلف َة الكل ّي َة لشرا ِء جها ٍز واح ٍد علي ِه ‪ x‬م َن البرام ِج‪،‬‬ ‫تستخ َد ُم اختصارا ٌت م ْن‬ ‫ث ّم أج ُد تكلف َة شرا ِء جها ٍز واح ٍد علي ِه ‪ 6‬برام َج‪.‬‬ ‫حرو ٍف إنجليز َّي ٍة للتعبي ِر‬ ‫عن عملا ِت الدو ِل‪ ،‬مثل‪:‬‬ ‫ ‪َ   14‬ن ْقــ ٌل‪ :‬بنا ًء على قــرا ِر مجل ِس إدار ِة هيئ ِة النقــ ِل البر ِّي الأردن ّي ِة للعــام ‪ ،2019‬تق َّر َر‬ ‫تعدي ُل تعرف ِة س ّيارا ِت الأجر ِة؛ لتصب َح التع ِرف ُة النهار ّي ُة لقيم ِة ب ْد ِء الانطلا ِق ‪0.35 JD‬‬ ‫‪ JD‬للديناِر الأردن ِّي‪،‬‬ ‫و‪ SAR ‬للريا ِل السعود ِّي‪،‬‬ ‫بالإضاف ِة إلى ‪ 0.25 JD‬لك ِّل كيلومت ٍر‪ .‬أكت ُب مقدا ًرا جبر ًّيا يم ِّث ُل التكلف َة الكل ّي َة لس ّيار ِة‬ ‫و‪ USD ‬للدولا ِر الأمريك ِّي‪.‬‬ ‫أجر ٍة قطع ْت مساف َة ‪ n‬كيلومت ٍر‪ ،‬ث ّم أ ِج ُد التك ِلف َة لس ّيار ٍة قطع ْت ‪.20 km‬‬ ‫مهارا ُت التفكي ِر ال ُعليا‬ ‫أستخد ُم قواني َن الأس ِس لأَ ِج َد نات َج َض ْر ِب الحدو ِد الجبر َّي ِة في ك ٍّل م ّما يأتي‪:‬‬ ‫‪15    9u × 6u 16    2xy × 5xy‬‬ ‫إرشا ٌد‬ ‫‪17    (uv)(−u 2 v) 18    4n×2np×3n 2‬‬ ‫في السـؤا ِل ‪ 19‬أدعـ ُم‬ ‫تبريـري بأمثلـ ٍة‪ ،‬وأعطـي‬ ‫ ‪  19‬تبري ٌر‪ :‬ه ْل يمكنُني معرف ُة أ ِّيهما أكبــ ُر ‪ 2x‬أم ‪ 10x‬م ْن دو ِن إعطا ِء قيم ٍة للمجهو ِل ‪ x‬؟‬ ‫قياًم عدد ّيـ ًة مختلفـ ًة لــ ‪. x‬‬ ‫أب ِّر ُر إجابتي‪.‬‬ ‫ ‪  20‬أكت ِش ُف المختل َف‪ :‬أ ٌّي م ّما يأتي مخت ِل ٌف ع َن المجموع ِة؟‬ ‫‪5x‬‬ ‫‪-6x 2‬‬ ‫‪-0.1x2‬‬ ‫‪1 - 2x‬‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫ ‪  21‬أكت ُب موق ًفا يمكنُني التعبي ُر عن ُه بمقدا ٍر جبر ٍّي؟‬ ‫ ‪  22‬أعو ُد إلى فِقر ِة (أستك ِش ُف) بداي َة ال ّدر ِس وأح ُّل المسأل َة‪.‬‬ ‫ ‪   23‬أكت ُب كي َف أم ِّي ُز بي َن الح ِّد الجبر ِّي والمقدا ِر الجبر ِّي؟‬ ‫‪57‬‬

‫جم ُع المقادي ِر الجبريَّ ِة وطَ ْر ُحها‪4‬‬ ‫الدر ُس‬ ‫أﻣﺮﻳﻜﺎ‬ ‫ﺑﺮﻣﻮدا‬ ‫ أستكش ُف‬ ‫فكر ُة الدر ِس‬ ‫اﻟﺸﲈﻟﻴﺔ‬ ‫ﻣﺜﻠﺚ‬ ‫ﻣﻴﺎﻣﻲ‬ ‫ﺑﺮﻣﻮدا‬ ‫مثل ُث برمودا منطق ٌة جغراف ّي ٌة على شك ِل مثل ٍث‬ ‫ُأ َب ِّسط المقادي َر الجبر ّي َة‬ ‫متطاب ِق الأضلا ِع يق ُع في المحي ِط الأطل ِســ ِّي‪.‬‬ ‫ب َج ْم ِع و َط ْر ِح الحدو ِد‬ ‫ﺑﺮﺗﻮ رﻳﻜﻮ‬ ‫إذا ع َّب ْرنــا ع ْن طو ِل ال ّضلــ ِع الواح ِد بالمقدا ِر‬ ‫الجبر ِّي ‪ 3x + 600‬فك ْم ه َو محي ُط المث َّل ِث‬ ‫المتشابه ِة‪.‬‬ ‫بدلال ِة ‪x‬؟‬ ‫المصطلحا ُت‬ ‫أﻣﺮﻳﻜﺎ‬ ‫حدو ٌد جبر َي ٌة متشابه ٌة‪ ،‬أبس ُط‬ ‫اﳉﻨﻮﺑﻴﺔ‬ ‫صور ٍة للمقدا ِر الجبر ِّي‪.‬‬ ‫الحدو ُد الجبر َّي ُة المتشابه ُة )‪ (algebraic like terms‬هي حدو ٌد تحتوي على المتغ ِّيرا ِت نف ِسها وبالأُ ُس ِس نف ِسها‪.‬‬ ‫حدو ٌد غي ُر متشابه ٍة‬ ‫حدو ٌد متشابه ٌة‬ ‫‪x, x3, x5‬‬ ‫‪x, 34x,-5x‬‬ ‫‪17, xy, xy5‬‬ ‫‪2xy, -28xy , xy‬‬ ‫‪7n3, -5n3 , n3‬‬ ‫‪w, 3z, 14m‬‬ ‫يمكنُني أ ْن أجم َع أ َّي ح َّد ْي ِن متشابِ َه ْي ِن أو أط َر َحهما‪ ،‬وذل َك ب َج ْم ِع ُمعام َل ْيها أو َط ْر ِحهما َف َق ْط وإِ ْبقا ِء ال ُم َتغ ِّيرا ِت‪ .‬ويكو ُن المقدا ُر‬ ‫الجبر ُّي في أبس ِط صور ٍة )‪ (simplest form‬إذا ل ْم َي ْح َت ِو على أ ِّي حدو ٍد متشابِ َه ٍة‪.‬‬ ‫‪n nn‬‬ ‫‪n +  n + n = 3×n = 3n‬‬ ‫‪dd ddd‬‬ ‫‪   2d  +    3d   = 5d‬‬ ‫‪58‬‬

‫الوحد ُة ‪2‬‬ ‫مثال ‪  1‬أكت ُب ك َّل مقدا ٍر جبر ٍّي م ّما يأتي بأبس ِط صور ٍة‪:‬‬ ‫ ‪1 3x + 4x‬‬ ‫الح ّدا ِن ‪ 3x‬و ‪ 4x‬متشابها ِن‬ ‫ ‪ 3x + 4x = (3 + 4)x = 7x‬‬ ‫أجم ُع ُمعا ِم َ ِل الح َّد ْي ِن‪ ،‬ث َّم أض ُع ‪x‬‬ ‫ ‪2 4x - 3x‬‬ ‫الح ّدا ِن متشابها ِن‪ .‬أطر ُح معا ِم َ ِل الح َّد ْي ِن‪ ،‬ث َّم أض ُع ‪x‬‬ ‫ ‪ 4x - 3x = (4 –3)x = x‬‬ ‫الح ّدا ِن ‪ 7zt‬و ‪ 6zt‬متشابها ِن‬ ‫ ‪3 7zt + 6zt‬‬ ‫أجم ُع معا ِم َ ِل الح َّد ْي ِن‪ ،‬ث َّم أض ُع ‪zt‬‬ ‫ ‪ 7zt + 6zt = (7 + 6)zt = 13zt‬‬ ‫الح ّدا ِن ‪ 9y 5‬و ‪ y 5‬متشابها ِن‬ ‫ ‪4 9y 5 –y 5‬‬ ‫أطر ُح معا ِم َ ِل الح َّد ِي ِن‪ ،‬ث َّم أض ُع (‪)5‬‬ ‫ ‪ 9y 5 –y 5 = (9 – 1) y 5 = 8y 5‬‬ ‫‪5  6x+2x 6  2.5y + 0.5y‬‬ ‫أتحق ُق من فهمي‪:‬‬ ‫‪7  3gf – gf 8  12yu 5– 6yu 5‬‬ ‫‪m + n + 3m + 2n – 2m = 2m + 3n‬‬ ‫يمكنُني استخدا ُم خصائ ِص العمل ّيا ِت لِج ْم ِع عد ٍد م َن‬ ‫الحدو ِد المتشابه ِة أو ط ْر ِحها‪.‬‬ ‫‪m‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪3m -2m‬‬ ‫‪2n‬‬ ‫‪1+3-2‬‬ ‫‪1+2‬‬ ‫‪2m‬‬ ‫‪3n‬‬ ‫مثال ‪  2‬أكت ُب ك ًّل م ّما يأتي بأبس ِط صور ٍة‪:‬‬ ‫)‪1 (6pn –3q) + (2pn + 7q‬‬ ‫ )‪ = (6pn +2pn) + (7q –3q‬‬ ‫الخاص َّي ُة التجميع َّي ُة والتبديل ّي ُة في الجم ِع‬ ‫ ‪ = 8pn + 4q‬‬ ‫أجم ُع الحدو َد المتشابه َة وأطر ُحها‬ ‫‪59‬‬

‫)‪2   (4x2 y + t) + (3t – x2 y‬‬ ‫الخاص َّي ُة التجميع َّي ُة والتبديل ّي ُة في الجم ِع  )‪ = (4x 2 y – x2 y) + (t +3t‬‬ ‫أجم ُع الحدو َد المتشابه َة وأطر ُحها   ‪ = 3x 2 y + 4t‬‬ ‫أتحق ُق من فهمي‪:‬‬ ‫)‪3  (7cr – 3q) + (2cr + 7q)    4  (7xy + 4c) + (3xy – 8c‬‬ ‫)‪5  (4x + 4c 2) + (6x – 2c 2)    6  (19t +13s 2) + (4s 2– t‬‬ ‫يمكنُني اســتخدا ُم خاص ّي ِة التوزي ِع لتبسي ِط مقدا ٍر جبر ٍّي إشار ُت ُه ســالب ٌة مث ِل (‪ −)6x−1‬وذل َك بإدخا ِل الإشار ِة السالب ِة على‬ ‫القو ِس وعك ِس إشارا ِت جمي ِع الحدو ِد داخ َل ُه ليصبِ َح‪−)6x−1( = −6x+1 :‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪ (2y +‬‬ ‫‪3‬‬ ‫– ‪) – ( 6y‬‬ ‫‪1‬‬ ‫)‬ ‫مثال ‪  3‬أكت ُب ك ًّل م ّما يأتي في أبس ِط صور ٍة‪:‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪4‬‬ ‫خاص ّي ُة التوزي ِع‬ ‫‪ = 2y +‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪– 6y +‬‬ ‫‪1‬‬ ‫ ‬ ‫خاص ّي ُة التجمي ِع‬ ‫‪4‬‬ ‫‪4‬‬ ‫ُأج ِّم ُع الحدو َد المتشا ِ َب َة (خاص َّي ُة التجمي ِع)‬ ‫ ‬ ‫– ‪= (2y‬‬ ‫‪6y) +‬‬ ‫(‬ ‫‪3‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪1‬‬ ‫ )‬ ‫‪4‬‬ ‫‪4‬‬ ‫ ‪ = – 4y + 1 = 1– 4y‬‬ ‫)‪2 (– 0.75x – 4) – (1.25x + 0.5‬‬ ‫خاص ّي ُة التوزي ِع‬ ‫ ‪ = (-0.75x – 4) –1.25x – 0.5‬‬ ‫ُأج ِّم ُع الحدو َد المتشا ِ َب َة (خاص َّي ُة التجمي ِع)‬ ‫ )‪ = (-0.75x –1.25x) + (– 4 – 0.5‬‬ ‫ ‪ = -2x – 4.5‬‬ ‫أطر ُح الحدو َد المتشابه َة‬ ‫‪ (6x +‬‬ ‫‪5‬‬ ‫– ‪) – (x‬‬ ‫‪2‬‬ ‫ )‬ ‫)‪4  (–1.75 b –7) – (2.25 b + 3.5‬‬ ‫أتحق ُق من فهمي‪:‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪3‬‬ ‫)‪5  6dx 2 – 3z – 2(dx 2 + 4z) 6  2c 2v + 4h – 3(c 2v – 5h‬‬ ‫‪60‬‬

‫الوحد ُة ‪2‬‬ ‫ ‪1   3.5x +1.5x‬‬ ‫أكت ُب ك ًّل م ّما يأتي بأبس ِط صور ٍة‪:‬‬ ‫أَﺗـﺪر ُب‬ ‫‪2   7y + 4y‬‬ ‫وأﺣ ﱡﻞ اﳌﺴﺎﺋ َﻞ‬ ‫‪3    c 3r – 6c 3r 4    bd – 4bd‬‬ ‫أف ِّك ُر‬ ‫أكت ُب ك ًّل م ّما يأتي بأبس ِط صور ٍة‪:‬‬ ‫)‪5   (3np + 5w) + (w – 10np) 6   (–z + 2xy) + (xy + 4z‬‬ ‫اس ُتخ ِدم ْت عبار ُة «أبس ُط‬ ‫صور ٍة» في موضو ِع‬ ‫)‪7   (14x 2 – 19x) + (– 6x 2 + x) 8   (10b 2 – 3b) + ( b 2 – 2b‬‬ ‫الكسو ِر‪ .‬ما الفر ُق بي َن‬ ‫أكت ُب ك ًّل م ّما يأتي بأبس ِط صور ٍة‪:‬‬ ‫الاستخدا َم ْ ِي؟‬ ‫ )‪9    (1.5w – 6.5) – (0.5w + 3.5‬‬ ‫‪10   (x +‬‬ ‫‪4‬‬ ‫)‬ ‫‪– (4x‬‬ ‫–‬ ‫‪3‬‬ ‫)‬ ‫‪7‬‬ ‫‪7‬‬ ‫ )‪11   8d + 4c 2 – 3(d – 5c 2‬‬ ‫)‪12   6w – 3n 2m – 2(w + n 2m‬‬ ‫‪13    a‬‬ ‫‪b‬‬ ‫أكت ُب مقدا ًرا جبر ًّيا يم ِّث ُل محي َط ك ِّل شك ٍل م ّما يأتي‪:‬‬ ‫   ‪ 14‬‬ ‫‪2a‬‬ ‫‪w‬‬ ‫‪u‬‬ ‫حديق ُة منز ٍل مســتطيل ُة الشك ِل طو ُلها يساوي ثلاث َة أمثا ِل َع ْر ِضها‪ ،‬أرا َد مالِ ُكها إحا َط َتها‬ ‫بسيا ٍج تكلف ُة المت ِر الطول ِّي من ُه ‪ 7‬دناني َر‪:‬‬ ‫ ‪  15‬أكت ُب الح َّد الجبر َّي الذي يع ِّب ُر ع ْن تكلف ِة السيا ِج الذي يحي ُط بالحديق ِة‪.‬‬ ‫ ‪  16‬أحســ ُب تكلفــ َة الســيا ِج الــذي يحيــ ُط بالحديقــ ِة إذا علمــ ُت أ ّن عــر َض الحديقــ ِة‬ ‫‪ 30‬متــ ًرا‪.‬‬ ‫‪61‬‬

‫الشكلا ِن أدنا ُه يم ِّثلا ِن َمعي ًنا وسداســ ًّيا من َتظ ًما‪ ،‬إذا كا َن طو ُل ضل ِع ك ٍّل من ُهما ‪ x‬وحد ًة‪،‬‬ ‫أتذ َّك ُر‬ ‫فأجي ُب ع ِن السؤالي ِن الآتيي ِن‪:‬‬ ‫ُيســ ّمى المض َّلــ ُع بحســ ِب‬ ‫‪xx‬‬ ‫عــد ِد أضلا ِعــ ِه‪ ،‬فالــذي‬ ‫‪xx‬‬ ‫عــد ُد أضلا ِعــ ِه ‪ 5‬يســ ّمى‬ ‫خماســ ًّيا والــذي عــد ُد‬ ‫‪xx‬‬ ‫أضلا ِعـ ِه ‪ُ 4‬ي َسـ ّمى رباع ًّيا‪.‬‬ ‫‪xx‬‬ ‫‪xx‬‬ ‫ ‪  17‬أكت ُب الح َّد الجبر َّي الذي يم ِّث ُل مجمو َع ُمحي َط ِي الشك َل ْي ِن‪.‬‬ ‫ ‪  18‬أكت ُب الح َّد الجبر َّي الذي يم ِّث ُل الفر َق بي َن محي ِط السداس ِّي ومحي ِط المعي ِن‪.‬‬ ‫مهارا ُت التفكي ِر ال ُعليا‬ ‫ ‪  19‬تحــ ٍّد‪ :‬إذا كا َن ‪ x‬عد ًدا صحي ًحا فإ َّن العد َد الصحي َح الــذي يلي ِه ه َو )‪ .(x + 1‬أكت ُب‬ ‫مقدا ًرا جبر ًّيا يم ّث ُل نات َج ج ْم ِع عد َد ْيــ ِن صحيح ْي ِن متتاليي ِن‪ ،‬أب ِّي ُن أ َّن نات َج الجم ِع دائ ًما‬ ‫عد ٌد فرد ٌّي‪.‬‬ ‫ ‪  20‬القم ُر‪ :‬تزي ُد أدنى درج ِة حــرار ٍة ُر ِص َد ْت‬ ‫معلوم ٌة‬ ‫على س ْط ِح القم ِر بمقدا ِر ‪ 23°C‬ع ْن ِم ْث َل ْي‬ ‫أدنى درجــ ِة حرار ٍة ُر ِص َد ْت على ســط ِح‬ ‫تتغـــ َّ ُر درجـــا ُت حـــرار ِة‬ ‫الأر ِض‪ .‬أكت ُب مقدا ًرا جبر ًّيــا يم ِّث ُل أدنى‬ ‫القمـــ ِر بسرعـــ ٍة كبـــر ٍة‬ ‫مـــا بـــ َن منخفضـــ ٍة جـــ ًّدا‬ ‫درج ِة حرار ٍة ُر ِص َد ْت على سط ِح القم ِر‪.‬‬ ‫ليـــ ًا‪ ،‬ومرتفعـــ ٍة جـــ ًّدا‬ ‫ ‪  21‬أعو ُد إلى فقر ِة أستكش ُف بداي َة الدر ِس وأح ُّل السؤا َل‪.‬‬ ‫نهـــا ًرا؛ وذلـــ َك بســـب ِب‬ ‫عـــد ِم وجـــو ِد غـــا ٍف‬ ‫جـــ ِو ٍّي للقمـــ ِر‪.‬‬ ‫ ‪   22‬أكت ُب كي َف أجم ُع مقدار ْي ِن جبر َّي ْي ِن أ ْو أطر ُح ُهما‪.‬‬ ‫‪62‬‬

‫َض ْر ُب المقادي ِر الجبريّ ِة‪5‬‬ ‫الدر ُس‬ ‫ أستكش ُف‬ ‫فكر ُة الدر ِس‬ ‫يم ِّثـ ُل المقـدا ُر الجبـر ُّي ‪ 4x + 10‬عـر َض َع َلـ ِم‬ ‫أضر ُب المقادي َر الجبر َّي َة‬ ‫المملكـ ِة الأردن َّيـ ِة الهاشـم ّي ِة المرفـو ِع علـى سـاري ِة‬ ‫و ُأب ِّس ُطها‪.‬‬ ‫رغـدا َن‪ .‬إذا كا َن طـو ُل ال َع َلـ ِم ُيسـاوي ِم ْث َلـ ْي َع ْر ِض ِه‪،‬‬ ‫ف َأ ِجـ ُد مسـاح َة ال َع َلـ ِم بِ َدلالـ ِة ‪ُ ،x‬ثـ َّم أ ِجـ ُد المسـاح َة‬ ‫الحقيق ّيـ َة لل َع َلـ ِم إذا كانـ ْت قيمـ ُة ‪ x‬هـ َي ‪.5 m‬‬ ‫‪2z 2z 2z 2z‬‬ ‫عن َدما أضر ُب عد ًدا في ح ٍّد جبر ٍّي فإ َّنني أج ُد نات َج ضر ِب العد ِد في معا ِم ِل الح ِّد‬ ‫‪zzzzzzzz‬‬ ‫الجبر ِّي‪ ،‬ث َّم أض ُع النات َج جان َب المتغ ّي ِر‪.‬‬ ‫‪8z‬‬ ‫‪4 × 2z = 8z‬‬ ‫يمكنُني تطبي ُق قواع ِد الأس ِس لضر ِب ح ٍّد جبر ٍّي في آخ َر حتى ل ِو اختلف ْت ُمتغ ِّيرا ُت ُهما‪.‬‬ ‫مثال ‪  1‬أج ُد نات َج ضر ِب الحدو ِد الجبر َّي ِة في ك ٍّل م ّما يأتي‪:‬‬ ‫‪1 -5 × 3x‬‬ ‫أضر ُب العد َد ‪ -5‬في معا ِم ِل الح ِّد (‪ -5 × 3x = (-5 × 3)x = -15x   )3‬‬ ‫‪2 4x × 3x‬‬ ‫الخاص ُّية التبديل ّي ُة والتجميع ّي ُة في الضر ِب   )‪ 4x × 3x = (4 × 3)(x × x‬‬ ‫قاعد ُة ضر ِب القوى في الأُس ِس    ‪      = 12x 2‬‬ ‫‪3 xy × 3xy‬‬ ‫الخاص َّي ُة التبديل ّي ُة والتجميع ّية في الضر ِب    )‪ xy × 3xy = (1 × 3)(x × x)(y × y‬‬ ‫قاعد ُة ضر ِب القوى في الأُس ِس    ‪       = 3x 2 y 2‬‬ ‫‪63‬‬

‫)‪4   (–xy) × (x 2y‬‬ ‫الخاص ّي ُة التبديل َّي ُة والتجميع ّي ُة في الضر ِب )‪ (–xy) × (x 2y) = (–x × x2)(y × y‬‬ ‫ ‪   = – x 3 y 2‬‬ ‫قاعد ُة ضر ِب القوى في الأس ِس‬ ‫ )‪5   4 × (-2x)     6   5 × (-3w‬‬ ‫ ‪7  2y × 5y‬‬ ‫  أتحق ُق من فهمي‪:‬‬ ‫‪8  7c × 2c‬‬ ‫يمكنُني ضر ُب ح ٍّد جبر ٍّي في مقدا ٍر جبر ٍّي باستخدا ِم خاص ّي ِة التوزي ِع؛ وذل َك بضر ِب الح ِّد في ك ِّل واح ٍد م ْن حدو ِد المقدا ِر‪.‬‬ ‫مثال ‪  2‬أب ِّس ُط ما يأتي وأ ِج ُد قيم َة ك ٍّل منها عن َد ال ِق َي ِم ال ُمعطا ِة‪:‬‬ ‫‪1 2x(3x – y) , x = 3 , y = –7‬‬ ‫ ‬ ‫أضر ُب ح ًّدا جبر ًّيا في مقدا ٍر جبر ٍّي‬ ‫ ‪ 2x(3x – y) = 6x2 – 2xy‬‬ ‫ ‬ ‫ )‪6 × 32 – 2 × 3 ×(–7‬‬ ‫أع ِّو ُض ‪y = -7 , x = 3‬‬ ‫ ‬ ‫ )‪= 6 × 9 – (– 42‬‬ ‫أط ِّب ُق أولو ّيا ِت العمل ّيا ِت‬ ‫ ‬ ‫ ‪= 54 + 42 = 96‬‬ ‫‪2 x(3x + 2y – 4) –9 , x = –1 , y = 5‬‬ ‫ ‪ x(3x + 2y – 4) –9 = 3x2 + 2xy – 4x -9‬‬ ‫أضر ُب ح ًّدا جبر ًّيا في مقدا ٍر جبر ٍّي‬ ‫ ‪ 3(–1)2 + 2(–1)(5) – 4 (–1) –9‬‬ ‫أع ِّو ُض ‪y = 5 , x = -1‬‬ ‫أط ِّب ُق أولو ّيا ِت العمل ّيا ِت‬ ‫ ‬ ‫ ‪= 3(1) –10 + 4 –9 = –12‬‬ ‫‪3  2a(4a + b) , a = –2 , b = 7‬‬ ‫أتحق ُق من فهمي‪:‬‬ ‫‪4  5b(2a – b) , a = 2 , b = –3‬‬ ‫‪5  2x(x – 2y + 1) -6 , x = –3 , y = 4‬‬ ‫‪6  4y(y – 2x) + y + 2 , x = – 4 , y = 2‬‬ ‫‪64‬‬

‫الوحد ُة ‪2‬‬ ‫يمكنُني أ ْن أضر َب مقدار ْي ِن جبر َّي ْي ِن باســتخدا ِم نماذ ِج المســاح ِة أو باســتخدا ِم خاص َّي ِة التوزي ِع؛ وذل َك بضر ِب ك ِّل ح ٍّد م ْن‬ ‫حدو ِد المقدا ِر الأو ِل في ك ِّل ح ٍّد م ْن حدو ِد المقدا ِر الثاني‪.‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪1 111‬‬ ‫مثال ‪  3‬أج ُد نات َج الضر ِب )‪ (x + 4)(x + 3‬بأبس ِط صور ٍة‪.‬‬ ‫‪x‬‬ ‫الطريق ُة ‪ :1‬نماذ ُج المساح ِة‪:‬‬ ‫‪1‬‬ ‫طو ُل المستطي ِل الكبي ِر (‪ )x + 4‬وحدا ٍت‪ ،‬وعر ُضه (‪ )x + 3‬وحدا ٍت‪.‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫مساح ُة المستطي ِل الكبي ِر تساوي نات َج ضر ِب المقداري ِن الجبر َّيي ِن‪.‬‬ ‫مساح ُة المر ّب ِع الأخض ِر تساوي ‪ x × x = x2‬وحد ًة مر َّب َع ًة‪.‬‬ ‫مساح ُة ك ِّل واح ٍد م َن المستطيلا ِت الحمرا ِء تساوي (‪ )x × 1 = x‬وحد ًة مر َّبع ًة‪.‬‬ ‫مساح ُة ك ِّل واح ٍد م َن المر َّبعا ِت البرتقال ّي ِة تساوي (‪ )1 = 1 × 1‬وحد ًة مر َّبع ًة‪.‬‬ ‫إذ ْن‪ ،‬مساح ُة المستطي ِل الكبي ِر‪ ،‬ه َي‪:‬‬ ‫‪x 2 + 7 (x) + 12 = x 2 + 7x +12‬‬ ‫الطريق ُة ‪ :2‬خاص َّي ُة التوزي ِع‪:‬‬ ‫)‪(x + 4)(x + 3) = (x 2 +3x) + (4x + 12‬‬ ‫‪   = x 2 + (3x + 4x) + 12‬‬ ‫‪   = x 2 + 7x + 12‬‬ ‫يمكنُني أي ًضا استخدا ُم خاص ّي ِة التوزي ِع بطريق ٍة مختلف ٍة كما يأتي‪:‬‬ ‫)‪(x + 4)(x + 3‬‬ ‫أفص ُل المقدا َر (‪ )x+4‬إلى ح َّد ْي ِن ‪x ، 4‬‬ ‫ )‪ = x (x + 3) + 4(x + 3‬‬ ‫وأضر ُب ك ًّل من ُهما في المقدا ِر (‪.)x+3‬‬ ‫ )‪ = (x 2 + 3x) + (4x + 12‬‬ ‫أستخد ُم خاص َّي َة التوزي ِع‬ ‫ ‪ = x 2 + (3x + 4x) + 12‬‬ ‫أجم ُع الحدو َد المتشابه َة‬ ‫ ‪ = x 2 + 7x + 12‬‬ ‫أكت ُب المقدا َر بأبس ِط صور ٍة‬ ‫أتحق ُق من فهمي‪:‬‬ ‫ )‪1  (x +2)(x + 5‬‬ ‫)‪2   (6 + a)(4 + a‬‬ ‫ )‪3   (3 − d)(4 − d‬‬ ‫)‪4  (x − 3)(x − 6‬‬ ‫‪65‬‬

‫يمكنُني استخدا ُم ضر ِب المقادي ِر الجبر ّي ِة في التطبيقا ِت الحيات ّي ِة‪.‬‬ ‫   مثال ‪ :4‬م َن الحيا ِة‬ ‫ملع ٌب مســتطي ُل الشــك ِل طو ُلــه ‪ (x 2 + 5x + 4) m‬وعر ُض ُه‬ ‫‪ُ ،(3x + 2) m‬يــرا ُد زراع ُتــ ُه بالنجيِــل‪ ،‬أج ُد مســاح َة المنطق ِة‬ ‫المزروع ِة بالنجي ِل بدلال ِة ‪. x‬‬ ‫مساح ُة المستطي ِل = الطو َل × العر ِض )‪(3x + 2)(x2 + 5x + 4‬‬ ‫ )‪  = 3x (x 2 + 5x + 4) + 2(x 2 + 5x + 4‬‬ ‫أفص ُل المقدا َر)‪ (3x + 2‬إلى ح َّد ْي ِن‬ ‫)‪  = (3x × x 2+3x × 5x + 3x ×4) + (2×x 2 + 2 × 5x + 2×4‬‬ ‫أستخ ِد ُم خا ِّصي َة التوزي ِع‬ ‫ )‪  = (3x 3+15x 2+12x) + (2x 2 +10x + 8‬‬ ‫قاعد ُة ضر ِب القوى في الأس ِس‬ ‫ ‪  = 3x 3 +(15x2 +2x 2) + (12x+10x) + 8‬‬ ‫الخاص ّي ُة التبديل ّي ُة والتجميع ّي ُة في الضر ِب‬ ‫ ‪  = 3x 3 +17x 2 + 22x + 8‬‬ ‫أجم ُع الحدو َد المتشابه َة‬ ‫  أتحق ُق من فهمي‪:‬‬ ‫ســ ّجا ٌد‪ :‬سجاد ٌة مستطيل ُة الشك ِل طو ُلها )‪ (x 2 + x + 2‬مت ًرا وعر ُضها )‪ (x + 3‬مت ًرا‪ ،‬أج ُد مساح َة السجاد ِة بدلال ِة ‪ ، x‬ث َّم‬ ‫أج ُد ثمنَها إذا كا َن سع ُر المت ِر المر َّب ِع الواح ِد ‪ 6‬دناني َر‪.‬‬ ‫أج ُد نات َج الضر ِب في ك ٍّل م ّما يأتي‪:‬‬ ‫أَﺗـﺪر ُب‬ ‫‪1    6 × (–3b)   2    –2 × (4w)     3   –2u × 5u‬‬ ‫)‪4   8d × (–7d)   5   3xy × (–xy 2)  6   (– dq2)(–3qd‬‬ ‫وأﺣ ﱡﻞ اﳌﺴﺎﺋ َﻞ‬ ‫أب ِّس ُط ك َّل مقدا ٍر جبر ٍّي م ّما يأتي ث َّم أج ُد قيم َتة عن َد ال ِق َي ِم ال ُمعطا ِة‪.‬‬ ‫‪7   2d(h – 3d) , d = 2 , h = – 4‬‬ ‫‪8   –5c (c – 2r) , c = – 3 , r = 1‬‬ ‫‪9    6 + 3w + 2w(w – 2v) , w = –1 , v =4‬‬ ‫‪66‬‬

‫الوحد ُة ‪2‬‬ ‫ )‪10   (b + 4)(b + 1‬‬ ‫أكت ُب ك ًّل م ّما يأتي بأبس ِط صور ٍة‪:‬‬ ‫)‪11    (6 + d)(1 − d‬‬ ‫ )‪12   (3x−1)(4x−x 2 +2‬‬ ‫)‪13   (4−p)(2p−p 2+1‬‬ ‫×(‪ )°F–32‬لتحوي ِل درجا ِت الحرار ِة الفهرنهايت ّي ِة‬ ‫‪5‬‬ ‫ طق ٌس‪ :‬يمك ُن استخدا ُم المقدا ِر‬ ‫ ‪14‬‬ ‫معلوم ٌة‬ ‫‪9‬‬ ‫إلى مئو ّي ٍة‪ .‬حي ُث ‪ °F‬درج ُة الحرار ِة الفهرنهايت ّي ِة‪ .‬أكم ُل الجدو َل الآتِ َي‪:‬‬ ‫ُتقا ُس درج ِة‬ ‫الحرارة بوحد ِة‬ ‫‪41 32‬‬ ‫الدرج ُة الفهرنهايت ّي ُة (‪5 )°F‬‬ ‫الدرج ُة المئو ّي ُة (‪)°C‬‬ ‫الفهرنهاي ِت‪،‬‬ ‫حي ُث ‪ a‬عم ُر‬ ‫‪3‬‬ ‫ رياض ٌة‪َ :‬يستخد ُم المد ِّربو َن الريا ِض ّيو َن المقدا َر الجبر َّي (‪)220−a‬‬ ‫ ‪15‬‬ ‫واختصا ُرها‬ ‫‪5‬‬ ‫(‪ ،)°F‬ووحد ِة‬ ‫الشــخ ِص؛ لإيجا ِد الح ِّد الأدنى لمع َّد ِل ضربا ِت القل ِب في الدقيق ِة‪ .‬أج ُد الح َّد الأدنى‬ ‫المئو ِّي‪،‬‬ ‫واختصا ُرها‬ ‫(‪.)°C‬‬ ‫لمع ّد ِل ضربا ِت قل ِب لاع ٍب عم ُر ُه ‪ 20‬سن ًة‪.‬‬ ‫المثابر ُة في ح ِّل المسائ ِل‪ :‬يمكنُني إيجا ُد العد ِد الكل ِّي م َن الأقطا ِر ُق ْط ٌر‬ ‫مهارا ُت التفكي ِر ال ُعليا‬ ‫‪ ،‬حي ُث‬ ‫‪1‬‬ ‫‪ n‬‬ ‫)‪(n−3‬‬ ‫الجبر ِّي‬ ‫المقدا ِر‬ ‫باستخدا ِم‬ ‫مض َّل ٍع‬ ‫لأ ِّي‬ ‫أتع َّل ُم‬ ‫‪2‬‬ ‫ُق ْط ُر المض َّل ِع‪ :‬قطع ٌة‬ ‫ِض ْل ٌع‬ ‫‪ n‬عد ُد الأضلا ِع‪ .‬أتأ ّم ُل الشك َل المجاو َر‪ ،‬ثم أجي ُب‪:‬‬ ‫مستقيم ٌة تص ُل بي َن رأس ْ ِي‬ ‫ ‪  16‬ما أق ُّل قيم ٍة ممكن ٍة للمتغ ِّي ِر ‪.n‬‬ ‫غي ِر ُمتجا ِو َر ْي ِن في ِه‪.‬‬ ‫ ‪  17‬أك ِّو ُن جدو ًل م ْن أرب ِع ِق َي ٍم ممكن ٍة لـ ‪ n‬ث َّم أكم ُل ‪n‬‬ ‫ويعتم ُد عد ُد أقطار المض َّل ِع‬ ‫الجدو َل بإيجا ِد قيم ِة المقدا ِر لك ِّل قيم ِة ‪ . n‬قيم ُة المقدا ِر‬ ‫على عد ِد أضلا ِع ِه‪.‬‬ ‫ ‪  18‬أتح َّق ُق م ْن ح ّلي ب َر ْس ِم أقطا ِر شك ٍل خماس ٍّي‪.‬‬ ‫ ‪  19‬أعو ُد إلى فِقر ِة (أستك ِش ُف) بداي َة ال ّدر ِس وأح ُّل المسأل َة‪.‬‬ ‫ ‪   20‬أكت ُب أكت ُب كي َف أضر ُب مقدار ْي ِن َج ْب ِر َّي ْي ِن‪.‬‬ ‫‪67‬‬

‫ُخطّ ُة ح ِّل المسأل ِة‪ :‬التّخمي ُن والتّح ُّق ُق‪6‬‬ ‫الدر ُس‬ ‫رحل ٌة سياحيَّ ٌة‪ :‬شار َك ‪ 40‬شخ ًصا في رحل ٍة‬ ‫فكر ُة الدر ِس‬ ‫سياح َّي ٍة إلى وادي ر ٍّم والعقب ِة‪ ،‬وكا َن رس ُم الاشترا ِك في‬ ‫الرحل ِة للكبا ِر ‪ 20‬دينا ًرا للشخ ِص الواح ِد وللصغا ِر‬ ‫أح ُّل مسائ َل باستخدا ِم ُخ َّط ِة‬ ‫‪ 10‬دناني َر للشخ ِص الواح ِد‪ ،‬وبل َغ مجمو ُع ما دفعو ُه‬ ‫جمي ًعا ‪ 650‬دينا ًرا‪ .‬أج ُد عد َد المشاركي َن في الرحل ِة‬ ‫التخمي ِن وال َّت َح ُّق ِق‪.‬‬ ‫م َن الكبا ِر‪ ،‬وعد َد المشاركي َن فيها م َن الصغا ِر‪.‬‬ ‫أفه ُم‬ ‫‪1‬‬ ‫يدف ُع الكبي ُر ‪ 20‬دينا ًرا‪ ،‬ويدف ُع الصغي ُر ‪ 10‬دناني َر‪.‬‬ ‫المطلو ُب‪ :‬إيجا ُد عد ِد ك ٍّل م َن الكبا ِر وال ّصغا ِر في الرحل ِة‪.‬‬ ‫أُخطِّ ُط‬ ‫‪2‬‬ ‫أخ ِّمــ ُن عد َد ك ٍّل م َن الكبا ِر وال ِّصغا ِر‪ ،‬ث َّم أتح َّقــ ُق م ْن ِص َّح ِة تخميني‪ُ .‬أج ِّر ُب عد ًدا مــ َن ال ّت َو ُّقعا ِت المنطق َّي ِة لح ِّل‬ ‫المسأل ِة (تخمينا ٌت) وك َّل م َّر ٍة أختب ُر ص ّح َة ال ّتخمي ِن باستخدا ِم معطيا ِت المسأل ِة‪.‬‬ ‫أح ُّل‬ ‫‪3‬‬ ‫أفتر ُض أ َّن عد َد الكبــا ِر ‪ x‬وعد َد ال ِّصغا ِر ‪ ،y‬وأكت ُب مقدا ًرا جبر ًّيا يم ِّث ُل المبل َغ الذي دفعو ُه جمع ًيا للاشــترا ِك في‬ ‫الرحل ِة‪ .‬ث َّم أكم ُل الجدو َل الآت َي وأح ِّد ُد الحال َة التي يكو ُن فيها مجمو ُع ما دفعو ُه ‪ 650‬دينا ًرا‪.‬‬ ‫‪xy‬‬ ‫‪20x + 10y‬‬ ‫أتح َّق ُق‬ ‫‪30 10‬‬ ‫‪20 (30) + 10 (10) = 700‬‬ ‫‪26 14‬‬ ‫‪20 (26) + 10 (14) = 660‬‬ ‫أكب ُر م ْن ‪650‬‬ ‫‪24 16‬‬ ‫‪20 (24) + 10 (16) = 640‬‬ ‫أكب ُر م ْن ‪650‬‬ ‫‪25 15‬‬ ‫‪20 (25) + 10 (15) = 650‬‬ ‫أق ُّل م ْن ‪650‬‬ ‫صحي ٌح ✓‬ ‫إذ ْن‪ ،‬شار َك في الرحل ِة ‪ 25‬م َن الكبا ِر و‪ 15‬م َن ال ّصغا ِر‪.‬‬ ‫أتح َّق ُق‪4‬‬ ‫مجمو ُع ‪َ 25‬و ‪ 15‬يساوي ‪ ، 40‬و ‪ ،20 (25) + 10 (15) = 650‬فالتخمي ُن صحي ٌح‪✓ .‬‬ ‫‪68‬‬

‫الوحد ُة ‪2‬‬ ‫ ‪  1‬ترفيــ ٌه‪ :‬يض ُّم قطا ٌر في مدين ِة الألعا ِب ‪ 8‬عربا ٍت ي َّت ِســ ُع ك ٌّل منها إلى أربع ِة ُر ّكا ٍب‪ ،‬فك ْم‬ ‫أَﺗـﺪر ُب‬ ‫رحل ًة سيقو ُم بها القطا ُر لِنَ ْق ِل ‪ 1280‬راك ًبا؟‬ ‫وأﺣ ﱡﻞ اﳌﺴﺎﺋ َﻞ‬ ‫ ‪  2‬أعما ٌر‪ :‬يزي ُد ُع ْم ُر َســما َح ع ْن ُع ْم ِر أختِها ُسهى ‪ 4‬ســنوا ٍت‪ ،‬إذا كا َن مجمو ُع ُع ْم َر ْي ِهما‬ ‫‪ 20‬سن ًة فك ْم عم ُر ك ٍّل من ُهما؟‬ ‫معلوم ٌة‬ ‫ ‪  3‬محي ٌط‪ :‬قطع ُة أر ٍض مســتطيل ُة الشك ِل طو ُلها ِم ْثلا َع ْر ِضها إذا كا َن محي ُطها ‪ 210‬أمتا ٍر‪،‬‬ ‫كي يقب َل الل ُه تعالى الصدق َة‬ ‫فك ْم مت ًرا ك ٌّل م ْن طولِها وعر ِضها؟‬ ‫م َن العب ِد‪ ،‬علي ِه أ ْن ُيل َص‬ ‫ مهرجا ٌن‪ :‬ســع ُر تذكر ِة الدخو ِل لمهرجا ٍن رياض ٍّي للكبا ِر ‪ 3‬دناني َر‪ ،‬ولل ّصغا ِر دينارا ِن‪.‬‬ ‫ ‪4‬‬ ‫للهِ ع َّز وج َّل في صدقتِ ِه‪،‬‬ ‫إذا كا َن عــد ُد الصغا ِر ِم ْث َل ْي عد ِد الكبا ِر وكا َن َد ْخــ ُل المهرجا ِن ‪ 560‬دينا ًرا‪ ،‬فك ْم كا َن‬ ‫ولا ينوي التفاخ َر ِبا أما َم‬ ‫عد ُد ك ٍّل م َن ال ّصغا ِر والكبا ِر ا ّلذين حضروا المهرجا َن؟‬ ‫النا ِس‪.‬‬ ‫ ‪  5‬نقو ٌد‪ :‬م َع فاض ٍل ‪ 12‬ورق ًة نقد ّي ًة م ْن فِ َئ َت ْي ‪ 5‬دناني َر‪َ ،‬و‪ 10‬دناني َر قيم ُتها ال ُك ِّل َّي ُة ‪ 85‬دينا ًرا‪.‬‬ ‫فك ْم ورق ًة نقد ّي ًة م ْن ك ِّل فئ ٍة م َع ُه؟‬ ‫ مســاعدا ٌت‪ :‬تص َّد َق شــخ ٌص بموا َّد تمويني ٍة على ‪ 8‬فقرا َء‪ ،‬فإذا أعطى ك َّل واح ٍد من ُهم‬ ‫ ‪6‬‬ ‫كي َس ســك ٍر ثم ُن ُه ‪ 4‬دناني َر أو كيــ َس أر ٍز ثمنُ ُه ‪ 7‬دناني َر‪ ،‬وكا َن ثمــ ُن الأكيا ِس جمي ِعها‬ ‫‪ 41‬دينا ًرا‪ ،‬فما عد ُد الأكيا ِس التي و َّز َعها م ْن ك ِّل نو ٍع؟‬ ‫ جوائ ُز‪ :‬اشتر ْت مدرســ ٌة ‪ 20‬جائز ًة لطلبتِها المتف ِّوقي َن بمبل ِغ ‪ 68‬دينا ًرا‪ ،‬فإذا كا َن ثم ُن‬ ‫ ‪7‬‬ ‫الجائز ِة للطلب ِة الكبا ِر ‪ 4‬دناني َر‪ ،‬وثم ُن الجائز ِة للطلب ِة ال ّصغا ِر ‪ 3‬دناني َر‪ ،‬فما عد ُد ك ٍّل م ْن‬ ‫جوائ ِز الطلب ِة الكبا ِر والصغا ِر التي اشت َر ْتها المدرس ُة؟‬ ‫ رياض ٌة‪ :‬في منافســا ِت كر ِة القد ِم يكســ ُب الفري ُق ‪ 3‬نقا ٍط في حال ِة فو ِز ِه في المبارا ِة‪،‬‬ ‫ ‪8‬‬ ‫ويكســ ُب نقط ًة واحدة فــي حال ِة التعــا ُد ِل‪ .‬إذا كا َن رصي ُد أح ِد ال ِفــ َر ِق ‪ 22‬نقط ًة م ْن‬ ‫‪ 10‬مباريــا ٍت‪ ،‬وانته ْت جمي ُعها بالفو ِز أو التعا ُد ِل‪ .‬فك ْم عــد ُد المباريا ِت التي فا َز بها‬ ‫والمباريا ِت التي تعاد َل بها؟‬ ‫‪69‬‬

‫اختبا ُر الوحد ِة‬ ‫ يمشي جما ٌل مساف َة ‪ c‬كيلومت ٍر في ك ِّل م ْن أ ّيا ِم السب ِت‬ ‫ ‪6‬‬ ‫أختا ُر رم َز الإجاب ِة الصحيح ِة لك ٍّل م ّما يأتي‪:‬‬ ‫والإثني ِن والأربعــا ِء والجمع ِة‪ ،‬ما الحــ ُّد أو المقدا ُر‬ ‫ ‪  1‬الصيغ ُة الأُ ّس ّي ُة المكافئ ُة للح ِّد الجبر ِّي‬ ‫الجبر ُّي الــذي ُيم ِّث ُل مجمــو َع الكيلومتــرا ِت التي‬ ‫‪ t × b × t × b 2 × t‬هي‪:‬‬ ‫يقط ُعها جما ٌل في هذه الأ ّيا ِم الأربع ِة؟‬ ‫‪a)  t 2 × b 3 b)  t 3 × b 2‬‬ ‫‪c) (t × b)3 d) (t + b)3‬‬ ‫ ‪a) 4c‬‬ ‫‪b)  4 + c‬‬ ‫‪c)  c d)  4 + 4c‬‬ ‫ ‪  2‬الصور ُة العشري ُة للعد ِد ‪ 6.2×(2×5)-2‬هي‪:‬‬ ‫‪a)  0.62 b)  62‬‬ ‫ ‪  7‬أ ُّي العبارا ِت الآتي ِة صحيح ٌة؟‬ ‫‪c)  620 d)  0.062‬‬ ‫‪a) 5(x – 3) = 5x + 2‬‬ ‫‪b)  x(x + 3y) = x 2 + 3xy‬‬ ‫ قـ َّد َر ْت دائـر ُة الإحصـاءا ِت العا َّمـ ُة منتصـ َف عـا ِم‬ ‫ ‪3‬‬ ‫‪c)  x(x + 4) = 2x + 4‬‬ ‫‪ 2019‬عـد َد سـ ّكا ِن الأرد ِّن مواطنيـ َن ومقيميـ َن بأ َّنـ ُه‬ ‫‪ 10445000‬نسـم ٍة‪ .‬فمـا الصيغـ ُة العلم َّيـ ُة لعـد ِد‬ ‫‪d)  x(y – b) = –xyb‬‬ ‫السـكا ِن؟‬ ‫ ‪  8‬أ ُّي المقادي ِر الجبر ّي ِة الآتي ِة مكتو ٌب بأبس ِط صور ٍة؟‬ ‫‪a)  1.0445 × 107 b)  1.0445 × 106‬‬ ‫‪a) 3x − 5 + x b) 3x2 + x −1‬‬ ‫‪c)  x 2− 2x − x d)  x − 5x + 1‬‬ ‫‪c)  10.445 × 106 d)  0.10445 × 108‬‬ ‫ ‪  4‬ما قيم ُة المقدا ِر ‪10 − )52+ 7(÷2‬؟‬ ‫ ‪  9‬أص ُل بي َن الحدو ِد أو المقادي ِر الجبر ّي ِة المتساوي ِة‪:‬‬ ‫ ‪a) 6‬‬ ‫‪b) -6‬‬ ‫ ‪c) -4‬‬ ‫‪d) -11‬‬ ‫‪m+m+m m4‬‬ ‫‪4m‬‬ ‫‪2m m×m 3m‬‬ ‫ ‪  5‬إذا كا َن ‪ ، k = −4 , b = 3‬فإ َّن قيم َة ‪ 6k –2b‬ه َي‪:‬‬ ‫‪m2 m3 m×m×m×m‬‬ ‫ ‪a) 18‬‬ ‫‪b) −18‬‬ ‫‪d)  3‬‬ ‫ ‪c) -30‬‬ ‫‪70‬‬

‫الوحد ُة ‪2‬‬ ‫تدري ٌب على الاختبارا ِت ال ّدوليّ ِة‪:‬‬ ‫ ‪  10‬أج ُد قيم َة ‪2(15 ÷ 3)+ 6 × 4 - 52‬‬ ‫ ‪  18‬إذا كا َن ‪ ، y = –3 , x = –2‬فــإ َّن قيمــ َة ‪–3x –2y‬‬ ‫أكت ُب ك َّل مقدا ٍر جبر ٍّي م ّما يأتي بأبس ِط صور ٍة‪:‬‬ ‫ه َي‪:‬‬ ‫)‪11    6d –1–(d–2‬‬ ‫)‪12   (2x + y)(x – y‬‬ ‫‪a) 0 b) -12‬‬ ‫‪13    3mn (2m + n) – n 2m‬‬ ‫)‪14   (x – 1)(x 2 + x‬‬ ‫ ‪c)  12‬‬ ‫‪d) 10‬‬ ‫ ‪  15‬اشــت َر ْت رولا ‪ 18‬دفت ًرا‪ ،‬ســع ُر الواح ِد منها ‪ n‬قر ًشا‬ ‫ ‪  19‬لأ ِّي عد ٍد ‪ ، w‬يمك ُن كتابــ ُة ‪w+w+w+w+w‬‬ ‫واشت َر ْت ‪ 30‬قل َم حب ٍر‪ ،‬سع ُر الواح ِد منها ‪ m‬قر ًشا‪:‬‬ ‫على الصور ِة‪:‬‬ ‫‪  )a‬أكت ُب مقدا ًرا جبر ًّيا يم ِّث ُل المبل َغ الذي دف َع ْت ُه رولا‬ ‫ ‪a)  w + 5‬‬ ‫‪b) 5w‬‬ ‫ثمنًا للأقلا ِم والدفات ِر‪.‬‬ ‫ ‪c)  w 5‬‬ ‫)‪d) 5(w + 1‬‬ ‫‪  )b‬أج ُد المبل َغ الذي َد َف َع ْت ُه رولا إذا كا َن ثم ُن الدفت ِر‬ ‫‪ 20‬قر ًشا وثم ُن القل ِم ‪ 15‬قر ًشا‪.‬‬ ‫؟‬ ‫‪3x +1‬‬ ‫‪ ، x‬فما قيم ُة‬ ‫ إذا كان ْت ‪= 5‬‬ ‫ ‪20‬‬ ‫‪13−x‬‬ ‫ ‪  21‬تمل ُك نوا ُر ِم ْث َل ْي ما يمل ُك ُه حس ٌن م َن الكت ِب‪ ،‬وتم ِل ُك‬ ‫‪3d‬‬ ‫ ‪  16‬أكت ُب مقدا ًرا جبر ًّيا‬ ‫ُســكين ُة ‪ 6‬كت ٍب زياد ًة على ما يمل ُك ُه حس ٌن‪ .‬إذا كا َن ‪x‬‬ ‫‪4d-2‬‬ ‫يم ِّث ُل عد َد الكت ِب التي يمل ُكها حســ ٌن‪ ،‬أكت ُب مقدا ًرا‬ ‫‪2b+1‬‬ ‫‪b‬‬ ‫يم ِّث ُل محي َط‬ ‫جبر ًّيا يم ِّث ُل مجمو َع الكت ِب التي يمل ُكها الثلاث ُة م ًعا‪.‬‬ ‫الشك ِل بأبس ِط‬ ‫صور ٍة‪.‬‬ ‫ ‪  17‬إذا كا َن رسـ ُم دخـو ِل مدينـ ِة ألعـا ٍب ‪ x‬دينـا ًرا عـ ْن‬ ‫ك ِّل فـر ٍد مضا ًفـا إليـ ِه دينـارا ِن ل َمـ ْن يريـ ُد اسـتخدا َم‬ ‫الألعـا ِب‪ .‬أكتـ ُب مقـدا ًرا جبر ًّيـا فـي أبسـ ِط صـور ٍة‬ ‫يم ِّثـ ُل ما تدف ُعـ ُه عائل ٌة مك َّون ٌة مـ َن الوال َد ْي ِن و‪ 3 ‬أطفا ٍل‬ ‫إذا اسـتخد َم الألعـا َب الأطفـا ُل فقـ ْط‪.‬‬ ‫‪71‬‬

‫المعادلا ُت ال َخطّ َّي ُة‬ ‫الوحد ُة‬ ‫‪3‬‬ ‫ما أَهميَّ ُة هذ ِه الوحد ِة؟‬ ‫ُت َعـ ُّد الاقترانـا ُت وال ُم َتتالِيـا ُت مـ ْن أكثـ ِر‬ ‫الموضوعـا ِت أهم َّي ًة فـي ِعلـ ِم الرياض ّيا ِت؛‬ ‫لِمـا لهـا مـ ْن تطبيقـا ٍت فـي كثيـ ٍر مـ َن‬ ‫المجـالا ِت‪ .‬فمثل ًا‪ ،‬يو ِّظـ ُف المهندسـو َن‬ ‫الاقترانـا ِت والمتتاليـا ِت لرصـ ِد العلاقـ ِة‬ ‫بيـ َن ال ّزمـ ِن الـذي مـ َّر على إنشـا ِء الجسـو ِر‬ ‫و ُقدرتِهـا علـى َت َح ُّمـ ِل وز ِن المركبـا ِت التي‬ ‫تسـي ُر عليهـا‪ ،‬ويتن َّبـؤو َن ‪ -‬أي ًضـا‪ – ‬بالزم ِن‬ ‫الـذي تصبـ ُح فيـ ِه هـذ ِه الجسـو ُر ضعيفـ ًة‪،‬‬ ‫فتحتـا ُج إلـى صيانـ ٍة أو اسـتبدا ٍل‪.‬‬ ‫سأتعلَّ ُم في هذ ِه الوحد ِة‪:‬‬ ‫تعلَّم ُت سا ِب ًقا‪:‬‬ ‫ ح َّل المعادل ِة الخ ّط ّي ِة بمتغ ّي ٍر واح ٍد‪.‬‬ ‫ الحدو َد والمقادي َر الجبر ّي َة‪ ،‬وإيجا َد ِق َي ِمها‬ ‫ كتاب َة حدو ٍد متتالي ٍة خ ّط ّي ٍة‪ ،‬وإيجا َد ح ِّدها‬ ‫عن َدما تكو ُن قيم ُة المتغ ّيرا ِت معلوم ًة‪.‬‬ ‫ تعييــ َن الأزوا ِج المر َّتب ِة على المســتوى‬ ‫العا ِّم‪.‬‬ ‫ التعبي َر عــ ِن الاقترانا ِت الخ َّط ّيــ ِة َج ْب ِر ًّيا‬ ‫الإحداث ِّي‪.‬‬ ‫ ح َّل المعادلا ِت الخط َّي ِة بخطو ٍة واحد ٍة‪.‬‬ ‫وبالجداو ِل‪ ،‬وبيانِ ًّيا‪.‬‬ ‫‪72‬‬

‫مشرو ُع الوحد ِة‪ :‬خدم ُة التوصي ِل‬ ‫ ‪  5‬أ ِجــ ُد آل َة الاقترا ِن الذي يم ّثــ ُل العلاق َة بي َن المدخلا ِت‬ ‫أستع ُّد وزملائي لتنفي ِذ مشرو ِعنا الخا ِّص الذي نستعم ُل‬ ‫والمخرجا ِت في كلِّ جدو ٍل باستخدا ِم النموذ ِج الآتي‪:‬‬ ‫فيه ما َنتع َّل ُم ُه في هذ ِه الوحد ِة حو َل المعادلا ِت الخ ِّط َّي ِة‪.‬‬ ‫المدخل ُة‬ ‫‪+‬‬ ‫÷‬ ‫المخرج ُة‬ ‫هــد ُف المشــرو ِع‪ ::‬تنميــ ُة مهاراتي في إيجــا ِد الح ِّد العا ِّم‬ ‫‪x‬‬ ‫‪y‬‬ ‫ل ُم َتتالِي ٍة‪ ،‬والتعبي ُر عن ُه كاقترا ٍن وتمثي ُل ُه بيانِ ًّيا‪.‬‬ ‫ ‪  6‬أكت ُب قاعد َة ك ِّل اقترا ٍن ج ْ ِب ًّيا على صور ِة ↦ ‪x‬‬ ‫ ‪  7‬أكت ُب قاعد َة ك ِّل اقترا ٍن كمعاد َل ٍة على صور ِة‪:‬‬ ‫خطوا ُت تنفي ِذ المشرو ِع‪:‬‬ ‫‪y = ax + b‬‬ ‫ أبحــ ُث ع ْن ثلا ِث ِســ َل ٍع يمك ُن شــرا ُؤها عــ ْن ُب ْع ٍد‬ ‫ ‪1‬‬ ‫والحصو ُل عليها من خلال خد َم ِة التوصي ِل‪ .‬ث ّم أكت ُب‬ ‫ أكت ُب قي َم المدخلا ِت والمخرجا ِت على شــك ِل أزوا ٍج‬ ‫ ‪8‬‬ ‫في الجدو ِل الآتي سع َر القطع ِة الواحد ِة م ْن ك ِّل سلع ٍة‬ ‫مر َّتب ٍة (‪ ،)x, y‬ثم أرســ ُم لك ٍّل م َن الجــداو ِل الثلاث ِة‬ ‫وتكلف َة التوصي ِل‪.‬‬ ‫مست ًوى إحداث ًّيا و ُأع ِّ ُي الأزوا َج المرتب َة علي ِه‪.‬‬ ‫سع ُر القطع ِة تكلف ُة التوصي ِل‬ ‫السلع ُة‬ ‫ ‪  9‬أكت ُب فِقر ًة أص ُف فيها ما ألاح ُظ ُه حو َل مواق ِع الأزوا ِج‬ ‫المرتب ِة على المستويا ِت الإحداث ّي ِة الثلاث ِة‪.‬‬ ‫ ‪  10‬أ ْس َت ْخد ُم المستوى الإحداث َّي لأَ ِج َد التكلف َة الكل ّي َة لشرا ِء‬ ‫ ‪  2‬أنشــ ُئ جدو ًل للعلاق ِة بي َن عد ِد القط ِع م ْن ك ِّل سلع ٍة‬ ‫‪ 10‬قط ٍع م ْن ك ِّل ســلع ٍة‪ ،‬وأتح َّق ُق م ْن إجابتي باستخدا ِم‬ ‫وإجمال ِّي السع ِر ُمضا َف ًة إلي ِه تكلف ُة التوصي ِل‪.‬‬ ‫قاعد ِة الاقترا ِن‪.‬‬ ‫عر ُض النتائ ِج‪:‬‬ ‫السلع ُة‪................... :‬‬ ‫عد ُد القط ِع‬ ‫ ⦁أص ِّمــ ُم مطو ّي ًة ُمب َت َكر ًة‪ ،‬وأد ِّو ُن فيهــا ما قم ُت ب ِه في هذا‬ ‫إجمال ُّي السع ِر‬ ‫المشرو ِع‪.‬‬ ‫ ‪  3‬أح ِّد ُد المدخلا ِت والمخرجا ِت في ك ِّل جدو ٍل‪.‬‬ ‫ ‪  4‬أم ِّثــ ُل قيــ َم ال ُم ْد َخــا ِت وال ُم ْخ َرجا ِت لك ِّل ســلع ٍة ⦁أع ِر ُض المطو ّي َة أما َم زملائي‪.‬‬ ‫ب ُم َخ َّط ٍط َس ْه ِم ٍّي‪.‬‬ ‫‪73‬‬

‫ح ُّل المعادلا ِت‪1‬‬ ‫الدر ُس‬ ‫‪2(x+4) cm‬‬ ‫ أستكش ُف‬ ‫فكر ُة الدر ِس‬ ‫أنظ ُر إلى المستطي ِل المجاو ِر‪ ،‬ث َّم أجي ُب‪:‬‬ ‫أح ُّل معادل ًة بمتغ ِّي ٍر واح ٍد‪.‬‬ ‫‪3x−7 cm‬‬ ‫‪  )1‬ما قيم ُة ك ٍّل م َن المقدا َر ْي ِن ال َج ْب ِر َّي ْي ِن‪:‬‬ ‫  (‪ 2)x+4‬و‪ 3 x −7 ‬عن َدما ‪ x = 4‬؟‬ ‫‪ )2‬هــ ْل يمكن إيجا ُد قيمــ ٍة لل ُم َت َغ ّي ِر ‪ x‬يتســاوى عن َدها‬ ‫المقدارا ِن (‪ 2)x+4‬و ‪3 x −7‬؟‬ ‫‪ )3‬كم طو ُل المستطي ِل بحس ِب قيم ِة ‪ x‬التي أوج ْد ُتها؟‬ ‫‪ )4‬ه ْل توج ُد ِق َي ٌم أخرى للمتغ ِّي ِر ‪ x‬تجع ُل طو َل ْي ِض ْل َع ِي المستطي ِل ُمتسا ِو َي ْي ِن؟‬ ‫يمكنُني ح ُّل معادل ٍة تحتوي على متغ ّي ٍر واح ٍد في أح ِد َط َر َف ْيها باستخدا ِم خصائ ِص المساوا ِة‪.‬‬ ‫مثال ‪َ   1‬أ ُح ُّل المعادل َة ‪ 3(3x + 2) = 42‬وأتح َّق ُق م ْن ص َّح ِة الح ِّل‪:‬‬ ‫ ‪ 3(3x+2) = 42‬‬ ‫ المعادل ُة الأصل ّي ُة‬ ‫‪xxx2xxx2xxx2‬‬ ‫‪42‬‬ ‫ ‪ 3×3x+3×2 = 42‬‬ ‫ خاص َّي ُة التوزي ِع‬ ‫‪xxxxxxxxx222‬‬ ‫ ‪ 9x + 6 = 42‬‬ ‫أضر ُب‬ ‫‪42‬‬ ‫‪9x + 6 = 42‬‬ ‫ ‪ 9x + 6 = 42‬‬ ‫‪xxxxxxxxx‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪     −6  −6‬‬ ‫‪36‬‬ ‫ ‪ 9x = 36‬‬ ‫أطر ُح ‪ 6‬م ْن ِكلا الطر َف ْ ِي‬ ‫‪9x = 36‬‬ ‫‪ 9x = 36 x x x x x x x x x‬‬ ‫‪  ÷9 ÷9‬‬ ‫أقس ُم ِكلا الطرف َ ْي على ‪9‬‬ ‫‪444444444‬‬ ‫ ‪ x = 4‬‬ ‫‪x=4‬‬ ‫‪3(3(4)+2) ≟ 42‬‬ ‫أتح َّق ُق م ْن ص َّح ِة الح ِّل‪:‬‬ ‫‪   3(14) ≟ 42‬‬ ‫بتعوي ِض ‪ x = 4‬في المعادل ِة‬ ‫✓ ‪    42 = 42‬‬ ‫أب ِّس ُط‬ ‫الطرفا ِن متساويا ِن‪ ،‬إذ ْن‪ ،‬الح ُّل صحي ٌح‬ ‫‪74‬‬

‫الوحد ُة ‪3‬‬ ‫أتحق ُق من فهمي‪:‬‬ ‫‪1‬‬ ‫ ‬ ‫‪3‬‬ ‫‪(2x‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫)‬ ‫=‬ ‫ ‪−42‬‬ ‫‪2‬‬ ‫ ‬ ‫‪2‬‬ ‫(‬ ‫‪x‬‬ ‫‪− 7) = −16‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪5‬‬ ‫يمك ُنني أي ًضا استخدا ُم خصائ ِص المساوا ِة لح ِّل معادل ٍة تحتوي على متغ ِّ ٍي على َط َر َ ِف المساوا ِة‪.‬‬ ‫وأتح َّق ُق م ْن ص َّح ِة الح ِّل‪:‬‬ ‫‪2‬‬ ‫ أح ُّل المعادل َة )‪(x - 5) = -(5 + x‬‬ ‫مثال ‪2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫ ‬ ‫‪2‬‬ ‫‪(x‬‬ ‫)‪−5‬‬ ‫=‬ ‫‪−(5‬‬ ‫‪+‬‬ ‫)‪x‬‬ ‫المعادل ُة الأصل ّي ُة‬ ‫‪3‬‬ ‫أضر ُب َط َر َ ِف المعادل ِة في ‪3‬‬ ‫)‪ 2 (x –5) = −3(5 + x‬‬ ‫خاص َّي ُة التوزي ِع‬ ‫‪ 2 x –10 = −15 – 3 x‬‬ ‫أجم ُع ‪ 3x‬لكلا الطر َف ْي ِن‬ ‫‪  +3x  +3x‬‬ ‫‪ 5 x – 10 = −15‬‬ ‫‪  +10  +10‬‬ ‫أجم ُع ‪ 10‬لكلا الطر َف ْ ِي‬ ‫‪ 5 x = −5‬‬ ‫أقس ُم ط َر َ ِف المعادل ِة على ‪5‬‬ ‫‪  ÷5  ÷5‬‬ ‫ ‬ ‫‪x=−‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪= −1‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪(−1 −5) ≟ −(5+‬‬ ‫)‪−1‬‬ ‫أتح َّق ُق م ْن ص َّح ِة الح ِّل‪:‬‬ ‫‪3‬‬ ‫أع ّو ُض قيم َة ‪ x = −1‬في المعادل ِة الأصل ّي ِة‬ ‫الطرفا ِن متساويا ِن‪ ،‬إذ ْن‪ ،‬الح ُّل صحي ٌح‬ ‫✓ ‪    −4 = −4‬‬ ‫‪1‬‬ ‫= )‪  –2(–6 –k‬‬ ‫‪1‬‬ ‫ )‪(k+13‬‬ ‫  أتحقق من فهمي‪:‬‬ ‫‪4‬‬ ‫أح ُّل ك ًّل م َن المعادلتي ِن الآتيتي ِن‪ ،‬وأتح َّق ُق م ْن ص َّح ِة الح ِّل‪:‬‬ ‫‪2   5 –7b = – 4(b+1) – 3‬‬ ‫‪75‬‬

‫يمكنُني كتاب ُة معادلا ٍت خط ّي ٍة لتمثي ِل مواق َف حيات ّي ٍة‪ ،‬ث َّم أح ُّلها‪.‬‬ ‫   مثال ‪ :3‬م َن الحيا ِة‬ ‫لــدى عل ٍّي ‪ 4‬عل ٍب مليئ ٍة بالأقلا ِم‪ ،‬وقلما ِن إضاف ّيا ِن‪ ،‬ولدى خال ٍد علبتا ِن‬ ‫مليئتا ِن بالأقلا ِم و ‪ 10‬أقلا ٍم إضاف ّي ٍة‪ .‬فكم قل ًما في العلب ِة الواحد ِة إذا كا َن‬ ‫لدى ك ٍّل منهما العد ُد نف ُس ُه م َن الأقلا ِم؟‬ ‫ليك ْن عد ُد الأقلا ِم في ك ِّل علب ٍة هو ‪ ، x‬إذ ْن‪ ،‬لدى عل ٍّي ‪ 4 x +2‬قل ًم‪ ،‬ولدى‬ ‫خال ٍد ‪ 2 x +10‬قل ًم‪ ،‬وبِما أ َّن لدى ك ٍّل م ْن عل ٍّي وخال ٍد العد َد نف َس ُه م َن‬ ‫الأقلا ِم‪ ،‬فإ َّن ‪4 x + 2 = 2 x +10‬‬ ‫أح ُّل المعادل َة لأج َد قيم َة المتغ ّ ِي الذي يم ِّث ُل عد َد الأقلا ِم في ك ِّل علب ٍة‪.‬‬ ‫‪4 x + 2 = 2 x +10‬‬ ‫المعادل ُة الأصل ّي ُة‬ ‫‪  -2x  -2x‬‬ ‫أطر ُح ‪ 2x‬م َن الطرفي ِن‬ ‫‪2 x + 2 = 10‬‬ ‫أطر ُح ‪ 2‬م ْن ِكلا الطرفي ِن‬ ‫‪  -2   -2‬‬ ‫‪2x=8‬‬ ‫‪  ÷2   ÷2‬‬ ‫أقس ُم ِكلا الطرفي ِن على ‪2‬‬ ‫‪x=4‬‬ ‫إذ ْن‪ ،‬تحتوي ك ُّل علب ٍة على ‪ 4‬أقلا ٍم‪.‬‬ ‫‪4(4) + 2 ≟ 2(4) +10‬‬ ‫‪  16 + 2 ≟ 8 +10‬‬ ‫أتح َّق ُق م ْن ص َّح ِة الح ِّل‪:‬‬ ‫أع ِّو ُض ‪ x = 4‬في المعادل ِة الأصلي ِة‬ ‫✓ ‪    18 = 18‬‬ ‫أب ّس ُط‬ ‫الطرفا ِن متساويا ِن‪ ،‬إذ ْن‪ ،‬الح ُّل صحي ٌح‬ ‫  أتحق ُق من فهمي‪:‬‬ ‫نات ُج ضر ِب عد ٍد ما في ‪ 3‬ث َّم إضاف ُة ‪ 5‬يساوي نات َج جم ِع ِه إلى العد ِد ‪ ،23‬فما العد ُد؟‬ ‫‪76‬‬

‫الوحد ُة ‪3‬‬ ‫أح ُّل ك ًّل م َن المعادلا ِت الآتي ِة‪ ،‬وأتح َّق ُق م ْن ص َّح ِة الح ِّل‪:‬‬ ‫أَﺗـﺪر ُب‬ ‫‪1    2(5x +14) = 6 2    3(4 – x) = 33‬‬ ‫وأﺣ ﱡﻞ اﳌﺴﺎﺋ َﻞ‬ ‫   ‪3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪(x‬‬ ‫–‬ ‫‪8‬‬ ‫)‬ ‫=‬ ‫ ‪7‬‬ ‫ ‪4‬‬ ‫ ‬ ‫‪4×–1‬‬ ‫‪=5‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪7‬‬ ‫أح ُّل ك ًّل م َن المعادلا ِت الآتي ِة‪ ،‬وأتح َّق ُق م ْن ص َّح ِة الح ِّل‪:‬‬ ‫ ‪5    2(3x – 4) = 4x+17‬‬ ‫   ‪6‬‬ ‫‪3‬‬ ‫)‪(6+x) = –2 (x – 5‬‬ ‫إرشا ٌد‬ ‫‪4‬‬ ‫يمك ُنني التخ ُّل ُص م َن‬ ‫   ‪7‬‬ ‫‪1‬‬ ‫– ‪(x‬‬ ‫= ‪2)+10‬‬ ‫‪4‬‬ ‫ ‪–3x‬‬ ‫   ‪8‬‬ ‫‪x+4‬‬ ‫‪= 9 –7x‬‬ ‫الكس ِر المضرو ِب في‬ ‫‪3‬‬ ‫‪5‬‬ ‫القو ِس بضر ِب طر َ ِف‬ ‫المعادل ِة بمقلو ِب الكس ِر‪.‬‬ ‫ ‪  9‬ناتــ ُج ضر ِب عــد ٍد مــا في ‪ 7‬ثــ َّم ج ْم ُعــ ُه إلى ‪ 6‬يســاوي ناتــ َج ج ْم ِعــ ِه إلى العــد ِد ‪،30‬‬ ‫فــا العــد ُد؟‬ ‫معلوم ٌة‬ ‫ ‪  10‬العم ُر‪َ :‬هلا أصغ ُر بـ ‪ 7‬سنوا ٍت م ْن ري َم‪ ،‬وســلي ٌم عم ُر ُه يساوي ضع َف ُع ْم ِر ري َم‪ .‬وإذا‬ ‫ُت َع ُّد ج ُز ُر أوكيناوا اليابان ّي ُة‬ ‫واحد ًة م ْن أعلى مع ّدلا ِت‬ ‫كا َن مجمو ُع ُع ْم َر ْي َهلا وري َم مساو ًيا لعم ِر ســلي ٍم مطرو ًحا م ْن ‪ .57‬أك ُت ُب معادل ًة‪ ،‬ث َّم‬ ‫الأعما ِر في العالمِ؛ إ ْذ إ َّن فيها‬ ‫أح ُّلها لأ ِج َد عم َر ك ِّل واح ٍد منهم‪.‬‬ ‫أكث َر من ‪ 400‬شخ ٍص تبل ُغ‬ ‫ ‪  11‬أر ِّت ُب خطوا ِت ح ِّل المعادل ِة ‪ . 2 x + 7 = 19 - 2 x‬أكت ُب رق َم ك ِّل خطو ٍة في ‪:‬‬ ‫أعما ُر ُهم ‪ 100‬عا ٍم‪.‬‬ ‫‪4x = 12‬‬ ‫‪4x+7 = 19‬‬ ‫‪x=3‬‬ ‫‪−7 −7‬‬ ‫‪+2x +2x‬‬ ‫‪÷4 ÷4‬‬ ‫‪2x+7 = 19 −2x‬‬ ‫ ‪  12‬حدائ ُق‪ :‬حديق ٌة مســتطيل ُة الشك ِل ُب ْعداها (‪ )x +3‬مت ًرا و(‪ )x +1‬مت ًرا‪ .‬فإذا كا َن محي ُط‬ ‫الحديق ِة ‪ 44‬مت ًرا َأج ُد قيم َة ‪ ، x‬ث َّم أج ُد ُب ْع َد ِي الحديق ِة‪.‬‬ ‫‪77‬‬

‫‪4x+8 cm‬‬ ‫لد َّي المر ّب ُع ال ُمجاو ُر‪:‬‬ ‫‪2(3x+1) cm‬‬ ‫ ‪َ   13‬أ ِج ُد قيم َة ‪x‬‬ ‫ ‪  14‬ما طو ُل ضل ِع المر ّب ِع؟‬ ‫مهارا ُت التفكي ِر ال ُعليا‬ ‫تبريــ ٌر‪ :‬ح َّل ْت ك ٌّل م ْن َندى وعبي َر المعادلــ َة ‪ 3)5x –1( = 42‬بطريق ٍة مختلف ٍة‪ ،‬بنا ًء‬ ‫على ذل َك‪:‬‬ ‫عبي ُر‬ ‫ندى‬ ‫‪3(5x –1) = 42‬‬ ‫‪3(5x –1) = 42‬‬ ‫‪15x –3 = 42‬‬ ‫‪÷3 ÷3‬‬ ‫‪+3 +3‬‬ ‫‪5x –1 = 14‬‬ ‫‪15x = 45‬‬ ‫‪+1 +1‬‬ ‫‪÷15 ÷15‬‬ ‫‪5x = 15‬‬ ‫‪x=3‬‬ ‫‪÷5 ÷5‬‬ ‫‪x=3‬‬ ‫ ‪  15‬ما الفر ُق بي َن ح َّل ْي َندى وعبي َر؟ ه ْل ح ُّل ك ٍّل من ُهما صحي ٌح؟‬ ‫ ‪  16‬ه ْل يمك ُن استخدا ُم طريق ِة َندى لح ِّل أ ِّي معادل ٍة؟ أب ِّر ُر إجابتي‪.‬‬ ‫ ‪  17‬تح ٍّد‪ :‬أح ُّل المعادل َة الآتي َة‪:‬‬ ‫أف ِّك ُر‬ ‫‪2x + 7 = 5 + 2x‬‬ ‫هـ ْل تو َجـ ُد معادلـ ٌة ليـ َس‬ ‫ ‪   18‬أكت ُب أص ُف كي َف أ ُح ُّل معادل ًة خط َّي ًة تحتوي على متغ ّ ٍي في َط َر َف ْيها‪.‬‬ ‫لهـا حـ ٌّل؟‬ ‫‪78‬‬

‫ال ُكسو ُر ال َع ْش ِريَّ ُة ال َّدو ِريَّ ُة‪2‬‬ ‫الدر ُس‬ ‫ أستكش ُف‬ ‫فكر ُة الدر ِس‬ ‫ق ّس َم حس ٌن َب ْس َط َك ْس ٍر على َمقام ِه‬ ‫أح ِّو ُل الكس َر العشر َّي‬ ‫باستخدا ِم حاســب ٍة فحص َل على‬ ‫الدور َّي إلى كس ٍر فعل ٍّي أو‬ ‫‪ ، 5.333333‬ه ْل يمك ُن معرف ُة‬ ‫عد ٍد كسر ٍّي‪.‬‬ ‫هذا الكس ِر؟‬ ‫المصطلحا ُت‬ ‫كس ٌر َع ْشر ٌّي َد ْو ِر ٌّي‪.‬‬ ‫يمكـ ُن اسـتخدا ُم حـ ِّل المعادلا ِت وخصائـ ِص المسـاوا ِة لكتابـ ِة أ ِّي كسـ ٍر عشـر ٍّي دور ٍّي )‪ (repeating decimal‬على‬ ‫حيـ ُث ‪ a‬و ‪ b‬عددا ِن صحيحـا ِن و ‪. b ≠ 0‬‬ ‫‪a‬‬ ‫صـور ِة كسـ ٍر‬ ‫‪b‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪ 0.4‬على صور ِة كس ٍر‬ ‫ أكت ُب الكس َر العشر َّي الدور َّي‬ ‫مثال ‪1‬‬ ‫‪b‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪a‬‬ ‫أع ِّب ُر ع ِن الكس ِر العش ِر ِّي الدور ِّي ب ُمتغ ِّي ٍر مث ِل ‪ ، x‬ث َّم ُأجري العمل ّيا ِت الآتي َة؛ لأكت َب ُه على صور ِة كس ٍر‬ ‫‪b‬‬ ‫‪x = 0.444...‬‬ ‫)…‪10(x) = 10 (0.444‬‬ ‫أضر ُب َط َر َ ِف المعادل ِة في ‪10‬؛ لأ َّن منزل ًة واحد ًة فقط تتك َّر ُر‬ ‫…‪10x = 4.444‬‬ ‫أضر ُب في ‪ُ ،10‬أ َح ِّر ُك الفاصل َة منزل ًة واحد ًة إلى اليمي ِن‬ ‫…‪10x = 4 + 0.444‬‬ ‫أج ِّز ُئ العد َد العش ِر َّي إلى عد ٍد صحي ٍح وكس ٍر عش ِر ٍّي‬ ‫‪10x = 4 + x‬‬ ‫أع ِّو ُض ‪x = 0.444...‬‬ ‫أطر ُح ‪ x‬م ْن ِكلا الطرف ْ ِي‬ ‫‪9x = 4‬‬ ‫=‪x‬‬ ‫‪4‬‬ ‫أقس ُم ِكلا الطرفي ِن على ‪9‬‬ ‫‪9‬‬ ‫‪4‬‬ ‫كما يأتي‪:‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪ 0.4‬على صور ِة كس ٍر‬ ‫إذ ْن‪ُ ،‬يك َت ُب الكس ُر العشر ُّي الدور ُّي‬ ‫‪9‬‬ ‫‪b‬‬ ‫  أتحق ُق من فهمي‪:‬‬ ‫‪1   0.1      2   0.2      3   0.5      4   0.8‬‬ ‫‪79‬‬

‫‪.‬‬ ‫‪a‬‬ ‫توج ُد كسو ٌر عشر ّي ٌة دور ّي ٌة يتك َّر ُر فيها َر ْقما ِن أو أكث ُر‪ ،‬ويم ِكنُنا أي ًضا كتاب ُة هذ ِه الكسو ِر العشر َّي ِة الدور َّي ِة على ال ّصور ِة‬ ‫‪b‬‬ ‫   مثال ‪ :2‬م َن الحيا ِة‬ ‫تق َّد َم ‪ 66‬طال ًبا إلى امتحا ٍن في ما ّد ِة العلو ِم‪ ،‬فكا َن الكس ُر العشر ُّي ال ّدا ُّل على نسب ِة النّجا ِح ‪ ،0.81‬أ ِج ُد ع َد َد الناجحي َن‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪a‬‬ ‫أع ِّب ُر ع ِن الكس ِر العشر ِّي الدو ِر ِّي بمتغ ِّي ٍر مث ِل ‪ ، x‬ث َّم أقو ُم بالعمل ّيا ِت الآتي ِة؛ لأك ُت َب ُه على صور ِة كس ٍر‬ ‫‪b‬‬ ‫…‪x = 0.8181‬‬ ‫)…‪100(x) = 100 (0.8181‬‬ ‫أضر ُب ط َر َ ِف المعادل ِة في ‪100‬؛ لأ َّن منزلتي ِن تتك َّررا ِن‬ ‫…‪100x = 81.8181‬‬ ‫أضر ُب في ‪ُ ،100‬أ َح ِّر ُك الفاصل َة منزل َت ْ ِي إلى اليمي ِن‬ ‫أج ِّز ُئ العد َد العش ِر َّي إلى عد ٍد صحي ٍح وكس ٍر عش ِر ٍّي‬ ‫…‪100x = 81 + 0.8181‬‬ ‫‪100x = 81 + x‬‬ ‫أع ِّو ُض ‪x = 0.8181...‬‬ ‫أطر ُح ‪ x‬م ْن ِكلا ال ّطر َف ْ ِي‬ ‫‪99x = 81‬‬ ‫أقس ُم ِكلا ال َّط َرف ْ ِي على ‪99‬‬ ‫=‪x‬‬ ‫‪81‬‬ ‫أكت ُب النات َج في أبس ِط صور ٍة‬ ‫‪99‬‬ ‫=‪x‬‬ ‫‪9‬‬ ‫‪11‬‬ ‫لإيجا ِد عد ِد الطلب ِة الناجحي َن‪ ،‬أضر ُب عد َد الطلب ِة في الكس ِر الدا ِّل على نسب ِة النجا ِح‪.‬‬ ‫×‪66‬‬ ‫‪9‬‬ ‫=‬ ‫‪54‬‬ ‫أضر ُب‪ ،‬ث ّم أب ِّس ُط‬ ‫‪11‬‬ ‫إذ ْن‪ ،‬عد ُد الطلب ِة الناجحي َن ه َو ‪ 54‬طال ًبا‪.‬‬ ‫أتحق ُق من فهمي‪:‬‬ ‫إذا كا َن عد ُد الحيوانا ِت جمي ِعها في الحديق ِة يساوي ‪ ،88‬والكس ُر الدا ُّل على الحيوانا ِت المفت ِرســـ ِة فيها هـو ‪، 0.18‬‬ ‫أ ِج ُد عد َد الحيوانا ِت المفت ِرس ِة‪.‬‬ ‫توج ُد كســو ٌر عشر ّي ٌة دور ّي ٌة يتك َّر ُر فيها َر ْقما ِن أو أكث ُر‪ ،‬في حي ِن لا تتك َّر ُر أرقا ٌم أخرى‪ ،‬مث ًل الكس ُر العشر ُّي ‪ 0.32‬يتك َّر ُر في ِه‬ ‫‪.‬‬ ‫‪a‬‬ ‫ال َّر ْق ُم ‪ 2‬فق ْط ولا يتك َّر ُر ال َّر ْق ُم ‪ .3‬يمكنُني أي ًضا كتاب ُة هذ ِه الكسو ِر العشر َّي ِة الدور ّي ِة على ال ّصور ِة‬ ‫‪b‬‬ ‫‪80‬‬

‫الوحد ُة ‪3‬‬ ‫مثال ‪  3‬أكت ُب العد َد العشر َّي الدور َّي ‪ 4.13‬على صور ِة عد ٍد كسر ٍّي‪:‬‬ ‫أع ِّب ُر ع ْن ‪ 4.13‬بمتغ ِّي ٍر مث ِل ‪ ، x‬ث َّم ُأجري العمل ّيا ِت الآتي َة؛ لأج َد العد َد الكسر َّي الذي يم ِّث ُل ُه‪.‬‬ ‫…‪x = 4.1333‬‬ ‫أضر ُب ط َر َ ِف المعادل ِة في ‪10‬؛ لأ َّن منزل ًة واحد ًة فق ْط تتك َّر ُر‬ ‫…‪10x = 41.333‬‬ ‫…‪10x = 37.2 + 4.1333‬‬ ‫أج ِّز ُئ العد َد العشر َّي‬ ‫‪10x = 37.2 + x‬‬ ‫ُأع ِّو ُض ‪x = 4.1333...‬‬ ‫‪9x = 37.2‬‬ ‫أطر ُح ‪ x‬م ْن ط َر َ ِف المساوا ِة‬ ‫=‪x‬‬ ‫‪37.2‬‬ ‫أقس ُم الطرفي ِن على ‪9‬‬ ‫‪9‬‬ ‫أضر ُب البس َط والمقا َم في ‪10‬‬ ‫أح ِّو ُل الكس َر غي َر ال ِفعل ِّي إلى عد ٍد كسر ٍّي‬ ‫=‬ ‫‪372‬‬ ‫‪90‬‬ ‫‪=4‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪15‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪َ 4.13‬على صور ِة عد ٍد كسر ٍّي كما يأتي‪:‬‬ ‫إذ ْن‪ُ ،‬ي ْك َت ُب العد ُد العشر ُّي الدور ُّي‬ ‫‪15‬‬ ‫أتحق ُق من فهمي‪:‬‬ ‫أكت ُب العد َد العشر َّي الدور َّي على صور ِة عد ٍد كسر ٍّي‪:‬‬ ‫‪1   1.16 2   3.27‬‬ ‫‪:‬‬ ‫‪a‬‬ ‫صور ِة َك ْس ٍر‬ ‫على‬ ‫الدور َّي‬ ‫أكت ُب الكس َر العش ِر َّي‬ ‫أَﺗـﺪر ُب‬ ‫‪b‬‬ ‫وأﺣ ﱡﻞ اﳌﺴﺎﺋ َﻞ‬ ‫ ‪1    0.6‬‬ ‫ ‪2    0.7‬‬ ‫ ‪3    0.3‬‬ ‫‪4    0.9‬‬ ‫ ‪5    0.13‬‬ ‫ ‪6    0.37‬‬ ‫ ‪7    0.15‬‬ ‫‪8    0.33‬‬ ‫ ‪9    1.14‬‬ ‫أكت ُب العد َد العشر َّي الدور َّي على صور ِة عد ٍد كسر ٍّي‪:‬‬ ‫ ‪10    2.13‬‬ ‫ ‪11    5.34‬‬ ‫‪12    4.25‬‬ ‫‪81‬‬

‫ ‪  13‬أكم ُل الجدو َل الآت َي وأبح ُث ع ْن نم ٍط‪ ،‬ثم أص ُف قاعد َت ُه‪.‬‬ ‫أتذ َّك ُر‬ ‫‪0.5 0.4 0.3 0.2 0.1‬‬ ‫الكسر العشري الدوري‬ ‫عن َد تحوي ِل الكس ِر العشر ِّي‬ ‫‪a‬‬ ‫كس ٍر‬ ‫صور ِة‬ ‫الدور ِّي إلى كس ٍر فعل ٍّي يج ُب‬ ‫‪b‬‬ ‫أ ْن نن َتبِ َه إلى عد ِد المناز ِل‬ ‫الدوري ِة‪.‬‬ ‫ ‪  14‬ذه ٌب‪ :‬اشتر ْت ســنا ُء خات ًما م َن ال ّذ َه ِب كتلته ‪ 0.7‬غم‪ .‬أكت ُب كتل َة‬ ‫الخات ِم على صور ِة َك ْس ٍر فِ ْع ِل ٍّي‪.‬‬ ‫ ‪  15‬حلو ّيا ٌت‪ :‬اســتخد َم رامي ‪ 1.27‬كو ًبا م َن الس َّك ِر لتحضي ِر فطير ٍة‪ .‬فما العد ُد الكسر ُّي‬ ‫الدا ُّل على ك ّم ّي ِة الس ّك ِر الذي استخ َد َم ُه رامي؟‬ ‫ ‪  16‬زراع ٌة‪ :‬ســقى مزار ٌع ‪ 0.13‬م ْن أشجا ِر‬ ‫مزرعتِ ِه التي تحتوي على ‪ 99‬شجر ًة‪ .‬فما‬ ‫عد ُد الأشجا ِر التي لم َي ْس ِقها بع ُد؟‬ ‫مهارا ُت التفكي ِر ال ُعليا‬ ‫ ‪  17‬أ ِج ُد قيم َة ‪0.327 × 0.5‬‬ ‫ث َّم أقار ُن بينَها‪.‬‬ ‫‪a‬‬ ‫أكت ُب الكسر ْي ِن ال َع ْش ِر َّي ْي ِن ‪ 0.15 ، 0.15‬على صور ِة كس ٍر‬ ‫تبري ٌر‪:‬‬ ‫ ‪18‬‬ ‫‪b‬‬ ‫ ‪  19‬تبري ٌر‪ :‬يقو ُل أحم ُد إِ ْن نات َج َض ْر ِب عد ٍد صحي ٍح غي ِر الصف ِر في عد ٍد عشر ٍّي دور ٍّي يبقى‬ ‫دور ًّيا‪ .‬فه ْل أحم ُد على صوا ٍب‪ .‬أب ِّر ُر إجابتي‪.‬‬ ‫ ‪َ   20‬ت َو ُّس ٌع‪ :‬أج ُد نات َج ‪0.3 × 0.4‬‬ ‫ ‪   21‬أكت ُب كي َف أكت ُب الكس َر العشر َّي ‪ 0.6‬على صور ِة كس ٍر عاد ٍّي؟‬ ‫‪82‬‬

‫المتتاليا ُت‪3‬‬ ‫الدر ُس‬ ‫ أستكش ُف‬ ‫فكر ُة الدر ِس‬ ‫أتأ ّم ُل النم َط الآت َي‪ ،‬ث َّم أجي ُب ع ّما يلي ِه‪:‬‬ ‫أكت ُب حدو ًدا متتالي ًة‪،‬‬ ‫وأج ُد الح َّد العا َّم لها‪.‬‬ ‫ الشك ُل )‪ (2‬الشك ُل )‪ (1‬‬ ‫الشك ُل )‪(3‬‬ ‫المصطلحا ُت‬ ‫‪  )1‬ما عد ُد الدوائ ِر في ك ٍّل م َن الأشكا ِل ‪4, 5, 6‬؟‬ ‫متتالي ٌة ‪ ،‬الح ُّد ‪،‬‬ ‫الح ُّد العا ُّم‬ ‫‪  )2‬كي َف نج ُد عد َد الدوائ ِر في الشك ِل رق ِم ‪24‬؟‬ ‫المتتالي ُة )‪ (sequence‬هي مجموع ٌة م َن الأعدا ِد َت ْت َب ُع ترتي ًبا ُمع ّينًا‪ ،‬و ُيس ّمى ك ُّل عد ٍد فيها ح ًّدا )‪.(term‬‬ ‫يمكنُني أ ْن أكم َل حدو َد المتتالي ِة إذا علم ُت القاعد َة التي ترب ُط ك َّل ح ٍّد في المتتالي ِة بالح ِّد الذي يلي ِه‪.‬‬ ‫‪+3 +3 +3‬‬ ‫‪2 , 5 , 8 , 11 , ...‬‬ ‫الـ َح ُّد الـ َح ُّد الـ َح ُّد الـ َح ُّد‬ ‫ال ّراب ُع الثال ُث الثاني الأ ّو ُل‬ ‫مثال ‪  1‬‬ ‫إذا كا َن الح ُّد الأ ّو ُل في متتالي ٍة ه َو ‪ ،4.7‬والقاعد ُة التي ترب ُط ك َّل ح ٍّد بال َح ِّد الذي يلي ِه هو طر ُح ‪ 0.4‬أ ِج ُد الح َّد الخام َس‪.‬‬ ‫‪-0.4 -0.4 -0.4 -0.4‬‬ ‫أبد ُأ بالح ِّد الأ ّو ِل وأطر ُح ‪ 0.4‬ك َّل م َّر ٍة ح ّتى أص َل‬ ‫ ‬ ‫‪4.7 4.3 3.9 3.5 3.1‬‬ ‫إلى الح ِّد الخام ِس‪ .‬إذ ْن‪ ،‬الح ُّد الخام ُس ه َو ‪3.1‬‬ ‫ ‬ ‫الح ُّد الأ ّولُ‬ ‫الح ُّد الخام ُس‬ ‫  أتحق ُق من فهمي‪:‬‬ ‫إذا كا َن الح ُّد الأ َّو ُل في متتالي ٍة ه َو ‪ 2.6‬والقاعد ُة التي ترب ُط ك َّل ح ٍّد بالح ِّد الذي يلي ِه هو طر ُح ‪ ،0.5‬ف َأ ِج ُد الح َّد الساد َس‪.‬‬ ‫‪83‬‬

‫يمكنُني أي ًضا أ ْن أج َد أ َّي ح ٍّد في ال ُمتتالي ِة إذا علم ُت العلاق َة التي ترب ُط بي َن أ ِّي ح ٍّد في المتتالي ِة ورت َبتِ ِه‪ .‬و ُتســ ّمى هذ ِه العلاق ُة‬ ‫قاعد َة الح ِّد العا ِّم )‪ .(nth term‬يمكنُني بهذ ِه الطريق ِة أ ْن أج َد الح َّد المطلو َب م ْن دو ِن الحاج ِة إلى إيجا ِد جمي ِع الحدو ِد التي‬ ‫تسب ُق ُه‪ .‬ألي َس هذا أفض َل؟‬ ‫مثال ‪  2‬‬ ‫إذا كان ْت قاعد ُة الح ِّد العا ِّم لمتتالي ٍة ه َي‪ :‬أضر ُب رتب َة الح ِّد في ‪ 3‬ث َّم أجم ُع ‪ ،2‬فأ ِج ُد ك ًّل ِم َن الحدو ِد‪ :‬الســاد ِس والســاب ِع‬ ‫والثام ِن‪.‬‬ ‫رتب ُة الح ِّد الساد ِس تساوي ‪ ،6‬ولإيجا ِد هذا الح ِّد فإ َّنني أط ِّب ُق قاعد َة الح ِّد العا ِّم على رتبتِ ِه‪:‬‬ ‫أض ِر ُب الرتب َة في ‪ 3‬ث َّم أجم ُع ‪ 2‬إلى النات ِج‪.‬‬ ‫ال ُّرتب ُة‬ ‫‪  18‬‬ ‫الح ُّد‬ ‫الـح ُّد الساد ُس‪6 × 3 + 2 = 20 :‬‬ ‫‪6 ×3‬‬ ‫‪+2 20‬‬ ‫‪7 × 3   21 +2 23‬‬ ‫الـح ُّد السـاب ُع ‪7 × 3 + 2 = 23 :‬‬ ‫‪8 × 3   24 +2 26‬‬ ‫الـح ُّد الثـام ُن ‪8 × 3 + 2 = 26 :‬‬ ‫  أتحق ُق من فهمي‪:‬‬ ‫إذا كان ْت قاعد ُة الح ِّد العا ِّم لمتتالي ٍة ه َي ‪ :‬أضر ُب رتب َة الح ِّد في ‪ 5‬ث َّم أطر ُح ‪ ،7‬فأ ِج ُد ك ًّل م َن الحدو ِد‪ :‬الساب ِع والثام ِن والتاس ِع‪.‬‬ ‫يمكنُني أ ْن أ ِج َد قاعد َة الح ِّد العا ِّم للمتتالي ِة بملاحظ ِة القاعد ِة التي ترب ُط ك َّل ح ٍّد في المتتالي ِة بالح ِّد الذي يلي ِه وأي ًضا بملاحظ ِة‬ ‫العلاق ِة بي َن رتب ِة ك ِّل ح ٍّد وقيمتِ ِه‪.‬‬ ‫مثال ‪  3‬في ما يأتي َن َم ٌط هند ِس ُّي يش ِّك ُل عد ُد الدوائ ِر فيه متتالي ًة‪:‬‬ ‫النموذ ُج الثاني النموذ ُج الأ ّو ُل‬ ‫النموذ ُج الثال ُث‬ ‫النموذ ُج الراب ُع‬ ‫‪84‬‬

‫الوحد ُة ‪3‬‬ ‫‪   1‬أج ُد القاعد َة التي ترب ُط ك َّل ح ٍّد في المتتالي ِة بالح ِّد الذي يلي ِه‪:‬‬ ‫النموذ ُج ‪1‬‬ ‫النموذ ُج ‪2‬‬ ‫النموذ ُج ‪3‬‬ ‫النموذ ُج ‪4‬‬ ‫بالانتقا ِل م َن الح ِّد إلى الح ِّد الذي يلي ِه‪ ،‬أج ُد أ َّن‬ ‫‪ 4‬دوائ َر ق ْد ُأضي َف ْت‪ ،‬إذ ْن‪ ،‬ك ُّل ح ٍّد أكب ُر م َن الح ِّد‬ ‫‪1‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪9‬‬ ‫‪13‬‬ ‫الذي يسبِ ُق ُه ب ِـ ‪. 4‬‬ ‫‪+4 +4‬‬ ‫‪+4‬‬ ‫‬ ‫‪   2‬أكت ُب قاعد َة الح ِّد العا ِّم‪.‬‬ ‫ُرتب ُة الح ِّد‬ ‫الح ُّد‬ ‫تزدا ُد الحــدو ُد في المتتالي ِة بمقــدا ِر ‪ ،4‬وهذا‬ ‫‪1 × 4     4   −3‬‬ ‫‪ 1‬‬ ‫يذ ِّك ُرني بجدو ِل ضر ِب العــد ِد ‪4‬؛ إ ْذ إ َّن الفر َق‬ ‫‪ 5‬‬ ‫بي َن ك ِّل نات َج ْي ِن يساوي ‪ ،4‬لك َّن حدو َد المتتالي ِة‬ ‫‪2 × 4    8  −3‬‬ ‫‪ 9‬‬ ‫أق ُّل بمقــدا ِر ‪ 3‬م َن النوات ِج فــي جدو ِل ضر ِب‬ ‫‪3 × 4    12  −3‬‬ ‫‪  13‬‬ ‫العد ِد ‪ ،4‬إذ ْن‪ ،‬قاعــد ُة الح ِّد العا ِّم هي‪ :‬أضر ُب‬ ‫‪4 × 4    16  −3‬‬ ‫رتب َة الح ِّد في ‪ 4‬ث ّم أطر ُح ‪. 3‬‬ ‫ ‬ ‫‪   3‬ما عد ُد الدوائ ِر في الح ِّد الذي رتب ُت ُه ‪15‬؟‬ ‫لإيجا ِد عد ِد الدوائ ِر‪ ،‬فإ َّنني أط ِّب ُق قاعد َة الح ِّد العا ِّم على الح ِّد الذي رتب ُت ُه ‪15‬؛ أضر ُب الرت َب َة في ‪ 4‬ث َّم أطر ُح ‪ 3‬م َن النات ِج‪.‬‬ ‫الـح ُّد ال ُّرتب ُة‬ ‫‪15 × 4     60  −3   57‬‬ ‫أتحق ُق من فهمي‪:‬‬ ‫في ما يأتي َن َم ٌط هند ِس ٌّي يش ِّك ُل عد ُد الدوائ ِر فيه متتالي ًة‪:‬‬ ‫النموذ ُج )‪(1‬‬ ‫النموذ ُج )‪(2‬‬ ‫النموذ ُج )‪(3‬‬ ‫النموذ ُج )‪(4‬‬ ‫‪   4‬أج ُد القاعد َة التي ترب ُط ك َّل ح ٍّد في المتتالي ِة بالح ِّد الذي يلي ِه‪.‬‬ ‫‪   5‬أكت ُب قاعد َة الح ِّد العا ِّم‪.‬‬ ‫‪   6‬ما عد ُد الدوائ ِر في الح ِّد الذي رتب ُت ُه ‪12‬؟‬ ‫‪85‬‬

‫يمكنُني استعما ُل مقدا ٍر جبر ٍّي لكتاب ِة الح ِّد العا ِّم للمتتالي ِة‪.‬‬ ‫مثال ‪  4‬‬ ‫) أكت ُب الح َّد العا َّم باستخدا ِم مقدا ٍر جبر َّي‪ ،‬ث َّم أستخد ُم ُه‬ ‫‪27‬‬ ‫ث َّم أجم ُع‬ ‫‪1‬‬ ‫الح ُّد العا ُّم لمتتالي ٍة ه َو (أضر ُب رتب َة الح ِّد في‬ ‫‪4‬‬ ‫‪4‬‬ ‫لأج َد الحدو َد الثلاث َة الأولى‪.‬‬ ‫لرتب ِة‬ ‫لِنرم ْز‬ ‫)‬ ‫‪27‬‬ ‫ُمضا ًفا إلي ِه‬ ‫َمضرو ًبا في رتب ِة الح ِّد‬ ‫‪1‬‬ ‫يمكنُني أ ْن أكت َب الح َّد العا َّم ال ُمعطى على صور ِة (أ ُّي ح ٍّد يســاوي‬ ‫‪4‬‬ ‫‪4‬‬ ‫أ ِّي ح ٍّد في المتتالي ِة بالمتغ ّي ِر ‪ n‬و ْلنرم ْز إلى الح ِّد نف ِس ِه بالرم ِز ‪.Tn‬‬ ‫أكت ُب هذه العبار َة بالرمو ِز كما يأتي‪:‬‬ ‫= ‪Tn‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪n+‬‬ ‫‪27‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪4‬‬ ‫= ‪Tn‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪n+‬‬ ‫‪27‬‬ ‫أستخد ُم الح َّد العا َّم؛ لأج َد الحدو َد الثلاث َة الأولى‪:‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪4‬‬ ‫قاعد ُة الح ِّد العا ِّم‬ ‫= ‪T1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪(1) +‬‬ ‫‪27‬‬ ‫ُأع ِّو ُض رتب َة الح ِّد الأ ّو ِل )‪(n = 1‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪4‬‬ ‫= ‪T1‬‬ ‫‪28‬‬ ‫‪=7‬‬ ‫ُأب ِّس ُط‬ ‫‪4‬‬ ‫= ‪T2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪(2) +‬‬ ‫‪27‬‬ ‫ُأع ِّو ُض رتب َة الح ِّد الثاني )‪(n = 2‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪4‬‬ ‫= ‪T2‬‬ ‫‪29‬‬ ‫‪=7‬‬ ‫‪1‬‬ ‫ُأب ِّس ُط‬ ‫‪4‬‬ ‫‪4‬‬ ‫ُأع ِّو ُض رتب َة الح ِّد الثال ِث )‪(n = 3‬‬ ‫= ‪T3‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪(3) +‬‬ ‫‪27‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪4‬‬ ‫= ‪T3‬‬ ‫‪30‬‬ ‫‪=7‬‬ ‫‪1‬‬ ‫ُأب ِّس ُط‬ ‫‪4‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪7,‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪,‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪1‬‬ ‫إذ ْن‪ ،‬الحدو ُد الثلاث ُة الأولى في المتتالي ِة ه َي‪:‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪2‬‬ ‫  أتحق ُق من فهمي‪:‬‬ ‫العا َّم باســتخدا ِم مقدا ٍر جبر ٍّي‪ ،‬ث َّم أستخد ُم ُه‬ ‫) أكت ُب الح َّد‬ ‫‪5‬‬ ‫ث َّم أطر ُح‬ ‫‪1‬‬ ‫(أضر ُب رتب َة الح ِّد في‬ ‫الح ُّد العا ُّم لمتتالي ٍة ه َو‬ ‫‪6‬‬ ‫‪6‬‬ ‫لأج َد الحدو َد الثلاث َة الأولى‪.‬‬ ‫‪86‬‬

‫الوحد ُة ‪3‬‬ ‫أج ُد الحدو َد الثلاث َة التالي َة في ك ِّل متتالي ٍة مما يأتي‪:‬‬ ‫أَﺗـﺪر ُب‬ ‫ ‪1     67, 78, 89, 100, ...‬‬ ‫‪2     101, 95, 89, 83, ...‬‬ ‫وأﺣ ﱡﻞ اﳌﺴﺎﺋ َﻞ‬ ‫ ‪3     −17, −13, −9, −5, ...‬‬ ‫‪4     19, 14, 9, 4, ...‬‬ ‫أتذ َّك ُر‬ ‫ ‪5     1.2, 1.5, 1.8, 2.1, ...‬‬ ‫‪6     3.2, 2.8, 2.4, 2, ...‬‬ ‫لإيجا ِد قاعد ِة الح ِّد العا ِّم‬ ‫للمتتالي ِة يج ُب أ ْن ألاح َظ‬ ‫ ‪7‬‬ ‫ ‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪, 4, 5‬‬ ‫‪1‬‬ ‫ ‪, 7, ...‬‬ ‫ ‬ ‫    ‪8‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪,‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪,‬‬ ‫‪9‬‬ ‫‪,‬‬ ‫‪13‬‬ ‫‪,...‬‬ ‫القاعد َة التي ترب ُط ك َّل ح ٍّد‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪7‬‬ ‫بالح ِّد الذي يلي ِه‪ ،‬وكذل َك‬ ‫العلاق َة بين ُرتب ِة ك ِّل ح ٍّد‬ ‫في ك ِّل متتالي ٍة ممّا يأتي‪ ،‬أج ُد القاعد َة التي ترب ُط ك َّل ح ٍّد بالح ِّد الذي يلي ِه‪ ،‬وأستخد ُمها‬ ‫لإيجا ِد الح ِّد الساب ِع‪:‬‬ ‫وقيمتِ ِه‪.‬‬ ‫ ‪9     130, 118, 106, 94, ...‬‬ ‫‪10     19, 28, 37, 46, ...‬‬ ‫ ‪11     17, 11, 5, −1, ...‬‬ ‫‪12     −25, −18, −11, −4, ...‬‬ ‫ ‪13     3.1, 3.6, 4.1, 4.6, ...‬‬ ‫ ‪14‬‬ ‫ ‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪,4,5‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪,6‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪, ...‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪2‬‬ ‫في ما يأتي نم ٌط هندس ٌّي يش ِّك ُل عد ُد المر ّبعا ِت فيه متتالي ًة‪:‬‬ ‫النموذ ُج )‪ (2‬النموذ ُج )‪(1‬‬ ‫النموذ ُج )‪(3‬‬ ‫النموذ ُج )‪(4‬‬ ‫ ‪  15‬أج ُد القاعد َة التي ترب ُط ك َّل ح ٍّد في المتتالي ِة بالح ِّد الذي يلي ِه‪.‬‬ ‫ ‪  16‬أكت ُب قاعد َة الح ِّد العا ِّم‪.‬‬ ‫ ‪  17‬ما عد ُد المر ّبعا ِت في الح ِّد الذي رتب ُت ُه ‪10‬؟‬ ‫) أكت ُب الح َّد العا َّم‬ ‫‪3‬‬ ‫ث َّم أجم ُع‬ ‫‪3‬‬ ‫ الح ُّد العا ُّم لمتتالي ٍة هــ َو (أضر ُب رتب َة الح ِّد في‬ ‫ ‪18‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪4‬‬ ‫باستخدا ِم مقدا ٍر جبر ٍّي‪ ،‬ث َّم أستخد ُم ُه لأ ِج َد الحدو َد الثلاث َة الأولى‪.‬‬ ‫‪87‬‬

‫‪3n + 1‬‬ ‫ ‪  19‬أص ُل بي َن حدو ِد المتتالي ِة والح ِّد العا ِّم لها‪:‬‬ ‫‪3n‬‬ ‫‪2n‬‬ ‫‪7, 9, 11, 13, ...‬‬ ‫‪2, 4, 6, 8, ...‬‬ ‫‪2n + 5‬‬ ‫‪4n‬‬ ‫‪7, 11, 15, 19, ...‬‬ ‫‪3, 6, 9, 12, ...‬‬ ‫‪5n − 2‬‬ ‫‪4, 7, 10, 13, ...‬‬ ‫‪4n + 3‬‬ ‫‪4, 8, 12, 16, ...‬‬ ‫‪3, 8, 13, 18, ...‬‬ ‫في مــا يأتــي أنمــا ٌط هندســ َّي ٌة يشــ ِّك ُل عــد ُد المر ّبعــا ِت فــي ك ٍّل منهــا متتالي ًة‪،‬‬ ‫أج ُد الح َّد العا َّم لك ِّل متتالي ٍة‪:‬‬ ‫   ‪20‬‬ ‫إرشا ٌد‬ ‫النموذ ُج )‪(1‬‬ ‫النموذ ُج )‪(2‬‬ ‫النموذ ُج )‪(3‬‬ ‫يمك ُنني أ ْن أبد َأ بكتاب ِة‬ ‫   ‪21‬‬ ‫عبار ٍة جبر َّي ٍة تمث ُل المر َّبعا ِت‬ ‫النموذ ُج )‪(1‬‬ ‫الزرقا َء‪ ،‬وعبار ٍة جبر ّي ٍة‬ ‫أخرى تمث ُل المر ّبعا ِت‬ ‫الحمرا َء‪ ،‬ث َّم جم ِع العبارتي ِن‬ ‫الجبر ّيت ْ ِي‪.‬‬ ‫النموذ ُج )‪(2‬‬ ‫النموذ ُج )‪(3‬‬ ‫   ‪22‬‬ ‫النموذ ُج )‪(2‬‬ ‫النموذ ُج )‪(3‬‬ ‫النموذ ُج )‪(1‬‬ ‫ ‪23‬‬ ‫النموذ ُج )‪ (4‬النموذ ُج )‪(3‬‬ ‫النموذ ُج )‪ (2‬النموذ ُج )‪(1‬‬ ‫‪88‬‬

‫الوحد ُة ‪3‬‬ ‫ ‪  24‬آبا ٌر‪ :‬تتقاضى شرك ٌة لحف ِر الآبا ِر ‪ 50‬دينا ًرا ع ْن حف ِر المت ِر الأو ِل و ‪ 52.5‬دينا ًرا ع ْن حف ِر‬ ‫الثاني و‪ 55‬دينا ًرا ع ْن حف ِر الثال ِث وهكذا‪ .‬فك ْم تتقاضى الشرك ُة ع ْن حف ِر المت ِر ر ْق ِم ‪40‬؟‬ ‫ ‪  25‬ما قيم ُة الح ِّد الذي رتب ُته ‪ 30‬في المتتالي ِة الآتي ِة‪:‬‬ ‫…… ‪60, 52, 44, 36, 28,‬‬ ‫مهارا ُت التفكي ِر ال ُعليا‬ ‫ ‪  26‬تح ٍّد‪ :‬متتالي ٌة حدو ُدها ‪ 2, 9, 16,... 352,...‬فما رتب ُة الح ِّد الذي قيم ُته ‪352‬؟‬ ‫ ‪  27‬تبري ٌر‪ :‬ص َّمم ْت ش ًذى نم ًطا هندس ًّيا يش ِّك ُل عد ُد المر ّبعا ِت في ِه متتالي ًة‪ ،‬كما في الشك ِل الآتي‪:‬‬ ‫النموذ ُج )‪ (3‬النموذ ُج )‪ (2‬النموذ ُج )‪(1‬‬ ‫النموذ ُج )‪(4‬‬ ‫أ ُّي الجم ِل الآتي ِة صحيح ٌة وأ ُّيا خط ٌأ‪ُ ،‬مص ِّح ًحا الخط َأ‪:‬‬ ‫‪ )a‬يوج ُد ‪ 20‬مرب ًعا بال َّلو ِن الأحم ِر و ‪ 8‬بال َّلو ِن الأزر ِق في النموذ ِج الخام ِس‪.‬‬ ‫‪ )b‬يوج ُد ‪ 4n‬م َن المر ّبعا ِت بال َّلو ِن الأحم ِر في الح ِّد العا ِّم‪ ،‬حي ُث ‪ n‬ه َو رق ُم النموذ ِج‪.‬‬ ‫‪ )c‬يوج ُد ‪ n‬م َن المر ّبعا ِت بال َّلو ِن الأزر ِق في الح ِّد العا ِّم‪.‬‬ ‫‪ )d‬العد ُد الكل ُّي للمر ّبعا ِت في الح ِّد العا ِّم ه َو ‪. 5n + 3‬‬ ‫‪ )e‬يوج ُد ‪ 40‬مرب ًعا بال َّلو ِن الأحم ِر و ‪ 16‬بال َّلو ِن الأزر ِق في الح ِّد العاش ِر‪.‬‬ ‫ ‪  28‬تح ٍّد‪ :‬يب ِّي ُن الشك ُل الآتي ثلاث َة حدو ٍد في متتالي ٍة‪ ،‬أج ُد عد َد المر َّبعا ِت في الشك ِل رق ِم ‪:50‬‬ ‫أف ّك ُر‬ ‫ما علاق ُة مساح ِة المستطي ِل‬ ‫برتب ِة الح ِّد؟‬ ‫النموذ ُج )‪(1‬‬ ‫النموذ ُج )‪(2‬‬ ‫النموذ ُج )‪(3‬‬ ‫أو ِّض ُح خطوا ِت إيجا ِد الح ِّد العا ِّم لمتتالي ٍة إذا علم ُت بع َض حدو ِدها‪.‬‬ ‫ ‪   29‬أكت ُب‬ ‫‪89‬‬

‫الاقترانا ُت‪4‬‬ ‫الدر ُس‬ ‫ أستكش ُف‬ ‫فكر ُة الدر ِس‬ ‫أتأ َّمــ ُل الجــدو َل الآت َي الــذي يب ِّي ُن‬ ‫أتع َّر ُف الاقترا َن‪،‬‬ ‫وأ ِج ُد قاع َد َت ُه‬ ‫الأجر َة التــي يتقاضاها عامــ ٌل وف ًقا‬ ‫المصطلحا ُت‬ ‫لعد ِد ســاعا ِت عم ِلــ ِه ُمتض ِّمن ًة بد َل‬ ‫الاقترا ُن‬ ‫المواصلا ِت‪.‬‬ ‫‪432‬‬ ‫‪1‬‬ ‫عد ُد ساعا ِت العم ِل‬ ‫‪13 10 7‬‬ ‫‪4‬‬ ‫الأجر ُة بالدينا ِر‬ ‫ك ْم تبل ُغ أجر ُة العام ِل بالدينا ِر إذا عم َل‬ ‫‪ 5‬ساعا ٍت‪ 7 ،‬ساعا ٍت؟‬ ‫الاقتــرا ُن )‪ (function‬هو علاق ٌة تربــ ُط ك َّل قيم ٍة م َن ال ُمدخلا ِت بقيم ٍة واحد ٍة فق ْط مــ َن ال ُمخرجا ِت‪ .‬ويمكنُني التعبي ُر ع ِن‬ ‫الاقترا ِن بطرائ َق مختلف ٍة كما يأتي‪:‬‬ ‫على صور ِة مدخلا ٍت ومخرجا ٍت‬ ‫المدخل ُة‬ ‫‪+3‬‬ ‫‪÷2‬‬ ‫المخرج ُة‬ ‫‪x‬‬ ‫‪y‬‬ ‫على صور ِة آل ِة اقترا ٍن‬ ‫‪x‬‬ ‫‪x+3‬‬ ‫أجم ُع ‪ 3‬ث َّم‬ ‫على صور ِة مدخلا ٍت ومخرجا ٍت‬ ‫‪2‬‬ ‫أقس ُم على ‪2‬‬ ‫على صور ِة معادل ٍة‬ ‫المدخل ُة (‪)x‬‬ ‫المخرج ُة (‪)y‬‬ ‫=‪y‬‬ ‫‪x+3‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2.5‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫على صور ِة مخ ّط ٍط سهم ٍّي‬ ‫‪0 1 23‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪01234‬‬ ‫‪90‬‬

‫الوحد ُة ‪3‬‬ ‫مثال ‪  1‬‬ ‫أكم ُل جدو َل القي ِم لك ِّل اقترا ٍن م ّما يأتي‪:‬‬ ‫)‪1   y = 2x-5 2   y = 3(x + 1‬‬ ‫المخرج ُة (‪ )y‬المدخل ُة (‪)x‬‬ ‫المخرج ُة (‪ )y‬المدخل ُة (‪)x‬‬ ‫‪1 2(1)-5 = -3‬‬ ‫‪1 3(1+1) = 6‬‬ ‫‪2 2(2)-5 = -1‬‬ ‫‪2 3(2+1) = 9‬‬ ‫‪3 2(3)-5 = 1‬‬ ‫‪3 3(3+1) = 12‬‬ ‫‪4 2(4)-5 = 3‬‬ ‫‪4 3(4+1) = 15‬‬ ‫  ‬ ‫أتحق ُق من فهمي‪:‬‬ ‫)‪3   y = 9x -1 4   y = 4(x-7‬‬ ‫يمكنُني أ ْن أستخد َم آل َة الاقترا ِن لأكت َب قاعد َت ُه جب ِر ًّيا على الصور ِة ‪. x‬‬ ‫مثال ‪  2‬‬ ‫‪ ، x‬ث َّم على صور ِة معادل ٍة‪:‬‬ ‫أكت ُب قاعد َة ك ِّل اقترا ٍن م ّما يأتي على صور ِة‬ ‫‪1 x‬‬ ‫‪×6 −2‬‬ ‫آل ُة الاقترا ِن المعطا ُة تضر ُب المدخل َة ‪ x‬في ‪ 6‬ث َّم تطر ُح ‪2‬‬ ‫إذ ْن‪ ،‬يمكنُني كتاب ُة قاعد ِة الاقترا ِن على الشك ِل ‪ x 6x - 2‬أو كمعادل ٍة على الشك ِل‪y = 6x - 2 :‬‬ ‫‪2   x +9 ×5‬‬ ‫آل ُة الاقترا ِن المعطا ُة تجم ُع ‪ 9‬إلى المدخل ِة ‪ x‬ث ّم تضر ُب في ‪5‬‬ ‫‪ x‬أو كمعادل ٍة على الشك ِل‪y = )x+9(×5 :‬‬ ‫إذ ْن‪ ،‬يمكنُني كتاب ُة قاعد ِة الاقترا ِن على الشك ِل ‪)x+9(×5‬‬ ‫أتحق ُق من فهمي‪:‬‬ ‫‪3   x +8 ×2‬‬ ‫‪4   x -1 ×6‬‬ ‫‪91‬‬

‫المدخل ُة )‪(x‬‬ ‫المخرج ُة )‪(y‬‬ ‫يمكنُني أ ْن أستخد َم جدو َل القي ِم لأج َد قاعد َة الاقترا ِن‪.‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪-1‬‬ ‫مثال ‪  3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪5‬‬ ‫يب ِّي ُن الجدو ُل المجاو ُر ِق َي َم المدخلا ِت والمخرجا ِت لاقترا ٍن‪:‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪  1‬أص ُف بالكلما ِت قاعد َة الاقترا ِن‪.‬‬ ‫المدخلا ُت متباعد ٌة بمقدا ِر ‪1‬‬ ‫بما أ َّن المدخلا ِت متباعد ٌة بمقدا ِر ‪ ،1‬وأ َّن المخرجا ِت متباعد ٌة بمقدا ِر ‪،3‬‬ ‫فإ َّن الجز َء الأ ّو َل م َن القاعد ِة ه َو‪ :‬الضر ُب في ‪. 3‬‬ ‫‪-3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8‬‬ ‫حتــى تكو َن صور ُة العدد ‪ 4‬هي ‪ ،8‬يج ُب أ ْن تحتو َي القاعد ُة على ط ْر ِح‬ ‫‪-3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8‬‬ ‫العد ِد ‪. 4‬‬ ‫المخرجا ُت متباعد ٌة بمقدا ِر ‪3‬‬ ‫إذ ْن‪ ،‬القاعد ُة ه َي‪ :‬أضر ُب في ‪ 3‬ث َّم أطر ُح ‪. 4‬‬ ‫‪   2‬أكت ُب قاعد َة الاقترا ِن بالصور ِة ‪ ، x‬ث َّم ك ُمعادل ٍة‪.‬‬ ‫المدخل ُة‬ ‫‪3x‬‬ ‫المخرج ُة‬ ‫يمكنُني كتاب ُة قاعد ِة الاقترا ِن بالصور ِة الآتي ِة‪:‬‬ ‫‪y = 3x - 4‬‬ ‫‪x ×3‬‬ ‫‪-4‬‬ ‫‪x 3x - 4‬‬ ‫أ ْو ك ُمعادل ٍة بالصور ِة الآتي ِة‪:‬‬ ‫‪y = 3x − 4‬‬ ‫المخرج ُة )‪ (y‬المدخل ُة )‪(x‬‬ ‫  أتحققُ من فهمي‪:‬‬ ‫‪27‬‬ ‫‪39‬‬ ‫يب ِّي ُن الجدو ُل المجاو ُر ِق َي َم المدخلا ِت والمخرجا ِت لاقترا ٍن‪:‬‬ ‫‪4 11‬‬ ‫‪   3‬أص ُف بالكلما ِت قاعد َة الاقترا ِن‪.‬‬ ‫‪5 13‬‬ ‫‪   4‬أكتب قاعد َة الاقترا ِن بالصور ِة ‪ x‬ث َّم ك ُمعادل ٍة‪.‬‬ ‫‪92‬‬

‫الوحد ُة ‪3‬‬ ‫أكم ُل جدو َل القي ِم لك ِّل اقترا ٍن م ّما يأتي‪:‬‬ ‫أَﺗـﺪر ُب‬ ‫وأﺣ ﱡﻞ اﳌﺴﺎﺋ َﻞ‬ ‫‪1    x‬‬ ‫‪5x+ 4 2    x‬‬ ‫‪7x −2‬‬ ‫المخرج ُة )‪ (y‬المدخل ُة )‪(x‬‬ ‫‪3    x‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪5    x‬‬ ‫‪x‬‬ ‫ ‪+ 1‬‬ ‫ ‪4‬‬ ‫‪ x‬‬ ‫)‪4(x −3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3x‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪7    x‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪9    x‬‬ ‫‪5(x+6) 6    x‬‬ ‫‪11    x‬‬ ‫أكت ُب قاعد َة ك ِّل اقترا ٍن م ّما يأتي بالصور ِة ‪ ، x‬ث َّم ك ُمعادل ٍة‪.‬‬ ‫‪×3 +5 8    x ×4 −2‬‬ ‫‪×9 ÷4 10    x ÷3 +1‬‬ ‫‪+4 ×3 12    x −5 ÷4‬‬ ‫أتأ َّم ُل الجدو َل المجاو َر الذي يب ِّي ُن قي َم المدخلا ِت والمخرجا ِت لاقترا ٍن‪ ،‬ث َّم‪:‬‬ ‫أف ِّك ُر‬ ‫المخرج ُة )‪ (y‬المدخل ُة )‪(x‬‬ ‫ ‪  13‬أص ُف بالكلما ِت قاعد َة الاقترا ِن‪.‬‬ ‫يمك ُن إيجا ُد قاعد ِة‬ ‫‪13‬‬ ‫الاقترا ِن الخ ّط ِّي‪ ،‬إذا ُع ِل َم‬ ‫‪25‬‬ ‫ ‪  14‬أكت ُب قاعد َة الاقترا ِن بالصور ِة ‪x‬‬ ‫منها مدخ َلتا ِن متتاليتا ِن‬ ‫‪37‬‬ ‫ث َّم كمعادل ٍة‪.‬‬ ‫‪49‬‬ ‫ومخرجتا ُها‪ .‬لماذا؟‬ ‫إذا كا َن لد َّي الاقترا ُن الذي قاعد ُت ُه (‪: x 2)x−1‬‬ ‫ ‪  15‬أج ُد المخرجا ِت ال ُمناظِر َة لل ُمدخلا ِت ‪0, 1, 2, 3‬‬ ‫ ‪  16‬أم ِّث ُل قي َم المدخلا ِت والمخرجا ِت باستخدا ِم المخ َّط ِط ال َّس ْه ِم ِّي الآتي‪:‬‬ ‫‪-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4‬‬ ‫‪-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4‬‬ ‫‪93‬‬

‫ ‪  17‬ثريا ٌت‪ :‬يب ِّي ُن الجدو ُل الآتي تكلف َة إنتا ِج نو ٍع م َن الثر ّيا ِت‪ ،‬حي ُث ‪ x‬ه َي عد ُد الثر ّيا ِت‪،‬‬ ‫معلوم ٌة‬ ‫َو ‪ Y‬ه َي التكلف ُة‪.‬‬ ‫ُصنع ْت ُثر ّيا مسج ِد تاز َة في‬ ‫‪x123‬‬ ‫المغر ِب سن َة ‪ 694‬للهجر ِة‪،‬‬ ‫‪y 20 40 60‬‬ ‫أكت ُب قاعد َة الاقترا ِن الذي تم ِّث ُله هذ ِه الأزوا ُج المر َّت َب ُة بصور ِة معادل ٍة؟‬ ‫وهي الثر َّيا النحاس ّي ُة‬ ‫الضخم ُة والأجم ُل في العالمي ِن‬ ‫ ‪  18‬أكم ُل الجدو َل الآتي‪:‬‬ ‫العرب ِّي والإسلام ِّي؛ إ ْذ‬ ‫قاعد ُة الاقترا ِن الصيغ ُة الجبر ّي ُة‬ ‫ال ُمخ َّط ُط ال َّس ْه ِم ُّي‬ ‫إ ّنا تحم ُل لمس ًة م َن الجما ِل‬ ‫)‪x 5(x−1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫الأند ُلس ِّي‪.‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪1‬‬ ‫مهارا ُت التفكي ِر ال ُعليا‬ ‫‪y = 7−x‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪35‬‬ ‫‪45‬‬ ‫‪x 1−0.5x‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪20‬‬ ‫‪3.5‬‬ ‫‪5 35‬‬ ‫ ‪  19‬تح ٍّد‪ :‬أ ِج ُد القيم َة المجهول َة في‬ ‫‪9 59‬‬ ‫المخ ّط ِط ال َّس ْه ِم ِّي ال ُم َجاو ِر؟‬ ‫‪20 125‬‬ ‫? ‪27‬‬ ‫تح ٍّد‪ :‬أستخد ُم آل َة الاقترا ِن الآتي َة‪:‬‬ ‫‪x ×10‬‬ ‫‪−9 y‬‬ ‫ ‪َ   20‬أ ِج ُد المخرج َة ‪ y‬إذا كان ِت المدخل ُة ‪. x = 0.3‬‬ ‫ ‪  21‬أج ُد المدخل َة ‪ x‬إذا كان ِت المخرج ُة ‪. y = 31‬‬ ‫ ‪  22‬أكت ُب قاعد َة الاقترا ِن على صور ِة معادل ٍة‪.‬‬ ‫ ‪   23‬أكت ُب أكت ُب بخطوا ٍت كي َف أج ُد قاعد َة أ ِّي اقترا ٍن‪.‬‬ ‫‪94‬‬

‫تمثي ُل الاقترا ِن الخطّ ِّي بيان ًّيا‪5‬‬ ‫الدر ُس‬ ‫ أستكش ُف‬ ‫فكر ُة الدر ِس‬ ‫الزو ُج المر َّت ُب ال ُم ْخ َر َج ُة ال ُم ْد َخ َل ُة‬ ‫ُأكم ُل جدو َل ال ُم ْد َخلا ِت وال ُم ْخ َرجا ِت للاقترا ِن‬ ‫ُأم ِّث ُل الاقترا َن الخ ّط َّي بيان ًّيا‬ ‫(ال ُم ْخ َر َج ُة ‪ ،‬ال ُم ْد َخ َل ُة) ‪x 3x+1‬‬ ‫على المستوى الأحداث ِّي‪.‬‬ ‫الذي قاعد ُت ُه‪x 3x + 1 :‬‬ ‫‪14‬‬ ‫)‪(1 , 4‬‬ ‫‪  )1‬أرســ ُم مســت ًوى إحداثِ ًّيا‪ ،‬و ُأ َع ِّيــ ُن علي ِه‬ ‫المصطلحا ُت‬ ‫‪2‬‬ ‫موا ِق َع الأزوا ِج المر َّتب ِة‪.‬‬ ‫التمثي ُل البيان ُّي للاقترا ِن‬ ‫‪3‬‬ ‫‪َ   )2‬أ ِص ُف ما ُألا ِح ُظه‪.‬‬ ‫‪4‬‬ ‫ُي ْمك ُننــي التعبي ُر ع ِن الاقترا ِن باســتخدا ِم أزوا ٍج مر َّتب ٍة (‪ )x , y‬حي ُث ‪ُ x‬تم ِّث ُل المدخلــ َة و ‪ y‬تم ِّث ُل المخرج َة‪ .‬وعن َد تمثي ِل هذ ِه‬ ‫الأزوا ِج المر ّتب ِة في المستوى الإحداث ِّي فإ َّنني أحص ُل على جز ٍء م َن التمثي ِل البيان ِّي للاقتر ِن )‪ ،(function graph‬إِ ْذ يتك َّو ُن‬ ‫التمثي ُل البيان ُّي للاقترا ِن م ْن جمي ِع النقا ِط التي تح ِّق ُق قاع َد َت ُه‪.‬‬ ‫‪13‬‬ ‫مثال ‪  1‬‬ ‫‪25‬‬ ‫ُأم ِّث ُل بيانِ ًّيا الاقترا َن ال ُمعطى بالمخ َّط ِط ال َّس ْه ِم ِّي المجاو ِر‪:‬‬ ‫‪37‬‬ ‫‪49‬‬ ‫‪y‬‬ ‫(‪)4, 9‬‬ ‫أم ِّث ُل الأزوا َج المر َّت َب َة (‪)1, 3(, )2, 5(, )3, 7(, )4, 9‬‬ ‫على المستوى الإحداث ِّي‪.‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪9‬‬ ‫(‪8 )3, 7‬‬ ‫‪7‬‬ ‫( ‪6 )2, 5‬‬ ‫‪5‬‬ ‫(‪4 )1, 3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪-2 -1 0‬‬ ‫‪1 2345678‬‬ ‫‪-1‬‬ ‫‪95‬‬

‫‪1 −2‬‬ ‫  أتحق ُق من فهمي‪:‬‬ ‫‪2 −1‬‬ ‫‪30‬‬ ‫ُأم ِّث ُل بيانِ ًّيا الاقترا َن ال ُمعطى بالمخ َّط ِط ال َّس ْه ِم ِّي المجاو ِر‪.‬‬ ‫‪41‬‬ ‫‪52‬‬ ‫تع َّلم ُت في الدر ِس الســاب ِق كتاب َة قاعد ِة الاقترا ِن على صور ِة معادل ٍة تحتوي على متغ ِّي َر ْي ِن مث ًل‪ .y = 3x - 2 ،‬وحلو ُل هذ ِه‬ ‫المعادلــ ِة أزوا ٌج م ْن ِق َي ِم ال ُمدخلا ِت ‪ x‬وال ُمخرجا ِت ‪ y‬التي تح ِّق ُق المعادل َة‪ .‬ويمك ُن التعبي ُر ع ْن هذ ِه القي ِم بأزوا ٍج مر َّتب ٍة على‬ ‫الشك ِل )‪.(x, y‬‬ ‫مثال ‪  2‬‬ ‫‪x x−2 y‬‬ ‫)‪(x, y‬‬ ‫أج ُد أربع َة ُحلو ٍل لل ُمعادل ِة ‪ y = x – 2‬ث َّم أم ِّث ُلها بيان ًّيا على المســتوى‬ ‫)‪1 1 − 2 −1 (1 , −1‬‬ ‫الإحداث ِّي‪.‬‬ ‫)‪2 2 − 2 0 (2 , 0‬‬ ‫‪3 3−2 1‬‬ ‫)‪(3 , 1‬‬ ‫أختا ُر ‪ِ 4‬ق َيــ ٍم لل ُمدخلا ِت ولت ُك ْن ‪ 1, 2, 3, 4‬ث َّم أج ُد قي َم ال ُمخ َرجا ِت‬ ‫‪4 4−2 2‬‬ ‫)‪(4 , 2‬‬ ‫المنا ِظر ِة لها باستخدا ِم المعادل ِة‪.‬‬ ‫‪y‬‬ ‫يم ّث ُل ك ُّل زو ٍج مر َّت ٍب في الجــدو ِل ح ًّل للمعادل ِة ‪ ، y = x – 2‬وعن َد تمثي ِل‬ ‫‪5‬‬ ‫هذ ِه الأزوا ِج المرتب ِة على المســتوى الإحداث ِّي فإ َّننــا نحص ُل على جز ٍء م َن‬ ‫التمثي ِل البيانــ ِّي للمعادل ِة؛ وذل َك لأ َّن للمعادل ِة حلــول ًا أخرى غي َر ه ِذ ِه التي‬ ‫‪4‬‬ ‫أ ْوج ْدناها في الجدو ِل‪.‬‬ ‫‪3‬‬ ‫(‪)4, 2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫(‪)3, 1‬‬ ‫‪-2 -1 0‬‬ ‫(‪)2, 0‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪-1‬‬ ‫‪-2‬‬ ‫‪1 2 3 45‬‬ ‫(‪)1,-1‬‬ ‫  أتحق ُق من فهمي‪:‬‬ ‫أج ُد أربع َة حلو ٍل للمعادل ِة ‪ ، y = x – 3‬ث َّم أم ِّث ُلها بيانِ ًّيا على المستوى الإحداث ِّي‪.‬‬ ‫‪96‬‬

‫الوحد ُة ‪3‬‬ ‫ألا ِح ُظ في المثا ِل الســاب ِق أ َّن النقا َط الأرب َع التي تم ِّث ُل حلو َل المعادل ِة تق ُع على مستقي ٍم واح ٍد؛ ولذل َك فإ َّن أ َّي نقط ٍة تق ُع على‬ ‫هذا المستقي ِم تم ِّث ُل ح ًّل للمعادل ِة ‪ . y = x - 2‬لِ َن ْخ َتبِ ِر النقط َة )‪ (5, 3‬التي تق ُع على المستقي ِم نف ِس ِه‪.‬‬ ‫‪y=x–2‬‬ ‫أكت ُب المعادل َة‬ ‫‪3≟5–2‬‬ ‫أع ِّو ُض قي َم َت ْي ‪ x = 5‬و ‪ y = 3‬في المعادل ِة‬ ‫الطرفا ِن متساويا ِن‪ ،‬إذ ْن‪ ،‬الح ُّل صحي ٌح‬ ‫✓‪3=3‬‬ ‫إذ ْن‪ ،‬النقط ُة )‪ (5, 3‬تح ِّق ُق المعادل َة ‪ .y = x - 2‬وبما أ َّن جمي َع حلو ِل هذ ِه المعادل ِة تق ُع على خ ٍّط مستقي ٍم فإ َّنا ُتس ّمى معادل ًة خط َّي ًة‬ ‫)‪.(linear equation‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪5‬‬ ‫(‪4 )5, 3‬‬ ‫‪x‬‬ ‫(‪3 )4, 2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫(‪)3, 1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫(‪)2, 0‬‬ ‫‪-3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7‬‬ ‫(‪-1 )1,-1‬‬ ‫‪-2‬‬ ‫‪-3‬‬ ‫    مثال ‪ :3‬م َن الحيا ِة‬ ‫نبـا ُت الخيـزرا ِن أسـر ُع النباتـا ِت ُن ُمـ ًّوا‪ ،‬فقـ ْد تصـ ُل سـرع ُة نم ِّو ِه إلـى ‪ 91 cm‬فـي اليو ِم‬ ‫الواحـ ِد‪ .‬أكتـ ُب معادلـ ًة فـي متغ ِّيريـ ِن تم ِّثـ ُل مقـدا َر نمـ ِّو الخيـزرا ِن بع َد مـرو ِر عـد ٍد م َن‬ ‫الأ ّيـا ِم‪ ،‬ثـ َّم أم ِّثـ ُل المعادلـ َة بيانِ ًّيا‪.‬‬ ‫لِ َي ُكــ ِن ال ُمتغ ِّي ُر ‪ x‬ه َو عــد َد الأ ّيا ِم والمتغ ّي ُر ‪ y‬هو مقدا َر نم ِّو الخيــزرا ِن‪ ،‬إذ ْن‪ ،‬العلاق ُة بي َن‬ ‫هذي ِن المتغ ِّيري ِن ه َي ‪y = 91x‬‬ ‫ولِتمثي ِل هذ ِه المعادل ِة بيانِ ًّيا‪َ ،‬أ َّتبِ ُع الخطوا ِت الثلا َث الآتي َة‪:‬‬ ‫الخطوة ‪ :1‬أختا ُر بع َض قي ِم المدخلا ِت ‪ x‬ولتك ْن ‪1, 2, 3‬‬ ‫‪97‬‬

‫الخطوة ‪ :2‬أنش ُئ جدو ًل وأستخ ِد ُمه لإيجا ِد قي ِم المخرجا ِت المقابِ َل ِة له ِذ ِه المدخلا ِت‪:‬‬ ‫)‪x 91x y (x, y‬‬ ‫)‪1 91 × 1 91 (1 , 91‬‬ ‫)‪2 91 × 2 182 (2 , 182‬‬ ‫)‪3 91 × 3 273 (3 , 273‬‬ ‫الخطوة ‪ :3‬أم ِّث ُل الأزوا َج المر َّتب َة في المستوى الإحداثِ ِّي‪ ،‬ث َّم أرس ُم مستقي ًم يم ُّر بها جمي ًعا‪:‬‬ ‫نبا ُت الخيزرا ِن‬ ‫الطولُ ( بالسنتيمرِ )‬ ‫‪450 y‬‬ ‫)‪(3, 273‬‬ ‫‪400‬‬ ‫)‪(2, 182‬‬ ‫‪350‬‬ ‫‪300‬‬ ‫)‪(1, 91‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪250‬‬ ‫‪12‬‬ ‫‪200‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪150‬‬ ‫‪100‬‬ ‫‪50‬‬ ‫‪-1 0‬‬ ‫‪-50‬‬ ‫الزم ُن (باليو ِم)‬ ‫أف ِّك ُر‬ ‫  أتحق ُق من فهمي‪:‬‬ ‫ما أق ُّل عد ٍد م َن الأزوا ِج‬ ‫تنق ُل حافل ٌة ‪ 22‬راك ًبا ك َّل ســاع ٍة‪ .‬أكت ُب معادل ًة في متغ ِّي َر ْي ِن تم ِّث ُل عد ُد ال ُّر ّكا ِب الذين‬ ‫ال ُمر َّت َب ِة يلز ُم لتمثي ِل ال ُمعادل ِة‬ ‫تنق ُلهم الحافل ُة بع َد مرو ِر عد ٍد م َن الساعا ِت‪ ،‬ث َّم ُأم ِّث ُل المعادل َة بيانِ ًّيا‪.‬‬ ‫الخط َّي ِة بيان ًّيا؟‬ ‫‪98‬‬

‫الوحد ُة ‪3‬‬ ‫‪1     y = 3x‬‬ ‫أكم ُل الجدو َل‪ُ ،‬ث َّم ُأم ِّث ُل الاقترا َن بيانِ ًّيا في ك ٍّل م ّما يأتي‪:‬‬ ‫أَﺗـﺪر ُب‬ ‫‪-2 -1 0 1 2 3‬‬ ‫‪x‬‬ ‫وأﺣ ﱡﻞ اﳌﺴﺎﺋ َﻞ‬ ‫‪y‬‬ ‫أتذ ّك ُر‬ ‫‪2     y = x‬‬ ‫‪x -2 -1 0 1 2 3‬‬ ‫أستخد ُم أولو ّيا ِت‬ ‫‪y‬‬ ‫العمل ّيا ِت الحساب ّي ِة عن َد‬ ‫التعوي ِض لإيجا ِد قيم ِة ‪.y‬‬ ‫‪3     y = x −3‬‬ ‫‪x -2 -1 0 1 2 3‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪4     y = 5 - x‬‬ ‫‪x -2 -1 0 1 2 3‬‬ ‫‪y‬‬ ‫أ ِجــ ُد أربعــ َة حلــو ٍل لــك ِّل معادلــ ٍة م ّمــا يأتــي‪ ،‬ثــ َّم أم ِّث ُلهــا بيانِ ًّيــا علــى المســتوى‬ ‫الإحداثــ ِّي‪.‬‬ ‫‪5    y = 3x +1 6    y = 4x −3 7    y = 3 - 2x‬‬ ‫‪8    y = 2x −5 9    y = 4- 3x 10   y = 4x +1‬‬ ‫ ‪  11‬أ ُّي أزوا ِج الإحداثِ ّيـا ِت الآتيـ ِة تقـ ُع علـى المسـتقي ِم الـذي معادل ُتـ ُه ‪y = 2x - 3‬؟‬ ‫أبـ ِّر ُر إجابتي‪.‬‬ ‫)‪a) (2, 7)     b) (-1, -5)     c) (15, 27‬‬ ‫‪99‬‬

‫ ‪  12‬قطارات‪َ :‬ت َّت ِس ُع العرب ُة الواحد ُة في قطا ٍر إلى ‪ 85‬راك ًبا‪ .‬أكت ُب معادل ًة في متغ ِّيي ِن تم ِّث ُل عد َد‬ ‫معلوم ٌة‬ ‫الر ّكا ِب الذي َن يس ُعهم أ ُّي عد ٍد م ْن عربا ِت القطا ِر‪ ،‬ث َّم ُأم ِّث ُل المعادل َة بيانِ ًّيا‪.‬‬ ‫ُيع ُّد القطا ُر الصين ُّي الذي يرب ُط‬ ‫العاصم َة بكي َن بمدين ِة نانجينغ‬ ‫الأسر َع في العالمِ؛ إذ تص ُل سرع ُت ُه‬ ‫إلى ‪ 317 km‬في الساع ِة‪.‬‬ ‫ ‪  13‬مه ٌن‪ :‬يصن ُع ن ّجا ٌر ك َّل يو ٍم ‪ 6‬طاولا ٍت لك ٍّل منْها ‪ 4‬أرج ٍل‪ .‬أكت ُب‬ ‫معادل ًة في متغ ِّيي ِن تم ِّث ُل عد َد أرج ِل الطاولا ِت التي يصن ُعها‬ ‫الن ّجا ُر بع َد مرو ِر عد ٍد م َن الأ ّيا ِم‪ ،‬ث َّم ُأ َم ِّث ُل المعادل َة بيانِ ًّيا‪.‬‬ ‫ ‪  14‬مشــريا ٌت‪ :‬إذا كا َن ثم ُن الحقيب ِة الواحد ِة ‪ 10‬دنانــ َر وثم ُن القمي ِص الواح ِد ‪ 7‬دناني َر‪،‬‬ ‫أكت ُب معادل ًة تم ِّث ُل ثم َن حقيب ٍة واحد ٍة وعد ٍد م َن ال ُقمصا ِن‪.‬‬ ‫أستخ ِد ُم التمثي َل البيانِ َّي الآت َي‪:‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪-5 -4 -3 -2 -1 0‬‬ ‫‪1 2345‬‬ ‫‪-1‬‬ ‫‪-2‬‬ ‫ ‪  15‬أجد قيم َة المدخل ِة ‪ x‬التي تقاب ُل ك َّل مخرج ٍة م ّما يأتي‪:‬‬ ‫‪y=6, y=0, y=3‬‬ ‫ ‪  16‬أكت ُب المعادل َة التي تم ِّث ُل المستقي َم‪.‬‬ ‫‪100‬‬