การหาคา่ สูงสุด - ต่าสุดสมั พทั ธ์ นยิ าม จะกล่าววา่ x=c เปน็ จดุ วิกฤตของฟงั ก์ชนั f(x) ถ้า f(c) มีคา่ และเงื่อนไขขอ้ ใดข้อหน่ึงตอ่ ไปน้เี ปน็ จรงิ 1.������′ ������ = 0 2. ������′ ������ ไม่มคี า่ เกดิ ขนึ้
ตวั อยา่ ง 1 จงหาจดุ วกิ ฤตท้ังหมดของฟังก์ชนั ������ ������ = 6������5 + 33������4 − 30������3 + 100 ข้นั แรกเราต้องหาอนพุ นั ธ์ของ f เสยี กอ่ น ������′ ������ = 30������4 + 132������3 − 90������2 = 6������2(5������2 + 22������ − 15) = 6������2(5������ − 3)(������ + 5) จะเหน็ วา่ อนพุ นั ธ์ท่ไี ด้น้ีเปน็ ฟงั ก์ชันพหนุ ามจดุ วกิ ฤตท้ังหมดจงึ เปน็ คา่ ของ x ที่ทาให้อนุพันธเ์ ป็น 0 น้นั คอื เราต้องแก้สมการ 6������2 5������ − 3 ������ + 5 = 0 ได้จดุ วกิ ฤต 3 จดุ คอื 1 = -5, x = 0 และ x = 3 5
ตวั อยา่ ง 2 จงหาจดุ วิกฤตทง้ั หมดของฟงั ก์ชัน ������ ������ = 3 ������2(2������ − 1) กอ่ นอน่ื จดั รูป g ใหม่เลก็ น้อย เพื่อจะไดห้ าอนพุ ันธ์ของ g ไดโ้ ดยงา่ ย ������ ������ = ������2/3 2������ − 1 = 2������5/3 − ������2/3 ������′ ������ = 10 ������2/3 − 2 ������−31 33 10������2/3 2 = 3 − 3������1/3 = 10������−2 3������1/3 เราจะไดท้ ันทีเลยว่า t = 0 เปน็ จดุ วิกฤตจดุ หน่งึ ของ g เน่ืองจาก g’(0) ไมม่ คี ่าเกิดขนึ้ (มีส่วนเปน็ 0) นอกจากน้ีเรายงั ได้ t = 1 เป็นจุดวกิ ฤตอกี จดุ หนงึ่ เนอื่ งจาก g’(1) = 0 นนั่ เอง 5 5 สรุปว่าเราไดจ้ ุดวกิ ฤต 2 g น้นั คือ t = 0 และ 1 จุดสาหรบั t = 5
ตัวอยา่ ง 3 จงหาจดุ วกิ ฤตของฟังกช์ ัน ������ ������ = ������2+1 ������2−������−6 วธิ ีทา ใชส้ ูตรอนุพนั ธ์ผลหารธรรมดาได้ ������′ ������ = (������2−������−6) 2������ − ������2+1 (2������−1) (������2−������−6)2 = −������2−14������+1 (������2−������−6)2 = −������2−14������+1 จะเหน็ ว่าอนพุ ันธไ์ มม่ ีค่าที่ w = 3 และ w = -2 ( ������−3 ������−2 )2 ดังน้นั จุดสองจุดน้ไี มถ่ ือเป็นจดุ วกิ ฤต เพราะฟงั กช์ นั ไม่นิยามที่ 2 จดุ นี้เช่นกนั ดังน้นั เราจงึ เหลอื เงอ่ื นไขเดียวสาหรับจุดวกิ ฤต น่ันคอื −������2 − 14������ + 1 = 0 ใช้สตู รการแกส้ มการกาลงั สอง ไดจ้ ุดวกิ ฤตคือ ������ = −7 + 5 2และ������ = −7 − 5 2
การหาคา่ สูงสุด - ต่าสุดสมั พทั ธ์ นยิ าม 1. ถ้า f’(x) > 0 สาหรับทุกๆ x บนชว่ ง I แล้ว จะ กลา่ วว่า f(x) มีค่าเพิม่ ขน้ึ บนชว่ ง I 2. ถา้ f’(x) < 0 สาหรับทกุ ๆ x บนชว่ ง I แลว้ จะ กล่าววา่ f(x) มคี ่าลดลงบนช่วง I
เปรยี บเทยี บการเปล่ยี นแปลงความชนั บรเิ วณจดุ สงู สดุ และจุดตา่ สดุ
ชว่ งท่ีฟังก์ชนั มคี า่ เพม่ิ ขนึ้ ไดแ้ ก่ (a, b) และ (c, d) ชว่ งทีฟ่ ังกช์ นั มีคา่ ลดลง ได้แก่ (b, c) และ (d, e)
วธิ ีทดสอบจุดวิกฤต การทดสอบโดยใชอ้ นุพนั ธอ์ ันดบั หน่ึง (First Derivative Test) สมมติให้ x = C เป็นจุดวิกฤตจุดหนึ่งของฟังกช์ ัน f 1. ถา้ f’(x) > 0 เมอ่ื x < c และ f’(x) < 0 เมอื่ x > c แลว้ f(c) จะเป็นคา่ สงู สดุ สัมพทั ธ์ 2. ถา้ f’(x) < 0 เมือ่ x < c และ f’(x) > 0 เมือ่ x > c แล้ว f(c) จะเป็นค่าต่าสดุ สมั พัทธ์ 3. ถ้า f’(x) มีเครือ่ งหมายเหมือนกนั เมื่อ x < c และ x > c แลว้ f(c) จะไมเ่ ป็นทง้ั คา่ สูงสดุ สัมพัทธ์และค่าตา่ สดุ สัมพัทธ์
ตัวอยา่ ง 4 กาหนด ������ ������ = ������5 − ������3 + 10 จงหาจดุ สูงสุด-ต่าสุดสมั พทั ธ์ 53 วธิ ีทา หาจุดวกิ ฤต ������′(������) = ������4 − ������2 = ������2(������2 − 1) แกส้ มการ ������2 ������2 − 1 = 0 ไดจ้ ุดวิกฤตมา 3 จุด ไดแ้ ก่ x = -1, x = 0 และ x = 1 ทดสอบ จุดวิกฤตทัง้ สามจะเป็นตวั แบ่งเส้นจานวนออกเป็น 4 ชว่ ง แต่ละช่วงให้เลือกคา่ x มา 1 ค่าแทนใน ������′ ������ = ������2(������2 − 1) ดเู ครอ่ื งหมาย + , - ของ f’(x) จะพบวา่ ที่ x = -1 นั้น f’(x) มีค่าเปลย่ี นจากบวกไปเป็นลบ หมายความว่าฟงั กช์ ันเปลย่ี นจากเพมิ่ ไปเปน็ ลด นัน่ คือ ท่ี x = -1 จึงเกดิ สงู สดุ สัมพัทธ์ และตรงกนั ข้ามที่ x = 1 คา่ ของ f’(x) เปล่ยี นจากลบไปเป็นบวก
ตวั อยา่ ง 4 กาหนด ������ ������ = ������5 − ������3 + 10 จงหาจดุ สูงสดุ -ต่าสดุ สัมพัทธ์ 53 นัน่ คอื ฟังก์ชันเปลย่ี นจากลดไปเป็นเพ่ิมจงึ เกดิ จดุ ตา่ สุดสมั พทั ธท์ ่ี x = 1 สว่ นที่ x = 0 นั้นไม่ได้ใหค้ ่าของฟงั กช์ นั ท่สี งู ท่ีสดุ หรอื ตา่ ทีส่ ดุ แตอ่ ยา่ งใด สรุป เราไดค้ ่าสงู สดุ สมั พัทธค์ ือ ������ −1 = 152 และได้คา่ ต่าสดุ สมั พทั ธ์คือ ������ 1 = 148 15 15 ชว่ ง (−∞, −1)และ (1, ∞) ฟงั กช์ นั มีค่าเพ่ิมขนึ้ ช่วง (-1, 1) ฟงั ก์ชนั มคี า่ ลดลง
ทฤษฎีบท ให้ f เป็นฟังกช์ ันท่มี ีค่าอนพุ ันธท์ กุ จุดในช่วง (a , b) 1.ถา้ f''(x) > 0 ทกุ ค่าของ x ในชว่ งเปดิ (a , b) แล้ว กราฟของ f จะเปน็ โค้งหงายบนช่วง (a , b) 2.ถ้า f''(x) < 0 ทุกค่าของ x ในชว่ งเปดิ (a , b) แล้ว กราฟของ f จะเป็นโคง้ คว่าบนชว่ ง (a , b)
วธิ ที ดสอบจุดวิกฤตแบบท่ี 2 การทดสอบโดยใช้อนุพนั ธ์อันดับสอง (Second Derivative Test) สมมติให้ x=c เป็นจดุ วิกฤตจุดหนึง่ ของฟังกช์ ัน f ซงึ่ เกดิ จากการแกส้ มการ f'(x) = 0 1.ถา้ f''(x) > 0 แล้ว f(c) จะเป็นค่าสูงสดุ สมั พัทธ์ 2.ถา้ f''(x) < 0 แลว้ f(c) จะเปน็ คา่ ตา่ สดุ สัมพัทธ์ 3.ถ้า f''(c) = 0 ไม่สามารถสรปุ ไดโ้ ดยวธิ กี ารน้ี
ตัวอยา่ ง 5 กาหนด ������ ������ = ������5 − ������3 + 10 จงหาจุดสงู สุด-ตา่ สดุ สมั พัทธ์ 53 วธิ ีทา จากตัวอยา่ งท่ี 3 ซ่งึ เราได้จุดวิกฤตเป็น x = -1, x = 0 และ x = 1 เราจะใชอ้ นพุ นั ธ์อันดบั สองทดสอบจดุ วิกฤต จาก ������′(������) = ������4 − ������2 ได้ ������′′ ������ = 4������3 − 2������ = 2������(2������2 − 1) คานวณ ������′′ −1 = −2 < 0 เกิดค่าสูงสดุ สัมพทั ธ์ f −1 = 152 15 ������′′ −1 = 0 เกดิ จุดต่าสดุ สัมพทั ธ์ f 0 = 10 และ ������′′ 1 = 2 > 0 เกิดจุดต่าสุดสมั พัทธ์ f 1 = 148 15 จงึ สรปุ ไดว้ า่ (−1, 152) คือจุดสูงสดุ สมั พทั ธ์ และ (0 , 0) , (1,148 ) คอื จดุ ตา่ สดุ สัมพทั ธ์ 15 15
จุดเปลีย่ นโค้ง จุดทีเ่ ส้นกราฟเปลยี่ นจากโคง้ ควา่ เป็นโคง้ หงาย หรือโคง้ หงายเป็นโค้งคว่า จะเรียกวา่ จุดเปลี่ยนโคง้ ค่า x ท่จี ดุ เปลี่ยนโคง้ นี้จะทาให้อนุพนั ธ์ อนั ดับสอง (ถา้ มี) มคี ่าเปน็ 0 ดังทฤษฎีบท
ทฤษฎีบท ให้ f เป็นฟงั กช์ นั ท่ีมคี ่าอนุพันธท์ ุกจดุ ในช่วง (a, b) และ c ∈ (a, b) ถ้าจดุ (c, f(c)) เปน็ จุดเปล่ียนโค้ง ของกราฟของ f แลว้ จะได้วา่ f\"(c) = 0 หรือ f\"(c) หาค่าไม่ได้
ตัวอยา่ ง 6 กาหนด ������ ������ = (2������2 − 2������ − 1)������−������ จงหาจุดเปลย่ี นโคง้ วธิ ีทา ������′(������) = 4������ − 3 ������−������(2������2 − 3������ − 1)������−������ = (−2������2 + 7������ − 2)������−������ ������′′ ������ = −4������ + 7 ������−������ − (−2������2 + 7������ − 2)������−������ = (2������2 − 11������ + 9)������−������ เนื่องจาก ������−������ ไมเ่ ปน็ 0 แน่ ๆ ดังนนั้ ถา้ ให้ ������′′ ������ = 0 จะไดว้ ่า 2������2 − 11������ + 9 = 0 (2������ − 9)(������ − 1) = 0 ������ = 9 , 1 2
ตวั อยา่ ง 6 กาหนด ������ ������ = (2������2 − 2������ − 1)������−������ จงหาจุดเปลี่ยนโค้ง เราจะทาการทดสอบค่า x ท่ีได้ในทานองเดยี วกับการทดสอบจุดวกิ ฤต ไดว้ า่ ที่ x = 1 กราฟเปลยี่ นจากโคง้ หงายเป็นโคง้ คว่า และท่ี ������ = 9 กราฟเปลย่ี นจากโคง้ ควา่ เปน็ โคง้ หงาย 2 จึงเกดิ จุดเปลย่ี นโคง้ ซึ่งมีพิกดั บนเส้นโค้ง f(x) เปน็ (1, −2) และ (9 , ������296/2) ������ 2
จบการนาเสนอ
Search
Read the Text Version
- 1 - 20
Pages: