ใบความรู้ที่ 1-2 พื้นที่ผิวและปริมาตรของทรงกระบอก

ใบความรู้ที่ 1 เรือ่ ง พืน้ ท่ีผวิ ของทรงกระบอก ทรงกระบอก (Cylinder) คือ ทรงสามมิติใดๆ ที่มีฐานเปน็ รูปวงกลมทีเ่ ท่ากันทุกประการ กับหน้าตัดและอยู่ในระนาบที่ขนานกนั เม่ือตดั ทรงสามมติ ดิ ว้ ยระนาบทีข่ นานกับฐานแล้ว จะไดร้ อยตดั วงกลมทเี่ ท่ากันทุกประการ กับฐานเสมอ พืน้ ทผ่ี วิ ของทรงกระบอก พื้นที่ผิวของทรงกระบอก หมายถึง ผลบวกของพื้นที่ด้านข้างกับพื้นที่ฐานทัง้ สอง จากรูป พจิ ารณาทรงกระบอกท่มี ีรศั มีของฐาน เทา่ กับ r หน่วย และความสูง เทา่ กบั h หน่วย ดงั รปู

จากรูปคลีข่ ้างตน้ สามารถหาพ้นื ท่ผี ิวของทรงกระบอกได้ ดงั น้ี พ้ืนท่ผี วิ ท่ีเป็นฐานทัง้ สองของทรงกระบอก เท่ากับ สองเทา่ ของพนื้ ทีว่ งกลม = 2r2 ตารางหน่วย พืน้ ท่ผี ิวขา้ ง เท่ากบั พน้ื ทข่ี องรูปส่เี หลีย่ มผืนผา้ ทม่ี คี วามกวา้ ง เท่ากับความสูงของทรงกระบอก และความสูง เท่ากบั ความยาวของเส้นรอบวงของวงกลมของฐานทรงกระบอก จะได้ พืน้ ทผี่ ิวขา้ ง = h2r ตารางหน่วย = 2rh ตารางหน่วย ดงั น้ัน พ้ืนท่ีผิวของทรงกระบอก เทา่ กับ สองเท่าของพืน้ ท่ีฐาน รวมกับพืน้ ทผ่ี ิวข้าง = 2r2 + 2rh ตารางหน่วย ตวั อย่างที่ 1 หาพนื้ ที่ผวิ ของรูปเรขาคณติ สามมิติ ซึ่งมีฐานเป็นคร่ึงหนึ่งของรปู วงกลมท่มี ี รัศมี 2.2 เซนติเมตร และมีความยาว 8 เซนติเมตร (กำหนดให้   3.14) เนอื่ งจากรปู เรขาคณติ สามมติ ิรปู นี้ มีฐานเปน็ ครงึ่ หน่ึงของรูปวงกลม จะได้ พืน้ ที่ฐาน เท่ากับ 1 r2 2 พื้นท่ฐี าน = 1  (2.2)2 2  1  3.14 2.2 2.2 2  7.6 ตารางเซนติเมตร และพ้ืนทผ่ี วิ ข้าง เทา่ กบั ความยาวเส้นรอบวง X ความสงู จะได้ พืน้ ทผี่ ิวขา้ ง เท่ากับ 1 ของเสน้ รอบวง X ความสงู 2 พนื้ ทผ่ี ิวขา้ ง = 1 (2 r) h 2 พื้นทผ่ี วิ ขา้ ง  (1  23.14 2.2)8 2 พืน้ ทผ่ี วิ ขา้ ง = 55.26 ตารางเซนตเิ มตร พน้ื ที่ผวิ ของรปู เรขาคณิตสามมิติ เทา่ กบั สองเท่าของพ้นื ที่ฐาน + พ้นื ทผ่ี ิวขา้ ง พืน้ ทข่ี องรปู เรขาคณิตสามมติ ิ ประมาณ (2 X 7.6) + 55.26 ≈ 70.46 ตารางเซนติเมตร ดงั นน้ั พืน้ ทผี่ วิ ของรูปเรขาคณิตสามมิติประมาณ 70.46 ตารางเซนตเิ มตร

ตวั อยา่ งท่ี 2 หาพืน้ ท่ีผิวของทรงกระบอกทม่ี ีเสน้ ผ่านศนู ย์กลาง เท่ากับ 8 เซนติเมตร และสูง 14 เซนติเมตร (กำหนดให้   22 ) 7 โจทย์กำหนดให้ ทรงกระบอกมีเสน้ ผ่านศนู ยก์ ลางยาว 8 เซนตเิ มตร จะได้ รัศมยี าว เท่ากับ 1 ของเส้นผ่านศูนย์กลาง 2 รัศมี = 1 8 2 = 4 เซนตเิ มตร จากพนื้ ท่ผี วิ ของทรงกระบอก เท่ากบั 2r2 + 2rh พืน้ ที่ผิวของทรงกระบอก   2 22  4  4  +  2  22  4 14   7   7  ≈ 105.57 + 352 ≈ 452.57 ดงั นน้ั พนื้ ทีผ่ ิวของทรงกระบอกประมาณ 452.57 ตารางเซนตเิ มตร ตวั อยา่ งท่ี 2 ทรงกระบอกสงู 16 เซนตเิ มตร เส้นผ่านศนู ยก์ ลางของฐานยาว 5 เซนติเมตร พื้นทีผ่ ิวขา้ งและพนื้ ทผ่ี ิวของทรงกระบอกเป็นเทา่ ไร (กำหนด   3.14) วิธีทำ จากสูตร พืน้ ทีผ่ ิวข้างของทรงกระบอก = 2rh จากสตู ร พ้นื ท่ีผวิ ของทรงกระบอก  23.14 2.516  251.2 ตารางเซนติเมตร = 2 rh + 2 r2   251.2 + 23.14(2.5)2  251.2 + 39.25  290.45 ตารางเซนติเมตร ตอบ พน้ื ทีผ่ วิ ขา้ งของทรงกระบอกประมาณ 251.2 ตารางเซนตเิ มตร และพืน้ ทีผ่ ิวของ ทรงกระบอกประมาณ 290.45 ตารางเซนตเิ มตร

ใบความรทู้ ่ี 2 เร่อื ง ปรมิ าตรของทรงกระบอก ปรมิ าตรของทรงกระบอก = พนื้ ท่ีวงกลม × ความสงู พ้ืนท่ีวงกลม = r2 ดังนนั้ ปริมาตรของทรงกระบอก = r2h เมื่อ r แทนรัศมีของวงกลมที่เปนฐาน และ h แทนสวนสูงของทรงกระบอก โดยท่ี  = 3.14 หรือ  = 22 7 ปริมาตรของทรงกระบอก =r2h ตัวอย่าง 1 จงหาพนื้ ทฐี่ านและปริมาตรของทรงกระบอกจากรูปต่อไปนี้ ตวั อย่างท่ี 2 วธิ ีทำ พ้นื ทฐี่ านของทรงกระบอก = r2 = 3.14 22 = 3.14 × 2 x 2 = 12.56 ตารางหน่วย ปรมิ าตรของทรงกระบอก = r2h = 12.56 × 14 = 176 ลกู บาศกหน่วย ดังน้นั ปริมาตรของทรงกระบอกเทากับ 176 ลูกบาศกหน่วย จงหาปรมิ าตรของทรงกระบอกจากรูปตอไปนี้ (กำหนด  = 3.14) วธิ ีทำ ปรมิ าตรของทรงกระบอก = พืน้ ที่ฐาน × ความสูง = r2h = 3.14 × 3 × 3 × 6 = 169.56 ลกู บาศกเซนตเิ มตร ดังนนั้ ปรมิ าตรของทรงกระบอกเทากับ 169.56 ลูกบาศกเซนตเิ มตร