calculus

ก คานา เอกสารประกอบการสอน เรื่อง แคลคูลัสเบื้องต้น วิชาคณิตศาสตร์เพ่ิมเติม 6 รหัสวิชา ค33202 จัดทาขึ้นเพ่ือใช้เป็นเคร่ืองมือสาหรับปรับปรุง พัฒนาผลสัมฤทธ์ิทางการเรียนและเจตคติ ของนักเรียนชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 6 นอกจากน้ียังเป็นคู่มือในการสอนซ่อมเสริมแก่ผู้เรียน เพ่ือลด ปัญหาเรื่องความแตกต่างระหว่างบุคคลได้ด้วย โดยได้รวบรวมเน้ือหาท่ีเป็นความรู้จากตารา และ เอกสารทางวิชาการหลากหลาย มีตัวอย่างและข้อคาถามเพ่ือทบทวนความรู้ความเข้าใจในบทเรียน และเมื่อเสร็จส้ินกระบวนการเรียนรู้ตามลาดับขั้นตอนแล้ว นักเรียนจะได้รับการทดสอบ เพ่ือ ประเมินผลการเรยี นรู้ โดยกาหนดเน้ือหายอ่ ยออกเปน็ 9 เลม่ ดงั นี้ เล่มท่ี 1 ลิมิตของฟังก์ชนั เล่มที่ 2 ความตอ่ เนือ่ งของฟังกช์ นั เล่มที่ 3 อตั ราการเปล่ียนแปลงของฟังก์ชัน เลม่ ท่ี 4 อนุพันธข์ องฟังก์ชัน เล่มที่ 5 ความชนั ของเส้นโค้ง เล่มที่ 6 อนุพันธข์ องฟงั ก์ชนั คอมโพสิท และอนพุ ันธอ์ นั ดับสูง เล่มที่ 7 การประยุกต์อนุพันธ์ เลม่ ท่ี 8 กระบวนการตรงกนั ข้ามกับการหาอนุพนั ธ์ หรอื การอนิ ทเิ กรต เล่มท่ี 9 พนื้ ทท่ี ี่ปดิ ลอ้ มด้วยเสน้ โค้ง ผู้จัดทาหวังเป็นอย่างย่ิงว่าเอกสารประกอบการสอน เร่ือง แคลคูลัสเบ้ืองต้น วิชา คณิตศาสตร์เพิ่มเติม 6 รหัสวิชา ค33202 ชุดน้ี จะมีส่วนช่วยในการศึกษาเนื้อหาให้เข้าใจได้ง่าย ตลอดเสรมิ สร้างการเรยี นรดู้ ้วยตนเองใหม้ คี วามชัดเจนยิง่ ขนึ้ สามารถพัฒนาผลสมั ฤทธ์ทิ างการเรียน และเจตคติของผู้เรียนให้สูงขึ้นได้ และหวังว่าคงเป็นประโยชน์ต่อผู้สนใจที่จะนาไปใช้เป็นแนวทาง ในการปรับปรุงการเรียนการสอน และนวตั กรรมทางการศกึ ษา วชั รี ขันเชือ้

ข สารบญั หนา้ ก คานา ข สารบัญ ค คาชแ้ี จงการใชเ้ อกสารประกอบการสอนสาหรับครู ง คาช้ีแจงการใชเ้ อกสารประกอบการสอนสาหรับนักเรยี น 1 แบบทดสอบวดั ผลสมั ฤทธิ์กอ่ นเรยี น 5 ใบความรู้ท่ี 1 เร่ือง ลมิ ิตของฟงั ก์ชนั 12 แบบฝกึ ทักษะชุดท่ี 1 เรอ่ื ง การหาลิมิตขา้ งเดียวของฟังก์ชนั 13 แบบฝกึ ทักษะชุดที่ 2 เรื่อง การหาลมิ ติ ข้างเดยี วของฟงั ก์ชันจากกราฟ 15 แบบฝกึ ทักษะชดุ ที่ 3 เรื่อง การหาลิมิตสองด้าน 17 ใบความรู้ที่ 2 เร่ือง ลมิ ิตของฟงั ก์ชัน 23 แบบฝกึ ทกั ษะชุดท่ี 4 เรอ่ื ง การหาลมิ ติ ของฟังก์ชนั ท่ีอยใู่ นรูปไม่กาหนด  0  26 0 28 แบบฝึกทกั ษะชุดที่ 5 เรื่อง การลิมิตของฟงั กช์ ันโดยการใชส้ ตู ร 32 แบบทดสอบวัดผลสัมฤทธิ์กอ่ นเรยี น 33 ภาคผนวก เฉลยแบบฝึกทกั ษะชุดที่ 1 เรอ่ื ง การหาลมิ ติ ขา้ งเดยี วของฟงั กช์ นั เฉลยแบบฝึกทกั ษะชุดที่ 2 เร่ือง การหาลิมติ ข้างเดียวของฟังก์ชันจากกราฟ

เฉลยแบบฝกึ ทกั ษะชุดที่ 3 เร่อื ง การหาลมิ ิตสองดา้ น 34 36 เฉลยแบบฝกึ ทักษะชดุ ที่ 4 เรอื่ ง การหาลมิ ิตของฟังก์ชันที่อยูใ่ นรูปไม่กาหนด  0  38 0 39 39 เฉลยแบบฝกึ ทกั ษะชุดท่ี 5 เรอ่ื ง การลมิ ิตของฟังกช์ นั โดยการใช้สตู ร เฉลยแบบทดสอบวดั ผลสัมฤทธิก์ อ่ นเรียน เฉลยแบบทดสอบวัดผลสัมฤทธิ์หลังเรียน ค คาชีแ้ จงการใช้เอกสารประกอบการสอนสาหรบั ครู เอกสารประกอบการสอน เรอื่ ง แคลคูลสั เบอื้ งตน้ วิชาคณติ ศาสตร์เพิม่ เตมิ 6 (ค33202) ชัน้ มัธยมศึกษาปที ่ี 6 เอกสารประกอบการสอน เร่ือง แคลคูลัสเบื้องต้น วิชาคณิตศาสตร์เพิ่มเติม 6 (ค33202) ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 6จัดทาขึ้นเพื่อเป็นเคร่ืองมือช่วยในการจัดกิจกรรมการเรียนการสอนกลุ่มสาระ การเรียนรู้คณิตศาสตร์ เป็นส่ือการเรียนการสอนท่ีนักเรียนสามารถใช้เป็นคู่มือเพ่ือพัฒนา การเรยี นรดู้ ว้ ยตนเองใหบ้ รรลวุ ตั ถปุ ระสงค์อยา่ งมปี ระสทิ ธิภาพ ครผู ้สู อนควรดาเนนิ การดังนี้ 1. ครูผู้สอนต้องศึกษาและทาความเขา้ ใจเก่ียวกับคู่มือครู แผนการจัดการเรยี นรู้ เพื่อใหค้ รูนาเอกสารประกอบการสอน เรือ่ ง แคลคลู ัสเบือ้ งตน้ ไปใช้จัดกจิ กรรมการเรียนรู้ได้ อยา่ งมีประสิทธิภาพตอ่ ไป 2. ผ้สู อนจัดเตรียมสอื่ การเรียนการสอนอนื่ ๆ พร้อมใบงานตา่ งๆ สาหรบั นักเรยี นให้ พรอ้ มและเพยี งพอ 3. กอ่ นดาเนินการจัดกิจกรรมการเรียนรู้ ครูต้องจดั เตรียมเอกสารประกอบการสอน ให้เพยี งพอกบั จานวนนกั เรยี น

4. ก่อนดาเนินการปฏบิ ัตกิ รรมการเรียนรู้ ครูต้องช้ีแจงใหน้ กั เรยี นรู้จักและเข้าใจ บทบาทหน้าทข่ี องนกั เรียนในการเรยี นรโู้ ดยใชเ้ อกสารประกอบการสอน เร่อื ง แคลคูลัส เบ้ืองต้น ชนั้ มธั ยมศึกษาปีที่ 6 เพือ่ ใหเ้ กิดประสทิ ธิภาพในการเรยี นรู้ดังนี้ 4.1 ศกึ ษาสาระสาคัญ ผลการเรียนรู้ และจดุ ประสงค์การเรียนรู้ในเร่ืองท่ีจะเรียนให้ เขา้ ใจเสยี ก่อน 4.2 นักเรยี นทาแบบทดสอบก่อนเรยี น 4.3 ศึกษาเนอ้ื หาในใบความรู้ และทาแบบฝึกทักษะใหค้ รบ แลว้ ตรวจคาตอบ บนั ทึกคะแนนของแตล่ ะแบบฝึกทกั ษะให้ครบ 4.4 ถ้าพบว่ามนี กั เรยี นคนใดทาแบบฝึกทกั ษะไดผ้ ลสัมฤทธ์ิต่ากว่า ร้อยละ 80 ให้ย้อนกลบั ไปศึกษาเนอื้ หาใบความรใู้ หม่ และทาการประเมินความร้จู ากแบบฝกึ ทักษะอีกคร้ัง 4.5 นักเรยี นทาแบบทดสอบหลังเรียน 4.6 ตรวจคาตอบแบบทดสอบกอ่ นเรยี นและแบบทดสอบหลังเรียน 4.7 นักเรียนตอ้ งมคี วามซ่อื สตั ย์ต่อตนเอง โดยไมด่ ูเฉลยคาตอบทั้งก่อน และ ระหว่างการทาแบบฝึกทักษะโดยเด็ดขาด ง คาช้แี จงการใชเ้ อกสารประกอบการสอนสาหรบั นักเรยี น เอกสารประกอบการสอน เรอื่ ง แคลคูลสั เบอื้ งต้น วิชาคณติ ศาสตรเ์ พม่ิ เตมิ 6 (ค33202) ช้นั มธั ยมศกึ ษาปีท่ี 6 เอกสารประกอบการสอน เรื่อง แคลคูลัสเบ้ืองต้น วิชาคณิตศาสตร์เพิ่มเติม 6 (ค33202) ชัน้ มัธยมศึกษาปีท่ี 6เปน็ เอกสารทนี่ ักเรยี นสามารถศึกษาในชั้นเรียนปกติหรือเรียนรู้ด้วยตนเอง ให้นักเรียนอ่านคาแนะนา ทาตามคาชี้แจงแต่ละข้ันตอนตั้งแต่ต้นจนจบ นักเรียนจะได้รับความรู้ อย่างครบถว้ น โดยปฏิบัตติ ามข้ันตอนดังต่อไปน้ี

1. ศึกษาสาระสาคัญ ผลการเรียนรู้ และจุดประสงค์การเรียนรู้ในเร่ืองท่ีจะเรียนให้ เขา้ ใจเสียก่อน 2. นกั เรียนทาแบบทดสอบก่อนเรยี น 3. ศกึ ษาเนื้อหาในใบความรู้ และทาแบบฝึกทักษะให้ครบ แล้วตรวจคาตอบ บันทึก คะแนนของแตล่ ะแบบฝึกทกั ษะใหค้ รบ 4. ถ้าพบว่ามีนักเรียนคนใดทาแบบฝึกทักษะได้ผลสัมฤทธ์ิต่ากว่า ร้อยละ 80 ให้ ยอ้ นกลบั ไปศกึ ษาเนือ้ หาใบความรูใ้ หม่และทาการประเมินความรู้จากแบบฝกึ ทักษะอีกครั้ง 5. นักเรยี นทาแบบทดสอบหลงั เรียน 6. ตรวจคาตอบแบบทดสอบกอ่ นเรยี นและแบบทดสอบหลังเรียน 7. นักเรียนต้องมีความซ่ือสัตย์ต่อตนเอง โดยไม่ดูเฉลยคาตอบทั้งก่อนและระหว่าง การทาแบบฝกึ ทักษะโดยเดด็ ขาด 8. หากนกั เรยี นต้องการศึกษาเพิม่ เตมิ สามารถศึกษาได้จากหนังสือเรียนและเอกสาร ท่ปี รากฏในบรรณานุกรมท้ายเล่มเอกสารประกอบการสอน เรื่อง แคลคูลัสเบื้องต้น ชั้นมัธยมศึกษา ปที ่ี 6 แบบทดสอบวัดผลสมั ฤทธิก์ ่อนเรยี น 1 เร่อื ง การลมิ ติ ของฟงั กช์ ัน คาชแี้ จง : แบบทดสอบวัดผลสมั ฤทธ์ทิ างการเรยี น เรื่อง ลมิ ติ ของฟังกช์ ัน ฉบับนี้มขี อ้ สอบ 15 ข้อ เปน็ แบบปรนยั ชนดิ เลือกตอบ 4 ตัวเลอื ก ให้นกั เรียนทาเครือ่ งหมาย  หนา้ คาตอบท่ีถูกท่ีสุดเพียงขอ้ เดยี ว ขอ้ ละ 1 คะแนน เวลาท่ใี ช้ในการสอบ 20 นาที

1. จากกราฟทก่ี าหนดให้ ขอ้ ใดไม่ถกู ตอ้ ง ก. lim f(x)  1 ข. lim f(x)  0 x1 x1 ค. lim f(x) หาค่าไมไ่ ด้ ง. lim f(x)  1,0 x1 x1 2. จากกราฟทก่ี าหนดใหข้ ้อใดไมถ่ ูกตอ้ ง ก. lim f(x)  3 ข. lim f(x)  2 x2 x2 ค. lim f(x)  3,2 ง. lim f(x) หาค่าไมไ่ ด้ x1 x2 2 3. กาหนดให้ f(x) =  1 เมอื่ x  0 แลว้ f(x) มีลิมิตท่ี 0 หรือไม่ -1 เมอ่ื x  0 ก. มี เพราะ lim f(x)  1 ข. มีเพราะ lim f(x)  1 x0 x0 ค. ไม่มี เพราะ lim f(x)  lim f(x) ง. ไม่มี เพราะ lim f(x)  1 x0 x0 x0 4. lim x2 16 มีค่าตรงกับข้อใด ข. 6 x4 x  4 ก. 5 ค. 7 ง. 8

5. lim x2  5x  6 เทา่ กบั ขอ้ ใด ข. 3 x3 x  3 ง. -3 ก. 1 ข. 0.25 ค. -1 ง. 0.65 6. lim x 1 เท่ากับเท่าใด ข. 6 7 x1 x 1 ง. 9 ก. 0 7 ค. 0.50 ข. 2 ง. 0 7. lim x2  x  6 เท่ากับขอ้ ใด x2  x 12 ข. 4 x3 ง. 6 ก. 5 7 ค. 8 7 8. lim x3 1 เทา่ กบั ขอ้ ใด x1 x  1 ก. 3 ค. 1 9. lim x  4 เท่ากับข้อใด x4 x  2 ก. 0 ค. -4 3 10. ถ้า f(x) = 3x ; x  2 แล้ว lim f(x) เท่ากับขอ้ ใด  ; x  2 2x 2 1 x2 ก. 6 ข. 9 ค. 11 ง. หาค่าไม่ได้ 11. ถ้า f(x) = x 1 ; x  3 แล้ว lim f(x) เทา่ กับข้อใด 3 ; x3 x 3

ก. 7 ข. 9 ค. 10 ง. หาค่าไมไ่ ด้ 12. lim 2x 3 เทา่ กบั ขอ้ ใด ข. 1 x2 ง. หาค่าไม่ได้ ก. -1 ค. -3 ข. 5 ง. 57 13. limx4 x 1 มีค่าเท่ากับขอ้ ใด x5 ก. 500 ค. 2,500 14. lim x2  9 มีค่าเทา่ กับขอ้ ใด ข. 0 x3 1  x ง. -6 ก.  ค. 6 15. ข้อใดต่อไปน้ีไม่ถูกตอ้ ง ก. = 10limx2 25  ข. =lxim93x 1 x  5 9 x 6 x5 ค. = 1limx2 x 1 2  ง. =lim  2x 2 x  3  5  x  x1 x2  4x  5 6 x1 4 ลมิ ิตของฟงั ก์ชัน

ผลการเรยี นรู้ หาอนพุ นั ธข์ องฟงั กช์ ันท่กี าหนดให้ได้ จุดประสงค์ นักเรยี นสามารถบอกไดว้ ่าฟงั กช์ ัน y = f(x) ท่ีกาหนดให้มลี ิมติ ท่ี a หรือไม่ และถา้ มีสามารถหาลิมิตของฟังกช์ นั ได้ สาระสาคญั กาหนดฟังก์ชนั f(x) และ a เป็นจานวนจริงแลว้ ลิมิตของฟังกช์ นั f(x) ในขณะ ที่ x เขา้ ใกล้ a มีคา่ เท่ากับ L กต็ อ่ เมื่อ ค่าของ f(x) มีค่าเข้าใกล้ L ในขณะที่ x เขา้ ใกล้ a ทั้ง ทางดา้ นซ้ายมือและขวามอื ของ a เขียนแทนดว้ ยสัญลักษณ์ =L นั่นคอื = Lกต็ อ่ เม่ือ = เริม่ ศึกษา เรอื่ ง ลิมติ ของฟงั ก์ชนั พร้อมกนั เลยนะคะ

5 ใบความรูท้ ี่ 1 เรอ่ื ง ลิมติ ของฟงั ก์ชนั (Limit of function) ลิมติ ของฟังก์ชนั อ่านว่า “ลมิ ติ ของ f(x) เม่อื x เขา้ ใกล้ a” หมายถึง ค่าประมาณของ f(x) เมอื่ x มีคา่ ประมาณ a เชน่ ถ้า f(x) = 2x + 5 จะเหน็ ว่าเมื่อ x ประมาณ 4 จะได้ f(x) ประมาณ2(4) + 5 = 8 + 5 = 13 ดงั นั้นอาจสรปุ ไดว้ า่ = 13 1. ลิมิตด้านเดยี ว (One-side limits) 1.1 ลมิ ิตซ้าย (left-hand limits) กาหนดฟังก์ชัน f(x) และ a เปน็ จานวนจริง กล่าวว่า ลิมิตของ f(x) เมอ่ื x เขา้ ใกล้ a ทางซ้ายมือ กต็ ่อเมือ่ มีจานวนจริง L ทท่ี าใหค้ ่าของ f(x) เข้าใกล้ L ในขณะท่ี x เข้าใกล้ a ทาง ซ้ายมือ เขียนแทนดว้ ยสัญลกั ษณ์ lim f(x) = L xa 1.2 ลมิ ิตขวา (right-hand limits) กาหนดฟงั ก์ชัน f(x) และ a เปน็ จานวนจริง กล่าวว่า ลมิ ติ ของ f(x) เมื่อ x เขา้ ใกล้ a ทางขวามอื ก็ต่อเมอ่ื มีจานวนจรงิ L ท่ีทาให้ค่าของ f(x) เข้าใกล้ L ในขณะท่ี x เข้าใกล้ a ทาง ขวามอื เขียนแทนดว้ ยสัญลักษณ์ lim f(x) = L xa

ตัวอยา่ งที่ 1 กาหนดให้ f(x) = จงพิจารณาว่า f(x) เม่อื x เข้าใกล้ 3 จงหา 1) 2) วธิ ที า 1) สรา้ งตารางความสัมพันธข์ อง x และ y เมื่อ x < 3 และมีคา่ เข้าใกล้ 3 บางค่า ดังน้ี 6 x 2.9 2.99 2.999 … f(x) = x2 + x + 1 12.31 12.9301 12.993001 … ดังนนั้ lim x2  x 1= 13 x 3 2) สรา้ งตารางความสมั พันธข์ อง x และ y เมื่อ x > 3 และมคี า่ เขา้ ใกล้ 3 บางค่า ดงั นี้ x 3.1 3.01 3.001 … f(x) = x2 + x + 1 13.71 13.0701 13.007001 … ดังน้ัน lim x2  x 1= 13 x 3 ตัวอย่างท่ี 2 กาหนดให้ f(x) = x2  2x  4 เมอ่ื x เข้าใกล้ 2 จงหา 1) lim f(x) x2 2) lim f(x) x2 x  2 x  2 2 วธิ ที า 1) สรา้ งตารางความสมั พนั ธ์ของ x และ y เมอ่ื x <2และมีค่าเข้าใกล้ 2 บางค่า ดงั น้ี x 1.9 1.99 1.999 … f(x) = x2 3.61 3.9601 3.996001 … ดงั นน้ั lim f(x) = 4 x2 2) สร้างตารางความสมั พนั ธข์ อง x และ y เมอ่ื x >2 และมีคา่ เข้าใกล้ 2 บางค่า ดงั นี้ x 2.1 2.01 2.001 …

f(x) = x + 2 4.1 4.01 4.001 … 7 ดังน้นั lim f(x) = 4 x2 2x  5 เมอื่ x  1 ตัวอย่างท่ี 3 กาหนดให้ f(x) = 6 เมอ่ื x  1 9 เมอื่ x  1 จงหา 1) lim f(x) 2) lim f(x) x 1 x 1 วิธีทา 1) สรา้ งตารางความสัมพันธ์ของ x และ y เมือ่ x <1และมีคา่ เขา้ ใกล้ 1บางค่า ดงั น้ี x 0.9 0.99 0.999 … f(x) = x + 5 6.8 6.98 6.998 … ดงั นัน้ lim f(x) = 7 x 1 2) สรา้ งตารางความสัมพนั ธข์ อง x และ y เมอ่ื x >1และมีค่าเข้าใกล้ 1บางคา่ ดงั นี้ x 1.1 1.01 1.001 … f(x) = 9 9 9 9 … ดังนั้น lim f(x) = 9 x 1 จะเห็นได้ว่า lim f(x) ≠ lim f(x) x 1 x 1 หนเู ข้าใจแล้วคะ่ คณุ ครู

8 2. ลิมิตสองดา้ น (Two-side limits) เปน็ การพิจารณาลิมติ ของฟังก์ชนั ทั้งทางซา้ ยและลมิ ติ ทางขวา ของจานวนจริง จานวนหนึ่ง นัน่ คือ ต้องการพิจารณาค่าของ f(x) ในขณะท่ี x เขา้ ใกล้ a ซึง่ คาวา่ “เขา้ ใกล้ a” หมายถึง เขา้ ใกลท้ ้ังสองดา้ น คอื ดา้ นซ้ายมอื ของ a และดา้ นขวามือของ a เชน่ กาหนดฟงั ก์ชัน f(x) = x + 3 เปน็ กราฟเส้นตรง ดงั รูป จากกราฟ f(x) จะพบว่า เมื่อ x เข้าใกล้ 2 จะพบวา่ = ถา้ x  2 แล้วจะได้ lim f(x) = 5 x 1 ถ้า x  2 แล้วจะได้ lim f(x) = 5 x 1 สรุปไดว้ า่ ลมิ ติ ของ f(x) ในขณะท่ี x เขา้ ใกล้ 2 มคี า่ เท่ากับ 5 จึงเขยี นแทนได้ด้วย 5 หมายเหตุ สญั ลักษณ์ x 2 หมายถึง x เข้าใกล้ 2 ทงั้ สองดา้ น

กาหนดฟงั กช์ นั f(x) และ a เป็นจานวนจรงิ แล้ว ลิมิตของฟังกช์ นั f(x) ในขณะท่ี x เข้าใกล้ a มคี า่ เท่ากับ L ก็ต่อเม่ือ ค่าของ f(x) มคี า่ เข้าใกล้ L ในขณะที่ x เข้าใกล้ a ทง้ั ทางด้านซ้ายมอื และขวามอื ของ a เขียนแทนดว้ ยสญั ลักษณ์ = L นั่นคอื = L ก็ต่อเมอ่ื = ตวั อย่างที่ 4 กาหนดให้ f(x) = x212x 1 เมอื่ x  0 9 1 เมอื่ x  0 f(x) = จงหา 1) lim f(x) 2) lim f(x) x0 x2 วิธที า f(x) = x2 + 1 จากกราฟของ f(x) จะพบวา่ 1) เมอ่ื x < 0 แล้วจะได้ lim f(x) = lim (x2 1) = 1 x0 x0 เมือ่ x > 0 แล้วจะได้ lim f(x) = lim (x2 1) = 1 x0 x0

2) เมอื่ x < 2 แลว้ จะได้ lim f(x) = lim (1 x 1) = 2 x2 2x2 เม่ือ x > 2 แลว้ จะได้ lim f(x) = lim (1 x 1) = 2 x2 2x2 ผมเขา้ ใจแลว้ ครับ 10 สรุปหลักการของลมิ ิตด้านเดยี วและลมิ ิตสองดา้ นของฟงั กช์ ัน ถา้ กาหนดฟังก์ชัน f และ a เป็นจานวนจริงแล้ว ลิมิตของ f(x) ในขณะที่ x เข้าใกล้ a มคี ่าเท่ากบั L ก็ตอ่ เมอื่ ค่าของ f(x) มีค่าเข้าใกล้ L ในขณะท่ี x เข้า ใกล้ a ท้งั ทางซ้ายและทางขวา ซงึ่ เขยี นขอ้ ความของ ลมิ ติ ของ f(x) ในขณะท่ี x เข้า ใกล้ a มคี า่ เทา่ กับ L แทนด้วยสญั ลักษณ์ =L ดงั นน้ั จงึ กลา่ วได้วา่ = L กต็ อ่ เมือ่ = L และ =L หมายเหตุ 1. กรณที ่ี = A และ = B โดยที่ A≠B จะกลา่ วว่า หาคา่ ไม่ได้ 2. ถ้า หรือ หาคา่ ไมไ่ ด้ แล้วจะกลา่ วว่า หาคา่ ไม่ได้

ตวั อยา่ งท่ี 5 กาหนดให้ f(x) = x  2 เมอื่ x  1 จงหา lim f(x)  เมอ่ื x  1 x 2 x  1 วิธีทา จะเหน็ ว่าฟงั ก์ชนั f แบ่งเป็น 2 กรณี ท้ังในกรณี x 1 และกรณี x 1 ดังนนั้ จงึ ตอ้ งแยกหาลิมิตซา้ ยขวา lim f(x) = lim x2 = (-1)2 = 1 x 1 x 1 lim f(x) = lim x  2 = (-1)  2 = 1 x 1 x 1 จะเห็นว่า lim f(x) = lim f(x) ดงั นน้ั lim f(x) = 1 x 1 x 1 x  1 11 ตวั อยา่ งที่ 6 กาหนดให้ f(x) = x  2 เมอ่ื x  1 จงหา lim f(x)  เมอ่ื x  1 x 2 x 1 วิธที า จะเห็นว่าฟังกช์ นั f แบง่ เปน็ 2 กรณี ทั้งในกรณี x 1 และกรณี x 1 ดังนน้ั จึงต้องแยกหาลิมติ ซา้ ยขวา lim f(x) = lim x2 = 12 = 1 x 1 x 1 lim f(x) = lim x  2 = 1 2 = 3 x 1 x 1 จะเหน็ วา่ lim f(x) ≠ lim f(x) ดงั นน้ั lim f(x) หาค่าไม่ได้ x 1 x 1 x 1

ตัวอย่างท่ี 7 กาหนดให้ f(x) = x จงหา lim f(x) x x0 วธิ ที า จะเห็นว่าฟังกช์ ัน f มีค่าสมั บูรณ์ของ x ดงั นั้น ฟงั กช์ นั f จะถกู แบ่งออกเป็น 2 กรณี ดงั น้ี x เมอื่ x  0  เมอ่ื x  0 f(x) =  x  -x  x จะเหน็ วา่ ฟังก์ชัน f แบง่ เปน็ 2 กรณี ท้งั ในกรณี x  0 และกรณี x  0 ดังนนั้ จึงต้องแยกหาลมิ ิตซา้ ยขวา lim f(x) = lim  x = lim 1= -1 x0 xx 0 x0 lim f(x) = lim x = lim 1= 1 x0 xx0 x0 แบบฝกึ ทกั ษะชดุ ที่ 1 เร่อื ง การหาลมิ ติ ขา้ งเดยี วของฟงั ก์ชัน จะเหน็ ว่า lim f(x) ≠ lim f(x) ดงั นน้ั lim f(x) หาคา่ ไมไ่ ด้ 12 x0 x0 x0 คาช้แี จง จงหาลมิ ิตของฟงั ก์ชันโดยพิจารณาลิมติ ข้างเดยี วโดยใช้ตารางแสดงความสมั พันธ์ 1. จงพิจารณาฟังกช์ นั f(x) = x + 5 ขณะที่ x เขา้ ใกล้ 2 โดยเตมิ คา่ ของ f(x) ลงในตารางต่อไปนี้ x<2 x>2 = …………………………… x f(x) x f(x) = …………………………… 1.5 ….………… 2.5 ….………… = …………………………… 1.9 ….………… 2.1 ….…………

1.99 ….………… 2.01 ….………… 1.999 ….………… 2.001 ….………… 2. จงพิจารณาฟงั กช์ ัน f(x) = 2x – 1 ขณะท่ี x เข้าใกล้ 3 โดยเติมค่าของ f(x) ลงในตารางตอ่ ไปน้ี x <3 x >3 = …………………………… x f(x) x f(x) = …………………………… 2.5 ….………… 3.5 ….………… = …………………………… 2.9 ….………… 3.1 ….………… 2.99 ….………… 3.01 ….………… 2.999 ….………… 3.001 ….………… 13 แบบฝึกทกั ษะชุดที่ 2 เร่อื ง การหาลมิ ติ ของฟงั ก์ชนั จากกราฟ คาช้ีแจง จงหาลิมติ จากกราฟทก่ี าหนดให้ 1.

= ……………………………………….. = ……………………………….……….. 2. = ……………………………………….. = ……………………………….……….. 14 3. = ……………………………………….. = ……………………………….………..

4. = ……………………………………….. = ……………………………….……….. = ……………………………….……….. ไม่เข้าใจให้ถามคณุ ครูนะคะ แบบฝึกทกั ษะชุดท่ี 3 15 เร่อื ง การหาลิมติ สองด้าน คาชีแ้ จง จงหาคา่ ของลิมติ จากฟังก์ชนั ท่ีกาหนดใหต้ อ่ ไปนี้ 1. จงหาคา่ ของ lim f(x) เมือ่ f(x) = 2x 1 เมอ่ื x 1 4x -1 เมอ่ื x 1 x 1 ............................................................................................................................. .......................................

........................................................................................... ......................................................................... ............................................................................................................................. ....................................... .............................................................................................................................................. ...................... 2. จงหาค่า lim f(x) เมือ่ f(x) = 2 - x เมอื่ x 0 3x 1 เมอื่ x 0 x0 ............................................................................................................................. ....................................... ........................................................................................... ......................................................................... ............................................................................................................................. ....................................... .............................................................................................................................................. ...................... 3. จงหาค่า เมื่อ f(x) =  x2  3x  2 เมอื่ x0  เมอ่ื x0 lim f(x)  2x 2x  3 x2 ............................................................................................................................. ....................................... ........................................................................................... ......................................................................... ............................................................................................................................. ....................................... .............................................................................................................................................. ...................... 16 4. จงหาค่า lim f(x) เมือ่ f(x) = x 1 x2 1 x 1 ............................................................................................................................. ....................................... ........................................................................................... ......................................................................... ............................................................................................................................. ....................................... .............................................................................................................................................. ......................

5. จงหาคา่ lim f(x) เมอ่ื f(x) = x  2 x2 x2  3x  2 ................................................................................................................................................................... . ............................................................................................................................. ....................................... ............................................................................................................................. ....................................... ............................................................................................................................. ....................................... เกง่ มากคะ่ นกั เรยี นทาแบบฝึกทกั ษะ ถูกหมดทุกคนเลย เย่ยี มมากค่ะ 17 ใบความรทู้ ่ี 2 เรอ่ื ง การหาลิมติ ของฟังก์ชนั

ในการหา lim f(x) เราจะลองแทนคา่ x = a ก่อนเป็นอนั ดับแรก xa เชน่ lim 2x - 7 = (2×1) – 7 = -5 x1 lim x2 - 2x  3= (-3)2 – 2(-3) + 3 = 9 + 6 + 3 = 18 x3 lim 2x  3 = 1 + 3 = 7 x1 22 เม่ือเราหาคา่ lim f(x) ดว้ ยการแทนคา่ x = a ก่อน เป็นอันดับแรกดงั ตัวอย่างขา้ งบน xa แต่ถ้าบางกรณที ี่เราไมส่ ามารถคานวณ f(a) ได้ ซงึ่ ไดก้ รณที ก่ี ารหารดว้ ยศนู ยข์ ึ้น ในกรณีน้ี จะมกี รอบของคาตอบของลมิ ิตดงั น้ี •ถา้ ตัวตั้งไม่เป็นศูนยแ์ ต่ตวั หารเป็นศูนย์ สรุปวา่ ทันทีวา่ lim f(x) หาคา่ ไมไ่ ด้ xa เช่น lim 5 = 5 = หาคา่ ไม่ได้ x0 x 0 lim x = -1 = -1 = หาค่าไมไ่ ด้ x11  x 1  (-1) 0 lim x  2 = 1 2 = 3 = หาค่าไมไ่ ด้ x1 x -1 1 -1 0 =limx -1 1 = หาค่าไมไ่ ด้  x 0 x2 x2 2 • ถา้ ตวั ตงั้ เปน็ ศนู ยแ์ ต่ตัวหารไมเ่ ป็นศูนย์ สรุปว่าทนั ทีว่า lim f(x) = 0 xa เช่น =limx -1 0 =0  2x 5 x1 x2  2 • ถ้าตัวต้งั เป็นศูนย์ แล้วตัวหารกเ็ ปน็ ศนู ย์ด้วยตอ้ งจดั รปู f(x) ใหม่ก่อน เป้าหมายของ การเปล่ียนรปู f(x) คอื เพื่อใหเ้ กดิ การตัดกันของ x - a จากนั้นค่อยลองแทน a ลงไปใหม่การ เปลี่ยนรูป f(x) จะใชก้ ารแยกตวั ประกอบ หรอื ไม่กใ็ ช้คอนจูเกทคูณ

18 การหาลิมติ ของฟงั ก์ชนั ที่อยใู่ นรปู ท่ไี มก่ าหนด ( ) การหา lim f(x) โดยการนา a ไปแทนด้วย f(x) แล้วได้ผลเป็น f(a) ออกมาในรูป 0 xa 0 แล้ว lim f(x) อาจจะหาค่าไดโ้ ดยพยายามเปล่ียนรปู ของ f(x) ใหม่ เพ่อื ให้สามารถตัดทอนกนั xa ไดร้ ะหว่างตัวเศษและตวั สว่ น และค่อยนาไปหาลิมติ โดยมหี ลักการเปล่ียนรูปของ f(x) ดังน้ี 1. โดยใช้เทคนิคการแยกตัวประกอบ 2. โดยใชก้ ารคูณการคอนจูเกท การคอนจูเกท หรือ สงั ยุค หมายถงึ การจดั รูปของฟังกช์ ันใหอ้ ยใู่ นรปู การแยก ตัวประกอบพหุนามของผลต่างกาลังสอง ดังน้ี (น + ล)(น – ล) = น2 – ล2 เชน่ คอนจูเกทของ คอื และ การคณู การคอนจูเกทจะได้ = การจัดรูปโดยเทคนคิ การแยกตัวประกอบ ตวั อย่างที่ 8 กาหนดให้ f(x) = x2  4 แล้วจงหาค่าของ lim f(x) x2 x2 วิธีทา ตรวจสอบด้วยการนา x = 2 ไปแทนค่าใน f(x) แล้วมีคา่ เปน็ 0 แสดงวา่ 0 เราตอ้ งเปลี่ยนรปู ของ f(x) ใหมโ่ ดยการใช้การแยกตัวประกอบพหุนาม ดงั นี้ =x2  4 lim (x - 2)(x  2) x2 lim x2 x  2 x2 = lim(x  2) x2 = 2+2 =4

19 ตัวอยา่ งที่ 9 จงหาคา่ ของ lim x2  3x  2 2x2  x 10 x2 วิธีทา ลองแทนค่า x = 2 กอ่ นเป็นอนั ดบั แรกจะได้ 22  3(2)  2 = 4  6  2 = 0 แสดง 2(22 )  2 10 8  2 10 0 ว่าเราตอ้ งเปลี่ยนรปู ของ f(x) ใหม่โดยการใช้การแยกตวั ประกอบพหนุ าม ดงั นี้ lim (x - 2)(x -1) = lim (x -1) x2 (x - 2)(2x  5) x2 (2x  5) = 21 2(2)  5 =1 9 ตัวอย่างท่ี 10 กาหนดให้ f(x) = x2 1 แล้วจงหาคาตอบของ lim f(x) 2x2  x 1 x1 วธิ ที า นา x = 1 ไปแทนใน f(x) = 12 1 = 0 = 0 2(1)2 1 1 2  2 0 ต้องเปลีย่ นรปู ของฟังกช์ นั f ใหม่ โดยการคูณการแยกตัวประกอบพหุนาม xจะได้ =lim2 -1 (x  1)(x -1) (2x 2 x1x -1) lim - x1 (2x  1)(x 1) = lim (x 1) x1 (2x  1) = (1 1) 2(1)  1 =2 3

20 ตวั อย่างท่ี 11 จงหาค่าของ lim 3 - x (x 3 - 27) x3 วิธีทา นา x = 3 ไปแทนใน f(x) = 3  3 = 0 = 0 33  27 27  27 0 ตอ้ งเปลย่ี นรูปของฟงั ก์ชนั f ใหม่ โดยการแยกตวั ประกอบพหุนาม จะได้ =lim3 - x lim (x - (3  x)  9) x3(x 3-27) 3)(x2  3x x3 แยกตัวประกอบพหนุ ามผลตา่ งกาลังสาม น3– ล3 = (น – ล) (น2 + นล+ ล2) = lim (x 2 -1  9) x3  3x = -1 = -1 =  1 32  3(3)  9 32  3(3)  9 27 การหาลิมิตของฟงั กช์ นั โดยใช้การคูณการคอนจูเกท ตัวอย่างที่ 12 กาหนดให้ f(x) = 4  x  2 แล้วจงหาคา่ ของ lim f(x) x x0 วธิ ีทา แทนค่า x = 0 ใน f(x) = 4  0  2 = 0 ต้องเปลี่ยนรปู ของฟงั ก์ชัน f ใหม่ โดยใช้ 00 การคอนจเู กท จะได้ lim 4  x  2 = lim 4  x  2  4  x  2 x0 x x0 x 4x 2 = lim 4  x  4 x0 x( 4  x  2) = lim 1 x0 (1)( 4  0  2)

=1 4 21 ตวั อยา่ งที่ 13 จงหา lim 4 - x2 x2 3 - x 2  5 วิธที า ตรวจสอบโดยแทนค่า x = 2ใน f(x) = 4  22 = 0 3- 22  5 0 จึงต้องเปลีย่ นรูปของฟงั ก์ชนั f ใหมก่ อ่ น โดยใช้การคอนจูเกท จะได้ lim 4  x2 = lim 4  x2  3  x2  5 x2 3 - x2  5 3  x2  5 x2 3 - x 2  5 = (4 - x2 )(3  x2  5) lim 9 - (x2  5) x2 = (4 - x2 )(3  x2  5) lim 4  x2 x2 = lim 3  x2  5 x2 = 3+ 22  5 = 6 ตัวอยา่ งท่ี 14 จงหาคา่ ของ lim x2  5x  4 x1 x  1 วิธีทา ตรวจสอบโดยแทนค่า x = 1 ใน f(x) = 1- 5  4 = 0 1-1 0 จงึ ตอ้ งเปลย่ี นรูปของฟังก์ชนั f ใหมก่ อ่ น โดยใชก้ ารคอนจูเกท จะได้ lim x2  5x  4 = lim x2  5x  4  x 1 x1 x  1 x1 x 1 x 1 = lim (x -1)(x - 4)( x 1) x1 ( x )2  12 = lim (x -1)(x - 4)( x 1) x1 x 1

= lim(x - 4)( x 1) x1 = (1 - 4) (1 + 1) = -6 22 สรปุ หลกั การหาลมิ ิตของฟังกช์ นั พจิ ารณา ใหแ้ ทน x ดว้ ย a (ใชว้ ิธกี ารแทนคา่ ตรงๆ) - ถา้ ได้ จะได้วา่ = - ถา้ ได้ จะไดว้ า่ =0 - ถ้าได้ จะได้วา่ = หาคา่ ไม่ได้ - ถา้ ได้ จะได้วา่ = สรุปไมไ่ ด้ ถ้าเขา้ ใจแล้วให้นกั เรียน ทาแบบฝกึ ทักษะชดุ ท่ี 4 ต่อเลยนะคะ

แบบฝกึ ทกั ษะชดุ ที่4 23 เรอ่ื ง การหาลิมติ ของฟังกช์ นั ที่อยใู่ นรปู ไม่กาหนด คาสั่ง จงแสดงวิธีการหาคาตอบอย่างเปน็ ขน้ั ตอน 1. จงหาคา่ ของ lim x3  x  30 x2  4x  3 x 3 …………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………… 2. จงหาคา่ ของ …………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………… 3. จงหาค่าของ lim x4  6x2  27 x3 x 3  3x 2  x  3 …………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………… 24 4. จงหาคา่ ของ lim x - 2 x2 x 2  5  3 …………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………… 5. จงหาค่าของ lim 2 - 1 x x3 3 - x …………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………… เข้าใจแลว้ คะ่ งา่ ยมากเลยคะ่

25 ทฤษฎบี ทเกี่ยวกับลิมติ เมือ่ a, L และ M เป็นจานวนจริงใดๆ ถ้า f และ g เป็นฟังก์ชันท่ีมีโดเมน และเรนจเ์ ป็นสบั เซตของเซตของจานวนจริง โดยที่ lim f(x) = L และ lim g(x) = M แล้วจะ xa xa ได้วา่ 1. lim c = cเมือ่ c เปน็ คา่ คงตัวใดๆ xa 2. lim x = a xa 3 lim xn = an เม่อื n  I xa 4. lim cf(x) = c lim f(x) = cLเม่ือc เป็นคา่ คงตัวใดๆ xa xa 5. lim[f(x)  g(x)] = lim f(x)  lim g(x) = L + M xa xa xa

6. lim[f(x)  g(x)] = lim f(x)  lim g(x) = L - M xa xa xa 7. lim[f(x)  g(x)] = lim f(x)  lim g(x) = L  M xa xa xa 8. =lim  f(x)  lim f(x) = L เม่ือ M≠0  g(x)  xa xa lim g(x) M xa 9. lim[f(x)]n = [lim f(x)]n = Ln เมอ่ื n  I xa xa 10. lim n f(x) = n lim f(x) = n L เมื่อ n  I - {1} และ n L  R xa xa แบบฝึกทกั ษะชดุ ท่ี 5 เรือ่ ง การลิมติ ของฟังกช์ ันโดยการใชส้ ตู ร 11. lim f(x) = L , L  0 และ lim g(x) = M = 0 แล้ว lim f(x) หาคา่ ไม่ได้ 26 xa xa xa g(x) คาชีแ้ จง จงหาค่าของลมิ ิตจากฟังก์ชันท่ีกาหนดให้ 1. lim x x2 …………………………………………………………………………………………………………………………………… 2. lim x2 x1 …………………………………………………………………………………………………………………….……………… 3. lim x x4 ……………………………………………………………………………………………………………………………………

4. lim x  3 x2 …………………………………………………………………………………………………………………………………… 5. lim x2  2x x3 …………………………………………………………………………………………………………………………………… 6.  lim x2  5x 10 x1 …………………………………………………………………………………………………………………………………… 7. lim(x 1)(x  3) x2 …………………………………………………………………………………………………………………………………… 8. lim x  4 lim(x 1)(x  3) x1 x  2 x2 …………………………………………………………………………………………………………………………………… 27 9. lim x2  2x  3 lim(x 1)(x  3) x2 x2 …………………………………………………………………………………………………………………………………… 10. lim x 1 lim(x 1)(x  3) x2 x  2 x2 …………………………………………………………………………………………………………………………………… 11. lim(x 1)2 lim(x 1)(x  3) x3 x2 …………………………………………………………………………………………………………………………………… 12. lim x3  3x -1 lim(x 1)(x  3) x5 x2 ……………………………………………………………………………………………………………………………………

13. lim x3  8 lim(x 1)(x  3) x2 x  2 x2 …………………………………………………………………………………………………………………………………… 14. lim x2  25 lim(x 1)(x  3) x5 x  5 x2 …………………………………………………………………………………………………………………………………… 15. lim 2x3  5x2 - 2x - 3 lim(x  1)(x  3) x3 4x3 13x2  4x  9 x2 …………………………………………………………………………………………………………………………………… ทาแบบทดสอบวดั ผลสมั ฤทธิ์หลงั เรยี น ตอ่ นะคะ แบบทดสอบวดั ผลสมั ฤทธหิ์ ลังเรียน เรอ่ื ง การลิมติ ของฟงั ก์ชนั 28 คาชแี้ จง : แบบทดสอบวดั ผลสมั ฤทธ์ิทางการเรยี น เรอ่ื ง ลมิ ิตของฟงั ก์ชัน ฉบับนม้ี ขี อ้ สอบ 15 ขอ้ เป็นแบบปรนัย ชนดิ เลือกตอบ 4 ตัวเลือก ให้นักเรียนทาเครอ่ื งหมาย  หน้าคาตอบที่ถูกที่สุดเพียงข้อเดยี ว ขอ้ ละ 1 คะแนน เวลาทใ่ี ช้ในการสอบ 20 นาที 2. จากกราฟทก่ี าหนดให้ข้อใดไมถ่ ูกตอ้ ง

ก. lim f(x)  3 ข. lim f(x)  2 x2 x2 ค. lim f(x)  3,2 ง. lim f(x) หาค่าไม่ได้ x1 x2 1. จากกราฟทีก่ าหนดให้ ขอ้ ใดไมถ่ ูกตอ้ ง ก. lim f(x)  1 ข. lim f(x)  0 x1 x1 ค. lim f(x) หาค่าไม่ได้ ง. lim f(x)  1,0 x1 x1 29 5. lim x2  5x  6 เทา่ กับข้อใด ข. 3 x3 x  3 ก. 1 ค. -1 ง. -3 3. กาหนดให้ f(x) =  1 เมอ่ื x  0 แลว้ f(x) มลี ิมิตที่ 0 หรือไม่ -1 เมอ่ื x  0 ก. มี เพราะ lim f(x)  1 ข. มีเพราะ lim f(x)  1 x0 x0 ค. ไม่มี เพราะ lim f(x)  lim f(x) ง. ไม่มี เพราะ lim f(x)  1 x0 x0 x0 4. lim x2 16 มีคา่ ตรงกับขอ้ ใด x4 x  4

ก. 5 ข. 6 ค. 7 ง. 8 8. lim x3 1 เท่ากบั ข้อใด ข. 2 x1 x  1 ง. 0 ก. 3 ข. 0.25 ค. 1 ง. 0.65 6. lim x 1 เทา่ กบั เท่าใด ข. 6 7 x1 x 1 ง. 9 ก. 0 7 ค. 0.50 ข. 4 ง. 6 7. lim x2  x  6 เท่ากับข้อใด x2  x 12 x3 ก. 5 7 ค. 8 7 9. lim x  4 เท่ากบั ขอ้ ใด x4 x  2 ก. 0 ค. -4 30 11. ถ้า f(x) = x 1 ; x  3 แล้ว lim f(x) เทา่ กับข้อใด 3 ; x3 x 3 ก. 7 ข. 9 ค. 10 ง. หาคา่ ไม่ได้ 12. lim 2x 3 เท่ากบั ข้อใด ข. 1 x2 ก. -1 ค. -3 ง. หาคา่ ไม่ได้

10. ถา้ f(x) = 3x ; x  2 แล้ว lim f(x) เท่ากับข้อใด  2x 2 1 ; x2 x2 ก. 6 ข. 9 ค. 11 ง. หาค่าไมไ่ ด้ 15. ข้อใดตอ่ ไปนี้ไมถ่ กู ตอ้ ง ก. = 10lim  x2  25  ข. =lim3 x  1 x  5 9 x 6 x5 x9 ค. = 1lim x 2 x 1 2  ง. =lim  2x 2 x  3  5  x  x1 x2  4x  5 6 x1 13. limx4 x 1 มีค่าเท่ากับข้อใด x5 ก. 500 ข. 5 ง. 57 ค. 2,500 14. lim x2  9 มีคา่ เทา่ กับข้อใด ข. 0 x3 1  x ง. -6 ก.  ค. 6

ภาคผนวก

32 เฉลยแบบฝกึ ทกั ษะชดุ ท่ี 1 เร่อื ง การหาลมิ ติ ข้างเดยี วของฟงั ก์ชนั คาชีแ้ จง จงหาลมิ ิตของฟังก์ชนั โดยพิจารณาลมิ ติ ข้างเดียวโดยใช้ตารางแสดงความสมั พันธ์ 1. จงพิจารณาฟังก์ชนั f(x) = x + 5 ขณะท่ี x เข้าใกล้ 2 โดยเติมค่าของ f(x) ลงในตารางต่อไปนี้ x<2 x>2 = …………7………………… x f(x) x f(x) = …………7………………… 1.5 6.5 2.5 7.5 = 1.9 6.9 2.1 7.1 …………7………………… 1.99 6.99 2.01 7.01 1.999 6.999 2.001 7.001 2. จงพจิ ารณาฟังกช์ ัน f(x) = 2x – 1 ขณะท่ี x เข้าใกล้ 3 โดยเตมิ ค่าของ f(x) ลงในตารางตอ่ ไปนี้ x <3 x >3 = ……………5……………… x f(x) x f(x) = ……………5……………… 2.5 4 3.5 6 = 2.9 4.8 3.1 5.2 ……………5………………

2.99 4.98 3.01 5.02 33 2.999 4.998 3.001 5.002 เฉลยแบบฝกึ ทกั ษะที่ 2 เรื่อง การหาลมิ ติ ของฟงั ก์ชนั จากกราฟ 1. = ……………0……………….. = ………หาคา่ ไมไ่ ด…้ ……… 2. = ………0……………………………… = ………1…………………….……….. 3. = ……………0……………… = …………หาค่าไม่ได้…… 4.

= …………0……………………… = …………2…………………….… เฉลยแบบฝกึ ทักษะชุดท่ี 3 เรื่อง การหาลิมติ สองดา้ น 34 1. จงหาค่าของ lim f(x) เม่อื f(x) = 2x 1 เมอื่ x 1 4x -1 เมอ่ื x 1 x 1 วธิ ที า จะเหน็ ว่าฟังกช์ ัน f แบ่งเปน็ 2 กรณี ท้ังในกรณี x 1 และกรณี x 1 lim f(x) = lim 4x 1= 3 x1 x1 lim f(x) = lim 2x 1=3 x1 x1 จะเหน็ วา่ lim f(x) = lim f(x) ดังน้นั lim f(x) = 3 x1 x1 x1 2. จงหาค่า lim f(x) เมอ่ื f(x) = 2 - x เมอ่ื x 0 3x 1 เมอ่ื x 0 x0 วิธที า จะเห็นว่าฟงั ก์ชัน f แบ่งเป็น 2 กรณี ทั้งในกรณี x  0 และกรณี x  0 lim f(x) = lim 3x 1= 1 x0 x0 lim f(x) = lim 2  x = 2 x0 x0

จะเหน็ ว่า lim f(x)  lim f(x) ดงั นั้น lim f(x) = หาค่าไม่ได้ x0 x0 x0  x 2  3x  2 เมอื่ x 0  เมอ่ื x 0 3. จงหาค่า lim f(x) เมือ่ f(x) =  2x x2 2x  3 วิธที า จะเห็นว่าฟงั ก์ชนั f แบง่ เป็น 2 กรณี ท้ังในกรณี x  0 และกรณี x  0 lim f(x) = lim 2x  3 = - 3 x0 x0 lim f(x) = lim x2  3x  2 = 1 x0 x0 2  x จะเห็นว่า lim f(x)  lim f(x) ดังนนั้ lim f(x) = หาค่าไม่ได้ x0 x0 x0 4. จงหาค่า lim f(x) เมื่อ f(x) = x 1 35 x1 x2  1 วธิ ีทา จะเห็นว่าฟังก์ชนั f มีคา่ สมั บูรณข์ อง x ดงั นน้ั ฟังก์ชัน f จะถกู แบ่งออกเป็น 2 กรณี ดังน้ี x 1 เมอ่ื x 1  เมอ่ื x 1 f(x) =   x  1)  (x  x จะเห็นว่าฟังก์ชนั f แบ่งเปน็ 2 กรณี ทั้งในกรณี x 1 และกรณี x 1 lim f(x) = lim  (x 1) = 0 x1 x1 x lim f(x) = lim x 1 = 0 x1 xx1 จะเหน็ ว่า lim f(x) = lim f(x) ดงั นัน้ lim f(x) = 0 x1 x1 x1 5. จงหาค่า lim f(x) เมือ่ f(x) = x  2 x2 x2  3x  2 วธิ ีทา จะเหน็ ว่าฟังกช์ ัน f มคี า่ สัมบรู ณข์ อง x ดงั นั้น ฟังกช์ นั f จะถกู แบง่ ออกเป็น 2 กรณี ดงั น้ี

 x2 เมอ่ื x 2  เมอ่ื x 2 f(x) =  x2  3x 2   (x  2)  x 2  3x  2 = = = -1lim f(x) x2  (x  2)  (x  2) lim lim x2 x 2  3x  2 x2 (x  2)(x 1) เฉลยแบบฝกึ ทกั ษะชุดที่ 4 36 เร่อื ง การหาลิมติ ของฟงั ก์ชนั ท่อี ยใู่ นรูปไมก่ าหนด 1. จงหาค่าของ x 3  x  30 lim x3 x 2  4x  3 วิธีทา =x3  x  30 lim (x2  3x 10)(x  3) lim x3 x 2  4x  3 x3 (x 1)(x  3) = lim (x2  3x 10) x3 (x 1) = =32  3(3) 10 28 = 14 31 2 2. จงหาคา่ ของ lim 6x3 11x2  6x 1 x1 6x 2 11x  3 3 วธิ ที า lim =6x3 11x 2  6x 1 (3x 1)(2x2  3x 1) 6x 2 11x  3 lim x1 x1 (3x 1)(2x  3) 33 = (2x2  3x 1) lim x1 (2x  3) 3

2 1 2  3 1   1 = 3 3 =  2 2 1   3 21 3 3. จงหาค่าของ lim x 4  6x2  27 x3 x3  3x2  x  3 วธิ ที า =x4  6x2  27 lim x  3(x  3)(x 2 3) lim 1) x3  3x 2  x  3 x3 (x  3)(x2  x 3 = lim x  3(x 2 3) x3 1) (x2  = (3  3)(32  3) =  72 =  36 (3)2  1 10 5 37 4. จงหาคา่ ของ lim x  2 x2 x 2  5  3 วิธีทา lim x  2 = lim x  2  x2  5  3 x2 x 2  5  3 x2 x2  5  3 x2  5  3 = lim (x  2)( x2  5  3) x2 x 2 4 = lim (x  2)( x2  5  3) = 3  3 = 3 x2 (x  2)(x  2) 22 2 5. จงหาคา่ ของ lim 2  1 x x3 3  x วิธีทา =lim 2  1  x lim 2  1 x   2  1  x  3x 2  1  x x3 3  x x3 = lim 4  (1 x) x3 (3  x)(2  1  x ) = lim (3  x) = 1 =1 x3 (3  x)(2  1 x ) 22 4

เฉลยแบบฝกึ ทกั ษะชุดที่ 5 เร่อื ง การลิมติ ของฟังกช์ นั โดยการใชส้ ูตร 38 1. lim x ตอบ 2 x2 2. lim x2 ตอบ 1 x1 3. lim x ตอบ 2 x4 4. lim x  3 ตอบ 5 x2 5. lim x2  2x ตอบ 15 x3 6.  lim x2  5x 10 ตอบ 16 x1 7. lim(x 1)(x  3) ตอบ15 x2 8. lim x  4 ตอบ 3 x1 x  2

9. lim x2  2x  3 ตอบ 3 x2 10. lim x 1 ตอบ 1 x2 x  2 2 11. lim(x 1)2 ตอบ16 x3 12. lim x3  3x -1 ตอบ 109 x5 13. lim x3  8 ตอบ 4 x2 x  2 14. lim x2  25 ตอบ 0 x5 x  5 2x3  5x2 4x3 13x2 15. ตอบ 0lim x3 - 2x - 3 39  4x  9 เฉลยแบบทดสอบวัดผลสมั ฤทธิ์ก่อนเรียน เรอื่ ง ลมิ ติ ของฟงั กช์ นั ข้อ ตอบ ข้อ ตอบ ขอ้ ตอบ 1 ง 6 ค 11 ง 2 ค 7 ก 12 ก 3 ค 8 ก 13 ค 4 ง 9 ข 14 ข 5 ก 10 ง 15 ค เฉลยแบบทดสอบวัดผลสมั ฤทธิ์หลังเรียน เรอ่ื ง ลิมติ ของฟังกช์ นั

ข้อ ตอบ ขอ้ ตอบ ข้อ ตอบ 1 ค 6 ก 11 ก 2 ง 7 ค 12 ง 3 ก 8 ก 13 ค 4 ค 9 ข 14 ค 5 ง 10 ง 15 ข 40 บรรณานุกรม กนกวลอี ษุ ณกรกุลและรณชยั มาเจริญทรัพย์. (2548). แบบฝึกหัดและประเมนิ ผลการเรียนรูค้ ณิตศาสตร์ เพิม่ เตมิ ม.6 เล่ม 2. กรงุ เทพฯ : เดอะบุคส์. กมลเอกไทยเจรญิ . แคลคลู ัส 1.(2537).กรุงเทพฯ : ไฮเอด็ พับลชิ ชิ่ง. กวยิ าเนาวประทปี . (2555). เทคนคิ การเรียนคณิตศาสตร์ :แคลคูลสั เบ้ืองต้น. กรุงเทพฯ : ฟสิ กิ สเ์ ซน็ เตอร์. จกั รนิ ทรว์ รรณโพธก์ิ ลาง.(2555). คมู่ ือสาระการเรียนรคู้ ณิตศาสตรเ์ พิ่มเติมม.4 – 6 เลม่ 6.กรงุ เทพฯ : พ.ศ. พัฒนา. จารสั อนิ สม. (2547). ค่มู อื คณติ ศาสตร์เพิม่ เติมเลม่ 2 ชัน้ มัธยมศกึ ษาปีท่ี 6 ภาคเรยี นที่ 2. กรุงเทพฯ : แม็ค. จีระเจริญสุขวมิ ลและวินิจวงศ์รตั นะ.(ม.ป.ป.).สรุปสูตรหลัก&สตู รคณติ ศาสตรม์ .6เลม่ 5 – 6.

กรุงเทพฯ : ไฮเอ็ดพับลชิ ช่งิ จากดั . ธนวฒั น์ (สันติ) สนทราพรพล. (2547). คณติ ศาสตร์ช่วงชน้ั ที่ 4 (ม.4 , 5 , 6) เลม่ 6 สาหรบั ชนั้ มธั ยม ศกึ ษาปีท่ี 6. กรุงเทพฯ: ไฮเอ็ดพบั ลิชชิง่ , ธรี ะศักด์ิ อรุ จั นานนั ท์. (2546). แคลคูลสั 1 สาหรับวศิ วกร = CalculusI for engineers.กรงุ เทพฯ : สกายบุ๊ค. สถาบันส่งเสริมการสอนวทิ ยาศาสตร์และเทคโนโลยกี ระทรวงศึกษาธกิ าร. (2548). คู่มือครสู าระการเรียนรู้ เพมิ่ เตมิ คณิตศาสตรเ์ ล่ม 2 กลุ่มสาระการเรียนรู้คณติ ศาสตร์ชั้นมธั ยมศกึ ษาปีที่ 6. กรุงเทพฯ : โรงพิมพ์คุรสุ ภาลาดพรา้ ว. สมัยเหล่าวานชิ ย์และพัวพรรณเหล่าวานิชย์. (2558). คณติ ศาสตร์มัธยมศกึ ษาปที ่ี 4 – 6 เลม่ 6 (รายวชิ า พื้นฐานและเพม่ิ เตมิ ). กรุงเทพฯ : ไฮเอ็ดพับพับลิชชิง่ . สกุ ัญญาสนิทวงศ์ณอยธุ ยา. (2555). แคลคูลัส 1 ฉบบั เสรมิ ประสบการณ์. กรงุ เทพฯ : วทิ ยพฒั น์.