e-book 1 equation

สมการเชิงเส้นตัวแปรเดียว (Equation)

ใบความรู้ บทท่ี 1. สมการ (Equation) 1.1 บทนำ การแกป้ ัญหาทางคณิตศาสตร์ วทิ ยาศาสตร์ หากไดน้ าเอาความรู้เร่ืองสมการมาใชจ้ ะทาใหส้ ามารถ แกป้ ัญหาไดส้ ะดวกและรวดเร็วข้ึน ในงานช่าง หรืองานทางดา้ นธุรกิจเกือบทกุ สาขา ปัญหาหลายอยา่ ง สามารถหาคาตอบได้ โดยวธิ ีการของสมการ เช่นการหาความตา้ นทานเมอ่ื ทราบแรงเคล่ือนของไฟฟ้ าและ กระแสไฟฟ้ าวงจร การหาอตั ราดอกเบ้ีย เมื่อทราบเงินตน้ ดอกเบ้ียและระยะเวลา จึงจาเป็ นทต่ี อ้ งศกึ ษาให้ เขา้ ใจถึงลกั ษณะตา่ งๆ ของสมการ ตลอดจนวธิ ีแกส้ มการ 1.2 ควำมหมำยของสมกำร สมกำร หมายถึง ประโยคท่แี สดงถึงการเท่ากนั ของจานวนโดยมีสญั ลกั ษณ์ “ = ” บอกการเท่ากนั สมการอาจจะมีตวั แปรหรือไม่มีตวั แปรกไ็ ด้ เช่น 3 + 4 = 7 (ไม่มีตวั แปร) x - 5 = 8 (ตวั แปรคอื x) 2x + 7 = 20 (ตวั แปรคอื x) 4x + 5y = 20 (ตวั แปรคือ x, y) m  2  3m 1 (ตวั แปรคือ m) 32 ตวั แปร หมายถึง จานวนท่ียงั ไม่ทราบค่าหรือเป็ นจานวนที่ตอ้ งการหาค่า นิยมเขียนแทนตวั แปร ดว้ ยสญั ลกั ษณ์ x, y, z คำตอบของสมกำร เป็ นจานวนใด ๆ ทแี่ ทนตวั แปรในสมการแลว้ ทาใหส้ มการน้นั เป็ นจริง กำรแก้สมกำร เป็นการหาคาตอบของสมการ ตอ้ งอาศยั สมบตั ิการเทา่ กนั ของจานวนจริง สมบตั กิ ำรเท่ำกนั ของจำนวนจริง ให้ a, b และ c เป็นจานวนจริงใด ๆ 1. สมบตั กิ ารสมมาตร (Symmetric property) ถา้ a = b แลว้ b = a เม่ือ a และ b แทนจานวนจริงใดๆ เช่น 1) ถา้ x = 5 แลว้ 5 = x

2) ถา้ x + 2 = 6 แลว้ 6 = x + 2 3) ถา้ 2x + 3 = 10 แลว้ 10 = 2x + 3 2. สมบตั กิ ารบวก (additive property) ถา้ a = b แลว้ a + c = b + c เมื่อ a, b และ c แทนจานวนจริงใดๆ ถา้ มีจานวนสองจานวนเทา่ กนั เมื่อนาจานวนอีกจานวนหน่ึงมาบวก แต่ละจานวนท่ีเท่ากนั น้ัน แลว้ ผลลพั ธจ์ ะเทา่ กนั เช่น 1) ถา้ x – 2 = 4 แลว้ x – 2 + 2 = 4 + 2 2) ถา้ 8 = 5 + 3 แลว้ 8 + 2 = (5 + 3) + 2 3) ถา้ 20 = 16 + 4 แลว้ 20 – 5 = (16 + 4) - 5 3. สมบตั ิการคูณ (Multiplicative property) ถา้ a = b แลว้ ac = bc เมื่อ a, b และ c แทนจานวนจริงใดๆ ถา้ มีจานวนสองจานวนเท่ากนั เมื่อนาจานวนอีกจานวนหน่ึงคูณกบั แต่ละจานวนท่ีเท่ากนั น้ัน แลว้ ผลลพั ธจ์ ะเทา่ กนั เช่น 1) ถา้ 6 = 2 + 4 แลว้ 6(5) = (2 + 4)  5 2) ถา้ x = 3 แลว้ x  2 = 3  2 22 3) ถา้ m = n แลว้ 2m = 2n 4. สมบตั กิ ารแจกแจง (distributive property) a (b + c) = ab + ac เม่ือ a, b และ c แทนจานวนจริงใดๆ เช่น 1) ถา้ 4 (x + 3) = 4x + 4(3) 2) ถา้ 2(x - 5) = 2x + 2(-5) 5. สมบตั กิ ารถ่ายทอด (transitive property) ถา้ a = b และ b = c แลว้ a = c เมื่อ a, b และ c แทนจานวนจริงใดๆ

เช่น 1) ถา้ x = y และ y = 3 แลว้ x = 3 2) ถา้ x = 8 และ 8 = 5 + 3 แลว้ x = 5 + 3 สัมประสิทธ์ิของตัวแปร คือ จานวนท่ีคูณอยกู่ บั ตวั แปรน้นั เช่น x สมั ประสิทธ์ิของ x คอื 1 2y สมั ประสิทธ์ิของ y คอื 2 x สมั ประสิทธ์ิของ x คือ 1 33 ตวั อย่ำงกำรแก้สมกำร 1. จงแกส้ มการ x – 15 = 20 วธิ ีทำ จากสมการ x – 15 = 20 นา 15 บวกท้งั สองขา้ ง จะได้ x – 15 + 15 = 20 + 15 x = 35 ตรวจคำตอบ แทนค่า x = 35 ในสมการ x – 15 = 20 จะได้ 35 – 15 = 20 20 = 20 เป็นสมการท่ีเป็นจริง ดงั น้นั 35 เป็นคาตอบของสมการ x – 15 = 20 2. จงแกส้ มการ x + 9 = 30 วธิ ีทำ จากสมการ x + 9 = 30 นา 9 ลบท้งั สองขา้ ง จะได้ x + 9 - 9 = 30 - 9 x = 21 ตรวจคำตอบ แทนค่า x = 21 ในสมการ x + 9 = 30 จะได้ 21 + 9 = 30 30 = 30 เป็นสมการทีเ่ ป็นจริง ดงั น้นั 21 เป็นคาตอบของสมการ x + 9 = 30

3. จงแกส้ มการ x = 5 4 วิธีทำ x =5 จากสมการ 4 นา 4 คูณท้งั สองขา้ ง จะได้ x 4 = 54 4 x = 20 ตรวจคำตอบ แทนค่า x = 20 ในสมการ x = 5 4 จะได้ 20 = 5 4 5 = 5 เป็นสมการทเี่ ป็นจริง ดงั น้นั 20 เป็นคาตอบของสมการ x = 5 4 4. จงแกส้ มการ 5x = 30 วิธีทำ จากสมการ 5x = 30 นา 5 หารท้งั สองขา้ ง จะได้ 5x = 30 55 x=6 ตรวจคำตอบ แทนค่า x = 6 ในสมการ 5x = 30 จะได้ 5(6) = 30 30 = 30 เป็นสมการทเ่ี ป็นจริง ดงั น้นั 6 เป็นคาตอบของสมการ 5x = 30 5. จงแกส้ มการ 6x – 8 – 3x = 2x + 12 – x 3x – 8 = x + 12 นา x ไปลบออกท้งั สองขา้ ง จะได้ 3x – 8 – x = x + 12 – x 2x – 8 = 12 นา 8 ไปบวกท้งั สองขา้ ง จะได้ 2x – 8 + 8 = 12 + 8 2x = 20

นา 2 ไปหารท้งั สองขา้ ง จะได้ 2x = 20 22 x = 10 ตรวจคำตอบ แทนค่า x = 10 ในสมการ 6x – 8 – 3x = 2x + 12 – x จะได้ 6(10) – 8 – 3(10) = 2(10) + 12 – 10 22 = 22 เป็นสมการที่เป็นจริง ดงั น้นั 10 เป็นคาตอบของสมการ 6x – 8 – 3x = 2x + 12 – x 1.3 สมกำรเชิงเส้นตัวแปรเดยี ว (Linear equation with one variable) พจิ ารณาสมการต่อไปน้ี 5x + 3 = 18 เป็นสมการทีม่ ีตวั แปรหน่ึงตวั คือ x เลขช้ีกาลงั ของ x เป็นหน่ึง 3y – 12 = 6 เป็นสมการทมี่ ีตวั แปรหน่ึงตวั คอื y เลขช้ีกาลงั ของ y เป็นหน่ึง สมการดงั กล่าวขา้ งตน้ เรียกวา่ สมกำรเชิงเส้นตัวแปรเดยี ว สมกำรเชิงเส้นตัวแปรเดยี ว หมายถึง สมการที่มีตวั แปรเพยี งตวั เดียว มีเลขช้ีกาลงั ของตวั แปรเป็ น หน่ึง รูปทว่ั ไปของสมการเชิงเสน้ ตวั แปรเดียว คือ ax + b = 0 เม่ือ a และ b เป็ นค่าคงตวั และ a  0 และ x เป็นตวั แปร เช่น 4x – 5 = 3 3x – 7 = 10 5x + 3 = 3x – 1 5y + 3 = 2y + 9 x  4 = 4x  5 24 สมการเชิงเสน้ ตวั แปรเดียว จะมีคาตอบเพยี งคาตอบเดียวเทา่ น้นั หรือไม่มีคาตอบ เช่น 2x + 3 = 5 จะมี 1 เป็นคาตอบ 6 - 4 y = 30 จะมี -30 เป็ นคาตอบ 5

กำรแก้สมกำรเชิงเส้นตัวแปรเดยี ว กำรแก้สมกำรเชิงเส้นตัวแปรเดยี ว ทาไดด้ งั น้ี 1. จดั สมการใหอ้ ยใู่ นรูปอยา่ งง่าย โดยใหต้ วั แปรอยขู่ า้ งหน่ึง และค่าคงที่อยอู่ ีกขา้ งหน่ึง โดยใช้ สมบตั กิ ารบวก เช่น ใหส้ มการคือ 5x – 4 + 3x = 10 จะได้ 8x – 4 = 10 แลว้ แกส้ มการตอ่ ไป 2. ถา้ สมการอยใู่ นรูปของเศษส่วน ใหพ้ ยายามทาส่วนใหห้ มด โดยนา ค.ร.น. ของตวั ส่วนคูณทุก พจน์ (คูณตลอด) ใหส้ มการคือ x + 1 = 1 (นา 4, 3, 2 ไปหา ค.ร.น. ได้ 12 เช่น 43 2 แลว้ นาไปคูณตลอด) จะได้ 12  x + 12  1 = 12  1 43 2 นน่ั คือ 3x + 4 = 6 แลว้ จึงแกส้ มการต่อไป 3. สมการถา้ อยใู่ นรูปท่มี ีวงเลบ็ ใหจ้ ดั การถอดวงเล็บออกก่อนโดยใชส้ มบตั ิการแจกแจก a(b + c) = bc + ac ในการถอดวงเลบ็ ใหร้ ะวงั เครื่องหมายลบหนา้ วงเล็บ เช่น ใหส้ มการคอื 2(x + 3) = 7 ใชส้ มบตั กิ ารแจกจง จะได้ 2x + 6 = 7 แลว้ แกส้ มการต่อไป 4. ดาเนินการแกส้ มการโดยใชส้ มบตั กิ ารเท่ากนั ของจานวนจริง หรือจะทาอยา่ งรวดเร็วโดยการยา้ ย ขา้ ง (การยา้ ยขา้ งใหเ้ ปล่ียนเครื่องหมายของตวั ทีย่ า้ ยจากบวกเป็นลบ จากลบเป็นบวก จากคูณเป็ นหาร จาก หารเป็นคูณ ซ่ึงการยา้ ยขา้ งก็คือการใชส้ มบตั ิการเทา่ กนั ของจานวนจริงนน่ั เอง) สมบตั ติ ่าง ๆ ทจ่ี ะนามาใชใ้ นกระบวนการแกป้ ัญหา คือ สมบตั กิ ารเทา่ กนั และนอกจากน้ียงั ใชห้ ลกั ความจริงท่วี า่ 1. จานวนใดก็ตาม ถา้ บวกดว้ ยจานวนตรงขา้ มของตวั มนั เองแลว้ จะมีค่าเป็ น “ศูนยเ์ สมอ” เช่น 5 + (-5) = 0 - 5 คอื จานวนตรงขา้ มของ 5   4    4  = 0  5  5 4 คอื จานวนตรงขา้ มของ   4  5 5 หลกั ความจริงน้ีจะนาไปใชเ้ มื่อตอ้ งการจะทาใหค้ ่าใดค่าหน่ึงหมดไป เช่น สมการ 2x + 3 = 14

เม่ือตอ้ งการให้ “ +3 ” ซ่ึงอยซู่ า้ ยมือของเคร่ืองหมาย “ = ” หมดไปตอ้ งนา “ -3 ” ไปบวกท้งั สองขา้ งของสมการ 2x + 3 + (-3) = 14 + (-3) จะได้ 2x = 11 2. จานวนใดก็ตามเม่ือคูณดว้ ยส่วนกลบั ของตวั มนั เองแลว้ จะมีคา่ เป็ น “ 1 เสมอ ” เช่น 2  3 = 1 ; 3 คอื ส่วนกลบั ของ 2 32 2 3   4     5  = 1 ;  5 คอื ส่วนกลบั ของ  4 5 4 4 5 หลกั ความจริงน้ี จะนาไปใชเ้ ม่ือตอ้ งการทาใหส้ มั ประสิทธ์ิของตวั แปรเป็ น “ 1 ” เช่น จากสมการ 2x = 11 เราจะหาคา่ “ x ” เทา่ กบั เทา่ ใด ตอ้ งทาสมั ประสิทธ์ิของ x ใหเ้ ป็น “ 1 ” ตอ้ งนา 1 ไปคูณท้งั 2 สองขา้ งดงั น้ี  1  2x = 11   1  2 2 x = 11 2 ตวั อย่ำงท่ี 1.1 จงหาคาตอบของสมการ 8x – 9 = 33 – 4x วิธีทำ 8x – 9 = 33 – 4x 8x – 9 + 4x + 9 = 33 – 4x + 4x + 9 12x = 42  1  12x = 42  1  12  12  x = 31 2 ตรวจคำตอบ แทนคา่ x = 3 1 ในสมการ 8x – 9 = 33 – 4x 2 จะได้ 8 (3 1) - 9 = 33 – 4 (3 1) 22 28 – 9 = 33 – 14 19 = 19 เป็นสมการที่เป็นจริง ดงั น้นั 3 1 เป็ นคาตอบของสมการ 8x – 9 = 33 – 4x 2

ตวั อย่ำงที่ 1.2 จงหาคาตอบของสมการ 3y + 4 + 10y – 17 = 14 – 23y + 16 – 7y วธิ ีทำ ทาแต่ละขา้ งใหเ้ ป็นพหุนามในรูปผลสาเร็จก่อน 13y – 13 = 30 – 30y 13y – 13 + 30y + 13 = 30 – 30y + 30y + 13 43y = 43  1  43y = 43  1   43   43  y=1 ตรวจคำตอบ แทนคา่ y = 1 ในสมการ 3y + 4 + 10y – 17 = 14 – 23y + 16 – 7y จะได้ 3(1) + 4 + 10(1) - 17 = 14 – 23(1) + 16 – 7(1) 3 + 4 + 10 - 17 = 14 – 23 + 16 - 7 0 = 0 เป็นสมการทเี่ ป็นจริง ดงั น้นั 1 เป็นคาตอบของสมการ 3y + 4 + 10y – 17 = 14 – 23y + 16 – 7y ตัวอย่ำงท่ี 13 จงหาคาตอบของสมการ 18 – 5 (x + 1) = 3(x – 1) วิธีทำ 18 – 5(x + 1) = 3(x – 1) 18 – 5x – 5 = 3x – 3 13 – 5x = 3x – 3 13 – 5x + 3 + 5x = 3x – 3 + 3 + 5x 16 = 8x 16  1  = 8x 1  8 8 2=x x=2 ตรวจคำตอบ แทนคา่ x = 2 ในสมการ 18 – 5(x + 1) = 3(x – 1) จะได้ 18 – 5(2 + 1) = 3(2 – 1) 18 – 5(3) = 3(1) 18 – 15 = 3 3 = 3 เป็นสมการที่เป็นจริง ดงั น้นั 2 เป็ นคาตอบของสมการ 18 – 5(x + 1) = 3(x – 1)

ตวั อย่ำงท่ี 1.4 จงแกส้ มการ 6 - 2x – (3x – 4) – 1 = 0 วิธีทำ 6 - 2x – (3x – 4) – 1 = 0 6 - 2x – 3x + 4 – 1 = 0 6 - -x + 3 = 0 6+x–3 = 0 x+3 = 0 x+3–3 = 0–3 x = -3 ตรวจคำตอบ แทนค่า x = -3 ในสมการ 6 – {2x – (3x – 4) - 1} = 0 จะได้ 6 – {2(-3) – (3(-3)-4) - 1} = 0 6 – {-6 + 9 + 4 - 1} = 0 6 – {6} = 0 6–6 = 0 0 = 0 เป็นสมการท่เี ป็นจริง ดงั น้นั -3 เป็นคาตอบของสมการ 6 – {2x – (3x – 4) - 1} = 0 ตัวอย่ำงที่ 1.5 จงหาคา่ ของ x จากสมการ 4(3 + x) – 3 (2x – 5) = 6 – x – 2 (3 – x) วธิ ีทำ 4(3 + x) – 3 (2x – 5) = 6 – x – 2 (3 – x) 12 + 4x – 6x + 15 = 6 – x – 6 + 2x -2x + 27 = x -2x + 27 – x – 27 = x – x – 27 -3x = -27 -3x   1  = -27  1   3  3 x=9 ตรวจคำตอบ แทนค่า x = 9 ในสมการ 4(3 + x) – 3 (2x – 5) = 6 – x – 2 (3 – x) จะได้ 4(3 + 9) – 3(2(9) – 5) = 6 – 9 – 2 (3 – 9) 4(12) – 3(18 – 5) = 6 – 9 – 2(-6) 48 – 3(13) = 6 – 9 + 12 48 - 39 = 9 9 = 9 เป็นสมการท่ีเป็นจริง ดงั น้นั 9 เป็นคาตอบของสมการ 4(3 + x) – 3 (2x – 5) = 6 – x – 2 (3 – x)

1.4 โจทย์สมกำรเชิงเส้นตวั แปรเดยี ว ข้นั ตอนการแกส้ มการเชิงเสน้ ตวั แปรเดียว มีดงั น้ี 1. อ่านโจทยแ์ ละ พจิ ารณาสิ่งที่โจทยก์ าหนดใหแ้ ละสิ่งทีโ่ จทยถ์ าม 2. กาหนดตวั แปรแทนส่ิงที่โจทยถ์ าม 3. สร้างสมการตามเงอื่ นไขท่ีโจทยก์ าหนด 4. แกส้ มการเพอื่ หาคาตอบทีโ่ จทยต์ อ้ งการ ตวั อย่ำงท่ี 1.7 สินใจมีขนมคุกก้ีอยหู่ น่ึงกล่อง แบ่งใหน้ อ้ ง 1 ของจานวนขนมคุกก้ีในกล่องน้นั 4 ปรากฏวา่ นอ้ งไดร้ ับขนมไป 20 ช้ิน เดิมสินใจมีขนมคุกก้ีอยกู่ ่ีช้ิน วธิ ีทำ ให้ x แทนจานวนขนมที่มีอยเู่ ดิมในกล่อง ดงั น้นั สมการคอื 1 x = 20 4 นา 4 มาคูณท้งั สองขา้ งสมการ จะได้ 1 x  4 = 20  4 4 x = 80 ดงั น้นั เดิมสินใจมีขนมคุกก้ีอยู่ 80 ชิ้น ตวั อย่ำงท่ี 1.8 สามในสี่ของรายไดข้ องมานะ นอ้ ยกวา่ รายไดข้ องมาลีอยู่ 300 บาท ถา้ มาลี มีรายได้ 3,600 บาทจงหารายไดข้ องมานะ วิธีทำ ใหร้ ายไดข้ องมานะ เป็น x บาท ดงั น้นั สามในส่ีของรายไดข้ องมานะ เทา่ กบั 3 x บาท 4 3 x บาท นอ้ ยกวา่ รายไดข้ องมาลีอยู่ 300 บาท 4 ดงั น้นั รายไดข้ องมาลี เทา่ กบั 3 x + 300 บาท 4 แตร่ ายไดข้ องมาลี เท่ากบั 3,600 บาท ดงั น้นั สมการคอื 3 x + 300 = 3,600 4 นา 300 มาลบออกท้งั สองขา้ งสมการ จะได้ 3 x + 300 – 300 = 3,600 - 300 4 3 x = 3,300 4 นา 4 มาคูณท้งั สองขา้ งสมการ 3 จะได้ 4  3 x = 4  3,300 34 3

x = 4,400 บาท ดงั น้นั รายไดข้ องมานะ เท่ากบั 4,400 บาท ตัวอย่ำงท่ี 1.9 ลูกไก่พนั ธ์ A ราคาแพงกวา่ ลูกไก่พนั ธุ์ B ตวั ละ 2 บาท ลูกไก่ท้งั สองพนั ธุ์ รวมกนั ราคา 18 บาท จงหาราคาลูกไก่พนั ธุ์ A และลูกไก่พนั ธุ์ B วิธีทำ ใหล้ ูกไก่พนั ธุ์ B ราคาตวั ละ =x ดงั น้นั ลูกไก่พนั ธุ์ A ราคาตวั ละ = x+2 ราคาลูกไก่พนั ธุ์ B + ราคาลูกไก่พนั ธุ์ A = 18 x + (x + 2) = 18 2x = 16 x =8 นนั่ คือ ลูกไก่พนั ธุ์ B ราคาตวั ละ 8 บาท ดงั น้นั ลูกไก่พนั ธุ์ A ราคาตวั ละ 8 + 2 = 10 บาท ตัวอย่ำงที่ 1.10 ทีด่ ินแปลงหน่ึงมีพ้นื ที่ 1,200 ตารางวา ตอ้ งการแบง่ ทด่ี ินแปลงน้ีปลูกพชื ไร่ ปลูกไมด้ อก และปลูกผกั โดยใชพ้ ้นื ทีส่ าหรบั ปลูกพชื ไร่เป็ น 2 เท่าของ พ้นื ท่ที ี่ปลูกไมด้ อก ใชพ้ น้ื ท่ปี ลูกผกั เทา่ กบั พน้ื ทป่ี ลูกพชื ไร่และปลูกไมด้ อก รวมกนั จงหาพ้นื ท่ที ่ีใชป้ ลูกพชื แต่ละชนิด วิธีทำ ใหพ้ น้ื ท่ีทใ่ี ชป้ ลูกไมด้ อกเป็น x ตารางวา ดงั น้นั พ้นื ที่ที่ใชป้ ลูกพชื ไร่เทา่ กบั 2x ตารางวา และพ้นื ท่ีท่ใี ชป้ ลูกผกั เท่ากบั x + 2x ตารางวา ที่ดินแปลงน้ีมีพ้นื ท่ที ้งั หมด 1,200 ตารางวา ดงั น้นั สมการทไ่ี ดค้ ือ x + 2x + (x + 2x) = 1,200 6x = 1,200 x = 200 ตารางวา ดงั น้นั ทีด่ ินแปลงน้ีใชป้ ลูกไมด้ อก = 200 ตารางวา ปลูกพชื ไร่ 2  200 = 400 ตารางวา และปลูกผกั 200 + 400 = 600 ตารางวา

สรปุ สมกำร หมายถึง ประโยคทแี่ สดงถึงการเท่ากนั ของจานวนโดยมีสญั ลกั ษณ์ “ = ” บอกการเทา่ กนั สมการอาจจะมีตวั แปรหรือไม่มีตวั แปรก็ได้ ตัวแปร หมายถึง จานวนที่ยงั ไม่ทราบค่า หรือเป็ นจานวนท่ีตอ้ งการหาค่า นิยมเขียนตวั แปรดว้ ย สญั ลกั ษณ์ x, y หรือ z คำตอบของสมกำร เป็นจานวนทีแ่ ทนตวั แปรในสมการ แลว้ ทาใหส้ มการเป็นจริง กำรแก้สมกำร เป็ นการหาคาตอบของสมการ ซ่ึงตอ้ งอาศยั สมบตั ิการเทา่ กนั ของจานวนจริง สมบัตกิ ำรเท่ำกันของจำนวนจริง ให้ a, b และ c เป็นจานวนจริงใด ๆ 1. สมบตั ิการสมมาตร ถา้ a = b แลว้ b = a 2. สมบตั ิการบวก ถา้ a = b แลว้ a + c = b + c 3. สมบตั ิการคูณ ถา้ a = b แลว้ ac = b c 4. สมบตั กิ ารแจกแจง a(b + c) = ab + ac 5. สมบตั ิการถ่ายทอด ถา้ a = b และ b = c แลว้ a = c สมกำรเชิงเส้นตัวแปรเดียว หมายถึง สมการท่ีมีตวั แปรเพียงตวั เดียว และเลขช้ีกาลงั ของตวั แปร เป็นหน่ึง เขียนอยใู่ นรูป ax + b เมื่อ a และ b เป็ นคา่ คงตวั a  0 และ x เป็นตวั แปร