E-Book equation with two variables

คณิตศาสตร์พ้ืนฐานอาชีพ สมการเชิงเส้ นสองตัวแปร

คณิตศาสตร์ประยกุ ต์ 1 (2000-1501) 2. สมการเชิงเส้นสองตัวแปร 2.1 บทนา ในการแกป้ ัญหาเกือบทุกสาขาวิชา และงานอาชีพ หากไดน้ าความรู้เร่ืองระบบสมการเชิง เสน้ สองตวั แปร มาช่วยในการหาคาตอบ จะช่วยให้หาคาตอบไดง้ ่ายข้ึน เช่น ในงานช่าง งานดา้ น ธุรกิจเกือบทุกสาขา งานดา้ นเกษตรกรรม 2.2 ความหมายของสมการเชิงเส้นสองตัวแปร สมการเชิงเส้นสองตวั แปร (Linear equation with two variables) คือ สมการที่มีตวั แปร สองตวั เลขช้ีกาลงั ของตวั แปรแต่ละตวั เป็นหน่ึง ตวั แปรท้งั สองตอ้ งอยใู่ นรูปการบวก ลบ และไม่ มีการคูณกนั ระหวา่ งตวั แปร รูปทว่ั ไปของสมการเชิงเสน้ สองตวั แปร ax + by = c เมื่อ a, b และ c เป็นจานวนจริงใด ๆ a และ b  0 เช่น 2x + 3y = 6 14x - 5y = 6 2x + y + 2 = 0 y = 2x – 3 ระบบสมการเชิงเส้นสองตวั แปร คือ การหาความสมั พนั ธข์ องสมการเชิงเส้นสองตวั แปร สองสมการ ซ่ึงเขยี นอยใู่ นรูป a1x + b1y = c1 โดยท่ี a1 และ b1  0 a2x + b2y = c2 โดยที่ a2 และ b2  0 เช่น 5x - y = 3 x + 4y = 30

คณิตศาสตร์ประยกุ ต์ 1 (2000-1501) คาตอบของระบบสมการเชิงเส้นสองตวั แปร คือ คา่ ของ x และ y ทที่ าใหส้ มการท้งั สอง เป็นจริง นิยมเขียนคาตอบของสมการในรูปของคู่อนั ดบั (x, y) คาตอบของสมการเชิงเสน้ สองตวั แปรอาจจะมีคาตอบเดียว หรือหลายคาตอบหรือไม่มีเลยก็ได้ 2.3 การแก้ระบบสมการเชิงเส้นสองตัวแปร ในการแกร้ ะบบสมการเชิงเสน้ สองตวั แปรสามารถหาคาตอบไดห้ ลายวิธี ในหน่วยน้ีจะ เสนอแนวทางการแกส้ มการ 2 แนวทาง ดงั น้ี 6.3.1. การแก้สมการเชิงเส้นสองตวั แปรโดยการแทนค่า การหาคาตอบโดยวิธีน้ีจะใชส้ มบตั ิการเท่ากนั ของจานวนจริง โดยจดั สมการใหม่ ใหต้ วั แปรหน่ึงอยใู่ นรูปของอีกตวั แปรหน่ึงก่อนและแทนค่าลงในสมการมีวธิ ีการดงั น้ี 1.1 จดั รูปตวั แปรในสมการใดสมการหน่ึง ให้ x อยใู่ นรูปของตวั แปร y หรือ y อยใู่ นรูปของตวั แปร x โดยใชส้ มบตั ขิ องความเท่ากนั 1.2 นาตวั แปร x หรือ y ที่จดั รูปแลว้ ไปแทนค่าในสมการที่เหลือ ซ่ึงจะทาให้ สมการน้นั เป็นสมการเชิงเสน้ ตวั แปรเดียว 1.3 แกส้ มการเชิงเสน้ ตวั แปรเดียวหาคา่ ตวั แปร 1.4 นาค่าตวั แปรทไี่ ดไ้ ปแทนค่าในสมการหาค่าตวั แปรท่เี หลือ ตัวอย่างที่ 2.1 จงหาคาตอบของระบบสมการ 3x + 4y = -2 -x + 2y = 4 วธิ ีทา 3x + 4y = -2 …(1) -x + 2y = 4 …(2) จากสมการ (2) -x + 2y = 4 จดั รูปตวั แปร จะได้ x = 2y – 4 …(3) แทนค่า x ในสมการ (1) 3(2y – 4) + 4y = -2 6y – 12 + 4y = -2 10y = 10 y=1 แทนคา่ y = 1 ใน (2) - x + 2(1) = 4

คณิตศาสตร์ประยกุ ต์ 1 (2000-1501) -x = 2 x = -2 ตรวจคาตอบ แทนคา่ x = -2 และ y = 1 3x + 4y = -2 -x + 2y = 4 3(-2) + 4(1) = -2 -(-2) + 2(1) = 4 -6 + 4 = -2 2+2 = 4 -2 = -2 4=4 คาตอบของระบบสมการคือ (-2, 1) ตวั อย่างท่ี 2.2 จงแกส้ มการระบบต่อไปน้ี x+y = 8 5x + 3y = 36 วธิ ีทา ให้ x + y = 8 …(1) 5x + 3y = 36 …(2) จาก (1) จะได้ x = 8 – y แทนค่า x = 8 – y ในสมการ (2) จะได้ 5(8 - y) + 3y = 36 40 – 5y + 3y = 36 40 – 2y = 36 -2y = 36 – 40 -2y = -4 y=2 แทนคา่ y = 2 ในสมการ (1) จะได้ x+ 2 = 8 x = 8–2 x=6 ตรวจคาตอบ แทนค่า x = 6, และ y = 2 ในสมการที่ (1) และ (2) แทนค่าในสมการ (1) แทนคา่ ในสมการ (2) x+y = 8 5x + 3y = 36

คณิตศาสตร์ประยกุ ต์ 1 (2000-1501) 6+2 = 8 5(6) + 3(2) = 36 8=8 30 + 6 = 36 36 = 36 ตวั อย่างที่ 2.3 จงแกส้ มการระบบตอ่ ไปน้ี x - 2y = 3 x-y = 5 วธิ ีทา x - 2y = 3 …(1) x-y = 5 …(2) จากสมการที่ (2) จะได้ x = 5 + y แทนค่า x = 5 + y ในสมการ (1) จะได้ 5 + y - 2y = 3 5–y = 3 5-3 =y 2= y หรือ y = 2 แทนคา่ y = 2 ในสมการ (2) จะได้ x-2 = 5 x = 5+2 x=7 ตรวจคาตอบ แทนคา่ x = 7, และ y = 2 ในสมการท่ี (1) และ (2) แทนค่าในสมการ (1) แทนคา่ ในสมการ (2) x - 2y = 3 x-y = 5 7 – 2(2) = 3 7–2 = 5 7-4 = 3 5=5 3=3 2.3.2 การแก้ระบบสมการเชิงเส้นสองตัวแปรโดยการบวกหรือลบระหว่างสองสมการ การหาคาตอบของระบบสมการโดยวธิ ีน้ี จะตอ้ งทาสมั ประสิทธ์ิของตวั แปรใด ตวั แปรหน่ึงใหเ้ ท่ากนั ก่อน โดยหาจานวนมาคูณในสมการ แลว้ นาสมการมาบวกหรือลบกนั

คณิตศาสตร์ประยกุ ต์ 1 (2000-1501) เพอื่ กาจดั ตวั แปรใดตวั แปรหน่ึงออกไปก่อน หลงั จากน้นั จึงหาค่าทีละตวั แปรโดยมีข้นั ตอนดงั น้ี 1. ทาสมั ประสิทธ์ิของตวั แปรใดตวั แปรหน่ึงใหเ้ ท่ากนั โดยนาจานวนจริงคูณใน สมการ 2. นาสมการท้งั สองมาบวกหรือลบกนั เพอื่ กาจดั ตวั แปรออกไปหน่ึงตวั แปรจะ เหลือเพยี งตวั แปรเดียวเป็นสมการเชิงเสน้ ตวั แปรเดียว 3. แกส้ มการหาค่าตวั แปรที่เหลือ 4. นาค่าตวั แปรทีห่ าไดไ้ ปแทนคา่ ในสมการใดสมการหน่ึงเพอื่ หาค่าตวั แปรอีกหน่ึงตวั 5. ตรวจคาตอบวา่ ถูกตอ้ งหรือไม่ ตวั อย่างที่ 2.4 จงแกร้ ะบบสมการตอ่ ไปน้ี 3x – y = -12 3x + y = 10 วิธีทา 3x – y = -12 …(1) 3x + y = 10 …(2) นาสมการ (1) + (2) ; 6x = -2 x = 2 6 x= 1 3 แทนค่า x = 1 ในสมการ (2) 3 3 1 + y = 10 3 -1 + y = 10 y = 10 + 1 y = 11 ดงั น้นั คาตอบของสมการ คือ x = 1 , y = 11 หรือ ( 1 , 11) 33 ตรวจคาตอบ แทนค่า x = 1 , y = 11 ในสมการ (1) และ (2) 3 3x – y = -12 3x + y = 10 3 1 - 11 = -12 3 1 + 11 = 10 3 3 -1 – 11 = -12 -1 + 11 = 10 -12 = -12 10 = 10

คณิตศาสตร์ประยกุ ต์ 1 (2000-1501) ตัวอย่างที่ 2.5 จงหาคาตอบของระบบสมการตอ่ ไปน้ี x – 2y = 4 3x + 4y = 2 วิธีทา ให้ x – 2y = 4 …(1) 3x + 4y = 2 …(2) นาสมการ (1)  3 ; 3x – 6y = 12 …(3) (3) – (2) ; -6y – 4y = 12 – 2 -10y = 10 y = -1 แทนคา่ y = -1 ใน (2) 3x + 4(-1) = 2 3x – 4 = 2 3x = 6 x=2 ดงั น้นั คาตอบของระบบสมการคือ x = 2, y = -1 หรือ (2, -1) ตรวจคาตอบ แทนค่า x = 2, y = -1 ในสมการ (1) และ (2) x – 2y = 4 3x + 4y = 2 2 – 2(-1) = 4 3(2) + 4(-1) = 2 2+2 = 4 6 + (-4) = 2 4=4 2=2 ตัวอย่างท่ี 2.6 จงแกร้ ะบบสมการต่อไปน้ี 3x + 4y = 6 2x + 3y = 5 วธิ ีทา 3x + 4y = 6 …(1) 2x + 3y = 5 …(2) นา (1)  2 ; 6x + 8y = 12 …(3) นา (2)  3 ; 6x + 9y = 15 …(3) (4) – (3) ; y = 3 แทนคา่ y = 3 ใน (1)

คณิตศาสตร์ประยกุ ต์ 1 (2000-1501) 3x + 4(3) = 6 3x + 12 = 6 3x = -6 x = -2 ดงั น้นั คาตอบของระบบสมการ x = -2, y = 3 หรือ (-2, 3) ตรวจคาตอบ แทนคา่ x = -2, y = 3 ในสมการ (1) และ (2) 3x + 4y = 6 2x + 3y = 5 3(-2) + 4(3) = 6 2(-2) + 3(3) = 5 -6 + 12 = 6 -4 + 9 = 5 6=6 5=5 ตัวอย่างที่ 2.7 จงแกร้ ะบบสมการตอ่ ไปน้ี 3 x - 1 y = -2 …(1) …(2) 42 …(3) 5x + 2y = 7 27 วิธีทา 3 x - 1 y = -2 42 5x + 2y = 7 27 (1)  4 ; 3x – 2y = -8 (2)  14 ; 35x + 4y = 98 …(4) (3)  2 ; 6x – 4y = -16 …(5) (4) + (5) ; 41x = 82 x=2 แทนค่า x = 2 ใน (3) 3(2) - 2y = -8 6 – 2y = -8 6 + 8 = 2y 14 = 2y y=7 ดงั น้นั คาตอบของระบบสมการคือ x = 2, y = 7 หรือ (2, 7)

คณิตศาสตร์ประยกุ ต์ 1 (2000-1501) ตรวจคาตอบ แทนค่า x = 2, y = 7 ในสมการ (3), (4) 3x – 2y = -8 35x + 4y = 98 3(2) – 2(7) = -8 35(2) + 4(7) = 98 6 – 14 = -8 70 + 28 = 98 -8 = -8 98 = 98 2.5 โจทย์สมการเชิงเส้นสองตวั แปร ในการแกป้ ัญหาเกือบทุกสาขาวชิ า หากไดน้ าเอาความรู้เร่ืองระบบสมการเชิงเส้นสองตวั แปรมาช่วยในการหาคาตอบของโจทยป์ ัญหา จะทาใหห้ าคาตอบไดง้ า่ ยข้นึ ข้นั ตอนระบบสมการเชิงเสน้ สองตวั แปร 1. อ่านโจทยใ์ หเ้ ขา้ ใจวา่ โจทยก์ าหนดอะไรมาใหแ้ ละโจทยถ์ ามอะไร 2. กาหนดตวั แปรแทนส่ิงท่ีโจทยต์ อ้ งการ 3. สร้างความสมั พนั ธร์ ะหวา่ งสิ่งท่โี จทยก์ าหนดใหก้ บั ส่ิงทโี่ จทยต์ อ้ งการ 4. แกร้ ะบบสมการ ตวั อย่างที่ 2.8 พอ่ คา้ ขายขา้ วสารหอมมะลิ ราคาถงั ละ 450 บาท มาผสมกบั ขา้ วสารหอมมะลิ ราคาถงั ละ 500 บาท อยา่ งละเทา่ ไร จึงจะไดข้ า้ วสารหอมมะลิ จานวน 20 ถงั ท่ีมีราคาเทา่ กบั 9,400 บาท วิธีทา กาหนดใหข้ า้ วสารหอมมะลิราคาถงั ละ 450 บาท มีจานวน x ถงั กาหนดใหข้ า้ วสารหอมมะลิราคาถงั ละ 500 บาท มีจานวน y ถงั x + y = 20 …(1) 450x + 500 y = 9,400 …(2) จากสมการ (1) y = 20 – x …(3) แทนคา่ y ในสมการ (2) ; 450x + 500(20 – x) = 9,400 -50x = -600 x = 12 แทนค่า x ในสมการ (3) จะได้ y = 8 ตรวจคาตอบ โดยการแทนค่า x = 12 และ y = 8 x + y = 20 450x + 500y = 9,400

คณิตศาสตร์ประยกุ ต์ 1 (2000-1501) 12 + 8 = 20 450(12) + 500(8) = 9,400 20 = 20 5,400 + 4,000 = 9,400 9,400 = 9,400 ตวั อย่างที่ 2.9 เมื่อนบั ขาสุกรและขานก รวมกนั ได้ 168 ขา และนบั หวั สุกรและหวั นกรวมกนั ได้ 50 หวั จงหาวา่ มีสุกรก่ีตวั วิธีทา ใหส้ ุกรมี x ตวั มีนก y ตวั ขาสุกรและขานกรวมกนั ได้ 168 ขา 4x + 2y = 168 …(1) หวั สุกรและหวั นกรวมกนั ได้ 50 หวั x + y = 50 …(2) จากสมการ (2) จะได้ y = 50 – x แทนค่า y = 50 – x ในสมการ (1) 4x + 2 (50 – x) = 168 4x + 100 – 2x = 168 2x = 168 – 100 x = 68 2 x = 34  มีสุกร = 34 ตวั แทนค่า x = 34 ในสมการ (2) จะได้ y = 16 ตรวจคาตอบ แทนคา่ x = 34 และ y = 16 x + y = 50 4x + 2y = 168 34 + 16 = 50 4(34) + 2(16) = 168 50 = 50 136 + 32 = 168 168 = 168

คณิตศาสตร์ประยกุ ต์ 1 (2000-1501) ตัวอย่างที่ 2.10 ฟาร์มโคนมแห่งหน่ึงมีตวั ผแู้ ละโคนมตวั เมียรวมกนั 5,000 ตวั โดยมีจานวน โคนมตวั เมียมากกวา่ ตวั ผอู้ ยู่ 1,300 ตวั จงหาวา่ มีโคนมตวั เมียอยกู่ ่ีตวั วธิ ีทา ให้ x แทนโคนมตวั เมีย y แทนโคนมตวั ผู้ x + y = 5,000 …(1) x – y = 1,300 …(2) นาสมการ (1) + (2) ; 2x = 6,300 x = 6,300 2 x = 3,150 ดงั น้นั ฟาร์มน้ีมีโคนมตวั เมีย 3,150 ตวั แทนค่า (1) จะได้ y = 1,850 ตรวจคาตอบ แทนคา่ สมการ x = 3,150 และ y = 1,850 x + y = 5,000 x – y = 1,300 3,150 + 1,850 = 5,000 3,150 – 1,850 = 1,300 5,000 1,300 = 1,300 สรปุ สมการเชิงเส้นสองตวั แปร คอื สมการทีม่ ีตวั แปรสองตวั เลขช้ีกาลงั ของตวั แปรแต่ละตวั เป็นหน่ึง ตวั แปรท้งั สองตอ้ งอยใู่ นรูปบวก ลบ และไม่มีการคูณกนั ระหวา่ งตวั แปร รูปทว่ั ไปของสมการ คอื ax + by = c เมื่อ a, b, c เป็นจานวนจริงใด ๆ และ a, b  0 ระบบสมการเชิงเส้นสองตัวแปร คอื สมการเชิงเสน้ สองตวั แปรสองสมการซ่ึงอยใู่ นรูป a1x + b1y = c1 โดยท่ี a1  0 และ b1  0 a2x + b2y = c2 โดยที่ a2  0 และ b2  0 คาตอบของสมการเชิงเส้นสองตัวแปร คือ ค่าของ x และ y ที่ทาให้สมการท้งั สองเป็ น จริง นิยมเขียนคาตอบของสมการอยใู่ นรูปคูอ่ นั ดบั (x, y) ซ่ึงคาตอบของระบบสมการเชิงเส้นสอง ตวั แปร จะเป็นจุดตดั ของกราฟเสน้ ตรงสองเสน้