E-Book Measures of Dispersion

คณติ ศาสตร์พนื้ ฐานอาชีพ 20000 1401 การวดั การกระจาย Measure of Dispersion 20

การวดั การกระจาย (Measure of Dispersion) การใชส้ ถติ เิ กย่ี วกับการวดั แนวโนม้ เข้าสู่สว่ นกลาง ซ่ึงเปน็ ค่าท่ที า หนา้ ท่เี ปน็ ตวั แทนกลมุ่ ข้อมลู เพียงอย่างเดียว เม่อื แปล ความหมายขอ้ มลู จงึ ยังไมส่ มบรู ณ์ ไมช่ ดั เจน และ มีโอกาสคลาดเคลอ่ื นได้ สงิ่ ท่ี ควรนามาพจิ ารณาควบคู่ไปกบั การวดั แนวโน้มเข้าสู่ ส่วนกลางก็คือ ลักษณะการกระจายของกลุ่มขอ้ มูล ซงึ่ สถติ ทิ ใี่ ช้คือ การวดั การกระจาย การท่ีข้อมูลแตล่ ะชดุ มคี า่ ตา่ ง ๆ กนั นน้ั เรา เรยี กวา่ ขอ้ มลู มีการกระจาย ถ้าข้อมลู ชดุ นั้นประกอบ ดว้ ยคา่ แตกตา่ งกนั มาก เรยี กวา่ ข้อมลู มกี ารกระจายมาก ถ้าข้อมลู ชุดนนั้ ประกอบด้วยคา่ ต่าง ๆ แตกตา่ ง กนั นอ้ ย หรอื มีคา่ ใกล้เคยี งกนั เรียกวา่ ข้อมลู มีการกระจายน้อย ถา้ ขอ้ มูลนน้ั ประกอบดว้ ยค่าตา่ ง ๆ เท่ากนั หมด เรยี กวา่ ข้อมลู ไม่มกี ารกระจาย ข้อมลู ชดุ ท่ี 1 : 9 , 12 , 37 , 73 , 105 ขอ้ มลู ชดุ ท่ี 2 : 52 , 60 , 63 , 61 , 65 ข้อมูลชดุ ท่ี 3 : 35 , 35 , 35 , 35 , 35 จากข้อมูลทง้ั 3 ชดุ เม่ือเปรียบเทยี บแลว้ พบว่า ข้อมลู ชดุ ที่ 1 มีการกระจายมากทสี่ ดุ ข้อมูลชดุ ที่ 2 มกี ารกระจายรองลงมา สว่ นข้อมูลชดุ ที่ 3 ไมม่ กี ารกระจาย ในการเปรียบเทยี บข้อมลู หลาย ๆ ชดุ ว่าแตกตา่ งกันหรอื ไม่ ควรจะตอ้ งพจิ ารณาถงึ ค่าเฉลี่ย และ การกระจายของข้อมลู ควบคูก่ นั ไปดว้ ย เพื่อจะช่วยใหส้ รปุ หรือแปลความหมายได้อยา่ งถูกตอ้ ง เชน่ เดก็ นักเรียนกล่มุ หนง่ึ วดั คะแนนสอบวชิ าภาษาไทยได้ 75 , 87 , 115 , 118 , 130 เดก็ นักเรียนกลมุ่ สองวดั คะแนนสอบวิชาภาษาไทยได้ 100 ,100 , 105 ,110 , 110 คา่ เฉลย่ี ของคะแนน 2 ชุดน้เี ท่ากัน คอื 105 ถ้าพจิ ารณาเฉพาะค่าเฉลี่ยจะสรุปไดว้ า่ นกั เรียน 2 กลุ่มน้ี มคี ะแนนสอบ วชิ าภาษาไทยอย่ใู นระดับเดยี วกนั แตเ่ มอ่ื พจิ ารณาจากคะแนนแตล่ ะชดุ จะพบว่าคะแนนสอบวชิ าภาษาไทยของนักเรยี นกลุ่มหนึ่ง แตกต่าง กนั มากกว่า คะแนนสอบวชิ าภาษาไทยของนกั เรียนในกลุ่มท่ีสอง น่ันคอื ตามขอ้ สรุปแลว้ คะแนนสอบ วชิ าภาษาไทยของ นักเรยี น 2 กลมุ่ น้แี ตกต่างกนั ดงั นน้ั จึงสรุปได้ว่าถ้าตอ้ งการบรรยายลกั ษณะของขอ้ มูล ใหถ้ ูกต้องสมบรู ณจ์ ะตอ้ งวัดแนวโนม้ เขา้ สู่ สว่ นกลางควบค่ไู ปกบั การวดั การกระจายดว้ ยเสมอ การวัดการกระจาย แบ่งได้ 2 1.การวัดการกระจายสัมบูรณ์ (Absolute Variation) เปน็ การวดั การกระจายขอ้ มลู เพียงชุดเดียว มดี ังน้ี 1. พสิ ัย (Range : R) 2. สว่ นเบย่ี งเบนมาตรฐาน (Standard Deviation : S.D.,S,s) พสิ ัย (Range : R) พสิ ัย หมายถึง การหาการกระจายของขอ้ มูลโดยนาข้อมลู ทีม่ คี า่ สูงท่ีสดุ ลบกบั ข้อมลู ท่มี คี า่ ต่าทีส่ ดุ เพอ่ื ให้ไดค้ ่าท่ีเป็นชว่ งของ การกระจาย ซงึ่ สามารถบอกถงึ ความกวา้ งของข้อมลู ชดุ น้นั ๆ สาหรับสตู รที่ใชใ้ นการหาพิสัยคือ พิสยั (R) = Xmax - Xmin Ex1. จงหาพิสัยจากขอ้ มลู ชดุ นี้ 25,19,32,29,19,21,22,31,19,20,15,22,23,20 วิธีทา สูตร พสิ ัย (R) = Xmax - Xmin = 32 - 15 = 17 ขอ้ มูลชดุ น้มี พี ิสัย(R) เท่ากับ 17 ดงั นน้ั ความแตกตา่ งของขอ้ มลู สูงสุดกับข้อมลู ต่าสดุ มคี ่าเทา่ กบั 17

สว่ นเบีย่ งเบนมาตรฐาน (Standard Deviation : S.D.,S,s) ส่วนเบยี่ งเบนมาตรฐานเปน็ คา่ วดั การกระจายที่สาคญั ทางสถิติ เพราะเปน็ ค่าทใี่ ช้บอกถึงการกระจายของข้อมูลไดด้ ีกวา่ ค่า พสิ ัย และค่าสว่ นเบ่ยี งเบนเฉลี่ย การหาส่วนเบยี่ งเบนมาตรฐานสามารถหาได้ 2 วธิ ี 1.การหาสว่ นเบย่ี งเบนมาตรฐาน(S.D.) ในกรณีขอ้ มลู ไม่ไดม้ กี ารแจกแจงความถ่ี สามารถหาไดจ้ ากสตู ร สุตรที่ 1 หรือ สูตรที่ 2 เมอื่ S.D. คือ สว่ นเบี่ยงเบนมาตรฐาน คอื ข้อมลู ( ตวั ท่ี 1,2,3...,n) คอื คา่ เฉลี่ยเลขคณติ คือ จานวนขอ้ มลู ท้ังหมด หมายเหตุ ในกรณีท่ี เปน็ ทศนิยมทาให้เกิดความยุ่งยากในการคานวณ จึงควรเลือกใชส้ ตู รที่ 2 Ex2.จากขอ้ มลู ต่อไปนจ้ี งหาสว่ นเบย่ี งเบนมาตรฐาน 1, 2, 4, 6, 8, 9 วิธที า ใชส้ ูตรที่ 2 หาคา่ = = 1 + 4 + 16 + 36 + 64 + 91 = 212 หาค่า = 1 + 2 + 4 + 6 + 8 + 9 = 30 = 302 = 900 =6

แทนค่าในสตู ร S.D. = 3.52 2.การหาส่วนเบ่ยี งเบนมาตรฐาน(S.D.) ในกรณีข้อมลู มีการแจกแจงความถ่ี สามารถหาได้จากสตู ร 1. หรอื 2. S.D. คือ สว่ นเบ่ียงเบนมาตรฐาน คอื ความถ่ี คอื จดุ กง่ึ กลางชนั้ คือ ค่าเฉลยี่ เลขคณติ คือ จานวนข้อมลู Ex3.จากตารางข้อมูลต่อไปนจี้ งหาสว่ นเบย่ี งเบนมาตรฐาน คะแนน ความถ่ี( ) 5-9 3 10-14 6 15-19 7 20-24 8 25-29 10 30-34 12 35-39 14

วธิ ที า ใชส้ ตู รท่ี 2 สร้างตารางแจกแจงความถี่ คะแนน 3 7 49 21 147 5-9 6 12 144 72 864 10-14 7 17 289 119 2023 15-19 8 22 484 176 3872 20-24 10 27 729 270 7290 25-29 12 32 1024 384 12288 30-34 14 37 1369 148 19166 35-39 = 60 . . = 1190 = 45650 . 1. หาค่าเฉลย่ี เลขคณติ จากสตู ร = = = 19.83 2.หาสว่ นเบีย่ งเบนมาตรฐาน จากสตู ร = = = 8.79 ่สว่ นเบ่ยี งเบนมาตรฐาน คือ 8.79 * หมายเหตุ* ความแปรปรวน หาไดจ้ าก (S.D)2

2.การวดั การกระจายสมั พัทธ์ (relative Variation) คอื การหาค่าเพอื่ เปรียบเทยี บการกระจายระหวา่ งข้อมลู มากกว่าหน่ึงชดุ โดยใชอ้ ตั ราสว่ น การเปรียบเทยี บการ กระจายของขอ้ มูลระหวา่ งชุดทนี่ ิยมใชม้ ี 2 ชนดิ คอื 1. สัมประสทิ ธขิ์ องพิสยั (coefficient of range) 2.สัมประสิทธข์ิ องการแปรผัน(coefficient of variation) 1. สมั ประสิทธข์ิ องพิสยั (coefficient of range) คือ อตั ราสว่ นระหวา่ งผลต่างของคา่ สงู สดุ และคา่ ต่าสดุ กับผลบวกของคา่ สงู สดุ และตา่ สดุ ของข้อมูลชดุ นัน้ หาได้จากสตู ร Ex4. จงหาสัมประสิทธิ์พสิ ยั จากข้อมูลชดุ นี้ 25,19,32,29,19,21,22,31,19,20,15,22,23,20 วิธีทา สูตร = = = = .3617 ทาเปน็ เปอรเ์ ซน็ ตด์ ้วยการ x 100 = 36.17% ดังนนั้ สมั ประสทิ ธพิ์ ิสยั ของข้อมูลชดุ นี้ = 36.17% 2. สมั ประสทิ ธข์ิ องการแปรผนั (coefficient of variation) ตวั ย่อ(C.V.) อัตราส่วนระหวา่ งสว่ นเบ่ียงเบนมาตรฐานกบั คา่ เฉลี่ยเลข คณิตของขอ้ มลู ชดุ นน้ั สูตร เมือ่ C.V. คือ สัมประสิทธิข์ องการแปรผนั s คอื ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน คอื ค่าเฉลยี่ เลขคณติ จาก Ex3. จงหาสมั ประสทิ ธืก์ ารแปรผนั จะได้ = 19.83 จะได้ S (S.D.) = 8.79 = 8.79 19.83 = 0.3584 ทาเปน็ เปอร์เซน็ ตด์ ว้ ยการ x 100 ดังนน้ั สมั ประสทิ ธิพ์ ิสัยของข้อมลู ชดุ น้ี = 35.84 %