E-Book

2. สมการเชิงเส้นสองตัวแปร 2.1 บทนำ ในการแกป้ ัญหาเกือบทกุ สาขาวิชา และงานอาชีพ หากไดน้ าความรู้เรื่องระบบสมการเชิงเส้นสอง ตวั แปร มาช่วยในการหาคาตอบ จะช่วยใหห้ าคาตอบไดง้ า่ ยข้ึน เช่น ในงานช่าง งานดา้ นธุรกิจเกือบทุกสาขา งานดา้ นเกษตรกรรม 2.2 ควำมหมำยของสมกำรเชิงเส้นสองตัวแปร สมการเชิงเส้นสองตวั แปร (Linear equation with two variables) คือ สมการที่มีตวั แปรสองตวั เลขช้ีกาลงั ของตวั แปรแต่ละตวั เป็ นหน่ึง ตวั แปรท้งั สองตอ้ งอยู่ในรูปการบวก ลบ และไม่มีการคูณกัน ระหวา่ งตวั แปร รูปทวั่ ไปของสมการเชิงเสน้ สองตวั แปร ax + by = c เม่ือ a, b และ c เป็นจานวนจริงใด ๆ a และ b  0 เช่น 2x + 3y = 6 14x - 5y = 6 2x + y + 2 = 0 y = 2x – 3 ระบบสมการเชิงเส้นสองตวั แปร คือ การหาความสัมพนั ธ์ของสมการเชิงเส้นสองตวั แปรสอง สมการ ซ่ึงเขียนอยใู่ นรูป a1x + b1y = c1 โดยท่ี a1 และ b1  0 a2x + b2y = c2 โดยที่ a2 และ b2  0 เช่น 5x - y = 3 x + 4y = 30

คำตอบของระบบสมกำรเชิงเส้นสองตวั แปร คอื ค่าของ x และ y ที่ทาใหส้ มการท้งั สองเป็ นจริง นิยมเขียนคาตอบของสมการในรูปของคู่อนั ดบั (x, y) คาตอบของสมการเชิงเสน้ สองตวั แปรอาจจะมี คาตอบเดียว หรือหลายคาตอบหรือไม่มีเลยกไ็ ด้ 2.3 กำรแก้ระบบสมกำรเชิงเส้นสองตัวแปร ในการแกร้ ะบบสมการเชิงเสน้ สองตวั แปรสามารถหาคาตอบไดห้ ลายวธิ ี ในหน่วยน้ีจะเสนอแนว ทางการแกส้ มการ 2 แนวทาง ดงั น้ี 2.3.1. กำรแก้สมกำรเชิงเส้นสองตวั แปรโดยกำรแทนค่ำ การหาคาตอบโดยวธิ ีน้ีจะใชส้ มบตั ิการเท่ากนั ของจานวนจริง โดยจดั สมการใหม่ ให้ตวั แปร หน่ึงอยใู่ นรูปของอีกตวั แปรหน่ึงก่อนและแทนคา่ ลงในสมการมีวธิ ีการดงั น้ี 1.1 จดั รูปตวั แปรในสมการใดสมการหน่ึง ให้ x อยใู่ นรูปของตวั แปร y หรือ y อยใู่ นรูปของตวั แปร x โดยใชส้ มบตั ขิ องความเทา่ กนั 1.2 นาตวั แปร x หรือ y ท่ีจดั รูปแลว้ ไปแทนค่าในสมการท่ีเหลือ ซ่ึงจะทาใหส้ มการน้นั เป็นสมการเชิงเสน้ ตวั แปรเดียว 1.3 แกส้ มการเชิงเสน้ ตวั แปรเดียวหาค่าตวั แปร 1.4 นาคา่ ตวั แปรที่ไดไ้ ปแทนค่าในสมการหาคา่ ตวั แปรทเี่ หลือ ตวั อย่ำงที่ 2.1 จงหาคาตอบของระบบสมการ 3x + 4y = -2 -x + 2y = 4 วธิ ีทำ 3x + 4y = -2 …(1) -x + 2y = 4 …(2) จากสมการ (2) -x + 2y = 4 จดั รูปตวั แปร จะได้ x = 2y – 4 …(3) แทนค่า x ในสมการ (1) 3(2y – 4) + 4y = -2 6y – 12 + 4y = -2 10y = 10 y=1 แทนค่า y = 1 ใน (2) - x + 2(1) = 4 -x = 2

x = -2 ตรวจคาตอบ แทนค่า x = -2 และ y = 1 3x + 4y = -2 -x + 2y = 4 3(-2) + 4(1) = -2 -(-2) + 2(1) = 4 -6 + 4 = -2 2+2 = 4 -2 = -2 4=4 คาตอบของระบบสมการคอื (-2, 1) ตัวอย่ำงท่ี 2.2 จงแกส้ มการระบบตอ่ ไปน้ี x+y = 8 5x + 3y = 36 วธิ ีทำ ให้ x + y = 8 …(1) 5x + 3y = 36 …(2) จาก (1) จะได้ x = 8 – y แทนค่า x = 8 – y ในสมการ (2) จะได้ 5(8 - y) + 3y = 36 40 – 5y + 3y = 36 40 – 2y = 36 -2y = 36 – 40 -2y = -4 y=2 แทนคา่ y = 2 ในสมการ (1) จะได้ x+ 2 = 8 x = 8–2 x=6 ตรวจคาตอบ แทนคา่ x = 6, และ y = 2 ในสมการท่ี (1) และ (2) แทนคา่ ในสมการ (1) แทนคา่ ในสมการ (2) x+y = 8 5x + 3y = 36 6+2 = 8 5(6) + 3(2) = 36 8 = 8 30 + 6 = 36 36 = 36

ตวั อย่ำงท่ี 2.3 จงแกส้ มการระบบตอ่ ไปน้ี x - 2y = 3 x-y = 5 วิธีทำ x - 2y = 3 …(1) x-y = 5 …(2) จากสมการท่ี (2) จะได้ x = 5 + y แทนค่า x = 5 + y ในสมการ (1) จะได้ 5 + y - 2y = 3 5–y = 3 5-3 =y 2= y หรือ y = 2 แทนคา่ y = 2 ในสมการ (2) จะได้ x-2 = 5 x = 5+2 x=7 ตรวจคาตอบ แทนคา่ x = 7, และ y = 2 ในสมการที่ (1) และ (2) แทนคา่ ในสมการ (1) แทนค่าในสมการ (2) x - 2y = 3 x-y = 5 7 – 2(2) = 3 7–2 = 5 7-4 = 3 5=5 3=3 2.3.2 กำรแก้ระบบสมกำรเชิงเส้นสองตัวแปรโดยกำรบวกหรือลบระหว่ำงสองสมกำร การหาคาตอบของระบบสมการโดยวธิ ีน้ี จะตอ้ งทาสมั ประสิทธ์ิของตวั แปรใด ตวั แปรหน่ึงใหเ้ ทา่ กนั ก่อน โดยหาจานวนมาคูณในสมการ แลว้ นาสมการมาบวกหรือลบกนั เพอ่ื กาจดั ตวั แปรใดตวั แปรหน่ึงออกไปก่อน หลงั จากน้นั จงึ หาค่าทีละตวั แปรโดยมีข้นั ตอนดงั น้ี 1. ทาสมั ประสิทธ์ิของตวั แปรใดตวั แปรหน่ึงใหเ้ ทา่ กนั โดยนาจานวนจริงคูณใน สมการ 2. นาสมการท้งั สองมาบวกหรือลบกนั เพอื่ กาจดั ตวั แปรออกไปหน่ึงตวั แปรจะ เหลือเพยี งตวั แปรเดียวเป็นสมการเชิงเสน้ ตวั แปรเดียว

3. แกส้ มการหาค่าตวั แปรทเ่ี หลือ 4. นาคา่ ตวั แปรที่หาไดไ้ ปแทนคา่ ในสมการใดสมการหน่ึงเพอื่ หาคา่ ตวั แปรอีกหน่ึงตวั 5. ตรวจคาตอบวา่ ถูกตอ้ งหรือไม่ ตวั อย่ำงที่ 2.4 จงแกร้ ะบบสมการต่อไปน้ี 3x – y = -12 3x + y = 10 วิธีทำ 3x – y = -12 …(1) 3x + y = 10 …(2) นาสมการ (1) + (2) ; 6x = -2 x = 2 6 x= 1 3 แทนคา่ x = 1 ในสมการ (2) 3 3 1 + y = 10 3 -1 + y = 10 y = 10 + 1 y = 11 ดงั น้นั คาตอบของสมการ คอื x = 1 , y = 11 หรือ ( 1 , 11) 33 ตรวจคาตอบ แทนค่า x = 1 , y = 11 ในสมการ (1) และ (2) 3 3x – y = -12 3x + y = 10 3 1 - 11 = -12 3 1 + 11 = 10 3 3 -1 – 11 = -12 -1 + 11 = 10 -12 = -12 10 = 10 ตัวอย่ำงท่ี 2.5 จงหาคาตอบของระบบสมการต่อไปน้ี …(1) x – 2y = 4 …(2) 3x + 4y = 2 วิธีทำ ให้ x – 2y = 4 3x + 4y = 2

นาสมการ (1)  3 ; 3x – 6y = 12 …(3) (3) – (2) ; -6y – 4y = 12 – 2 -10y = 10 y = -1 แทนค่า y = -1 ใน (2) 3x + 4(-1) = 2 3x – 4 = 2 3x = 6 x=2 ดงั น้นั คาตอบของระบบสมการคือ x = 2, y = -1 หรือ (2, -1) ตรวจคาตอบ แทนค่า x = 2, y = -1 ในสมการ (1) และ (2) x – 2y = 4 3x + 4y = 2 2 – 2(-1) = 4 3(2) + 4(-1) = 2 2+2 = 4 6 + (-4) = 2 4=4 2=2 ตวั อย่ำงที่ 2.6 จงแกร้ ะบบสมการต่อไปน้ี 3x + 4y = 6 2x + 3y = 5 วิธีทำ 3x + 4y = 6 …(1) 2x + 3y = 5 …(2) นา (1)  2 ; 6x + 8y = 12 …(3) นา (2)  3 ; 6x + 9y = 15 …(3) (4) – (3) ; y = 3 แทนค่า y = 3 ใน (1) 3x + 4(3) = 6 3x + 12 = 6 3x = -6 x = -2 ดงั น้นั คาตอบของระบบสมการ x = -2, y = 3 หรือ (-2, 3) ตรวจคาตอบ แทนคา่ x = -2, y = 3 ในสมการ (1) และ (2) 3x + 4y = 6 2x + 3y = 5 3(-2) + 4(3) = 6 2(-2) + 3(3) = 5

-6 + 12 = 6 -4 + 9 = 5 6=6 5=5 ตัวอย่ำงท่ี 2.7 จงแกร้ ะบบสมการต่อไปน้ี 3 x - 1 y = -2 …(1) …(2) 42 …(3) 5x + 2y = 7 27 วิธีทำ 3 x - 1 y = -2 42 5x + 2y = 7 27 (1)  4 ; 3x – 2y = -8 (2)  14 ; 35x + 4y = 98 …(4) (3)  2 ; 6x – 4y = -16 …(5) (4) + (5) ; 41x = 82 x=2 แทนคา่ x = 2 ใน (3) 3(2) - 2y = -8 6 – 2y = -8 6 + 8 = 2y 14 = 2y y=7 ดงั น้นั คาตอบของระบบสมการคือ x = 2, y = 7 หรือ (2, 7) ตรวจคาตอบ แทนคา่ x = 2, y = 7 ในสมการ (3), (4) 3x – 2y = -8 35x + 4y = 98 3(2) – 2(7) = -8 35(2) + 4(7) = 98 6 – 14 = -8 70 + 28 = 98 -8 = -8 98 = 98 2.5 โจทย์สมกำรเชิงเส้นสองตัวแปร ในการแกป้ ัญหาเกือบทุกสาขาวิชา หากไดน้ าเอาความรู้เร่ืองระบบสมการเชิงเสน้ สองตวั แปรมา ช่วยในการหาคาตอบของโจทยป์ ัญหา จะทาใหห้ าคาตอบไดง้ า่ ยข้นึ ข้นั ตอนระบบสมการเชิงเสน้ สองตวั แปร 1. อ่านโจทยใ์ หเ้ ขา้ ใจวา่ โจทยก์ าหนดอะไรมาใหแ้ ละโจทยถ์ ามอะไร

2. กาหนดตวั แปรแทนสิ่งท่โี จทยต์ อ้ งการ 3. สร้างความสมั พนั ธร์ ะหวา่ งส่ิงท่โี จทยก์ าหนดใหก้ บั ส่ิงที่โจทยต์ อ้ งการ 4. แกร้ ะบบสมการ ตัวอย่ำงที่ 2.8 พอ่ คา้ ขายขา้ วสารหอมมะลิ ราคาถงั ละ 450 บาท มาผสมกบั ขา้ วสารหอมมะลิ ราคาถงั ละ 500 บาท อยา่ งละเท่าไร จงึ จะไดข้ า้ วสารหอมมะลิ จานวน 20 ถงั ที่มีราคาเทา่ กบั 9,400 บาท วิธีทำ กาหนดใหข้ า้ วสารหอมมะลิราคาถงั ละ 450 บาท มีจานวน x ถงั กาหนดใหข้ า้ วสารหอมมะลิราคาถงั ละ 500 บาท มีจานวน y ถงั x + y = 20 …(1) 450x + 500 y = 9,400 …(2) จากสมการ (1) y = 20 – x …(3) แทนค่า y ในสมการ (2) ; 450x + 500(20 – x) = 9,400 -50x = -600 x = 12 แทนคา่ x ในสมการ (3) จะได้ y = 8 ตรวจคาตอบ โดยการแทนคา่ x = 12 และ y = 8 x + y = 20 450x + 500y = 9,400 12 + 8 = 20 450(12) + 500(8) = 9,400 20 = 20 5,400 + 4,000 = 9,400 9,400 = 9,400 ตวั อย่ำงที่ 2.9 เม่ือนบั ขาสุกรและขานก รวมกนั ได้ 168 ขา และนบั หวั สุกรและหวั นกรวมกนั ได้ 50 หวั จงหาวา่ มีสุกรกี่ตวั วธิ ีทำ ใหส้ ุกรมี x ตวั มีนก y ตวั ขาสุกรและขานกรวมกนั ได้ 168 ขา 4x + 2y = 168 …(1)

หวั สุกรและหวั นกรวมกนั ได้ 50 หวั …(2) x + y = 50 จากสมการ (2) จะได้ y = 50 – x แทนคา่ y = 50 – x ในสมการ (1) 4x + 2 (50 – x) = 168 4x + 100 – 2x = 168 2x = 168 – 100 x = 68 2 x = 34  มีสุกร = 34 ตวั แทนค่า x = 34 ในสมการ (2) จะได้ y = 16 ตรวจคาตอบ แทนคา่ x = 34 และ y = 16 x + y = 50 4x + 2y = 168 34 + 16 = 50 4(34) + 2(16) = 168 50 = 50 136 + 32 = 168 168 = 168 ตัวอย่ำงท่ี 2.10 ฟาร์มโคนมแห่งหน่ึงมีตวั ผแู้ ละโคนมตวั เมียรวมกนั 5,000 ตวั โดยมีจานวน โคนมตวั เมียมากกวา่ ตวั ผอู้ ยู่ 1,300 ตวั จงหาวา่ มีโคนมตวั เมียอยกู่ ่ีตวั วิธีทำ ให้ x แทนโคนมตวั เมีย y แทนโคนมตวั ผู้ x + y = 5,000 …(1) x – y = 1,300 …(2) นาสมการ (1) + (2) ; 2x = 6,300 x = 6,300 2 x = 3,150 ดงั น้นั ฟาร์มน้ีมีโคนมตวั เมีย 3,150 ตวั แทนค่า (1) จะได้ y = 1,850

ตรวจคาตอบ แทนคา่ สมการ x = 3,150 และ y = 1,850 x + y = 5,000 x – y = 1,300 3,150 + 1,850 = 5,000 3,150 – 1,850 = 1,300 5,000 1,300 = 1,300 สรปุ สมกำรเชิงเส้นสองตัวแปร คือ สมการท่มี ีตวั แปรสองตวั เลขช้ีกาลงั ของตวั แปรแต่ละตวั เป็ นหน่ึง ตวั แปรท้งั สองตอ้ งอยใู่ นรูปบวก ลบ และไม่มีการคูณกนั ระหวา่ งตวั แปร รูปทวั่ ไปของสมการ คือ ax + by = c เมื่อ a, b, c เป็นจานวนจริงใด ๆ และ a, b  0 ระบบสมกำรเชิงเส้นสองตวั แปร คอื สมการเชิงเสน้ สองตวั แปรสองสมการซ่ึงอยใู่ นรูป a1x + b1y = c1 โดยที่ a1  0 และ b1  0 a2x + b2y = c2 โดยที่ a2  0 และ b2  0 คำตอบของสมกำรเชิงเส้นสองตัวแปร คือ คา่ ของ x และ y ที่ทาใหส้ มการท้งั สองเป็ นจริง นิยม เขียนคาตอบของสมการอยใู่ นรูปคู่อนั ดบั (x, y) ซ่ึงคาตอบของระบบสมการเชิงเส้นสองตวั แปร จะเป็ น จดุ ตดั ของกราฟเสน้ ตรงสองเสน้