Tuzson Zoltán Teszteld magad matematikából! második javított kiadás 2019 1
2
Ajánlás A könyvet lektorálta, és kipróbálta az egész országra kiterjedő diákokkal is, Bíró G. Albert matematika tanár. Ugyanakkor a köny- vet az ország számos iskolájában használják. A jelen könyv tesztanyaga szervesen illeszkedik a Fleximo- del oktatási rendszerhez. Én, Tuzson Zoltán szerző, folyamatosan fogom biztosítani online módon (kép és hanganyag) kommunikációval a tanácsadást és monitorizálást, az érdeklődők igényei szerint, ellenben az előzetes bejelentkezés kötelező. A Szerző 3
Tuzson Zoltán Teszteld magad matematikából! második javított kiadás 200 matematikafeladat megoldással IX-XII. osztályos tanulóknak 4
5
Tartalom Előszó Tesztfeladatok 1. Teszt: 9. osztályos algebra……………………………………….7 2. Teszt: 9. osztályos mértan és trigonometria…………………….11 3. Teszt: 10. osztályos algebra……………………………………..15 4. Teszt: 10. osztályos koordinátageometria……………………….18 5. Teszt: 11. osztályos algebra……………………………………...22 6. Teszt: 11. osztályos matematikai analízis……………………….27 7. Teszt: 12. osztályos algebra…………………………………......31 8. Teszt: 12. osztályos matematikai analízis……………………….35 Megoldókulcsok………………………………………………………….39 Megoldások 1. Teszt: 9. osztályos algebra……………………………………….42 2. Teszt: 9. osztályos mértan és trigonometria……………………..46 3. Teszt: 10. osztályos algebra……………………………………...50 4. Teszt: 10. osztályos koordinátageometria………………………..53 5. Teszt: 11. osztályos algebra……………………………………...56 6. Teszt: 11. osztályos matematikai analízis………………………..63 7. Teszt: 12. osztályos algebra……………………………………...68 8. Teszt: 12. osztályos matematikai analízis………………………..72 6
Előszó Ebben a könyvben az Olvasó 200 matematika feladatot talál, mindösz- sze 8 tesztben. A teszteket az érvényben levő M1-es és M2-es tanterv elő- írásai szerint állítottam össze. Az első két teszt a kilencedik osztályos tan- anyagból készült, a harmadik és negyedik teszt tizedikes tananyagból, az ötödik és hatodik teszt a tizenegyedikes tananyagból, a hetedik és a nyolca- dik teszt pedig tizenkettedikes tananyagból készült. Tehát a könyv teljes anyagát a végzős tanulóknak szántuk, de a 9., 10., és 11. osztályos tanulók is találnak maguknak évfolyamonként 2-2 tesztet, amelyeket tanácsos az illető tanév végén elvégezni. Minden teszt 25 feladatból áll. Ezek a feladatok felelet választósok, vagyis minden feladat után öt válasz található A, B, C, D, E betűkkel jelöl- ve, amelyek közül csak egy helyes. A feladatok ellenben nem úgy vannak összeállítva, hogy a feleletet könnyen kitaláljuk esetleg megtippeljük. Nem is ez a cél, hanem az, hogy a feladatokat papírral és ceruzával megoldjuk, és csak ez után válasszuk ki, hogy az öt válasz közül melyik is a helyes. Az ilyen feladatválasztós feladatok napjainkban is divatosak, például a Zrínyi (Gordiusz), Bolyai matematika versenyeken is ilyenekkel találkozunk, de több egyetemre való felvételi vizsgán is ilyen rendszerűek a feladatok, pél- dául a kolozsvári Műszaki Egyetemen, vagy temesvári egyetemeken. A feladatokat gondosan válogattuk össze úgy, hogy lehetőleg minél jobban átfésüljék az illető osztály tananyagát. A feladatok szerkesztésénél nem arra törekedtünk, hogy valami egyedi trükköt, vagy mesterkélt fogást rejtsünk el bennük, hanem azt akartuk, hogy minél tanulságosabbak és át- fogóbb jellegűek legyenek. Nagyon reméljük, hogy a tesztek feladatainak a megoldása során a ta- nulók többlet tapasztalatra, újabb ismeretekre és ötletekre tesznek szert, amelyeket sikerrel hasznosíthatnak az érettségi vizsgákon és az egyetemek- re való felvételi vizsgákon, valamint az egyes matematika versenyeken is. A Szerző 7
1. Teszt 9. osztályos algebra 1. Az A = {7,11,15,...,999} halmaz elemeinek a száma: A. 248 B. 249 C. 250 D. 251 E. 252 2. Ha 1 = 0, a1a2a3...an... akkor az a2012 számjegy értéke egyenlő: 7 A. 1 B. 4 C. 2 D. 8 E. más válasz 3. Az A = 9 − 80 − 9 + 80 szám értéke: A. pozitív egész szám B. negatív egész szám C. nem egész szám D. irracionális szám E. nulla 4. Ha A = 2 , 4 , 6 ,..., 100 és B = {x ∈ A; x −1 < 0,1} , akkor a B halmaz 1 3 5 99 elemeinek a száma: A. 41 B. 42 C. 43 D. 44 E. 45 5. Az S = 1 + 2 + 3 + ... + 2013 összeg értéke egyenlő: 2 2 2 2 A. 1007 ×1008 B. 1006 ×1007 C. 10062 2 2 D. 10072 E. 1006 ×1007 6. Az m ∈ értéke amelyre x2 + y2 − 4x + 6y + m > 0, ∀x, y ∈ egyenlő: A. B. (−∞,13) C. (−∞,13] D. 13,+∞) E. (13,+∞) 7. Ha x, y ∈ *+ , akkor az E(x, y) = x + y + 1 + 1 kifejezés minimuma xy egyenlő: A. 0 B. 2 C. 4 D. 16 E. más válasz 8. Egy számtani haladványban a1 = 33 és az első 10 tag összege 420. Ak- kor a haladvány állandó különbsége egyenlő: 8
A. 1 B. 3 C. 4 D. 2 E. más válasz 9. Az x ∈ * szám értéke amelyre 2 + 7 + 12 + … + x = 245 , egyenlő: A. 45 B. 46 C. 47 D. 48 E. 49 10. Ha egy számtani haladvány tagjaira igaz, hogy 2x4 + 3x21 = 13 , akkor az x7 + 4x16 értéke egyenlő: A. 13 B. 14 C. 15 D. 17 E. 18 11. Egy számtani sorozat harmadik tagja 7. Akkor a sorozat első öt tagjá- nak az összege egyenlő: A. 55 B. 45 C. 15 D. 25 E. 35 12. Egy mértani sorozat harmadik tagja 3. Akkor a sorozat első öt tagjának a szorzata egyenlő: A. 242 B. 243 C. 244 D. 245 E. 246 13. Ha f : → , f (x) = (m + 3)x + 2m + 7 , akkor az m ∈ értéke amely- re az A(m − 4, m +11) pont az f függvény ábráján van, egyenlő: A. 4 B. –4 C. 4 vagy –4 D. 1 E. más válasz 14. Ha f : → , f (x) = 2x , akkor az Im( f ) függvényérték képhal- x2 +1 maz egyenlő: A. (−∞,−1] B. 1,+∞) C. [−1,1] D. E. 15. Az f : → , f (x) = −2x2 + mx függvény ábrája teljes egészében az y = 1 egyenes alatt van, ha m a következő halmaz eleme: ( )A. −2 2,2 2 B. (− 2, 2 ) C. (−2,2) D. E. (−1,1) 16. Ha m ∈ * , akkor az y = mx2 + 2(m +1)x + m + 2 parabola csúcsi a következő egyenesen vannak: A. y = x B. y = x +1 C. y = x −1 D. y = −x −1 E. y = −x + 1 9
17. Az m ∈ értéke amelyre az f : → , f (x) = x2 − mx + 2 függvény szigorúam növekvő a [−1,1] intervallumon: A. [−2, 2] B. (−∞,−2] C. (−∞,−2) D. E. más válasz 18. Az a ∈ * értéke, amelyre az fa , ga : → , fa (x) = ax2 − (a + 2)x −1, ga (x) = x2 − x − a függvények grafikus képei érintik egymást: A. {−1,2} B. {−1,3} C. {3} D. 13 ,3 E. nincs ilyen 19. Az x2 − 4 x + 3 = 0 egyenlet valós megoldásainak a száma egyenlő: A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 E. 4 20. Az E(x) = x2 − 2(m −1)x + m +1 tört akkor értelmezett minden x∈ mx2 − mx + 1 értékre, ha A. m ∈ B. m = 4 C. m = −1 D. (0, 4) E. más válasz 21. Jelölje [a] az a valós szám egész részét. Akkor az x + 4 = 2 egyenlet 2 valós megoldásai: A. x = 0 B. x = 1 C. x ∈{0,1} D. x ∈[0, 2) E. más válasz 22. Ha n ∈ , és E(n) = n3 + 3n2 + 2n , akkor E(n) mindig osztható: A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 E. 9 23. Ha an = n+1 minden n ∈ esetén, akkor az (an )n∈N sorozatról állít- 3n +1 ható, hogy: A. alulról B. felülről C. korlátlan D. szigorú- E. szigorúan korlátlan korlátlan an növekvő csökkenő 24. Az x − 3 ⋅ x + 2 = x + 2 egyenlet valós megoldásainak a száma: A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 E. más válasz 10
25. Ha f : ∗ → és f (n) = u(2n ) a 2n szám utolsó számjegye, akkor az f (n) függvény főperiódusa egyenlő: A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 E. más válasz 11
2. Teszt 9. osztályos mértan és trigonometria 1. Hány oldalú az a konvex sokszög amelynek a szögei 20° rációval ren- delkező számtani haladványt alkotnak, és a legkisebb szöge 68° A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 E. más válasz 2. Ha P egy ABCD négyzet belső pontja, és PA = 12 cm , PB = 20 cm , PC = 65 cm , akkor a PD szakasz hossza egyenlő: A. 63 cm B. 64 cm C. 65 cm D. 66 cm E. 67 cm 3. Ha az ABC háromszög két magassága 6 cm illetve 10 cm, akkor a har- madik magasságra igaz, hogy: A. kisebb mint 15 cm B. egyenlő 15 cm C. nagyobb mint 15 cm D. akármennyi lehet E. egész szám 4. Ha egy ABC háromszögben AB = 3 cm , AC = 4 cm és m(BAC) = 60° , akkor a háromszög kerülete egyenlő: A. 12 cm2 B. 7 + 2 cm2 C. 7 + 13 cm2 D. 7 − 13 cm2 E. más válasz 5. Ha egy ABC háromszög oldalhosszainak a mérőszáma rendre 5, 7, 8, akkor az ABC háromszög köré írt kör sugara egyenlő: A. 5 B. 4 C. 6 D. 7 E. 8 23 3 3 3 3 6. Ha az ABC háromszögben b = 4 cm , c = 3 cm és az A-ból húzott szögfe- lező hossza 2 cm, akkor a cos A értéke egyenlő: 2 A. 1 B. 5 C. 7 D. 11 E. más válasz 12 12 12 12 7. Ha az ABCD négyzetben AB = 4 cm , akkor az AB ⋅ AC értéke egyenlő: A. 16 cm B. 15 cm C. 14 cm D. 13 cm E. 12 cm 12
8. Ha az ABCD téglalapban AB = 10 cm , BC = 6 cm és M a BC szakasz felezőpontja, akkor az AB + BM értéke egyenlő: A. 110 B. 109 C. 111 D. 112 E. 116 9.Ha A(1, 2) , B(2,3) és C(3, n) akkor az n ∈ értéke, amelyre AB ⋅ BC = 0 egyenlő: A. 5 B. 3 C. 4 D. 2 E. 6 10. Ha AB és CD az O középpontú körkét egymásra merőleges húrja a P pontban metszik egymást, akkor a PA + PB + PC + PD összeg értéke egyenlő: A. PO B. 2PO C. 3PO D. 4PO E. 5PO 11. Ha a = 1, b = 2 és a + b = 3 , akkor a a − b értéke egyenlő: A. 3 B. 2 C. 5 D. 4 E. 3 12. Az A = sin 0° + sin1° + ... + sin 90° tört értéke egyenlő: cos 0° + cos1° + ... + cos90° A. –1 B. 0 C. 1 D. 2 E. más érték 13. A T = tg1° ⋅ tg 2° ⋅ tg3° ⋅...⋅ tg89° szorzat értéke egyenlő: A. –1 B. 0 C. 1 D. 2 E. más érték 14. Ha S = sin2012 x + cos2012 x , akkor minden x ∈ értékre igaz, hogy: A. S = 1 B. S ≥ 1 C. S ≤ 1 D. S > 2 E. 1 < S ≤ 2 15. Ha ∈ 0, és cos = 1 , akkor az E = tg + 4ctg kifejezés ér- 2 3 ctg − 3tg téke egyenlő: A. − 12 B. 11 C. − 12 D. 12 E. más érték 23 13 25 17 16. Ha egy ABC háromszögben sin A = sin B + sin C , akkor a háromszög: cos B + cosC A. derékszögű B. egyenlő oldalú C. egyenlő szárú D. egyenlő szárú derékszögű E. általános 13
17. Ha egy a, b, c oldalú ABC háromszögben b cosC − c cos B = b2 − c2 , a akkor háromszög: A. egyenlő oldalú B. egyenlő szárú C. általános D. egyenlő szárú derékszögű E. derékszögű 18. Egy ABC háromszögben a sin A ⋅ sin B ⋅ sin C szorzat értéke egyenlő: pr pR pr pR E. más válasz A. 3R2 B. 2r2 C. 2R2 D. 3r2 19. Az x = arctg 1 + arctg 1 összeg értéke egyenlő: 23 A. B. C. D. E. 4362 20. Az S = cos 40° + cos 70° + cos110° + cos140° összeg értéke egyenlő: A. 0 B. 2 C. 1 D. 1 E. 3 22 21. Legyen M a sík egy tetszőleges pontja, és OazABCD paralelogramma átlóinak a metszéspontja. Akkor az MA + MB + MC + MD összeg értéke egyenlő B. 2MO C. 3MO D. 4MO E. 5MO A. MO 22. Tekintsük a következő pontokat: A(1,0), B(7,2), C(5,3), D(2,2). Akkor az ABCD négyszög A. négyzet B. rombusz C. téglalap D. paralelo- E. általános gramma 23. A 2x2 − 3xy + y2 + x − y = 0 egyenlet a síkban A. két met- B. két pár- C. egy kör D. egy E. két pont sző egyenes huzamos egyenlete egyenes koordinátája egyesített egyenes egyenlete egyenlete egyesített egyenlete 24. Az E(x) = sin6 x + cos6 x kifejezés értéke egyenlő: 14
A. 1 − 2sin2 x cos2 x B. 1 + 2sin2 x cos2 x C. 1 + 3sin2 x cos2 x D. 1 − 3sin2 x cos2 x E. 1 25. Az ABC derékszögű háromszögben A = 90 és R a háromszög köré írt kör sugara. Akkor az a2 + b2 + c2 összeg egyenlő A. 2R2 B. 8R2 C. 4R2 D. 6R2 E. R2 15
3. Teszt 10. osztályos algebra 1. Az a = log3 2 szám értékéről állíthatjuk, hogy: A. pozitív racionális B. negatív racionális C. pozitív egész D. negatív egész E. irracionális 2. Ha a = log2 3; b = 1,5; c = log3 4 , akkor igaz, hogy: A. c < b < a B. a < b < c C. b < c < a D. a < c < b E. c < a < b 3. Az E = (i10 − 1)(i8 − 1)...(i 2 − 1) tört értéke egyenlő: (i9 − 1)(i 7 − 1)...(i1 − 1) A. –1 B. 1 C. 0 D. i E. –i 4. Ha a+ 1 = −1 , akkor az a 2012 + 1 összeg értéke egyenlő: a a 2012 A. –1 B. 0 C. 1 D. 1 E. 2 2 5. Az f : → , f (x) = x −1 + x +1 függvény minden x ∈ esetén: A. bijektív B. injektív de C. se nem injektív, nem szürjektív se nem szürjektív D. szürjektív de nem injektív E. állandó 6. Ha f : → , 2f (x) − 3 f 1 = 4x2, ∀ x ∈ * akkor az f (2) értéke x egyenlő: A. −7 1 C. − 3 2 E. 1 B. D. 2 23 7. Ha f :[1, 2] → , f (x) = x + 2 x −1 + x − 2 x −1 , akkor minden x ∈[1, 2] esetén: A. f (x) ∈[0,1] B. f (x) = 1 C. f (x) = 2 D. f (x) = 2x E. más válasz 16
8. Ha x < 0 , akkor az E(x) = x − (x −1)2 kifejezés értéke egyenlő: A. 2x B. 1 C. 2x −1 D. 1 − 2x E. −2x 9. Ha (x + 2) x −1 = 0 , akkor az y = 3x −1 értéke egyenlő: A. csak –7 B. csak 2 C. –7 vagy 2 D. sem –7 E. más sem 2 válasz 10. A 13x2 = 12x2 + 5x2 egyenlet valós gyökeinek a száma egyenlő: A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 E. más válasz (A) (B) (C) (D) (E) 11. A 2lg x = 1 egyenlet valós gyökeinek a száma egyenlő: lg(5x − 4) A. 2 B. 1 C. 3 D. 0 E. más válasz 12. Az L = lg(tg1°) ⋅ lg(tg2°) ⋅ lg(tg3°) ⋅...⋅ lg(tg89°) szorzat értéke egyenlő: A. –1 B. 0 C. 1 D. 2 E. –2 lg b lg c lg a 13. Ha az a,b,c ∈ (0,1) ∪ (1, +∞) esetén E = a c ⋅ b a ⋅ c b , akkor : A. E > 1 B. E = 1 C. E < 1 D. E = 0 E. E < 0 14. Az x, y ∈ *, (x +1)!≤ 6, ( y −1)!< 25 egyenletrendszer (x, y) megol- dásainak a száma: A. 10 B. 14 C. 13 D. 16 E. 12 15. Ha n∈ és E(n) = (2n)! hogy: (n!)2 , akkor állíthatjuk, A. E(n) ∈ véges B. E(n) ∈ minden n C. E(n) ∈ ⇒ n ∈∅ számú n esetén esetén D. E(n) valódi tört minden n esetén E. más válasz 16. Ha A= C21 + C42 + C63 + ... + C1006 , B = C21 ⋅ C42 ⋅ C63 ⋅ ... ⋅ C1006 , akkor igaz, C11 + C32 + C53 2012 C11 ⋅ C32 ⋅ C53 2012 + ... + C1006 ⋅ ... ⋅ C1006 2011 2011 hogy: A. A = B B. A2012 = B C. B2012 = A D. A2011 = B E. B2011 = A 17
17. Az S = 1!+ 2!+ 3!+ ... + n! összeg utolsó számjegye egyenlő: A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 E. 5 ( )2012 18. A 3 2 + 3 kifejtésében az irracionális tagok száma egyenlő: A. 335 B. 336 C. 1677 D. 1676 E. más válasz 19. Ha létezik olyan a,b ∈ amelyre (2 − 3)n = a + b 3 , akkor az a2 − 3b2 értéke egyenlő: A. 1 B. –1 C. 2 D. –2 E. 0 20. Az E = (2 + 3)2012 + (2 − 3)2012 kifejezés értékére igaz, hogy: A. E ∈ \\ B. E páratlan egész szám C. E páros egész szám D. E ∈ \\ E. egész része páros szám 21. Az f (x) = −x2 + 5x , f :[0,5] → R függvényről állítható, hogy A. csak mi- B. csak ma- C. van mi- D. alulról E. felülről nimuma van ximuma van nimuma és korlátlan korlátlan maximuma is 22. A 3 x + 3 2x −1 = 3 9 − x egyenlet valós megoldásainak a száma A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 E. 4 ( ) ( )x x 23. A 2 + 3 + 2 − 3 = 4 egyenlet valós megoldásainak a száma A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 E. 4 24. Az E = (1+ i)2012 + (1− i)2012 értékéről állíthatjuk, hogy A. 0 B. negatív C. pozitív D. 2 E. tiszta egész szám egész szám komplex szám 25. A {0,1, 2,3, 4,5,6,7} halmaz elemeivel alkotható különböző négyjegyű számok száma A. P4 B. V84 C. C84 D. V84 −V73 E. C84 − C73 18
4. Teszt 10. osztályos koordinátageometria 1. Ha A(−2,1) , B(5, −1) , C(−3,3) akkor az A pontnak a BC oldal felező- pontjára vonatkozó szimmetrikusának a koordinátái: A. (1, 4) B. (−4,1) C. (1, −4) D. (−1, −4) E. (−4, −1) 2. Az m ∈ értéke amelyre a d1 : mx + 3y = 2, d2 :12x − 2 y = −3 egyene- sek merőlegesek ugyanarra a d egyenesre, egyenlő: A. –18 B. 9 C. –9 D. 18 E. más érték 3. Ha A(2, −3) , B(10,3) , C(0, −1) az ABC háromszög csúcsainak a koordi- nátái, akkor a B-ből húzott magasság egyenlete: A. −x + y + 7 = 0 B. x + y + 7 = 0 C. x − y − 7 = 0 D. −x − y + 7 = 0 E. más válasz 4. Ha A(8, −5) , B(10,9) , és C(−6, −3) egy ABC háromszög csúcsainak a koordinátái, akkor a háromszög köré írt kör sugara egyenlő: A. 10 B. 11 C. 12 D. 13 E. 14 5.Ha A(−5,8), B(−2, a) , és C(b,1) akkor az a,b ∈ értékek amelyre AB + 3BC + 5AC = 0 , egyenlő: A. 20 és −17 B. –20 és −17 C. 20 és −17 4 4 4 D. 20 és 17 E. más válasz 4 6. Ha u = 2i − a j, v = i + j , akkor a két vektor által bezárt szög akkor és csakis akkor tompaszög, ha: A. a = 2 B. a = −2 C. a < 2 D. a > −2 E. a > 2 7. Ha u = 2i + 3 j, v = 4i − j , akkor a két vektorra szerkesztett paralelo- gramma hosszabbik átlójának a hossza egyenlő: A. 2 10 B. 2 C. 10 D. 10 E. más érték 2 19
8. Ha = 4 cm, b) = 60° , akkor az x∈ értéke, amely- a = 3 cm, b m(a, re az u = xa + b, v = a + 2b vektorok merőlegesek egymásra, egyenlő: A. 38 B. 21 C. − 38 D. − 21 E. más érték 21 38 21 38 9. Az m ∈ értéke, am elyre az = (m + 5)i + (2m +1) j , u v = (2m − 3)i + (m − 3) j vektorok modulusa egyenlő: 1 B. 4 C. 1 1 E. − 1 A. D. 4 4 2 vektorok 10. Az m ∈ értéke amelyre az u = 3i + m j, v = (m +1)i + m j merőlegesek egymásra, egyenlő: A. –1 B. 1 1 C. 0 D. E. más válasz 2 11. Az m∈ értéke amelyre az v = (m − 5)i + 3 j vekto- u = (m + 2)i + 2 j, rok kollineárisak, egyenlő: A. 4 B. 2 C. –4 D. –16 E. 16 12. Ha A(m +1, n) , B(2m, n + 2) és C(2n +1, m) egy ABC háromszög csú- csainak a koordinátái, akkor az m és n értéke, amelyre a háromszög súly- pontja az origóba esik, egyenlő: A. m = 1, n = 0 B. m = 1, n = −1 C. m = 1, n = 1 D. m = 0, n =1 E. m = 0, n = −1 13. Az m ∈ értéke amelyre az A(m − 2,7) B(2, 2) , és C(4, −3) pontok kollineárisak (ebben a sorrendben), egyenlő: A. 1 B. –1 C. 2 D. –2 E. más érték 14. Az A(3, 4), B(7, 4), C(11, −2) és D(−1, −2) pontok olyan ABCD négy- szöget alkotnak amely: A. négyzet B. paralelogramma C. téglalap D. trapéz E. általános 20
15. Ha egy négyszögben A(2,3), B(4,5), C(2, 2) akkor a D csúcs koordi- nátái amelyre ABCD paralelogramma, egyenlő: A. (1, 2) B. (−1, 2) C. (0,0) D. (2, −1) E. (1, −2) 16. Ha A(m, 4), B(2,3) és C(3, 4) egy ABC háromszög csúcsai, akkor az m ∈ értéke amelyre az ABC háromszög A-ban derékszögű, egyenlő: A. 1 B. 4 C. 3 D. 2 E. 5 17. Ha egy ABCD téglalap két oldalának az egyenlete 3x + 4 y − 3 = 0 és 4x − 3y − 4 = 0 valamint egyik csúcsa A(−1, 4) , akkor a téglalap területe egyenlő: A. 6 B. 8 C. 4 D. 10 E. 12 18. Ha egy trapéz nagyalapja az x + y − 3 = 0 egyenesen van, kisalapja pedig olyan d egyenesen amelyik áthalad az origón, akkor a d egyenes egyenlete egyenlő: A. y = x B. y = 2x +1 C. x + y = 0 D. x + 2 y = 0 E. y = 2x −1 1c9o.s(HOaA,hOáBro)m pont koordinátái rendre O(0, 0), A(2,1) és B(−2,1) akkor a értéke egyenlő: A. 3 B. − 3 C. 2 D. 1 E. − 4 5 55 55 20. Az x + 2 y = 6 és 2x + 4 y = 11egyenletű egyenesek közötti távolság egyenlő: A. 5 B. 5 C. 5 D. 5 E. 5 2 3 10 6 4 21. Ha a < b < c és A(a, 2a +1), B(b, 2b +1), C(c, 2c +1) , akkor A. ABC B. ABC de- C. ABC D. A, B, C E. ABC álta- szabályos rékszögű egyenlő kollineáris lános három- háromszög háromszög szárú há- szög romszög 22. Egy ABCD négyszög oldalegyeneseinek az egyenletei AB : 3x + 2 y + 6 = 0, BC : 3x − 2 y − 6 = 0, CD : 3x + 2 y + 6 = 0, DA : 3x − 2 y − 6 = 0. Ekkor az ABCD négyszög 21
A. általános B. paralelo- C. rombusz D. trapéz E. téglalap gramma 23. Egy ABCD négyszög csúcsainak a koordinátái A(2,0), B(4,0), C(6,4), D(0,4). Akkor az ABCD négyszög területe egyenlő A. 13 B. 14 C. 15 D. 16 E. 20 24. A 2x − y − 4 = 0 egyenesnek az A(1, 2) pontra vonatkozó szimmetrikus egyenes egyenlete A.2x+y+4=0 B. 2x-y+4=0 C. 2x+y-4=0 D. 2x-y-4=0 E.-2x+y-4=0 25. Egy egyenes tengelymetszetes alakja x + y = 1. Ennek az egyenesnek 32 az Oy tengelyre vonatkozóan szimmetrikus egyenesnek az egyenlete A. x + y = 1 B. x + y = 1 C. x + y = 1D. x + y = 1 E. x + y = 1 −3 2 −3 −2 3 −2 −2 3 2 −3 22
5. Teszt 11. osztályos algebra { }1. 1 2 3 4 5 Ha = 2 3 4 5 1 ∈ S5 és A= n n ∈ * , akkor az A halmaz elemeinek a száma egyenlő: A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 E. 5 2. Ha = 1 2 3 4 ... 1006 1007 1008 1009 ... 2012 , akkor 4 6 8 ... 2012 1 3 5 ... 2011 2 a permutáció inverzióinak a száma egyenlő: A. 1006 ⋅1007 B. 2011⋅ 2012 C. 2010 ⋅ 2011 2 2 2 D. 1007 ⋅1008 E. más válasz 2 3. Ha A, B ∈ M 2 () és [ A, B] = AB − BA , akkor az S = A,[B,C] + B,[C, A] + C,[ A, B] összeg értéke egyenlő: A. ABC B. O2 C. I2 D. BCA E. CAB 4. Ha M = x 3y x, y ∈ és A = 2 3 akkor An ∈ M csak akkor y x 1 2 igaz, ha: A. n = 1 B. egyetlen n értékre C. két n értékre D. ∀n ∈ E. n ∈ ∅ 5. Ha a, b ∈ és A = a −b ∈ M 2 ( ) , az An = I2 akkor és csakis akkor b a igaz, ha: A. n = 0 B. nincs ilyen n ∈ * C. ha n4 D. n = 0 és n = 3 E. ∀n ∈ 23
{ }6. Ha 2 2 () A = −1 −1 ∈ M 2 és G= X (a) = I2 + aA a ∈ \\ {−1} , akkor minden a,b ∈ \\ {−1} esetén az X (a) X (b) szorzat egyenlő: A. X (a + b) B. X (ab) C. X (ab + a + b) E. más válasz D. X (ab(a + b)) 7. Ha A = 0 −1 ∈ M ( ) és X ∈M2 () úgy, hogy AX = XA , akkor 1 0 2 létezik olyan a,b ∈ amelyre X egyenlő: A. a −b B. a −b C. a b D. −a b E. a −b b a −b a b −a b a b −a 8. Ha A = 1 1 ∈ M 2 ( ) és B = x y ∈ M 2 ( ) akkor AB = BA 0 1 0 5 csakis akkor, ha: A. x = 0, y = 0 B. x = 5, y = 5 C. x, y ∈∅ D. x = 5, y ∈ E. x ∈ , y = 5 1 a b a,b ∈ ⊂ 9. Ha M = M a ,b M a,b = 0 1 0 és M 3 () , akkor a 0 0 1 P = M a,b ⋅ Mc,d szorzat egyenlő: A. M a+c,b+d B. M a−c,b−d C. M ac,bd D. M a+b,c+d E. M a+d ,b+c 1 1 0 10. Ha A = 0 0 1 ∈ M 2 () és n ∈ \\ {0,1, 2} , akkor a B = An − An−2 0 1 0 mátrix egyenlő: A. A + I3 B. A − I3 C. A2 + I3 D. A2 − I3 E. I3 11. Ha A = a b ∈ M 2 () és n ∈ * , akkor: c −a 24
( )A. An = a2 + bc I2 ( ) ( )B. An = a2 + bc n I2 n C. A2n = a2 + bc I2 ( )D. A2n+1 = a2 + bc n I2 ( )E. A2n = a2 + bc A { }−sin cos n n cos sin n 12. Ha A = n és n ∈ * \\ {−1} , akkor az M= Ak k ∈ * halmaz elemeinek a száma: A. 1 B. 2 C. 2n D. n E. végtelen 1 a a+b 13. Ha ∆ = 1 a2 a2 + b2 , b ∈ ∗ \\ {1} akkor az a ∈ különböző érték 1 a3 a3 + b3 ek száma amelyre ∆ = 0 , egyenlő: A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 E. 0 abc 14. Ha a,b,c ∈ , a + b + c ≠ 0 és ∆(a,b,c) = c a b , akkor az bca (a + b + c)∆(a,b,c) értéke: A. pozitív vagy nulla B. mindig negatív C. mindig pozitív D. negatív vagy nulla E. mindig nulla a2 ab b2 15. Ha a,b ∈ és ∆ = b2 a2 ab , akkor minden esetben: ab b2 a2 A. ∆ > 0 B. ∆ ≥ 0 C. ∆ < 0 D. ∆ ≤ 0 E. ∆ = 0 a b b b 16. Az U (a,b) = b a b b mátrix akkor és csakis akkor szinguláris, b b a b b b b a ha: 25
A. a = b B a ≠ −3b C. (a − b)(3b + a) = 0 D. a + 3b = 0 E. más válasz x+ 2y =1 17. Ha m ∈ , az 6x − 8y = 1 egyenletrendszer akkor és csakis akkor 5x + 2 y = m kompatibilis, ha: A. m = 0 B. m = 1 C. m = 2 D. m = 3 E. m = 4 x+2y − z =8 18. Az 2x − 4 y − 2z = 16 egyenletrendszer akkor és csakis akkor inkom- ax − 2 y + z = 4 patibilis, ha: A. a = 1 B. a = 0 C. a = −1 D. a ∈ \\ {−1} E. a ∈{1, 2} mx + y + z = 1 19. Az m ∈ értéke amelyre az x + 2my + z = 1 egyenletrendszer kompa- x + y + z = 0 tibilis és x + y ≥ z , egyenlő: A. (−∞,1] B. [−1, +∞) C. 1, 2 ∪ (1,+∞) D. (0,1) E. (−1,1) 2 3 x− y + z =1 20. Ha Sm az x + y + z = 3 és m ∈ egyenletrendszer megoldásainak mx + y + z = 3m { }a halmaza, akkor a min x2 + y2 + z2 (x, y, z) ∈ S1 értéke egyenlő: A. 0 B. 1 C. 2 D. -1 E. -2 21. A d1 : x + y −1 = 0, d2 : −tx − y + t = 0, d3 : 3x − ty − 3 = 0 különböző egyenesek akkor összefutók, ha tudjuk, hogy A. t= 1 B. t= -3 C. t ∈{1, −3} D. t ∈ E. \\ {1, −3} 22. Az A(−1,), B(0,), C(−1, 2) különböző pontok pontosan akkor kolli- neárisak, ha 26
A. ∈ ∅ B. = 1 C. = 2 D. = 3 E. = 4 23. Minden a, b, c, d páronként különböző valós szám esetén, a ∆ = a2 + b2 ac + bd determináns értékéről állítható, hogy ac + bd c2 + d 2 A. ∆ = 0 B. ∆ < 0 C. ∆ > 0 D. ∆ ≥ 0 E. ∆ ≤ 0 24. Ha a1, a2 , a3,..., a9 számtani sorozatban vannak, akkor a a1 a2 a3 ∆ = a4 a5 a6 determináns értékéről mindig állítható, hogy a7 a8 a9 A. ∆ = 0 B. ∆ < 0 C. ∆ > 0 D. ∆ ≥ 0 E. ∆ ≤ 0 25. Az X2 = 3 8 mátrixegyenlet összes X ∈ Μ2 () megoldása 4 11 A. 1 2 B. −1 2 C. ± −1 −2 2 3 2 3 2 3 D. ± −1 −2 E. ± 1 2 −2 3 2 3 27
6. Teszt 11. osztályos analízis 1. Ha n ∈ * , akkor az A = 1, 1 , 2, 1 , 3, 1 ,..., 1 , n,... torlódási pontjainak 2 3 4 n a száma egyenlő: A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 E. más válasz 2. Az an = n(−1)n , n ≥ 1 általános taggal rendelkező sorozatról igaz, hogy: A. korlátos B. monoton C. konvergens D. van két határérték pontja E. állandó 3. Az L = lim 2n+1 + 3n+1 határérték egyenlő: 2n + 3n n→∞ A. 2 B. 3 C. 2 D. 3 E. más válasz 32 ( )4. Azon a,b∈ értékek amelyekre lim n2 + n − an − b = 0 , egyenlő: n→∞ A. a = 1, b = 1 B. a = 1 , b =1 C. a = 1 , b = 1 2 2 22 D. a = 1, b = 1 E. más válasz 5. Az bn = 1+ 1 + ... + 1 , n ≥ 1 általános tagú sorozatról n2 +1 n2 + 2 n2 + n igaz, hogy: A. divergens B. határértéke 1 C. korlátlan D. két határérték pontja van E. állandó 6. Az L = lim 2 + 2 + 3 2 + ... + n 2 − n határérték egyenlő: n→∞ ln n A. 0 B. ln 2 C. +∞ D. e E. 1 + 2 28
7. Ha az xn =1+ 1 + 1 + ... + 1 , n ≥1 általános tagú sorozat határértéke 22 32 n2 2 yn =1+ 1 + 1 + ... + 1 , n ≥1 általános tagú sorozat , akkor az 32 52 (2n −1)2 6 határértéke egyenlő: 2 2 2 2 2 A. B. C. D. E. 8 3 6 12 4 8. Ha a≥0 és az an = an + 1 n , n ≥1 általános tagú sorozat konvergens n + 2 és határértéke nem nulla, akkor a lim an határérték egyenlő: n→∞ A. 1 B. e C. e −1 D. e E. e e e −1 e +1 ( )9. Ha1+ n 2 , ahol an ,bn , n ∈ * , akkor az L = lim an érté- bn→∞ 2 = an + bn n ke egyenlő: A. 2 B. 0 C. +∞ D. 1 E. más érték 2 10. Az m ∈ értéke amelyre lim (m −1)2 x2 +1 = −1, egyenlő: x→−∞ 3x + 2 A. m ∈{−2, 4} B. m ∈{−1,3} C. m ∈{−2,3} D. m ∈{−1, 4} E. m ∈{−2, 2} 11. Az f : → , f (x) = 2x −1 függvény folytonossági pontjainak a x2 − x +1 halmaza egyenlő: A. B. \\ {1} C. * D. \\ {−1} E. más válasz 12. Az f : → , f (x) = 2 x −1 függvény deriválhatósági pontjainak a x2 − x +1 halmaza egyenlő: A. B. \\ {1} C. * D. \\ {−1} E. más válasz 29
13. Az f : → , f (x) = 2 x + 3 x függvény monoton növekvő, ha: 3 2 A. x ≥ 0 B. x ≤ 0 C. x ∈ D. x ∈[0,1] E. x ∈[−1,1] 14. Az f : → , f (x) = x függvény szélsőérték pontjainak a száma x2 +1 egyenlő: A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 E. más válasz 15. Ha f : D → , f (x) = x2 x +1 , akkor az azok az a,b ∈ értékek + ax + b amelyekre a függvénynek x = 1 értékben szélsőérték pontja, x = −2 érték- ben függőleges asszimptótája van, egyenlő: A. a = −7, b = 10 B. a = −7, b = −10 C. a = 7, b = −10 D. a = 7, b = 10 E. más válasz 16. Ha f : \\ {1} → , f (x) = ax2 , akkor az a > 0 értéke amelyre a x +1 függvénynek ferde asszimptotája van, és ez párhuzamos a koordináta rend- szer első negyedének a szögfelezőjével, egyenlő: A. –1 B. 1 C. 0 D. 2 E. –2 17. Ha fa : Dmax → , fa (x) = ln(x2 + 4x + a) , akkor azon a,b ∈ értékek amelyekre Dmax = \\ {b} , egyenlő: A. a = −4, b = −2 B. a = −4, b = 2 C. a = 4, b = 2 D. a = b = 2 E. a = 4, b = −2 18. A 3x4 − 4x3 −12x2 −13 = 0 egyenlet valós gyökeinek a száma egyenlő: A. 2 B. 1 C. 0 D. 3 E. 4 19. Az x4 + 2x3 − x2 + x + 2 = 0 egyenletnek van legalább egy gyöke a következő intervallumban: A. (0,1) B. (1, 2) C. (−1,0) D. (−2, −1) E. (0,∞) 20. A sin x = x ⋅ cos x valós gyökeinek a számáról biztosan állítható, hogy: A. véges B. 0 C. 1 D. végtelen E. 2 30
21. Az alábbi halmazok közül melyik környezete az x0 = 1 -nek? A. (−∞,5) B. (1,∞) C. Q D. [1,∞) E. x ∈ R x+3 < 0 x −1 22. Az A ⊂ halmazok közül melyik az, amelyik nem környezete a −∞ és +∞ közül legalább egyiknek? A. A = (2,∞) B. A = (0,∞] C. A = D. A = [−∞, −3) ∪ (3,∞) E. A = (−∞, −3) ∪ (3,∞) 23. Az A = (−5,6) ∪ (10,∞) halmaz torlódási pontjainak a halmaza: A. (−5,6) ∪ (10,∞) B. [−5,6) ∪ [10,∞) C. (−5,6) ∪ [10,∞) D. [−5,6] ∪ [10,∞) E. [−5,6] ∪ (10,∞) { }24. Az A = n + 2 − n +1 n ∈ halmaz torlódási pontjainak a száma: A. 0 B. 1 C. 2 D. véges E. végtelen szám 25. Az az A halmaz amelynek vannak izoláltpontjai: A. A = (−1,1] B. A = (−∞,1) ∪ (5,∞) C. A = D. A= 1 x ∈ , x ≠ 0 E. A = (−1)n 1 n ∈ ∗ x n 31
7. Teszt 12. osztályos algebra 1. Ha x ∗ y = x 1− y2 + y 1− x2 , ∀ x, y ∈[−1,1] , akkor az a = 3 ∗ 6 − 2 ∗ 6 + 2 értéke: 24 4 A. irracionális szám B. 1 C. nem egész szám D. 3 E. 1 2 2 2. Ha x y = x + y + 5, ∀ x, y ∈ és a = 5 (−2 5) (3 5) (−4 5) ... (−20 5) , akkor: A. 20 < a < 21 B. 19 < a < 20 C. 18 < a < 19 D. 21 < a < 22 E. 22 < a < 23 3. Ha x ∗ y = xy + x + y, ∀ x, y ∈(0,1] , akkor az 1∗ 1 ∗ 1 ∗...∗ 1 értéke 2 3 2012 egyenlő: A. 2010 B. 2011 C. 2012 D. 2013 E. más válasz 4. Ha x ∗ y = (2x −1)(2y −1) + 1 , ∀ x, y ∈ , akkor az a = x ∗x∗x ∗...∗x 2 2012 − szer értéke egyenlő: A. 22010 (2x −1)2012 + 1 B. 22011(2x −1)2012 + 1 C. 22012 (2x −1)2010 + 1 2 2 2 D. 22012 (2x −1)2011 + 1 E. más válasz 2 5. Ha x ∗ y = x − y , ∀ x, y ∈(−1,1) , akkor a „ ∗ ” művelet semleges eleme: 1− xy A. e = 0 B. nem C. e = 1 D. e = −1 E. e = 1 létezik 2 32
6. Ha M = [6,7], ∗: M × M → M és x ∗ y = xy − 6x − 6 y + , akkor az ∈ értéke amelyre a „ ∗ ” művelet belső művelet: A. = 42 B. = 36 C. = −36 D. = 6 E. = −6 7. Ha x ∗ y = xy − 2x − 2y + , ∀x, y ∈ , a „ ∗ ” művelet akkor és csakis akkor asszociatív, ha: A. = 1 B. = 2 C. = −1 D. = −3 E. = 6 8. Ha x ∗ y = xy − 2x − 2y + , ∀x, y ∈ , az M = (2,∞) halmaz akkor és csakis akkor stabil részhalmaza az -nek a „ ∗ ” műveletre nézve, ha: A. = 2 B. = 3 C. < 3 D. ≥ 6 E. = 5 9. Ha x ∗ y = xy − 2x − 2 y + , ∀ x, y ∈ , a „ ∗ ” műveletnek akkor és csakis akkor van semleges eleme, ha: A. = 4 B. = 6 C. = −6 D. = 2 E. = −3 10. Ha x ∗ y = xy − ax − by, ∀ x, y ∈ , akkor azon a,b ∈ számok értéke amelyekre (,∗) monoid, egyenlő: A. a = b ≠ 0 B. a = 0, b = 1 C. a = b = 0 vagy D. a = −1, b = 0 a = b = −1 E. nincsenek ilyen számok 11. Ha x ∗ y = n xn + yn , ∀ x, y ∈ , n ∈ ∗ , az (,∗) akkor és csakis akkor csoport, ha: A. n = 1 B. n = 2 C. n = 2k, k ∈ * D. n = 2k +1, k ∈ * E. n ≥ 2 12. Ha x ∗ y = x + y − 2, x y = x + y − 5, ∀ x, y ∈ és f : (,∗) → (,) , f (x) = ax +1 izomorfizmus az (,∗) és (,) csoportok között, ha: A. a = 0 B. a = 1 C. a = 2 D. a = 3 E. a = 4 13. A 3ˆ2ˆxx ++ 2ˆ3ˆ yy = 4ˆ egyenletrendszer (x, y) ∈ 5 × 5 megoldásainak a = 1ˆ száma egyenlő: A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 E. 5 33
14. A (5 , +,⋅) testben tekintsük az f = X 3 + aX + 3ˆ ∈ 5 [ X ] polinomot, ahol a ∈ 5 . Az a azon értéke amelyre a polinomnak van két különböző gyöke, egyenlő: A. 0ˆ B. 1ˆ C. 2ˆ D. 3ˆ E. 4ˆ 15. Az X 99 tag együtthatója az ( X −1)( X − 2)( X − 3)...( X − 99)(X −100) polinom kifejtésében egyenlő: A. –4950 B. –5050 C. 99 D. –100 E. 3450 16. Az f = (X 2 + X −1)n − X polinom akkor és csakis akkor osztható az X 2 −1 polinommal, ha: A. n = 2k, k ∈ * B. n = 3k, k ∈ * C. n = 2k −1, k ∈ * D. n = 3k + 1, k ∈ * E. n = 3k + 2, k ∈ * 17. Az x3 − 3x2 + 2x − a = 0 egyenletnek a gyökei akkor és csakis akkor vannak számtani haladványban, ha: A. a = 0 B. a ∈{0,1} C. a ∈{−1,1} D. a ∈{0, −1} E. a ∈{−1,0,1} 18. Az x3 − 3x2 + 2x − a = 0 egyenletnek akkor és csakis akkor van kétsze- res racionális gyöke, ha: A. a = 0 B. a ∈{0,1} C. a ∈{−1,1} D. a ∈{0, −1} E. nincs ilyen a érték 19. Az x3 − 3x2 + 2x − a = 0 egyenletnek mindhárom gyöke akkor és csakis akkor természetes szám, ha: A. a = 0 B. a ∈{0,1} C. a ∈{−1,1} D. a = 3 E. más válasz 20. Ha x1, x2 , x3 az x3 − 2x2 + 2x + 6 = 0 egyenlet gyökei, akkor a x2 x3 x1 x3 x1 determináns értéke egyenlő: ∆ = x2 x1 x2 x3 A. 6 B. 4 C. 2 D. 0 E. –6 34
21. A 3ˆ2ˆxx ++ 2ˆ3ˆ yy = 4ˆ egyenletrendszer (x, y) ∈ 6 × 6 megoldásainak a = 1ˆ száma egyenlő: A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 E. 6 22. A ( 0, ∞ ) intervallumon értelmezzük az x y = 4(x + y) műveletet. 4 + xy Akkor az a = 1 2 3 ... 9 műveletsor eredménye egyenlő 444 4 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 E. más vá- lasz 23. A 4x = 12 egyenlet gyökeinek a száma a (128 , +,⋅) gyűrűben: A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 E. 4 24. Hány olyan elem van a (48 , +) csoportban, amelynek a rendje 12? A. 1 B. 2 C. 4 D. 8 E. 12 { }25. Legyen (G,⋅) egy 14 elemű csoport. Akkor az x14 x ∈G halmaz elemeinek a száma: A. 1 B. 2 C. 7 D. 14 E. más vá- lasz 35
8. Teszt 12. osztályos analízis 1. Ha F : → , F(x) = x + x2 +1 az f : → függvény egy primitív függvénye, akkor f (0) egyenlő: A. 1 B. 0 C. –1 D. 2 E. − 2 3 2. Ha F : → az f : → , f (x) = x2 függvény egy primitív függvénye és F (3) = 10 , akkor az F (−3) egyenlő: A. 9 B. 10 C. 3 D. –8 E. 4 3. Az f : (−∞,0) → , f (x) = 1 függvénynek egy primitív függvénye: x A. ln x B. − ln x C. ln(1− x) D. ln(−2x) E. ln 3 x sin x ha x ≠ 0 x 4. Az f :→, f ( x) = függvény akkor és csakis akkor a ha x = 0 primitiválható, ha: A. a = 0 B. a = 1 C. a = −1 D. a > 0 E. a < 0 5. Ha f : → és f (0) = 2 , f ' (x) = 3 f (x), ∀ x ∈ , akkor az f (ln 2) értéke egyenlő: A. 2 B. 4 C. 6 D. 16 E. 32 ∫6. Az I = dx x4 + 3x2 + 2 integrál egy primitív függvénye: A. − 1 arctg x B. arctg x C. arctg x − 1 arctg x 22 22 D. arctg x + 1 arctg x E. más válasz 22 7. Ha f :[0,1] → , f (x) = arctgx2 , akkor az I = 1 f ' (x)dx értéke egyenlő: ∫0 36
A. 1 B. C. 2 D. E. 46 ∫8. Ha F : → , F (x) = x (et2 + t)dt , akkor az F ' (1) értéke egyenlő: 0 A. e −1 B. e +1 C. e D. e E. e 2 3 I∫9. Az 2 cos x dx integrál értéke egyenlő: 1 = sin 2 x + − 2 B. C. –2 D. 0 E. 2 A. 2 J∫10. A 2 sin x dx integrál értéke egyenlő: +1 = sin 2 x − 2 A. 1 B. C. –2 D. 0 E. 2 ∫11. AzI= 1 x(2x2 2++11) dx integrál értéke egyenlő: 0 x4 + x A. 1 ln 2 B. 1 ln 3 C. 1 ln 3 D. 1 ln 2 E. más 3 3 2 2 érték ∫12. AzI= 1 ln 1 − xdx integrál értéke egyenlő: 1 + x 2 −1 2 A. –1 B. 1 C. 0 D. 2 E. 3 2 ∫13. Az I = 1 x3 x2 +1 dx integrál értéke egyenlő: −1 + 3x + 5 A. ln 3 B. 2 ln 3 C. 2ln 3 D. 1 E. –1 3 ∫14. AzI= 2 dx integrál értéke egyenlő: 1 x3 + x 37
A. ln 8 B. 1 ln 8 C. 1 ln 8 D. 1 ln 8 E. más 5 35 25 45 érték ∫15. Az I = x et cos t integrál értéke ∀ x ∈ esetén egyenlő: −x 1 + et dt A. −sin x B. cos x C. −cos x D. sin x E. tg x 16. Ha f : → , f (x) = x3 + x bijektív függvény, akkor az ∫I = 2 f −1(t)dt integrál értéke egyenlő: 0 55 5 55 A. B. C. D. E. 23 7 6 4 x ∫ t ln tdt 17. A lim 1 határérték egyenlő: x→∞ x2 A. 0 B. –1 C. 1 D. ∞ E. 1 2 a∈ lim 1 1 18. Ha [a] az egész részét jelöli, akkor a ∫nn→∞ 0 határérték [nx] dx egyenlő: A. 1 B. ∞ C. 0 D. 1 E. 2 2 19. Az f :[0,1] → , f (x) = 2x függvény szubgrafikonjának a területe x2 +1 egyenlő: A. 1 B. ln 2 C. ln 3 − ln 2 D. E. 1 2 20. Az f : 0, → , f (x) = cos 2x függvény grafikus képének az 4 sin x + cos x Ox tengely körüli forgatásával meghatározott test térfogata egyenlő: E. más érték A. ln 2 B. ln 3 C. ln 3 D. ln 2 2 3 2 3 38
∫21. AzI= 1 3x2 integrál értéke egyenlő: −11 + x6 dx A. C. B. D. E. 23 4 6 ∫ n+1 x D. E. 22. A lim arctg határérték egyenlő: n→∞ n x +1 4 6 E. A. B. C. D. 23 4 E. 2 D. 1 E. 1 lim∫23. A e x sin nxdx határérték egyenlő: 4 D. 1 2 n→∞ 4 2 A. 0 C. B. 23 1 ∫24. A lim x2nexdx határérték egyenlő: n→∞ 0 A. 0 B. 1 C. 2 3 ∫1 xn dx határérték egyenlő: 25. A lim n n→∞ 0 1+ x A. 0 B. 1 C. 2 3 39
Megoldókulcsok 1. Teszt, 9. osztályos algebra 1. B 6. E 11. E 16. B 21. D 2. B 7. C 12. B 17. C 22. B 3. B 8. D 13. C 18. D 23. E 4. E 9. C 14. C 19. E 24. D 5. E 10. A 15. A 20. E 25. E 2. Teszt, 9. osztályos geometria és trigonometria 1. A 6. C 11. E 16. A 21. D 2. A 7. A 12. C 17. C 22. D 3. A 8. B 13. C 18. C 23. A 4. C 9. D 14. C 19. B 24. D 5. D 10. B 15. A 20. A 25. B 3. Teszt, 10. osztályos algebra 1. E 6. A 11. B 16. B 21. C 2. A 7. C 12. B 17. E 22. B 3. C 8. D 13. B 18. C 23. C 4. D 9. B 14. A 19. A 24. B 5. C 10. C 15. B 20. C 25. D 40
4. Teszt, 10. osztályos koordinátageometria 1. B 6. E 11. D 16. D 21. D 2. A 7. A 12. E 17. B 22. C 3. C 8. C 13. C 18. C 23. D 4. A 9. E 14. D 19. B 24. B 5. B 10. E 15. C 20. C 25. A 5. Teszt, 11. osztályos algebra 1. E 6. C 11. C 16. C 21. E 2. A 7. A 12. D 17. D 22. A 3. B 8. D 13. B 18. C 23. D 4. D 9. A 14. A 19. C 24. A 5. C 10. D 15. B 20. D 25. E 6. Teszt, 11. osztályos analízis 1. C 6. B 11. A 16. B 21. A 2. D 7. A 12. B 17. E 22. A 3. B 8. A 13. A 18. A 23. D 4. B 9. A 14. C 19. C 24. B 5. B 10. A 15. D 20. C 25. C 41
7. Teszt, 12. osztályos algebra 1. E 6. A 11. D 16. C 21. E 2. A 7. E 12. C 17. A 22. B 3. C 8. D 13. E 18. E 23. C 4. A 9. B 14. C 19. A 24. C 5. B 10. C 15. B 20. B 25. A 8. Teszt, 12. osztályos analízis 1. A 6. C 11. C 16. E 21. B 2. D 7. D 12. C 17. D 22. D 3. D 8. B 13. B 18. D 23. A 4. B 9. A 14. A 19. B 24. A 5. D 10. D 15. D 20. A 25. E 42
Megoldás 1. Teszt. 9. osztályos algebra 1. Felírható, hogy 7 = 7, 11 = 7 + 4, 15 = 7 + 2× 4, ..., 999 = 7 + 248 × 4 vagyis a számhalmaznak éppen 249 tagja van. Másképpen: egy számtani sorozatról van szó, ahol a1 = 7, r = 4, an = 999 és ismert, hogy an = a1 + (n −1)r , ahonnan n = an − a1 +1 és beírva az an , a1, r értékeket, n = 249 adódik. r Ezért a (B) válasz a helyes. 2. Elosztva 1-et 7-tel kapjuk, hogy 1 = 0,(142857) vagyis a tizedes 7 vessző utáni számok 6-os csoportban ismétlődnek. És mivel 2012 = 335 × 6 + 2 , ezért a 2012. helye a 4-es számjegy áll. Így a helyes válasz a (B). 3. Felírható, hogy ( )2 A2 = 9 − 80 − 9 + 80 =18 − 2× 9 − 80 × 9 + 80 = 16 . De mivel 9 − 80 < 9 + 80 , ezért A < 0 és így az A2 = 16 alapján csak A = −4 felel meg. Másképpen: 9 − 80 = 5 + 4 − 2 5 × 4 = ( 5 − 2)2 = 5 − 2 = 5 − 2 . Ha- sonlóan írható, hogy 9 + 80 = 5 + 2 , ezért A = −4 . Így a he- lyes válasz a (B). 4. Legyen x ∈ A , ezért x = n +1 alakú, ahol n ∈{1, 3, 5, ..., 99} ami n éppen 50 érték. Ha x ∈ B , akkor n +1 −1 < 1 , vagyis n > 10 , n 10 vagyis az n ∈{1, 3, 5, ..., 99} halmazból nem felelnek meg 1, 3, 5, 7 és 9. Ezek szerint a B halmaz elemeinek a száma 50- 5= 45. Így hát a helyes válasz az (E). 43
5. Az egészrész értelmezése szerint rendre felírható, hogy: 1 = 0 , 2 2 = 3 =1, 4 = 5 = 2 ,…, 2012 = 2013 = 1006 ezért a 2 2 2 2 2 2 kiszámítandó összeg 1+1+ 2 + 2 + 3 + 3 + ... +1006 +1006 = = (1+1006) + (2 +1005) + ... + (1005 + 2) + (1006 +1) = 1006 ×1007 . Így hát a helyes válasz az (E). 6. Ha x2 + y2 − 4x + 6y + m > 0, ∀x, y ∈ , akkor x2 + y2 − 4x + 6 y + m > 0, ∀x ∈ esetén is, így az x-ben másodfo- kú egyenlet diszkriminánsa negatív kell legyen, az az ∆x < 0 , vagyis y2 + 6 y + m − 4 > 0, ∀y ∈ R ahol most az szükséges, hogy az y-ban másodfokú egyenlet diszkriminánsa legyen negatív, vagy- is 13 − m < 0 , tehát m ∈(13, +∞) , ami azt jelenti, hogy az (E) vá- lasz a helyes. Másképpen: x2 + y2 − 4x + 6 y + m > 0 ⇔ (x − 2)2 + ( y − 3)2 + m −13 > 0 és ha x = 2, y = 3 ⇒ m > 13 7. Ha a ∈ R+∗ , akkor a+ 1 ≥ 2 ⇔ (a −1)2 ≥0, ezért a E(x, y) = x + 1 + y + 1 ≥ 4 , vagyis min E(x ,y)= 4, így a helyes vá- xy lasz (C). 8. Adott tehát, hogy a1 = 33, S10 = 420 , ahonnan S10 = (a1 + a10 ) ⋅10 = 2 = 5 × (2a1 + 9r) = 5 × (66 + 9r) = 420 , így hát r=2. Ezért a helyes válasz a (D). 9. A számtani haladványban a1 = 2, r = 5 , így hát an = a1 + (n −1)r = = 2 + (n −1)5 = 5n − 3 vagyis ha x az n-edik tag, akkor x = 5n − 3 , akkor 2 + 7 +12 + … + x = 245 ⇔ (2 + 5n − 3) n = 245 ahonnan 2 n= 10, ezért x = 5 ×10 − 3 = 47 . Így a helyes válasz a (C). 44
10. Felírható, hogy 2x4 + 3x21 = 13 ⇔ 5x1 + 66r = 13 , másfelől pedig x7 + 4x16 = 5x1 + 66r = 13. Tehát a helyes válasz az (A). 11. Igaz tehát, hogy a3 = a1 + 2r = 7 , és S5 = a1 + a2 + a3 + a4 + a5 = = 5a1 + 10r = 5(a1 + 2r) = 35 . Tehát a helyes válasz az (E). ( )12. Igaz tehát, hogy b3 = b1q2 = 3 , ezért b1b2b3b4b5 = b15q10 = b1 q2 5 = = 35 = 243 . Így hát a helyes válasz a (B). 13. Szükséges tehát, hogy f (m − 4) = m +11 ⇔ ⇔ (m + 3)(m − 4) + 2m + 7 = m +11 ⇔ m2 −16 = 0 ahonnan m = ±4 tehát a helyes válasz a (C). 14. Legyen tehát 2x = y vagyis yx2 − 2x + y = 0 és x∈R , ezért x2 +1 ∆ ≥ 0 ⇔ 4 − 4m2 ≥ 0 ⇔ m ∈[−1,1] , vagyis a helyes válasz a (C). 15. Ez akkor igaz, ha −2x2 + mx < 1 ⇔ 2x2 − mx +1 > 0 ∀x ∈ R , ami ( )akkor igaz, ha ∆ < 0 ⇔ m2 − 8 < 0 ⇔ m∈ −2 2, 2 2 , ezért a he- lyes válasz az (A). 16. A csúcs koordinátái x = − b = − m +1 és y = − ∆ = − 1 . Ki- 2a m 4a m küszöbölve az m-et kapjuk, hogy y = x +1, ezért a helyes válasz a (B). 17. Az f csak akkor szigorúan növekvő a [−1,1] intervallumon, ha a parabola csúcsa a [−1,1] intervallum bal oldalán helyezkedik el, te- hát − b < −1 ⇔ m < −1 ⇔ m ∈ (−∞, −2) , vagyis a helyes válasz a 2a 2 (C). 18. A két parabola akkor érinti egymást, ha ax2 − (a + 2)x −1 = = x2 − x − a , vagyis az (a −1)x2 − (a +1)x + a −1 = 0 egyenletnek dupla gyöke van, tehát ∆ = 0 ⇔ 3a2 −10a + 3 = 0 , ahonnan a = 3 vagy a = 1 , ezért a helyes válasz a (D). 3 45
19. Legyen x = y , ezért y2 − 4 y + 3 = 0 , így y = 1 és y = 3 , ezért te- hát x = 1 ⇔ x = ±1 illetve x = 3 ⇔ x = ±3 . Tehát az egyenletnek 4 valós megoldása van, így a helyes válasz az (E). 20. A tört akkor értelmezett, ha m ≠ 0 és mx2 − mx +1 ≠ 0 vagy ha m = 0 és x ∈ R . De mx2 − mx +1 ≠ 0 ha ∆ < 0 ⇔ m2 − 4m < 0 , te- hát m ∈ (0, 4) továbbá m = 0 is jó, tehát m ∈[0, 4) , ami azt jelenti, hogy a helyes válasz az (E). 21. Felírható, hogy x + 4 = 2 ⇔ x + 2 = 2 ⇔ x + 2 = 2 ⇔ 2 2 2 ⇔ x =0 ahonnan x ∈[0,2) , ezért a helyes válasz a (D). 2 22. Felírható, hogy E(n) = n3 + 3n2 + 2n ⇔ E(n) = n(n +1)(n + 2) ez három egymás utáni szám szorzata, ami osztható 3-mal, de van benne két egymás utáni szám szorzata is, ami osztható 2-vel, ezért a kifejezés osztható a szorzattal, vagyis 6-tal is. Így a helyes válasz a (B). 23. A monotonítást vizsgálva felírható, hogy an+1 − an = n+2 − n +1 = (3n + −2 + 1) < 0 , ami azt jelenti, 3n + 4 3n +1 4)(3n hogy a sorozat szigorúan csökkenő, ezért a helyes válasz az (E). 24. Ha x + 2 > 0 , akkor x − 3 = 1, ahonnan x − 3 = ±1 , így x ∈{4, 2} . Ha x + 2 < 0 , akkor x − 3 = −1aninek nincs megoldása, ha pedig x + 2 = 0 , akkor ez megfelel, mivel mindkét oldal 0 lesz. Tehát a helyes válasz a (D). 25. Rendre felírható, hogy f (4k) = u(24k ) = u(16k ) = 6 , valamint f (4k +1) = u(24k+1) = u(2 ⋅16k ) = 2 , f (4k + 2) = u(24k+2 ) = u(4 ⋅16k ) = 4 , f (4k + 3) = u(24k+3 ) = u(8 ⋅16k ) = 6 , tehát f (n + 4) = f (n) ∀n ∈ ∗ , ami azt jelenti, hogy az f függvény főperiódusa T0 = 4 . Tehát, a helyes válasz a (D). 46
2. Teszt. 9. osztályos mértan és trigonometria 1. Felírható, hogy an = 68 + 20 ⋅ (n −1) , továbbá a szögek összege ép- pen Sn = ( a1 + an ) n = (n − 2) ⋅180 , ahonnan 5n2 − 61n +180 = 0 , 2 ahonnan egyetlen egész gyök az n = 5 . Ezért hát a helyes válasz az (A). 2. Rajzoljuk meg a négyzet AC és BD átlóit, amelyek O-ban metszik egymást. Legyen a négyzet oldala a, és PD =x. Ekkor a PAC és PBD háromszögekben írjuk fel az oldalfelező hosszát: ma2 = 2(122 + 652 ) − 2a2 valamint ma2 = 2( x 2 + 202 ) − 2a2 , ahon- 4 4 nan 144+4225=x2+400, ezért x2=3969, ahonnan x=63. Tehát a he- lyes válasz az (A). 3. Az ABC háromszög oldalait jelölje a, b, c és az ezekhez tartozó magasságokat h1 , h2 ,h3 . Akkor a háromszög területét három féle képpen felírva kapjuk, hogy: ah1 = bh2 = ch3 ⇔ 6a = 10b = h3c ahonnan a = h3c , b = h3c . De b + c > a ⇔ h3c + c > h3c ahonnan 6 10 10 6 15 > h3 , ezért a helyes válasz az (A). 4. A koszinusz tétel alapján a2 = b2 + c2 − 2bc cos A ⇔ ⇔ a2 = 25 −12 = 13 ⇔ a = 13 , tehát K = 7 + 13 , ezért a helyes válasz a (C). 5. Ismert, hogy R = abc , T = p( p − a)( p − b)( p − c) , ahol 4T p = a + b + c = 10 , így T = 10 3 és R = 7 , ezért a helyes válasz 23 a (D). 6. Alkalmazzuk a koszinusz tételt az ABD és ADC háromszögekben: BD2 = 32 + 22 −12cos A , DC2 = 42 + 22 −16cos A és a szögfelező 22 47
tétel alapján BD2 = 32 , ahonnan cos A = 7 , így a helyes válasz a DC 2 42 2 12 (C). 7. Két vektor skaláris szorzata alapján 2 = 16 , AB ⋅ AC = AB ⋅ AC cos (CAB) ⇔ AB ⋅ AC = 4 ⋅ 4 ⋅ 2 2 ezért a helyes válasz az (A). 8. Aháromszög szabály és Pitagorász tétele alapján AB + BM = AM = 102 + 32 = 109 , ezért a helyes válasz a (B). 9. Felírható, hogy AB = (2 −1,3 −2) = (1,1) = i + j továbbá BC =(3 − 2, n − 3) = (1, n − 3) = i + (n − 3) j ahonnan AB ⋅ BC = n − 2 = 0,vagyis n=2 , vagyisahelyes válasza(D). 10. Felírhatjuk, hogy: OA = OP+ PA,OB=OP+PB, OC = OP + PC , OD=OP+PDahonnan OA + OB + OC + OD = = 4OP + PA + PB + PC (1). Legyenek rendre E illetve F az AB il- letve CD húrokfelező pontjai. Ekkor felírható, hogy OA + OB = 2OE, OC + OD= 2OF ahonnan felírható, hogy OA +O B +O C+OD =2(OE + OF ) = 2OP (2). Az (1) és (2) alap- ján PA + PB + PC = 2OP , vagyis a helyes válasz a (B). 11. Felírható, hogy 2 − 2 = 1− 4 = 3 de ugyanakkor a b 3= 2 − 2 = a−b a+b = 3 a − b tehát a − b = 3 ezért a he- a b lyes válasz az (E). 12. A pótszög képlet alapján felírható sin x = cos(90° − x) , ezért A = cos90° + cos89° + ... + cos 0° = 1 , ezért a helyes válasz a (C). cos 0° + cos1° + ... + cos90° 13. Felírható, hogy T = tg1° ⋅ tg 2° ⋅ tg3° ⋅...⋅ tg89° = 48
= sin1° ⋅ sin 2° ⋅...⋅ sin 88° ⋅ sin 89° és a sin x = cos(90° − x) pót- cos1° ⋅ cos 2° ⋅...⋅ cos88° ⋅ cos89° szögképlet alapján T = cos89° ⋅ cos88° ⋅...⋅ cos 2° ⋅ cos1° = 1 , ezért a cos1° ⋅ cos 2° ⋅...⋅ cos88° ⋅ cos89° helyes válasz a (C). 14. Mivel sin2 x, cos2 x ∈[0,1] , ezért S = sin2012 x + cos2012 x ≤ ≤ sin2 x + cos2 x = 1 , ezért a helyes válasz a (C). tg + 4ctg sin + 4 cos ctg − 3tg sin 15. Felírható, hogy E= = cos = cos sin − 3 cos sin = sin2 + 4cos2 = 1 + 3cos2 = 1+ 3⋅ 1 = − 12 , ezért a he- cos2 − 3sin2 −3 + 4cos2 9 23 −3 + 4 ⋅ 1 9 lyes válasz a (C). 16. A szinusz tétel alapján a = b = c = 2R , ahonnan sin A sin B sin C sin A = a , sin B = b , sin C = c , ezért 2R 2R 2R sin A = sin B + sin C ⇔ a = b + c , most pedig a koszinusz cos B + cosC cos B + cosC tétel alapján kapjuk, hogy a2 + c2 − b2 + a2 + b2 − c2 = b + c ahon- 2c 2b nan (b + c)(a2 − bc) = b3 + c3 ⇔ a2 − bc = b2 − bc + c2 vagyis a2 = b2 + c2 , ami azt jelenti, hogy a háromszög derékszögű, vagyis a helyes válasz az (A). 17. A koszinusz tétel alapján b cosC − c cos B = b2 − c2 ⇔ a ⇔ a2 + b2 − c2 − (a2 + c2 − b2 ) = 2(b2 − c2 ) vagyis 2(b2 − c2 ) = 2(b2 − c2 ) , ami azt jelenti, hogy a háromszög általá- nos, ezért a helyes válasz a (C). 49
18. A szinusz tétel alapján sin A ⋅ sin B ⋅ sin C = abc de abc = 4TR és 8R3 T = pr , ahonnan sin A ⋅ sin B ⋅ sin C = pr , ezért a helyes válasz a 2R2 (C). 19. Ha mind a két oldal tangensét vesszük, akkor x = arctg 1 + arctg 1 23 alapján tgx = tg(arctg 1 + arctg 1) = 1 + 1 =1 vagyis x = , így 2 3 2 1 4 1− 3 ⋅1 23 a helyes válasz a (B). 20. Csoportosítsuk az első tagot az utolsóval és a másodikat a harma- dikkal: 2cos90 ⋅ cos50 + 2cos90 cos 20 = 0 , ezért a helyes vá- 21. lasz az (A). = + , az MBD háromszög- Az MAC háromszögben MO MA MC ben pedig = + . A két 2 pedig MO MB MD összefüggésből 2 MA + MB + MC + MD = 4MO , ezért a helyes válasz a (D). 22. Számítsuk ki rendre a négy oldal iránytényezőjét: mAB = 1, 3 mBC =−1 , mCD = 1, mDA =−1 . Mivel a szemben fekvő oldalak 2 3 2 iránytényezői egyenlők, ezért AB CD, BC DA vagyis az ABCD négyszög paralelogramma. Tehát a (D) válasz a helyes. 23. Az egyenlet így is írható: 2x2 − 2xy − xy + y2 + x − y = 0 vagyis 2x(x − y) − y(x − y) + (x − y) = 0 ⇔ (x − y)(2x − y +1) = 0 ahonnan x − y = 0 vagy 2x − y +1 = 0 és a két egyenes metsző, mert 1 ≠ −1 2 −1 így a helyes válasz az (A). 24. Mivel sin2 x + cos2 x = 1, ezért harmadik hatványra emelve mindét oldalt kapjuk, hogy 50
Search
