ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ - Κεφάλαιο 5

MOXY EHMAN TIKO 5ΚΕΦΑΛΑΙΟ KEOIAAAIO !!! ΠΑΡΑΛΛΗΛΟΓΡΑΜΜΑ - ΤΡΑΠΕΖΙΑ Στο κεφάλαιο αυτό θα μελετήσουμε τα τετράπλευρα που έχουν παράλληλες πλευρές, θα τα τα- ξινομήσουμε και θα εξετάσουμε τις χαρακτηριστικές ιδιότητές τους. Ως εφαρμογές θα αποδει- χθούν κάποιες βασικές προτάσεις για τα τρίγωνα, τα τετράπλευρα και τις παράλληλες ευθείες. Josef Alberts (Γερμανός, 1888-1976). «Αφιέρωμα στο τετράγωνο: οπτασία», λάδι σε σανίδα, 1959. Συλλογή Μουσείου Solomon R. Guggenheim, Νέα Υόρκη. 101

ΕΥΚΛΕΙ∆ΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ! 01 of 16140 i , 01 151 'oTnTES Kaito ajpoiqwvkelt n' floe Tour 5.2 dies Koel 5.5 Eira , Talpa tofu on ufavtikoe ITPOEOXH Ma @ Mmm Koel testee rata graeff ETE od eiotoe ! A 5.1 Εισαγωγή B Όπως είδαμε στην §2.20, το ευθύγραμμο σχήμα που έχει Ο τέσσερις πλευρές λέγεται τετράπλευρο. άθε κυρτό τετρά- πλευρο ΑΒΓΔ (σχ.1) έχει δύο διαγωνίους ΑΓ και ΒΔ, οι οποίες τέμνονται σε εσωτερικό σημείο τους. Δ Γ Στα επόμενα, όταν λέμε τετράπλευρο, θα εννοούμε κυρτό Σχήµα 1 τετράπλευρο. IT 010 TET point Eupo Το τετράπλευρο που έχει δύο μόνον πλευρές παράλληλες ovopeoi } Etac Team e' go λέγεται τραπέζιο (σχ.2), ενώ το τετράπλευρο που έχει τις ?απέναντι πλευρές παράλληλες λέγεται παραλληλόγραμμο (σχ.3). Tolo TET @ £177 Eu @ o 5.2 Παραλληλόγραµµα Oro prod fetal Mapa 777 - 76 jpapepeo Σχήµα 2 Παραλληλόγραµµο Ορισµός Παραλληλόγραμμο λέγεται το τετράπλευρο που έχει τις απέναντι πλευρές του παράλληλες. Σχήµα 3 Δηλαδή το τετράπλευρο ΑΒΓΔ είναι παραλληλόγραμμο, όταν ΑΒ//ΓΔ και ΑΔ//ΒΓ. TAPA TONY EHMANTIKEE ! ► Ιδιότητες παραλληλογράµµων Xpnsrlpeo Moloch Toes our Excels → f Σε κάθε παραλληλόγραμμο ισχύουν οι παρακάτω ιδιότητες: STIS as Knt OECS . B * i) Οι απέναντι πλευρές του είναι ίσες. A * ii) Οι απέναντι γωνίες του είναι ίσες. * iii) Οι διαγώνιοί του διχοτομούνται. * Tv) 01 can 'eravT , Maeve Is Tov Eira chapel 7747 es . Δ Γ ΑΠΟ∆ΕΙΞΗ των i), ii) Σχήµα 4 Συγκρίνουμε τα τρίγωνα ΑΒΔ, ΒΓΔ (σχ.5). Έχουμε: IDIOT It TEE B̂ 1 = Δ̂ 1 = ω (εντός εναλλάξ). AXp n 6114017010 in B ΒΔ κοινή πλευρά. Toll ω1 B̂ 2 = Δ̂ 2 = φ (εντός εναλλάξ). φ , Άρα τα τρίγωνα ΑΒΔ, ΒΓΔ είναι ίσα, οπότε ΑΒ = ΓΔ και ΑΔ = ΒΓ. Επίσης έχουμε Â = Γ̂ και B̂ = Δ̂ = φ + ω. I Tau Jv weighs 2 o'TT I voetetpa - ΑΠΟ∆ΕΙΞΗ της ιδιότητας iii) 177 Eupo Ei roll φ Γ Συγκρίνουμε τα τρίγωνα ΟΑΒ, ΟΓΔ. Έχουμε: 21ω Σχήµα 5 ' Δ ΑΒ = ΓΔ B̂ 1 = Δ̂ 1 = ω (εντός εναλλάξ). Mapa 77470 - Hanno 102

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5. ΠΑΡΑΛΛΗΛΟΓΡΑΜΜΑ - ΤΡΑΠΕΖΙΑ ④ And Oh Ohio Taped 77nA WV EVO El W' v Xd fetal To pinkos Too EU Oily @ 0441600 Ttenpeoetos , To otioio Eira Koioe To OTIS Tuo Taped 77nA e5 A B Â1 = Γ̂ 1 = φ (εντός εναλλάξ). 1φ ω1 Άρα, τα τρίγωνα ΟΑΒ, ΟΓΔ είναι ίσα, οπότε ΟΑ = ΟΓ και ΟΒ = ΟΔ. Ο ΠΟΡΙΣΜΑ I 1ω φ1 Το σημείο τομής των διαγωνίων παραλληλογράμμου είναι Δ Γ κέντρο συμμετρίας του. EUO-eies.AM/o5Ta04TapaA7n7wvΣχήµα 6 Για το λόγο αυτό λέγεται κέντρο του παραλληλογράμμου. ΠΟΡΙΣΜΑ II A BΓ ε1 Παράλληλα τμήματα που έχουν τα άκρα τους σε δύο πα- ράλληλες ευθείες είναι ίσα (σχ.7). → ④ Αν τα τμήματα (σχ.8) είναι κάθετα στις παράλληλες, το A BΓ ε2 κοινό μήκος τους λέγεται απόσταση των παραλλήλων. άθε → ' Yules ευθύγραμμο τμήμα που έχει τα άκρα του στις ευθείες των Tapa tanto - Σχήµα 7 απέναντι πλευρών παραλληλογράμμου και είναι κάθετο σε jeapyuou αυτές λέγεται ύψος του παραλληλογράμμου, ενώ οι απέ- A B ε1 ναντι πλευρές του λέγονται βάσεις ως προς αυτό το ύψος (σχ.9). tw::iane ► Κριτήρια για παραλληλόγραµµα :-#7nA Wr { Eofeiwv Στην παράγραφο αυτή θα αποδείξουμε προτάσεις (κριτήρια) B ε2 Ei , Ez Σχήµα 8 ( οι οποίες εξασφαλίζουν ότι ένα τετράπλευρο είναι παραλ- ληλόγραμμο: Ένα τετράπλευρο είναι παραλληλόγραμμο αν A B υ2 ✓ ισχύει μια από τις παρακάτω προτάσεις: f MAPA MOXY EHMANTIKA ! Γ Σχήµα 9 * i) Οι απέναντι πλευρές ανά δύο είναι ίσες. Xpnsryuo - AΕ B * ii) Δύο απέναντι πλευρές του είναι ίσες και παράλληλες. 170104 Vtol ω1 2 ' Y4n Tou I iii) Οι απέναντι γωνίες ανά δύο είναι ίσες. Jackals φ * iv) Οι διαγώνιοί του διχοτομούνται.*⑦ Maya y- I υ1 OTIS AOKI - Γ 708 de ΔΖ Σχήµα 10 * V ) Oi andvari , Maeve des Eivoeeavoe GEIS . @ ΑΠΟ∆ΕΙΞΗ pefeoo Too Taped Hes . KPITHPIA A Θεωρούμε τετράπλευρο ΑΒΓΔ. Για να αποδείξουμε τα κρι- τήρια, θα πρέπει σύμφωνα με τον ορισμό να αποδείξουμε ότι σε κάθε περίπτωση, οι απέναντι πλευρές του τετραπλεύ- ρου είναι παράλληλες. Xpn 6114017010in Toll i) Έστω ΑΒ = ΓΔ και ΑΔ = ΒΓ (σχ.10). Αν φέρουμε τη , διαγώνιο ΒΔ, τότε σχηματίζονται τα τρίγωνα ΑΒΔ και O' Tow Mp IMEI ΒΓΔ που είναι ίσα, γιατί ΑΒ = ΓΔ, ΑΔ = ΒΓ και ΒΔ Va amore i } Els κοινή πλευρά. Άρα B̂ 1 = Δ̂ 1 = ω και B̂ 2 = Δ̂ 2 = φ, οπότε ΑΒ//ΓΔ και ΑΔ//ΒΓ, δηλαδή το ΑΒΓΔ είναι παραλλη- φITI Eva TET pot - 21 ω177 Eupo Eivac λόγραμμο. Δ' Mapa 77nA o - 8eaµµo * An 7084 To onyeeio Totems Tous Eivae To HIJO 103 Kai Twr 860 81 ajwriur .

ΕΥΚΛΕΙ∆ΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ A B ii) Έστω ΑΒ// = ΓΔ (σχ.10). Τα τρίγωνα ΑΒΔ και ΒΓΔ εί- ω φ ναι ίσα, γιατί ΑΒ = ΓΔ, B̂ 1 = Δ̂ 1 = ω και η ΒΔ είναι κοινή πλευρά. Επομένως, όμοια με το i), το ΑΒΓΔ είναι Δφ ωΓ παραλληλόγραμμο. Σχήµα 11 A iii) Αν Â = Γ̂ = ω και B̂ = Δ̂ = φ (σχ.11) η σχέση B Â + B̂ + Γ̂ + Δ̂ = 4⌊ γράφεται 2ω + 2φ = 4⌊ ή φ + ω = 2⌊. Επομένως, έχουμε ότι Â + Δ̂ = 2⌊, οπότε ΑΒ // ΓΔ και Ο Â + B̂ = 2⌊, οπότε ΑΔ // ΒΓ, δηλαδή το ΑΒΓΔ είναι πα- ΔΓ ραλληλόγραμμο. Σχήµα 12 iv) Έστω ΑΟ = ΟΓ και ΟΒ = ΟΔ (σχ.12). Τα τρίγωνα ΑΟΒ και ΓΟΔ, καθώς και τα τρίγωνα ΑΟΔ και ΒΟΓ είναι ίσα. Επομένως, όμοια με το i), θα είναι ΑΒ // ΓΔ και ΑΔ // ΒΓ, δηλαδή το ΑΒΓΔ είναι παραλληλόγραμμο. ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ Ερωτήσεις Κατανόησης 5. Ένα τετράπλευρο είναι παραλληλόγραμμο αν: 1. Ποια από τα παρακάτω τετράπλευρα είναι i) Δύο απέναντι γωνίες είναι ίσες. ii) Οι διαδοχικές γωνίες του παραλληλόγραμμα, ποια όχι και γιατί; είναι παραπληρωματικές. Β iii) Δύο απέναντι πλευρές του A B Α 5 είναι ίσες. 3 5 4 iv) Δύο απέναντι πλευρές του είναι παράλληλες. 5 Ο3 4 Ο (Σημειώστε x σε κάθε σωστή πρόταση). ΔΓ Δ 4 Ασκήσεις Εµπέδωσης 3,5 Α Γ 3 Δ 1. Δίνεται παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ. Η διχο- φω τόμος της Â τέμνει τη ΔΓ στο Ε. Να απο- δείξετε ότι ΔΕ = ΒΓ. 3 3,5 φ ω Ζω Γ Ρ 2. Έστω Ο το κέντρο παραλληλογράμμου Ε6 ΑΒΓΔ. Αν Ε και Ζ σημεία των ΟΑ και ΟΓ 33 αντίστοιχα, ώστε ΟΕ = ΟΖ, να αποδείξετε Ηω 90ο+θˆ ότι το τετράπλευρο ΒΕΔΖ είναι παραλλη- λόγραμμο. Ρ 90ο–θˆ Β 6 3. Έστω Ε και Ζ, τα μέσα των πλευρών ΑΒ και ΓΔ αντίστοιχα, παραλληλογράμμου 2. Με ποιους τρόπους μπορούμε να αποδεί- ΑΒΓΔ. Να αποδείξετε ότι: ξουμε ότι ένα τετράπλευρο είναι παραλλη- λόγραμμο; i) το τετράπλευρο ΑΕΓΖ είναι παραλλη- λόγραμμο. 3. Να υπολογίσετε τις γωνίες του παραλλη- ii) οι ΑΓ, ΒΔ και ΕΖ συντρέχουν. λογράμμου. Α Β 4. Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και η διχοτόμος του 75o ΑΔ. Η παράλληλη από το Δ προς την ΑΒ ΔΓ τέμνει την ΑΓ στο Ε. Αν η παράλληλη από το Ε προς τη ΒΓ τέμνει την ΑΒ στο Ζ, να 4. Να υπολογίσετε τις γωνίες ω και φ του πα- αποδείξετε ότι ΑΕ = ΒΖ. ραλληλογράμμου ΔΕΖΗ. ΔΕ 2ω Ηω φΖ 104

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5. ΠΑΡΑΛΛΗΛΟΓΡΑΜΜΑ - ΤΡΑΠΕΖΙΑ Αποδεικτικές Ασκήσεις ΒΓ, ΓΔ και ΑΔ αντίστοιχα, ώστε ΑΕ = ΓΗ και ΒΖ = ΔΚ. Να αποδείξετε ότι 1. Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ (AB = ΑΓ) και σημείο Μ της βάσης του ΒΓ. Φέρου- i) το τετράπλευρο ΕΖΗΚ είναι παραλ- με ΜΕ // ΑΒ (Ε σημείο του ΑΓ) και ΜΔ// ληλόγραμμο, ΑΓ (Δ σημείο του ΑΒ). Να αποδείξετε ότι ΜΔ + ΜΕ = ΑΒ. ii) οι ΑΓ, ΒΔ, ΕΗ και ΚΖ συντρέχουν. 2. Δίνεται παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ και Ε ση- 2. Προεκτείνουμε την πλευρά ΑΒ παραλλη- μείο της ΑΓ. Φέρουμε ΔΖ//ΒΕ (Ζ σημείο του λογράμμου ΑΒΓΔ κατά τμήμα ΒΕ = ΒΓ ΑΓ). Να αποδείξετε ότι ΔΕ//ΒΖ. και επί της ημιευθείας ΔΑ θεωρούμε ση- μείο Ζ, ώστε ΔΖ = ΔΓ. Να αποδείξετε ότι 3. Δίνεται παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ. Προε- ΖΓ̂ Ε = 90°. κτείνουμε τη ΔΓ κατά τμήμα ΓΕ = ΔΓ και τη ΔΑ κατά τμήμα ΑΖ = ΔΑ. Να αποδεί- 3. Δίνεται παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ. Προε- ξετε ότι τα σημεία Ζ, Β και Ε είναι συνευ- κτείνουμε την ΑΒ κατά τμήμα ΒΕ = ΒΓ θειακά. και την ΑΔ κατά τμήμα ΔΖ = ΔΓ. Να απο- δείξετε ότι τα σημεία Ζ, Γ και Ε είναι συ- 4. Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ. Στις προεκτάσεις των νευθειακά. διαμέσων ΒΔ και ΓΕ παίρνουμε σημεία Η και Ζ αντίστοιχα τέτοια, ώστε ΔΗ = ΒΔ και 4. Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ (ΑΒ = ΑΓ) ΖΕ = ΓΕ. Να αποδείξετε ότι και σημείο Δ της ΑΓ. Προεκτείνουμε την i) ΑΗ = ΑΖ, ΑΒ κατά τμήμα ΒΕ = ΓΔ. Να αποδείξετε ii)τα σημεία Ζ, Α και Η είναι συνευθειακά. ότι η ΒΓ διχοτομεί τη ΔΕ. 5. Από σημείο Α να φέρετε τέμνουσα δύο πα- 5. Ένα ποταμός, του οποίου οι όχθες είναι ράλληλων ευθειών με τρόπο, ώστε το με- ευθύγραμμες, διέρχεται μεταξύ δύο χω- ταξύ των παραλλήλων τμήμα της να είναι ριών που απέχουν άνισες αποστάσεις από ίσο με δοσμένο τμήμα λ. τις όχθες του. Σε ποια θέση πρέπει να κα- τασκευασθεί μια γέφυρα κάθετη προς τον Σύνθετα Θέµατα ποταμό, ώστε τα δύο χωριά να βρίσκονται σε ίσες αποστάσεις από τις αντίστοιχες ει- 1. Δίνεται παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ και τα ση- σόδους της γέφυρας; μεία Ε, Ζ, Η και Κ των πλευρών του ΑΒ, Είδη παραλληλογράµµων Στην παράγραφο αυτή θα μελετήσουμε τα είδη των παραλ- ληλογράμμων, δηλαδή τα παραλληλόγραμμα που έχουν και κάποιες επιπλέον ιδιότητες. Διακρίνουμε τρία είδη παραλ- ληλογράμμων: το ορθογώνιο, το ρόμβο και το τετράγωνο. 5.3 Ορθογώνιο Ορισµός A B Ορθογώνιο λέγεται το παραλληλόγραμμο που έχει μία γωνία ορθή. Επειδή στο παραλληλόγραμμο οι απέναντι γωνίες του είναι ίσες, ενώ δύο διαδοχικές γωνίες του είναι παραπληρωματι- Δ Γ κές (ως εντός και επί τα αυτά μέρη), προκύπτει ότι όλες οι Σχήµα 13 γωνίες του ορθογωνίου είναι ορθές. 105

ΕΥΚΛΕΙ∆ΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ (► Ιδιότητες ορθογωνίου ' tooth TES Evo 's Tapa A - Exec Kou o AES TIS * An Aog @odfepeoyqorlkoi ) * i ) Οι διαγώνιοι του ορθογωνίου είναι ίσες. ) juries' Tou eivac op OES . * ii OAES or A B ΑΠΟ∆ΕΙΞΗ Δ Έστω ΑΒΓΔ ορθογώνιο. Θα αποδείξουμε ότι οι διαγώνιοι A Ο ΑΓ και ΒΔ είναι ίσες (σχ.14). Δ Τα τρίγωνα ΑΒΔ και ΑΔΓ είναι ίσα (Â = Δ̂ = 90°, ΑΔ κοινή, Δ 106 ΑΒ = ΔΓ), οπότε ΑΓ = ΒΔ. Γ ► Κριτήρια για να είναι ένα τετράπλευρο ορθογώνιο Σχήµα 14 I Ένα τετράπλευρο είναι ορθογώνιο, αν ισχύει μια από τις παρακάτω προτάσεις: * i) Είναι παραλληλόγραμμο και έχει μία ορθή γωνία. * ii) Είναι παραλληλόγραμμο και οι διαγώνιοί του είναι ίσες. * iii) Έχει τρεις γωνίες ορθές. * iv) Όλες οι γωνίες του είναι ίσες. B ΑΠΟ∆ΕΙΞΗ Ο i) Προκύπτει άμεσα από τον ορισμό του παραλληλογράμ- Γ μου. Σχήµα 15 ii) Έστω ΑΒΓΔ παραλληλόγραμμο με ΑΓ = ΒΔ. Τότε τα τρίγωνα ΑΒΔ και ΑΔΓ είναι ίσα (ΑΒ = ΔΓ, ΑΓ = ΒΔ, ΑΔ κοινή), οπότε Â = Δ̂ . Αλλά Â + Δ̂ = 2⌊, οπότε Â = Δ̂ = 1⌊. Επομένως, το ΑΒΓΔ είναι ορθογώνιο. iii) Αν έχει τρεις ορθές γωνίες θα είναι και η άλλη ορθή, αφού το άθροισμα των γωνιών κάθε τετραπλεύρου είναι 4⌊. (iv) Αν όλες οι γωνίες είναι ίσες, προφανώς όλες είναι ορθές. 5.4 Ρόµβος Ορισµός Ρόμβος λέγεται το παραλληλόγραμμο που έχει δύο A διαδοχικές πλευρές ίσες. Επειδή στο παραλληλόγραμμο οι απέναντι πλευρές του είναι B ίσες προκύπτει ότι όλες οι πλευρές του ρόμβου είναι ίσες. (► Ιδιότητες του ρόµβου Exec Kal b AES TIS icon TES Evo 's Tap at - * i) Οι διαγώνιοι του ρόμβου τέμνονται κάθετα. 74708@ a' , pepeou Γ Σχήµα 16 * ii) Οι διαγώνιοι του ρόμβου διχοτομούν τις γωνίες του.Gore Koi ) )* ' the ope's Tov edge Gov ' iii a Eira is Es Tous . OXES META } u

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5. ΠΑΡΑΛΛΗΛΟΓΡΑΜΜΑ - ΤΡΑΠΕΖΙΑ A ΑΠΟ∆ΕΙΞΗ ΔΟ B Έστω ΑΒΓΔ ρόμβος. Επειδή το τρίγωνο ΑΒΔ είναι ισοσκε- λές, η διάμεσος του ΑΟ είναι ύψος του και διχοτόμος της γωνίας Â. Επομένως ΑΓ⊥ΒΔ και η ΑΓ διχοτομεί την Â. Όμοια η ΑΓ διχοτομεί τη Γ̂ και η ΒΔ τις B̂ και Δ̂ . ► Κριτήρια για να είναι ένα τετράπλευρο ρόµβος IΓ Ένα τετράπλευρο είναι ρόμβος, αν ισχύει μια από τις παρα- Σχήµα 17 κάτω προτάσεις: A * i) Έχει όλες τις πλευρές του ίσες. * ii) Είναι παραλληλόγραμμο και δύο διαδοχικές πλευ- ΔΟ B ρές του είναι ίσες. Γ * iii) Είναι παραλληλόγραμμο και οι διαγώνιοί του τέμνο- Σχήµα 18 * νται κάθετα. * iv) Είναι παραλληλόγραμμο και μία διαγώνιός του δι- χοτομεί μία γωνία του. ΑΠΟ∆ΕΙΞΗ i) και ii) Προκύπτουν άμεσα από τον ορισμό του ρόμβου. iii) Έστω ΑΒΓΔ παραλληλόγραμμο με ΑΓ⊥ΒΔ. Στο τρίγωνο ΑΒΔ η ΑΟ είναι διάμεσος, αφού οι διαγώνιοι του παραλληλογράμμου διχοτομούνται. Επίσης, η ΑΟ είναι και ύψος, επειδή ΑΓ⊥ΒΔ. Άρα το τρίγωνο ΑΒΔ είναι ισο- σκελές, οπότε ΑΒ = ΑΔ. Επομένως το ΑΒΓΔ είναι ρόμβος. iv) Έστω ΑΒΓΔ παραλληλόγραμμο και ΑΓ διχοτόμος της Â. Τότε πάλι το τρίγωνο ΑΒΔ είναι ισοσκελές (αφού ΑΟ διχοτόμος και διάμεσος), οπότε το ΑΒΓΔ είναι ρόμβος. 5.5 Τ ετράγωνο Ορισµός A B Τετράγωνο λέγεται το παραλληλόγραμμο που είναι ορθογώνιο και ρόμβος. ► Ιδιότητες τετραγώνου Από τον ορισμό προκύπτει ότι το τετράγωνο έχει όλες τις * Δ Γ ιδιότητες του ορθογωνίου και όλες τις ιδιότητες του ρόμβου. * Σχήµα 19 Επομένως, σε κάθε τετράγωνο: -xD Enquiries , Mpd Mei va } If Ecs Katee TIS 107 1810' Tn TES To U off oywviou Kac Tou elope boo !

ΕΥΚΛΕΙ∆ΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ i) Οι απέναντι πλευρές του είναι παράλληλες. ii) Όλες οι πλευρές του είναι ίσες. iii) Όλες οι γωνίες του είναι ορθές. iv) Οι διαγώνιοί του είναι ίσες, τέμνονται κάθετα, διχο- τομούνται και διχοτομούν τις γωνίες του. ► Κριτήρια για να είναι ένα τετράπλευρο τετράγωνο AY TO Για να αποδείξουμε ότι ένα τετράπλευρο είναι τετράγω- Swart od Tal * kueiws otis * νο, αρκεί να αποδείξουμε ότι είναι ορθογώνιο και ρόμβος. * Αποδεικνύεται ότι ένα παραλληλόγραμμο είναι τετράγωνο, aokn 're , s ! fifes αν ισχύει μία από τις παρακάτω προτάσεις: ' Mp de Melva Area Kaila Toe Keith el a i) ία γωνία του είναι ορθή και δύο διαδοχικές πλευ- 81A TO Off ojwrco ρές του είναι ίσες. Kai Tov pipe Go ! ii) ία γωνία του είναι ορθή και μία διαγώνιός του δι- χοτομεί μία γωνία του. iii) ία γωνία του είναι ορθή και οι διαγώνιοί του κάθετες. iv) Οι διαγώνιοί του είναι ίσες και δύο διαδοχικές πλευ- ρές του είναι ίσες. v) Οι διαγώνιοί του είναι ίσες και η μία διχοτομεί μία γωνία του. vi) Οι διαγώνιοί του είναι ίσες και κάθετες. ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ Ερωτήσεις Κατανόησης 2. Με ποιους τρόπους μπορούμε να αποδεί- 1. Ποια από τα παρακάτω τετράπλευρα είναι ξουμε ότι ένα τετράπλευρο είναι: i) ορθογώνια, ii) ρόμβοι, iii) τετράγωνα, ποια όχι και γιατί; i) Ορθογώνιο ii) Ρόμβος 3. Σε τι είδους τρίγωνα χωρίζονται τα παρα- κάτω σχήματα από τις διαγωνίους τους; i) 5 i) Ορθογώνιο ii) Ρόμβος iii) Τετράγωνο 33 3 4. Να αναφέρετε δύο ομοιότητες και δύο δια- φορές που αφορούν πλευρές, γωνίες ή δια- 33 3 γωνίους μεταξύ των ζευγών των σχημά- 5 των: ii) 2 i) Τετράγωνο – Ρόμβος 2 5 φ35 φφ ii) Τετράγωνο – Ορθογώνιο 3 φ3 33 3 iii) Ορθογώνιο – Ρόμβος 5. Σημειώστε x σε κάθε σωστή πρόταση: i) Οι διαγώνιοι του ρόμβου δεν είναι ίσες. iii) 4 42 ii) Όλες οι γωνίες του ρόμβου 2 είναι ίσες. 2 iii) Ένας ρόμβος με μία ορθή 2 γωνία είναι τετράγωνο. iv) Κάθε τετράγωνο είναι ρόμβος. 108

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5. ΠΑΡΑΛΛΗΛΟΓΡΑΜΜΑ - ΤΡΑΠΕΖΙΑ Ασκήσεις Εµπέδωσης 2. Στις πλευρές ΑΒ και ΒΓ, τετραγώνου ΑΒΓΔ 1. Σε παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ φέρουμε παίρνουμε σημεία Ε και Ζ αντίστοιχα, ΑΕ⊥ΔΓ και ΓΖ⊥ΑΒ. Να αποδείξετε ότι το ΑΖΓΕ είναι ορθογώνιο. ώστε ΑΕ = ΒΖ. Να αποδείξετε ότι 2. Δίνεται παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ με κέντρο i) ΑΖ = ΔΕ, ii) ΑΖ⊥ΔΕ. Ο και ΒΔ = 2ΑΓ. Αν Ε, Ζ είναι τα μέσα των ΟΒ και ΟΔ αντίστοιχα, να αποδείξετε 3. Σε ορθογώνιο ΑΒΓΔ, Ε και Ζ είναι τα μέσα ότι το ΑΕΓΖ είναι ορθογώνιο. των ΑΔ και ΒΓ αντίστοιχα. Αν Η είναι το 3. Να αποδείξετε ότι αν οι διχοτόμοι των γω- νιών παραλληλογράμμου δε συντρέχουν, σημείο τομής των ΑΖ και ΒΕ και Θ το ση- τότε σχηματίζουν ορθογώνιο. μείο τομής των ΔΖ και ΓΕ, να αποδείξετε 4. Να αποδείξετε ότι ένα παραλληλόγραμμο εί- ναι ρόμβος, αν και μόνο αν οι αποστάσεις ότι το ΕΘΖΗ είναι ρόμβος. των απέναντι πλευρών του είναι ίσες. 4. Να αποδείξετε ότι αν δύο κάθετα τμήματα 5. Δίνεται ρόμβος ΑΒΓΔ με κέντρο Ο. Παίρ- νουμε δύο σημεία Ε και Ζ της ΑΓ, ώστε έχουν τα άκρα τους στις απέναντι πλευρές ΟΕ = ΟΖ = ΟΒ = ΟΔ. Να αποδείξετε ότι το ΔΕΒΖ είναι τετράγωνο. τετραγώνου, τότε είναι ίσα. 6. Δίνεται τετράγωνο ΑΒΓΔ. Στις πλευρές Σύνθετα Θέµατα ΑΒ, ΒΓ, ΓΔ και ΔΑ παίρνουμε σημεία 1. Δίνεται παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ με B̂ = 45°. Κ, Λ, Μ και Ν αντίστοιχα τέτοια, ώστε ΑΚ = ΒΛ = ΓΜ = ΔΝ. Να αποδείξετε ότι Από το μέσο Μ της ΓΔ φέρουμε κάθετο το ΚΛΜΝ είναι τετράγωνο. πάνω στη ΓΔ και έστω Ε και Ζ τα σημεία στα οποία αυτή τέμνει τις ΑΔ και ΒΓ αντί- Αποδεικτικές Ασκήσεις στοιχα (ή τις προεκτάσεις τους). Να αποδεί- ξετε ότι το ΔΕΓΖ είναι τετράγωνο. 1. Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ, η διχοτόμος του ΒΔ και Μ το μέσο της ΒΔ. Από το Δ φέρου- 2. Σε ορθογώνιο ΑΒΓΔ φέρουμε ΒΕ⊥ΑΓ. Αν με παράλληλη προς τη ΒΓ, που τέμνει την η διχοτόμος της γωνίας ΔB̂ Ε τέμνει τη ΓΔ ΑΒ στο Ε. Αν η ΕΜ τέμνει τη ΒΓ στο Ζ να στο Ζ, να αποδείξετε ότι ΒΓ = ΓΖ. αποδείξετε ότι το ΔΕΒΖ είναι ρόμβος. 3. Να αποδείξετε ότι: i) το άθροισμα των απο- στάσεων τυχαίου σημείου της βάσης ισο- σκελούς τριγώνου από τις ίσες πλευρές του είναι σταθερό (και ίσο με ένα από τα ύψη του), ii) το άθροισμα των αποστάσεων τυ- χαίου σημείου, που βρίσκεται στο εσωτερι- κό ισοπλεύρου τριγώνου, από τις πλευρές του είναι σταθερό (και ίσο με το ύψος του). Εφαρµογές των παραλληλογράµµων 5.6 Εφαρµογές στα τρίγωνα * * * ΘΕΩΡΗΜΑ Ι Το ευθύγραμμο τμήμα που ενώνει τα μέσα των δύο πλευ- ρών τριγώνου είναι παράλληλο προς την τρίτη πλευρά και ίσο με το μισό της. ΑΠΟ∆ΕΙΞΗ Θεωρούμε τρίγωνο ΑΒΓ και τα μέσα Δ, Ε των ΑΒ, ΑΓ αντί- ΒΓ στοιχα (σχ.20). Θα αποδείξουμε ότι ΔΕ// = 2 . 109

ΕΥΚΛΕΙ∆ΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ A Ζ Προεκτείνουμε τη ΔΕ κατά τμήμα EZ = ΔΕ. Το τετράπλευ- ΔΕ ρο ΑΔΓΖ είναι παραλληλόγραμμο, αφού οι διαγώνιοί του διχοτομούνται. Άρα ΑΔ = // ΓΖ, οπότε ΔΒ = // ΓΖ, αφού ΑΔ = ΔΒ. Έτσι το τετράπλευρο ΔΖΓΒ είναι παραλληλό- γραμμο, οπότε: (i) ΔΖ // ΒΓ άρα ΔΕ // ΒΓ και ΒΓ 2 BΓ (ii) ΔΖ = ΒΓ ή 2ΔΕ = ΒΓ ή ΔΕ = . Σχήµα 20 ΘΕΩΡΗΜΑ ΙΙ ** * Αν από το μέσο μιας πλευράς ενός τριγώνου φέρουμε ευ- θεία παράλληλη προς μια άλλη πλευρά του, τότε η ευθεία αυτή διέρχεται από το μέσο της τρίτης πλευράς του. A ΑΠΟ∆ΕΙΞΗ ΔΕ Ας θεωρήσουμε ένα τρίγωνο ΑΒΓ και ας φέρουμε από το Ζ μέσο Δ της ΑΒ την παράλληλη προς την ΒΓ που τέμνει την ΑΓ στο Ε (σχ.21). Θα αποδείξουμε ότι το Ε είναι το μέσο BΓ της ΑΓ. Έστω ότι το Ε δεν είναι μέσο της ΑΓ. Αν Z είναι το Σχήµα 21 μέσο της ΑΓ, το τμήμα ΔΖ ενώνει τα μέσα των πλευρών ΑΒ και ΑΓ, οπότε σύμφωνα με το προηγούμενο θεώρημα ΔΖ // ΒΓ. Έτσι, όμως, έχουμε από το Δ δύο παράλληλες προς τη ΒΓ, που είναι άτοπο. Άρα το Ε είναι μέσο της ΑΓ. ΘΕΩΡΗΜΑ ΙΙΙ ** Αν τρεις (τουλάχιστον) παράλληλες ευθείες ορίζουν σε μία ευθεία ίσα τμήματα, θα ορίζουν ίσα τμήματα και σε κάθε άλλη ευθεία που τις τέμνει. δ1 δ2 ε1 ΑΠΟ∆ΕΙΞΗ AΔ ε2 Ζ ε3 Θεωρούμε τις παράλληλες ευθείες ε1, ε2, ε3 οι οποίες τέ- B ΗΕ μνουν την δ1 στα σημεία Α, Β, Γ και ορίζουν σε αυτή τα ίσα ευθύγραμμα τμήματα ΑΒ, ΒΓ (σχ.22). Αν μια άλλη ευθεία Γ δ2 τέμνει τις ε1, ε2, ε3 στα σημεία Δ, Ε, Ζ αντίστοιχα, θα αποδείξουμε ότι ΔΕ = ΕΖ. Σχήµα 22 Φέρουμε Α // ΔΖ. Τότε τα τετράπλευρα ΑΔΕΗ και ΕΖ Η είναι παραλληλόγραμμα, οπότε ΑΗ = ΔΕ (1) και Η = ΕΖ (2). Στο τρίγωνο Α Γ το Β είναι το μέσο της ΑΓ και ΒΗ // Γ . Άρα το Η είναι μέσο της Α , δηλαδή ΑΗ = Η (3). Από τις (1), (2) και (3) προκύπτει ότι ΔΕ = ΕΖ. ► Η µεσοπαράλληλος δύο παραλλήλων Θεωρούμε δύο παράλληλες ευθείες ε1 και ε2 και ένα τμήμα ΑΒ = υ κάθετο προς αυτές, το οποίο έχει τα άκρα του στις 110

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5. ΠΑΡΑΛΛΗΛΟΓΡΑΜΜΑ - ΤΡΑΠΕΖΙΑ ΓA ε1 ε1 και ε2. Αν από το μέσο της ΑΒ φέρουμε την ευθεία ε ε παράλληλη προς τις ε1 και ε2, παρατηρούμε ότι κάθε σημείο της ε ισαπέχει από τις ε1 και ε2 , αφού Γ= Δ υ = 2 . Αντίστροφα, αν ένα σημείο ισαπέχει από τις ε1 και ε2, ΔB ε2 το τότε είναι σημείο μεταξύ των παραλλήλων και ισχύει Γ+ Δ = ΓΔ = υ, οπότε Γ = Δ = υ . 2 Σχήµα 23 Έτσι τα τετράπλευρα ΓΑ και ΔΒ είναι παραλληλό- γραμμα ( Γ// = Α , Δ // = Β), οπότε // ε1, ε2. Επο- μένως, το ανήκει στην ευθεία ε. αταλήγουμε λοιπόν στο συμπέρασμα ότι: Told Evo Eia Ο γεωμετρικός τόπος των σημείων του επιπέδου που ισα- OVO Moi fetal πέχουν από δύο παράλληλες ευθείες ε1 και ε2 είναι μία µE6o Mapai A - ευθεία ε παράλληλη προς τις ε1 και ε2, η οποία διέρχεται από τα μέσα των τμημάτων που έχουν τα άκρα τους στις 7nA n Silo Tapa 'A7n7wv δύο παράλληλες. Eutfecwr Η ευθεία ε λέγεται μεσοπαράλληλος των ε1 και ε2. ** ΕΦΑΡΜΟΓΗ 1η Να αποδειχθεί ότι τα μέσα των πλευρών ενός τετρα- A Ε B Noe Thr πλεύρου είναι κορυφές παραλληλογράμμου. ΘΖ } 'EpETE ! Απόδειξη Attach sexnpeatiigouv Tapa 77478 gpapepeo Θεωρούμε τετράπλευρο ΑΒΓΔ και τα μέσα Ε, Ζ, Η, Θ των ΑΒ, ΒΓ, ΓΔ, ΔΑ αντίστοιχα. Θα αποδείξουμε ότι το ΕΖΗΘ ΔΗ Γ είναι παραλληλόγραμμο. Φέρουμε τη διαγώνιο ΒΔ (σχ.24α). Παρατηρούμε ότι τα Σχήµα 24α Ε και Θ είναι τα μέσα δύο πλευρών του τριγώνου ΑΒΔ, A οπότε ΕΘ = // ΒΔ (1). Θ ΓΕ 2 ΔΗ Όμοια από το τρίγωνο ΒΓΔ προκύπτει ότι ΖΗ = // ΒΔ (2). Ζ 2 B Από τις (1) και (2) έχουμε ότι ΕΘ = // ΖΗ, οπότε το ΕΖΗΘ Σχήµα 24β είναι παραλληλόγραμμο. ΣΗΜΕΙΩΣΗ Ανάλογο συμπέρασμα ισχύει και σε μη κυρτό τετράπλευρο (σχ.24β). ΕΦΑΡΜΟΓΗ 2η Να διαιρεθεί ένα ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ σε τρία ίσα Εx ευθύγραμμα τμήματα (σχ.25). Δ Λύση Γ B Φέρουμε μια ημιευθεία Αx και παίρνουμε σε αυτή τα ίσα A ΗΖ διαδοχικά ευθύγραμμα τμήματα ΑΓ, ΓΔ, ΔΕ. Φέρουμε Σχήµα 25 τη ΒΕ και από τα Δ, Γ και Α παράλληλες προς αυτή, οι οποίες τέμνουν την ΑΒ στα σημεία Ζ και Η. Τότε σύμφωνα με το θεώρημα III, σελ. 110, θα είναι ΑΗ = ΗΖ = ΖΒ. 111

ΕΥΚΛΕΙ∆ΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ To Otto Io ovopeoifetoel 5.7 Βαρύκεντρο τριγώνου bored KETVeo in klertpoboipous gieTOU Tel vow * * * ΘΕΩΡΗΜΑ µ Οι διάμεσοι ενός τριγώνου διέρχονται από το ίδιο σημείο 2 ' { του οποίου η απόσταση από κάθε κορυφή είναι τα 3 του μήκους της αντίστοιχης διαμέσου. It 1810 Tn Toe ITOU EXEC TO Gap I KEVTPO ΑΠΟ∆ΕΙΞΗ A Έστω τρίγωνο ΑΒΓ. Φέρουμε τις δύο διαμέσους ΒΕ και ΓΖ. Επειδή B̂ 1 + Γ̂ 1 < B̂ + Γ̂ < 2⌊, οι δύο διάμεσοι τέμνονται σε Ζ ΘΕ ένα εσωτερικό σημείο Θ του τριγώνου. Αν η ΑΘ τέμνει τη ΒΓ στο Δ, θα αποδείξουμε ότι i) η ΑΔ είναι η τρίτη διάμεσος 2 B1 1 Γ του τριγώνου, δηλαδή ΒΔ = ΔΓ και ii) ΑΘ = 3 ΑΔ. Δ i) Στην ημιευθεία ΘΔ παίρνουμε τμήμα Θ = ΑΘ. Παρα- τηρούμε ότι τα σημεία Ε και Θ είναι τα μέσα των πλευρών Γ Σχήµα 26 του τριγώνου Α Γ, οπότε ΕΘ = // 2 (1). Όμοια από το τρίγωνο ΑΒ έχουμε ΖΘ = // Β (2). 2 Από τις (1) και (2) προκύπτει ότι ΒΕ // Γ και ΓΖ // Β , δηλαδή το ΒΘΓ είναι παραλληλόγραμμο (3). Άρα οι δια- Molo Eira TO γώνιοί του διχοτομούνται, οπότε ΒΔ = ΔΓ. leap JKEVTPO Το σημείο Θ, στο οποίο τέμνονται οι διάμεσοι του ΑΒΓ, (in kdevtpobapous) λέγεται βαρύκεντρο (ή κέντρο βάρους) του τριγώνου. jurEvo 's Tel OU ii) Από το παραλληλόγραμμο ΒΘΓ έχουμε ακόμη ΘΔ = Δ = Θ , άρα ΘΔ = ΑΘ ή ΑΘ = 2ΘΔ. 2 2 Από τις (1) και (3) προκύπτει ότι ΕΘ = Γ = ΒΘ ή ΒΘ = 2ΘΕ. 2 2 Όμοια από τις (2) και (3) έχουμε ΓΘ = 2ΘΖ. Παρατηρούμε, λοιπόν, ότι το βαρύκεντρο έχει την ιδιότητα να χωρίζει κάθε ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ διάμεσο σε δύο τμήματα που το ένα είναι διπλάσιο του άλλου. Στην παραπάνω πρόταση θεω- Επίσης έχουμε ότι ΑΔ = ΑΘ + ΘΔ = 2ΘΔ + ΘΔ = 3ΘΔ. Άρα ρήσαμε το σημείο τομής Θ των δύο διαμέσων ΒΕ και ΓΖ και ΘΔ = 1 ΑΔ, οπότε =Α32ΘΒ=Ε23κΑαιΔ.ΓΘ αποδείξαμε ότι η ΑΘ αν προε- 3 ότι ΒΘ κταθεί είναι η τρίτη διάμεσος 2 ΑΔ. Αυτός ο τρόπος αποτελεί Όμοια προκύπτει = 3 ΓΖ. μια βασική μέθοδο για να απο- δεικνύουμε ότι τρεις ευθείες συ- Αποδείξαμε λοιπόν ότι: ντρέχουν σε κάποιο σημείο. Η απόσταση του βαρυκέντρου Θ ενός τριγώνου ΑΒΓ από 2 κάθε κορυφή του ισούται με τα 3 του μήκους της αντί- στοιχης διαμέσου. 112

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5. ΠΑΡΑΛΛΗΛΟΓΡΑΜΜΑ - ΤΡΑΠΕΖΙΑ 5.8 Τ ο ορθόκεντρο τριγώνου * * Λήµµα Οι παράλληλες, που άγονται από τις κορυφές ενός τριγώνου προς τις απέναντι πλευρές του, σχηματίζουν τρίγωνο, το οποίο έχει ως μέσα των πλευρών του τις κορυφές του αρχικού τριγώνου. A ΑΠΟ∆ΕΙΞΗ B Από τις κορυφές Α, Β, Γ τριγώνου ΑΒΓ φέρουμε παράλλη- Γ λες προς τις απέναντι πλευρές του, οι οποίες ορίζουν ένα νέο τρίγωνο (σχ.27). Σχήµα 27 όγω των σχηματιζόμενων παραλληλογράμμων ΑΓΒ, ΑΒΓ και ΒΑΓ έχουμε: Α = ΒΓ = Α , Γ = ΑΒ = Γ και Β = ΑΓ = Β . Επομένως τα σημεία Α, Β, Γ είναι τα μέσα των πλευρών του τριγώνου . A ΘΕΩΡΗΜΑ ④ ΖΕ Οι φορείς των υψών ενός τριγώνου διέρχονται από το Γ ίδιο σημείο. → To otto To oropeoi JET oil op fo ' KEVTPO Too Tpljwvou Η ΑΠΟ∆ΕΙΞΗ BΔ Έστω τρίγωνο ΑΒΓ και τα ύψη του ΑΔ, ΒΕ και ΓΖ. Από τις κορυφές του Α, Β, Γ φέρουμε παράλληλες προς τις απέναντι Σχήµα 28 πλευρές (σχ.28). Σύμφωνα με το ήμμα, στο τρίγωνο τα σημεία Α, Β, Γ είναι τα μέσα των πλευρών του. Επίσης, * ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ παρατηρούμε ότι οι ευθείες ΑΔ, ΒΕ και ΓΖ είναι κάθετες στις , και αντίστοιχα (αφού είναι κάθετες στις ΒΓ, ΑΓ Όταν το τρίγωνο είναι ορθο- γώνιο, το ορθόκεντρο είναι η και ΑΒ) και μάλιστα είναι κάθετες στα μέσα τους. Δηλαδή οι κορυφή της ορθής γωνίας, ενώ ευθείες ΑΔ, ΒΕ και ΓΖ είναι οι μεσοκάθετοι των πλευρών του σε αμβλυγώνιο τρίγωνο το ορ- τριγώνου , οπότε θα διέρχονται από το ίδιο σημείο Η. θόκεντρο βρίσκεται εκτός του τριγώνου. Το σημείο Η λέγεται ορθόκεντρο του τριγώνου ΑΒΓ. A * ΠΟΡΙΣΜΑ It 1810' Tn Toe MOU Οι κορυφές Α, Β, Γ, τριγώνου ΑΒΓ και το ορθόκεντρό του { KEI ' Η αποτελούν ορθοκεντρική τετράδα, δηλαδή κάθε ένα από αυτά τα σημεία είναι το ορθόκεντρο του τριγώνου, ofTo -00 - KEV Tpo Evo 'S Ε Tpcjwrou που ορίζεται από τα άλλα τρία σημεία. To off 'o KEVTCO Tou ABT EΖy Η Πράγματι οι κορυφές π.χ. Β, Γ και το ορθόκεντρο Η του τριγώνου ΑΒΓ ορίζουν το τρίγωνο ΒΗΓ. • BΔ Γ Τα ύψη ΗΔ, ΒΖ και ΓΕ του τριγώνου ΒΗΓ τέμνονται στο Α, Σχήµα 29 οπότε το Α είναι το ορθόκεντρο του τριγώνου ΒΗΓ. ④ An Aaf's To ' Evo 's tplgwroo Eival To 113 op fo KEV Tpo only Eio To pends Tuv of ul v Too Tpijwvou .

ΕΥΚΛΕΙ∆ΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ 5.9 Μια ιδιότητα του ορθογώνιου τριγώνου *** ΘΕΩΡΗΜΑ Ι Η διάμεσος οθρογώνιου τριγώνου που φέρουμε από την κορυφή της ορθής γωνίας είναι ίση με το μισό της υπο- τείνουσας. ΑΠΟ∆ΕΙΞΗ B Θεωρούμε ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ (Â= 90°) και τη διάμε- ΒΓ σό του Α (σχ.30). Θα αποδείξουμε ότι Α = 2 . Φέρουμε τη διάμεσο Δ του τριγώνου Α Γ. Το Δ συνδέει τα μέσα δύο πλευρών του τριγώνου ΑΒΓ, οπότε Δ // ΑΒ. Αλλά ΑΒ⊥ΑΓ, επομένως και Δ⊥ΑΓ. Άρα, το Δ είναι ύψος και διάμεσος στο τρίγωνο Α Γ, οπότε Α = Γ, δη- ΒΓ AΔ Γ λαδή Α = 2 . Σχήµα 30 Το παραπάνω θεώρημα ισχύει και αντίστροφα, δηλαδή: ** * ΘΕΩΡΗΜΑ ΙΙ Αν η διάμεσος ενός τριγώνου ισούται με το μισό της πλευράς στην οποία αντιστοιχεί, τότε το τρίγωνο είναι ορθογώνιο με υποτείνουσα την πλευρά αυτή. ΑΠΟ∆ΕΙΞΗ Θεωρούμε τρίγωνο ΑΒΓ και τη διάμεσό του Α (σχ.31). ΒΓ B Αν Α = 2 , θα αποδείξουμε ότι η γωνία Â είναι ορθή. Επειδή Α ΒΓ έχουμε Α = Γ, οπότε Â1 = Γ̂ (1) και = 2 Α = Β, οπότε Â2 = B̂ (2). 2 Γ Από τις (1) και (2) προκύπτει ότι Â1 + Â2 = B̂ + Γ̂ , δηλαδή Â = B̂ + Γ̂ . Αλλά Â + B̂ + Γ̂ = 2⌊, οπότε 2Â = 2⌊ ή Â = 1⌊. 1 A Σχήµα 31 ΠΟΡΙΣΜΑ ** * Αν σε ορθογώνιο τρίγωνο μια γωνία του ισούται με 30ο, B τότε η απέναντι πλευρά του είναι το μισό της υποτείνου- 30ο σας και αντίστροφα. MPOEOXH ! me ΑΠΟ∆ΕΙΞΗ Θεωρούμε ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ (Â= 90°) με B̂ = 30° A 2 Γ (σχ.32). ΒΓ 2 Σχήµα 32 Θα αποδείξουμε ότι ΑΓ = . 114

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5. ΠΑΡΑΛΛΗΛΟΓΡΑΜΜΑ - ΤΡΑΠΕΖΙΑ B Επειδή B̂ = 30°, είναι Γ̂ = 90° – 30° = 60°. Φέρουμε τη διάμε- ι=σόΒπ2λΓευ=ρο.ΓΕ. πΈοτμσέινAω̂2ς=ΑΓΓ̂ ==60°Γ, ο=πόΒτ2εΓτο. σο Α και είναι Α τρίγωνο Α Γ είναι Αντίστροφο, αν στο ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ είναι ΑΓ = ΒΓ (σχ.33), θα αποδείξουμε ότι B̂ = 30°. 2 Γ A Σχήµα 33 ΑΠΟ∆ΕΙΞΗ Φέρουμε τη διάμεσο Α , οπότε Α = ΒΓ = Γ = ΑΓ ΒΓ είναι ισόπλευρο, 2 60°. Επο- (αφού ΑΓ = 2 ). Άρα το τρίγωνο Α Γ οπότε Γ̂ = μένως B̂ = 90° – 60° = 30°. ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ Ερωτήσεις Κατανόησης 3. Υπάρχει τρίγωνο στο οποίο το ορθόκεντρο και το βαρύκεντρο ταυτίζονται; 1. Στα παρακάτω σχήματα να υπολογίσετε τα 4. Στο παρακάτω σχήμα να δικαιολογήσετε x και y. {Α ΔΕ//ΒΓ την ισότητα ΑΜ = ΔΕ. Α Δ 3Ε Β Δx Ε x 2,5 Δ Β x+2 Γ Β y Γ Γ Β Α ΕΓ y 3,5 ε1 Γ 3 x ε2 y 5. Σε ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ (Â = 90°) ο 3 κύκλος διαμέτρου ΒΓ διέρχεται από το Α; δ1 3,5 ε3 x Να δικαιολογήσετε την απάντησή σας. ε4 δ2 Α 60o Ασκήσεις Εµπέδωσης 4 1. Αν Δ και Ε είναι τα μέσα των πλευρών ΑΒ Β ΔΕ//ΑΒ Α 5 Ε και ΑΓ τριγώνου ΑΒΓ και Ζ τυχαίο σημείο της ΒΓ, να αποδείξετε ότι η ΔΕ διχοτομεί 6 xy ΓΒ Δx την ΑΖ. Α4Δ 4 yΘ 2. Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και η διάμεσός του ΑΔ. Αν Ε, Ζ και Η είναι τα μέσα των ΒΔ, 5 ΑΔ και ΑΓ αντίστοιχα, να αποδείξετε ότι το ΔΕΖΗ είναι παραλληλόγραμμο. 2. Στα παρακάτω σχήματα να υπολογίσετε 3. Σε τρίγωνο ΑΒΓ φέρουμε τα ύψη ΒΔ και τις γωνίες φ και ω. ΓΕ. Αν Μ είναι το μέσο της ΒΓ, να απο- δείξετε ότι ΜΔ = ΜΕ. ΒΒ 4. Δίνεται ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ (Â = 90°) με B̂ = 30°. Αν Ε, Ζ είναι τα μέσα των ΑΒ 4 φ και ΑΓ, να αποδείξετε ότι ΕΖ=ΑΓ. Α ωΓ 5. Αν σε τρίγωνο ΑΒΓ είναι μβ = μγ ,να απο- Α 3 δείξετε ότι β = γ. 2 φ Βω Α3 Γ 2ω ω 5 Γ 55 115

ΕΥΚΛΕΙ∆ΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ 6. Δίνεται ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ (Â = 90°). 8. Σε ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ με B̂ = 30° η Προεκτείνουμε τη ΓΑ κατά τυχαίο τμήμα ΑΔ. Από το Δ φέρουμε ΔΗ⊥ΒΓ, η οποία κάθετος στο μέσο Μ της υποτείνουσας ΒΓ τέμνει την ΑΒ στο Ε. Να αποδείξετε ότι ΓΕ⊥ΔΒ. τέμνει την πλευρά ΑΒ στο Δ. Να αποδείξε- 7. Δίνεται ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ (Â = 90°) τε ότι: κ=αιΑΕ3Β, με B̂ = 30° και Δ, Ε τα μέσα των ΑΒ και ΒΓ αντίστοιχα. Προεκτείνουμε την ΕΔ 9. i) ΜΔ = ΑΔ, ii) ΜΔ . τα μέσα κατά τμήμα ΔΖ = ΕΔ. Να αποδείξετε ότι Δίνεται ορθογώνιο ΑΒΓΔ Ζ το ΑΓΕΖ είναι ρόμβος. των ΑΒ και ΒΓ αντίστοιχα. Αν Η, Κ οι προβολές των κορυφών Α και Γ στη δια- γώνιο ΒΔ αντίστοιχα, να αποδείξετε ότι ΕΗ⊥ΚΖ. Αποδεικτικές Ασκήσεις 10.Τρία χωριά που δε βρίσκονται στην ίδια ευθεία ανήκουν στον ίδιο δήμο. Ο δήμος 1. Δίνεται ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ (Â =90°) αποφασίζει να κατασκευάσει δρόμο (ευ- και το ύψος του ΑΔ. θεία), ο οποίος να ισαπέχει από τα τρία χωριά. Πώς θα γίνει η χάραξη του δρόμου; i) Αν Ε, Ζ είναι τα μέσα των ΑΒ και ΑΓ, Πόσοι τέτοιοι δρόμοι υπάρχουν; να αποδείξετε ότι ΕΔ̂ Ζ = Â = 90°. ii) Αν Μ είναι το μέσο της ΕΖ, να απο- Σύνθετα Θέµατα 1. Σε τρίγωνο ΑΒΓ με B̂ > Γ̂ φέρουμε το δείξετε ότι ΔΜ = ΒΓ . 4 ύψος του ΑΔ. Αν Ε και Ζ τα μέσα των ΑΓ και ΒΓ αντίστοιχα, να αποδείξετε ότι 2. Δίνεται παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ και τα ΔÊΖ = B̂ – Γ̂ . μέσα Ε και Ζ των ΒΓ και ΓΔ αντίστοιχα. Αν η ΕΖ τέμνει τη διαγώνιο ΑΓ στο Η, να 2. Σε ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ (Â = 90°) φέ- ΑΓ ρουμε το ύψος του ΑΔ. Να αποδείξετε ότι αν αποδείξετε ότι ΓΗ = 4 . B(Υ̂ =πό1δ5ε°ι,ξτηό:τεΦΑέΔρο=υμΒε4ΓτηκδαιιάαμνετσίσοτΑροΜφ)α.. 3. Σε ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ (Â= 90°) με B̂ > Γ̂ φέρουμε τη διάμεσό του ΑΜ και το ύψος του ΑΔ. Να αποδείξετε ότι 3. Σε κυρτό τετράπλευρο ΑΒΓΔ θεωρούμε το ΜÂΔ = B̂ – Γ̂ . βαρύκεντρο Κ του τριγώνου ΑΒΓ και τα μέσα Ε, Ζ και Η των ΑΒ, ΓΔ και ΚΔ αντί- 4. Αν Ε, Ζ τα μέσα των πλευρών ΑΒ, ΓΔ πα- στοιχα. Να αποδείξετε ότι ΕΗ//ΚΖ. ραλληλογράμμου ΑΒΓΔ αντίστοιχα, να αποδείξετε ότι οι ΔΕ και ΒΖ τριχοτομούν 4. Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ με B̂ = 2Γ̂ < 90° και τη διαγώνιο ΑΓ. το ύψος του ΑΔ. Προεκτείνουμε την ΑΒ κατά τμήμα ΒΕ = ΒΔ. Να αποδείξετε ότι 5. Αν Ε, Ζ τα μέσα των πλευρών ΒΓ, ΓΔ πα- η ΔΕ διχοτομεί την πλευρά ΑΓ. ραλληλογράμμου ΑΒΓΔ αντίστοιχα, να αποδείξετε ότι οι ΑΕ και ΑΖ τριχοτομούν 5. Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ με ΑΒ < ΑΓ, η διχο- τη διαγώνιο ΒΔ. τόμος του ΑΔ και Μ το μέσο της ΒΓ. Αν Ε είναι η προβολή του Β στη διχοτόμο ΑΔ, 6. Σε τρίγωνο ΑΒΓ, Δ είναι το μέσο της δια- να αποδείξετε ότι: μέσου ΑΜ. Αν η ΒΔ τέμνει την πλευρά ΑΓ i) ΕΜ//ΑΓ, ΕΓ στο Ε, να αποδείξετε ότι ΑΕ = 2 . ii) ΕΜ = ΑΓ – ΑΒ , 2 7. Σε παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ προεκτείνου- Â 2 με την ΑΒ κατά τμήμα ΒΕ = ΑΒ. Αν η ΔΕ iii) ΔÊΜ = . τέμνει την ΑΓ στο Η και τη ΒΓ στο Ζ, να 6. Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ, το ύψος του ΒΔ και αποδείξετε ότι Μ το μέσο του τμήματος ΓΔ. Προεκτείνου- i) ΒΖ = ΖΓ, ii) ΓΗ = ΑΗ . με τη ΔΒ κατά τμήμα ΒΕ = ΔΒ. Να απο- 2 116

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5. ΠΑΡΑΛΛΗΛΟΓΡΑΜΜΑ - ΤΡΑΠΕΖΙΑ δείξετε ότι η κάθετη από το Μ στην ΑΒ, 8. Δίνεται ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ (Â = 90°) η κάθετη από το Α στην ΕΓ και η ΒΔ συ- το ύψος του ΑΔ και η διάμεσός του ΑΜ. ντρέχουν. Αν Ε, Ζ οι προβολές του Δ στις ΑΒ και ΑΓ αντίστοιχα, να αποδείξετε ότι: 7. Αν Κ και Λ είναι οι προβολές της κορυφής Α τριγώνου ΑΒΓ στην εσωτερική και εξω- i) ΑΔ = ΕΖ, τερική διχοτόμο της γωνίας B̂ αντίστοιχα, να αποδείξετε ότι: ii) ΑΜ⊥ΕΖ, i) Το ΑΚΒΛ είναι ορθογώνιο. iii) Η διάμεσος ΑΜ το τμήμα ΔΖ και η παράλληλη προς την ΕΖ από το Β συ- ii) Η ευθεία ΚΛ διέρχεται από το μέσο ντρέχουν. της ΑΓ. Τραπέζια 5.10 Τ ραπέζιο * Ορισµός Τραπέζιο λέγεται το κυρτό τετράπλευρο που έχει μόνο δύο πλευρές παράλληλες. Boise is Evo 'S Οι παράλληλες πλευρές ΑΒ και ΓΔ (σχ.34) του τραπεζίου A B Tpatiogiou ΑΒΓΔ λέγονται βάσεις του τραπεζίου. άθε ευθύγραμμο τμήμα κάθετο στις βάσεις του τραπεζί- ' Yules Evo 's Ε Ζ ου με τα άκρα του στους φορείς των βάσεων λέγεται ύψος Teare 'S iou του τραπεζίου. Το ευθύγραμμο τμήμα ΕΖ που ενώνει τα Diapers Δ Η Γ μέσα των μη παράλληλων πλευρών του λέγεται διάμεσος Evo 's Tpa ME - του τραπεζίου. 3 iou Σχήµα 34 ΘΕΩΡΗΜΑ I ** * Η διάμεσος του τραπεζίου είναι παράλληλη προς τις βά- σεις του και ίση με το ημιάθροισμά τους. Δηλαδή, αν ΕΖ διάμεσος του τραπεζίου ΑΒΓΔ, τότε: i) ΕΖ // ΑΒ, ΓΔ και ii) EZ = AB + ΓΔ . 2 ΑΠΟ∆ΕΙΞΗ Θεωρούμε τραπέζιο ΑΒΓΔ (ΑΒ // ΓΔ) (σχ.35), τη διαγώνιο AB του ΒΔ και Ε το μέσο της ΑΔ. Από το Ε φέρουμε ευθεία ε παράλληλη των ΑΒ και ΓΔ που τέμνει τις ΒΔ και ΒΓ στα Ζε και Ζ αντίστοιχα. Τότε: Γ Ε Στο τρίγωνο ΑΒΔ το Ε είναι μέσο της ΑΔ και Ε //ΑΒ, οπό- Δ Eείν=αιAμ2Bέσο(1τ)η. ς τε το είναι το μέσο της ΒΔ και ΒΔ και Επίσης στο τρίγωνο ΒΔΓ το ΓΔ 2 Σχήµα 35 Ζ // ΓΔ, οπότε το Ζ είναι το μέσο της ΒΓ και Ζ= (2). 117

ΕΥΚΛΕΙ∆ΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Επομένως η ΕΖ είναι διάμεσος του τραπεζίου και i) ΕΖ // ΑΒ, ΓΔ (από κατασκευή). ii) Από τις (1) και (2) προκύπτει ότι E + Ζ = AB + ΓΔ ή EZ = AB + ΓΔ . 2 2 2 AB * * * ΠΟΡΙΣΜΑ Ε Η διάμεσος ΕΖ τραπεζίου ΑΒΓΔ διέρχεται από τα μέσα Δ Ζ και των διαγωνίων του και το τμήμα είναι πα- A ράλληλο με τις βάσεις του και ίσο με την ημιδιαφορά των Δ βάσεών του. A υ Γ ΑΠΟ∆ΕΙΞΗ Σχήµα 36 Αποδείξαμε παραπάνω ότι το είναι μέσο της ΒΔ (σχ.35). ΔΗ A Όμοια, αν φέρουμε την ΑΓ (σχ.36), στο τρίγωνο ΑΔΓ το Ε Δ είναι μέσο της ΑΔ και Ε // ΓΔ, οπότε το είναι μέσο της 118 ΓΔ ΑΓ και E = 2 (3). Επομένως, η διάμεσος ΕΖ του τραπεζίου διέρχεται από τα μέσα , των διαγωνίων του και προφανώς // ΑΒ, ΓΔ. B Επίσης από τις (1) και (3) προκύπτει ότι: E –Ε = ΓΔ – ΑΒ ή = ΓΔ – ΑΒ (με ΓΔ > ΑΒ). 2 2 2 5.11 Ισοσκελές τραπέζιο Γ Ορισµός ** Σχήµα 37 B Ισοσκελές τραπέζιο λέγεται το τραπέζιο του οποίου υ οι μη παράλληλες πλευρές είναι ίσες. Γ ► Ιδιότητες ισοσκελούς τραπεζίου Σχήµα 38 B * Αν ένα τραπέζιο είναι ισοσκελές, τότε: i) Οι γωνίες που πρόσκεινται σε μια βάση είναι ίσες. Γ Σχήµα 39 * ii) Οι διαγώνιοί του είναι ίσες. * iii ) Oi pen ' 7747 es the ope 's Too eivac i res . Mapa ΑΠΟ∆ΕΙΞΗ i) Έστω ΑΒΓΔ ισοσκελές τραπέζιο (ΑΒ//ΓΔ και ΑΔ = ΒΓ). Φέρουμε τα ύψη ΑΗ και Β . Τα τρίγωνα ΑΔΗ και Β Γ είναι ίσα (Ĥ = K̂ = 90°, ΑΔ = ΒΓ και ΑΗ = Β = υ), οπότε Γ̂ = Δ̂ . Επειδή Â + Δ̂ = 180° και B̂ + Γ̂ = 180° (ως εντός και επί τα αυτά μέρη), έχουμε και Â = B̂ . ii) Τα τρίγωνα ΑΔΓ και ΒΔΓ (σχ.39) είναι ίσα (ΑΔ = ΒΓ, ΓΔ κοινή και ΑΔ̂ Γ = ΒΓ̂ Δ), οπότε ΑΓ = ΒΔ.

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5. ΠΑΡΑΛΛΗΛΟΓΡΑΜΜΑ - ΤΡΑΠΕΖΙΑ MPOEOXH ! run ' ripe 're , Feigera camo is IT , d ra ► Κριτήρια για να είναι ένα τραπέζιο ισοσκελές Otar Tetpaiifeupo Eira , crook EFE's team E'flo , (Ένα τραπέζιο είναι ισοσκελές, αν ισχύει μια από τις παρα- κάτω προτάσεις. TITE realtor }Eand SEC O' Ti ' y Elva I Tp are - 310 ( 8470184 ' o' T , Exel pedro Sio MAE ope 's * i) Οι γωνίες που πρόσκεινται σε μια βάση του είναι ' )tous Kou µ Eta * ίσες. Οι διαγώνιοί του είναι ίσες. Tapia Mees peeta }u IT I Ed Uac (1508K EX Els HE Koi Molo and Toe ii) ' Jogia ) . * Einar toes . Keith era )iii Oi pen Map a' 774 yes the ope's too ** ΕΦΑΡΜΟΓΗ Να αποδειχθεί ότι σε κάθε ισοσκελές τραπέζιο: Ο Noe MV i) αν προεκτείνουμε τις μη παράλληλες πλευρές του σχη- A1 1B ματίζονται δύο ισοσκελή τρίγωνα, } EPETE ! ii) η ευθεία που διέρχεται από τα μέσα των βάσεων είναι μεσοκάθετος της κάθε βάσης. Απόδειξη i) Έστω ΑΒΓΔ ισοσκελές τραπέζιο (ΑΒ//ΓΔ) και Ο το σημείο Γ τομής των ΑΔ και ΒΓ. Τα τρίγωνα ΟΑΒ και ΟΔΓ είναι ισο- Δ Σχήµα 40 σκελή, αφού Â1 = B̂ 1 και Δ̂ = Γ̂ (ΑΒΓΔ ισοσκελές τραπέζιο). ii) Η μεσοκάθετος ε της βάσης ΑΒ διέρχεται από το Ο, επειδή το τρίγωνο ΟΑΒ είναι ισοσκελές. Η ε είναι κάθετος και στη ΓΔ επειδή ΓΔ//ΑΒ. Αφού η ε διέρχεται από το Ο, είναι και ύψος του ισοσκελούς τριγώνου ΟΓΔ, άρα μεσοκάθετος και στη ΓΔ. ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ Ερωτήσεις Κατανόησης 3. Τι ονομάζεται διάμεσος τραπεζίου; Ποιες ιδιότητες έχει; 1. Από τα παρακάτω τραπέζια να βρείτε τα x, y, ω και θ. 4. Στο ισοσκελές τραπέζιο ΑΒΓΔ είναι: ΑΒ = 5x, ΔΓ = 3x και Â = 60°. Η περίμε- 2 τρος του τραπεζίου είναι: 3 y ΔΓ x 4 xy1 3 60o 10 7 Α Β x i) 10x ii) 11x iii) 12x θ iv) 13x v)14x Δικαιολογήστε την απάντησή σας. x+1 Ασκήσεις Εµπέδωσης 120o 1. Δίνεται τραπέζιο ΑΒΓΔ (ΑΒ//ΓΔ) και η διάμεσός του ΕΖ. Αν οι μη παράλληλες ω πλευρές του ΑΔ, ΒΓ τέμνονται στο Κ και 3x Η, Θ είναι τα μέσα των ΚΑ και ΚΒ αντί- στοιχα, να αποδείξετε ότι τα Ε, Ζ, Η, Θ 2. Με ποιους τρόπους μπορούμε να αποδεί- είναι κορυφές τραπεζίου. ξουμε ότι ένα τετράπλευρο είναι ισοσκε- λές τραπέζιο; 119

ΕΥΚΛΕΙ∆ΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ 2. Αν Δ και Ε είναι τα μέσα των πλευρών 7. Αν σε τραπέζιο η μία βάση είναι διπλάσια ΑΒ και ΑΓ αντίστοιχα ισοσκελούς τριγώ- της άλλης, να αποδείξετε ότι οι διαγώνιοι νου ΑΒΓ (ΑΒ = ΑΓ), να αποδείξετε ότι το χωρίζουν τη διάμεσο σε τρία ίσα τμήματα. ΔΕΓΒ είναι ισοσκελές τραπέζιο. 8. Δίνεται τραπέζιο ΑΒΓΔ (ΑΒ//ΓΔ) με 3. Οι διαγώνιοι ισοσκελούς τραπεζίου ΑΒΓΔ ΓΔ = 3ΑΒ και Κ, Λ τα μέσα των διαγωνίων του ΔΒ και ΑΓ αντίστοιχα. Να αποδείξετε (ΑΒ//ΓΔ) τέμνονται στο Ο. Αν Ε, Ζ, Η, Θ ότι το ΑΚΛΒ είναι παραλληλόγραμμο. Πότε είναι τα μέσα των ΟΑ, ΟΒ, ΟΓ, ΟΔ αντί- αυτό είναι ορθογώνιο; στοιχα, να αποδείξετε ότι το ΕΖΗΘ είναι ισοσκελές τραπέζιο. 9. Δίνεται τραπέζιο ΑΒΓΔ (ΑΒ//ΓΔ) με 4. Δίνεται παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ και το ΓΔ = 3 ΑΒ. Αν Ε, Ζ, Η είναι τα μέσα των ύψος του ΑΕ. Αν Κ, Λ είναι τα μέσα των 2 ΑΒ, ΒΓ και ΔΕ αντίστοιχα, να αποδείξετε ΑΔ και ΒΓ αντίστοιχα, να αποδείξετε ότι το ΚΛΓΕ είναι ισοσκελές τραπέζιο. ότι το ΑΒΖΗ είναι παραλληλόγραμμο. Αν 5. Δίνεται ισοσκελές τραπέζιο ΑΒΓΔ (ΑΒ// η προέκταση της ΑΗ τέμνει τη ΓΔ στο Θ, ΓΔ) με ΑΒ < ΓΔ και τα ύψη του ΑΕ και ΒΖ. τότε ΘΔ = ΔΓ – ΑΒ. Να αποδείξετε ότι ΔΕ = ΓΖ = ΓΔ – ΑΒ . 10. Αν Αʹ, Βʹ, Γʹ, Δʹ, Κʹ είναι οι προβολές 2 των κορυφών και του κέντρου Κ παραλ- 6. Από την κορυφή Α τριγώνου ΑΒΓ φέρου- ληλογράμμου ΑΒΓΔ αντίστοιχα σε ευ- θεία ε που αφήνει όλες τις κορυφές του με ευθεία ε που δεν τέμνει το τρίγωνο και προς το ίδιο μέρος της, να αποδείξετε ότι ΑΑʹ + ΒΒʹ + ΓΓʹ + ΔΔʹ = 4ΚΚʹ. ας είναι ΒΒʹ και ΓΓʹ οι αποστάσεις των Β και Γ από την ευθεία ε. Αν Μ είναι το μέσο της ΒʹΓʹ και Κ το μέσο της διαμέσου ΑΔ να Σύνθετα Θέµατα ΑΔ αποδείξετε ότι ΜΚ = 2 . 1. Σε τραπέζιο ΑΒΓΔ (ΑΒ//ΓΔ) έχουμε ΑΔ = ΑΒ + ΓΔ. Να αποδείξετε ότι οι διχο- Αποδεικτικές Ασκήσεις τόμοι των γωνιών Â και Δ̂ τέμνονται στη ΒΓ. 1. Σε τραπέζιο ΑΒΓΔ(ΑΒ//ΓΔ) η διχοτόμος της 2. Δίνεται τραπέζιο ΑΒΓΔ με Â = Δ̂ = 90° και γωνίας του Β τέμνει τη διάμεσο του ΕΖ στο ΒΓ = 2ΓΔ. Αν Μ είναι το μέσο της ΒΓ, να Η. Να αποδείξετε ότι ΒĤΓ = 90°. αποδείξετε ότι ΑM̂ Γ = 3ΜÂΒ. 2. Σε ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ (ΑΒ = ΑΓ) Μ 3. Μια ευθεία ε διέρχεται από την κορυφή είναι το μέσο της ΑΒ. Αν η μεσοκάθετος της Δ ενός παραλληλογράμμου ΑΒΓΔ και έχει ΑΒ τέμνει την ΑΓ στο Ζ και η παράλληλη εκατέρωθεν αυτής τις κορυφές Β και Γ. Αν Αʹ, Βʹ και Γʹ οι προβολές των Α, Β και Γ από το Ζ προς τη ΒΓ τέμνει την ΑΒ στο Η, αντίστοιχα στην ευθεία ε, να αποδείξετε ότι να αποδείξετε ότι ΓΗ = ΑΖ. ΑΑʹ – ΓΓʹ = ΒΒʹ (με ΑΑʹ > ΓΓʹ). 3. Δίνεται τραπέζιο ΑΒΓΔ με Â = Δ̂ = 90° και B̂ = 120°. Αν ΑΒ = 2α και ΒΓ = α να υπολο- 4. Δίνεται ορθογώνιο ΑΒΓ (Â = 90°) και γίσετε τη διάμεσο ΕΖ, ως συνάρτηση του α. 4. Σε ένα τραπέζιο ΑΒΓΔ, η μία από τις μη πα- Δ, Ε τα μέσα των ΑΒ και ΒΓ αντίστοιχα. ράλληλες πλευρές του ΑΔ είναι ίση με το Από το μέσο Ζ του ΑΔ φέρουμε παράλληλη άθροισμα των βάσεων. Αν Μ είναι το μέσο της ΒΓ, να αποδείξετε ότι ΑM̂ Δ = 90°. προς την ΑΓ που τέμνει τη ΒΓ στο Η. Αν 3 5. Από το μέσο Ε της πλευράς ΒΓ ισοσκελούς ΖΗ = 8 ΒΓ, να υπολογισθεί η γωνία B̂ . τραπεζίου ΑΒΓΔ (ΑΒ//ΓΔ) φέρουμε παράλ- 5. Σε τραπέζιο ΑΒΓΔ (ΑΒ//ΓΔ) με ΑΒ < ΓΔ, ληλη προς την ΑΔ που τέμνει τη ΔΓ στο Μ. έστω Μ το μέσο της ΒΓ. Να αποδείξετε ότι Να αποδείξετε ότι ΒΜ⊥ΔΓ. i) αν ΔΜ = ΔΓ και η παράλληλη από 6. Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και το ύψος του ΑΗ. το Α προς τη ΒΓ τέμνει τη ΔΜ στο Ε, τότε ΑΜ = ΒΕ, Αν Δ, Ε, Ζ είναι τα μέσα των ΑΒ, ΑΓ και ΒΓ αντίστοιχα, να αποδείξετε ότι το ΔΕΖΗ ii) αν Ε είναι το μέσο της ΔΜ, τότε είναι ισοσκελές τραπέζιο. 3 ΑΕ = 4 ΒΓ. 120

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5. ΠΑΡΑΛΛΗΛΟΓΡΑΜΜΑ - ΤΡΑΠΕΖΙΑ ΣΧΟΛΙΟ 5.12 Αξιοσηµείωτες ευθείες και κύκλοι τριγώνου Για να αποδείξουμε ότι υπάρ- χουν κάποια από τα αξιοσημεί- Είδαμε προηγούμενα (§4.5 και §5.7 - §5.8) ότι σε ένα τρί- ωτα σημεία τριγώνου (βαρύκε- γωνο οι μεσοκάθετοι των πλευρών του, οι διχοτόμοι των ντρο, ορθόκεντρο κτλ.) καθώς γωνιών του, οι διάμεσοι και τα ύψη του αποτελούν τριάδες και τις βασικές τους ιδιότητες συντρεχουσών ευθειών. MOM EHMANTIKHEYNOYH ! χρησιμοποιήσαμε τη θεωρία των Ανακεφαλαιώνοντας, σε ένα τρίγωνο ΑΒΓ αποδείξαμε ότι παραλληλογράμμων που στηρί- διέρχονται από το ίδιο σημείο: ζεται στο αίτημα παραλληλίας (§4.2). • Οι μεσοκάθετοι των τριών πλευρών του. Το κοινό σημείο Ο λέγεται περίκεντρο του ΑΒΓ και ο κύκλος (Ο, ΟΑ) λέγεται περιγεγραμμένος κύκλος του τριγώνου. • Οι διχοτόμοι των τριών γωνιών του. Το κοινό σημείο I λέγεται έγκεντρο του ΑΒΓ και ο κύκλος με κέντρο το I και ακτίνα την κοινή απόσταση του I από τις τρεις πλευ- ρές του, λέγεται εγγεγραμμένος κύκλος του τριγώνου. • Οι τρεις διάμεσοί του. Το κοινό σημείο τους Θ λέγεται βαρύκεντρο του ΑΒΓ. • Τα τρία ύψη του. Το κοινό σημείο τους Η λέγεται ορθό- κεντρο του ΑΒΓ. ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 1. Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ (β ≠ γ) με Â = 60°, ΑΒ = 2ΒΓ, B̂ > 60° και το ύψος του ΑΕ τα ύψη του ΒΔ, ΓΕ και τα μέσα Μ, Ν των προς τη ΒΓ (ΑΕ⊥ΒΓ). Αν Ζ, Η είναι τα ΑΒ, ΑΓ αντίστοιχα. Να αποδείξετε ότι μέσα των ΓΔ και ΑΒ αντίστοιχα, να απο- ΜΕ = ΝΔ. δείξετε ότι: 2. Δίνονται δύο παράλληλες ευθείες ε1, ε2 και i) το ΗΒΓΖ είναι ρόμβος, σημείο Α της ε1. Φέρουμε ΑΚ⊥ε2. Αν Β ση- μείο της ε2 και μια ευθεία, που διέρχεται ii) η ΖΕ είναι διχοτόμος της ΗÊΓ, από το Β, τέμνει τις ΑΚ και ε1 στα Δ και Ε αντίστοιχα, ώστε ΔΕ = 2ΑΒ, να αποδεί- iii) το ΗΕΓΖ είναι ισοσκελές τραπέζιο, ξετε ότι ΑB̂ Κ = 3ΕB̂ Κ. iv) ΔẐΕ = 3ΖÊΓ. 3. Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ με ΑΒ < ΑΓ, Δ το 5. Ευθεία ε αφήνει τις κορυφές τριγώνου μέσο της ΑΒ και σημείο Ε της ημιευθείας ΑΒΓ προς το ίδιο μέρος της. Αν Αʹ, Βʹ, Γʹ, ΑΓ Κʹ οι προβολές των Α, Β, Γ και του βαρυ- ΔΒ, ώστε ΔΕ = 2 . Από τα Β και Ε φέ- κέντρου Κ αντίστοιχα στην ε, να αποδεί- ξετε ότι ΑΑʹ + ΒΒʹ + ΓΓʹ = 3ΚΚʹ. ρουμε κάθετες στη διχοτόμο της γωνίας 6. Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ (ΑΒ = ΑΓ) Â, οι οποίες τέμνουν την ΑΓ στα Βʹ και Εʹ και Δ το μέσο της ΒΓ. Φέρουμε ΔΕ⊥ΑΓ. Αν Ζ το μέσο του ΕΓ, να αποδείξετε ότι: αντίστοιχα. Να αποδείξετε ότι: i) ΔΖ//ΒΕ, i) ΒʹΕʹ = ΑΓ – ΑΒ . 2 ii) AH⊥BE, όπου Η το μέσο του ΔΕ. ii) Η ευθεία ΕΕʹ διέρχεται από το μέσο 7. Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και Μ το μέσο της ΒΓ. Κατασκευάζουμε εξωτερικά του τρι- της ΒΓ. γώνου τα τετράγωνα ΑΒΔΕ και ΑΓΖΗ. Αν 4. Δίνεται παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ με 121

ΕΥΚΛΕΙ∆ΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Κ και Λ είναι τα κέντρα των ΑΒΔΕ και πεζίου ΑΒΓΔ τέμνονται κάθετα στο Ο. Αν ΑΓΖΗ αντίστοιχα, να αποδείξετε ότι το Κ, Λ τα μέσα των βάσεων ΑΒ και ΔΓ αντί- τρίγωνο ΚΜΛ είναι ισοσκελές και ορθο- στοιχα, να αποδείξετε ότι: γώνιο. i) τα σημεία Ο, Κ, Λ είναι συνευθειακά, 8. Δίνεται τετράγωνο πλευράς α και κέντρου ii) ΚΛ = ΔΓ – ΑΒ (με ΔΓ > ΑΒ). Ο. Στη διαγώνιο ΑΓ παίρνουμε σημείο Μ, 2 μώνσετιετηΓΜΓΔ=στΑο4ΓΕ.κΦαιέρΟοΗυμκεάτθηετΒηΜστπηοΒυΓτ,έη- iii) αν Ε, Ζ είναι τα μέσα των διαγωνίων ΑΓ και ΒΔ αντίστοιχα, τότε το ΚΕΛΖ οποία τέμνει τη ΒΕ στο Ζ. Να αποδείξετε είναι ορθογώνιο. ότι: α 10. Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ, οι διχοτόμοι του 3 ΒΔ και ΓΕ και το μέσο Μ του ΕΔ. Να i) OZ = , αποδείξετε ότι η απόσταση του Μ από τη ΒΓ είναι ίση με το άθροισμα των αποστά- ii) το ΟΖΓΕ είναι παραλληλόγραμμο. σεών του από τις ΑΒ, ΑΓ. 9. Οι μη παράλληλες πλευρές ΑΔ και ΒΓ τρα- ∆ΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΕΣ 1. Δύο αδέλφια κληρονόμησαν ένα οικόπεδο σχήματος παραλληλογράμμου, το οποίο έχει την πλευ- ρά ΑΒ παράλληλη προς δημόσιο δρόμο που διέρχεται μπροστά από το οικόπεδο. Πώς θα μοιρα- σθεί δίκαια το οικόπεδο μεταξύ των δύο αδελφών; ΔΓ οικόπεδο ΑΒ δρόμος 2. Έχουμε 4 ίσα ορθογώνια τρίγωνα. Τοποθετώντας κατάλληλα το ένα τρίγωνο δίπλα στο άλλο, τι είδους τετράπλευρα κατασκευάζουμε; Να γίνουν τα σχήματα. 3. Να εξετάσετε ποια από τα παρακάτω τετράπλευρα έχουν κέντρο συμμετρίας, ποια έχουν άξονες συμμετρίας και πόσους. Να γίνουν τα σχήματα και να βρεθεί το συμμετρικό των κορυφών τους και των πλευρών τους. i) παραλληλόγραμμο iv) τετράγωνο ii) ορθογώνιο ν) τραπέζιο iii) ρόμβος vi) ισοσκελές τραπέζιο 4. Θεωρούμε ευθεία ε και ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ. Να υπολογίσετε την απόσταση του μέσου Μ του τμήματος, ως συνάρτηση των αποστάσεων των άκρων του Α και Β από την ευθεία ε. (Υπόδειξη: Να διακρίνετε περιπτώσεις για τις διάφορες θέσεις των Α και Β ως προς την ευθεία ε). ΕΡΓΑΣΙΑ Σε μια πεδιάδα υπάρχει λόφος Λ, τον οποίο πρόκειται να διασχίσει ευθεία σιδηροδρομική γραμμή ΑΒΓΔ. Πώς ο μηχανικός θα χαράξει την προέκταση ΓΔ αυτής πίσω από το λόφο, πριν να γίνει η διάνοιξη της σήραγγας; ΑΒ ΓΔ 122

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5. ΠΑΡΑΛΛΗΛΟΓΡΑΜΜΑ - ΤΡΑΠΕΖΙΑ ΙΣΤΟΡΙΚΟ ΣΗΜΕΙΩΜΑ με το αν η κάθε πλευρά τους αφήνει το σχήμα εξ ολοκλήρου στο ένα από τα δύο ημιεπίπεδα που Η έννοια του τετραπλεύρου ορίζει η πλευρά αυτή ή όχι. ία ειδική περίπτω- ση επιπέδου κυρτού τετραπλεύρου είναι το πα- Η πρώτη υποδιαίρεση των τετραπλεύρων σήμερα ραλληλόγραμμο, οι απέναντι πλευρές του οποίου είναι σε επίπεδα και στρεβλά, ανάλογα με το αν είναι παράλληλες. οι κορυφές τους βρίσκονται στο ίδιο επίπεδο ή όχι. Τα επίπεδα τετράπλευρα, με τη σειρά τους, Τέλος, διακρίνουμε τρία είδη παραλληλογράμ- υποδιαιρούνται σε κυρτά και μη κυρτά, ανάλογα μων (Διάγραμμα 1): ΤΕΤΡΑΠΛΕΥΡΟ επίπεδο στρεβλό (έχει τις πλευρές του στο ίδιο επίπεδο) κυρτό µη κυρτό (για κάθε πλευρά το τετράπλευρο ανήκει στο ένα από τα δύο ηµιεπίπεδα που ορίζει η πλευρά) παραλληλόγραµµο (έχει τις απέναντι πλευρές παράλληλες) ορθογώνιο παραλληλόγραµµο ρόµβος (έχει τέσσερις γωνίες ορθές) (έχει τέσσερις πλευρές ίσες) τετράγωνο Διάγραμμα 1: Η σύγχρονη (έχει τέσσερις γωνίες ορθές και ταξινόμηση των τετραπλεύρων τέσσερις πλευρές ίσες) (α) το ορθογώνιο παραλληλόγραμμο, που έχει Όμως η ταξινόμηση αυτή δε διαμορφώθηκε εξ τέσσερις γωνίες ορθές, αρχής στην ιστορία της Γεωμετρίας. Ο Ευκλεί- δης π.χ. στα «Στοιχεία» του προτείνει μια άλλη (β) ο ρόμβος που έχει τέσσερις πλευρές ίσες, ταξινόμηση (Διάγραμμα 2). (γ) το τετράγωνο, που έχει τέσσερις γωνίες ορθές και τέσσερις πλευρές ίσες. ΤΕΤΡΑΠΛΕΥΡΟ τετράγωνο τραπέζιο (ισόπλευρο και ορθογώνιο) Διάγραμμα 2: Η Ευκλείδεια ετεροµήκες ταξινόμηση των τετραπλεύρων (ορθογώνιο και όχι ισόπλευρο) ρόµβος (ισόπλευρο και όχι ορθογώνιο) ροµβοειδές (όχι ίσες τις απέναντι πλευρές και γωνίες) 123

ΕΥΚΛΕΙ∆ΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Η ταξινόμηση αυτή δε χρησιμοποιεί ως κριτή- τουργική και μάλλον άβολη. Ο ίδιος ο Ευκλείδης ριο την έννοια της παραλληλίας, η οποία στα μάλιστα δε χρησιμοποιεί ποτέ στα «Στοιχεία» «Στοιχεία» εισάγεται αργότερα. Επίσης δε φαί- του τις έννοιες του ετερομήκους, του ρόμβου νεται να στηρίζεται σε κάποια ενιαία αρχή. Στις και του ρομβοειδούς. Παρόλα αυτά, η ταξινό- τρεις πρώτες περιπτώσεις φαίνεται ότι λαμβάνει μηση αυτή απαντάται και σε μεταγενέστερους ως βάση τα κατηγορήματα «έχει ίσες πλευρές» μαθηματικούς, ακόμα και του Αραβικού κόσμου, και «έχει ορθές γωνίες» και τις αρνήσεις τους: όπως π.χ. στη διαπραγμάτευση της Γεωμετρίας ορθογώνιο και ισόπλευρο είναι το τετράγωνο, του αλ-Χουαρίζμι. Όμως υπήρχαν και μαθημα- ορθογώνιο και όχι ισόπλευρο το ετερομήκες τικοί που προσπάθησαν να τροποποιήσουν την (δηλαδή το ορθογώνιο παραλληλόγραμμο), ισό- ταξινόμηση του Ευκλείδη. Ο Πρόκλος αποδίδει πλευρο και όχι ορθογώνιο ο ρόμβος. Όμως, η στον Ποσειδώνιο μια πιο ολοκληρωμένη ταξι- έννοια του ρομβοειδούς (δηλαδή του πλάγιου νόμηση, η οποία απαντάται επίσης στον Ήρωνα παραλληλογράμμου) στηρίζεται στην έννοια της (Διάγραμμα 3). ισότητας των απέναντι πλευρών και των γωνιών και όχι στην παραλληλία των απέναντι πλευρών. ια άλλη προσπάθεια διόρθωσης της Ευκλεί- Τραπέζιο ονομάζει όχι ό,τι σήμερα εννοούμε με δειας ταξινόμησης απαντάται το 16ο αι. στη τον όρο αυτό, δηλαδή τετράπλευρο με δύο μόνο «Γεωμετρία» (1569) του Πέτρου Ράμου (Petrus πλευρές παράλληλες, αλλά οποιοδήποτε τετρά- Ramus ή Pierre de la Ramée) (Διάγραμμα 4). Η πλευρο. Ο όρος τραπέζιο, με τη σύγχρονη έν- ταξινόμηση του Ράμου φαίνεται να στηρίζεται νοια, απαντάται αργότερα στον Αρχιμήδη. στη διχοτομική διαίρεση του πλάτους των εν- νοιών. Η ταξινόμηση όμως αυτή αποδεικνύεται μη λει- ΤΕΤΡΑΠΛΕΥΡΑ παραλληλόγραµµα µη παραλληλόγραµµα ορθογώνιο µη ορθογώνιο τραπέζιο τραπεζοειδές τετράγωνο ετεροµήκες ρόµβος ροµβοειδές ισοσκ. τραπέζιο σκαληνό τραπέζιο Διάγραμμα 3: Η ταξινόμηση των τετραπλεύρων κατά τον Ποσειδώνιο και τον Ήρωνα ΤΕΤΡΑΠΛΕΥΡΑ παραλληλόγραµµα τραπέζια πλάγιο παραλληλόγραµµο ορθογώνιο παραλληλόγραµµο ρόµβος ροµβοειδές τετράγωνο ετεροµήκες Διάγραμμα 4: Η ταξινόμηση του Ράμου 124

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5. ΠΑΡΑΛΛΗΛΟΓΡΑΜΜΑ - ΤΡΑΠΕΖΙΑ ΑΝΑΚΕΦΑΛΑΙΩΣΗ ΤΕΤΡΑΠΛΕΥΡΑ Έχει δύο παράλληλες πλευρές Τραπέζιο • ΕΖ // ΑΒ // ΓΔ ΑΒ • ΕΖ = ΑΒ + ΓΔ 2 Απέναντι πλευρές Ε Ζ διότητες παράλληλες ΑΔ Γ Β • = ΓΔ – ΑΒ 2 ΑΕ ΒΖ • ΑΒ // ΓΔ και ΑΔ // ΒΓ • ΑΒ = ΓΔ και ΑΔ = ΒΓ ΠαραλληλόγΔραΟμμο Γ διότητες • Â = Γ̂ και B̂ = Δ̂ • ΑΟ = ΟΓ και ΒΟ = ΟΔ ΑΔ ΒΓ Ο ριτήρια • αθεμιά από τις ιδιότητες ΔΓ • Δύο απέναντι πλευρές ίσες και παράλληλες Ορθογώνιο Α Β Ρόμβος Α ΑΒ Α Δ ΓΔ Β Δ ΓΔ Β ριτήρια Επιπλέον Γ Γ ιδιότητες • ια γωνία ορθή • ΑΓ = ΒΔ ριτήρΑια Α Β • ΑΓ = ΒΔ • Â = B̂ = Γ̂ = Δ̂ = 90º ΕπιπλΒέον ιδιότητες Α ΒΑ • Δύο διαδοχικές ΔΓ πλευρές του ίσες Δ • ΑΒ =Γ ΒΓ = ΓΔ = ΔΑ • ΑΓ ⊥ ΒΔ • ΑΓ ⊥ ΒΔ Δ ΓΔ Β • ία διαγώνιος • Οι διαγώνιοι διχοτομούν τις διχοτομεί μία γωνία του γωνίες του Γ Β Τετράγωνο Α ΔΓ 125

ΕΥΚΛΕΙ∆ΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Εφαρµογές των παραλληλογράµµων Τρίγωνο Α Αν Δ, Ε μέσα ΑΒ, ΑΓ, τότε ΔΕ//= ΒΓ . Δ 2 Γ E Αν Δ μέσο ΑΒ και ΔΕ//ΒΓ τότε Ε μέσο ΑΓ. Β Ορθογώνιο Β M Â = 90º ⇔ Α = ΒΓ . Τρίγωνο Α 2 30ο ΒΓ Γ Αν Â = 90º, τότε: B̂ = ⇔ ΑΓ = 2 . Βαρύκεντρο Α ΑΘ = 2 ΑΔ, ΒΘ = 2 ΒΕ, ΓΘ = 2 ΓΖ τριγώνου Ζ ΘΕ 3 3 3 ΒΔ Γ Ορθόκεντρο Σημείο τομής υψών τριγώνου 126