ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ - Κεφ.3 - Παρ. 3.1 (θεωρία)

Α΄ Λυκείου - Άλγεβρα Εξισώσεις Παράγραφος 3.1 Εξισώσεις 1ου βαθµού ΘΕΩΡΙΑ - ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ Νέα Μουδανιά • Νοέµβριος 2021

~ Περιεχόμενα παραγράφου 1 ~ 1. Γενικές παρατηρήσεις στις εξισώσεις ......................................................................................................................1 1η παρατήρηση Το είδος μιας εξίσωσης .............................................................................................................1 2η παρατήρηση Ρίζα μιας εξίσωσης ......................................................................................................................1 3η παρατήρηση Αδύνατη εξίσωση .........................................................................................................................2 4η παρατήρηση Εξίσωση η οποία είναι ταυτότητα ......................................................................................2 5η παρατήρηση Η εξίσωση έχει κλάσματα, με αριθμούς μόνο στους παρονομαστές ..........2 6η παρατήρηση Η εξίσωση έχει παραστάσεις του x σε παρονομαστές ..........................................2 2. Πώς θα λύσεις εξίσωση πρώτου βαθμού ..............................................................................................................3 1η περίπτωση Η εξίσωση δεν έχει κλάσματα ...................................................................................................4 2η περίπτωση Η εξίσωση έχει κλάσματα ............................................................................................................5 3. Ποια εξίσωση πρώτου βαθμού λέγεται «παραμετρική» και πώς θα την λύσεις ...........................6 4. Εξισώσεις οι οποίες ανάγονται σε εξισώσεις πρώτου βαθμού ................................................................9 Α. Πώς θα λύσεις ρητή εξίσωση (εξίσωση η οποία έχει τον άγνωστο και στον παρονομαστή ενός τουλάχιστον κλάσματος) ..............................................................................................................................9 Β. Πώς θα λύσεις εξίσωση με απόλυτες τιμές (εξίσωση η οποία έχει τον άγνωστο μέσα σε απόλυτη τιμή, μία ή περισσότερες) ...........12 1η περίπτωση Η εξίσωση έχει μία απόλυτη τιμή και αριθμό εκτός αυτής ...........................12 2η περίπτωση Η εξίσωση έχει μία απόλυτη τιμή και παράσταση του x εκτός αυτής ................................................................................................................................16 3η περίπτωση Η εξίσωση έχει δύο απόλυτες τιμές .............................................................................18

Ά λγε β ρ α Α ΄Λ υκε ί ου ΠΑΡΑΓΡΑΦΟΣ 1 Κεφάλαιο 3 • Εξισώσεις Εξισώσεις 1ου βαθµού Η πρώτη αυτή παράγραφος στο σχολικό βιβλίο υπενθυμίζει βασικά στοιχεία από όσα έμαθες στο Γυμνάσιο για τις εξισώσεις πρώτου βαθμού. Καλύτερη επανάληψη στα θέ- ματα αυτά μπορείς ­και πρέπει!­ να κάνεις μέσω του ebook «Η επανάληψη του Γυ- μνασίου» που έχω γράψει για σένα και υπάρχει δωρεάν στην ιστοσελίδα μου. Θα βρεις και πολλές λυμένες ασκήσεις, οι οποίες θα σε βοηθήσουν περισσότερο στο να θυμηθείς πώς θα λύσεις μια εξίσωση πρώτου βαθμού. 1. Γενικές παρατηρήσεις στις εξισώσεις Οι παρατηρήσεις αυτές έχουν αξία και ισχύ σε όλα όσα θα διαβάσεις στο κεφάλαιο, γι’ αυτό πρόσεξέ τες και έχε τες κατά νου συνεχώς. ❖ 1η παρατήρηση - Το είδος µιας εξίσωσης Το είδος μιας εξίσωσης τις περισσότερες φορές διαπιστώνεται στην πορεία, μετά την εκτέλεση πράξεων. Έτσι, το να έχει x μια εξίσωση δεν σημαίνει ότι είναι πρώτου βαθμού, όπως επίσης και το να έχει x2 , x3 κ.τ.λ, δεν σημαίνει ότι είναι δευτέρου ή τρίτου βαθμού κ.λπ. Όταν εκτελεσθούν όλες οι πράξεις και γίνει το τελικό «συμμάζεμα», τότε διαπιστώνεται και το είδος της εξίσωσης. ❖ 2η παρατήρηση - Ρίζα µιας εξίσωσης Κάθε λύση μιας εξίσωσης λέγεται και ρίζα της εξίσωσης. Αυτό σημαίνει ότι, αν η λύση/ρίζα της εξίσωσης τεθεί στην θέση του x στην αρχική της μορφή, τα αριθμητικά αποτελέσματα που θα προκύψουν στα δύο μέλη της θα είναι ίσα μεταξύ τους. Έτσι, αν σε μια άσκηση δίνεται ότι ένας αριθμός είναι ρίζα μιας εξίσωσης, τότε θέσε αυτόν τον αριθμό στην θέση του x και κάνε πράξεις. Το πώς θα αξιοποιήσεις την σχέ- ση που προκύπτει εξαρτάται από την άσκηση. -1 - Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηματικών • www.mathsteki.gr

Ά λγε β ρ α Α ΄Λ υκε ί ου Κεφάλαιο 3 • Εξισώσεις ❖ 3η παρατήρηση - Αδύνατη εξίσωση Δεν έχουν όλες οι εξισώσεις λύση. Εξίσωση που δεν έχει λύση λέγεται αδύνατη. ❖ 4η παρατήρηση - Εξίσωση η οποία είναι ταυτότητα Δεν έχουν όλες οι εξισώσεις μία ή δύο ή τρεις ή ένα εκατομμύριο λύσεις. Υπάρχουν και αυτές που επαληθεύονται για άπειρες τιμές του x. Τέτοια εξίσωση λέ- γεται ταυτότητα. ❖ 5η παρατήρηση - Η εξίσωση έχει κλάσµατα, µε αριθµούς µόνο στους παρονοµαστές Τότε η πρώτη κίνηση που πρέπει να κάνεις είναι απαλοιφή των παρονομαστών, η οποία γίνεται πολύ εύκολα: Βρες το Ε.Κ.Π. τους και πολλαπλασίασε όλους τους όρους της εξίσωσης (και στα δύο μέλη της δηλαδή) με αυτό. Με αυτήν την πολύ απλή κίνηση θα ξεφορτωθείς τα τόσο μισητά κλάσματα από την εξίσωση. ❖ 6η παρατήρηση - Η εξίσωση έχει παραστάσεις του x σε παρονοµαστές Τότε η πρώτη κίνηση που πρέπει να κάνεις είναι να θέσεις περιορισμό, κάθε παρο- νομαστής να είναι διάφορος του μηδενός. Στην συνέχεια, κάνε απαλοιφή των παρονομαστών. Οι περιορισμοί αυτοί αντιμετωπίζονται σχεδόν με το ίδιο σκεπτικό που αντιμετωπίζε- ται και η αντίστοιχη εξίσωση, δηλαδή γίνονται τα ίδια βήματα (απλά χρησιμοποιείται το σύμβολο “ ≠ ” αντί του “ = ”). Σε περίπτωση, όμως, που βρεθούν τιμές περισσότερες από μία και που πρέπει να εξαιρεθούν, λέμε ότι «πρέπει να είναι x ≠ ... και x ≠ ... » κ.τ.ό. Οι περιορισμοί που μπορεί να τεθούν αποτελούν σημαντικό μέρος της λύσης, διότι στο τέλος πρέπει να γίνει ο λεγόμενος «έλεγχος των περιορισμών», που σημαίνει -2 - Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηματικών • www.mathsteki.gr

Ά λγε β ρ α Α ΄Λ υκε ί ου Κεφάλαιο 3 • Εξισώσεις ότι ίσως απορριφθούν κάποιες από τις λύσεις που θα βρεθούν, επειδή συναντώνται στους περιορισμούς. Για παράδειγµα, αν από περιορισμό που τέθηκε στην αρχή της επίλυσης της εξίσωσης έχουμε ότι πρέπει να είναι x ≠ 2 και στο τέλος βρούμε ως λύσεις της εξίσωσης x = 2 ή x = −1 , τότε η λύση x = 2 απορρίπτεται λόγω του περιορισμού. 2. Πώς θα λύσεις εξίσωση πρώτου βαθµού Ας υπενθυμίσω μερικά βασικά στοιχεία από την θεωρία, τα οποία ήδη διδάχθηκες στο Γυμνάσιο (Β΄ Γυμνασίου). Εξίσωση πρώτου βαθμού λέγεται κάθε εξίσωση της μορφής αx + β = 0 , με α ≠ 0 και β ∈ ! . Για να λύσεις εξίσωση πρώτου βαθμού, πρέπει να λύσεις ως προς x, δηλαδή αx + β = 0 ⇔ αx = −β . Διακρίνονται οι εξής περιπτώσεις: α) αν είναι α ≠ 0 , τότε έχουμε x = − β και λέμε ότι η εξίσωση έχει ακριβώς μία α λύση. β) αν είναι α = 0 , τότε η εξίσωση γίνεται 0x = −β , οπότε: Ι. αν είναι β ≠ 0 , τότε η εξίσωση δεν έχει λύση και λέμε ότι είναι αδύνατη. ΙΙ. αν είναι β = 0 , τότε η εξίσωση έχει την μορφή 0x = 0 και αληθεύει για κάθε πραγματικό αριθμό x ή, όπως λέμε, η εξίσωση είναι ταυτότητα. Η λύση της εξίσωσης αx + β = 0 (και γενικά κάθε εξίσωσης) λέγεται αλλιώς και ρίζα της εξίσωσης. Σε μια εξίσωση μπορεί να μην έχεις κλάσματα ή μπορεί να έχεις κλάσματα. -3 - Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηματικών • www.mathsteki.gr

Ά λγε β ρ α Α ΄Λ υκε ί ου Κεφάλαιο 3 • Εξισώσεις ❖ 1η περίπτωση - Η εξίσωση δεν έχει κλάσµατα Τότε κάνε τα εξής (ας υποθέσουμε ότι x είναι ο άγνωστος): 1ο βήμα Αν μπορούν να γίνουν διάφορες πράξεις (επιμεριστικοί πολλαπλασιασμοί, αναπτύγμα- τα ταυτοτήτων), κάν’ τες και μετά συμμάζεψε κάθε μέλος της εξίσωσης, ώστε αυτό να λάβει μορφή αx + β . 2ο βήμα Μετάφερε στο αριστερό μέλος της εξίσωσης ό,τι έχει x και στο δεξί μέλος μετάφερε όλους τους αριθμούς. Κάνε πράξεις και φέρε την εξίσωση στην τελική μορφή αx = β . 3ο βήμα α) Αν είναι α ≠ 0 , διαίρεσε με α και θα βρεις έτσι την λύση/ρίζα της εξίσωσης. β) Αν είναι α = 0 και β ≠ 0 , τότε γράψε ότι η εξίσωση είναι αδύνατη. γ) Αν είναι α = 0 και β = 0 , τότε γράψε ότι η εξίσωση είναι ταυτότητα (μπορείς να γράψεις και ότι η εξίσωση έχει άπειρες λύσεις). Παράδειγµα 1 Να λύσετε την εξίσωση 2(x − 1) + 3(2 − x) = 4(x + 2) . ~ Λύση ~ 1ο βήμα Κάνω όλες τις πράξεις και φέρνω κάθε μέλος σε μορφή αx + β . 2x − 2 + 6 − 3x = 4x + 8 ⇔ −x + 4 = 4x + 8 . 2ο βήμα Μεταφέρω αριστερά τα x και δεξιά τους αριθμούς. −x − 4x = 8 − 4 ⇔ −5x = 4 . 3ο βήμα Επειδή ο συντελεστής του αγνώστου δεν είναι μηδέν, διαιρώ τα δύο μέλη με αυτόν και βρίσκω την ρίζα/λύση της εξίσωσης. −5 x = 4 ⇔x=− 4 . −5 −5 5 -4 - Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηματικών • www.mathsteki.gr

Ά λγε β ρ α Α ΄Λ υκε ί ου Κεφάλαιο 3 • Εξισώσεις ❖ 2η περίπτωση - Η εξίσωση έχει κλάσµατα Τότε κάνε τα εξής (ας υποθέσουμε ότι x είναι ο άγνωστος): 1ο βήμα Βρες το Ελάχιστο Κοινό Πολλαπλάσιο (Ε.Κ.Π.) των παρονομαστών και πολλαπλασία- σε όλους τους όρους της εξίσωσης, και στα δύο μέλη, με το Ε.Κ.Π. Όπως ήδη γνωρίζεις από την Β΄ Γυμνασίου, η κίνηση αυτή αποκαλείται απαλοιφή παρονομαστών. Με αυτή την κίνηση θα ξεφορτωθείς τα κλάσματα και η επόμενη μορφή της εξίσωσης θα είναι πολύ απλούστερη. 2ο βήμα Πλέον κάνε ό,τι αναφέρθηκε στην 1η περίπτωση ­ «Η εξίσωση δεν έχει κλάσματα». Παράδειγµα 2 Να λύσετε την εξίσωση x+1 +x= 2x + 3 +2. 2 3 ~ Λύση ~ 1ο βήμα Κάνω απαλοιφή των παρονομαστών. Ε.Κ.Π. των παρονομαστών είναι το 6, οπότε πολλαπλασιάζω τους όρους της εξίσωσης, και στα δύο μέλη της, επί 6. 3 x+1 +6⋅x = 2 2x +3 + 6 ⋅2 . 6⋅ 6⋅ 23 2ο βήμα Αφού γίνει απλοποίηση στα κλάσματα (φεύγουν οι παρονομαστές), η εξίσωση πλέον είναι χωρίς κλάσματα. 3(x + 1) + 6x = 2(2x + 3) + 12 ⇔ 3x + 3 + 6x = 4x + 6 + 12 ⇔ 9x + 3 = 4x + 18 ⇔ ⇔ 9x − 4x = 18 − 3 ⇔ 5x = 15 ⇔ 5x = 15 ⇔x=3. 5 5 -5 - Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηματικών • www.mathsteki.gr

Ά λγε β ρ α Α ΄Λ υκε ί ου Κεφάλαιο 3 • Εξισώσεις 3. Ποια εξίσωση πρώτου βαθµού λέγεται “παραµετρική” και πώς θα την λύσεις Κατ’ αρχάς, ο χαρακτηρισμός «παραμετρική» δεν αφορά μόνο τις εξισώσεις πρώτου βαθμού, αλλά όλες τις εξισώσεις. Δηλαδή, οποιαδήποτε εξίσωση μπορεί να είναι παρα- μετρική. Επίσης, το ίδιο ισχύει και για ανισώσεις. Στις εξισώσεις πρώτου βαθμού αx + β = 0 επομένως, όταν ο α ή ο β δεν έχουν σταθε- ρή τιμή, αλλά εκφράζονται με την βοήθεια γραμμάτων (συνήθως ελληνικών), τότε τα γράμματα αυτά, τα οποία παίζουν ρόλο αριθμών, λέγονται παράμετροι και η εξίσωση λέγεται παραμετρική. Για παράδειγµα, η εξίσωση ( )λ2 − 1 x − λ + 1 = 0 , λ ∈ ! , λέγεται παραμετρική και το λ λέγεται παράμετρος. Όταν πρέπει να λύσεις μια παραμετρική εξίσωση, τις περισσότερες φορές κάποια βή- ματα και συμπεράσματα εξαρτώνται από την παράμετρο και τις τιμές που αυτή λαμ- βάνει. Δηλαδή απαιτείται, πολλές φορές, να διακρίνεις κάποιες περιπτώσεις ως προς τις τιμές της παραμέτρου και τότε θα μπορείς να βγάλεις συμπεράσματα. Η διαδικασία αυτή λέγεται διερεύνηση. Για να λύσεις παραμετρική εξίσωση πρώτου βαθμού, το πρώτο που πρέπει να κάνεις είναι να την φέρεις στην μορφή αx = β , αν δεν είναι ήδη. Εδώ, το α ή και το β παρι- στάνουν παραστάσεις της παραμέτρου (συνήθως είναι παραστάσεις πρώτου ή δεύτε- ρου βαθμού). Περιπτώσεις θα διακρίνεις (δηλαδή θα κάνεις διερεύνηση), αν το α (δηλαδή ο συντελε- στής του x) μπορεί να μηδενίζεται. Μην ξεχνάς ότι το α που λέμε θα είναι μια παράσταση της παραμέτρου. Αν το α μπορεί να μηδενίζεται, τότε λύσε την εξίσωση που προκύπτει (άγνωστος θα είναι η παράμετρος). Στην συνέχεια, πάρε μία προς μία τις τιμές της παραμέτρου που βρήκες και αντικατάστησέ τες στην εξίσωση. Για κάθε τιμή της παραμέτρου θα προκύπτει και μια απάντηση για την εξίσωση και το πλήθος των ριζών της (αδύνατη εξίσωση ή ταυτότητα). -6 - Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηματικών • www.mathsteki.gr

Ά λγε β ρ α Α ΄Λ υκε ί ου Κεφάλαιο 3 • Εξισώσεις Το παράδειγμα 3 θα σε βοηθήσει να κατανοήσεις όσα ανέφερα. Αν το α δεν μπορεί να μηδενίζεται, τότε η εξίσωση θα έχει μοναδική λύση. Λύσε ως προς x και θα βρεις αυτή την λύση. Το παράδειγμα 4 θα σε βοηθήσει να κατανοήσεις όσα ανέφερα. Παράδειγµα 3 ( )Να λύσετε την εξίσωση λ2 − 1 x − λ + 1 = 0 , για τις διάφορες τιμές του αριθμού λ. ~ Λύση ~ 1ο βήμα Η εξίσωση δεν είναι στην μορφή αx = β , οπότε θα κάνω πράξεις και θα την φέρω σε αυτή την μορφή. ( ) ( )λ2 − 1 x − λ + 1 = 0 ⇔ λ2 − 1 x = λ − 1 (1) Τώρα η εξίσωση έχει την μορφή αx = β και είναι α = λ2 −1 , β = λ −1. Επειδή το α = λ2 −1 μπορεί να μηδενιστεί (διαπιστώνεται εύκολα, αν λύσω την εξίσωση λ2 −1 = 0 ), θα πρέπει να διακρίνω τις δύο περιπτώσεις που θα δεις παρα- κάτω. 2ο βήμα Θα βρω για ποιες τιμές του λ μηδενίζεται ο συντελεστής του x. Στην συνέχεια, θα θέσω τις τιμές αυτές της παραμέτρου στην εξίσωση και θα δω τι εξίσωση προκύπτει. Διακρίνω τις εξής περιπτώσεις: α) Όταν είναι λ2 − 1 = 0 ⇔ λ2 = 1 ⇔ λ = ± 1 ⇔ λ = 1 ή λ = −1 , τότε: Ι. για λ = 1 , από την (1) προκύπτει 0⋅x = 1−1 ⇔ 0⋅x = 0, το οποίο σημαίνει ότι η εξίσωση είναι ταυτότητα (δηλαδή, έχει άπειρες λύσεις). ΙΙ. για λ = −1 , από την (1) προκύπτει 0 ⋅ x = −1 − 1 ⇔ 0 ⋅ x = −2 , το οποίο σημαίνει ότι η εξίσωση είναι αδύνατη (δηλαδή, δεν έχει λύσεις). -7 - Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηματικών • www.mathsteki.gr

Ά λγε β ρ α Α ΄Λ υκε ί ου Κεφάλαιο 3 • Εξισώσεις β) Όταν είναι λ2 − 1 ≠ 0 ⇔ λ ≠ 1 και λ ≠ −1 , τότε η (1) έχει μοναδική λύση, την x= λ −1 = λ −1 ⇔x= 1 . λ2 − 1 λ+1 (λ −1) (λ + 1) Παράδειγµα 4 ( )Να λύσετε την εξίσωση λ2 + 1 x − λ + 1 = 0 , για τις διάφορες τιμές του αριθμού λ. ~ Λύση ~ 1ο βήμα Η εξίσωση δεν είναι στην μορφή αx = β , οπότε θα κάνω πράξεις και θα την φέρω σε αυτή την μορφή. ( ) ( )λ2 + 1 x − λ + 1 = 0 ⇔ λ2 + 1 x = λ − 1 (1) Τώρα η εξίσωση έχει την μορφή αx = β και είναι α = λ2 + 1 , β = λ −1. Επειδή το α = λ2 + 1 δεν μπορεί να μηδενιστεί όμως (αφού είνα λ2 + 1 > 0 , για κά- θε λ ∈ ! ), δεν έχω να διακρίνω τις δύο περιπτώσεις που διέκρινα στο παράδειγμα 3. 2ο βήμα Επειδή ο συντελεστής του x δεν μηδενίζεται, από την (1) άμεσα προκύ- πτει η μοναδική λύση της εξίσωσης. Επειδή είναι λ2 + 1 > 0 , για κάθε λ ∈ ! (συγκεκριμένα, είναι λ2 + 1 ≥ 1 , για κάθε λ ∈ ! ), η εξίσωση έχει μοναδική λύση για κάθε λ. Έτσι, από την (1) έχω ότι x = λ −1 . λ2 + 1 -8 - Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηματικών • www.mathsteki.gr

Ά λγε β ρ α Α ΄Λ υκε ί ου Κεφάλαιο 3 • Εξισώσεις 4. Εξισώσεις οι οποίες ανάγονται σε εξισώσεις πρώτου βαθµού Όπως αναφέρθηκε στην σελίδα 1 και την 1η παρατήρηση, δεν μπορούμε πάντα να κα- ταλάβουμε τι εξίσωση έχουμε να λύσουμε εξαρχής. Εν προκειμένω, το αν η εξίσωση είναι ή όχι πρώτου βαθμού, δεν μπορούμε να το καταλάβουμε από την αρχική μορφή της εξίσωσης. Στην συνέχεια θα δεις πώς θα λύσεις: Α. Ρητές εξισώσεις, δηλαδή εξισώσεις που έχουν τον άγνωστο και στον παρονομαστή ενός, τουλάχιστον, κλάσματος. Β. Εξισώσεις με απόλυτες τιμές, δηλαδή εξισώσεις που έχουν τον άγνωστο μέσα σε απόλυτη τιμή (μία ή περισσότερες). Α. Πώς θα λύσεις ρητή εξίσωση (εξίσωση η οποία έχει τον άγνωστο και στον παρονοµαστή ενός τουλάχιστον κλάσµατος) Οι εξισώσεις αυτές είναι ήδη γνωστές από την Γ΄ Γυμνασίου και εδώ θα γίνει μια επα- νάληψη μόνο. Πάντα το πρώτο που πρέπει να κάνεις, είναι να θέσεις τον περιορισμό κάθε παρο- νομαστής να είναι διάφορος του μηδενός. Οι περιορισμοί αυτοί αντιμετωπίζονται σχεδόν με τον ίδιο τρόπο που αντιμετωπίζεται το αντίστοιχο είδος εξίσωσης. Για παράδειγµα: • αν ο περιορισμός είναι x − 2 ≠ 0 , τότε x−2≠ 0 ⇔ x ≠ 2, δηλαδή αντιμετωπίστηκε όπως η αντίστοιχη εξίσωση x − 2 = 0 . • αν ο περιορισμός είναι 2x + 1 ≠ 0 , τότε 2x + 1 ≠ 0 ⇔ 2x ≠ −1 ⇔ x ≠ − 1 , 2 δηλαδή και πάλι αντιμετωπίστηκε όπως η αντίστοιχη εξίσωση 2x + 1 = 0 . -9 - Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηματικών • www.mathsteki.gr

Ά λγε β ρ α Α ΄Λ υκε ί ου Κεφάλαιο 3 • Εξισώσεις • αν ο περιορισμός είναι x2 − 4 ≠ 0 , τότε x2 − 4 ≠ 0 ⇔ x2 ≠ 4 ⇔ x ≠ ± 4 ⇔ x ≠ 2 και x ≠ −2 , δηλαδή αντιμετωπίστηκε όπως η αντίστοιχη εξίσωση δευτέρου βαθμού x2 − 4 = 0 (γνωστό το πώς λύνεται από την Γ΄ Γυμνασίου). Βέβαια, για την εξίσωση x2 − 4 = 0 έχουμε x2 − 4 = 0 ⇔ x2 = 4 ⇔ x = ± 4 ⇔ x = 2 ή x = −2 . Στον παραπάνω περιορισμό, επειδή θέλουμε η παράσταση x2 − 4 να μην μηδενίζε- ται, βάζουμε «και» μεταξύ των τιμών που εξαιρούνται, αφού δεν πρέπει κανένας εκ των δύο αριθμών να μπορεί να τεθεί στην θέση του x. • αν ο περιορισμός είναι (x − 2)(x + 3) ≠ 0 , τότε (x − 2)(x + 3) ≠ 0 ⇔ x − 2 ≠ 0 και x + 3 ≠ 0 ⇔ x ≠ 2 και x ≠ −3 . Εδώ έχουμε μια γνωστή και βασική πρόταση της Άλγεβρας: α ⋅ β ≠ 0 ⇔ α ≠ 0 και β ≠ 0 . Αν είχαμε την εξίσωση (x − 2)(x + 3) = 0 , τότε x − 2 = 0 ή x + 3 = 0 ⇔ x = 2 ή x = −3 , αφού είναι γνωστό ότι α⋅β = 0 ⇔ α = 0 ή β = 0. Αφού θέσεις τους σχετικούς περιορισμούς και βρεις ποιες τιμές του αγνώστου δεν γί- νονται δεκτές ως λύσεις, στην συνέχεια κάνε απαλοιφή παρονομαστών και λύσε την εξίσωση που θα προκύψει. Αφού γίνει η απαλοιφή των παρονομαστών και οι σχετικές πράξεις, τότε θα δεις τι εί- δους εξίσωση είναι η τελική που πρέπει να λύσεις. Μην ξεχνάς! Στο τέλος να ελέγξεις αν οι λύσεις που βρήκες είναι δεκτές! Αν κάποια από τις λύσεις εξαιρείται λόγω του αρχικού περιορισμού, τότε η λύση αυτή απορρίπτεται. - 10 - Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηματικών • www.mathsteki.gr

Ά λγε β ρ α Α ΄Λ υκε ί ου Κεφάλαιο 3 • Εξισώσεις Παράδειγµα 5 Να λύσετε την εξίσωση x2 −1 = 1 . x −1 x −1 ~ Λύση ~ 1ο βήμα Θέτω περιορισμό στον παρονομαστή. Πρέπει να είναι x−1≠ 0 ⇔ x ≠ 1. 2ο βήμα Κάνω απαλοιφή των παρονομαστών. Με απαλοιφή των παρονομαστών, από την εξίσωση έχω (x − 1) ⋅ x2 − 1 ⋅(x − 1) = (x − 1) ⋅ 1 ( )⇔ x2 − x − 1 = 1 ⇔ x2 − x + 1 = 1 ⇔ x −1 x −1 ⇔ x2 − x = 0 ⇔ x(x − 1) = 0 ⇔ x = 0 ή x − 1 = 0 ⇔ ⇔ x = 0 ή x = 1 (απορρίπτεται, λόγω του περιορισμού). Άρα είναι x = 0 . - 11 - Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηματικών • www.mathsteki.gr

Ά λγε β ρ α Α ΄Λ υκε ί ου Κεφάλαιο 3 • Εξισώσεις Β. Πώς θα λύσεις εξίσωση µε απόλυτες τιµές (εξίσωση η οποία έχει τον άγνωστο µέσα σε απόλυτη τιµή, µία ή περισσότερες) Οι εξισώσεις αυτές αναγνωρίζονται άμεσα και εύκολα, αφού θα δεις τον συμβολισμό της απόλυτης τιμής. Μολαταύτα, και οι εξισώσεις με μία απόλυτη τιμή (ή και περισσότερες) θέλουν λίγο «σουλούπωμα», να λάβουν δηλαδή κατάλληλη μορφή, ώστε να επιλυθούν. Έτσι, το πρώτο που πρέπει να δεις είναι αν η εξίσωση έχει μία ή δύο απόλυτες τιμές, δηλαδή αν έχει μία μόνο παράσταση μέσα της, έστω και αν επαναλαμβάνεται αρκετές φορές στην εξίσωση, ή αν υπάρχουν δύο διαφορετικές παραστάσεις μέσα στις απόλυ- τες τιμές. 1η ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ Η εξίσωση έχει µία απόλυτη τιµή και αριθµό εκτός αυτής Αν η εξίσωση έχει μία απόλυτη τιμή, τότε πρέπει να λάβει την μορφή x = θ , δηλαδή να λύσεις ως προς την απόλυτη τιμή (η οποία μπορεί να έχει και συντελεστή, μπορεί και όχι, δεν επηρεάζεται η συνέχεια της λύσης από αυτό). Βάσει της ιδιότητας x = θ , θ > 0 ⇔ x = θ ή x = −θ , προκύπτουν δύο νέες εξισώσεις, οπότε: • στην πρώτη εξίσωση γράψε ό,τι έχει μέσα της η απόλυτη τιμή, εξίσωσέ την με τον αριθμό που έχεις δεξιά και λύσε την εξίσωση που προκύπτει, ανάλογα με το είδος της (αυτό προκύπτει από την ισότητα x = θ ). • στην δεύτερη εξίσωση γράψε ό,τι έχει μέσα της η απόλυτη τιμή, εξίσωσέ την με τον αντίθετο του αριθμού που έχεις δεξιά και λύσε την εξίσωση που προκύπτει, ανάλο- γα με το είδος της (αυτό προκύπτει από την ισότητα x = −θ ). ΠΡΟΣΟΧΗ ! Επειδή παραπάνω αναφέρεται μόνο η περίπτωση θ > 0 , πρέπει να καλυφθούν και οι περιπτώσεις θ = 0 και θ < 0 . Έτσι: - 12 - Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηματικών • www.mathsteki.gr

Ά λγε β ρ α Α ΄Λ υκε ί ου Κεφάλαιο 3 • Εξισώσεις α) αν είναι θ = 0 , τότε έχεις την εξίσωση x = 0 , από όπου προκύπτει x = 0 , δηλαδή όταν δεξιά έχεις μηδέν, τότε πάρε ό,τι έχεις μέσα στην απόλυτη τιμή, εξίσωσέ το με το μηδέν και λύσε την εξίσωση που προκύπτει. β) αν είναι θ < 0 , τότε έχεις την εξίσωση x = θ , θ < 0 , που είναι αδύνατη, αφού είναι x ≥ 0 , για κάθε x ∈ ! . Παράδειγµα 6 Για την εξίσωση x − 1 = 5 , έχουμε x − 1 = 5 ⇔ x − 1 = 5 ή x − 1 = −5 ⇔ x = 6 ή x = −4 . Παράδειγµα 7 Για την εξίσωση x2 − 1 = 5 , έχουμε ⎩⎪⎨⎪⎪⎪⎧xx22 −1 = −5 5η⎪⎫⎬⎪⎪⎭⎪ ⇔ ⎪⎪⎨⎧⎪⎩⎪xx22 = 6η (αδυνατη)⎭⎪⎬⎫⎪⎪⎪ , −1 = = −4 δηλαδή x2 = 6 ⇔ x = 6 ή x = − 6 . ΓΕΝΙΚΕΥΣΗ Η γενική μορφή αυτών των εξισώσεων είναι f(x) = θ , όπου f(x) είναι η παράσταση του x που θα έχει μέσα της η απόλυτη τιμή και θ ο αριθμός που θα υπάρχει δεξιά. Δηλαδή, μην περιμένεις μέσα στην απόλυτη τιμή να δεις απλά το γράμμα x (σπανίως συμβαίνει αυτό). Συνήθως υπάρχει κάποιο πολυώνυμο του x (πρώτου ή δεύτερου βαθ- μού), κάποια ρητή αλγεβρική παράσταση (οπότε μην ξεχάσεις να θέσεις περιορισμό στον παρονομαστή). Φυσικά, κάποια από τις ιδιότητες της απόλυτης τιμής μπορεί να χρειαστεί για το «σουλούπωμα» της εξίσωσης. Στην 1η περίπτωση που αναπτύσσεται εδώ, εντάσσονται και οι εξισώσεις με απόλυτες τιμές, που (εκ πρώτης όψεως) έχουν διαφορετικές παρα- στάσεις με απόλυτες τιμές μέσα τους, αλλά με την βοήθεια κάποιων εκ των ιδιοτήτων της απόλυτης τιμής τελικά προκύπτει ότι όλες οι απόλυτες τιμές έχουν την ίδια παρά- - 13 - Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηματικών • www.mathsteki.gr

Ά λγε β ρ α Α ΄Λ υκε ί ου Κεφάλαιο 3 • Εξισώσεις σταση μέσα τους. Σε αυτή την περίπτωση, μια βοηθητική αντικατάσταση (αλλαγή μεταβλητής) εξυπηρε- τεί πολύ την διαδικασία επίλυσης της εξίσωσης. Έτσι, αν στην εξίσωση επαναλαμβάνεται η ίδια απόλυτη τιμή f(x) , θέσε f(x) = y , y ≥ 0 (ο περιορισμός για το y είναι εντελώς απαραίτητος!). Λύσε την εξίσωση με το y που θα προκύψει και κράτα μόνο τις τιμές που είναι μεγα- λύτερες από το 0 ή και ίσες με το 0. Τις τιμές αυτές βάλτες μετά στην εξίσωση f(x) = y και λύσε τις εξισώσεις με μία απόλυτη τιμή που θα προκύψουν. Παράδειγµα 8 Στην εξίσωση x+2 x+2 +1 2 + 7 = x+2 −2, επειδή βλέπω να επαναλαμβάνεται η x + 2 , θέτω x+2 = y , y≥0 και η εξίσωση γράφεται πλέον y + y+1 = y−2, 2 7 από όπου έχω (μετά την απαλοιφή παρονομαστών) 7y + 2(y + 1) = 14(y − 2) ⇔ 7y + 2y + 2 = 14y − 28 ⇔ 5y = 30 ⇔ y = 6 . Άρα είναι x + 2 = 6 ⇔ x + 2 = 6 ή x + 2 = −6 ⇔ x = 4 ή x = −8 . - 14 - Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηματικών • www.mathsteki.gr

Ά λγε β ρ α Α ΄Λ υκε ί ου Κεφάλαιο 3 • Εξισώσεις Παράδειγµα 9 Στην εξίσωση 2−x −3 2 x−2 +5 2 − 3 = 2−x βλέπω δύο διαφορετικές παραστάσεις μέσα στις απόλυτες τιμές, τις 2 − x , x − 2 . Όμως οι παραστάσεις αυτές είναι αντίθετες και, βάσει της ιδιότητας −x = x , έχω ότι 2 − x = x − 2 , συνεπώς η εξίσωση γράφεται x−2 −3 2 x−2 +5 2 − 3 = x−2 . Τώρα, επειδή βλέπω να επαναλαμβάνεται η x − 2 , θέτω x−2 = y , y ≥0 και η εξίσωση γράφεται πλέον y −3 − 2y + 5 = y , από όπου έχω 2 3 3(y − 3) − 2(2y + 5) = 6y ⇔ 3y − 9 − 4y − 10 = 6y ⇔ 7y = −19 ⇔ y = − 19 , 7 τιμή που απορρίπτεται, ως αρνητική. Άρα, η αρχική εξίσωση είναι αδύνατη. - 15 - Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηματικών • www.mathsteki.gr

Ά λγε β ρ α Α ΄Λ υκε ί ου Κεφάλαιο 3 • Εξισώσεις 2η ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ Η εξίσωση έχει µία απόλυτη τιµή και παράσταση του x εκτός αυτής Τότε κράτα την απόλυτη τιμή μόνη της σε ένα μέλος και στο άλλο μέλος μετάφερε ό,τι είναι εκτός απόλυτης τιμής, δηλαδή φέρε την εξίσωση στην μορφή f(x) = g(x) , όπου f(x), g(x) οι παραστάσεις που υπάρχουν μέσα στην απόλυτη τιμή και στο δεξί μέλος της εξίσωσης μετά την μεταφορά. Η περίπτωση αυτή χρειάζεται περισσότερη προσοχή, διότι πρέπει να τεθεί ένας απαραίτητος περιορισμός! Επειδή η απόλυτη τιμή είναι μεγαλύτερη ή ίση του μηδενός (όπως αναφέρει η ιδιότητα x ≥ 0 , για κάθε x ∈ ! , της θεωρίας), πρέπει και η παράσταση του δεύτερου μέλους να είναι μεγαλύτερη ή ίση του μηδενός. Έτσι, με βάση την μορφή f(x) = g(x) που δόθηκε νωρίτερα, πρέπει να τεθεί ο περιο- ρισμός g(x) ≥ 0 . Στην συνέχεια, η εξίσωση λύνεται βάσει της ιδιότητας x = θ ⇔ x = θ ή x = −θ . Παράδειγµα 10 Για την εξίσωση x − 5 = 2x , επειδή υπάρχει x και εκτός της απόλυτης τιμής, μεταφέ- ρω το ­5 στο δεξί μέλος και έχω x = 2x + 5 (1) Επειδή είναι x ≥ 0 , για κάθε x ∈ ! , πρέπει να είναι και 2x + 5 ≥ 0 ⇔ 2x ≥ −5 ⇔ x ≥ − 5 . 2 Από την (1) έχω τότε x = 2x + 5 ή x = −2x − 5 ⇔ x = −5 ή 3x = −5 ⇔ x = −5 ή x=− 5 3 Η τιμή ­5 απορρίπτεται, λόγω του περιορισμού, ενώ πρέπει να ελέγξω αν η δεύτερη τιμή είναι δεκτή. - 16 - Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηματικών • www.mathsteki.gr

Ά λγε β ρ α Α ΄Λ υκε ί ου Κεφάλαιο 3 • Εξισώσεις Έστω ότι είναι − 5 ≥− 5 . Τότε είναι και 3 2 5 ≤ 5 ⇔ 10 ≤ 15 , που ισχύει. 3 2 Άρα, λύση της εξίσωσης είναι η x=− 5 . 3 Παράδειγµα 11 Η εξίσωση x − 2 = 2x − 3 είναι «έτοιμη», δηλαδή έχει την απόλυτη τιμή μόνη της αρι- στερά και δεξιά ό,τι είναι εκτός απόλυτης τιμής. Επειδή είναι x − 2 ≥ 0 , για κάθε x ∈ ! , πρέπει να είναι και 2x − 3 ≥ 0 ⇔ 2x ≥ 3 ⇔ x ≥ 3 . 2 Τότε έχω x − 2 = 2x − 3 ή x − 2 = −2x + 3 ⇔ x = 1 ή 3x = 5 ⇔ x = 1 ή x= 5 . 3 Η τιμή 1 απορρίπτεται, λόγω του περιορισμού, ενώ θα ελέγξω αν η δεύτερη τιμή είναι δεκτή. Έστω ότι είναι 5 ≥ 3 . Τότε είναι και 10 ≥ 9 , που ισχύει. 3 2 Άρα, λύση της εξίσωσης είναι η x = 5 . 3 - 17 - Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηματικών • www.mathsteki.gr

Ά λγε β ρ α Α ΄Λ υκε ί ου Κεφάλαιο 3 • Εξισώσεις 3η ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ Η εξίσωση έχει δύο απόλυτες τιµές Αν η εξίσωση έχει δύο απόλυτες τιμές, τότε εξέτασε αν αυτή μπορεί να λάβει την μορ- φή x = θ , δηλαδή κάθε απόλυτη τιμή να μείνει «μόνη» της σε ένα μέλος αντίστοιχα (μπορεί μία εξ αυτών ή και οι δύο, να έχουν συντελεστή, το οποίο δεν επηρεάζει την συνέχεια της επίλυσης της εξίσωσης). α) Αν η εξίσωση μπορεί να λάβει την μορφή x = θ , τότε βάσει της ιδιότητας x = θ ⇔ x = θ ή x = −θ , προκύπτουν δύο νέες εξισώσεις: • στην πρώτη εξίσωση γράψε ό,τι έχει μέσα της η απόλυτη τιμή του αριστερού μέ- λους, εξίσωσέ την με την παράσταση που έχει μέσα στην απόλυτη τιμή του δεξιού μέλους και λύσε την εξίσωση που προκύπτει, ανάλογα με το είδος της (αυτό προ- κύπτει από την ισότητα x = θ ). • στην δεύτερη εξίσωση γράψε ό,τι έχει μέσα της η απόλυτη τιμή του αριστερού μέ- λους, εξίσωσέ την με την αντίθετη της παράστασης που έχει μέσα στην απόλυτη τιμή του δεξιού μέλους και λύσε την εξίσωση που προκύπτει, ανάλογα με το είδος της (αυτό προκύπτει από την ισότητα x = −θ ). Παράδειγµα 12 Για την εξίσωση x − 2 = 2x + 5 έχουμε x − 2 = 2x + 5 ή x − 2 = −2x − 5 ⇔ x = −7 ή 3x = −3 ⇔ x = −7 ή x = −1 . ΓΕΝΙΚΕΥΣΗ Η γενική μορφή αυτών των εξισώσεων είναι f(x) = g(x) , όπου f(x) και g(x) είναι οι παραστάσεις του x που θα έχουν μέσα τους οι απόλυτες τιμές. Δηλαδή, μην περιμένεις μέσα στην απόλυτη τιμή να δεις απλά το γράμμα x (σπανίως συμβαίνει αυτό), ενώ ­όπως αναφέρθηκε και νωρίτερα­ πάντα υπάρχει πιθανότητα να χρειαστείς την βοήθεια κάποιας ιδιότητας της απόλυτης τιμής. - 18 - Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηματικών • www.mathsteki.gr

Ά λγε β ρ α Α ΄Λ υκε ί ου Κεφάλαιο 3 • Εξισώσεις β) Αν η εξίσωση δεν μπορεί να λάβει την μορφή x = θ , αλλά μπορεί να λάβει την μορφή x + θ = 0 , τότε προκύπτει x = 0 και θ = 0 (αφού ισχύει ότι x + θ ≥ 0 , για κάθε x , θ ∈ ! , που σημαίνει ότι η ισότητα εδώ ισχύει μόνο όταν τα περιεχόμενα των απόλυτων τιμών μηδενίζονται ταυτόχρονα). Έτσι, λύσε το σύστημα των εξισώσεων (διότι περί τέτοιου πρόκειται) που προκύπτει από τις σχέσεις x = 0 και θ = 0 . Γι' αυτό, σε αυτήν την περίπτωση καλό είναι να γράψεις x+θ = 0 ⇔ ⎪⎧⎪⎩⎨⎪⎪ x = 0 και ⎬⎪⎪⎭⎪⎫⎪ , θ=0 δηλαδή να δώσεις την μορφή συστήματος στο οποίο λύνεις κάθε εξίσωση χωριστά και στο τέλος εξετάζεις αν υπάρχει κοινή λύση. Αν υπάρχει κοινή λύση, αυτή είναι η λύση της αρχικής εξίσωσης, ενώ αν δεν υπάρχει κοινή λύση, τότε η αρχική εξίσωση είναι αδύνατη. - 19 - Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηματικών • www.mathsteki.gr

Μόνο εδώ θα βρεις τα αναλυτικότερα βιβλία Μαθηµατικών του διαδικτύου!