Άλγεβρα Β Λυκείου - Κεφάλαιο 5 - Παράγραφος 5.2 (ασκήσεις Κ5)

Β΄ Λυκείου - Άλγεβρα Εκθετική και λογαριθµική συνάρτηση ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Κατηγορία 5 Νέα Μουδανιά • Δεκέµβριος 2021

ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 5η κατηγορία ασκήσεων Άλγεβ ρ α Β΄ Λυ κεί ο υ • Κ Ε ΦΑ Λ Α Ι Ο 5 • Εκ θ ετι κ ή κ α ι λογα ρ ι θ μ ι κ ή συνά ρτηση Παράγραφος 2 • Λογάριθµοι • ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Ορισµός και ιδιότητες του λογάριθµου . Άσκηση 146 Να βρεθούν οι αριθμοί: α) ℓog 1 128 . β) ℓog 3 1 . 81 2 Λύση α. Είναι ⎞⎟⎟⎠⎟⎟−7 ℓog 1 128 = ℓog 1 27 = ℓog 1 ⎜⎛⎜⎜⎝ 1 = −7 . 2 2 2 2 Δεύτερος τρόπος - προτεινόμενος Έστω ότι ℓog 1 128 = x . 2 Τότε ισχύει ⎛⎜⎜⎝⎜21⎟⎟⎟⎠⎞⎟x = 128 ⇔ 2−x = 27 ⇔ −x = 7 ⇔ x = −7 , οπότε είναι ℓog 1 128 = −7 2 β. Είναι ( )ℓog 1 1 ⎡⎣⎢⎢ 3 2 ⎥⎥⎦⎤−4 = ℓog 3 −8 3 81 = ℓog 3 34 = ℓog 3−4 = ℓog 3 3 = −8 . 3 Δεύτερος τρόπος - προτεινόμενος Έστω ότι ℓog 3 1 = x . 81 Τότε ισχύει x = 1 ⇔ ⎜⎜⎝⎜⎜⎛321 ⎟⎟⎟⎟⎞⎠⎟x = 1 x = 3−4 ⇔ x = −4 ⇔ x = −8 , 81 34 2 3 ⇔ 32 οπότε είναι ℓog 3 1 = −8 . 81 - 144 - Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηματικών • www.mathsteki.gr

Άλγεβ ρ α Β΄ Λυ κεί ο υ • Κ Ε ΦΑ Λ Α Ι Ο 5 • Εκ θ ετι κ ή κ α ι λογα ρ ι θ μ ι κ ή συνά ρτηση Παράγραφος 2 • Λογάριθµοι • ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Άσκηση 147 Να υπολογίσετε το x, ώστε να αληθεύουν οι ισότητες: α) ℓogx81 = −4 . β) ℓog x 27 = 3 . γ) ℓogx 1 = − 3 . 2 27 5 δ) ℓog3x = 4 . ε) ℓog 1x = − 2 . 3 2 7 Λύση Η εκφώνηση (αν και δεν της φαίνεται καθόλου) είναι ισοδύναμη με την πασίγνωστη «Να λύσετε την εξίσωση». Έτσι, η άσκηση αυτή κάλλιστα κατατάσσεται και στις λεγόμενες «λογαριθμικές εξισώ- σεις», αφού τέτοια είναι. Εξάλλου, όταν λύνουμε μια εξίσωση, τι ψάχνουμε; Ακριβώς ό,τι λέει η εκφώνηση της συγκεκριμένης άσκησης! Γι’ αυτό, πρόσεξε ­γενικότερα­ και γι’ αυτόν τον λόγο την άσκηση: αντί του γνωστού «Να λύσετε την εξίσωση», μπορεί να συναντήσεις (και σίγουρα θα συναντήσεις κάποια στιγμή) την εκφώνηση «Να βρείτε (υπολογίσετε) το x, ώστε να αληθεύει η ακόλουθη σχέση (ισότητα)». α. Πρέπει να είναι x > 0 , x ≠ 1 . Από την σχέση της εκφώνησης έχω ότι x−4 = 81 ⇔ 1 = 81 ⇔ x4 = 1 x>0 x = 4 1 ⇔ x = 4 1 ⇔ x = 1 . x4 81 81 34 3 ⇔ β. Πρέπει να είναι x > 0 , x ≠ 1 . Από την σχέση της εκφώνησης έχω ότι 3 ( ) ( )x2 = 27 ⇔ x3 = 27 ⇔ x3 = 272 ⇔ x3 = 33 2 ⇔ x3 = 32 3 ⇔ x = 32 ⇔ x=9 . - 145 - Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηματικών • www.mathsteki.gr

Άλγεβ ρ α Β΄ Λυ κεί ο υ • Κ Ε ΦΑ Λ Α Ι Ο 5 • Εκ θ ετι κ ή κ α ι λογα ρ ι θ μ ι κ ή συνά ρτηση Παράγραφος 2 • Λογάριθµοι • ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ γ. Πρέπει να είναι x > 0 , x ≠ 1 . Από την σχέση της εκφώνησης έχω ότι x− 3 = 1 ⇔ ⎜⎛⎜⎜⎝⎜x− 3 ⎠⎟⎟⎟⎞⎟⎟5 = ⎛⎜⎜⎜⎝ 1 ⎞⎟⎟⎟⎟⎠5 ⇔ x−3 = ⎝⎜⎜⎛⎜ 1 ⎞⎠⎟⎟⎟⎟3 ⇔ 1 = ⎝⎜⎜⎜⎛ 1 ⎠⎞⎟⎟⎟⎟3 ⇔ 1 = 1 ⇔ x = 35 ⇔ 5 27 5 33 35 x3 35 x 35 ⇔ x = 243 . δ. Πρέπει να είναι x > 0 . Από την σχέση της εκφώνησης έχω ότι x = ⎜⎜⎝⎜⎛ 3 ⎟⎟⎞⎟⎟⎠4 = 34 ⇔ x = 81 . 2 24 16 ε. Πρέπει να είναι x > 0 , x ≠ 1 . Από την σχέση της εκφώνησης έχω ότι x = ⎜⎛⎜⎜⎝ 1 ⎟⎟⎠⎟⎟⎞− 2 2 = 3 72 ⇔ x = 3 49 . 7 3 = 73 Άσκηση 148 Να αποδείξετε ότι αληθεύουν οι ισότητες: α) ℓog32 + 2ℓog4 − ℓog64 = ℓog8 . β) ℓog3 + 2ℓog4 − ℓog12 = 2ℓog2 . γ) ℓog 125 + ℓog 27 − ℓog 8 = 3 . δ) 2ℓog 5 + ℓog 3 − ℓog 40 − ℓog 105 = 0. ℓog15 − ℓog2 2 2 11 77 32 Λύση α. Είναι ℓog32 + 2ℓog4 − ℓog64 = ℓog 32 + ℓog42 = ℓog 1 + ℓog16 = ℓog ⎜⎜⎜⎛⎝ 1 ⋅ 16⎟⎠⎟⎟⎟⎞ = ℓog8 . 64 2 2 β. Είναι ℓog3 + 2ℓog4 − ℓog12 = ℓog 3 + ℓog42 = ℓog 1 + ℓog16 = ℓog ⎜⎜⎝⎛⎜41 ⋅16⎟⎟⎞⎟⎠⎟ = ℓog4 = ℓog22 = 12 4 = 2ℓog2 . - 146 - Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηματικών • www.mathsteki.gr

Άλγεβ ρ α Β΄ Λυ κεί ο υ • Κ Ε ΦΑ Λ Α Ι Ο 5 • Εκ θ ετι κ ή κ α ι λογα ρ ι θ μ ι κ ή συνά ρτηση Παράγραφος 2 • Λογάριθµοι • ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ γ. Για τον αριθμητή έχω: • ℓog 125 = 1 ℓog125 = 1 ℓog53 = 1 ⋅ 3ℓog5 = 3 ℓog5 . 2 2 2 2 • ℓog 27 = 1 ℓog27 = 1 ℓog33 = 1 ⋅ 3ℓog3 = 3 ℓog3 . 2 2 2 2 • ℓog 8 = 1 ℓog8 = 1 ℓog23 = 1 ⋅ 3ℓog2 = 3 ℓog2 . 2 2 2 2 Άρα ο αριθμητής του κλάσματος του αριστερού μέλους ισούται με 3 ℓog5 + 3 ℓog3 − 3 ℓog2 = 3 (ℓog5 + ℓog3) − 3 ℓog2 = 3 ℓog(5 ⋅ 3)− 3 ℓog2 = 2 2 2 2 2 2 2 = 3 ℓog15 − 3 ℓog2 = 3 (ℓog15 − ℓog2) . 2 2 2 Τελικά, το κλάσμα του αριστερού μέλους ισούται με 3 ⋅ (ℓog15 − ℓog2) = 3 . 2 2 ℓog15 − ℓog2 δ. Είναι 2ℓog 5 + ℓog 3 − ℓog 40 − ℓog 105 = ℓog ⎝⎜⎜⎜⎛ 5 ⎞⎟⎟⎟⎠⎟2 + ℓog 3 − ⎜⎛⎜⎜⎝ℓog 40 + ℓog 13025⎠⎞⎟⎟⎟⎟ = 2 11 77 32 2 11 77 = ℓog 25 + ℓog 3 − ℓog ⎜⎜⎝⎛⎜ 40 ⋅ 13025⎞⎟⎟⎟⎟⎠ = ℓog ⎛⎜⎜⎜⎝245 ⋅ 131⎞⎟⎟⎟⎠⎟ − ℓog ⎜⎛⎜⎜⎜⎝ 5 ⋅ 5⋅3⋅ 7 ⎠⎞⎟⎟⎟⎟⎟ = 4 11 77 ⋅ 11 4 7 = ℓog 25 ⋅ 3 − ℓog 25 ⋅ 3 = 0 . 4 ⋅11 4 ⋅11 - 147 - Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηματικών • www.mathsteki.gr

Άλγεβ ρ α Β΄ Λυ κεί ο υ • Κ Ε ΦΑ Λ Α Ι Ο 5 • Εκ θ ετι κ ή κ α ι λογα ρ ι θ μ ι κ ή συνά ρτηση Παράγραφος 2 • Λογάριθµοι • ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Άσκηση 149 Να γράψετε υπό μορφή λογάριθμου ενός αριθμού τις παρακάτω παραστάσεις: α) 3ℓog2 + ℓog 1 . β) ℓog15 − ℓog5 . 8 Λύση α. Είναι ( )3ℓog2 + 1 ℓog 8 = ℓog23 + ℓog8−1 = ℓog 8 ⋅ 8−1 = ℓog1 . β. Είναι ℓog15 − ℓog5 = ℓog 15 = ℓog3 . 5 Άσκηση 150 Να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης Α= ℓog3 27 − 1 ⋅ ℓog2 1 . 12 64 ℓog 2 8 + 2ℓog 1 9 3 Λύση Αριθμητής • ℓog3 27 = 1 ℓog 3 27 = 1 ℓog3 33 = 1 ⋅ 3 = 3 . 2 2 2 2 • ℓog2 1 = ℓog2 1 = ℓog22−6 = −6 . 64 26 Παρονομαστής • ℓog 8 = ℓog 23 = 3ℓog 2 = 3ℓog 2 22 22 2 = 3⋅2 = 6 . • ℓog 1 9 = ℓog 1 32 = 2ℓog 1 3 = 2ℓog 1 ⎜⎜⎜⎝⎛ 1 ⎟⎟⎠⎞⎟⎟−1 = 2 ⋅ (−1) = −2 . 3 3 3 3 3 - 148 - Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηματικών • www.mathsteki.gr

Άλγεβ ρ α Β΄ Λυ κεί ο υ • Κ Ε ΦΑ Λ Α Ι Ο 5 • Εκ θ ετι κ ή κ α ι λογα ρ ι θ μ ι κ ή συνά ρτηση Παράγραφος 2 • Λογάριθµοι • ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Άρα είναι 3 − 1 ⋅ (−6) 3 + 1 4 4 2 12 2 2 4 Α= 6 + 2 ⋅ (−2) = 2 = 2 = ⇒ Α=1 . 2 Άσκηση 151 Να υπολογιστεί η τιμή της παράστασης Α = ℓog28 + ℓog3 27 − ℓog82 − ℓog832 . Λύση Είναι ( ) ( )Α = ℓog223 +1 1 2 ℓog3 27 − ℓog82 + ℓog832 =3+ 2 ℓog 3 33 − ℓog8 2 ⋅ 32 = = 3+ 1 ⋅ 3 − ℓοg864 = 3+ 3 − ℓog882 = 9 −2 ⇒ Α = 5 . 2 2 2 2 Άσκηση 152 Να αποδείξετε ότι: α) 2ℓog5 + 3ℓog2 − ℓog60 + ℓog3 = 1 . β) 3ℓog32 + 2ℓog36 − ℓog34 − ℓog38 = 2 . Λύση α. Είναι ( )2ℓog5 + 3ℓog2 − ℓog60 + ℓog3 = 2ℓog5 + 3ℓog2 + ℓog3 − ℓog 22 ⋅ 5 ⋅ 3 = ( )= 2ℓog5 + 3ℓog2 + ℓog3 − ℓog22 + ℓog5 + ℓog3 = = 2ℓog5 + 3ℓog2 + ℓog3 − 2ℓog2 − ℓog5 − ℓog3 = ℓog5 + ℓog2 = ℓog(5 ⋅ 2) = = ℓog10 = 1 . Δεύτερος τρόπος Είναι ( )2ℓog5 + 3ℓog2 − ℓog60 + ℓog3 = ℓog52 + ℓog23 + ℓog3 − ℓog60 = ℓog 25 ⋅ 8 ⋅ 3 − ℓog60 = - 149 - Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηματικών • www.mathsteki.gr

Άλγεβ ρ α Β΄ Λυ κεί ο υ • Κ Ε ΦΑ Λ Α Ι Ο 5 • Εκ θ ετι κ ή κ α ι λογα ρ ι θ μ ι κ ή συνά ρτηση Παράγραφος 2 • Λογάριθµοι • ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ = ℓog 25 ⋅ 8 ⋅ 3 = ℓog(5 ⋅ 2) = ℓog10 = 1. 60 β. Είναι 3ℓog32 + 2ℓog36 − ℓog34 − ℓog38 = ℓog 3 23 + ℓog362 − ℓog34 − ℓog 3 23 = ℓog3 36 = 4 = ℓog39 = ℓog332 = 2 . Άσκηση 153 Να αποδείξετε ότι: α) ℓog25 + ℓog4 − ℓog2 − ℓog5 = 1 . β) ℓog5 + 3ℓog2 − ℓog4 = 1 . γ) 1 ℓn9 − 1 ℓn64 + ℓn4 = ℓn3 . 2 3 Λύση α. Είναι ℓog25 + ℓog4 − ℓog2 − ℓog5 = (ℓog25 − ℓog5) + (ℓog4 − ℓog2) = ℓog 25 + ℓog 4 = 5 2 = ℓog5 + ℓog2 = ℓog(5 ⋅ 2) = ℓog10 = 1 . β. Είναι 5 + ℓog23 = ℓog ⎜⎜⎜⎛⎝54 ⋅ 23⎞⎠⎟⎟⎟⎟ = ℓog ( )ℓog5 4 + 3ℓog2 − ℓog4 = ℓog 5⋅2 = ℓog10 = 1 . γ. Είναι 1 ℓn9 − 1 ℓn64 + ℓn4 = ℓn 9 − ℓn3 64 + ℓn4 = ℓn3 − ℓn4 + ℓn4 = ℓn3 . 2 3 - 150 - Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηματικών • www.mathsteki.gr

Άλγεβ ρ α Β΄ Λυ κεί ο υ • Κ Ε ΦΑ Λ Α Ι Ο 5 • Εκ θ ετι κ ή κ α ι λογα ρ ι θ μ ι κ ή συνά ρτηση Παράγραφος 2 • Λογάριθµοι • ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Άσκηση 154 Να υπολογισθεί ο x, αν: α) ℓog2 1 = x . β) ℓog 9 3 = x . γ) ℓog x 16 = 2 . δ) ℓogx 1 = − 2 . 2 3 3 9 5 Λύση α. Είναι ℓog2 1 = x ⇔ 2x = 1 ⇔ 2x = 2−1 ⇔ x = −1 . 2 2 β. Είναι 3x = 9 3 ⇔ ⎜⎝⎛⎜⎜⎜321 ⎟⎟⎟⎟⎠⎟⎞x 1 x = 32 + 1 ⇔ x = 2+ 1 ⇔ 2 2 2 ℓog 9 3 = x ⇔ = 32 ⋅ 32 ⇔ 32 3 ⇔ x = 5 ⇔ x=5 . 22 γ. Ξαναδιάβασε τα σχόλια της άσκησης 147. Πρέπει να είναι x > 0 , x ≠ 1 . Από την σχέση της εκφώνησης έχω 2 = 16 ⇔ ⎝⎜⎛⎜⎜⎜x 1 ⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎟2 = 42 x>0 1 =4 ⇔ 3 x =4⇔ 3 3 = 43 ⇔ x = 64 . 3 x3 ⇔ x3 x δ. Ξαναδιάβασε τα σχόλια της άσκησης 147. Πρέπει να είναι x > 0 , x ≠ 1 . Από την σχέση της εκφώνησης έχω x− 2 = 1 ⇔ ⎝⎛⎜⎜⎜⎜x− 1 ⎟⎟⎟⎟⎟⎞⎠2 = ⎜⎜⎝⎛⎜ 1 ⎟⎟⎟⎞⎠⎟2 x>0 x− 1 = 1 ⇔ 1 = 1 ⇔ 1 = 3 ⇔ 5 x = 3 ⇔ 5 5 = 35 ⇔ 5 9 5 3 5 3 3 ⇔ 1 x5 x x5 ⇔ x = 243 . - 151 - Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηματικών • www.mathsteki.gr

Άλγεβ ρ α Β΄ Λυ κεί ο υ • Κ Ε ΦΑ Λ Α Ι Ο 5 • Εκ θ ετι κ ή κ α ι λογα ρ ι θ μ ι κ ή συνά ρτηση Παράγραφος 2 • Λογάριθµοι • ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Άσκηση 155 Να αποδείξετε τις παρακάτω ισότητες: α) ℓog24 + 3ℓog22 = 3 + 2ℓog22 . β) 2ℓog34 + ℓog318 − 5ℓog32 = 2 . γ) 3ℓog32 + 1 ℓog316 = 5ℓog32 . 2 α. Είναι Λύση ℓog24 + 3ℓog22 = ℓog222 + 3 ⋅ 1 = 3 + 2ℓog22 . Δεύτερος τρόπος Είναι ℓοg22 = 1 , οπότε ισοδύναμα θα δείξω ότι ισχύει ℓog24 + 3 ⋅ 1 = 3 + 2 ⋅ 1 ⇔ ℓog222 = 2 , που ισχύει. β. Είναι ( )2ℓog34 + ℓog318 − 5ℓog32 = ℓog342 + ℓog318 − ℓog325 = ℓog3 42 ⋅ 18 − ℓog25 = ( )= ℓog322 2 ⋅ 18 = ℓog3 24 ⋅ 18 = ℓog3 18 = ℓog3 9 = ℓog 3 32 = 2 . 25 25 2 γ. Είναι 3ℓog32 + 1 ℓog316 = 3ℓog32 + ℓog3 16 = 3ℓog32 + ℓog34 = 3ℓog32 + ℓog322 = 2 = 3ℓog32 + 2ℓog32 = 5ℓog32 . - 152 - Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηματικών • www.mathsteki.gr

Άλγεβ ρ α Β΄ Λυ κεί ο υ • Κ Ε ΦΑ Λ Α Ι Ο 5 • Εκ θ ετι κ ή κ α ι λογα ρ ι θ μ ι κ ή συνά ρτηση Παράγραφος 2 • Λογάριθµοι • ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Άσκηση 156 Να αποδείξετε τις παρακάτω ισότητες: α) 3ℓog32 − ℓog332 + 2ℓog36 = 2 . β) 2 + 3ℓog52 − 2ℓog510 = ℓog52 . γ) 2(ℓog2 + ℓog5) + ℓog1000 = 5 . Λύση α. Είναι ( )3ℓog32 − ℓog332 + 2ℓog36 = ℓog323 − ℓog332 + ℓog362 = ℓog3 23 ⋅ 62 − ℓog332 = = ℓog3 23 ⋅ 62 = ℓog3 8 ⋅ 36 = ℓog39 = ℓog 3 32 = 2. 32 4⋅ 8 β. Είναι ( )2 + 3ℓog52 − 2ℓog510 = 2ℓog55 − 2ℓog510 + 3ℓog52 = 2 ℓog55 − ℓog510 + 3ℓog52 = = 2ℓog5 5 + 3ℓog52 = 2ℓog5 1 + 3ℓog52 = 2ℓog52−1 + 3ℓog52 = 10 2 = 3ℓog52 + 2 ⋅ (−1) ⋅ ℓog52 = 3ℓog52 − 2ℓog52 = ℓog52 . γ. Είναι 2(ℓog2 + ℓog5) + ℓog1000 = 2ℓog(2 ⋅ 5) + ℓog103 = 2ℓog10 + 3ℓog10 = 2 ⋅1 + 3 ⋅1 = 5 . - 153 - Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηματικών • www.mathsteki.gr

Άλγεβ ρ α Β΄ Λυ κεί ο υ • Κ Ε ΦΑ Λ Α Ι Ο 5 • Εκ θ ετι κ ή κ α ι λογα ρ ι θ μ ι κ ή συνά ρτηση Παράγραφος 2 • Λογάριθµοι • ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Άσκηση 157 Να βρείτε την τιμή της παράστασης: α) Α = 101−ℓog5 . β) Β = 1001+ℓog .8 −ℓog3 Λύση α. Είναι 1 − ℓog5 = ℓog10 − ℓog5 = ℓog 10 = ℓog2 , 5 οπότε Α = 10ℓog2 ⇔ Α = 2 . β. Είναι ( ) ( )Β = 102 1+ℓog = 108−ℓog3 2 1+ℓog .8−ℓog3 Είναι ( )2 1 + ℓog 2 ℓog32 8 − ℓog3 = 2 + 2ℓog 8 − 2ℓog3 = 2 + ℓog − = 2 + ℓog8 − ℓog9 = 8 = ℓog102 + ℓog 8 = ℓog ⎜⎜⎛⎝⎜102 ⋅ 89⎠⎟⎞⎟⎟⎟ = ℓog 800 . 9 9 Τελικά είναι Β = 10ℓog 800 ⇔ Β= 800 . 9 9 - 154 - Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηματικών • www.mathsteki.gr

Άλγεβ ρ α Β΄ Λυ κεί ο υ • Κ Ε ΦΑ Λ Α Ι Ο 5 • Εκ θ ετι κ ή κ α ι λογα ρ ι θ μ ι κ ή συνά ρτηση Παράγραφος 2 • Λογάριθµοι • ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Άσκηση 158 Να αποδείξετε τις παρακάτω ισότητες: α) 3ℓog2 + ℓog5 − ℓog4 = 1 . β) 1 ℓog25 + 1 ℓog8 + 1 ℓog32 = 1 + ℓog2 . 2 3 5 γ) ℓog 11 − 2ℓog 7 + ℓog 21 = 2ℓog2 . 3 44 121 Λύση α. Είναι 5 = ℓog ⎜⎛⎜⎝⎜23 ⋅ 54⎞⎟⎠⎟⎟⎟ = ℓog ( )3ℓog2 4 + ℓog5 − ℓog4 = ℓog23 + ℓog 2⋅5 = ℓog10 = 1 . β. Είναι 1 ℓog25 + 1 ℓog8 + 1 ℓog32 = ℓog 25 + ℓog 3 8 + ℓog 5 32 = ℓog5 + ℓog2 + ℓog2 = 2 3 5 = ℓog(5 ⋅ 2) + ℓog2 = ℓog10 + ℓog2 = 1 + ℓog2 . Δεύτερος τρόπος Είναι 1 ℓog25 + 1 ℓog8 + 1 ℓog32 = 1 ℓog52 + 1 ℓog23 + 1 ℓog25 = 2 3 5 2 3 5 = 1 ⋅ 2ℓog5 + 1 ⋅ 3ℓog2 + 1 ⋅ 5ℓog2 = ℓog5 + ℓog2 + ℓog2 = ℓog(5 ⋅ 2) + ℓog2 = 235 = ℓog10 + ℓog2 = 1 + ℓog2 . γ. Είναι 11 7 21 ℓog ⎛⎝⎜⎜⎜131 12211⎟⎠⎞⎟⎟⎟ − 7 2 7 7 7 3 44 121 44 11 44 ℓog − 2ℓog + ℓog = ⋅ ℓog = ℓog − ℓog = ℓog 11 = 7 44 44 11 = ℓog = ℓog4 = ℓog22 = 2ℓog2 . - 155 - Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηματικών • www.mathsteki.gr

Άλγεβ ρ α Β΄ Λυ κεί ο υ • Κ Ε ΦΑ Λ Α Ι Ο 5 • Εκ θ ετι κ ή κ α ι λογα ρ ι θ μ ι κ ή συνά ρτηση Παράγραφος 2 • Λογάριθµοι • ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Άσκηση 159 Να αποδείξετε τις παρακάτω ισότητες: α) ℓog2 + ℓog3 = 1 . β) ℓog ⎜⎜⎛⎜⎝ηµ π ⎟⎟⎟⎟⎠⎞ = −ℓog2 . ℓog3, 6 + 1 2 6 γ) ℓog ⎜⎝⎛⎜⎜ηµ π ⎞⎟⎟⎟⎟⎠ ⋅ ℓog ⎝⎜⎜⎜⎛ηµ π ⎟⎞⎟⎠⎟⎟ ⋅ ℓog ⎜⎜⎝⎜⎛ηµ π ⎟⎟⎟⎞⎠⎟ = 0 . 6 3 2 α. Στον αριθμητή, έχω Λύση ℓοg2 + ℓog3 = ℓog(2 ⋅ 3) = ℓog6 . Στον παρονομαστή, έχω ℓog3, 6 + 1 = ℓog 36 + ℓog10 = ℓog ⎜⎜⎝⎜⎜⎛ 36 ⋅ 10 ⎟⎟⎟⎟⎞⎠⎟ = ℓog36 = ℓog62 = 2ℓog6 . 10 10 Άρα είναι ℓog2 + ℓog3 = ℓog6 = 1 . ℓog3, 6 + 1 2 ⋅ ℓog6 2 β. Είναι ℓog ⎝⎜⎛⎜⎜ηµ π ⎟⎠⎞⎟⎟⎟ = ℓog 1 = ℓog1 − ℓog2 = −ℓog2 . 6 2 γ. Είναι ℓog ⎜⎛⎝⎜⎜ηµ π ⎟⎞⎠⎟⎟⎟ = ℓog1 = 0 , 2 οπότε το ζητούμενο γινόμενο είναι ίσο με 0, αφού ένας από τους όρους του είναι 0. - 156 - Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηματικών • www.mathsteki.gr

Άλγεβ ρ α Β΄ Λυ κεί ο υ • Κ Ε ΦΑ Λ Α Ι Ο 5 • Εκ θ ετι κ ή κ α ι λογα ρ ι θ μ ι κ ή συνά ρτηση Παράγραφος 2 • Λογάριθµοι • ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Άσκηση 160 Να υπολογίσετε την παράσταση ( ) ( )ℓn1 e − ℓn e + ℓn ℓne − ℓn2ℓog2e + ℓn ℓog24 . Λύση Ονομάζω Α την παράσταση. Είναι: • ℓn 1 = ℓne−1 = −1 . e • ℓn e = 1 ℓne = 1 . 2 2 • ℓn(ℓne) = ℓn1 = 0 . • ℓn2ℓog2e = ℓog2e ⋅ ℓn2 = ℓne ⋅ ℓn2 = ℓne = 1 . ℓn2 ( )( )• ℓn ℓog24 = ℓn ℓog222 = ℓn2 Για τον αριθμό ℓog2e χρησιμοποιήθηκε ο τύπος αλλαγής βάσης λογάριθμων. Υπενθυμίζεται ότι ισχύει ℓogαβ = ℓnβ ℓnα Άρα είναι Α = −1 − 1 + 0−1+ ℓn2 = ℓn2 − 2 − 1 ⇒ Α = ℓn2 − 5 . 2 2 2 - 157 - Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηματικών • www.mathsteki.gr

Άλγεβ ρ α Β΄ Λυ κεί ο υ • Κ Ε ΦΑ Λ Α Ι Ο 5 • Εκ θ ετι κ ή κ α ι λογα ρ ι θ μ ι κ ή συνά ρτηση Παράγραφος 2 • Λογάριθµοι • ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Άσκηση 161 Να αποδείξετε ότι (ℓog5)3 + (ℓog20)3 + ℓog8 ⋅ ℓog0, 25 = 2 . Λύση Ονομάζω Α την παράσταση του αριστερού μέλους. ( )• ℓog20 = ℓog 4 ⋅ 5 = ℓog4 + ℓog5 = ℓog22 + ℓog5 = 2ℓog2 + ℓog5 . ( )( )• 1 ℓog8 ⋅ ℓog0, 25 = ℓog23 ⋅ ℓog 4 = 3ℓog2 ⋅ ℓog1 − ℓog4 = 3ℓog2 ⋅ −ℓog22 = = 3ℓog2 ⋅(−2ℓog2) = −6ℓog22 . ( )( )• ℓog35 + ℓog320 = ℓog5 + ℓog20 ℓog25 − ℓog5 ⋅ ℓog20 + ℓog220 . Χρησιμοποίησα την ταυτότητα α3 + β3 = (α + β)(α2 − αβ + β2) . ( )­ Α1 = ℓog5 + ℓog20 = ℓog 5 ⋅ 20 = ℓog100 = ℓog102 = 2 . ­ Α2 = ℓog25 − ℓog5 ⋅ ℓog20 + ℓog220 = = ℓog25 − ℓog5 ⋅(2ℓog2 + ℓog5) + (2ℓog2 + )ℓog5 2 = = ℓog25 − 2ℓog2 ⋅ ℓog5 − ℓog25 + 4ℓog22 + ℓog25 + 4ℓog2 ⋅ ℓog5 = = 4ℓog22 + ℓog25 + 2ℓog2 ⋅ ℓog5 . Επομένως, ( )ℓog35 + ℓog320 = A1 ⋅ A2 = 2 4ℓog22 + ℓog25 + 2ℓog2 ⋅ ℓog5 = = 8ℓog22 + 2ℓog25 + 4ℓog2 ⋅ ℓog5 . Τελικά είναι Α = 8ℓog22 + 2ℓog25 + 4ℓog2 ⋅ ℓog5 − 6ℓog22 = 2ℓog22 + 2ℓog25 + 4ℓog2 ⋅ ℓog5 = ( ) ( ) ( ) ( )= 2 ℓog22 + ℓog25 + 2ℓog2 ⋅ ℓog5 = 2 ℓog2 + ℓog5 2 = 2 ⋅ ⎣⎡⎢ℓog 2 ⋅ 5 ⎥⎤⎦2 = 2 ℓog10 2 = = 2 ⋅ 12 ⇒ Α = 2 . - 158 - Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηματικών • www.mathsteki.gr

Άλγεβ ρ α Β΄ Λυ κεί ο υ • Κ Ε ΦΑ Λ Α Ι Ο 5 • Εκ θ ετι κ ή κ α ι λογα ρ ι θ μ ι κ ή συνά ρτηση Παράγραφος 2 • Λογάριθµοι • ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Άσκηση 162 Να υπολογίσετε τους παρακάτω λογάριθμους: α) ℓog3 1 . β) ℓog 1 3 . γ) ℓog27 9 . δ) ℓog3 4 3 . 729 81 3 Λύση α. Είναι ℓog3 1 = ℓog3 1 = ℓog33−6 = −6 . 729 36 Δεύτερος τρόπος - προτεινόμενος Έστω ότι ℓog3 1 = x . 729 Τότε ισχύει 3x = 1 ⇔ 3x = 1 ⇔ 3x = 3−6 ⇔ x = −6 , 729 36 οπότε είναι ℓog3 1 = −6 . 729 β. Είναι ℓog 1 3 = ℓog 1 1 = ℓog 1 1 = ℓog 1 ⎝⎜⎜⎜⎛ 1 ⎟⎠⎟⎞⎟⎟3 =3. 81 27 33 3 3 3 3 3 Δεύτερος τρόπος - προτεινόμενος Έστω ότι ℓog 1 3 = x . 81 3 Τότε ισχύει ⎜⎜⎝⎜⎛ 1 ⎟⎟⎟⎟⎠⎞x = 3 ⇔ ⎛⎜⎝⎜⎜ 1 ⎟⎞⎟⎟⎠⎟x = 1 ⇔ ⎝⎛⎜⎜⎜ 1 ⎠⎟⎞⎟⎟⎟x = ⎝⎜⎜⎜⎛ 1 ⎟⎟⎠⎟⎞⎟3 ⇔ x = 3, 3 81 3 27 3 3 οπότε είναι ℓog 1 3 = 3 . 81 3 - 159 - Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηματικών • www.mathsteki.gr

Άλγεβ ρ α Β΄ Λυ κεί ο υ • Κ Ε ΦΑ Λ Α Ι Ο 5 • Εκ θ ετι κ ή κ α ι λογα ρ ι θ μ ι κ ή συνά ρτηση Παράγραφος 2 • Λογάριθµοι • ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ γ. Είναι ℓog27 9 = ℓog27 27 = ℓog27 27 = ℓog27 27 = 2 = 2 . 3 3 27 3 1 ℓog 27 27 3 273 Δεύτερος τρόπος - προτεινόμενος Έστω ότι ℓog27 9 = x . Τότε ισχύει ( )27x = 9 ⇔ 33 x = 32 ⇔ 33x = 32 ⇔ 3x = 2 ⇔ x = 2 , 3 οπότε είναι ℓog27 9 = 2 . 3 δ. Είναι ℓog3 4 3 = 1 ℓog 3 3 = 1 ⋅1 = 1 . 4 4 4 Άσκηση 163 Πρόσεξέ την πάρα πολύ! Να αποδείξετε ότι: α) 2ℓog35 − 5ℓog32 = 0 . β) 3 ℓog32 − 2 ℓog23 = 0 . Λύση α. Ισοδύναμα θα δείξω ότι 2ℓog35 = 5ℓog32 ⇔ ℓog32ℓog35 = ℓog35ℓog32 ⇔ ℓog35 ⋅ ℓog32 = ℓog32 ⋅ ℓog35 , που ισχύει. Η κίνηση που έγινε μετά την πρώτη ισοδυναμία είναι χαρακτηριστική σε κάποιες ασκήσεις στους λογάριθμους. «Λογαριθμίζουμε», όπως λέμε, «τα δύο μέλη». β. Είναι ℓog23 = ℓog 3 3 = 1 , ℓog 3 2 ℓog 3 2 οπότε ισοδύναμα θα δείξω ότι 11 3 ℓog32 = 2 ℓog23 ⇔ 3 ℓog32 = 2 ℓog32 ⇔ ℓog33 ℓog32 = ℓog32 ℓog32 ⇔ ⇔ ℓog32 ⋅ ℓog33 = 1 ⋅ ℓog 3 2 ⇔ 2 ℓog 3 2 ℓog32 ⋅ 1 = ℓog32 , που ισχύει. - 160 - Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηματικών • www.mathsteki.gr

Άλγεβ ρ α Β΄ Λυ κεί ο υ • Κ Ε ΦΑ Λ Α Ι Ο 5 • Εκ θ ετι κ ή κ α ι λογα ρ ι θ μ ι κ ή συνά ρτηση Παράγραφος 2 • Λογάριθµοι • ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Και εδώ έκανα την ίδια κίνηση μετά την δεύτερη ισοδυναμία: λογαρίθμισα τα δύο μέ- λη της ισότητας. Άσκηση 164 Να αποδείξετε ότι 36ℓog65 + 101−ℓog2 − 3ℓog936 = 24 . Λύση Είναι: ( )• 36ℓog65 = 62 ℓog65 = 62ℓog65 = 6ℓog652 = 52 = 25 . • 101−ℓog2 = 10ℓog10−ℓog2 = 10ℓog 10 = 10 = 5 . 2 2 9 ℓog9 36 ⎝⎛⎜⎜⎜⎜9 1 ⎟⎟⎠⎞⎟⎟⎟ℓog 9 36 = 91 2 2 • 3 =ℓog936 = ⋅ ℓog9 36 = 9ℓog9 36 = 36 = 6 . Άρα είναι 36ℓog65 + 101−ℓog2 − 3ℓog936 = 25 + 5 − 6 = 24 . Άσκηση 165 Να αποδείξετε ότι βℓogαγ = γℓogαβ . Λύση Ισοδύναμα θα δείξω ότι ℓog βℓogα γ = ℓog α γ ℓogαβ ⇔ ℓogαγ ⋅ ℓogαβ = ℓogαβ ⋅ ℓogαγ , α που ισχύει. Και εδώ λογαρίθμισα τα δύο μέλη, όπως στην άσκηση 163. - 161 - Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηματικών • www.mathsteki.gr

Μόνο εδώ θα βρεις τα αναλυτικότερα βιβλία Μαθηµατικών του διαδικτύου!