Άλγεβρα Α Λυκείου - Κεφάλαιο 5 - Παράγραφος 5.1 (ασκήσεις σχολικού)

Α΄ Λυκείου - Άλγεβρα Πρόοδοι Παράγραφος 5.1 Ακολουθίες ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΤΟΥ ΣΧΟΛΙΚΟΥ ΒΙΒΛΙΟΥ Νέα Μουδανιά • Δεκέµβριος 2021

Ά λγε β ρ α Α ΄Λ υκε ί ου ΠΑΡΑΓΡΑΦΟΣ 1 Κεφάλαιο 5 • Πρόοδοι Λύσεις των ασκήσεων του σχολικού βιβλίου ❖ Α1/124 i. • Πρώτος όρος: α1 = 2 ⋅1 + 1 = 2 + 1 = 3 . • Δεύτερος όρος: α2 = 2 ⋅ 2 + 1 = 4 + 1 = 5 . • Τρίτος όρος: α3 = 2 ⋅ 3 + 1 = 6 + 1 = 7 . • Τέταρτος όρος: α4 = 2 ⋅ 4 + 1 = 8 + 1 = 9 . • Πέμπτος όρος: α5 = 2 ⋅ 5 + 1 = 10 + 1 = 11 . ii. • Πρώτος όρος: α1 = 21 = 2 . • Δεύτερος όρος: α2 = 22 = 4 . • Τρίτος όρος: α3 = 23 = 8 . • Τέταρτος όρος: α4 = 24 = 16 . • Πέμπτος όρος: α5 = 25 = 32 . iii. • Πρώτος όρος: α1 = 12 + 1 = 1 + 1 = 2 . • Δεύτερος όρος: α2 = 22 + 2 = 4 + 2 = 6 . • Τρίτος όρος: α3 = 32 + 3 = 9 + 3 = 12 . • Τέταρτος όρος: α4 = 42 + 4 = 16 + 4 = 20 . • Πέμπτος όρος: α5 = 52 + 5 = 25 + 5 = 30 . -1 - Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηματικών • www.mathsteki.gr

Ά λγε β ρ α Α ΄Λ υκε ί ου Κεφάλαιο 5 • Πρόοδοι iv. • Πρώτος όρος: α1 = 12 − 1 = 1−1 = 0 =0. 1+1 2 2 • Δεύτερος όρος: α2 = 22 − 1 = 4−1 = 3 = 1. 2+1 3 3 • Τρίτος όρος: α3 = 32 − 1 = 9−1 = 8 =2. 3+1 4 4 • Τέταρτος όρος: α4 = 42 − 1 = 16 − 1 = 15 =3. 4+1 5 5 • Πέμπτος όρος: α5 = 52 − 1 = 25 − 1 = 24 =4. 5+1 6 6 Δεύτερος τρόπος (προτεινόμενος) Είναι αν = ν2 − 1 = (ν −1) (ν + 1) = ν−1, οπότε: ν+1 ν+1 • Πρώτος όρος: α1 = 1 − 1 = 0 . • Δεύτερος όρος: α2 = 2 − 1 = 1 . • Τρίτος όρος: α3 = 3 − 1 = 2 . • Τέταρτος όρος: α4 = 4 − 1 = 3 . • Πέμπτος όρος: α5 = 5 − 1 = 4 . -2 - Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηματικών • www.mathsteki.gr

Ά λγε β ρ α Α ΄Λ υκε ί ου Κεφάλαιο 5 • Πρόοδοι v. • Πρώτος όρος: α1 = ⎜⎛⎜⎝⎜− 1 ⎠⎟⎟⎟⎞⎟1−1 = ⎛⎝⎜⎜⎜− 1 ⎞⎠⎟⎟⎟⎟0 = 1 . 10 10 • Δεύτερος όρος: α2 = ⎜⎝⎛⎜⎜− 1 ⎟⎠⎞⎟⎟⎟2−1 = ⎜⎛⎝⎜⎜− 1 ⎟⎟⎟⎞⎟⎠1 =− 1 . 10 10 10 • Τρίτος όρος: α3 = ⎝⎜⎜⎜⎛− 1 ⎞⎠⎟⎟⎟⎟3−1 = ⎜⎛⎝⎜⎜− 1 ⎟⎟⎠⎞⎟⎟2 = 1 = 1 . 10 10 102 100 • Τέταρτος όρος: α4 = ⎝⎛⎜⎜⎜− 1 ⎟⎟⎟⎞⎟⎠4−1 = ⎜⎝⎛⎜⎜− 1 ⎠⎞⎟⎟⎟⎟3 = − 1 =− 1 . 10 10 103 1000 • Πέμπτος όρος: α5 = ⎝⎜⎜⎜⎛− 1 ⎠⎟⎟⎟⎞⎟5−1 = ⎜⎛⎜⎜⎝− 1 ⎟⎟⎟⎟⎠⎞4 = 1 = 1 . 10 10 104 10000 Δεύτερος τρόπος Είναι ( ) ( ) ( )αν = ⎜⎛⎜⎜⎝−1⎠⎟⎟⎟⎞⎟ν−1 ν−1 = οπότε: 10 = −10−1 −10 −(ν−1) = −10 1−ν , ( ) ( )• Πρώτος όρος: α1 = −10 1−1 = −10 0 = 1 . −10 1−2 = −10 −1 = − 1 ( ) ( )• 10 Δεύτερος όρος: α2 = . α3 = −10 1−3 = −10 −2 = 10−2 = 1 1 ( ) ( )• 102 = 100 Τρίτος όρος: . −10 1−4 = −10 −3 = −10−3 = − 1 1 ( ) ( )• 103 =− 1000 Τέταρτος όρος: α4 = . −10 1−5 = −10 −4 = 10−4 = 1 1 ( ) ( )• 104 = 10000 Πέμπτος όρος: α5 = . -3 - Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηματικών • www.mathsteki.gr

Ά λγε β ρ α Α ΄Λ υκε ί ου Κεφάλαιο 5 • Πρόοδοι vi. • Πρώτος όρος: α1 = 1 − ⎜⎜⎜⎛⎝− 1 ⎞⎟⎠⎟⎟⎟1 = 1+ 1 = 3 . 2 2 2 • Δεύτερος όρος: α2 = 1 − ⎜⎜⎜⎝⎛− 1 ⎞⎟⎟⎟⎟⎠2 = 1− 1 = 3 . 2 4 4 • Τρίτος όρος: α3 = 1 − ⎝⎜⎜⎜⎛− 1 ⎠⎞⎟⎟⎟⎟3 = 1+ 1 = 9 . 2 8 8 • Τέταρτος όρος: α4 = 1 − ⎜⎛⎜⎝⎜− 1 ⎟⎞⎟⎟⎠⎟4 = 1− 1 = 15 . 2 16 16 • Πέμπτος όρος: α5 = 1 − ⎛⎝⎜⎜⎜− 1 ⎟⎟⎟⎠⎞⎟5 = 1− 1 = 31 . 2 32 32 vii. • Πρώτος όρος: α1 = 5 − 1 = 4 = 4 . • Δεύτερος όρος: α2 = 5 − 2 = 3 = 3 . • Τρίτος όρος: α3 = 5 − 3 = 2 = 2 . • Τέταρτος όρος: α4 = 5 − 4 = 1 = 1 . • Πέμπτος όρος: α5 = 5 − 5 = 0 = 0 . viii. • Πρώτος όρος: α1 = ηµ 1⋅π = ηµ π = 2 . 4 4 2 • Δεύτερος όρος: α2 = ηµ 2⋅π = ηµ π =1. 4 2 • Τρίτος όρος: α3 = ηµ 3⋅π = ηµ⎜⎜⎜⎝⎛π − π ⎟⎟⎟⎟⎞⎠ = ηµ π = 2 . 4 4 4 2 -4 - Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηματικών • www.mathsteki.gr

Ά λγε β ρ α Α ΄Λ υκε ί ου Κεφάλαιο 5 • Πρόοδοι • Τέταρτος όρος: α4 = ηµ 4⋅π = ηµπ = 0 . 4 • Πέμπτος όρος: α5 = ηµ 5⋅π = ηµ⎜⎜⎜⎛⎝π + π ⎟⎟⎟⎟⎠⎞ = −ηµ π =− 2 . 4 4 4 2 Βέβαια, όσα έγιναν στο (viii) θα τα μάθεις στην Β΄ Λυκείου, στην Τριγωνομετρία, αλλά αυτή είναι μια ασήμαντη λεπτομέρεια... ix. • Πρώτος όρος: α1 = 21 = 2 = 2. 12 1 • Δεύτερος όρος: α2 = 22 =1. 22 • Τρίτος όρος: α3 = 23 = 8 . 32 9 • Τέταρτος όρος: α4 = 24 = 16 =1. 42 16 • Πέμπτος όρος: α5 = 25 = 32 . 52 25 x. 1+1 1 ( ) ( )• 1 Πρώτος όρος: α1 = −1 ⋅ = −1 2 = 1 . ( ) ( )• −1 2+1 ⋅ 1 = −1 3 ⋅ 1 =− 1 Δεύτερος όρος: α2 = 2 2 2 . −1 3+1 ⋅ 1 1 1 ( ) ( )• 3 4 3 3 Τρίτος όρος: α3 = = −1 ⋅ = . ( ) ( )• −1 4+1 ⋅ 1 −1 5 ⋅ 1 =− 1 Τέταρτος όρος: α4 = 4 = 4 4 . ( ) ( )• 5+1 ⋅ 1 = 6 1 1 Πέμπτος όρος: α5 = −1 5 −1 ⋅ 5 = 5 . -5 - Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηματικών • www.mathsteki.gr

Ά λγε β ρ α Α ΄Λ υκε ί ου Κεφάλαιο 5 • Πρόοδοι xi. ( ) ( )• Πρώτος όρος: α1 = −1 1+1 = −1 2 = 1 . ( ) ( )• Δεύτερος όρος: α2 = −1 2+1 = −1 3 = −1 . ( ) ( )• Τρίτος όρος: α3 = −1 3+1 = −1 4 = 1 . ( ) ( )• Τέταρτος όρος: α4 = −1 4+1 = −1 5 = −1 . ( ) ( )• Πέμπτος όρος: α5 = −1 5+1 = −1 6 = 1 . ❖ Α2/124 i. • Πρώτος όρος: α1 = 2 . • Δεύτερος όρος: α2 = 1 = 1 . α1 2 • Τρίτος όρος: α3 = 1 = 1 =2. α2 1 2 • Τέταρτος όρος: α4 = 1 = 1 . α3 2 • Πέμπτος όρος: α5 = 1 = 1 =2. α4 1 2 ii. • Πρώτος όρος: α1 = 0 . • Δεύτερος όρος: α2 = α12 + 1 = 02 + 1 = 1 . • Τρίτος όρος: α3 = α22 + 1 = 12 + 1 = 1 + 1 = 2 . -6 - Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηματικών • www.mathsteki.gr

Ά λγε β ρ α Α ΄Λ υκε ί ου Κεφάλαιο 5 • Πρόοδοι • Τέταρτος όρος: α4 = α32 + 1 = 22 + 1 = 4 + 1 = 5 . • Πέμπτος όρος: α5 = α24 + 1 = 52 + 1 = 25 + 1 = 26 . iii. • Πρώτος όρος: α1 = 3 . • Δεύτερος όρος: α2 = 2(α1 − 1) = 2(3 − 1) = 2 ⋅ 2 = 4 . • Τρίτος όρος: α3 = 2(α2 − 1) = 2(4 − 1) = 2 ⋅ 3 = 6 . • Τέταρτος όρος: α4 = 2(α3 − 1) = 2(6 − 1) = 2 ⋅ 5 = 10 . • Πέμπτος όρος: α5 = 2(α4 − 1) = 2(10 − 1) = 2 ⋅ 9 = 18 . ❖ Α3/124 i. Ο πρώτος όρος της ακολουθίας είναι ο α1 = 1 + 5 = 6 ⇔ α1 = 6 . Επίσης, είναι ( )αν+1 − αν = ν + 1 + 5 − ν + 5 = ν + 6 − ν − 5 = 1 ⇔ αν+1 − αν = 1 ⇔ αν+1 = αν + 1 . Επομένως, η ακολουθία αναδρομικά ορίζεται έτσι: α1 = 6 , αν+1 = αν + 1 . ii. Ο πρώτος όρος της ακολουθίας είναι ο α1 = 21 ⇔ α1 = 2 . Επίσης, είναι α ν+1 = 2ν+1 = 2ν ⋅ 21 =2⇔ α ν+1 = 2 ⇔ αν+1 = 2 ⋅ αν . αν 2ν 2ν αν Επομένως, η ακολουθία αναδρομικά ορίζεται έτσι: α1 = 2 , αν+1 = 2 ⋅ αν . -7 - Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηματικών • www.mathsteki.gr

Ά λγε β ρ α Α ΄Λ υκε ί ου Κεφάλαιο 5 • Πρόοδοι iii. Ο πρώτος όρος της ακολουθίας είναι ο α1 = 21 − 1 = 2 − 1 = 1 ⇔ α1 = 1 . Επίσης, είναι ( )αν+1 − αν = 2ν+1 − 1 − 2ν − 1 = 2ν ⋅ 21 − 1 − 2ν + 1 = 2 ⋅ 2ν − 2ν = 2ν ⇔ αν+1 − αν = 2ν ⇔ ⇔ αν+1 = αν + 2ν . Από τον γενικό όρο αν = 2ν − 1 προκύπτει 2ν = αν + 1 , οπότε αν+1 = αν + αν + 1 ⇔ αν+1 = 2 ⋅ αν + 1 . Επομένως, η ακολουθία αναδρομικά ορίζεται έτσι: α1 = 1 , αν+1 = 2 ⋅ αν + 1 . iv. Ο πρώτος όρος της ακολουθίας είναι ο α1 = 5 ⋅1 + 3 = 5 + 3 ⇔ α1 = 8 . Επίσης, είναι ( ) ( )αν+1 − αν = 5 ν + 1 + 3 − 5ν + 3 = 5ν + 5 + 3 − 5ν − 3 = 5 ⇔ αν+1 − αν = 5 ⇔ ⇔ αν+1 = αν + 5 . Επομένως, η ακολουθία αναδρομικά ορίζεται έτσι: α1 = 8 , αν+1 = αν + 5 . -8 - Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηματικών • www.mathsteki.gr

Ά λγε β ρ α Α ΄Λ υκε ί ου Κεφάλαιο 5 • Πρόοδοι ❖ Α4/124 i. Είναι: • α1 = 1 . • α2 = α1 + 2 . • α3 = α2 + 2 . • α4 = α3 + 2 . ... • αν−1 = αν−2 + 2 . • αν = αν−1 + 2 . Προσθέτω κατά μέλη τις παραπάνω ισότητες και προκύπτει α1 + α2 + α3 + ... + αν−1 + αν = 1 + α1 + 2 + α2 + 2 + α3 + 2 + ... + αν−1 + 2 ⇔ ( )⇔ αν = 1 + 2!#+##2##+##2\"#+##..#.#+##2$ ⇔ αν = 1 + ν − 1 ⋅ 2 ⇔ αν = 1 + 2ν − 2 ⇔ αν = 2ν − 1 . ν−1 ϕορες ii. Είναι: • α1 = 3 . • α2 = 5α1 . • α3 = 5α2 . • α4 = 5α3 . ... • αν−1 = 5αν−2 . • αν = 5αν−1 . Πολλαπλασιάζω κατά μέλη τις παραπάνω ισότητες και προκύπτει α1 ⋅ α2 ⋅ α3 ⋅ ... ⋅ αν−1 ⋅ αν = 3 ⋅ 5 α1 ⋅ 5 α2 ⋅ 5 α3 ⋅ ... ⋅ 5 αν−1 ⇔ αν = 3 ⋅ 5!#⋅#5##⋅#5\"⋅#.#.#. #⋅#5$ ⇔ ν−1 οροι ⇔ αν = 3 ⋅ 5ν−1 ⇔ αν = 3⋅ 5ν ⇔ αν = 3 ⋅ 5ν . 51 5 -9 - Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηματικών • www.mathsteki.gr



Μόνο εδώ θα βρεις τα αναλυτικότερα βιβλία Μαθηµατικών του διαδικτύου!