Important Announcement
PubHTML5 Scheduled Server Maintenance on (GMT) Sunday, June 26th, 2:00 am - 8:00 am.
PubHTML5 site will be inoperative during the times indicated!

Home Explore Άλγεβρα Α Λυκείου - Κεφάλαιο 4 - Παράγραφος 4.2 (θεωρία)

Άλγεβρα Α Λυκείου - Κεφάλαιο 4 - Παράγραφος 4.2 (θεωρία)

Published by Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, 2021-12-15 10:26:17

Description: Ανισώσεις 2ου βαθμού: αναλυτική θεωρία, μεθοδολογία και παραδείγματα.

Search

Read the Text Version

Α΄ Λυκείου - Άλγεβρα Ανισώσεις Παράγραφος 4.2 Ανισώσεις 2ου βαθµού ΘΕΩΡΙΑ - ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ Νέα Μουδανιά • Δεκέµβριος 2021

~ Περιεχόμενα παραγράφου 2 ~ 1. Πώς θα παραγοντοποιήσεις ένα τριώνυμο, όταν αυτό είναι στην πλήρη του μορφή ...........12 1η περίπτωση Η διακρίνουσα είναι θετική ......................................................................................................12 2η περίπτωση Η διακρίνουσα είναι μηδέν ......................................................................................................12 3η περίπτωση Η διακρίνουσα είναι αρνητική ................................................................................................12 2. Πώς θα βρεις το πρόσημο ενός τριωνύμου .....................................................................................................13 1η περίπτωση Το τριώνυμο έχει δύο άνισες ρίζες ......................................................................................13 2η περίπτωση Το τριώνυμο έχει μία διπλή ρίζα ...........................................................................................16 3η περίπτωση Το τριώνυμο δεν έχει ρίζες .......................................................................................................17 3. Πώς θα λύσεις ανίσωση δευτέρου βαθμού ......................................................................................................18 1η περίπτωση Το τριώνυμο έχει δύο άνισες ρίζες .......................................................................................18 2η περίπτωση Το τριώνυμο έχει μία διπλή ρίζα ............................................................................................21 3η περίπτωση Το τριώνυμο δεν έχει ρίζες ........................................................................................................23

Ά λγε β ρ α Α ΄Λ υκε ί ου ΠΑΡΑΓΡΑΦΟΣ 2 Κεφάλαιο 4 • Ανισώσεις Ανισώσεις 2ου βαθµού Τα θέματα αυτής της παραγράφου είναι άκρως σημαντικά! Τις ανισώσεις δευτέρου βαθμού θα τις δεις πάρα πολλές φορές στις ασκήσεις και των τριών τάξεων του Λυκείου. Έχουν σταθερό τρόπο επίλυσης και δανείζονται κάποια στοιχεία από τις εξισώσεις δευτέρου βαθμού, αλλά έχουν και ουσιαστικές διαφορές. Στην συνέχεια θα γίνουν υπενθυμίσεις για βασικά στοιχεία που αφορούν το διάσημο τριώνυμο, μία από τις βασικότερες και συνηθέστερες αλγεβρικές παραστάσεις. Ποια αλγεβρική παράσταση ονοµάζεται τριώνυµο Υπενθυμίζεται ότι, τριώνυμο δευτέρου βαθμού ή, πιο απλά, τριώνυμο, λέγεται η παράσταση αx2 + βx + γ , α ≠ 0 . Διακρίνουσα του τριωνύμου λέγεται η παράσταση Δ = β2 − 4αγ , δηλαδή η διακρί- νουσα της αντίστοιχης εξίσωσης δευτέρου βαθμού αx2 + βx + γ = 0 , α ≠ 0 . Ρίζες του τριωνύμου λέγονται οι ρίζες της εξίσωσης αx2 + βx + γ = 0 , α ≠ 0 . Στις ασκήσεις, ένα τριώνυμο άλλοτε θα το δεις να δίνεται «σκέτο», δηλαδή έτσι 2x2 + 3x − 4 , x2 − 5x + 6 , x2 − 4 , 3x2 + 6x και άλλοτε θα το δεις να δίνεται ως συνάρτηση, δηλαδή έτσι f(x) = 2x2 + 3x − 4 , f(x) = x2 − 4 , f(x) = 3x2 + 6x . Δεν υπάρχει κάποια διαφορά· για την ίδια αλγεβρική παράσταση μιλάμε. Σημαντικότατο θέμα (γνωστό από την Γ΄ Γυμνασίου ήδη) είναι το πώς παραγοντοποι- είται ένα τριώνυμο, όταν είναι στην πλήρη του μορφή (δηλαδή έχει x2 και x και στα- θερό αριθμό). Αυτό υπενθυμίζεται στην συνέχεια. - 11 - Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηματικών • www.mathsteki.gr

Ά λγε β ρ α Α ΄Λ υκε ί ου Κεφάλαιο 4 • Ανισώσεις 1. Πώς θα παραγοντοποιήσεις ένα τριώνυµο, όταν αυτό είναι στην πλήρη του µορφή Για το τριώνυμο αx2 + βx + γ , με α , β , γ ≠ 0 , το οποίο έχει διακρίνουσα Δ = β2 − 4αγ , έχουμε τις εξής περιπτώσεις: ❖ 1η περίπτωση - Η διακρίνουσα είναι θετική Τότε το τριώνυμο έχει δύο άνισες ρίζες, τις x1,2 = −β ± Δ ⇔ x1 = −β + Δ , x2 = −β − Δ 2α 2α 2α και παραγοντοποιείται ως εξής: αx2 + βx + γ = α ⋅(x − x1) ⋅(x − x2) . ❖ 2η περίπτωση - Η διακρίνουσα είναι µηδέν Τότε το τριώνυμο έχει μία διπλή ρίζα, την x0 = − β 2α και παραγοντοποιείται ως εξής: ( )αx2 + βx + γ = α ⋅ x − x0 2 . Όταν είναι Δ = 0 , η παραγοντοποίηση του τριωνύμου γίνεται πολύ πιο γρήγορα, ( )αν αναγνωρίσεις το ανάπτυγμα της ταυτότητας α + β 2 ή της (α − β)2 . ❖ 3η περίπτωση - Η διακρίνουσα είναι αρνητική Τότε το τριώνυμο δεν παραγοντοποιείται. Όμως, μπορεί να γραφεί έτσι: αx2 + βx + γ = α ⋅ ⎡⎢⎢⎢⎣ ⎛⎜⎜⎝⎜x + β ⎟⎟⎞⎟⎠⎟2 + Δ ⎥⎤⎦⎥⎥ . 2α 4α2 Ένα νέο θέμα είναι το πώς θα βρεις το πρόσημο ενός τριωνύμου. Αυτό θα στηρίξει και τον τρόπο με τον οποίο θα λύσεις μια ανίσωση δευτέρου βαθμού. - 12 - Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηματικών • www.mathsteki.gr

Ά λγε β ρ α Α ΄Λ υκε ί ου Κεφάλαιο 4 • Ανισώσεις 2. Πώς θα βρεις το πρόσηµο ενός τριωνύµου Τι είναι το «πρόσημο ενός τριωνύμου»; Η απάντηση είναι η εξής: Προκειμένου να βρούμε την αριθμητική τιμή ενός τριωνύμου για κάποια τιμή της με- ταβλητής x, πρέπει να θέσουμε στην θέση του x τον αριθμό που θέλουμε και να κάνου- με αριθμητικές πράξεις. Από το αποτέλεσμα φυσικά, θα βρούμε και το πρόσημο. Για παράδειγμα, για να βρούμε την αριθμητική τιμή του τριωνύμου x2 − 3x + 2 για x = 4 , θέτουμε στην θέση του x το 2 και έχουμε 42 − 3 ⋅ 4 + 2 = 16 − 12 + 2 = 6 > 0 . Κάτι που συχνά χρειάζεται στις ασκήσεις όμως, είναι να βρίσκουμε το πρόσημο ενός τριωνύμου για τις διάφορες τιμές της μεταβλητής, χωρίς να θέτουμε όμως κάθε φορά στην θέση της τον αριθμό που επιθυμούμε. Το πρόβλημα αυτό αντιμετωπίζεται με τον τρόπο που θα δεις στην συνέχεια. Για να βρεις το πρόσημο του τριωνύμου αx2 + βx + γ , α ≠ 0 , πρώτα εξέτασε αν έχει ρίζες. ❖ 1η περίπτωση - Το τριώνυµο έχει δύο άνισες ρίζες Αν x1 , x2 είναι οι δύο ρίζες (ας είναι x1 < x2 ), τότε το πρόσημό του βρίσκεται σύμφω- να με τον ακόλουθο πίνακα: x −∞ x1 x2 +∞ αx2 + βx + γ Ομόσημο του α Ετερόσημο του α Ομόσημο του α Παράδειγµα 11 Το τριώνυμο x2 − 5x + 6 έχει διακρίνουσα Δ = (−5)2 − 4 ⋅1 ⋅ 6 = 25 − 24 = 1 , οπότε έχει δύο ρίζες, τις - 13 - Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηματικών • www.mathsteki.gr

Ά λγε β ρ α Α ΄Λ υκε ί ου Κεφάλαιο 4 • Ανισώσεις x1,2 = 5± 1 = 5±1 ⇔ x1 = 3 , x2 = 2 2⋅1 2 και το πρόσημό του βρίσκεται σύμφωνα με τον πίνακα x −∞ 2 3 +∞ x2 − 5x + 6 + - + δηλαδή είναι: • x2 − 5x + 6 > 0 , για κάθε x ∈ (−∞ , 2) ∪ (3 , + ∞) . • x2 − 5x + 6 < 0 , για κάθε x ∈ (2, 3) . Έτσι, αν ζητούνταν (ή έπρεπε, για κάποιον λόγο που υπαγορεύεται από την άσκηση) να βρεις το πρόσημο του παραπάνω τριωνύμου, τότε κάνε όλη την παραπάνω εργασία και στο τέλος δώσε όλες τις παραπάνω απαντήσεις! Παράδειγµα 12 Το τριώνυμο −x2 + 3x − 2 έχει διακρίνουσα Δ = 32 − 4 ⋅ (−1) ⋅ (−2) = 9 − 8 = 1 , οπότε έχει δύο ρίζες, τις x1,2 = −3 ± 1 = −3 ± 1 ⇔ x1 = 1 , x2 = 2 2 ⋅ (−1) −2 και το πρόσημό του βρίσκεται σύμφωνα με τον πίνακα x −∞ 1 2 +∞ - −x2 + 3x − 2 - + δηλαδή είναι: • −x2 + 3x − 2 < 0 , για κάθε x ∈ (−∞ ,1) ∪ (2, + ∞) . • −x2 + 3x − 2 > 0 , για κάθε x ∈ (1, 2) . - 14 - Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηματικών • www.mathsteki.gr

Ά λγε β ρ α Α ΄Λ υκε ί ου Κεφάλαιο 4 • Ανισώσεις Έτσι, αν ζητούνταν (ή έπρεπε, για κάποιον λόγο που υπαγορεύεται από την άσκηση) να βρεις το πρόσημο του παραπάνω τριωνύμου, τότε κάνε όλη την παραπάνω εργασία και στο τέλος δώσε όλες τις παραπάνω απαντήσεις! Παράδειγµα 13 Για να βρούμε το πρόσημο του τριωνύμου x2 + 3x , πρώτα πρέπει να δούμε αν έχει ρί- ζες. Γι’ αυτό, πρώτα πρέπει να λύσουμε την εξίσωση x2 + 3x = 0 . Έχουμε ( )x2 + 3x = 0 ⇔ x x + 3 = 0 ⇔ x = 0 ή x + 3 = 0 ⇔ x = 0 ή x = −3 . Αφού το τριώνυμο έχει δύο άνισες ρίζες, το πρόσημό του βρίσκεται σύμφωνα με τον πίνακα x −∞ −3 0 +∞ x2 + 3x + + - δηλαδή είναι: • x2 + 3x > 0 , για κάθε x ∈ (−∞ ,− 3) ∪ (0 , + ∞) . • x2 + 3x < 0 , για κάθε x ∈ (−3 , 0) . Έτσι, αν ζητούνταν (ή έπρεπε, για κάποιον λόγο που υπαγορεύεται από την άσκηση) να βρεις το πρόσημο του παραπάνω τριωνύμου, τότε κάνε όλη την παραπάνω εργασία και στο τέλος δώσε όλες τις παραπάνω απαντήσεις! Παράδειγµα 14 Για να βρούμε το πρόσημο του τριωνύμου x2 − 9 , πρώτα πρέπει να δούμε αν έχει ρί- ζες. Γι’ αυτό, πρώτα πρέπει να λύσουμε πρώτα την εξίσωση x2 − 9 = 0 . Έχουμε x2 − 9 = 0 ⇔ x2 = 9 ⇔ x = ± 9 ⇔ x = 3 ή x = −3 . Αφού το τριώνυμο έχει δύο άνισες ρίζες, το πρόσημό του βρίσκεται σύμφωνα με τον πίνακα - 15 - Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηματικών • www.mathsteki.gr

Ά λγε β ρ α Α ΄Λ υκε ί ου Κεφάλαιο 4 • Ανισώσεις x −∞ −3 3 +∞ x2 − 9 + + - δηλαδή είναι: • x2 − 9 > 0 , για κάθε x ∈ (−∞ ,− 3) ∪ (3 , + ∞) . • x2 − 9 < 0 , για κάθε x ∈ (−3 , 3) . Έτσι, αν ζητούνταν (ή έπρεπε, για κάποιον λόγο που υπαγορεύεται από την άσκηση) να βρεις το πρόσημο του παραπάνω τριωνύμου, τότε κάνε όλη την παραπάνω εργασία και στο τέλος δώσε όλες τις παραπάνω απαντήσεις! ❖ 2η περίπτωση - Το τριώνυµο έχει µία διπλή ρίζα Αν x0 είναι η διπλή ρίζα, τότε το τριώνυμο είναι ομόσημο του α, για κάθε { }x ∈ ! − x0 (μπορείς να γράψεις και «για κάθε x ≠ x0 »). Παράδειγµα 15 Το τριώνυμο x2 + 6x + 9 έχει διακρίνουσα Δ = 62 − 4 ⋅1 ⋅ 9 = 36 − 36 = 0 , οπότε έχει μία διπλή ρίζα, την x0 = −6 = −3 , 2⋅1 { }συνεπώς είναι x2 + 6x + 9 > 0 , για κάθε x ∈ ! − −3 . ( )Βέβαια, αν εξαρχής αναγνώριζες την ταυτότητα x2 + 6x + 9 = x + 3 2 , θα είχες γλιτώ- σει τον υπολογισμό της διακρίνουσας και την εύρεση της ρίζας και θα απαντούσες άμεσα ότι είναι x2 + 6x + 9 = (x + 3)2 > 0 , για κάθε x ∈ ! − {−3} (ισοδύναμα, για κάθε x ≠ −3 ). - 16 - Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηματικών • www.mathsteki.gr

Ά λγε β ρ α Α ΄Λ υκε ί ου Κεφάλαιο 4 • Ανισώσεις Παράδειγµα 16 Το τριώνυμο −x2 + 10x − 25 έχει διακρίνουσα Δ = 102 − 4 ⋅ (−1) ⋅ (−25) = 100 − 100 = 0 , οπότε έχει μία διπλή ρίζα, την x0 = −10 = 5, 2 ⋅ (−1) { }συνεπώς είναι −x2 + 10x − 25 < 0 , για κάθε x ∈ ! − 5 (ισοδύναμα, για κάθε x ≠ 5 ). Πάλι η δουλειά θα γινόταν πιο γρήγορα με παραγοντοποίηση, αφού ( ) ( )−x2 + 10x − 25 = − x2 − 10x + 25 = − x − 5 2 , οπότε είναι −x2 + 10x − 25 = −(x − 5)2 < 0 , για κάθε x ∈ ! − {5} . ❖ 3η περίπτωση - Το τριώνυµο δεν έχει ρίζες Τότε το τριώνυμο είναι ομόσημο του α, για κάθε x ∈ ! . Παράδειγµα 17 Το τριώνυμο x2 + 2x + 5 έχει διακρίνουσα Δ = 22 − 4 ⋅1 ⋅ 5 = 4 − 20 = −16 , οπότε είναι x2 + 2x + 5 > 0 , για κάθε x ∈ ! . Παράδειγµα 18 Το τριώνυμο −x2 + x − 1 έχει διακρίνουσα Δ = 12 − 4 ⋅ (−1) ⋅ (−1) = 1 − 4 = −3 , οπότε είναι −x2 + x − 1 < 0 , για κάθε x ∈ ! . - 17 - Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηματικών • www.mathsteki.gr

Ά λγε β ρ α Α ΄Λ υκε ί ου Κεφάλαιο 4 • Ανισώσεις 3. Πώς θα λύσεις ανίσωση δευτέρου βαθµού Όπως σε κάθε περίπτωση, έχουν γίνει όλες οι απαραίτητες πράξεις και η μεγαλύτερη δύναμη του x είναι x2 , άρα η ανίσωση είναι δευτέρου βαθμού. Ξεκινάω με δύο απαράβατους κανόνες! 1ος ΑΠΑΡΑΒΑΤΟΣ ΚΑΝΟΝΑΣ ! Όλοι οι όροι της να είναι σε ένα μέλος και στο άλλο μέλος να είναι το μηδέν! 2ος ΑΠΑΡΑΒΑΤΟΣ ΚΑΝΟΝΑΣ ! Το x2 να έχει πάντα θετικό συντελεστή! Αν έχει αρνητικό συντελεστή, τότε άλλαξε όλα τα πρόσημα και την φορά της ανίσω- σης! Τα παραπάνω πρέπει να τα κάνεις, ώστε η ανίσωση να είναι «στρωμένη» στην μορφή που πρέπει για να ξεκινήσει η διαδικασία επίλυσής της. Έτσι, αφού έχεις «στρώσει» την ανίσωση, εξέτασε αν το τριωνύμο έχει ρίζες. ❖ 1η περίπτωση - Το τριώνυµο έχει δύο άνισες ρίζες Αν x1 , x2 είναι οι δύο άνισες ρίζες (ας είναι x1 < x2 ), φτιάξε τον ακόλουθο πίνακα: x −∞ x1 x2 +∞ + αx2 + βx + γ + - Τότε: ( ) ( )α) για την ανίσωση αx2 + βx + γ > 0 προκύπτει x ∈ −∞ , x1 ∪ x2 , + ∞ . Πιο οικονομικά, η λύση γράφεται και έτσι: x < x1 ή x > x2 . ( )β) για την ανίσωση αx2 + βx + γ ≥ 0 προκύπτει x ∈ −∞ , x1⎦⎥⎤ ∪ ⎢⎡⎣x2 , + ∞ . Πιο οικονομικά, η λύση γράφεται και έτσι: x ≤ x1 ή x ≥ x2 . - 18 - Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηματικών • www.mathsteki.gr

Ά λγε β ρ α Α ΄Λ υκε ί ου Κεφάλαιο 4 • Ανισώσεις ( )γ) για την ανίσωση αx2 + βx + γ < 0 προκύπτει x ∈ x1 , x2 . δ) για την ανίσωση αx2 + βx + γ ≤ 0 προκύπτει x ∈ ⎢⎡⎣x1 , x2⎦⎥⎤ . Παράδειγµα 19 Για την ανίσωση x2 − 3x + 2 > 0 έχουμε τα εξής (υποθέτουμε ότι οι απαραίτητες πρά- ξεις έχουν γίνει στην αρχική μορφή της ανίσωσης και τελικά καταλήξαμε στην παρα- πάνω): Το τριώνυμο έχει διακρίνουσα Δ = (−3)2 − 4 ⋅1 ⋅ 2 = 9 − 8 = 1 , άρα έχει δύο άνισες πραγματικές ρίζες, τις x1, 2 = 3± 1 = 3±1 ⇔ x1 = 2 , x2 = 1. 2 2 Αφού έχει δύο άνισες ρίζες, δημιουργώ τον ακόλουθο πίνακα x −∞ 1 2 +∞ x2 − 3x + 2 + - + από όπου προκύπτει x ∈ (−∞ ,1) ∪ (2, + ∞) . Σχόλια Με εντελώς όμοια εργασία, αν η ανίσωση στην οποία καταλήγαμε ήταν: ( )α) x2 − 3x + 2 ≥ 0 , τότε προκύπτει x ∈ −∞ ,1⎦⎤⎥ ∪ ⎢⎡⎣2, + ∞ . β) x2 − 3x + 2 < 0 , τότε προκύπτει x ∈ (1, 2) . γ) x2 − 3x + 2 ≤ 0 , τότε προκύπτει x ∈ ⎡⎢⎣1, 2⎦⎤⎥ . - 19 - Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηματικών • www.mathsteki.gr

Ά λγε β ρ α Α ΄Λ υκε ί ου Κεφάλαιο 4 • Ανισώσεις Παράδειγµα 20 Για την ανίσωση x2 + 2x > 0 έχουμε τα εξής (υποθέτουμε ότι οι απαραίτητες πράξεις έχουν γίνει στην αρχική μορφή της ανίσωσης και τελικά καταλήξαμε στην παραπάνω): Εξετάζω αν το τριώνυμο έχει ρίζες, λύνοντας την εξίσωση x2 + 2x = 0 : ( )x2 + 2x = 0 ⇔ x x + 2 = 0 ⇔ x = 0 ή x + 2 = 0 ⇔ x = 0 ή x = −2 . Αφού έχει δύο άνισες ρίζες, δημιουργώ τον ακόλουθο πίνακα x −∞ −2 0 +∞ x2 + 2x + + - από όπου προκύπτει x ∈ (−∞ ,− 2) ∪ (0 , + ∞) . Σχόλια Με εντελώς όμοια εργασία, αν η ανίσωση στην οποία καταλήγαμε ήταν: ( )α) x2 + 2x ≥ 0 , τότε προκύπτει x ∈ −∞ ,− 2⎥⎦⎤ ∪ ⎢⎡⎣0 , + ∞ . β) x2 + 2x < 0 , τότε προκύπτει x ∈ (−2, 0) . γ) x2 + 2x ≤ 0 , τότε προκύπτει x ∈ ⎡⎢⎣−2 , 0⎦⎥⎤ . Παράδειγµα 21 Για την ανίσωση 4 − x2 > 0 έχουμε τα εξής (και πάλι ας υποθέσουμε ότι έγιναν όλες οι απαραίτητες πράξεις στην αρχική μορφή της ανίσωσης και τελικά καταλήξαμε στην παραπάνω): πρώτον, επειδή το x2 έχει αρνητικό συντελεστή (παράβαση του 2ου απαράβατου κα- νόνα), αλλάζω όλα τα πρόσημα και την φορά της ανίσωσης και θα λύσω την ανίσωση x2 − 4 < 0 . Λύνω την εξίσωση x2 − 4 = 0 , για να δω αν το τριώνυμο έχει ρίζες: x2 − 4 = 0 ⇔ x2 = 4 ⇔ x = ± 4 ⇔ x = 2 ή x = −2 . - 20 - Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηματικών • www.mathsteki.gr

Ά λγε β ρ α Α ΄Λ υκε ί ου Κεφάλαιο 4 • Ανισώσεις Επειδή έχει δύο άνισες ρίζες, δημιουργώ τον ακόλουθο πίνακα x −∞ −2 2 +∞ x2 − 4 + + - από όπου προκύπτει x ∈ (−2, 2) . Σχόλια α) Για την ανίσωση x2 − 4 ≤ 0 προκύπτει x ∈ ⎣⎡⎢−2 , 2⎥⎤⎦ . β) Για την ανίσωση x2 − 4 > 0 προκύπτει x ∈ (−∞ ,− 2) ∪ (2, + ∞) . ( )γ) Για την ανίσωση x2 − 4 ≥ 0 προκύπτει x ∈ −∞ ,− 2⎥⎤⎦ ∪ ⎢⎡⎣2 , + ∞ . ❖ 2η περίπτωση - Το τριώνυµο έχει µία διπλή ρίζα Αν x0 είναι η διπλή ρίζα, τότε παραγοντοποιείται υπό την μορφή ( )αx2 + βx + γ = α x − x0 2 , οπότε σε κάθε περίπτωση προκύπτει στο πρώτο μέλος της ανίσωσης η παράσταση α(x − x0)2 . Τότε: ( ) { }α) αν έχεις την ανίσωση α x − x0 2 > 0 , γράψε σαν λύση x ∈ ! − x0 . Ισοδύναμα, την λύση μπορείς να την γράψεις και έτσι: x ≠ x0 . ( )β) αν έχεις την ανίσωση α x − x0 2 ≥ 0 , γράψε σαν λύση x ∈ ! . ( )γ) αν έχεις την ανίσωση α x − x0 2 < 0 , γράψε ότι η ανίσωση είναι αδύνατη στο ! . ( )δ) αν έχεις την ανίσωση α x − x0 2 ≤ 0 , θα προκύψει ότι ( )α x − x0 2 = 0 ⇔ x − x0 = 0 ⇔ x = x0 (διπλή ρίζα). - 21 - Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηματικών • www.mathsteki.gr

Ά λγε β ρ α Α ΄Λ υκε ί ου Κεφάλαιο 4 • Ανισώσεις Βέβαια, όπως αναφέρθηκε για την παραγοντοποίηση του τριωνύμου και την περίπτω- ση που η διακρίνουσά του είναι ίση με μηδέν, το τριώνυμο θα είναι το ανάπτυγμα είτε ( ) ( )της ταυτότητας α + β 2 είτε της α − β 2 , οπότε συνιστώ να «αποκαλύψεις» αυτήν την ( )ταυτότητα και να γράψεις το τριώνυμο έτσι, σαν ταυτότητα α + β 2 ή (α − β)2 . Αυτό θα διευκολύνει πάρα πολύ την επίλυση. Παράδειγµα 22 Για την ανίσωση x2 − 4x + 4 > 0 έχουμε τα εξής (όπως και πριν, ας υποθέσουμε ότι έχουμε κάνει όλες τις απαραίτητες πράξεις στην αρχική ανίσωση που είχαμε στην άσκηση και καταλήξαμε στην παραπάνω): το τριώνυμο έχει διακρίνουσα Δ = (−4)2 − 4 ⋅1 ⋅ 4 = 16 − 16 = 0 , οπότε έχει μια διπλή ρίζα, την x0 = −(−4) =2. 2⋅1 Άρα είναι x2 − 4x + 4 = 1 ⋅(x − 2)2 = (x − 2)2 και έτσι έχω την ανίσωση (x − 2)2 > 0 , από όπου προκύπτει x ∈ ! − {2} ⇔ x ≠ 2 . Σχόλια ( )α) Για την ανίσωση x2 − 4x + 4 ≥ 0 έχω x − 2 2 ≥ 0 , οπότε προκύπτει x ∈ ! ( )(αφού είναι γνωστό ότι x − 2 2 ≥ 0 , για κάθε x ∈ ! ). ( )β) Για την ανίσωση x2 − 4x + 4 < 0 έχω x − 2 2 < 0 , η οποία είναι αδύνατη στο ! (διότι είναι (x − 2)2 ≥ 0 , για κάθε x ∈ ! ). ( )γ) Για την ανίσωση x2 − 4x + 4 ≤ 0 έχω x − 2 2 ≤ 0 , από όπου προκύπτει (x − 2)2 = 0 ⇔ x − 2 = 0 ⇔ x = 2 (διπλή ρίζα), αφού δεν μπορεί να είναι (x − 2)2 < 0 . - 22 - Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηματικών • www.mathsteki.gr

Ά λγε β ρ α Α ΄Λ υκε ί ου Κεφάλαιο 4 • Ανισώσεις δ) Εξαρχής η ανίσωση θα μπορούσε να λυθεί γρηγορότερα, αποφεύγοντας ακόμη και τον υπολογισμό της διακρίνουσας, αν αναγνωρίσω ότι έχω ταυτότητα! ( )Συγκεκριμένα, εξαρχής παρατηρώ ότι x2 − 4x + 4 = x − 2 2 , οπότε γρηγορότερα μπο- ρώ να λύσω την ανίσωση. Φυσικά, και οι δύο τρόποι είναι σωστοί, αλλά ο δεύτερος γρηγορότερος και αυτό θα φανεί καλύτερα στο επόμενο παράδειγμα. Παράδειγµα 23 Για την ανίσωση 16x2 + 72x + 81 ≥ 0 έχουμε τα ακόλουθα (κάνουμε πάλι την ίδια υπό- θεση με τα προηγούμενα παραδείγματα): Αν υπολογίσουμε την διακρίνουσα του τριωνύμου, έχουμε ότι Δ = 722 − 4 ⋅16 ⋅ 81 ! Βέβαια, στο Δημοτικό πήγαμε όλοι, πολλαπλασιασμό ξέρουμε να κάνουμε, άρα ας βγάλουμε τα μάτια μας με τις παραπάνω πράξεις ή... ...ας ανοίξουμε τα μάτια μας και ας δούμε ότι το τριώνυμο είναι ταυτότητα! Είναι ( )16x2 + 72x + 81 = 4x + 9 2 , ( )οπότε έχουμε την ανίσωση 4x + 9 2 ≥ 0 , από όπου προκύπτει x ∈ ! , αφού είναι (4x + 9)2 ≥ 0 , για κάθε x ∈ ! . ❖ 3η περίπτωση - Το τριώνυµο δεν έχει ρίζες Τότε επειδή έχεις μεταφέρει όλους τους όρους στο πρώτο μέλος ώστε ο συντελεστής του x2 να είναι θετικός, θα έχεις πάντα ότι το τριώνυμο είναι θετικό, για κάθε x ∈ ! , οπότε: α) αν έχεις την ανίσωση αx2 + βx + γ > 0 , γράψε σαν λύση x ∈ ! . β) αν έχεις την ανίσωση αx2 + βx + γ ≥ 0 , γράψε σαν λύση x ∈ ! . γ) αν έχεις την ανίσωση αx2 + βx + γ < 0 , γράψε ότι η ανίσωση είναι αδύνατη στο ! - 23 - Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηματικών • www.mathsteki.gr

Ά λγε β ρ α Α ΄Λ υκε ί ου Κεφάλαιο 4 • Ανισώσεις (διότι είναι αx2 + βx + γ > 0 , για κάθε x ∈ ! , αφού το τριώνυμο δεν έχει ρίζες). δ) αν έχεις την ανίσωση αx2 + βx + γ ≤ 0 , γράψε ότι η ανίσωση είναι αδύνατη στο ! (διότι είναι αx2 + βx + γ > 0 , για κάθε x ∈ ! , αφού το τριώνυμο δεν έχει ρίζες). Παράδειγµα 24 Για την ανίσωση x2 + x + 1 > 0 έχουμε: Το τριώνυμο έχει διακρίνουσα Δ = 12 − 4 ⋅1 ⋅1 = 1 − 4 = −3 , άρα δεν έχει ρίζες, οπότε είναι x2 + x + 1 > 0 , για κάθε x ∈ ! . Σχόλια α) Για την ανίσωση x2 + x + 1 ≥ 0 , πάλι προκύπτει x ∈ ! . β) Για την ανίσωση x2 + x + 1 < 0 προκύπτει ότι είναι αδύνατη στο ! (διότι είναι x2 + x + 1 > 0 , για κάθε x ∈ ! , αφού το τριώνυμο δεν έχει ρίζες). γ) Για την ανίσωση x2 + x + 1 ≤ 0 προκύπτει ότι είναι αδύνατη στο ! (διότι είναι x2 + x + 1 > 0 , για κάθε x ∈ ! , αφού το τριώνυμο δεν έχει ρίζες). Παράδειγµα 25 Για την ανίσωση 4x − x2 − 5 > 0 έχουμε πρώτα λίγο «σουλούπωμα», δηλαδή το x2 να αποκτήσει θετικό συντελεστή. Έτσι, αλλάζοντας όλα τα πρόσημα και την φορά της ανίσωσης, θα λύσω την ανίσωση x2 − 4x + 5 < 0 . Το τριώνυμο έχει διακρίνουσα Δ = (−4)2 − 4 ⋅1 ⋅ 5 = 16 − 20 = −4 . Άρα το τριώνυμο δεν έχει ρίζες, οπότε είναι x2 − 4x + 5 > 0 , για κάθε x ∈ ! , συνεπώς η ανίσωση είναι αδύνατη στο ! . - 24 - Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηματικών • www.mathsteki.gr



Μόνο εδώ θα βρεις τα αναλυτικότερα βιβλία Μαθηµατικών του διαδικτύου!


Άλγεβρα Α Λυκείου - Κεφάλαιο 4 - Παράγραφος 4.2 (θεωρία)

The book owner has disabled this books.

Explore Others

Like this book? You can publish your book online for free in a few minutes!
Create your own flipbook