ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ - Κεφ.1 - Παρ. 1.2 (θεωρία)

Β΄ Λυκείου - Άλγεβρα Συστήµατα Παράγραφος 2 Μη γραµµικά συστήµατα ΘΕΩΡΙΑ - ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ Νέα Μουδανιά • Σεπτέµβριος 2021

ΠΑΡΑΓΡΑΦΟΣ 2 Άλγεβ ρ α Β΄ Λυ κε ί ου • Κ ΕΦΑ Λ Α Ι Ο 1 • Σ υστήμ α τα Παράγραφος 2 • Μη γραµµικά συστήµατα • ΘΕΩΡΙΑ Μη γραµµικά συστήµατα ~ Περιεχόμενα παραγράφου 2 ~ Παρατηρήσεις για τις ασκήσεις και παραδείγματα .............................................................................................39 Γενικές παρατηρήσεις στα συστήματα .......................................................................................................................43 Παρατήρηση 1η Ένα σύστημα δεν θα είναι «έτοιμο» σε μια άσκηση ............................................................................................43 Παρατήρηση 2η Πλήθος εξισώσεων και πλήθος αγνώστων ...............................................................................................................44 α) Οι εξισώσεις είναι περισσότερες από τους αγνώστους .............................................................................44 β) Οι εξισώσεις είναι λιγότερες από τους αγνώστους ......................................................................................46 Παρατήρηση 3η Όταν λύνεις ένα σύστημα, βρίσκεις τα κοινά σημεία δύο γραμμών στο καρτεσιανό επίπεδο ......................................................................................................................................................47 Παρατήρηση 4η Πάντα εξέταζε για πιθανή απλοποίηση των συντελεστών, αλλά πρόσεχε αν πρόκειται για απαλοιφή αλγεβρικής παράστασης ......................................................50 Παρατήρηση 5η Τα συστήματα δεν είναι αυτόνομο κεφάλαιο της Άλγεβρας ........................................................................52 - 38 - Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηματικών • www.mathsteki.gr

Άλγεβ ρ α Β΄ Λυ κε ί ου • Κ ΕΦΑ Λ Α Ι Ο 1 • Σ υστήμ α τα Παράγραφος 2 • Μη γραµµικά συστήµατα • ΘΕΩΡΙΑ Η επίλυση πολλών προβλημάτων οδηγεί συχνά σε ένα σύνολο εξισώσεων, των οποί- ων ζητάμε τις κοινές λύσεις, αλλά οι εξισώσεις αυτές δεν είναι όλες γραμμικές. Για παράδειγμα, έστω ότι ζητάμε δύο αριθμούς με άθροισμα 13 και άθροισμα τετραγώνων 89. Αν x, y είναι οι δύο αριθμοί, τότε πρέπει x + y = 13 και x2 + y2 = 89 . Επειδή ζητάμε κοινές λύσεις των δύο εξισώσεων, έχουμε το σύστημα ⎨⎪⎪⎧⎩⎪⎪⎪ x + y = 13 (1) ⎪⎪⎫⎪⎪⎭⎪⎬ . x2 + y2 = 89 (2) Από την (1) έχουμε y = 13 − x (3) Αντικαθιστούμε την (3) στην (2) και έχουμε x2 + (13 − x)2 = 89 ⇔ x2 + 169 + x2 − 26x − 89 = 0 ⇔ 2x2 − 26x + 80 = 0 ⇔ ⇔ x2 − 13x + 40 = 0 ⇔ x = 8 ή x = 5 . α) Για x = 8 , από την (3) έχουμε y = 5 , οπότε μία λύση του συστήματος είναι η (x , y) = (8 , 5) . β) Για x = 5 , από την (3) έχουμε y = 8 , οπότε δεύτερη λύση του συστήματος είναι η (x , y) = (5, 8) . Έτσι, η απάντηση στο πρόβλημα είναι ότι οι ζητούμενοι αριθμοί είναι οι 5 και 8. Παρατηρήσεις για τις ασκήσεις και παραδείγµατα Όταν μία, τουλάχιστον, εκ των εξισώσεων ενός συστήματος δεν είναι γραμμική, τότε το σύστημα λέγεται μη γραμμικό. Ένα μη γραμμικό σύστημα λύνεται συνήθως με την μέθοδο της αντικατάστασης, δηλα- δή λύνουμε μια από τις εξισώσεις ως προς έναν άγνωστο και τον αντικαθιστούμε στην άλλη εξίσωση. Αυτό βέβαια, αν είναι εφικτό να λύσουμε ως προς έναν άγνωστο. Επίσης, υπάρχουν μη γραμμικά συστήματα τα οποία, με κατάλληλη αντικατάσταση, ανάγονται σε γραμμικά. - 39 - Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηματικών • www.mathsteki.gr

Άλγεβ ρ α Β΄ Λυ κε ί ου • Κ ΕΦΑ Λ Α Ι Ο 1 • Σ υστήμ α τα Παράγραφος 2 • Μη γραµµικά συστήµατα • ΘΕΩΡΙΑ Τα μη γραμμικά συστήματα χρειάζονται περισσότερη προσοχή διότι, σε αρκετές περι- πτώσεις, χρειάζεται να τεθούν κάποιοι περιορισμοί, είτε εξαρχής είτε στην πορεία. Παράδειγµα 21 Να λύσετε το σύστημα ⎨⎪⎪⎪⎩⎧⎪xx2++yy=2 +1 xy = 3⎬⎭⎪⎪⎪⎪⎫ . Λύση Από την κάτω εξίσωση, έχω y = 1 − x (1) Αντικαθιστώ την (1) στην άνω εξίσωση του συστήματος και έχω x2 + (1 − x)2 + x(1 − x) = 3 ⇔ x2 + 1 + x2 − 2x + x − x2 − 3 = 0 ⇔ x2 − x − 2 = 0 ⇔ ⇔ x = 2 ή x = −1 . α) Για x = 2 , από την (1) έχω y = 1 − 2 = −1 , οπότε μία λύση του συστήματος είναι η (x , y) = (2 ,− 1) . β) Για x = −1 , από την (1) έχω y = 1 − (−1) = 2 , οπότε δεύτερη λύση του συστήματος είναι η (x , y) = (−1, 2) . Παράδειγµα 22 Να λύσετε το σύστημα ⎪⎪⎨⎩⎪⎪⎧1y2=x 3x2 = 4⎫⎬⎪⎪⎪⎪⎭ . − 3y Λύση Επειδή είναι 3x2 ≥ 0 , για κάθε x ∈ ! , από την πρώτη εξίσωση έχω και y ≥ 0 . Αντικαθιστώ την άνω εξίσωση του συστήματος στην κάτω και έχω 12x − 3 ⋅ 3x2 = 4 ⇔ 12x − 9x2 = 4 ⇔ 9x2 − 12x + 4 = 0 ⇔ (3x − 2)2 = 0 ⇔ 3x = 2 ⇔ ⇔x= 2 (διπλή ρίζα). 3 Για x= 2 από την πρώτη εξίσωση του συστήματος έχω 3 y = 3 ⋅ ⎜⎜⎜⎛⎝ 2 ⎟⎟⎟⎟⎠⎞2 = 3⋅ 4 ⇔y= 4 . 3 9 3 - 40 - Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηματικών • www.mathsteki.gr

Άλγεβ ρ α Β΄ Λυ κε ί ου • Κ ΕΦΑ Λ Α Ι Ο 1 • Σ υστήμ α τα Παράγραφος 2 • Μη γραµµικά συστήµατα • ΘΕΩΡΙΑ Τελικά, η λύση του συστήματος είναι (x , y) = ⎜⎛⎝⎜⎜ 2 , 4 ⎠⎟⎟⎟⎟⎞ . 3 3 Παράδειγµα 23 Να λύσετε το σύστημα ⎪⎪⎨⎩⎪⎪⎧xxy2 + y2 = 5⎪⎪⎬⎪⎪⎫⎭ . = 2 Λύση Επειδή είναι xy = 2 > 0 , συμπεραίνω ότι οι x, y είναι ομόσημοι, άρα είναι x ≠ 0 και y ≠ 0 , οπότε έχω y= 2 (1) x Αντικαθιστώ την (1) στην άνω εξίσωση του συστήματος και έχω x2 + ⎜⎜⎛⎜⎝ 2 ⎟⎞⎠⎟⎟⎟2 =5⇔ x2 + 4 =5⇔ x4 + 4 = 5x2 ⇔ x4 − 5x2 + 4 = 0 (2) x x2 Η (2) είναι διτετράγωνη εξίσωση, οπότε θέτω x2 = z , z > 0 (αφού είναι x ≠ 0 , είναι x2 > 0 ), και η (2) γίνεται z2 − 5z + 4 = 0 , από όπου εύκολα προκύπτει z = 1 ή z = 4 . α) Για z = 1 , είναι x2 = 1 ⇔ x = ± 1 ⇔ x = 1 ή x = −1 . Ι. Για x = 1 , από την (1) έχω y = 2 = 2 , οπότε είναι (x , y) = (1, 2) . 1 ΙΙ. Για x = −1 , από την (1) έχω y = 2 = −2 , οπότε είναι (x , y) = (−1,− 2) . −1 β) Για z = 4 , είναι x2 = 4 ⇔ x = ± 4 ⇔ x = 2 ή x = −2 . Ι. Για x = 2 , από την (1) έχω y = 2 = 1 , οπότε είναι (x , y) = (2 ,1) . 2 ΙΙ. Για x = −2 , από την (1) έχω y = 2 = −1 , οπότε είναι (x , y) = (−2 ,− 1) . −2 - 41 - Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηματικών • www.mathsteki.gr

Άλγεβ ρ α Β΄ Λυ κε ί ου • Κ ΕΦΑ Λ Α Ι Ο 1 • Σ υστήμ α τα Παράγραφος 2 • Μη γραµµικά συστήµατα • ΘΕΩΡΙΑ Παράδειγµα 24 Να λύσετε το σύστημα ⎪⎧⎨⎪⎪⎪⎪⎩ 2x + y = 1 ⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫ . x2 − 2xy − y2 = 7 Λύση Έστω ⎪⎧⎨⎪⎩⎪⎪⎪ 2x + y = 1 (1) ⎪⎪⎪⎫⎪⎬⎪⎭ . x2 − 2xy − y2 = 7 (2) Από την (1) έχω ότι y = 1 − 2x (3) Αντικαθιστώ την (3) στην (2) και έχω x2 − 2x(1 − 2x) − (1 − 2x)2 = 7 ⇔ x2 − 2x + 4x2 − 1 − 4x2 + 4x − 7 = 0 ⇔ ⇔ x2 + 2x − 8 = 0 ⇔ x = 2 ή x = −4 . α) Για x = 2 , από την (3) έχω y = 1 − 2 ⋅ 2 = −3 , οπότε μία λύση του συστήματος είναι η (x , y) = (2 ,− 3) . β) Για x = −4 , από την (3) έχω y = 1 − 2 ⋅ (−4) = 9 , οπότε δεύτερη λύση του συστή- ματος είναι η (x , y) = (−4 , 9) . Παράδειγµα 25 Να λύσετε το σύστημα ⎧⎨⎪⎪⎪⎪⎩⎪ 2x + y = −3 ⎫⎪⎬⎪⎪⎪⎪⎭ . x2 − xy = 6 Λύση Έστω ⎪⎪⎧⎩⎪⎪⎪⎨ 2x + y = −3 (1) ⎭⎪⎫⎪⎪⎪⎪⎬ . x2 − xy = 6 (2) Από την (1) έχω ότι y = −2x − 3 (3) Αντικαθιστώ την (3) στην (2) και έχω x2 − x(−2x − 3) = 6 ⇔ x2 + 2x2 + 3x − 6 = 0 ⇔ 3x2 + 3x − 6 = 0 ⇔ x2 + x − 2 = 0 ⇔ ⇔ x = 1 ή x = −2 . - 42 - Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηματικών • www.mathsteki.gr

Άλγεβ ρ α Β΄ Λυ κε ί ου • Κ ΕΦΑ Λ Α Ι Ο 1 • Σ υστήμ α τα Παράγραφος 2 • Μη γραµµικά συστήµατα • ΘΕΩΡΙΑ α) Για x = 1 , από την (3) έχω y = −2 ⋅1 − 3 = −5 , οπότε μία λύση του συστήματος είναι η (x , y) = (1,− 5) . β) Για x = −2 , από την (3) έχω y = −2 ⋅ (−2) − 3 = 1 , οπότε δεύτερη λύση του συστή- ματος είναι η (x , y) = (−2 ,1) . Σχόλιο Στα μη γραμμικά συστήματα πολλές φορές υπάρχει η ανάγκη επίλυσης εξισώσεων πρώτου ή δευτέρου βαθμού, αλλά και διτετράγωνων (βλέπε παράδειγμα 23) ή και με απόλυτες τιμές. Επομένως, είναι εντελώς απαραίτητο να ξέρεις πολύ καλά πώς λύνονται τέτοιου εί- δους εξισώσεις, άρα οπωσδήποτε χρειάζεται επανάληψη των σχετικών θεμάτων από την Άλγεβρα της Α΄ Λυκείου, αν δεν θυμάσαι πώς λύνονται. Γενικές παρατηρήσεις στα συστήµατα Τα συστήματα, γραμμικά και μη, αποτελούν ένα από τα σημαντικά «εργαλεία» της Άλγεβρας, αφού συναντώνται πολύ συχνά στις ασκήσεις (όχι μόνο του κεφαλαίου των συστημάτων, αλλά γενικότερα των Μαθηματικών). Μεγαλύτερο ποσοστό εμφάνισης έχουν τα γραμμικά συστήματα, αλλά και τα μη γραμμικά δεν υπολείπονται. Επομέ- νως, φρόντισε να εξασκηθείς καλά σε αυτά, διότι στις ασκήσεις θα αποτελούν ένα σημαντικό μέρος της λύσης. Αν δεν ξέρεις να λύσεις ένα σύστημα, τότε όλη η άσκηση θα χαθεί! Οι παρατηρήσεις που ακολουθούν αφορούν σε όλες τις μορφές συστημάτων και πρέ- πει να τις προσέξεις πολύ! ❖ Παρατήρηση 1η - Ένα σύστηµα δεν θα είναι έτοιµο σε µια άσκηση Σε ελάχιστες ασκήσεις θα συναντήσεις έτοιμο σύστημα, δηλαδή γραμμένο σε άγκιστρα, με τις εξισώσεις την μία κάτω από την άλλη. Εννιά στις δέκα φορές, οι εξισώσεις που συνιστούν το σύστημα προκύπτουν μία μία κατά την πορεία επίλυσης της άσκησης. - 43 - Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηματικών • www.mathsteki.gr

Άλγεβ ρ α Β΄ Λυ κε ί ου • Κ ΕΦΑ Λ Α Ι Ο 1 • Σ υστήμ α τα Παράγραφος 2 • Μη γραµµικά συστήµατα • ΘΕΩΡΙΑ Μην ξεχνάς ποια είναι η ουσία, η φύση ενός συστήματος: να βρεις, αν υπάρχουν, τις τιμές δύο (ή περισσοτέρων) αγνώστων, οι οποίοι επαληθεύουν ταυτόχρονα δύο (ή πε- ρισσότερες) εξισώσεις! Έτσι, αν οι εξισώσεις που περιλαμβάνουν τους ζητούμενους αγνώστους δημιουργούν ένα γραμμικό σύστημα, την επίλυσή του μπορείς κάλλιστα να την κάνεις στο πρόχειρο και στο «καθαρό» να δώσεις απλώς την λύση του. Βέβαια, το να παρουσιάσεις την λύση στο «καθαρό» ασφαλώς δεν είναι λάθος, όμως στα γραμμικά συστήματα αυτό δεν είναι απαραίτητο, ειδικά αν αυτό έχει επιλυθεί σε ελάχιστο χρόνο με την μέθοδο των αντίθετων συντελεστών. Όμως, αν το σύστημα είναι: α) γραμμικό, αλλά οι συντελεστές του είναι «περίεργοι» και έχει χρησιμοποιηθεί η μέθοδος των οριζουσών, τότε καλό είναι να δείξεις την λύση στο «καθαρό». β) γραμμικό παραμετρικό, τότε οπωσδήποτε πρέπει να δείξεις την λύση βήμα προς βήμα. γ) μη γραμμικό, τότε οπωσδήποτε πρέπει να δείξεις την λύση βήμα προς βήμα. ❖ Παρατήρηση 2η - Πλήθος εξισώσεων και πλήθος αγνώστων Εννιά στις δέκα φορές, όσοι είναι οι άγνωστοι σε μία άσκηση ίσο είναι το πλήθος των εξισώσεων από τις οποίες αυτοί θα βρεθούν. Όμως υπάρχουν περιπτώσεις που αυτό δεν συμβαίνει, αλλά: α) Οι εξισώσεις είναι περισσότερες από τους αγνώστους Για να γίνει κατανοητό αυτό, θα αναφέρω την συνηθέστερη περίπτωση, που είναι να υπάρχει ένας άγνωστος στην άσκηση, αλλά δύο εξισώσεις (μπορεί να είναι και περισ- σότερες). Τέτοιο σύστημα αντιμετωπίζεται με δύο τρόπους: 1ος τρόπος Λύσε κάθε εξίσωση χωριστά. Στο τέλος, εξέτασε αν υπάρχει κοινή λύση μεταξύ τους. Αν υπάρχει, αυτή θα είναι η λύση του συστήματος. - 44 - Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηματικών • www.mathsteki.gr

Άλγεβ ρ α Β΄ Λυ κε ί ου • Κ ΕΦΑ Λ Α Ι Ο 1 • Σ υστήμ α τα Παράγραφος 2 • Μη γραµµικά συστήµατα • ΘΕΩΡΙΑ Αν δεν υπάρχει, το σύστημα είναι αδύνατο. Αυτός είναι ο προτεινόμενος τρόπος! 2ος τρόπος Λύσε την απλούστερη εξίσωση του συστήματος. Μετά, μία προς μία τις λύσεις αντικατάστησέ τες στην άλλη εξίσωση και δες αν κά- ποια από αυτές την επαληθεύει. Όποια λύση της πρώτης επαληθεύσει την δεύτερη εξίσωση, είναι δεκτή. Όποια δεν την επαληθεύσει, απορρίπτεται. Η αδυναμία του 2ου τρόπου είναι ότι, αν η εξίσωση που θα λύσεις δώσει περισσότερες από μία λύσεις, τότε ενδεχομένως στην άλλη εξίσωση να απαιτηθούν πολλές (ίσως και περίπλοκες) αριθμητικές πράξεις, κάτι που γενικώς πρέπει να αποφεύγεις στις ασκή- σεις (την εμπλοκή σε περιττές πράξεις δηλαδή). Επίσης, μπορεί το σύστημα να μην έχει έναν άγνωστο και δύο εξισώσεις, αλλά έναν άγνωστο και περισσότερες από δύο εξισώσεις. Τότε οι πράξεις είναι ακόμη περισσό- τερες. Σε περίπτωση που υπάρχουν δύο άγνωστοι και τρεις εξισώσεις (ή περισσότερες), τότε ο τρόπος αντιμετώπισης είναι ανάλογος: επίλεξε δύο από τις τρεις εξισώσεις και λύσε το σύστημα. Όμως, τις λύσεις αυτές μετά να τις θέσεις στην τρίτη εξίσωση και να εξετάσεις αν την επαληθεύει! Αν την επαληθεύει, τότε έχεις βρει την λύση του συστήματος. Αν δεν την επαληθεύει, το σύστημα είναι αδύνατο. Παράδειγµα 26 Θα δείξω πώς αντιμετωπίζεται το σύστημα ⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎪ x2 − 2x = 0 ⎪⎫⎬⎪⎭⎪⎪ x2 − 3x + 2 = 0 με τους δύο τρόπους που προανέφερα. Λύση µε βάση τον 1ο τρόπο • Από την πρώτη εξίσωση έχω - 45 - Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηματικών • www.mathsteki.gr

Άλγεβ ρ α Β΄ Λυ κε ί ου • Κ ΕΦΑ Λ Α Ι Ο 1 • Σ υστήμ α τα Παράγραφος 2 • Μη γραµµικά συστήµατα • ΘΕΩΡΙΑ x(x − 2) = 0 ⇔ x = 0 ή x − 2 = 0 ⇔ x = 0 ή x = 2 . • Η δεύτερη εξίσωση εύκολα προκύπτει ότι έχει δύο ρίζες, τις x1 = 1 , x2 = 2 . Κοινή λύση των δύο εξισώσεων είναι η x = 2 , που είναι και η λύση του συστήματος. Λύση µε βάση τον 2ο τρόπο Από την πρώτη εξίσωση έχω x(x − 2) = 0 ⇔ x = 0 ή x − 2 = 0 ⇔ x = 0 ή x = 2 . • Θέτω x = 0 στην δεύτερη εξίσωση και έχω 02 − 3 ⋅ 0 + 2 = 0 ⇔ 2 = 0 , που είναι άτοπο. Άρα το 0 δεν είναι λύση του συστήματος. • Θέτω x = 2 στην δεύτερη εξίσωση και έχω 22 − 3 ⋅ 2 + 2 = 0 ⇔ 4 − 6 + 2 = 0 ⇔ 0 = 0 , που ισχύει. Άρα το 2 είναι δεκτή τιμή και αποτελεί την λύση του συστήματος. β) Οι εξισώσεις είναι λιγότερες από τους αγνώστους Σύνηθες είναι να υπάρχει μία εξίσωση και δύο άγνωστοι. Τότε από την εξίσωση αυτήν λύσε ως προς έναν άγνωστο (όταν αυτό είναι εφικτό βέ- βαια, που είναι σε γραμμικές εξισώσεις), κάτι άλλο δεν μπορεί να γίνει γενικώς. Μια ιδιαίτερη περίπτωση είναι να μπορεί να δημιουργηθεί ­ αποκαλυφθεί ένα άθροι- σμα τετραγώνων που υπάρχει σε τέτοια εξίσωση. Υπενθυμίζοντας ότι, αν α2 + β2 = 0 , τότε είναι α = 0 και β = 0 , το άθροισμα αυτό θα δώσει δύο εξισώσεις, από τις οποίες θα μπορούν να βρεθούν οι δύο άγνωστοι. - 46 - Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηματικών • www.mathsteki.gr

Άλγεβ ρ α Β΄ Λυ κε ί ου • Κ ΕΦΑ Λ Α Ι Ο 1 • Σ υστήμ α τα Παράγραφος 2 • Μη γραµµικά συστήµατα • ΘΕΩΡΙΑ ❖ Παρατήρηση 3η - Όταν λύνεις ένα σύστηµα, βρίσκεις τα κοινά σηµεία δύο γραµµών στο καρτεσιανό επίπεδο Ας εξηγήσω τι υπάρχει πίσω από αυτόν τον περίεργο τίτλο. Σε πολλές περιπτώσεις, τα συστήματα αποτελούν τον αλγεβρικό «αντικατοπτρισμό» ενός γεωμετρικού προβλήματος. Το συνηθέστερο γεωμετρικό πρόβλημα είναι να βρε- θούν (αν υπάρχουν) τα κοινά σημεία δύο γραμμών. Η κλασικότερη περίπτωση είναι να βρεθούν τα κοινά σημεία δύο ευθειών και η δου- λειά γίνεται λύνοντας το γραμμικό σύστημα των εξισώσεών τους. Έτσι: α) Δύο ευθείες τέμνονται, αν και μόνο αν το σύστημα των εξισώσεών τους έχει μοναδική λύση. Αυτό σημαίνει ότι: • αν θες να εξετάσεις αν δύο ευθείες τέμνονται, τότε εξέτασε αν το σύστημά τους έχει λύση. • αν θες να δείξεις ότι δύο ευθείες τέμνονται, τότε δείξε ότι το σύστημά τους έχει λύση. • αν ξέρεις ότι δύο ευθείες τέμνονται, τότε ξέρεις ότι το σύστημά τους έχει λύση. ΠΡΟΣΟΧΗ ! Σε καμία από τις παραπάνω περιπτώσεις δεν σημαίνει ότι πρέπει απαραιτήτως να λύ- σεις το σύστημα! Η επίλυσή του είναι μεν ένας τρόπος, αλλά ίσως όχι πάντα ο οικονομικότερος. Για ένα απλό γραμμικό σύστημα δεν τίθεται θέμα βέβαια, αλλά όταν αυτό είναι παραμετρικό, τότε η επίλυσή του δεν είναι πάντα καλή σκέψη (διότι είναι πάρα πολύ πιθανό ότι θα απαιτηθεί κάποιου είδους διερεύνηση, κάτι που μεγαλώνει την έκταση της λύσης και τον χρόνο που δαπανάται). β) Δύο ευθείες ταυτίζονται, αν και μόνο αν το σύστημα των εξισώσεών τους έχει άπειρες λύσεις. Αυτό σημαίνει ότι: - 47 - Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηματικών • www.mathsteki.gr

Άλγεβ ρ α Β΄ Λυ κε ί ου • Κ ΕΦΑ Λ Α Ι Ο 1 • Σ υστήμ α τα Παράγραφος 2 • Μη γραµµικά συστήµατα • ΘΕΩΡΙΑ • αν θες να εξετάσεις αν δύο ευθείες ταυτίζονται, τότε εξέτασε αν το σύστημά τους έχει άπειρες λύσεις. • αν θες να δείξεις ότι δύο ευθείες ταυτίζονται, τότε δείξε ότι το σύστημά τους έχει άπειρες λύσεις. • αν ξέρεις ότι δύο ευθείες ταυτίζονται, τότε ξέρεις ότι το σύστημά τους έχει άπειρες λύσεις. γ) Δύο ευθείες είναι μεταξύ τους παράλληλες, αν και μόνο αν το σύστημα των εξισώσεών τους είναι αδύνατο (δεν έχει λύσεις). Αυτό σημαίνει ότι: • αν θες να εξετάσεις αν δύο ευθείες είναι παράλληλες, τότε εξέτασε αν το σύστημά τους είναι αδύνατο. • αν θες να δείξεις ότι δύο ευθείες είναι παράλληλες, τότε δείξε ότι το σύστημά τους είναι αδύνατο. • αν ξέρεις ότι δύο ευθείες είναι παράλληλες, τότε ξέρεις ότι το σύστημά τους είναι αδύνατο. Φυσικά, η περίπτωση της παραλληλίας σαφώς και προτιμάται να αντιμετωπίζεται μέ- σω των συντελεστών διεύθυνσης των ευθειών (αρκεί σε κανέναν εκ των συντελεστών των εξισώσεων των ευθειών να μην υπάρχει παράμετρος). Πέραν των ευθειών όμως, υπάρχουν και άλλες βασικές γραμμές, των οποίων τις εξι- σώσεις θα αναφέρω παρακάτω. α) Η εξίσωση x2 + y2 = α , α > 0 , παριστάνει κύκλο με κέντρο την αρχή των αξόνων και ακτίνα ρ = α . β) Η εξίσωση x2 = αy , α ≠ 0 , παριστάνει παραβολή, η οποία: • στρέφει τα κοίλα της στον ημιάξονα Oy, όταν είναι α > 0 . • στρέφει τα κοίλα της στον ημιάξονα Oy΄, όταν είναι α < 0 . Η εξίσωση αυτή μπορεί να συναντηθεί και υπό την ισοδύναμη μορφή της, - 48 - Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηματικών • www.mathsteki.gr

Άλγεβ ρ α Β΄ Λυ κε ί ου • Κ ΕΦΑ Λ Α Ι Ο 1 • Σ υστήμ α τα Παράγραφος 2 • Μη γραµµικά συστήµατα • ΘΕΩΡΙΑ y = αx2 , α ≠ 0 . γ) Η εξίσωση y2 = αx , α ≠ 0 , παριστάνει παραβολή, η οποία: • στρέφει τα κοίλα της στον ημιάξονα Ox, όταν είναι α > 0 . • στρέφει τα κοίλα της στον ημιάξονα Ox΄, όταν είναι α < 0 . Η εξίσωση αυτή μπορεί να συναντηθεί και υπό την ισοδύναμη μορφή της, x = αy2 , α ≠ 0 . δ) Η εξίσωση y = α , α ≠ 0 , παριστάνει υπερβολή. x • Όταν είναι α > 0 , τότε οι δύο κλάδοι της βρίσκονται στο 1ο και στο 3ο τεταρτημό- ριο των αξόνων. • Όταν είναι α < 0 , τότε οι δύο κλάδοι της βρίσκονται στο 2ο και στο 4ο τεταρτημό- ριο των αξόνων. Ισοδύναμα, η εξίσωση της υπερβολής γράφεται και xy = α , α ≠ 0 . Οι παραπάνω γραμμές εμφανίζονται σε μη γραμμικά συστήματα (αφού καμία εξ αυ- τών δεν είναι γραμμική εξίσωση) και μπορεί να ζητηθεί να λυθεί ένα σύστημα και «να ερμηνευθεί γεωμετρικά το αποτέλεσμα». Για παράδειγµα, λύνοντας το σύστημα ⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎩ y = 3x2 ⎪⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎪ 12x − 3y = 4 θα βρεις τα κοινά σημεία της παραβολής της πρώτης εξίσωσης με την ευθεία της δεύ- τερης (αν υπάρχουν, δηλαδή αν το σύστημα έχει λύση). Ένα ακόµη παράδειγµα: λύνοντας το σύστημα ⎪⎧⎪⎪⎨⎪⎩⎪ x2 + y2 = 9 ⎪⎭⎬⎪⎪⎪⎪⎫ x−y = 0 θα βρεις τα κοινά σημεία του κύκλου της πρώτης εξίσωσης με την ευθεία της δεύτε- ρης (αν υπάρχουν, δηλαδή αν το σύστημα έχει λύση). - 49 - Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηματικών • www.mathsteki.gr

Άλγεβ ρ α Β΄ Λυ κε ί ου • Κ ΕΦΑ Λ Α Ι Ο 1 • Σ υστήμ α τα Παράγραφος 2 • Μη γραµµικά συστήµατα • ΘΕΩΡΙΑ ❖ Παρατήρηση 4η - Πάντα εξέταζε για πιθανή απλοποίηση των συντελε- στών, αλλά πρόσεχε αν πρόκειται για απαλοιφή αλγε- βρικής παράστασης Όποιο σύστημα και αν πρέπει να λύσεις, πάντα πρώτα κάνε έναν έλεγχο στους συντε- λεστές του, αν μπορεί να γίνει απλοποίηση μεταξύ τους! Ο λόγος είναι απλός και τον δηλώνει το ίδιο το όνομα της κίνησης. Απλοποιώντας τους συντελεστές κάποιας εκ των εξισώσεων του συστήματος (φυσικά, αν κάτι τέτοιο γίνεται), απλοποιείς τους αριθμούς που θα κουβαλάς κατά την διαδικα- σία επίλυσης του συστήματος! ΟΜΩΣ! Απλοποίηση κάνε άφοβα μεταξύ αριθμών, αλλά όχι μεταξύ αλγεβρικών παραστά- σεων, τις οποίες πρέπει να προσέχεις ιδιαιτέρως! Για παράδειγµα, ας πάρουμε το σύστημα ⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎩ 2x + 4y = 6 ⎬⎪⎪⎪⎫⎪⎪⎭ . xy = 2x Στην άνω εξίσωση είναι εμφανές (ελπίζω) ότι μπορεί να γίνει απλοποίηση του 2 από όλους τους συντελεστές. Το λάθος μπορεί να γίνει όμως στην κάτω εξίσωση, απλοποιώντας το x. Γιατί μπορεί να γίνει λάθος; Ποιο είναι αυτό; Ο νόμος της απαλοιφής από την Άλγεβρα λέει ότι, αν ισχύει αx = αy και είναι α ≠ 0 , τότε προκύπτει ότι x = y . Σε πιο ελεύθερη γλώσσα: για να «κόψω» κοινό γράμμα από τους συντελεστές μιας εξίσωσης, πρέπει να ξέρω ότι δεν μπορεί να είναι μηδέν, πριν το «κόψω»! Έτσι, στην εξίσωση xy = 2x , είναι λάθος να γράψεις y = 2 , δηλαδή να «κόψεις» το x, διότι το x μπορεί να γίνει ίσο με μηδέν! - 50 - Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηματικών • www.mathsteki.gr

Άλγεβ ρ α Β΄ Λυ κε ί ου • Κ ΕΦΑ Λ Α Ι Ο 1 • Σ υστήμ α τα Παράγραφος 2 • Μη γραµµικά συστήµατα • ΘΕΩΡΙΑ Γιατί; Διότι, αν δεχθούμε ότι μπορεί να είναι x = 0 , τότε από την εξίσωση xy = 2x εύκολα προκύπτει 0 = 0 , το οποίο προφανώς ισχύει. «Και τι πρέπει να κάνω στην δεύτερη εξίσωση;» Μεταφορά στο αριστερό μέλος και παραγοντοποίηση, δηλαδή: xy = 2x ⇔ xy − 2x = 0 ⇔ x(y − 2) = 0 ⇔ x = 0 ή y − 2 = 0 ⇔ x = 0 ή y = 2 . Ας επιμείνω περισσότερο σε αυτό το «κόψιμο» γράμματος (συγχωρήστε μου την ελεύ- θερη γλώσσα). «Κόβω» σημαίνει «διαιρώ» οπότε, όταν «κόβεις», στην πραγματικότητα διαιρείς τα δύο μέλη με τον ίδιο αριθμό ή το ίδιο «γράμμα». Και επειδή με καίει το θέμα του «κοψίματος» (= διαίρεσης) με «γράμμα» (διότι χρό- νια βλέπω να γίνεται συνεχώς το ίδιο λάθος και άδικα να χάνονται ασκήσεις), θέλω να υπερτονίσω το εξής: όταν πρόκειται να διαιρέσεις με «γράμμα» (γενικότερα, με μια αλγεβρική παράσταση), εξέτασε αν μπορεί να μηδενίζεται πριν κάνεις την διαίρεση! Για παράδειγµα, ας πάρουμε το σύστημα ⎨⎪⎩⎪⎧⎪⎪⎪ x2 + y2 = 5 ⎪⎫⎭⎪⎪⎪⎬⎪ . xy = 2 Το σύστημα είναι μη γραμμικό, οπότε η πρώτη μου σκέψη για να το λύσω, είναι η μέ- θοδος της αντικατάστασης. Επειδή η δεύτερη εξίσωση είναι «εύκολη», θα λύσω από αυτήν ως προς x ή ως προς y και θα αντικαταστήσω στην άλλη. Έτσι, λέω «Από την δεύτερη εξίσωση έχω y = 2 , την οποία αντικαθιστώ στην πρώτη εξίσωση x και έχω...». Έχω κάνει ένα σημαντικό λάθος! - 51 - Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηματικών • www.mathsteki.gr

Άλγεβ ρ α Β΄ Λυ κε ί ου • Κ ΕΦΑ Λ Α Ι Ο 1 • Σ υστήμ α τα Παράγραφος 2 • Μη γραµµικά συστήµατα • ΘΕΩΡΙΑ Διαίρεσα με «γράμμα» (με x) χωρίς να εξετάσω πρώτα αν αυτό είναι διάφορο του μηδενός! Το σωστό είναι «Στην εξίσωση xy = 2 , αν ήταν x = 0 , τότε θα προέκυπτε 0 = 2 , που είναι άτοπο. Άρα είναι x ≠ 0 , οπότε από αυτήν έχω y= 2 , σχέση που αντικαθιστώ στην πρώτη x εξίσωση και έχω...». ❖ Παρατήρηση 5η - Τα συστήµατα δεν είναι αυτόνοµο κεφάλαιο της Άλγεβρας Θα τα συναντήσεις και σε άλλα κεφάλαια της θεωρίας, αλλά και γενικά όσο θα ασχο- λείσαι με Μαθηματικά, γι' αυτό εξασκήσου αρκετά, ώστε να τα αντιμετωπίζεις με την ελάχιστη δυνατή δυσκολία. Είναι κατά βάση θέματα πράξεων και εφαρμογής αλγεβρι- κών τεχνικών, άρα δεν πρέπει να τα φοβάσαι. Σε άλλα κεφάλαια της θεωρίας (γενικότερα, άλλα θέματα των Μαθηματικών), αλλά- ζουν οι αλγεβρικές παραστάσεις που υπάρχουν στο σύστημα και συμμετέχουν και κά- ποιες ιδιότητες της σχετικής θεωρίας, αλλά δεν αλλάζει η ουσία του θέματος. - 52 - Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηματικών • www.mathsteki.gr



Μόνο εδώ θα βρεις τα αναλυτικότερα βιβλία Μαθηµατικών του διαδικτύου!