Κεφάλαιο 2 - Παράγραφος 2.4

2.4 ΡΙΖΕΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ Τετραγωνική ρίζα μη αρνητικού αριθμού Στο Γυμνάσιο μάθαμε την έννοια της τετραγωνικής ρίζας μη αρνητικού αριθμού και τις ιδιότητές της. Συγκεκριμένα μάθαμε ότι: ΟΡΙΣΜΟΣ a.Auto fiias de '4 del Rnv Tamping via Eival H τετραγωνική ρίζα ενός μη αρνητικού αριθμού α συμβολίζεται με α και είναι ο μη αρνητικός αριθμός που, όταν υψωθεί στο τετράγωνο, δίνει τον α. πορούμε επομένως να πούμε ότι: Αν α ≥ 0, η α παριστάνει τη μη αρνητική λύση της εξίσωσης x2 = α. Για τις τετραγωνικές ρίζες μη αρνητικών αριθμών γνωρίσαμε τις παρακάτω ιδιότητες: To Teteoijwvo Ta7y- aHe ifaqeiyee Kae µ Eta and dutn ' \" * pogo # ! woe , Mioarnjeisa eyun . • α2 = α , Me a > 0 :{:EIn: Y • α ⋅ β = α⋅β t.int?YEs:i5wttt.eei:ew.nre.oemraxweisandavenuxri • α= α D( µE 6 > . (' Efi Mpdna ✓ a ββ add a eivar a > 0 ) . ν-οστή ρίζα μη αρνητικού αριθμού x Ας υποθέσουμε ότι θέλουμε να κατασκευάσουμε x x μια κυβική δεξαμενή χωρητικότητας 64 κυβικών 43 μέτρων και ζητάμε την πλευρά της. Αν x μέτρα είναι η πλευρά της δεξαμενής, τότε ο όγκος της 4 64 θα είναι x3 κυβικά μέτρα και επομένως θα ισχύει: x3= 64. 3 64 Αναζητούμε λοιπόν έναν αριθμό x που, όταν υψωθεί στον κύβο, θα μας δώσει 64. Ο αριθμός αυτός, αφού παριστάνει μήκος, πρέπει να είναι θετικός. ε δοκιμές βρίσκουμε ότι ο ζητούμενος

70 I ΑΓ Α ΙΚΟΙ Α Ι ΟΙ αριθμός είναι ο 4, διότι 43 = 64. Ο αριθμός 4 λέγεται τρίτη ρίζα του 64 και συμβολίζεται με 3 64 . Δηλαδή 3 64 4 . Η τρίτη ρίζα ενός αριθμού λέγεται και κυβική ρίζα του αριθμού αυτού. Γενικεύοντας τώρα τα παραπάνω για κάθε θετικό ακέραιο ν, δίνουμε τον ακόλουθο ορισμό. ndaoti .' ' , quriko apidpeo . ΟΡΙΣΜΟΣ Η ν-οστή ρίζα ενός μη αρνητικού αριθμού α συμβολίζεται με ν α και είναι ο μη αρνητικός αριθμός(1) που, όταν υψωθεί στην ν, δίνει τον α. Επίσης γράφουμε 1 α = α και 2 α = α. πορούμε επομένως να πούμε ότι: Αν α ≥ 0, τότε η ν α παριστάνει τη μη αρνητική λύση της εξίσωσης xν = α. ΣΧΟΛΙΟ Είναι 104 = 10000, οπότε 4 10000 10. Είναι επίσης και (‒10)4 = 10000. Όμως, δεν επιτρέπεται να γράφουμε 4 10000 = −10, αφού, σύμφωνα με τον παραπάνω ορισμό, η 4 10000 είναι η μη αρνητική λύση της εξίσωσης x4 = 10000. διότητες των ριζών Από τον ορισμό της ν-οστής ρίζας ενός μη αρνητικού αριθμού α, συμπεραίνουμε αμέ- σως ότι: • Αν α ≥ 0, τότε: ( ν α )ν = α και ν αν = α . • Αν α ≤ 0 και ν άρτιος, τότε: ν αν = α . (1) Αποδεικνύεται ότι υπάρχει και είναι μοναδικός.

Ι ΕΣ ΑΓ Α ΙΚΩ Α Ι Ω 71 Για παράδειγμα: 6 26 2, ενώ 6 (−2)6 = −2 = 2. σχύουν όμως και οι ακόλουθες ιδιότητες, από τις οποίες οι δύο πρώτες είναι ανάλογες των ιδιοτήτων της τετραγωνικής ρίζας: Αν α, β ≥ 0, τότε: 1. ν α ⋅ ν β = ν α ⋅β 2. ν α = ν α (εφόσον β ≠ 0) νβ β KTO 's dans > 3. µ ν α = µ⋅ν α 4. αν⋅ρ µ⋅ρ = ν αµ - Kaku's ! 01 painted toucans yvweijow , µdvo Kepofspedvoicaeivai ! ΑΠΟΔΕΙΞΗ It and 8q§n ass lcfo'Ty Toes 1. Έχουμε: Fair =YaJ ν α ⋅ ν β = ν α ⋅β ⇔ (ν α ⋅ ν β)ν = (ν α ⋅β)ν . ⇔ (ν α)ν ⋅ (ν β)ν = α ⋅β ⇔ α ⋅β = α ⋅β, που ισχύει. 2. Αποδεικνύεται όπως και η 1. EKTO 's bans 3. Έχουμε: < µ ν α = µ⋅ν α ⇔ (µ ν α )µ⋅ν = (µ⋅ν α )µ⋅ν ⇔ ⎢⎡⎣(µ ν α )µ ⎥⎤⎦ν = α ⇔ (ν α )ν = α, που ισχύει. 4. Έχουμε: αν⋅ρ µ⋅ρ = ν αρ µ⋅ρ = ν ρ (αµ )ρ = ν αµ .

72 I ΑΓ Α ΙΚΟΙ Α Ι ΟΙ ΣΧΟΛΙΟ = Va . tE= # Η ιδιότητα 1. ισχύει και για περισσότερους από δυο μη αρνητικούς παράγοντες. Συγκεκριμένα, για μη αρνητικούς αριθμούς α1, α2, ... , ακ ισχύει: ν α1 ⋅ ν α2 ⋅...⋅ ν ακ = ν α1 ⋅ α2 ⋅...⋅ ακ Στην ειδική μάλιστα περίπτωση που είναι α1 = α2 = ... = ακ = α ≥ 0, ισχύει: ν ακ = (ν α)κ, οπότε, λόγω της ιδιότητας 1, για α , β ≥ 0 έχουμε α β = α ⋅ β.ν ν ν Modi xp n' 61µm if 6Th Ta Eicfka ' jhathv MEPIMTWJN g. , ✓ =2 Judah ' \\/a2J=a . VE , . Tnvtetpagwvikn fifa : Δυνάμεις με ρητό εκθέτη µ Στη συνέχεια θα ορίσουμε παραστάσεις της μορφής αν , που α > 0, μ ακέραιος και ν θετικός ακέραιος, τις οποίες θα ονομάσουμε δυνάμεις με ρητό εκθέτη. Ο ορισμός θα γίνει με τέτοιο τρόπο, ώστε να διατηρούνται οι γνωστές μας ιδιότητες των δυνάμεων με ακέραιο εκθέτη. Τι θα πρέπει, για παράδειγμα, να σημαίνει το 2 Αν απαιτήσουμε να ισχύει η ιδιότητα (αp )q = αpq και για δυνάμεις με ρητό εκθέτη, ⋅5 = 32 . 35 ; ⎛2 5 ⎛ 2 ⎜ τότε θα είναι ⎜ 35 ⎝ = 35 ⎝ 2 Άρα πρέπει ο 35 να είναι λύση της εξίσωσης x5 = 32. 2 Δηλαδή πρέπει να είναι 35 5 32 . Γενικά: ΟΡΙΣΜΟΣ Dndasn ' ✓ qurcko 's , µ Αν α > 0, μ ακέραιος και ν θετικός. ακέραιος, τότε ορίζουμε: αν = ν αµ µ →' Επιπλέον, αν μ, ν θετικοί ακέραιοι, τότε ορίζουμε 0ν = 0. Για παράδειγμα: da 661 Kn TEPITZWM x÷=r× ix. xtz 2 και −4 = 3 27 −4 =3 1 =1 = 1 . 27 4 3 27 4 34 83 3 82 3 64 4 27 3 ε τη βοήθεια των ιδιοτήτων των ριζών αποδεικνύεται ότι οι ιδιότητες των δυνάμεων με ακέραιο εκθέτη ισχύουν και για δυνάμεις με ρητό εκθέτη. Το γεγονός αυτό διευκολύνει το λογισμό με τα ριζικά. Έτσι έχουμε για παράδειγμα: haAs nton! 11 1+1 7 4 α⋅3 α = α 4 ⋅ α3 = α 4 3 = α12 = 12 α7 . H 1816in Toe ouch Kupiws Xpnrlpeonolei Tae ya ' pifwv OE Suvoiflels , w' OTE OTIS Mpoi}EiS ✓ a Ekqpoitfetae µ Etatpomn Xfniyuonolncodv 01 150' THTES Twr Juvdepeewv noueivae Eu Kofi TEPES . To ' AMOTE 'T Eofua , TEIIKO WS Jivaun , Too Own 'S ws TW }avaµETaTCdMouµE se eifa .

Ι ΕΣ ΑΓ Α ΙΚΩ Α Ι Ω 73 ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ Dudas 's a) b 7 ° co 'ee 15×69 Na @1. Αν α και β είναι μη αρνητι-κοί αριθμοί, να αποδειχθεmί uηmισοδυναμία: JEWCEITAI α < β ⇔ ν α < ν β. cfopoi \" \" cfopoi \" ⇐ \" jvwotn! ⇒ . ΑΠΟΔΕΙΞΗ Boise Bgoisw Έχουμε: eigaapiote - ' ' as ei5Es apirteeoe poi Kou JE }ia ' Kal JE }ia . ν α < ν β ⇔ (ν α)ν < (ν β)ν ⇔ α < β, που ισχύει. 02. α τραπούν οι παραστάσεις σε ισοδύναμες, χωρίς ριζικά στους παρονομαστές: #i) 15 ii) 10 iii) 6 . 3 5 −1 7+ 5 ΛΥΣΗ Έχουμε: ' Kivnlseis dear dxoyueeifa (ei5E§ oe ' , Xapakeneiseiko Tates Iaeovquasen . ' Kai Koioe Toe defeated outa eivou n'Snyvwoeoi and env T Tupivaoiou flatfntn 's Oa Mpdtei Va Tae xeipi SET on µE live6h . i) 15 = 15 ⋅ 3 = 15 ⋅ 3 = 15 ⋅ 3 =5 3. 3 3⋅ 3 ( 3)2 3 ii) 10 = 10 ( 5 +1) = 10 ( 5 +1) = 10 ( 5 +1) = 5( 5 +1) . 5 −1 ( 5 −1)( 5 +1) ( 5)2 −12 5 −1 2 iii) 6 = 6( 7 − 5 ) = 6( 7 − 5 ) = 6( 7 − 5 ) = 3( 7− 5 ). 7+ 5( 7 + 5 )( 7 − 5 ) ( 7)2 − ( 5 )2 7−5 3. α αποδειχθεί ότι: 10 ⋅ 3 5 ⋅ 6 4 0 = 10. ΑΠΟΔΕΙΞΗ Έχουμε: 11 1 11 1 10 ⋅ 3 5 ⋅ 6 40 = 102 ⋅ 53 ⋅ 406 = (2 ⋅ 5)2 ⋅ 53 ⋅ (23 ⋅ 5)6 111 31 1 1111 = 22 ⋅52 ⋅53 ⋅ 26 ⋅56 = 22 ⋅ 22 ⋅52 ⋅53 ⋅56 = 21 ⋅ 5 1+1+1 = 2⋅5 = 10 . 23 6

74 I ΑΓ Α ΙΚΟΙ Α Ι ΟΙ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Α΄ ΟΜΑΔΑΣ 1. α υπολογίσετε τις ρίζες: i) 100, 3 1000, 4 10000, 5 100000. 4 16 , 5 32 . ii) 4, 3 8, 4 0,0001, 5 0,00001 . iii) 0,01, 3 0,001, * 2. α γράψετε τις παρακάτω παραστάσεις χωρίς ριζικά: i) (π − 4 )2 ii) ( 20 )2 iii) (x 1)2 iv) x 2 . 4 * 3. α αποδείξετε ότι: Aokn 're is 2,3 : Xp n' 6ns 1810 'enTas Ta2=lal (2 − 5 )2 + (3 − 5 )2 = 1 . . Evcfuoifetae Koei o ardjelpiko's opioyuo 's Cns and 2uTns Tyun 's . 4. α αποδείξετε ότι: ( x − 5 − x + 3 ) ⋅ ( x − 5 + x + 3 ) = −8 . * 5. α αποδείξετε ότι: ' Aoknsrn 5 : Xp n' on ioistntas \\/a2J=a . fb i) ( 8 − 1 8) ⋅ ( 5 0 + 7 2 − 3 2) = −1 4 . ii) ( 28 + 7 + 32) ⋅ ( 6 3 − 32) = 31 . Banks 8dµa , Mou KOIOE µa0nTn 's ICE '#Ei ✓ a 6. α αποδείξετε ότι: i) 2 ⋅ 2 − 2 ⋅ 2 + 2 = 2 yvweifel va Xeceifetae µE a'vE6n . ii) 3 2 ⋅ 3 3 + 5 ⋅ 3 3 − 5 = 2. To ido akpibw 's de 'µa 81 Joixcnkertnv ' T tyuvasiou . 7. α αποδείξετε ότι: i) 2 ⋅ 3 2 = 3 2 ii) 5 2 2 3 2 3 2. ' Arknoy 8: Xenon icfotntas a¥= # 8. α αποδείξετε ότι: . y i) 4 33 ⋅ 3 3 = 3 ⋅12 3 ii) 9 28 ⋅ 6 25 = 2 ⋅18 213 iii) 53 ⋅ 3 5 ⋅ 6 54 = 2 5 ⋅ 5. * 9. α αποδείξετε ότι: ' Asknon Xp9 : n' on Tns 1810' Tntas da?T= an 8 i) 25 ⋅ 12 = 10 , 75 ii) 216 ⋅ 75 = 18 . added Koei 6uv8ua6µo's oiddwvbasikwv 1810T'nTwV 50 Twv pisdov .

koivoyue, stare '×ouµe eifa ( eyes) re ' [ Ι ΕΣ ΑΓ Α ΙΚΩ Α Ι Ω Mapovopuaoen kdoiquoetos . 75 * 10. α μετατρέψετε τις παρακάτω παραστάσεις σε ισοδύναμες με ρητούς παρονο- μαστές: i) 4 ii) 8 iii) 7 + 6 . 53 75 7− 6 11. α αποδείξετε ότι: i) 162 + 98 = 16 ii) 912 + 3 20 =3, 50 − 32 911 + 27 6 αφού αναλύσετε τα υπόρριζα σε γινόμενα πρώτων παραγόντων. wasTv ' en ✓ a no ' A Tyurasiou . ΑΣΚΗΣΕΙΣ Β΄ ΟΜΑΔΑΣ * 1. i) α αποδείξετε ότι: Ask 'n6E is 1 Kou 4 : Eivaiakpibw 's 6to ido Mveiyuoe 3 3−2 2 =5+ 6 HE Tnvoirknsn 10 ' 3− 2 Tns A oµoi8as . ii) Αν α, β > 0 να αποδείξετε ότι α α − β β = (α + β) + αβ. α− β 2. i) α βρείτε τα αναπτύγματα των (3 2 7 )2 και (3 2 7 )2 . ii) α αποδείξετε ότι: 37 +12 7 − 37 −12 7 = 6 . 3. i) α αποδείξετε ότι ο αριθμός ⎛ 2+ 3 ⎞2 είναι ρητός. ⎝⎜⎜ 3 2 ⎠⎟⎟ ii) Αν α θετικός ρητός, να αποδείξετε ότι ο ⎛ α+ 1 ⎞2 είναι ρητός. ⎜⎝ α ⎟⎠ * 4. α αποδείξετε ότι: i) 3 + 5 = 4 ii) 1 −1 3 )2 = 8 3. 5− 3 5+ 3 (2 − 3 )2 (2 + 5. Σε ένα ορθογώνιο τρίγωνο οι κάθετες πλευρές του είναι ΑΒ = α και ΑΓ = β. i) α υπολογίσετε την υποτείνουσα ΒΓ του τριγώνου. ii) ε τη βοήθεια της τριγωνικής ανισότητας να αποδείξετε ότι: α + β < α + β. iii) Για μη αρνητικούς αριθμούς α και β, να αποδείξετε ότι α + β ≤ α + β. Πότε ισχύει η ισότητα;