Κεφάλαιο 1 - ∆ιανύσματα Παράγραφος 4 - Συντεταγμένες στο επίπεδο Παράδειγμα 23 !\" ( )Ας πάρουμε το διάνυσμα α = 3, 3 . 1ο βήμα Αν θ είναι η γωνία που σχηματίζει με τον άξονα x’x, τότε εϕθ = 3 = εϕ30ο . 3 2ο βήμα !\" Επειδή είναι xα!\" >0 , yα!\" >0 , το πέρας του α είναι στο πρώτο τεταρτημόριο, οπότε η ζητούμενη γωνία είναι θ = 30ο . Παράδειγμα 24 !\" ( )Ας πάρουμε το διάνυσμα α = −3, 3 . 1ο βήμα Αν θ είναι η γωνία που σχηματίζει με τον άξονα x’x, τότε εϕθ = 3 = − εϕ30ο . −3 2ο βήμα !\" Επειδή είναι xα!\" <0 , yα!\" >0 , το πέρας του α είναι στο δεύτερο τεταρτημόριο, οπότε η ζητούμενη γωνία είναι θ = 180ο −30ο =150ο . - 82 - ∆ημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος • Μαθηματικό στέκι • www.mathsteki.gr
Κεφάλαιο 1 - ∆ιανύσματα Παράγραφος 4 - Συντεταγμένες στο επίπεδο Παράδειγμα 25 !\" ( )Ας πάρουμε το διάνυσμα α = −3,− 3 . 1ο βήμα Αν θ είναι η γωνία που σχηματίζει με τον άξονα x’x, τότε εϕθ = −3 = 3 = εϕ30ο . −3 3 2ο βήμα !\" Επειδή είναι xα!\" <0 , yα!\" <0 , το πέρας του α είναι στο τρίτο τεταρτημόριο, οπότε η ζητούμενη γωνία είναι θ = 180ο +30ο = 210ο . Παράδειγμα 26 !\" ( )Ας πάρουμε το διάνυσμα α = 3,− 3 . 1ο βήμα Αν θ είναι η γωνία που σχηματίζει με τον άξονα x’x, τότε εϕθ = − 3 = − εϕ30ο . 3 2ο βήμα !\" Επειδή είναι xα!\" >0 , yα!\" <0 , το πέρας του α είναι στο τέταρτο τεταρτημόριο, οπότε η ζητούμενη γωνία είναι θ = 360ο −30ο = 330ο . - 83 - ∆ημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος • Μαθηματικό στέκι • www.mathsteki.gr
Κεφάλαιο 1 - ∆ιανύσματα Παράγραφος 4 - Συντεταγμένες στο επίπεδο Παράδειγμα 27 Ας πάρουμε το διάνυσμα !\" = (4 ,0) . α !\" Επειδή είναι yα!\" = 0 , το α είναι παράλληλο στον άξονα x’x. Επειδή είναι xα!\" >0 , η γωνία που αυτό σχηματίζει με τον x’x είναι 0ο . Αν ήταν !\" =(−4 ,0) , τότε : α !\" x′x • επειδή είναι y = 0 , πάλι είναι α // . !\" α • επειδή είναι xα!\" <0 , η γωνία του με τον x’x θα είναι 180ο . Παράδειγμα 28 Ας πάρουμε το διάνυσμα !\" = (0 , 5) . α !\" Επειδή είναι xα!\" = 0 , το α είναι κάθετο στον άξονα x’x. Επειδή είναι yα!\" >0 , η γωνία που αυτό σχηματίζει με τον x’x είναι 90ο . Αν ήταν !\" = (0 ,− 5) , τότε : α • επειδή είναι xα!\" = 0 , πάλι είναι !\" ⊥ x′x . α • επειδή είναι y !\" < 0 , η γωνία του με τον x’x θα είναι 270ο . α - 84 - ∆ημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος • Μαθηματικό στέκι • www.mathsteki.gr
Κεφάλαιο 1 - ∆ιανύσματα Παράγραφος 4 - Συντεταγμένες στο επίπεδο Η έννοια του συντελεστή διεύθυνσης ενός διανύσματος σχετίζεται με την βασική έν- νοια της παραλληλίας δύο διανυσμάτων. Πρόταση Συνθήκη παραλληλίας διανυσμάτων (3η μορφή) Αν θεωρήσουμε δύο διανύσματα !\" = ( x1 , y1) , \" =(x2 ,y2), με συντελεστές διεύθυν- α β σης λ1 , λ2 αντίστοιχα, τότε η συνθήκη παραλληλίας τους διατυπώνεται ως εξής: !\" \" α / / β ⇔ λ1 = λ2 . Συνθήκη παραλληλίας διανυσμάτων: όλες οι μορφές συγκεντρωμένες Την συνθήκη παραλληλίας διανυσμάτων την είδες με τρεις διαφορετικές μορφές, τις οποίες συγκεντρώνω για διευκόλυνση στην μελέτη. 1η μορφή !\" \" !! !\" \" !\" \" Αν α , β είναι δύο διανύσματα, με β ≠ 0 , τότε: α / / β ⇔ α = λβ , λ ∈ # . 2η μορφή !\" \" !\" \" !\" \" α( )Αν=(x1 y1) β = (x ) , , 2 , y 2 είναι δύο διανύσματα, τότε : α / / β ⇔ det α , β = 0 . 3η μορφή !\" \" !\" \" Αν α , β είναι δύο διανύσματα, τότε: α / / β ⇔ λα!\" = λβ\" . - 85 - ∆ημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος • Μαθηματικό στέκι • www.mathsteki.gr
Κεφάλαιο 1 - ∆ιανύσματα Παράγραφος 4 - Συντεταγμένες στο επίπεδο Σημαντικά σχόλια στις τρεις μορφές της συνθήκης παραλληλίας ▶︎ 1ο σχόλιο Η δεύτερη μορφή της συνθήκης να είναι η πρώτη σκέψη που πρέπει να κάνεις όταν σε μια άσκηση υπάρχει θέμα παραλληλίας διανυσμάτων (ή συνευθειακών σημείων, για να θυμήσω μια πολύ χαρακτηριστική επέκταση της παραλληλίας) και στην άσκηση υπάρχουν συντεταγμένες διανυσμάτων. Η αδυναμία της μορφής αυτής είναι ότι δεν βοηθάει και πολύ όταν στην άσκηση υπάρχει θέμα ομόρροπων ή αντίρροπων διανυσμάτων. ▶︎ 2ο σχόλιο Η πρώτη μορφή χρησιμοποιείται επίσης συχνά, αν και σε μικρότερο βαθμό σε σχέση με την δεύτερη. Πλεονεκτεί σε σχέση με την δεύτερη μορφή, διότι αντιμετωπίζει με μεγαλύτερη ακρί- βεια τα θέματα των ομόρροπων και αντίρροπων διανυσμάτων. ▶︎ 3ο σχόλιο Την τρίτη μορφή συστήνω γενικώς να την αποφεύγεις, διότι υπεισέρχονται κλάσματα μέσω των συντελεστών διεύθυνσης και πολλές φορές απαιτείται διερεύνηση στην άσκηση, προς την οποία λίγες φορές πάει το μυαλό. Θα δώσω ένα απλό παράδειγμα. Έστω ότι δίνονται τα διανύσματα !\" =(3, 4) , \" =(x ,1) και ζητείται να βρεθεί το x, ώστε α β αυτά να είναι παράλληλα μεταξύ τους. Ακολουθώντας την πρώτη μου σκέψη (ορίζουσα διανυσμάτων), έχω - 86 - ∆ημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος • Μαθηματικό στέκι • www.mathsteki.gr
Κεφάλαιο 1 - ∆ιανύσματα Παράγραφος 4 - Συντεταγμένες στο επίπεδο !\" \" ( )!\" \" 3 4 3 α / / β ⇔ det α , β = 0 ⇔ x 1 = 0 ⇔ 3 ⋅1−4x = 0 ⇔ 4x = 3 ⇔ x = 4 . Τελείωσα! Όμως δες τι θα γίνει, αν πάω με την τρίτη μορφή της συνθήκης παραλληλίας: !\" \" ⇔ 4 1 ⇔ 4x=3⇔ x= 3 α / / β ⇔ λα!\" = λ 3 = x 4 . \" β «∆εν κατάλαβα. Τι κακό έχει αυτό; ∆εν είναι καλή λύση; Μάλιστα έλυσα ακόμη πιο γρήγορα την άσκηση. Γιατί να μην προτιμήσω αυτόν τον τρόπο;». Μην βιάζεσαι και θα δεις τι υπάρχει στο παρασκήνιο μέσα από τον ακόλουθο διάλογο. Καθηγητής: Είναι λβ! = 1 , σωστά; x ∆εν είδα να θέτεις περιορισμό στον παρονομαστή όμως. Μαθητής: Ναι, σωστά, το ξέχασα. Πρέπει να είναι x ≠ 0 . Κ: ∆εν έπρεπε να το ξεχάσεις, αλλά αλλού είναι το θέμα. Γιατί όμως πρέπει να είναι x ≠ 0 ; Μ: Μα, για να ορίζεται το κλάσμα, φυσικά! Αφού απαγορεύεται να έχουμε μηδέν σε παρονομαστή! Τι ερώτηση είναι αυτή; Κ: Και τι πειράζει, αν είναι x = 0 ; Μ: Μα, δεν θα ορίζεται το κλάσμα! ∆εν σε καταλαβαίνω, δάσκαλε. Κ: Θα καταλάβεις σύντομα. ! Το κλάσμα αυτό δεν παριστάνει τον συντελεστή διεύθυνσης του β ; Όταν πεις «πρέ- ! πει να είναι x ≠ 0 » δεν λες ότι πρέπει να ορίζεται ο συντελεστής διεύθυνσης του β ; - 87 - ∆ημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος • Μαθηματικό στέκι • www.mathsteki.gr
Κεφάλαιο 1 - ∆ιανύσματα Παράγραφος 4 - Συντεταγμένες στο επίπεδο Ρωτώ, λοιπόν: γιατί πρέπει να ορίζεται αυτός; Λέει η θεωρία ότι ο συντελεστής διεύθυνσης ορίζεται σε όλα τα διανύσματα ανε- ξαιρέτως ; Μ: Εεεε, δεν λέει κάτι τέτοιο. Κ: Αχα! Για πες τι λέει. Μ: Λέει ότι, όταν ένα διάνυσμα είναι κάθετο στον άξονα x’x, τότε δεν ορίζεται ο συ- ντελεστής διεύθυνσής του. Κ: Αυτό ισχύει και αντίστροφα, σωστά; Μ: Ναι, ισχύει και αντίστροφα. Κ: Επομένως, αν είναι x = 0 , τότε δεν ορίζεται ο λ ! . β Υπάρχει πρόβλημα με αυτό στην θεωρία; Μ: Όχι, δεν υπάρχει. Κ: Καταλαβαίνεις πού το πάω; Μ: ... Κ: Να σου εξηγήσω, επομένως. Αν πεις «Πρέπει να είναι x ≠ 0 », τότε λες -με απλά λόγια- ότι «Οπωσδήποτε πρέπει να ορίζεται ο λβ! ». Εδώ θα έρθει η ερώτηση «Κ!αι αν δεν ορίζεται, τι πρόβλημα υπάρχει;», στην οποία η απάντηση είναι «Τότε, το β θα είναι κάθετο στον x’x». Αυτό θα φέρει την ερώτηση «Απαγορεύεται να!\"είναι έτσι τα πράγματα;», στην οποία η απάντηση είναι «Ναι, διότι τότε και το α θα έπρεπε να είναι κάθετο στον - 88 - ∆ημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος • Μαθηματικό στέκι • www.mathsteki.gr
Κεφάλαιο 1 - ∆ιανύσματα Παράγραφος 4 - Συντεταγμένες στο επίπεδο x’x, το οποίο όμως δεν συμβαίνει (το καταλαβαίνω από τις συντεταγμένες του)». Μ: Άρα είναι x ≠ 0 , δεν «πρέπει να είναι» x ≠ 0 ! Κ: Α γειά σου! Μ: Και θα πρέπει να πω όλα αυτά; Κ: ... Μ: Πλάκα με κάνεις! Κ: Καθόλου! Πρέπει να γράψεις όλες αυτές σου τις διαπιστώσεις! Πρέπει να γράψεις αυτό το σκεπτικό που σε οδηγεί στην διαπίστωση ότι είναι x ≠ 0 και όχι ότι «πρέπει να είναι» x ≠ 0 . Για να στο πω λιανά, και να ήθελε το x να γίνει μηδέν δεν μπορεί, διότι τότε δημι- ουργείται ασυμφωνία με στοιχεία της άσκησης, οδηγείσαι σε άτοπο δηλαδή. Μ: Πλάκα με κάνεις! Κ: Κατάλαβες τώρα γιατί σε είπα νωρίτερα να αποφεύγεις την τρίτη μορφή της συν- θήκης παραλληλίας; Πρόσεξε όμως! ∆εν λέω να μην την μάθεις! ∆εν λέω να μην την θυμάσαι! Θα υπάρξουν ασκήσεις στις οποίες αναγκαστικά θα πρέπει να δουλέψεις με αυτήν την μορφή. Σου λέω ότι, αν πρόκειται να επιλέξεις την κατάλληλη μορφή της συνθήκης παραλ- ληλίας, τότε η πρώτη σου σκέψ!η\" να ε\"ίναι η δεύτερη μορφή (με την ορίζουσα), εναλλακτικά η πρώτη μορφή ( α = λβ ). - 89 - ∆ημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος • Μαθηματικό στέκι • www.mathsteki.gr
Κεφάλαιο 1 - ∆ιανύσματα Παράγραφος 4 - Συντεταγμένες στο επίπεδο Κατάλαβες σε τι περιπέτειες διερεύνησης μπορεί να σε βάλει (χωρίς να αξίζει) η τρίτη μορφή; Μ: Yes sir! Κ: Class dismissed (που λέγαν κι οι αρχαίοι Έλληνες). - 90 - ∆ημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος • Μαθηματικό στέκι • www.mathsteki.gr
Στο «Μαθηματικό στέκι» θα βρεις την αναλυτικότερη θεωρία - μεθοδολογία και τις αναλυτικότερα λυμένες ασκήσεις του διαδικτύου Μαθηματικό στέκι www.mathsteki.gr
Search
