ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ - Κεφ.2 - Ερωτήσεις κατανόησης

Α΄ Λυκείου - Άλγεβρα Οι πραγµατικοί αριθµοί Ερωτήσεις κατανόησης 2ου κεφαλαίου ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Νέα Μουδανιά • Νοέµβριος 2021

Ά λγε β ρ α Α ΄Λ υκε ί ου Κεφάλαιο 2 • Οι πραγµατικοί αριθµοί Ερωτήσεις κατανόησης 2ου κεφαλαίου Οµάδα Ι, σελίδα 76 ❖ Ερώτηση 1 Αν ισχύουν ⎪⎪⎧⎪⎪⎪⎨⎩ α = β και ⎬⎪⎫⎪⎪⎪⎪⎭ , τότε ισχύει και α + γ = β + δ , αλλά όχι αντίστροφα. γ=δ Άρα, ο ισχυρισμός είναι ψευδής. ❖ Ερώτηση 2 Από την σχέση α2 = αβ προκύπτει α2 − αβ = 0 ⇔ α(α − β) = 0 ⇔ α = 0 ή α − β = 0 ⇔ α = 0 ή α = β . Άρα, ο ισχυρισμός είναι ψευδής. ❖ Ερώτηση 3 Είναι (α + β)2 = α2 + β2 + 2αβ , βάσει της βασικής ταυτότητας της Άλγεβρας. Άρα, ο ισχυρισμός είναι ψευδής. ❖ Ερώτηση 4 Αν θεωρήσουμε τους αριθμούς α = 2 + 3 , β = 2 − 3 , οι οποίοι είναι άρρητοι, τότε είναι α+β = 2+ 3 +2− 3 = 4, που είναι ρητός αριθμός. Αυτό σημαίνει ότι ο ισχυρισμός είναι ψευδής. -1 - Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηματικών • www.mathsteki.gr

Ά λγε β ρ α Α ΄Λ υκε ί ου Κεφάλαιο 2 • Οι πραγµατικοί αριθµοί ❖ Ερώτηση 5 Αν θεωρήσουμε τους αριθμούς α = 2 + 3 , β = 2 − 3 , οι οποίοι είναι άρρητοι, τότε είναι ( )( )α ⋅ β = 2 + 3 2 − 3 = 22 − 3 2 = 4 − 3 = 1 , που είναι ρητός αριθμός. Αυτό σημαίνει ότι ο ισχυρισμός είναι ψευδής. ❖ Ερώτηση 6 Είναι ⎧⎪⎪⎩⎪⎪⎨ ⎪⎪⎪⎭⎬⎪⎫ ⇔ ⎨⎪⎪⎧⎪⎩⎪ ⎪⎪⎫⎬⎪⎭⎪ . α>β α>β γ<δ −γ > −δ Προσθέτοντας κατά μέλη τις ανισότητες, προκύπτει α − γ > β − δ , οπότε ο ισχυρισμός είναι αληθής. ❖ Ερώτηση 7 Από την σχέση α2 > αβ προκύπτει α2 − αβ > 0 ⇔ α(α − β) > 0 , από όπου δεν προκύπτει όμως ότι είναι α > 0 και α − β > 0 , δηλαδή ότι α > β , αφού και αν είναι α < 0 και α − β < 0 , τότε πάλι θα είναι α(α − β) > 0 . Άρα, ο ισχυρισμός είναι ψευδής. ❖ Ερώτηση 8 Από την σχέση α > 1 προκύπτει β α α−β β −1> 0 ⇔ β >0. Επειδή το πρόσημο ενός πηλίκου και ενός γινομένου συμπεριφέρονται με τον ίδιο τρό- πο, από την τελευταία ανισότητα προκύπτει η ισοδύναμη β(α − β) > 0 , από όπου δεν προκύπτει όμως ότι είναι β > 0 και α − β > 0 , δηλαδή ότι α > β , αφού και αν είναι β < 0 και α − β < 0 , τότε πάλι θα είναι β(α − β) > 0 . Άρα, ο ισχυρισμός είναι ψευδής. -2 - Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηματικών • www.mathsteki.gr

Ά λγε β ρ α Α ΄Λ υκε ί ου Κεφάλαιο 2 • Οι πραγµατικοί αριθµοί ❖ Ερώτηση 9 Είναι ⎪⎧⎨⎪⎪⎩⎪ α>β ⎪⎪⎪⎬⎫⎪⎭ , από όπου με κατά μέλη πρόσθεση προκύπτει 2α > 0 ⇔ α > 0 . α > −β Άρα, ο ισχυρισμός είναι αληθής. ❖ Ερώτηση 10 Παρατηρώ ότι, αν είναι α = 1 , τότε από την σχέση α > 1 προκύπτει 1 > 2 , το 2 α 2 οποίο προφανώς είναι άτοπο. Άρα, ο ισχυρισμός είναι ψευδής. ❖ Ερώτηση 11 Από την σχέση α < β προκύπτει −α > −β ⇔ (−α)2 > (−β)2 ⇔ α2 > β2 , που σημαίνει ότι ο ισχυρισμός είναι αληθής (ύψωσα τα μέλη στο τετράγωνο, διότι −α > 0 , − β > 0 ). ❖ Ερώτηση 12 Θεωρώντας α = 1 , β = 2 , είναι αβ = 1 ⋅ 2 = 2 < 6 , δηλαδή η πρόταση δεν ισχύει. Άρα, ο ισχυρισμός είναι ψευδής. ❖ Ερώτηση 13 Είναι ⎪⎧⎩⎨⎪⎪⎪ ⎬⎫⎪⎪⎭⎪⎪ ⇔ ⎪⎩⎧⎪⎪⎨⎪ ⎪⎫⎭⎬⎪⎪⎪ . α < −2 −α > 2 β < −3 −β > 3 Πολλαπλασιάζοντας κατά μέλη τις ανισότητες αυτές προκύπτει (−α) ⋅ (−β) > 6 ⇔ αβ > 6 . Άρα, ο ισχυρισμός είναι αληθής. -3 - Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηματικών • www.mathsteki.gr

Ά λγε β ρ α Α ΄Λ υκε ί ου Κεφάλαιο 2 • Οι πραγµατικοί αριθµοί ❖ Ερώτηση 14 Είναι 4α2 − 20αβ + 25β2 ≥ 0 ⇔ (2α)2 − 2 ⋅ 2α ⋅ 5β + (5β)2 ≥ 0 ⇔ (2α − 5β)2 ≥ 0 , που ισχύει για κάθε α , β ∈ ! . Άρα, ο ισχυρισμός είναι αληθής. ❖ Ερώτηση 15 Γενικώς, ισχύει x2 + y2 = 0 ⇔ x = 0 και y = 0 , ενώ είναι x2 + y2 > 0 ⇔ x ≠ 0 ή y ≠ 0 , δηλαδή αν και μόνο αν οι βάσεις των τετραγώνων δεν μηδενίζονται ταυτόχρονα. Είναι α − 1 = 0 ⇔ α = 1 και α + 1 = 0 ⇔ α = −1 , δηλαδή διαφορετικοί αριθμοί μηδενίζουν τις βάσεις των τετραγώνων του δοθέντος αθροίσματος, άρα αυτές δεν μηδενίζονται ταυτόχρονα. Επομένως είναι (α − 1)2 + (α + 1)2 > 0 , δηλαδή ο ισχυρισμός είναι αληθής. ❖ Ερώτηση 16 Παρατηρώ ότι για α = −1 είναι α2 − 1 = (−1)2 − 1 = 1 − 1 = 0 και α + 1 = −1 + 1 = 0 , δηλαδή οι βάσεις των τετραγώνων του δοθέντος αθροίσματος μηδενίζονται ταυτόχρονα για α = −1 . Επομένως είναι (α2 − 1)2 + (α + 1)2 ≥ 0 και όχι > 0 , συνεπώς ο ισχυρισμός είναι ψευ- δής. -4 - Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηματικών • www.mathsteki.gr

Ά λγε β ρ α Α ΄Λ υκε ί ου Κεφάλαιο 2 • Οι πραγµατικοί αριθµοί ❖ Ερώτηση 17 Είναι (α + β)2 + (α − β)2 = 0 ⇔ ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎧⎨ ⎬⎪⎪⎫⎪⎭⎪⎪ . α + β = 0 και α−β= 0 Προσθέτοντας κατά μέλη τις δύο εξισώσεις του συστήματος, προκύπτει 2α = 0 ⇔ α = 0 . Τότε από την εξίσωση α + β = 0 εύκολα προκύπτει και β = 0 . Άρα, ο ισχυρισμός είναι αληθής. ❖ Ερώτηση 18 Ισχύει: ( )α + β = α + β ⇔ α + β 2 = α + β 2 ⇔ (α + β)2 = α 2 + β 2 + 2 α ⋅ β ⇔ ⇔ α2 + β2 + 2αβ = α2 + β2 + 2 αβ ⇔ 2αβ = 2 αβ ⇔ αβ = αβ ⇔ αβ ≥ 0 . Άρα, ο ισχυρισμός είναι αληθής. ❖ Ερώτηση 19 Από την σχέση α2 = β προκύπτει α = β ή α = − β . Άρα, ο ισχυρισμός είναι ψευδής. ❖ Ερώτηση 20 Είναι α2 = α , οπότε ο ισχυρισμός είναι ψευδής. ❖ Ερώτηση 21 Ο ισχυρισμός είναι αληθής (βασική ιδιότητα της θεωρίας). ❖ Ερώτηση 22 Για να έχουν νόημα οι α , β , πρέπει να είναι α ≥ 0 και β ≥ 0 . Αν είναι α ≤ 0 και β ≤ 0 , τότε πάλι είναι αβ ≥ 0 , αλλά δεν έχουν νόημα οι α , β . Άρα, ο ισχυρισμός είναι ψευδής. -5 - Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηματικών • www.mathsteki.gr

Ά λγε β ρ α Α ΄Λ υκε ί ου Κεφάλαιο 2 • Οι πραγµατικοί αριθµοί ❖ Ερώτηση 23 Είναι α2β = α ⋅ β , οπότε ο ισχυρισμός είναι ψευδής. ❖ Ερώτηση 24 Ο ισχυρισμός είναι ψευδής. ❖ Ερώτηση 25 Είναι 6 α3 = 3⋅2 α3⋅1 = 2 α1 = α , που έχει νόημα για α ≥ 0 . Άρα, ο ισχυρισμός είναι αληθής. 31 Επίσης, μπορούμε να γράψουμε 6 α3 = α 6 = α 2 = α . ❖ Ερώτηση 26 Είναι 4 α2 = 2⋅2 α2⋅1 = 2 α1 = α , που έχει νόημα όμως μόνο για α ≥ 0 . Άρα, ο ισχυρισμός είναι ψευδής. 21 Επίσης, μπορούμε να γράψουμε 4 α2 = α 4 = α 2 = α . ❖ Ερώτηση 27 Είναι 525 > 255 ⇔ 525 > (52)5 ⇔ 525 > 510 , που ισχύει. Άρα, ο ισχυρισμός είναι αληθής. ❖ Ερώτηση 28 Είναι 1122 > 2211 ⇔ 1122 > (2 ⋅ 11)11 ⇔ 1122 > 211 ⋅ 1111 ⇔ 1122 > 211 ⇔ 1111 > 211 , 1111 που ισχύει. Άρα, ο ισχυρισμός είναι αληθής. -6 - Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηματικών • www.mathsteki.gr

Ά λγε β ρ α Α ΄Λ υκε ί ου Κεφάλαιο 2 • Οι πραγµατικοί αριθµοί Οµάδα ΙΙ, σελίδα 77 ❖ Ερώτηση 1 Αφού 2 < x < 5 , είναι: • x > 2 ⇔ x − 2 > 0 , οπότε x − 2 = x − 2 . • x < 5 ⇔ x − 5 < 0 , οπότε x − 5 = 5 − x . Άρα είναι x−2 + x−5 = x −2+5− x = 3, οπότε σωστή απάντηση είναι η Δ. ❖ Ερώτηση 2 Αφού 10 < x < 20 , είναι: • x > 10 ⇔ x − 10 > 0 , οπότε x − 10 = x − 10 . • x < 20 ⇔ x − 20 < 0 , οπότε x − 20 = −(x − 20) . Άρα είναι x − 10 + x − 20 = x − 10 + −(x − 20) = 1−1= 0, x − 10 x − 20 x − 10 x − 20 οπότε σωστή απάντηση είναι η Δ. ❖ Ερώτηση 3 Είναι β = 2 = 2 21 = 2⋅3 21⋅3 = 6 23 = 6 8 . Επίσης, γ = 3 3 = 3 ⋅2 31⋅2 = 6 32 = 6 9 . Άρα είναι α = 6 10 , β = 6 8 , γ = 6 9 . Είναι 8 < 9 < 10 , οπότε και 6 8 < 6 9 < 6 10 ⇔ β < γ < α , άρα σωστή απάντηση είναι η Δ. -7 - Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηματικών • www.mathsteki.gr

Ά λγε β ρ α Α ΄Λ υκε ί ου Κεφάλαιο 2 • Οι πραγµατικοί αριθµοί ❖ Ερώτηση 4 Είναι ( )9 + 4 5 = 4+5+4 5 = 22 + 2 5 = 2 5 +2⋅2⋅ 2+ 5 = 2+ 5 =2+ 5 , αφού προφανώς είναι 2 + 5 > 0 . Άρα, σωστή απάντηση είναι η Γ. Οµάδα ΙΙΙ, σελίδα 77 Είναι: • 0 < α < 1 ⇔ α ⋅α2 < 1⋅α2 ⇔ α3 < α2 . α>0 • 0 < α < 1 ⇔ α ⋅α < 1⋅α ⇔ α2 < α ⇔ α2 < α ⇔ α < α ⇔ α < α . • α<β⇔ α < β . β>1 • β > 1 ⇔ β ⋅ β > 1 ⋅ β ⇔ β2 > β ⇔ β2 > β ⇔ β > β ⇔ β > β . • β2 > β ⇔ β2 ⋅ β > β ⋅ β ⇔ β3 > β2 . Από τα προηγούμενα προκύπτουν οι ακόλουθες αντιστοιχίσεις: Γ → α3 , Δ → α2 , Ε → α , Ζ → β , Η → β2 , Θ → β3 . -8 - Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηματικών • www.mathsteki.gr

Μόνο εδώ θα βρεις τα αναλυτικότερα βιβλία Μαθηµατικών του διαδικτύου!