Άλγεβρα Α Λυκείου - Κεφάλαιο 5 - Παράγραφος 5.2 (θεωρία)

Α΄ Λυκείου - Άλγεβρα Πρόοδοι Παράγραφος 5.2 Αριθµητική πρόοδος ΘΕΩΡΙΑ - ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ Νέα Μουδανιά • Δεκέµβριος 2021

~ Περιεχόμενα παραγράφου 2 ~ 1. Τι είναι αριθμητική πρόοδος .........................................................................................................................................9 2. Πώς θα εξετάσεις αν μια ακολουθία είναι αριθμητική πρόοδος ή όχι ................................................9 3. ν-οστός (γενικός) όρος μιας αριθμητικής προόδου ....................................................................................10 4. Αριθμητικός μέσος δύο αριθμών ∆ιαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου ..............................................................................................................11 5. Άθροισμα ν διαδοχικών όρων αριθμητικής προόδου ...............................................................................12

Ά λγε β ρ α Α ΄Λ υκε ί ου ΠΑΡΑΓΡΑΦΟΣ 2 Κεφάλαιο 5 • Πρόοδοι Αριθµητική πρόοδος 1. Τι είναι αριθµητική πρόοδος; Η αριθμητική πρόοδος είναι ένα ιδιαίτερο είδος ακολουθίας. Συγκεκριμένα, μια ακολουθία λέγεται αριθμητική πρόοδος, αν κάθε όρος της προκύπτει από τον προηγούμενό του με πρόσθεση του ίδιου πάντοτε αριθμού. Τον αριθμό αυτόν τον συμβολίζουμε με ω και τον λέμε διαφορά της προόδου. Επομένως, η ακολουθία (αν) είναι αριθμητική πρόοδος με διαφορά ω, αν και μόνο αν ισχύει αν+1 = αν + ω ⇔ αν+1 − αν = ω . 2. Πώς θα εξετάσεις αν µια ακολουθία είναι αριθµητική πρόοδος ή όχι Αν δίνεται ο ν-οστός όρος της ακολουθίας (αν) , δημιούργησε την διαφορά αν+1 − αν . • Αν το αποτέλεσμα προκύψει σταθερός αριθμός, τότε η ακολουθία είναι αριθμητική πρόοδος. Μάλιστα, ο σταθερός αριθμός που θα έχει προκύψει θα δώσει και την διαφορά της προόδου. • Αν στο αποτέλεσμα δεν προκύψει σταθερός αριθμός αλλά μια παράσταση του ν, τότε η ακολουθία δεν είναι αριθμητική πρόοδος. Αν ζητείται να δείξεις ότι η ακολουθία είναι αριθμητική πρόοδος, τότε θα πρέπει η διαφορά αν+1 − αν να προκύψει σταθερός αριθμός. -9 - Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηματικών • www.mathsteki.gr

Ά λγε β ρ α Α ΄Λ υκε ί ου Κεφάλαιο 5 • Πρόοδοι Παράδειγµα 7 Ας εξετάσουμε αν η ακολουθία αν = 12 − 4ν είναι αριθμητική πρόοδος ή όχι. Είναι ( ) ( )αν+1 − αν = 12 − 4 ν + 1 − 12 − 4ν = 12 − 4ν − 4 − 12 + 4ν = −4 ⇔ αν+1 − αν = −4 , συνεπώς η (αν) είναι αριθμητική πρόοδος. Μάλιστα, η διαφορά της προόδου είναι ω = −4 . Παράδειγµα 8 Ας εξετάσουμε αν η ακολουθία αν = ν2 + ν είναι αριθμητική πρόοδος ή όχι. Είναι ( ) ( )αν+1 − αν = ν + 1 2 + ν + 1 − ν2 + ν = ν2 + 2ν + 1 + ν + 1 − ν2 − ν = 2ν + 2 , συνεπώς η (αν) δεν είναι αριθμητική πρόοδος (αφού η παραπάνω διαφορά δεν προ- έκυψε να είναι σταθερός αριθμός, αλλά εξαρτάται από το ν). Στην διαφορά αν+1 − αν θα στηριχθείς και αν πρέπει να βρεις την διαφορά μιας αριθ- μητικής προόδου. 3. ν-οστός (γενικός) όρος µιας αριθµητικής προόδου Σε μια αριθμητική πρόοδο, αν γνωρίζεις τον πρώτο όρο της α1 και την διαφορά ω της προόδου, τότε ο αναδρομικός τύπος αν+1 = αν + ω δίνει, με διαδοχικά βήματα, οποιον- δήποτε όρο της προόδου. Όμως η ακόλουθη σχέση δίνει ευκολότερα τον επιθυμητό όρο της προόδου: Ο ν-οστός όρος μιας αριθμητικής προόδου, με πρώτο α1 και διαφορά ω, είναι ( )αν = α1 + ν − 1 ⋅ ω . Η σχέση αυτή μάς επιτρέπει να βρούμε οποιονδήποτε όρο της προόδου χρειαστεί. Αρκεί να γνωρίζουμε τον πρώτο όρο και την διαφορά της προόδου. - 10 - Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηματικών • www.mathsteki.gr

Ά λγε β ρ α Α ΄Λ υκε ί ου Κεφάλαιο 5 • Πρόοδοι Για παράδειγμα, στην αριθμητική πρόοδο 3, 5, 7, 9, ..., η οποία έχει πρώτο όρο α1 = 3 και διαφορά ω = 5 − 3 = 2 , ο ν-οστός όρος της είναι ( )αν = 3 + ν − 1 ⋅ 2 = 3 + 2ν − 2 ⇔ αν = 2ν + 1 . Έτσι: • ο 20ος όρος της είναι α20 = 2 ⋅ 20 + 1 = 41 , • ο 100ος όρος της είναι α100 = 2 ⋅ 100 + 1 = 201 κ.ο.κ. ( )Η σχέση αν = α1 + ν − 1 ⋅ ω είναι βασικότατη στις ασκήσεις της αριθμητικής προόδου και θα την χρειαστείς πολλές φορές. 4. Αριθµητικός µέσος δύο αριθµών Διαδοχικοί όροι αριθµητικής προόδου Για τρεις όρους μιας αριθμητικής προόδου, ισχύει το εξής: Οι α, β, γ είναι διαδοχικοί όροι μιας αριθμητικής προόδου, αν και μόνο αν ισχύει β= α+γ ⇔ α + γ = 2β . 2 (Να προτιμάς να χρησιμοποιείς την ισότητα α + γ = 2 β ). O αριθμός α+γ λέγεται αριθμητικός μέσος των α και γ. 2 Στις ασκήσεις, η παραπάνω πρόταση αντιμετωπίζεται ως εξής: α) αν πρέπει να εξετάσεις αν τρεις αριθμοί α, β, γ είναι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου, τότε πρέπει να εξετάσεις αν ισχύει α + γ = 2 β . • Αν ισχύει α + γ = 2 β , τότε οι τρεις αριθμοί είναι διαδοχικοί όροι. • Αν δεν ισχύει α + γ = 2 β , τότε οι τρεις αριθμοί δεν είναι διαδοχικοί όροι. - 11 - Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηματικών • www.mathsteki.gr

Ά λγε β ρ α Α ΄Λ υκε ί ου Κεφάλαιο 5 • Πρόοδοι β) αν πρέπει να δείξεις ότι τρεις αριθμοί α, β, γ είναι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου, τότε πρέπει να δείξεις ότι ισχύει α + γ = 2 β . γ) αν δίνεται ότι (ξέρεις ότι) τρεις αριθμοί α, β, γ είναι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου, τότε ξέρεις ότι ισχύει α + γ = 2 β . Τι θα δώσει αυτή η σχέση και πώς θα την εκμεταλλευτείς στην άσκηση, εξαρτάται από την άσκηση φυσικά. Σύμφωνα με τον ορισμό της αριθμητικής προόδου, τρεις αριθμοί α, β, γ είναι διαδοχι- κοί όροι αριθμητικής προόδου και όταν ισχύουν β − α = ω και γ − β = ω , όπου ω η διαφορά της προόδου. 5. Άθροισµα ν διαδοχικών όρων αριθµητικής προόδου Τα αθροίσματα όρων σε μια αριθμητική πρόοδο είναι από τα χαρακτηριστικά θέματα στις ασκήσεις. Ισχύει το εξής: Το άθροισμα των πρώτων ν όρων αριθμητικής προόδου (αν) με διαφορά ω, είναι ν( )Sν =⋅ 2 α1 + αν . Ο τύπος αυτός μπορεί να χρησιμοποιηθεί όταν γενικώς αναφέρεται άθροισμα όρων μιας αριθμητικής προόδου σε μια άσκηση. Υπάρχουν δύο χαρακτηριστικές περιπτώσεις εδώ: ❖ 1η περίπτωση Όταν η αριθμητική πρόοδος δίνεται μέσω ενός πλήθους πρώτων όρων της α1 , α2 , α3 ,... και ζητείται να βρεθεί το άθροισμα συγκεκριμένου πλήθους όρων της (π.χ. να βρεθεί το άθροισμα των πρώτων 15 όρων ή των πρώτων 50 όρων της). Στον τύπο: • ν είναι το πλήθος των όρων του αθροίσματος. • α1 είναι ο πρώτος όρος της προόδου. • αν είναι ο τελευταίος όρος του αθροίσματος - 12 - Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηματικών • www.mathsteki.gr

Ά λγε β ρ α Α ΄Λ υκε ί ου Κεφάλαιο 5 • Πρόοδοι (π.χ. στο άθροισμα των πρώτων 15 όρων, αν είναι ο α15 , στο άθροισμα των πρώτων 50 όρων, αν είναι ο α50 κ.ο.κ.). Παράδειγµα 9 Δίνεται η αριθμητική πρόοδος 1, 2, 3, 4, ... και ζητείται να βρεθεί το άθροισμα των 100 πρώτων όρων της. ( )Στον τύπο ν Sν = 2 ⋅ α1 + αν είναι ν = 100 , α1 = 1 , αν = α100 = 100 , οπότε ( )S100 =100 2 ⋅ 1 + 100 = 50 ⋅101 = 5050 . ❖ 2η περίπτωση Όταν ζητείται ο υπολογισμός αθροίσματος της μορφής α1 + α2 + α3 + ... + αν (π.χ. 7 + 10 + 13 + ... + 157 ), χωρίς να αναφέρεται όμως ότι οι όροι του αθροίσματος είναι όροι αριθμητικής προόδου. Επίσης, από το άθροισμα δεν προκύπτει άμεσα ποιο είναι το πλήθος των όρων του αθροίσματος. Δες τι πρέπει να κάνεις μέσω του ακόλουθου παραδείγματος. Παράδειγµα 10 Να υπολογίσετε το άθροισμα 7 + 10 + 13 + ... + 157 . ~ Λύση ~ 1ο βήμα Πρέπει να διαπιστώσεις αν οι αριθμοί του αθροίσματος είναι όροι αριθμητικής προόδου (στην επόμενη παράγραφο θα δεις ένα ακόμη είδος ακολουθίας, την γεωμε- τρική πρόοδο, οπότε τότε, σε ανάλογο άθροισμα, θα υπάρχει η ερώτηση: οι όροι του αθροίσματος, είναι όροι αριθμητικής ή γεωμετρικής προόδου; Η απάντηση θα καθορί- σει και το πώς θα συνεχίσεις). Επειδή είναι 10 − 7 = 3 και 13 − 10 = 3 , δηλαδή επειδή η διαφορά δύο ζευγών διαδο- χικών όρων του αθροίσματος είναι σταθερή, οι όροι του αθροίσματος είναι διαδοχικοί όροι μιας αριθμητικής προόδου. - 13 - Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηματικών • www.mathsteki.gr

Ά λγε β ρ α Α ΄Λ υκε ί ου Κεφάλαιο 5 • Πρόοδοι Έτσι, μέχρι στιγμής, για το άθροισμα, άρα και για το τι θα βάλεις και πού στον τύπο ν( )Sν = 2 ⋅ α1 + αν , έχεις ότι: • οι όροι του είναι όροι αριθμητικής προόδου (βασικό για την συνέχεια), • είναι α1 = 7 και αν = 157 , • η διαφορά της προόδου είναι ω = 3 , από τις διαφορές που βρήκες στην αρχή. Να σημειώσω εδώ ότι το α1 = 7 δεν είναι κατ’ ανάγκη και ο πρώτος όρος της αριθμη- τικής προόδου από την οποία προέρχονται οι όροι του αθροίσματος. Στον τύπο ( )Sν = ν ⋅ 2 α1 + αν είναι ο πρώτος όρος του αθροίσματος. Στον ίδιο τύπο, το αν δεν είναι ο ν-οστός όρος ( )της προόδου, δηλαδή δεν αντικαθιστούμε το αν από τον τύπο αν = α1 + ν − 1 ω , αλλά είναι ο τελευταίος όρος του αθροίσματος. 2ο βήμα Πρέπει να βρεις πόσους όρους έχει το άθροισμα, δηλαδή να βρεις ποιον αριθμό θα βάλεις στην θέση του ν στον παραπάνω τύπο του αθροίσματος. ( )Αυτό θα το βρεις από την σχέση αν = α1 + ν − 1 ω , στην οποία θα θέσεις στην θέση του αν τον τελευταίο όρο του αθροίσματος, στην θέση του α1 τον πρώτο όρο του αθροίσματος και στην θέση του ω την διαφορά που βρήκες στο 1ο βήμα. Στο παράδειγμά μας επομένως, είναι αν = 157 , α1 = 7 , ω = 3 , οπότε 157 = 7 + (ν − 1) ⋅ 3 ⇔ 3(ν − 1) = 150 ⇔ ν − 1 = 50 ⇔ ν = 51 . Έτσι, το άθροισμα έχει 51 όρους, οπότε τελικά είναι ( )S51 =51 = 51 2 ⋅ 7 + 157 2 ⋅ 164 = 51 ⋅ 82 = 4182 . - 14 - Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηματικών • www.mathsteki.gr

Ά λγε β ρ α Α ΄Λ υκε ί ου Κεφάλαιο 5 • Πρόοδοι Για αθροίσματα όρων αριθμητικής προόδου, υπάρχει και ένας ακόμη τύπος. ( ) ( )Επειδή είναι αν = α1 + ν ν−1 ⋅ ω , ο τύπος Sν = 2 ⋅ α1 + αν γράφεται ( )Sν = ν 2 ⋅ ⎣⎡⎢2α1 + ν−1 ⋅ ω⎥⎦⎤ . Και αυτός ο τύπος μπορεί να χρησιμοποιηθεί όταν γενικώς αναφέρεται άθροισμα όρων μιας αριθμητικής προόδου σε μια άσκηση. Και εδώ, υπάρχουν δύο χαρακτηριστικές περιπτώσεις: ❖ 1η περίπτωση Όπως και στην 1η περίπτωση της σελίδας 12: Όταν η αριθμητική πρόοδος δίνεται μέσω ενός πλήθους πρώτων όρων της α1 , α2 , α3 ,... και ζητείται να βρεθεί το άθροισμα συγκεκριμένου πλήθους όρων της (π.χ. να βρεθεί το άθροισμα των πρώτων 15 όρων ή των πρώτων 50 όρων της). Τότε, στον τύπο: • ν είναι το πλήθος των όρων του αθροίσματος. • α1 είναι ο πρώτος όρος της προόδου. • ω είναι η διαφορά της προόδου. Παράδειγµα 11 Δίνεται η αριθμητική πρόοδος 1, 2, 3, 4, ... και ζητείται να βρεθεί το άθροισμα των 100 πρώτων όρων της. ( )Στον τύπο Sν =ν 2 ⋅ ⎣⎢⎡2α1 + ν − 1 ω⎥⎤⎦ είναι ν = 100 , α1 = 1 , ω = 2 − 1 = 4 − 3 = 1 , άρα ( ) ( )S100 =100 2 ⋅ ⎢⎣⎡2 ⋅1 + 100 − 1 ⋅1⎤⎥⎦ = 50 2 + 99 = 50 ⋅101 = 5050 . - 15 - Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηματικών • www.mathsteki.gr

Ά λγε β ρ α Α ΄Λ υκε ί ου Κεφάλαιο 5 • Πρόοδοι ❖ 2η περίπτωση Όταν δίνεται μια αριθμητική πρόοδος και ζητείται να βρεθεί το πλήθος των όρων που πρέπει να πάρουμε από αυτήν, ώστε να προκύψει συγκεκριμένο άθροισμα. Το ακόλουθο παράδειγμα θα σε βοηθήσει να καταλάβεις αυτήν την περίπτωση. Παράδειγµα 12 Πόσους όρους πρέπει να πάρουμε από την αριθμητική πρόοδο 52, 47, 42, ..., ώστε να προκύψει άθροισμα ίσο με 90; ~ Λύση ~ Επειδή είναι 47 − 52 = −5 , 42 − 47 = −5 , η διαφορά της προόδου είναι ω = −5 . ( )Στον τύπο Sν =ν 2 ⋅ ⎢⎣⎡2α1 + ν − 1 ω⎤⎦⎥ είναι α1 = 52 , ω = −5 , Sν = 90 , άρα έχουμε 90 = ν ⋅ ⎢⎣⎡2 ⋅ 52 + (ν − 1) ⋅(−5)⎦⎥⎤ ⇔ 180 = ν(104 − 5ν + 5) ⇔ 180 = ν(109 − 5ν) ⇔ 2 ⇔ 180 = 109ν − 5ν2 ⇔ 5ν2 − 109ν + 180 = 0 . Η διακρίνουσα της εξίσωσης αυτής είναι Δ = (−109)2 − 4 ⋅ 5 ⋅180 = 11881 − 3600 = 8281 , οπότε αυτή έχει δύο άνισες ρίζες, τις ν1,2 = 109 ± 8281 = 109 ± 91 ⇔ ν1 = 20 , ν2 = 9 . 2⋅5 10 5 Η λύση ν2 = 9 απορρίπτεται, διότι ν ∈ !* . 5 Επομένως είναι ν = 20 , δηλαδή πρέπει να πάρουμε 20 όρους από την αριθμητική πρόοδο, ώστε να προκύψει άθροισμα ίσο με 90. - 16 - Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηματικών • www.mathsteki.gr



Μόνο εδώ θα βρεις τα αναλυτικότερα βιβλία Μαθηµατικών του διαδικτύου!