ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ Β ΛΥΚΕΙΟΥ - Ευθείες - Παράγραφος 2 (ασκήσεις Κ2)

Β’ ΛΥΚΕΙΟΥ - ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Η ευθεία στο επίπεδο Παράγραφος 2 Γενική μορφή εξίσωσης ευθείας ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Κατηγορία 2 Νέα Μουδανιά • Αύγουστος 2020



Λ Υ Μ Ε Ν Ε Σ Α Σ Κ Η Σ Ε Ι Σ 2 η κ α τ η γ ο ρ ί α α σ κ ή σ ε ω νΜαθηματικά Προσανατολισμού Β΄Λυκείου • ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 • Η ευθεία στο επίπεδο ΠΑΡΑΓΡΑΦΟΣ 2. Γενική µορφή εξίσωσης ευθείας Η εξίσωση Ax + By + Γ = 0 (µε παραµετρικούς συντελεστές) • Ευθείες που διέρχονται από σταθερό σηµείο • Σχετική θέση δύο ευθειών • Διάνυσµα παράλληλο, διάνυσµα κάθετο σε µια ευθεία • Οξεία γωνία δύο ευθειών Εισαγωγικό σχόλιο Οι ασκήσεις αυτής της κατηγορίας είναι ιδιαιτέρως χαρακτηριστικές και εύκολα ανα- γνωρίσιμες, ιδίως αυτές που έχουν εξισώσεις της μορφής Ax + By + Γ = 0 με παραμε- τρικούς συντελεστές. Η σχετική θέση δύο ευθειών χρειάζεται εδώ περισσότερη προσο- χή, αφού οι παραμετρικές αυτές εξισώσεις εμπλέκουν την διερεύνηση (πολλές φορές) παραμετρικών γραμμικών συστημάτων που αντιμετωπίζονται με χρήση οριζουσών. Γενικότερα όμως, οι εξισώσεις με παραμετρικούς συντελεστές χρειάζονται περισσότε- ρη προσοχή, αφού πάντα ελλοχεύει η πιθανότητα διερεύνησης. - 505 - Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηματικών • www.mathsteki.gr

Μαθηματικά Προσανατολισμού Β΄Λυκείου • ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 • Η ευθεία στο επίπεδο ΠΑΡΑΓΡΑΦΟΣ 2. Γενική µορφή εξίσωσης ευθείας Άσκηση 336 Η εξίσωση (λ2 + λ − 2)x + (λ − 1)y + 3 = 0 , για κάθε τιμή του λ ∈ ! εκτός από μία, ορίζει ευθεία. Ποια είναι η τιμή του λ που εξαιρείται; Λύση Η εξίσωση δεν παριστάνει ευθεία, όταν ισχύουν ⎪⎨⎪⎪⎩⎧⎪ λ2 + λ − 2 = 0 ⎫⎪⎭⎪⎪⎪⎬ ⇔ ⎪⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧ λ = 1 η λ = −2 ⎪⎪⎫⎪⎪⎭⎬⎪ , και λ − 1 = 0 και λ = 1 δηλαδή όταν είναι λ = 1 . Επομένως, η εξίσωση παριστάνει ευθεία για κάθε λ ≠ 1 , δηλαδή η τιμή του λ που εξαιρείται είναι το 1. Άσκηση 337 Με δεδομένο ότι οι ευθείες αx + y + 2 = 0 , x + 3y − 1 = 0 τέμνονται, να βρείτε το ση- μείο τομής τους. Λύση Τα κοινά σημεία των ευθειών προκύπτουν από την επίλυση του συστήματος ⎪⎩⎨⎧⎪⎪⎪⎪ αx + y + 2 = 0 ⎪⎪⎬⎭⎫⎪⎪⎪ ⇔ ⎪⎪⎧⎩⎪⎪⎨⎪ αx + y = −2 ⎪⎪⎪⎬⎪⎫⎪⎭ . x + 3y −1 = 0 x + 3y = 1 Σημαντική υπενθύμιση από την Άλγεβρα Όταν ένας, τουλάχιστον, από τους συντελεστές των x, y είναι παράμετρος (που συνή- θως συμβολίζεται με κάποιο ελληνικό γράμμα), τότε το σύστημα να το λύνεις με την μέθοδο των οριζουσών. Αυτό διότι πολλές φορές απαιτείται η διάκριση περιπτώσεων (διερεύνηση), η οποία γίνεται καλύτερα με την βοήθεια των οριζουσών. Η σύνδεση ευθειών και παραμετρικών γραμμικών συστημάτων είναι η ακόλουθη: α) δύο ευθείες τέμνονται, αν και μόνο αν το σύστημα έχει μοναδική λύση, δηλαδή αν και μόνο αν ισχύει D ≠ 0 , όπου D η ορίζουσα του συστήματος. Τότε, η λύση του συστήματος είναι η (x , y) , όπου x = DX , y= Dy . D D - 506 - Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηματικών • www.mathsteki.gr

Μαθηματικά Προσανατολισμού Β΄Λυκείου • ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 • Η ευθεία στο επίπεδο ΠΑΡΑΓΡΑΦΟΣ 2. Γενική µορφή εξίσωσης ευθείας β) δύο ευθείες είναι παράλληλες (δηλαδή δεν έχουν κοινά σημεία), αν και μόνο αν το σύστημα δεν έχει λύσεις (είναι αδύνατο), δηλαδή αν και μόνο αν ισχύει ( )( )D = 0 και Dx ≠ 0 ή D = 0 και Dy ≠ 0 . γ) δύο ευθείες ταυτίζονται (δηλαδή έχουν άπειρα κοινά σημεία), αν και μόνο αν το σύστημα έχει άπειρες λύσεις, δηλαδή αν και μόνο αν ισχύει D = Dx = Dy = 0 . Η ορίζουσά του είναι D= α 1 = 3α − 1 ⋅1 = 3α − 1 . 1 3 Αφού οι ευθείες τέμνονται, το σύστημα έχει μοναδική λύση, άρα ισχύει D ≠ 0 ⇔ 3α −1 ≠ 0 ⇔ α ≠ 1 . 3 Επίσης είναι: • Dx = −2 1 = −2 ⋅ 3 − 1 ⋅1 = −7 . 1 3 • Dy = α −2 = α ⋅1 − 1 ⋅ (−2) = α + 2 . 1 1 Άρα η μοναδική λύση του συστήματος είναι x= Dx = −7 , y= Dy = α+2 , D 3α − 1 D 3α − 1 οπότε το σημείο τομής των ευθειών είναι το Α⎜⎜⎛⎜⎝ −7 , 3αα+−21⎟⎞⎟⎟⎟⎠ . 3α − 1 - 507 - Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηματικών • www.mathsteki.gr

Μαθηματικά Προσανατολισμού Β΄Λυκείου • ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 • Η ευθεία στο επίπεδο ΠΑΡΑΓΡΑΦΟΣ 2. Γενική µορφή εξίσωσης ευθείας Άσκηση 338 Να επαληθεύσετε ότι, για κάθε λ ∈ ! , η εξίσωση λ(x + y − 2) + (x − y) = 0 παριστάνει ευθεία γραμμή. Κατόπιν, να βρείτε ένα σημείο από το οποίο διέρχεται η ευθεία αυτή, για κάθε τιμή του λ. Λύση Σύσταση Όταν δίνεται μια εξίσωση, όπως αυτή της εκφώνησης, η οποία φέρει παράμετρο και ζητείται να δείξεις ότι παριστάνει ευθεία γραμμή, να την γράφεις στην μορφή αx + βy + γ = 0 , όπου α, β, γ παραστάσεις που φέρουν την παράμετρο (κάποια εξ αυ- τών, τουλάχιστον, ή όλες). Η εξίσωση ισοδύναμα γράφεται λx + λy − 2λ + x − y = 0 ⇔ (λ + 1)x + (λ − 1)y − 2λ = 0 (1) Η (1) δεν παριστάνει ευθεία, όταν ισχύουν ⎧⎨⎩⎪⎪⎪⎪ λ+1= 0 ⎪⎬⎫⎪⎭⎪⎪ ⇔ ⎪⎪⎨⎪⎪⎩⎧ λ = −1 ⎭⎪⎪⎬⎪⎫⎪ , και λ − 1 = 0 και λ = 1 άτοπο, διότι το λ δεν μπορεί να λαμβάνει ταυτόχρονα δύο διαφορετικές τιμές. Επομένως, πράγματι η (1) παριστάνει ευθεία, για κάθε λ ∈ ! . Το δεύτερο ζητούμενο της άσκησης είναι ουσιαστικά άλλος τρόπος «σερβιρίσματος» της κλασικής έκφρασης που είδες και στην μεθοδολογία, «Να δείξετε ότι όλες οι ευ- θείες διέρχονται από σταθερό σημείο». Μάλιστα, εδώ ζητάει επιπλέον να βρεις αυτό το σημείο (το οποίο, ούτως ή άλλως, προκύπτει μέσω της διαδικασίας που θα δεις στην συνέχεια). 1ο βήμα Θέτω αυθαίρετα δύο τιμές στο λ στην (1). Κατά προτίμηση, η μία τιμή να μηδενίσει τον συντελεστή του x (αν υπάρχει τέτοια) και η δεύτερη να μηδενίσει τον συντελεστή του y (ομοίως, αν υπάρχει τέτοια). Για λ = −1 , από την (1) προκύπτει η ευθεία ε1 : −2y − 2 ⋅ (−1) = 0 ⇔ ε1 : 2y = 2 ⇔ ε1 : y = 1 . Για λ = 1 , από την (1) προκύπτει η ευθεία - 508 - Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηματικών • www.mathsteki.gr

Μαθηματικά Προσανατολισμού Β΄Λυκείου • ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 • Η ευθεία στο επίπεδο ΠΑΡΑΓΡΑΦΟΣ 2. Γενική µορφή εξίσωσης ευθείας ε2 : 2x − 2 = 0 ⇔ ε2 : 2x = 2 ⇔ ε2 : x = 1 . 2ο βήμα Βρίσκω το σημείο τομής των παραπάνω ευθειών. Εύκολα προκύπτει ότι οι (ε1) , (ε2) τέμνονται στο σημείο Α(1,1) . 3ο βήμα Θέτω τις συντεταγμένες του Α στην (1) και πρέπει να προκύψει μια σχέση που ισχύει. Αυτό θα σημαίνει ότι όλες οι ευθείες που η (1) παριστάνει, διέρχονται από το ίδιο, σταθερό σημείο. Θέτω x = 1 , y = 1 στην (1) και έχω (λ + 1) ⋅1 + (λ − 1) ⋅1 − 2λ = 0 ⇔ λ + 1 + λ − 1 − 2λ = 0 ⇔ 0 = 0 , που ισχύει. Έτσι, αφού οι συντεταγμένες του Α επαληθεύουν την (1), σημαίνει ότι κάθε ευθεία που η (1) παριστάνει, διέρχεται από το σημείο Α(1,1) . Δεύτερος τρόπος Η εξίσωση ισοδύναμα γράφεται λx + λy − 2λ + x − y = 0 ⇔ (λ + 1)x + (λ − 1)y − 2λ = 0 (1) Η (1) δεν παριστάνει ευθεία, όταν ισχύουν ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧ λ+1= 0 ⎭⎫⎪⎬⎪⎪⎪ ⇔ ⎪⎨⎧⎩⎪⎪⎪ λ = −1 ⎪⎪⎭⎪⎪⎫⎬ , και λ − 1 = 0 και λ = 1 άτοπο, διότι το λ δεν μπορεί να λαμβάνει ταυτόχρονα δύο διαφορετικές τιμές. Επομένως, πράγματι η (1) παριστάνει ευθεία, για κάθε λ ∈ ! . Ουσιαστικά ο δεύτερος τρόπος που θα δεις εδώ είναι ένας άλλος τρόπος με τον οποίο μπορείς να «δεις» την εξίσωση της εκφώνησης, χωρίς να την φέρεις στην μορφή (1). Θεωρώντας την εξίσωση της εκφώνησης σαν ως προς λ πολυώνυμο και αφού αληθεύει για κάθε λ ∈ ! , έχουμε το μηδενικό πολυώνυμο, συνεπώς ισχύουν ⎪⎨⎩⎪⎪⎪⎪⎧ x+ y−2= 0 ⎫⎪⎪⎬⎪⎪⎭⎪ . x−y = 0 Από την επίλυση του συστήματος αυτού προκύπτει x = 1 , y = 1 . - 509 - Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηματικών • www.mathsteki.gr

Μαθηματικά Προσανατολισμού Β΄Λυκείου • ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 • Η ευθεία στο επίπεδο ΠΑΡΑΓΡΑΦΟΣ 2. Γενική µορφή εξίσωσης ευθείας Θέτοντας τότε x = 1 , y = 1 στην εξίσωση της εκφώνησης, έχω ότι λ ⋅ (1 + 1 − 2) + (1 − 1) = 0 ⇔ λ ⋅ 0 + 0 = 0 , που ισχύει για κάθε λ ∈ ! . Άρα κάθε ευθεία που η (1) παριστάνει διέρχεται από το σταθερό σημείο Α(1,1) . Να προτιμήσεις τον πρώτο τρόπο επίλυσης της άσκησης! Άσκηση 339 Η εξίσωση (2x + 3y − 3) + (t + 1)(x − y − 2) = 0 , t ∈ ! , παριστάνει ευθεία γραμμή, που διέρχεται από σταθερό σημείο. Ποιο; Λύση Η εξίσωση ισοδύναμα γράφεται 2x + 3y − 3 + t x − t y − 2t + x − y − 2 = 0 ⇔ (3 + t)x + (2 − t)y + (−5 − 2t) = 0 (1) Θέτω t = −3 στην (1) και προκύπτει η ευθεία ε1 : ⎡⎣⎢2 − (−3)⎥⎤⎦ ⋅ y − 5 − 2 ⋅ (−3) = 0 ⇔ ε1 : 5y +1 = 0 ⇔ ε1 : y = − 1 . 5 Θέτω t = 2 στην (1) και προκύπτει η ευθεία ε2 : (2 + 3) ⋅ x − 5 − 2 ⋅ 2 = 0 ⇔ ε2 : 5x − 9 = 0 ⇔ ε2 : x = 9 . 5 Άμεσα προκύπτει ότι οι (ε1) , (ε2) τέμνονται στο σημείο Α⎛⎜⎜⎜⎝ 9 ,− 1 ⎠⎟⎟⎟⎟⎞ . 5 5 Θέτω x = 9 , y=− 1 στην (1) και έχω ότι 5 5 (3 + t) ⋅ 9 − (2 − t) ⋅ 1 − 5 − 2t = 0 ⇔ 9(3 + t) − (2 − t) − 25 − 10t = 0 ⇔ 5 5 ⇔ 27 + 9t − 2 + t − 25 − 10t = 0 ⇔ 0 = 0 , που ισχύει Έτσι, αφού οι συντεταγμένες του Α επαληθεύουν την (1), σημαίνει ότι, κάθε ευθεία που η (1) παριστάνει, διέρχεται από το σημείο A ⎜⎜⎜⎝⎛ 9 ,− 1 ⎟⎟⎞⎠⎟⎟ . 5 5 - 510 - Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηματικών • www.mathsteki.gr

Μαθηματικά Προσανατολισμού Β΄Λυκείου • ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 • Η ευθεία στο επίπεδο ΠΑΡΑΓΡΑΦΟΣ 2. Γενική µορφή εξίσωσης ευθείας Άσκηση 340 Με δεδομένο ότι η εξίσωση Αx + Βy = Α + Β παριστάνει ευθεία, να δείξετε ότι και η εξίσωση Α(x − y) + Β(x + y) = 2Β παριστάνει ευθεία. Λύση Αφού η ε1 : Αx + Βy = Α + Β παριστάνει ευθεία, είναι A ≠ 0 ή B ≠ 0 , δηλαδή οι αριθ- μοί Α και Β δεν μηδενίζονται ταυτόχρονα. Η εξίσωση της ε2 : Α(x − y) + Β(x + y) = 2Β ισοδύναμα γράφεται ε2 : Αx − Αy + Βx + Βy = 2Β ⇔ ε2 : (Β + Α)x + (Β − Α)y = 2Β και δεν παριστάνει ευθεία, όταν ισχύουν ⎪⎧⎪⎨⎪⎪⎩ Β+Α= 0 ⎬⎫⎪⎪⎭⎪⎪ . και Β − Α = 0 Από το σύστημα αυτό εύκολα προκύπτει A = 0 , B = 0 , που είναι άτοπο, αφού οι Α και Β δεν μπορεί να μηδενίζονται ταυτόχρονα, όπως είπα στην αρχή. Άρα η (ε2) παριστάνει ευθεία. Άσκηση 341 Πρόσεξέ την πάρα πολύ! Να βρείτε την γωνία που σχηματίζουν οι ευθείες x + 3 y + 2 = 0 , 3 x + y + 2 = 0 . Λύση Πολύ χαρακτηριστική άσκηση. Πρόσεξε πολύ τα βήματα της λύσης. 1ο βήμα Γράφω τις εξισώσεις των ευθειών στην μορφή αx + βy + γ = 0 και, για καθε- μία, θεωρώ το διάνυσμα (β ,− α) που είναι παράλληλο σε αυτήν. Έστω ε1 : x + 3 y + 2 = 0 , ε2 : 3 x + y + 2 = 0 . !\" !\" ( ) ( )Το διάνυσμα δ1 = 3 ,− 1 είναι παράλληλο στην (ε1) και το δ2 = 1,− 3 είναι πα- ράλληλο στην (ε2) . - 511 - Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηματικών • www.mathsteki.gr

Μαθηματικά Προσανατολισμού Β΄Λυκείου • ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 • Η ευθεία στο επίπεδο ΠΑΡΑΓΡΑΦΟΣ 2. Γενική µορφή εξίσωσης ευθείας 2ο βήμα Ονομάζω θ την γωνία των ευθειών και φ την γωνία των διανυσμάτων και υπολογίζω το συνημίτονο της γωνίας των διανυσμάτων (δηλαδή της θ). !\" !\" Αν ονομάσω θ την γωνία των (ε1) , (ε2) και φ την γωνία των δ1 , δ2 , τότε η θ είναι ίση ή παραπληρωματική της φ και είναι !\" !\" συνϕ = !δ\"1 ⋅ δ!2\" . δ1 ⋅ δ2 ( )!\" !\" • δ1 ⋅ δ2 = 3 ⋅ 1 + (−1) ⋅ − 3 = 3 + 3 = 2 3 . !\" 2 + (−1)2 = 2 . • δ1 = 3 ( )!\" 2 • δ2 = 12 + − 3 = 2 . Άρα είναι συνϕ = 2 3 = 3 = συν30ο , 2 ⋅2 2 οπότε ϕ = 30ο , αφού είναι 0ο ≤ ϕ ≤ 180ο . Επομένως είναι και θ = 30ο . Σχόλιο 3 , τότε θα ήταν ϕ = 150ο , οπότε πάλι θ = 30ο . Αν προέκυπτε συνϕ = − 2 - 512 - Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηματικών • www.mathsteki.gr

Μαθηματικά Προσανατολισμού Β΄Λυκείου • ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 • Η ευθεία στο επίπεδο ΠΑΡΑΓΡΑΦΟΣ 2. Γενική µορφή εξίσωσης ευθείας Άσκηση 342 Πρόσεξέ την πάρα πολύ! Να αποδείξετε ότι, για κάθε ζεύγος αριθμών α, β, με α2 + β2 ≠ 0 , η εξίσωση (α + 2β)x + (α + 3β)y = α + β παριστάνει ευθεία που διέρχεται από σταθερό σημείο, το οποίο και να προσδιορίσετε. Λύση Από την σχέση α2 + β2 ≠ 0 προκύπτει ότι είναι α ≠ 0 ή β ≠ 0 . Σημαντική υπενθύμιση από την Άλγεβρα Πώς προκύπτει αυτό; Θυμήσου ότι ισχύει α2 + β2 ≥ 0 , για κάθε α , β ∈ ! . Ειδικότερα, είναι: • α2 + β2 > 0 ⇔ α ≠ 0 ή β ≠ 0 . • α2 + β2 = 0 ⇔ α = 0 και β = 0 . Αν και δεν είναι σωστή, η περίπτωση α2 + β2 ≠ 0 περιέχει την α2 + β2 > 0 (περιέχει και την περίπτωση α2 + β2 < 0 όμως, που είναι λανθασμένη), οπότε να πώς προκύπτει το συμπέρασμα της πρώτης γραμμής της λύσης. Ανάλογα, σε άλλη άσκηση μπορεί να δεις να δίνεται ότι α + β ≠ 0 . Πάλι προκύπτει το ίδιο συμπέρασμα. Θυμήσου ότι ισχύει α + β ≥ 0 , για κάθε α , β ∈ ! . Ειδικότερα, είναι: • α + β >0⇔α≠0 ή β≠0. • α + β = 0 ⇔ α = 0 και β = 0 . Η εξίσωση δεν παριστάνει ευθεία, όταν ισχύουν ⎪⎪⎪⎧⎨⎪⎪⎩ α + 2β = 0 ⎪⎪⎫⎬⎪⎪⎭⎪ . και α + 3β = 0 Από το σύστημα αυτό προκύπτει α = 0 , β = 0 , που είναι άτοπο, αφού τα α, β δεν μπορεί να είναι ταυτόχρονα μηδέν, όπως είπα στην αρχή. Άρα η εξίσωση της εκφώνησης παριστάνει ευθεια, για κάθε α , β ∈ ! . - 513 - Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηματικών • www.mathsteki.gr

Μαθηματικά Προσανατολισμού Β΄Λυκείου • ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 • Η ευθεία στο επίπεδο ΠΑΡΑΓΡΑΦΟΣ 2. Γενική µορφή εξίσωσης ευθείας α) Για α = 0 προκύπτει η ευθεία ε1 : 2βx + 3βy = β . Επειδή τότε δεν μπορεί να είναι και β = 0 , απαλείφοντας το β έχω την ευθεία ε1 : 2x + 3y = 1 . β) Για β = 0 προκύπτει η ευθεία ε2 : αx + αy = α . Επειδή τότε δεν μπορεί να είναι και α = 0 , απαλείφοντας το α έχω την ευθεία ε2 : x + y = 1 . Από το σύστημα ⎧⎪⎨⎪⎪⎩⎪⎪⎪ ε1 : 2x + 3y = 1 ⎪⎪⎬⎪⎪⎪⎭⎪⎫ προκύπτει x=2, y = −1 , που σημαίνει ότι οι ε2 : x + y = 1 (ε1) , (ε2) τέμνονται στο σημείο Α(2 ,− 1) . Θέτω x = 2 , y = −1 στην εξίσωση της εκφώνησης και προκύπτει (α + 2β) ⋅ 2 + (α + 3β) ⋅ (−1) = α + β ⇔ 2α + 4β − α − 3β = α + β ⇔ α + β = α + β , που ισχύει. Αυτό σημαίνει ότι οι συντεταγμένες του Α επαληθεύουν την εξίσωση της εκφώνησης, οπότε κάθε ευθεία που αυτή παριστάνει διέρχεται από το σταθερό σημείο Α(2 ,− 1) . - 514 - Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηματικών • www.mathsteki.gr

Μαθηματικά Προσανατολισμού Β΄Λυκείου • ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 • Η ευθεία στο επίπεδο ΠΑΡΑΓΡΑΦΟΣ 2. Γενική µορφή εξίσωσης ευθείας Άσκηση 343 Πρόσεξέ την πάρα πολύ! Δίνεται η εξίσωση (λ2 − λ)x + (λ2 − 1)y + λ + 3 = 0 , λ ∈ ! . Για ποιες τιμές του λ η εξί- σωση παριστάνει: α. ευθεία; β. ευθεία, που είναι παράλληλη στον άξονα y΄y; Ποια είναι τότε η εξίσωσή της; γ. ευθεία, που είναι παράλληλη στον άξονα x΄x; Ποια είναι τότε η εξίσωσή της; δ. ευθεία, που διέρχεται από την αρχή των αξόνων; Λύση Το σύνολο των ζητούμενων της άσκησης είναι πολύ χαρακτηριστικό. Αν όχι όλα, τότε κάποια από αυτά θα τα δεις σίγουρα σε ασκήσεις με τις οποίες θα ασχοληθείς. α. Η εξίσωση δεν παριστάνει ευθεία, όταν ισχύουν ⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧ λ2 − λ = 0 ⎪⎪⎪⎬⎭⎫⎪ , δηλαδή και λ2 − 1 = 0 ⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪ λ(λ − 1) = 0 ⎪⎬⎭⎪⎫⎪⎪ ⇔ ⎪⎪⎧⎪⎨⎪⎩⎪ λ = 0 η λ−1= 0 ⎪⎪⎬⎪⎪⎪⎭⎫ ⇔ ⎩⎪⎪⎧⎪⎪⎨⎪ λ=0 η λ=1 ⎭⎪⎪⎫⎪⎪⎪⎬ , λ2 = 1 λ = 1 η λ = −1 λ = 1 η λ = −1 δηλαδή όταν λ = 1 . Άρα, η εξίσωση παριστάνει ευθεία για κάθε λ ≠ 1 . β. Η ευθεία είναι παράλληλη στον y΄y, όταν είναι λ2 − 1 = 0 ⇔ λ = 1 ή λ = −1 . Θυμήσου ότι μια ευθεία είναι παράλληλη στον άξονα y΄y, αν και μόνο αν έχει εξίσωση της μορφής x = α , α ∈ ! , δηλαδή αν και μόνο αν ο συντελεστής του y είναι ίσος με μηδέν. Η τιμή λ = 1 απορρίπτεται, διότι τότε η εξίσωση δεν παριστάνει ευθεία, όπως απέδει- ξα στο (α), οπότε η ζητούμενη τιμή του λ είναι λ = −1 . Για λ = −1 , από την εξίσωση της εκφώνησης προκύπτει η ευθεία ε1 : ⎡⎢⎣(−1)2 − (−1)⎥⎦⎤ ⋅ x − 1 + 3 = 0 ⇔ ε1 : 2x + 2 = 0 ⇔ ε1 : x = −1 . - 515 - Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηματικών • www.mathsteki.gr

Μαθηματικά Προσανατολισμού Β΄Λυκείου • ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 • Η ευθεία στο επίπεδο ΠΑΡΑΓΡΑΦΟΣ 2. Γενική µορφή εξίσωσης ευθείας γ. Η ευθεία είναι παράλληλη στον x΄x, όταν ισχύει λ2 − λ = 0 ⇔ λ = 0 ή λ = 1 . Θυμήσου ότι μια ευθεία είναι παράλληλη στον άξονα x΄x, αν και μόνο αν έχει εξίσωση της μορφής y = α , α ∈ ! , δηλαδή αν και μόνο αν ο συντελεστής του x είναι ίσος με μηδέν. Η τιμή λ = 1 απορρίπτεται, διότι τότε η εξίσωση δεν παριστάνει ευθεία, όπως απέδει- ξα στο (α), οπότε η ζητούμενη τιμή του λ είναι λ = 0 . Για λ = 0 , από την εξίσωση της εκφώνησης προκύπτει η ευθεία ε2 : (02 − 1) ⋅ y + 0 + 3 = 0 ⇔ ε2 : −y + 3 = 0 ⇔ ε2 : y = 3 . δ. Η ευθεία διέρχεται από την αρχή των αξόνων, όταν (λ2 − λ) ⋅ 0 + (λ2 − 1) ⋅ 0 + λ + 3 = 0 ⇔ λ + 3 = 0 ⇔ λ = −3 . Το (δ) θα μπορούσε να λυθεί και ως εξής: Μια ευθεία διέρχεται από το Ο, αν και μόνο αν έχει εξίσωση της μορφής y = αx , α ∈ ! , ή αx + βy = 0 , α ≠ 0 ή β ≠ 0 , δηλαδή αν και μόνο αν ο σταθερός της όρος είναι ίσος με μηδέν. Αυτό θα δούλευε εδώ, αλλά συστήνω να μην το κάνεις (όπως είδες, δεν το έκανα στην λύση). Η λύση που έδωσα (και που πρέπει και εσύ να δώσεις σε ανάλογο θέμα) στη- ρίζεται στην έκφραση «μια ευθεία διέρχεται από ένα σημείο» και την κίνηση που αυτή γεννά: να θέσω στο x και στο y, στην εξίσωση της ευθείας, τις συντεταγμένες του ση- μείου από το οποίο αυτή διέρχεται. Αυτή είναι πολύ ασφαλέστερη οδός, αφού σε άλλη άσκηση κάλλιστα μπορεί να δίνεται ως συνθήκη η ευθεία να διέρχεται από σημείο διά- φορο του Ο. - 516 - Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηματικών • www.mathsteki.gr

Μαθηματικά Προσανατολισμού Β΄Λυκείου • ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 • Η ευθεία στο επίπεδο ΠΑΡΑΓΡΑΦΟΣ 2. Γενική µορφή εξίσωσης ευθείας Άσκηση 344 Δίνεται η εξίσωση (2α2 + α + 1)x + (α2 − α + 1)y − α2 − 2α = 0 , α ∈ ! . α. Για ποιες τιμές του α αυτή παριστάνει ευθεία; β. Για τις τιμές του α που βρήκατε στο (α), να εξετάσετε αν οι ευθείες που προκύ- πτουν διέρχονται από το ίδιο σημείο. Λύση α. Η εξίσωση δεν παριστάνει ευθεία, όταν ισχύουν ⎪⎧⎪⎪⎩⎪⎨⎪ 2α2 + α + 1 = 0 ⎪⎭⎪⎪⎪⎬⎪⎫ . και α2 − α + 1 = 0 Η πρώτη εξίσωση έχει διακρίνουσα 12 − 4 ⋅ 2 ⋅1 = −7 , οπότε είναι αδύνατη. Η δεύτερη εξίσωση έχει διακρίνουσα (−1)2 − 4 ⋅1 ⋅1 = −3 , οπότε είναι αδύνατη. Επομένως, αφού οι συντελεστές των x, y δεν μηδενίζονται ταυτόχρονα (εδώ δεν μηδε- νίζονται καν), η εξίσωση παριστάνει ευθεία για κάθε α ∈ ! . β. Για α = 0 , από την εξίσωση της εκφώνησης προκύπτει η ευθεία ε1 : x + y = 0 . Για α = 1 , από την εξίσωση της εκφώνησης προκύπτει η ευθεία ε2 : (2 ⋅ 12 + 1 + 1)x + (12 − 1 + 1)y − 12 − 2 ⋅ 1 = 0 ⇔ ε2 : 4x + y = 3 . Από το σύστημα ⎧⎨⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪ ε1 : x + y = 0 ⎪⎭⎪⎪⎪⎪⎬⎫⎪ προκύπτει x = 1 , y = −1 , οπότε οι (ε1) , (ε2) ε2 : 4x + y = 3 τέμνονται στο σημείο Α(1,− 1) . Θέτω x = 1 , y = −1 στην εξίσωση της εκφώνησης και προκύπτει (2α2 + α + 1) ⋅ 1 + (α2 − α + 1) ⋅ (−1) − α2 − 2α = 0 ⇔ ⇔ 2α2 + α + 1 − α2 + α − 1 − α2 − 2α = 0 ⇔ 0 = 0 , που ισχύει. Αυτό σημαίνει ότι οι συντεταγμένες του Α επαληθεύουν την εξίσωση της εκφώνησης, οπότε κάθε ευθεία που αυτή παριστάνει διέρχεται από το σταθερό σημείο Α(1,− 1) . - 517 - Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηματικών • www.mathsteki.gr

Μαθηματικά Προσανατολισμού Β΄Λυκείου • ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 • Η ευθεία στο επίπεδο ΠΑΡΑΓΡΑΦΟΣ 2. Γενική µορφή εξίσωσης ευθείας Άσκηση 345 Να βρείτε τα κ , λ ∈ ! , ώστε η ευθεία (2κ + λ + 1)x + (κ + λ − 2)y + 3κ + λ + 2 = 0 να είναι παράλληλη στον άξονα x΄x και να τέμνει τον άξονα y΄y στο σημείο με τεταγμένη 2. Λύση Η εξίσωση δεν παριστάνει ευθεία, όταν ισχύουν ⎪⎨⎪⎧⎪⎪⎩ 2κ + λ + 1 = 0 ⎪⎬⎪⎪⎫⎭⎪ . και κ + λ − 2 = 0 Από το σύστημα προκύπτει κ = −3 , λ = 5 . Επομένως, η εξίσωση της εκφώνησης παριστάνει ευθεία για κ ≠ −3 , λ ≠ 5 . Για να είναι αυτή παράλληλη στον x΄x, πρέπει 2κ + λ + 1 = 0 ⇔ 2κ + λ = −1 (1) Για να τέμνει τον y΄y στο σημείο με τεταγμένη 2, πρέπει (2κ + λ + 1) ⋅ 0 + (κ + λ − 2) ⋅ 2 + 3κ + λ + 2 = 0 ⇔ 2κ + 2λ − 4 + 3κ + λ + 2 = 0 ⇔ ⇔ 5κ + 3λ − 2 = 0 ⇔ 5κ + 3λ = 2 (2) Από το σύστημα των (1) και (2) προκύπτει κ = −5 , λ = 9 . Άσκηση 346 Δίνεται η ευθεία ε : (µ − 10)x + (µ + 1)y + 2 = 0 , µ ∈ ! . Για ποια τιμή του μ αυτή διέρχεται από το κοινό σημείο των ευθειών ε1 : y = 4x − 5 , ε2 : x + 2y = 8 ; Λύση Το κοινό σημείο των (ε1) , (ε2) προκύπτει από την επίλυση του συστήματος ⎪⎧⎨⎪⎪⎪⎩⎪⎪ ε1 : y = 4x − 5 ⎪⎪⎪⎫⎬⎪⎪⎭⎪ . ε2 : x + 2y = 8 Προκύπτει x = 2 , y = 3 , οπότε το κοινό τους σημείο είναι το Α(2 , 3) . Για να διέρχεται η (ε) από το Α, θα πρέπει (µ − 10) ⋅ 2 + (µ + 1) ⋅ 3 + 2 = 0 ⇔ 2µ − 20 + 3µ + 3 + 2 = 0 ⇔ 5µ = 15 ⇔ µ = 3 . - 518 - Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηματικών • www.mathsteki.gr

Μαθηματικά Προσανατολισμού Β΄Λυκείου • ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 • Η ευθεία στο επίπεδο ΠΑΡΑΓΡΑΦΟΣ 2. Γενική µορφή εξίσωσης ευθείας Άσκηση 347 Πρόσεξέ την πάρα πολύ! Να δείξετε ότι, για κάθε θ ∈ ! , η εξίσωση (1 − x) ⋅ ηµ2θ − (1 + y) ⋅ συν2θ + x + y = 0 παριστάνει ευθεία, που διέρχεται από σταθερό σημείο. Λύση Η εξίσωση της εκφώνησης ισοδύναμα γράφεται ηµ2θ − ηµ2θ ⋅ x − συν2θ − συν2θ ⋅ y + x + y = 0 ⇔ ( ) ( ) ( )⇔ 1 − ηµ2θ x + 1 − συν2θ y − συν2θ − ηµ2θ = 0 ⇔ ⇔ συν2θ ⋅ x + ηµ2θ ⋅ y − συν2θ = 0 (1) Από την Τριγωνομετρία υπενθυμίζεται ότι ισχύει συν2θ − ηµ2θ = συν2θ . Θα δείξω ότι η (1) παριστάνει ευθεία. Η (1) δεν παριστάνει ευθεία, όταν ισχύουν ⎪⎧⎪⎪⎩⎪⎨ συν2θ = 0 ⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎭ ⇔ ⎪⎪⎪⎪⎧⎨⎩ συνθ = 0 ⎫⎪⎬⎪⎪⎪⎭ . και ηµ2θ = 0 και ηµθ = 0 Τότε, όμως, θα έπρεπε να ισχύει και ηµ2θ + συν2θ = 1 ⇔ 02 + 02 = 1 , που προφανώς δεν ισχύει. Αυτός είναι ο κλασικός τρόπος απόδειξης ότι το ημίτονο και το συνημίτονο δεν μπο- ρούν να μηδενίζονται ταυτόχρονα. Άρα η (1) παριστάνει ευθεία, για κάθε θ ∈ ! . Θα δείξω ότι όλες οι ευθείες διέρχονται από σταθερό σημείο. Για θ = 0 είναι συνθ = συν0 = 1 , ηµθ = ηµ0 = 0 , συν2θ = συν0 = 1 και από την (1) προκύπτει η ευθεία ε1 : 1 ⋅ x + 0 ⋅ y − 1 = 0 ⇔ ε1 : x = 1 . Για θ = π είναι 2 - 519 - Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηματικών • www.mathsteki.gr

Μαθηματικά Προσανατολισμού Β΄Λυκείου • ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 • Η ευθεία στο επίπεδο ΠΑΡΑΓΡΑΦΟΣ 2. Γενική µορφή εξίσωσης ευθείας συνθ = συν π = 0 , ηµθ = ηµ π =1 , συν2θ = συν⎛⎜⎜⎝⎜⎜ 2 ⋅ π ⎞⎟⎟⎠⎟⎟ = συνπ = −1 2 2 2 και από την (1) προκύπτει η ευθεία ε2 : 0 ⋅ x + 1 ⋅ y − (−1) = 0 ⇔ ε2 : y = −1 . Οι (ε1) , (ε2) τέμνονται στο σημείο Α(1,− 1) . Θέτω x = 1 , y = −1 στην (1) και έχω ότι συν2θ ⋅ 1 + ηµ2θ ⋅ (−1) − συν2θ = 0 ⇔ συν2θ − ηµ2θ − συν2θ = 0 ⇔ συν2θ − συν2θ = 0 , που ισχύει. Αυτό σημαίνει ότι οι συντεταγμένες του Α επαληθεύουν την (1), οπότε κάθε ευθεία που αυτή παριστάνει διέρχεται από το σταθερό σημείο Α(1,− 1) . Άσκηση 348 Πρόσεξέ την πάρα πολύ! Να βρείτε τις τιμές του λ ∈ ! , για τις οποίες οι ευθείες ε1 : (λ − 1)x + λy + 3 = 0 και ε2 : (λ + 2)x + (1 − λ2)y − 2λ + 1 = 0 είναι μεταξύ τους κάθετες. Λύση Υπενθύμιση Όταν δίνονται δύο ευθείες στις οποίες ένας, τουλάχιστον, από τους συντελεστές των x, y είναι παράμετρος και αναφέρεται θέμα παραλληλίας ή καθετότητας, τότε συστήνε- ται η αντιμετώπιση της άσκησης να γίνεται με την βοήθεια των διανυσμάτων που είναι παράλληλα στις ευθείες και τις συνθήκες παραλληλίας και καθετότητας διανυσμάτων. Η χρήση της συνθήκης παραλληλίας ή καθετότητας ευθειών θα κάνει την λύση μεγαλύ- τερη και, στις περισσότερες περιπτώσεις, συνθετότερη (αφού θα χρειαστεί να γίνει, σε αρκετά σημεία της λύσης, κάποιας μορφής διερεύνηση). !\" !\" ( ) ( )Το διάνυσμα δ1 = λ , 1 − λ είναι παράλληλο στην (ε1) , ενώ το δ2 = 1 − λ2 , − λ − 2 είναι παράλληλο στην (ε2) . !\" !\" Είναι ε1 ⊥ ε2 ⇔ δ1 ⊥ δ2 , από όπου έχω λ(1 − λ2) + (1 − λ)(−λ − 2) = 0 ⇔ λ − λ3 − λ − 2 + λ2 + 2λ = 0 ⇔ λ3 − λ2 − 2λ + 2 = 0 ⇔ - 520 - Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηματικών • www.mathsteki.gr

Μαθηματικά Προσανατολισμού Β΄Λυκείου • ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 • Η ευθεία στο επίπεδο ΠΑΡΑΓΡΑΦΟΣ 2. Γενική µορφή εξίσωσης ευθείας ⇔ λ2(λ − 1) − 2(λ − 1) = 0 ⇔ (λ − 1)(λ2 − 2) = 0 ⇔ λ − 1 = 0 ή λ2 − 2 = 0 ⇔ ⇔ λ = 1 ή λ2 = 2 ⇔ λ = 1 η λ = 2 η λ = − 2 . Άσκηση 349 Πρόσεξέ την πάρα πολύ! Από το σύνολο των ευθειών που παριστάνει η εξίσωση x + y − 1 + λ(2x − y − 2) = 0 , με λ ∈ ! , να βρείτε εκείνη που είναι κάθετη στην ευθεία ε : 3x − 2y + 8 = 0 . Λύση Η εξίσωση της εκφώνησης ισοδύναμα γράφεται x + y − 1 + 2λx − λy − 2λ = 0 ⇔ (2λ + 1)x + (1 − λ)y − 2λ − 1 = 0 (1) ( )!\" Το διάνυσμα δ1 = 1 − λ , − 2λ − 1 είναι παράλληλο σε κάθε ευθεία της (1), ενώ το ( )!\" δ2 = −2 ,− 3 είναι παράλληλο στην (ε). Κάθε ευθεία της (1) θα είναι κάθετη στην (ε), αν και μόνο αν είναι !\" !\" !\" !\" δ1 ⊥ δ2 ⇔ δ1 ⋅ δ2 = 0 ⇔ (1 − λ) ⋅ (−2) + (−2λ − 1) ⋅ (−3) = 0 ⇔ −2 + 2λ + 6λ + 3 = 0 ⇔ ⇔ 8λ = −1 ⇔ λ = − 1 . 8 Για την τιμή αυτή του λ, από την (1) προκύπτει η ευθεία ⎜⎜⎜⎝⎛2 ⋅ −1 + 1⎟⎟⎠⎞⎟⎟ ⋅ x + ⎝⎜⎜⎛⎜1 + 81 ⎟⎞⎠⎟⎟⎟ ⋅ y + 2 ⋅ −1 −1 = 0 ⇔ 6 ⋅x + 9 ⋅y− 6 = 0 ⇔ 6x + 9y − 6 = 0 ⇔ 8 8 8 8 8 ⇔ 2x + 3y − 2 = 0 . - 521 - Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηματικών • www.mathsteki.gr

Μαθηματικά Προσανατολισμού Β΄Λυκείου • ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 • Η ευθεία στο επίπεδο ΠΑΡΑΓΡΑΦΟΣ 2. Γενική µορφή εξίσωσης ευθείας Άσκηση 350 Πρόσεξέ την πάρα πολύ! Δίνονται οι ευθείες ε1 : x + αy + 2 = 0 , ε2 : αx + y − 3 = 0 , α ∈ ! . Να βρείτε για ποια τιμή του α αυτές σχηματίζουν γωνία 45ο . Λύση !\" !\" Το διάνυσμα δ1 = (α ,− 1) είναι παράλληλο στην (ε1) , ενώ το δ2 = (1,− α) είναι παράλ- ληλο στην (ε2) . !\" !\" Ας είναι θ η γωνία των (ε1) , (ε2) και φ η γωνία των δ1 , δ2 . Επειδή η θ είναι ίση ή παραπληρωματική της φ, ισχύει συνθ = συνϕ ⇔ συν45ο = συνϕ ⇔ συνϕ = 2 (1) 2 !\" !\" Είναι συνϕ = !δ\"1 ⋅ δ!2\" , όπου: δ1 ⋅ δ2 !\" !\" • δ1 ⋅ δ2 = α ⋅ 1 + (−1) ⋅ (−α) = α + α = 2α . !\" • δ1 = α2 + (−1)2 = α2 + 1 . !\" • δ2 = 12 + (−α)2 = α2 + 1 . Άρα είναι συνϕ = 2α = 2α , οπότε από την (1) έχω α2 + 1 ⋅ α2 + 1 α2 + 1 2α = 2 ⇔ 2α = 2 . α2 + 1 2 α2 + 1 2 Επειδή είναι α2 + 1 > 0 , για κάθε α ∈ ! , είναι α2 + 1 = α2 + 1 , οπότε έχω 2α 2 ⇔ 4 α = 2(α2 + 1) ⇔ 4 α = 2 α2 + 2⇔ 2 ⋅ α 2 −4 α + 2 = 0. α2 + 1 = 2 - 522 - Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηματικών • www.mathsteki.gr

Μαθηματικά Προσανατολισμού Β΄Λυκείου • ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 • Η ευθεία στο επίπεδο ΠΑΡΑΓΡΑΦΟΣ 2. Γενική µορφή εξίσωσης ευθείας Θέτω α = β ≥ 0 , και έχω την εξίσωση 2 β2 − 4β + 2 = 0 . Η διακρίνουσά της είναι Δ = (−4)2 − 4 ⋅ 2 ⋅ 2 = 16 − 8 = 8 , οπότε έχει δύο ρίζες, τις ( )β1,2 22 ± 2 = 2 ( )2 ± 1 = 4± 8 = 4±2 2 = 2 2± 2 = 2± 2 = 2 = 22 22 22 2 2 = 2 ±1 ⇔ β = 2 + 1 ή β = 2 − 1 , δεκτές αμφότερες. α) Για β = 2 + 1 , είναι α = 2 + 1 ⇔ α = 2 + 1 η α = − 2 − 1 . β) Για β = 2 − 1 , είναι α = 2 − 1 ⇔ α = 2 − 1 η α = − 2 + 1 . Άσκηση 351 Δίνεται η εξίσωση (λ − 1)x + (λ2 + 5λ + 6)y − λ + 3 = 0 , λ ∈ ! . α. Να δείξετε ότι, για κάθε λ ∈ ! , αυτή παριστάνει ευθεία. β. Να βρεθούν οι τιμές του λ, ώστε αυτή να είναι κάθετη στην ευθεία ζ : x+ y−3 = 0. Λύση α. Η εξίσωση δεν παριστάνει ευθεία, όταν ισχύουν ⎪⎪⎩⎪⎧⎨⎪ και λ−1= 0 ⎪⎭⎫⎪⎪⎬⎪ ⇔ ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎧⎨ λ=1 και ⎪⎬⎭⎪⎪⎪⎪⎫ , λ2 + 5λ + 6 = 0 λ = −2 η λ = −3 άτοπο, διότι το λ δεν μπορεί να λαμβάνει ταυτόχρονα τρεις διαφορετικές τιμές. Άρα η εξίσωση παριστάνει ευθεία, για κάθε λ ∈ ! . - 523 - Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηματικών • www.mathsteki.gr

Μαθηματικά Προσανατολισμού Β΄Λυκείου • ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 • Η ευθεία στο επίπεδο ΠΑΡΑΓΡΑΦΟΣ 2. Γενική µορφή εξίσωσης ευθείας ( )! β. Το διάνυσμα δ = λ2 + 5λ + 6 , 1 − λ είναι παράλληλο σε κάθε ευθεία που η εξί- !\" ( )σωση της εκφώνησης παριστάνει, ενώ το δ1 = 1,− 1 είναι παράλληλο στην (ζ). ! \"! ! \"! Αν (ε) είναι η ευθεία της εκφώνησης, τότε ισχύει ε ⊥ ζ ⇔ δ ⊥ δ1 ⇔ δ ⋅ δ1 = 0 , από όπου έχω (λ2 + 5λ + 6) ⋅ 1 + (1 − λ) ⋅ (−1) = 0 ⇔ λ2 + 5λ + 6 − 1 + λ = 0 ⇔ ⇔ λ2 + 6λ + 5 = 0 ⇔ λ = −1 η λ = −5 . Άσκηση 352 Να βρεθούν οι τιμές του λ ∈ ! , ώστε οι ευθείες ε : λx + (λ − 1)y + 3 = 0 και ζ : (5 − λ)x − (2λ − 3)y + 5 = 0 να είναι μεταξύ τους κάθετες. Λύση ( )!\" Το διάνυσμα δ1 = λ − 1 , − λ είναι παράλληλο στην (ε), ενώ το διάνυσμα !\" = (−(2λ − 3) , −5 + λ) = (3 − 2λ , λ − 5) δ2 είναι παράλληλο στην (ζ). !\" !\" !\" !\" Ισχύει ε ⊥ ζ ⇔ δ1 ⊥ δ2 ⇔ δ1 ⋅ δ2 = 0 , από όπου έχω (λ − 1)(3 − 2λ) + (−λ) ⋅ (λ − 5) = 0 ⇔ 3λ − 2λ2 − 3 + 2λ − λ2 + 5λ = 0 ⇔ ⇔ −3λ2 + 10λ − 3 = 0 ⇔ 3λ2 − 10λ + 3 = 0 ⇔ λ=2 η λ= 1 . 3 - 524 - Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηματικών • www.mathsteki.gr

Μαθηματικά Προσανατολισμού Β΄Λυκείου • ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 • Η ευθεία στο επίπεδο ΠΑΡΑΓΡΑΦΟΣ 2. Γενική µορφή εξίσωσης ευθείας Άσκηση 353 Πρόσεξέ την πάρα πολύ! Δίνεται η εξίσωση (α2 + 2α)x − (α2 + α + 1)y − α2 − 2 = 0 , α ∈ ! . α. Να δείξετε ότι παριστάνει ευθεία, για κάθε τιμή του α. β. Να δείξετε ότι όλες οι ευθείες που παριστάνονται από την παραπάνω εξίσωση διέρχονται από σταθερό σημείο, του οποίου να βρείτε τις συντεταγμένες. γ. Να βρείτε την ευθεία (ε) που ορίζεται από την παραπάνω εξίσωση, η οποία είναι κάθετη στην ευθεία ζ : x − y + 3 = 0 . δ. Να δείξετε ότι η ευθεία η : y = −2x δεν ανήκει στην οικογένεια των ευθειών που ορίζονται από την εξίσωση της εκφώνησης. Λύση α. Η εξίσωση δεν παριστάνει ευθεία, όταν ισχύουν ⎪⎨⎩⎪⎪⎪⎪⎧ α2 + 2α = 0 και ⎭⎪⎪⎪⎪⎪⎫⎬ . −(α2 + α + 1) = 0 Το τριώνυμο της δεύτερης εξίσωσης έχει διακρίνουσα 12 − 4 ⋅1 ⋅1 = −3 , οπότε είναι α2 + α + 1 > 0 , για κάθε α ∈ ! , δηλαδή η δεύτερη εξίσωση είναι αδύνατη. Επομένως, αφού ο συντελεστής του y δεν μηδενίζεται ποτέ, η εξίσωση της εκφώνησης παριστάνει ευθεία για κάθε τιμή του α. β. Για α = 0 , από την εξίσωση της εκφώνησης προκύπτει η ευθεία ε1 : −y − 2 = 0 ⇔ ε1 : y = −2 . Για α = −1 , προκύπτει η ευθεία ε2 : −x − y − 1 − 2 = 0 ⇔ ε2 : x + y + 3 = 0 . Από το σύστημα ⎪⎪⎪⎧⎩⎪⎨⎪⎪ ε1 : y = −2 ⎪⎪⎫⎪⎪⎪⎭⎪⎬ προκύπτει x = −1 , y = −2 , οπότε οι δύο ευ- ε2 : x + y + 3 = 0 θείες τέμνονται στο σημείο Α(−1,− 2) . Θέτω x = −1 , y = −2 στην εξίσωση της εκφώνησης και προκύπτει (α2 + 2α) ⋅ (−1) − (α2 + α + 1) ⋅ (−2) − α2 − 2 = 0 ⇔ ⇔ −α2 − 2α + 2α2 + 2α + 2 − α2 − 2 = 0 ⇔ 0 = 0 , που ισχύει. - 525 - Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηματικών • www.mathsteki.gr

Μαθηματικά Προσανατολισμού Β΄Λυκείου • ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 • Η ευθεία στο επίπεδο ΠΑΡΑΓΡΑΦΟΣ 2. Γενική µορφή εξίσωσης ευθείας Αυτό σημαίνει ότι οι συντεταγμένες του Α επαληθεύουν την εξίσωση της εκφώνησης, οπότε κάθε ευθεία που αυτή παριστάνει διέρχεται από το σημείο Α(−1,− 2) . ( )! γ. Το διάνυσμα δ = −(α2 + α + 1) , − (α2 + 2α) είναι παράλληλο σε κάθε ευθεία που !\" η εξίσωση της εκφώνησης παριστάνει, ενώ το δ1 = (−1,− 1) είναι παράλληλο στην (ζ). ! \"! ! \"! Ισχύει ε ⊥ ζ ⇔ δ ⊥ δ1 ⇔ δ ⋅ δ1 = 0 , από όπου έχω −(α2 + α + 1) ⋅ (−1) + ⎡⎢⎣−(α2 + 2α)⎦⎥⎤ ⋅ (−1) = 0 ⇔ α2 + α + 1 + α2 + 2α = 0 ⇔ ⇔ 2α2 + 3α + 1 = 0 ⇔ α = − 1 ή α = −1 . 2 Ι. Για α = − 1 , από την εξίσωση της εκφώνησης προκύπτει η ευθεία 2 ε : ⎡⎢⎣⎢⎢ ⎜⎜⎝⎛⎜− 1 ⎟⎟⎠⎞⎟⎟2 + 2 ⋅ −1 ⎥⎥⎤⎦⎥ ⋅x − ⎢⎣⎡⎢⎢ ⎝⎛⎜⎜⎜− 1 ⎟⎟⎞⎟⎟⎠2 − 1 + 1 ⎦⎥⎥⎥⎤ ⋅ y − ⎝⎜⎜⎜⎛− 21 ⎟⎟⎟⎠⎟⎞2 −2 = 0 ⇔ 2 2 2 2 ⇔ ε : ⎝⎜⎜⎜⎛ 1 − 1⎟⎟⎠⎟⎟⎞ x − ⎜⎝⎜⎜⎛ 1 + 21⎞⎟⎠⎟⎟⎟ y − 1 −2 = 0 ⇔ ε:− 3 x − 3 y− 9 = 0 ⇔ ε : x+ y +3 = 0 . 4 4 4 4 4 4 ΙΙ. Για α = −1 , από την εξίσωση της εκφώνησης προκύπτει η ευθεία ε : x + y + 3 = 0 , όπως προκύπτει από την τιμή του α που έθεσα στο (β). Τελικά, η ζητούμενη ευθεία είναι η ε : x + y + 3 = 0 . δ. Πρόσεξε πολύ αυτό το ζητούμενο! Η εξίσωση της (η) ισοδύναμα γράφεται η : 2x + y = 0 . Αν η (η) ανήκει στην οικογένεια ευθειών της εκφώνησης, τότε θα υπάρχει αριθμός α, για τον οποίο θα ισχύουν ⎪⎪⎪⎧⎪⎨⎪⎪⎪⎩⎪ ⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎪⎪⎬⎫ , α2 + 2α = 2 και − (α2 + α + 1) = 1 και − α2 − 2 = 0 δηλαδή το σύστημα αυτό θα έχει λύση ως προς α. - 526 - Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηματικών • www.mathsteki.gr

Μαθηματικά Προσανατολισμού Β΄Λυκείου • ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 • Η ευθεία στο επίπεδο ΠΑΡΑΓΡΑΦΟΣ 2. Γενική µορφή εξίσωσης ευθείας Όμως η τρίτη εξίσωση ισοδύναμα γράφεται α2 + 2 = 0 και είναι αδύνατη, αφού είναι α2 + 2 > 0 , για κάθε α ∈ ! . Αυτό σημαίνει ότι το σύστημα είναι αδύνατο, οπότε η (η) δεν ανήκει στην οικογένεια ευθειών που ορίζει η εξίσωση της εκφώνησης. Άσκηση 354 Να βρείτε την οξεία γωνία που σχηματίζουν οι ευθείες ε1 : y = αx και ε2 : (α + 1)x = (1 − α)y , α ∈ ! . Λύση !\" Η εξίσωση της (ε1) ισοδύναμα γράφεται ε1 : αx − y = 0 και το διάνυσμα δ1 = (−1,− α) είναι παράλληλο σε αυτήν. Η εξίσωση της (ε2) ισοδύναμα γράφεται ε2 : (α + 1)x − (1 − α)y = 0 ⇔ ε2 : (α + 1)x + (α − 1)y = 0 ( )!\" και το διάνυσμα δ2 = α − 1 , − (α + 1) είναι παράλληλο σε αυτήν. !\" !\" Αν θ είναι η γωνία των (ε1) , (ε2) και φ η γωνία των δ1 , δ2 , τότε η θ είναι ίση ή παρα- πληρωματική της φ. , όπου: !\" !\" Ισχύει συνϕ = !δ\"1 ⋅ δ!2\" δ1 ⋅ δ2 • !\" !\" = −1 ⋅ (α − 1) + (−α) ⋅ ⎡⎣⎢−(α + 1)⎦⎤⎥ = −α + 1 + α2 + α = α2 + 1 . δ1 ⋅ δ2 !\" • δ1 = (−1)2 + (−α)2 = α2 + 1 . • !\" (α − 1)2 + ⎢⎣⎡−(α + 1)⎥⎦⎤2 = α2 + 1 − 2α + α2 + 1 + 2α = 2α2 + 2 = 2(α2 + 1) = δ2 = = 2 ⋅ α2 + 1 . Άρα είναι συνϕ = α2 + 1 = 1= 2 , 2 2 α2 + 1 ⋅ 2 ⋅ α2 + 1 - 527 - Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηματικών • www.mathsteki.gr

Μαθηματικά Προσανατολισμού Β΄Λυκείου • ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 • Η ευθεία στο επίπεδο ΠΑΡΑΓΡΑΦΟΣ 2. Γενική µορφή εξίσωσης ευθείας δηλαδή ϕ = 45ο , αφού 0ο ≤ ϕ ≤ 180ο . Επομένως είναι και θ = 45ο . Άσκηση 355 Πρόσεξέ την πάρα πολύ! Δίνεται η εξίσωση (κ − 1)x + (λ2 − κλ + 1)y + κ − 2 = 0 , κ , λ ∈ ! . α. Να δείξετε ότι, για κάθε κ , λ ∈ ! , η εξίσωση παριστάνει ευθεία γραμμή. β. Ποια από τις παραπάνω ευθείες διέρχεται από την αρχή των αξόνων και σχηματί- ζει με τον άξονα x΄x γωνία ω = 135ο ; Λύση α. Η εξίσωση δεν παριστάνει ευθεία, όταν ισχύουν ⎪⎧⎨⎪⎪⎩⎪ κ − 1 = 0 και ⎪⎭⎪⎪⎪⎬⎫ . λ2 − κλ + 1 = 0 Από την πρώτη εξίσωση έχω κ = 1 , τιμή που αντικαθιστώ στην δεύτερη και έχω λ2 − λ + 1 = 0 , άτοπο, αφού η εξίσωση είναι αδύνατη (έχει διακρίνουσα (−1)2 − 4 ⋅1 ⋅1 = −3 ). Άρα η εξίσωση της εκφώνησης παριστάνει ευθεία, για κάθε κ , λ ∈ ! . β. Η ευθεία διέρχεται από την αρχή των αξόνων, όταν (κ − 1) ⋅ 0 + (λ2 − κλ + 1) ⋅ 0 + κ − 2 = 0 ⇔ κ − 2 = 0 ⇔ κ = 2 . Τότε προκύπτει η ευθεία ε : x + (λ2 − 2λ + 1)y = 0 ⇔ ε : x + (λ − 1)2 y = 0 (1) Η (ε) σχηματίζει με τον x΄x γωνία 135ο , όταν ( )λε = εϕ135ο ⇔ λε = εϕ 180ο − 45ο ⇔ λε = −εϕ45ο ⇔ λε = −1 (2) Είναι λε = − 1 . (λ − 1)2 Αν ήταν λ − 1 = 0 ⇔ λ = 1 , τότε δεν θα ορίζονταν ο λε , που σημαίνει ότι η (ε) θα ήταν κάθετη στον άξονα x΄x, άτοπο, διότι τότε δεν θα σχημάτιζε γωνία 135ο με αυτόν. - 528 - Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηματικών • www.mathsteki.gr

Μαθηματικά Προσανατολισμού Β΄Λυκείου • ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 • Η ευθεία στο επίπεδο ΠΑΡΑΓΡΑΦΟΣ 2. Γενική µορφή εξίσωσης ευθείας Άρα είναι λ − 1 ≠ 0 ⇔ λ ≠ 1 και από την (2) προκύπτει − 1 = −1 ⇔ (λ − 1)2 =1⇔ λ−1= 1 ή λ − 1 = −1 ⇔ λ = 2 ή λ = 0. (λ − 1)2 Ι. Για λ = 2 , από την (1) έχω την ευθεία ε : x + y = 0 . ΙΙ. Για λ = 0 , από την (1) έχω την ευθεία ε : x + y = 0 . Τελικά, η ζητούμενη ευθεία είναι η ε : x + y = 0 . - 529 - Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηματικών • www.mathsteki.gr

Η ΨΗΦΙΑΚΗ ΤΟΥ ΜΟΡΦΗ ΠΑΡΕΧΕΤΑΙ ΓΙΑ ΔΩΡΕΑΝ ΜΕΛΕΤΗ ΑΠΟΚΛΕΙΣΤΙΚΑ ΑΠΟ ΤΗΝ ΙΣΤΟΣΕΛΙΔΑ “ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟ ΣΤΕΚΙ” - www.mathsteki.gr