ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ - Κεφάλαιο 4

4ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΠΑΡΑΛΛΗΛΕΣ ΕΥΘΕΙΕΣ Στο κεφάλαιο αυτό θα μελετήσουμε τις παράλληλες ευθείες. Αρχικά, με βάση τις γωνίες που σχηματίζουν δύο παράλληλες και μία τέμνουσα θα κατασκευάσουμε από σημείο εκτός ευθείας μία παράλληλη προς αυτή. Στη συνέχεια, θα δεχθούμε ως αξίωμα το αίτημα παραλληλίας, που είναι ισοδύναμο με το Ευκλείδειο αίτημα και θα μελετήσουμε τις συνέπειές του στα τρίγωνα. Lázlό Moholy-Nagy (Ούγγρος, 1895-1946), «Χρώμα -δικτύωμα νο.1» 1922. 79

ΕΥΚΛΕΙ∆ΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ 4.1 Εισαγωγή (α) ε1 ε2 Όπως είδαμε στην §2.3, δύο διαφορετικές ευθείες μπορεί να έχουν ένα μόνο κοινό σημείο ή να μην έχουν κανένα κοινό σημείο. (β) ε1 Επομένως, οι σχετικές θέσεις δυο ευθειών ε1 και ε2, οι οποί- A ες βρίσκονται στο ίδιο επίπεδο, είναι οι παρακάτω: (γ) ε2 ε1 i) ταυτίζονται (σχ.1α), ε2 Σχήµα 1 ii) τέμνονται (σχ.1β), iii) δεν τέμνονται (σχ.1γ). Στην τρίτη περίπτωση οι ευθείες ε1 και ε2 λέγονται παράλ- ληλες, ώστε: IT 'oTE Siro Evokes Δυο ευθείες ε1 και ε2 που βρίσκονται στο ίδιο επίπεδο και δεν έχουν κοινό σημείο λέγονται παράλληλες ευθείες. Adyar Tai Map a' 77nA es Για να δηλώσουμε ότι οι ε1 και ε2 είναι παράλληλες, γρά- φουμε ε1//ε2. 4.2 Τέµνουσα δύο ευθειών - Ευκλείδειο αίτηµα β ε3 Ας θεωρήσουμε δύο ευθείες ε1 και ε2 του επιπέδου, οι οποίες τέμνονται από τρίτη ευθεία ε3. αρατηρούμε ότι σχηματί- γ α ε1 ζονται οκτώ γωνίες. δ ε2 ι γωνίες γ, δ, ε, ζ που βρίσκονται μεταξύ των ε1, ε2 λέγο- ζε νται “εντός”, ενώ οι γωνίες α, β, η, θ λέγονται “εκτός”. Δύο ηθ γωνίες που βρίσκονται προς το ίδιο μέρος της τέμνουσας ε3 λέγονται “επί τα αυτά μέρη”, ενώ δύο γωνίες που βρίσκο- Σχήµα 2 νται εκατέρωθεν της ε3 λέγονται “εναλλάξ”. Xaeaktn pi quoi Έτσι, με συνδυασμό και των δύο χαρακτηρισμών, οι γωνίες ε και γ λέγονται εντός εναλλάξ, οι γωνίες ε και α λέγονται 8W Vice V Ws Neos εντός εκτός και επί τα αυτά μέρη, ενώ οι γωνίες ε και δ Thr 9 I on tous λέγονται εντός και επί τα αυτά μέρη. Χρησιμοποιώντας τις παραπάνω γωνίες, θα αποδείξουμε το επόμενο θεώρημα, που εξασφαλίζει την ύπαρξη παράλλη- λων ευθειών. * ** ΘΕΩΡΗΜΑ Kp Ith f 10 Αν δύο ευθείες τεμνόμενες από τρίτη σχηματίζουν δύο εντός εναλλάξ γωνίες ίσες, τότε είναι παράλληλες. Tapa mains ΑΠΟ∆ΕΙΞΗ Έστω ότι ω = φ. Αν οι ευθείες ε1, ε2 τέμνονται σε σημείο Γ, 80

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4. ΠΑΡΑΛΛΗΛΕΣ ΕΥΘΕΙΕΣ Aε ε1 η εξωτερική γωνία φ του τριγώνου ΑΒΓ θα είναι ίση με την ω απέναντι εσωτερική γωνία ω, που είναι άτοπο. (§3.10) Γ φ B ε2 Άρα ε1//ε2. Σχήµα 3 ΠΟΡΙΣΜΑ Ι * ** Αν δύο ευθείες τεμνόμενες από τρίτη σχηματίζουν δύο Kp Italia εντός, εκτός και επί τα αυτά μέρη γωνίες ίσες ή δύο εντός και επί τα αυτά μέρη παραπληρωματικές, τότε είναι πα- Tapa y- ράλληλες. Aias ΠΟΡΙΣΜΑ ΙΙ ** Δύο ευθείες κάθετες στην ίδια ευθεία, σε διαφορετικά Kelt n' pio σημεία της, είναι μεταξύ τους παράλληλες. Tapa y- Aias ΑΠΟ∆ΕΙΞΗ A ε1 ράγματι οι γωνίες ω και φ (σχ.4α) είναι ορθές, οπότε ω ω = φ. Άρα ε1//ε2. φ ε2 Θα εξετάσουμε τώρα αν από σημείο εκτός ευθείας μπορού- (α) B με να φέρουμε παράλληλες ευθείες προς αυτή και πόσες. A ε Έστω λοιπόν, ευθεία ε και σημείο Α εκτός αυτής (σχ.4β). Φέρουμε την ΑΒ⊥ε και ονομάζουμε εʹ την ευθεία που είναι κάθετη στην ΑΒ στο σημείο Α. Τότε εʹ//ε (αφού και οι δύο (β) B ε είναι κάθετες στην ΑΒ). Σχήµα 4 Έτσι λοιπόν υπάρχει ευθεία εʹ που διέρχεται από ένα ση- μείο Α που δεν ανήκει στην ε και είναι παράλληλη προς την ευθεία ε. Δεχόμαστε ως αξίωμα ότι η ευθεία αυτή είναι μοναδική, δηλαδή: Αίτηµα παραλληλίας Από σημείο εκτός ευθείας άγεται μία μόνο παράλλη- λη προς αυτή. ΣΧΟΛΙΟ Το παραπάνω αξίωμα είναι ισοδύναμο με το 5ο αίτημα των “Στοιχεί- ων” του Ευκλείδη (Ευκλείδειο αίτημα). Το Ευκλείδειο αίτημα ή κάποιο ισοδύναμό του καθορίζει τη φύση ολόκληρης της Γεωμετρίας και αποτελεί βάση για τα περισσότερα θεωρήματα της Ευκλείδειας Γεωμετρίας. (βλ. στορικό σημείωμα, σελ. 96) 81

ΕΥΚΛΕΙ∆ΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Ιδιότητες παράλληλων ευθειών Άμεσες συνέπειες του αιτήματος παραλληλίας είναι οι πα- ρακάτω προτάσεις. ** * ΠΡΟΤΑΣΗ Ι 181 'oTn Toe Αν δυο παράλληλες ευθείες τέμνονται από τρίτη, σχημα- Mapa 77nA ios τίζουν τις εντός εναλλάξ γωνίες ίσες. Aε ε1 ΑΠΟ∆ΕΙΞΗ ω Έστω ότι ε1//ε2 και ε μια τέμνουσα (σχ.5). Θα αποδείξουμε x φ ε2 π.χ. ότι ω = φ. Αν οι γωνίες ω και φ δεν είναι ίσες, φέρουμε B την Αx ώστε οι γωνίες xÂB και φ να βρίσκονται εκατέρωθεν ε1 της ε και να είναι ίσες. Τότε Αx//ε2 γιατί τεμνόμενες από την ε2 Σχήµα 5 ΑΒ σχηματίζουν δύο εντός και εναλλάξ γωνίες ίσες. ατά συνέπεια υπάρχουν δύο παράλληλες από το Α προς την ε2, 82 που είναι άτοπο. Άρα ω = φ. *** ΠΟΡΙΣΜΑ Αν δύο παράλληλες ευθείες τέμνονται από τρίτη σχημα- 1816in TES τίζουν Mae amentia s i) τις εντός εκτός και επί τα αυτά μέρη γωνίες ίσες, ii) τις εντός και επί τα αυτά μέρη γωνίες παραπληρωμα- τικές. A ΠΡΟΤΑΣΗ ΙΙ ( Iorio Tntoe Mapa 77nA ins ) ε Αν δύο διαφορετικές ευθείες ε1 και ε2 είναι παράλληλες Σχήµα 6 προς μία τρίτη ευθεία ε, τότε είναι και μεταξύ τους πα- ράλληλες, δηλαδή αν ε1//ε και ε2//ε, τότε ε1//ε2. ΑΠΟ∆ΕΙΞΗ Αν οι ε1 και ε2 τέμνονταν σε σημείο Α, θα είχαμε από το Α δύο παράλληλες προς την ε, που είναι άτοπο. Άρα ε1//ε2. ΠΡΟΤΑΣΗ ΙΙΙ ( GoI' Mapa 77nA ios ) Tutor Αν δύο ευθείες ε1 και ε2 είναι παράλληλες και μία τρίτη ευθεία ε τέμνει τη μία από αυτές, τότε η ε θα τέμνει και Aε ε1 την άλλη. ε2 ΑΠΟ∆ΕΙΞΗ Σχήµα 7 Υποθέτουμε ότι η ε τέμνει την ε1 στο Α. Αν η ε δεν έτεμνε την ε2, θα ήταν ε//ε2 και έτσι θα είχαμε από το Α δύο παράλ- ληλες προς την ε2, πράγμα αδύνατο. Άρα η ε τέμνει την ε2.

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4. ΠΑΡΑΛΛΗΛΕΣ ΕΥΘΕΙΕΣ ΠΟΡΙΣΜΑ Αν μια ευθεία είναι κάθετη σε μια από δύο παράλληλες ευθείες, τότε είναι κάθετη και στην άλλη. ε ε1 ΠΡΟΤΑΣΗ ΙV A ε2 Αν δύο ευθείες τεμνόμενες από τρίτη σχηματίζουν τις 1φ εντός και επί τα αυτά μέρη γωνίες με άθροισμα μικρότε- ρο από 2 ορθές, τότε οι ευθείες τέμνονται προς το μέρος ω της τέμνουσας που βρίσκονται οι γωνίες. B ΑΠΟ∆ΕΙΞΗ Σχήµα 8 Έστω ότι η ε τέμνει τις ε1, ε2 στα Α και Β (σχ.8) αντίστοιχα ΣΧΟΛΙΟ και ότι φ + ω ≠ 2⌊. Τότε οι ε1 και ε2 δεν είναι παράλληλες, αφού φ + ω ≠ 2⌊ ( όρισμα σελ. 82). Έστω ότι οι ε1 και ε2 Η πρόταση IV αποτελεί βασικό τέμνονται σε σημείο , προς το μέρος της τέμνουσας, που κριτήριο με το οποίο εξετάζου- δεν περιέχει τις γωνίες ω και φ. Τότε, όμως, η εξωτερική με αν δύο ευθείες τέμνονται. γωνία ω του τριγώνου Α Β είναι μεγαλύτερη από τη γωνία Â1, δηλαδή ω > Â1 = 2⌊ – φ ή ω + φ > 2⌊, που είναι άτοπο. Άρα οι ε1, ε2 τέμνονται προς το μέρος της τέμνουσας που βρίσκονται οι γωνίες ω και φ. ΠΟΡΙΣΜΑ Η κατασκευή τριγώνου με δοσμένη μία πλευρά και τις δύο προσκείμενες σε αυτή γωνίες έχει λύση, αν και μόνο αν το άθροισμα των δύο γωνιών είναι μικρότερο των δύο ορθών. (βλέπε §3.18 - ρόβλημα 2) 4.3 Κατασκευή παράλληλης ευθείας Είδαμε παραπάνω ότι υπάρχει ευθεία εʹ, η οποία διέρχεται ΓA ε από ένα σημείο Α και είναι παράλληλη προς γνωστή ευθεία φ ε. Για την κατασκευή της εʹ φέρουμε από το Α ένα πλάγιο φ τμήμα ΑΒ προς την ε και ονομάζουμε φ την οξεία γωνία που B ε σχηματίζει το ΑΒ με την ε. εταφέρουμε τη γωνία φ (§2.6) Σχήµα 9 ώστε να έχει κορυφή το Α, η μια πλευρά της να είναι η ΑΒ και η άλλη πλευρά της ΑΓ να βρίσκεται στο ημιεπίπεδο που δεν ανήκει η γωνία φ. Επειδή ΓÂΒ = φ έχουμε ΑΓ//ε, αφού τεμνόμενες από την ΑΒ, σχηματίζουν δύο εντός και εναλλάξ γωνίες ίσες. Έτσι η ευθεία ΑΓ είναι η ζητούμενη ευθεία εʹ. 83

ΕΥΚΛΕΙ∆ΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ yy 4.4 Γωνίες µε πλευρές παράλληλες z φ ω φ ω x Ας θεωρήσουμε δύο γωνίες xÂy και xʹB̂ yʹ με Αx//Βxʹ και z A Γ x Αy//Βyʹ, δηλαδή δύο γωνίες που έχουν τις πλευρές τους, μία ω φφ ω προς μία παράλληλες. Αν προεκτείνουμε τις Βxʹ και Byʹ θα φ B ω φ τέμνουν τις Αx και Αy στα σημεία Γ και Δ αντίστοιχα. Έτσι Δ όλες οι γωνίες του σχήματος 10 λόγω των παραλλήλων θα ω είναι ίσες με ω ή φ. ω φω φ αρατηρούμε ότι: εε • Αν και οι δύο γωνίες είναι οξείες (σχ.11), είναι ίσες. Σχήµα 10 • Αν και οι δύο γωνίες είναι αμβλείες (σχ.12), είναι ίσες. ωω ω • Αν η μία γωνία είναι οξεία και η άλλη αμβλεία (σχ.13), είναι παραπληρωματικές. Σχήµα 11 Συμπεραίνουμε λοιπόν ότι: ** Δύο γωνίες που έχουν τις πλευρές τους παράλληλες, μία φ προς μία, είναι ίσες αν είναι και οι δύο οξείες ή αμβλείες, φφ ενώ είναι παραπληρωματικές αν η μία γωνία είναι οξεία και η άλλη αμβλεία. Σχήµα 12 ωφ Σχήµα 13 ** * ΕΦΑΡΜΟΓΗ Έστω ε1 και ε2 δύο παράλληλες που τέμνονται από ευ- Δ Α ε x EHMANTIKEL θεία ε. ω ε1 MPOTAEEIE ! αποδεTιoχ' θTεEί φ y ε2 Να : z Naas ότι srrweifete ! i) Οι διχοτόμοι δύο εντός εναλλάξ γωνιών είναι πα- BΓ ράλληλες. Σχήµα 14 ii) Οι διχοτόμοι δύο εντός και επί τα αυτά μέρη γωνιών είναι κάθετες. Απόδειξη i) Έστω Αx, By οι διχοτόμοι των γωνιών ΔÂΒ και ΑB̂ Γ αντίστοιχα. Τότε ω = ΔÂΒ και φ= ΑB̂ Γ . Αλλά ΔÂΒ = ΑB̂ Γ (ως εντός εναλλάξ). 2 2 Από τα παραπάνω προκύπτει ότι ω = φ. ι ω και φ όμως είναι εντός εναλλάξ γωνίες των ευθειών Αx και By με τέμνουσα την ΑΒ. Άρα Αx//By. ii) Αν Αz διχοτόμος της ÂΒ, τότε Αz⊥Αx (ως διχοτόμοι εφεξής και παραπληρω- ματικών γωνιών). Αφού Αx//By, θα είναι και Az⊥By. 84

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4. ΠΑΡΑΛΛΗΛΕΣ ΕΥΘΕΙΕΣ Tee iyeypapyueros ' KAOS Ku 4.5 Αξιοσηµείωτοι κύκλοι τριγώνου 1) Tia Koi QE Tpigwvo , vital XU Kirk Aos Στην παράγραφο αυτή χρησιμοποιούμε το Ευκλείδειο αί- τημα για να μελετήσουμε τους κύκλους που σχετίζονται με IdfTou XE Tal Kae cand TIS Tf us Ko pug Is ένα τρίγωνο. Tov . O ' auto's or quoi3 ET on Ku KAOS Tep ljEjpaµµ£voS Kd KAOS Tou Tpljwvou . ► Ο περιγεγραµµένος κύκλος τριγώνου 2) TO KEVTpo auto 'u Tou KIKA ou Θα αποδείξουμε ότι για κάθε τρίγωνο υπάρχει κύκλος που [email protected] διέρχεται από τις τρεις κορυφές του. κύκλος αυτός λέ- w's bpioketai : Ce e' pvoupee Tis peso - γεται περιγεγραμμένος κύκλος του τριγώνου και επιπλέον αποδεικνύεται ότι το κέντρο του είναι ένα σημείο στο οποίο TpljwvouKao I Tous TWV MAE up W' v Too . συντρέχουν και οι τρεις μεσοκάθετοι του τριγώνου και λέ- AUTE's TIµvoV TaxOTO icloonpeeio , To γεται περίκεντρο. ↳ 8470184 TeKa , ol Ecs Eof Ei ES Telfer OV Toll OTO Otto Io Eivai To ME @ i KEVTPO . ΘΕΩΡΗΜΑ iclosypeeio 3) Ak Tira Too Tlepijojpoepyuevou KIKA ou ι τρεις μεσοκάθετοι ενός τριγώνου διέρχονται από το ίδιο σημείο, το οποίο είναι κέντρο κύκλου που διέρχεται Eivoei n are O' stash Tou ME @ I KEVTPOU ARE από τις κορυφές του τριγώνου. 01701 Afi NOTE Kofu Gmt TOU Teljwvou . A Rep i KEVTPO ΑΠΟ∆ΕΙΞΗ OA = OB = of x µ Έστω τρίγωνο ΑΒΓ και , , τα μέσα των πλευρών του ΑΒ, ΒΓ και ΑΓ αντίστοιχα. ι μεσοκάθετοι x και y των 9K Tires too Γ ΑΒ, ΒΓ θα τέμνονται σε σημείο , αφού τέμνονται οι κάθε- τες ευθείες τους ΑΒ και ΒΓ. Το ισαπέχει από τις κορυφές Α IT Epljeypoepepeevou και Β αφού ανήκει στη μεσοκάθετο της πλευράς ΑΒ, δηλαδή KIKA ou B Α = Β. Επίσης Β = Γ, αφού το ανήκει στη μεσοκά- θετο της πλευράς ΒΓ. Επομένως ισχύει ότι Α = Γ, οπότε y το θα ανήκει και στη μεσοκάθετο της ΑΓ. Άρα, ο κύκλος Σχήµα 15 (O, OA) θα διέρχεται από τις τρεις κορυφές του τριγώνου ΑΒΓ και είναι ο περιγεγραμμένος κύκλος του τριγώνου. Egger @aiyueros Kd KAOS 1) IT a Koi OE Tpigwvo ultapxel Kd KAOS 1700 ► Ο εγγεγραµµένος κύκλος τριγώνου , Ένας άλλος σημαντικός κύκλος βρίσκεται στο εσωτερικό τρι- be idk Etat GTO EWE ' Kal Eq Oi 17 TE - γώνου και εφάπτεται και στις τρεις πλευρές του. Θα αποδεί- ξουμε ότι για κάθε τρίγωνο υπάρχει κύκλος με την ιδιότητα Elko tou αυτή. κύκλος αυτός λέγεται εγγεγραμμένος κύκλος του τρι- γώνου και το κέντρο του, το οποίο λέγεται έγκεντρο, θα είναι Toll OTIS Tf Els 177 EYE 's Tov . O Kd KAOS auto 's το σημείο τομής των διχοτόμων των γωνιών του τριγώνου. ' ΘΕΩΡΗΜΑ OVO µ a' fetal Egjejpoepepedros Ku KAOS Too ι διχοτόμοι των γωνιών ενός τριγώνου διέρχονται από το ίδιο σημείο, το οποίο είναι κέντρο κύκλου που εφάπτεται Tplyalvou . και στις τρεις πλευρές του τριγώνου. 2) To Kelvtpo au tou teaTou Kd Khoo Ovo - JETAI I JKEVTPO Tou tpiywvou . Tw 's bpisketou : gdp route E TIS oixotopeous jwviwv jwvouTWV . Ao TES Telfer or toll Too Tp I Gto iciosnpeeio , to octoio Eivoel TO E gkeitfo . 3) Aktiva Tou Ejgefpapyyevou KIK Aou Eiu at 85 n and story To u I gkevtoou and 0 Moca 8h'M OTE tilapia Too Tpljwvou .

ΕΥΚΛΕΙ∆ΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΑΠΟ∆ΕΙΞΗ IN = IN = IN A Keri fo Έστω τρίγωνο ΑΒΓ και οι διχοτόμοι ΒΕ και ΓΖ των γωνιών του B̂ και Γ̂ αντίστοιχα. ι ΒΕ και ΓΖ τέμνονται σε σημείο I a KT IVES TOO Ε B̂ Γ̂ Ζ αφού ΕB̂ Γ + ΖΓ̂ Β = 2 + 2 < B̂ + Γ̂ < 2⌊. (§4.2 - ρόταση IV) Egger @ ape - B̂ θα ισαπέχει από τις πλευ- petrov Kirk 700 Το ως σημείο της διχοτόμου της B ΘΔ Γ ρές της ΒΑ και ΒΓ, δηλαδή = Θ. Ανάλογα το θα ισαπέχει από τις πλευρές της Γ̂ , δηλαδή Θ = . Επομένως το ισαπέχει Σχήµα 16 από τις ΑΒ και ΑΓ και θα ανήκει στη διχοτόμο της γωνίας Â. Τελικά, το είναι το σημείο τομής και των τριών διχοτόμων του τριγώνου. ε κέντρο το και ακτίνα την κοινή από- σταση του από τις πλευρές του ΑΒΓ, γράφεται κύκλος που εφάπτεται και στις τρεις πλευρές του τριγώνου. ΕΦΑΡΜΟΓΗ Οι παρεγγεγραµµένοι κύκλοι τριγώνου Η ιδιότητα των εσωτερικών διχοτόμων ενός τριγώνου να διέρχονται από το ίδιο σημείο ισχύει και όταν θεωρήσουμε δύο εξωτερικές και μία εσωτερική διχοτόμο του τριγώνου. ι τρεις αυτές διχοτόμοι τέμνονται σε σημείο το οποίο είναι κέντρο κύκλου που εφάπτεται στη μία πλευρά του τριγώνου και στις προεκτάσεις των δύο άλλων. κύκλος αυτός λέγεται παρεγγεγραμμένος και το κέντρο του παράκεντρο του τριγώνου. Σε κάθε τρίγωνο υπάρχουν τρία παράκεντρα, τα οποία συμβολίζουμε α, β, γ, και κατά συνέπεια τρεις παρεγγεγραμμένοι κύκλοι (σχ.17α,β). Οι διχοτόμοι δύο εξωτερικών γωνιών ενός τριγώνου και η ημιευθεία που διχοτο- μεί την τρίτη γωνία του τριγώνου διέρχονται από το ίδιο σημείο, το οποίο είναι κέντρο κύκλου που εφάπτεται στη μία πλευρά του τριγώνου και στις προεκτά- σεις των δύο άλλων. Απόδειξη A A β B γ Γ Γ B α α yx β α Σχήµα 17 86

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4. ΠΑΡΑΛΛΗΛΕΣ ΕΥΘΕΙΕΣ Ας θεωρήσουμε τις διχοτόμους Βx και Γy των δύο εξωτερικών γωνιών B̂ εξ και Γ̂ εξ αντίστοιχα, του τριγώνου ΑΒΓ. ι Βx και Γy τέμνονται σε σημείο Iα, αφού ισχύει ότι: B̂ εξ Γ̂ εξ B̂ Γ̂ xB̂ Γ + yΓ̂ Β = + = 2⌊ – + < 2⌊. 2 2 Το α ισαπέχει από τη ΒΓ και την προέκταση της ΑΒ, καθώς και από την προέκταση της ΑΓ. Επομένως ανήκει στη διχοτόμο της γωνίας Â, αφού ισαπέχει από τις πλευρές της. ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ Ερωτήσεις Κατανόησης Ασκήσεις Εµπέδωσης 1. i) Πώς ονομάζονται οι γωνίες α και β του 1. Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ και ευ- παρακάτω σχήματος; Τι σχέση έχουν θεία ε παράλληλη προς τη βάση του ΒΓ, μεταξύ τους; που τέμνει τις ΑΒ και ΑΓ στα Δ και Ε αντίστοιχα. Να αποδείξετε ότι το τρίγωνο ii) Τι ισχύει για τις γωνίες γ̂ και δ̂ ; ΑΔΕ είναι ισοσκελές. ε 2. Δίνεται γωνία xÔy και σημείο Α της διχο- τόμου της. Αν η παράλληλη από το Α προς αδ ε1 την Ox τέμνει την Oy στο Β, να αποδείξετε ότι το τρίγωνο ΟΑΒ είναι ισοσκελές. γ ε2 β 3. Δίνεται γωνία xÔy και η διχοτόμος της ΟΔ. Από σημείο Α της Oy φέρουμε πα- 2. Να εξηγήσετε γιατί η ΑΒ είναι παράλληλη ράλληλη προς την ΟΔ που τέμνει την προ- της ΓΔ. έκταση της Ox στο Β. Να αποδείξετε ότι OA = OB. ΑΒ 4. Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ (AB = ΑΓ) 65o και σημείο Δ της πλευράς ΑΒ. Αν ο κύκλος (Δ, ΔΒ) τέμνει τη ΒΓ στο Ε, να αποδείξετε Γ Δ ότι ΔΕ//ΑΓ. 245o 5. Στις προεκτάσεις των πλευρών ΒΑ, ΓΑ 3. Αν ω= 120° – θ και φ = 60° + θ να εξη- τριγώνου ΑΒΓ παίρνουμε αντίστοιχα τα γήσετε γιατί xxʹ//yyʹ. τμήματα: ΑΔ = ΑΒ και ΑΕ = ΑΓ. Να απο- δείξετε ότι ΔΕ//ΒΓ. xω x 6. Δίνεται κύκλος (Ο, ρ) και Μ το μέσο χορ- φ y δής του ΑΒ. Φέρουμε Ox⊥OM. Να απο- y δείξετε ότι Ox//ΑΒ. 4. Να αναφέρετε πέντε (5) τρόπους για να Αποδεικτικές Ασκήσεις αποδείξουμε ότι δύο ευθείες είναι παράλ- ληλες. 1. Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ (AB = ΑΓ) και η διάμεσος του ΑΜ. Φέρουμε Γx⊥ΒΓ 5. Δύο οξείες γωνίες που έχουν τις πλευρές προς το ημιεπίπεδο που δεν ανήκει το Α τους παράλληλες είναι: και παίρνουμε σε αυτή τμήμα ΓΔ = ΑΒ. Να i) συμπληρωματικές, αποδείξετε ότι η ΑΔ είναι διχοτόμος της ii) ίσες, γωνίας ΜÂΓ. iii) παραπληρωματικές, iv) κανένα από τα παραπάνω. 2. Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και η διχοτόμος του ΑΔ. Από την κορυφή Β φέρουμε ΒΕ//ΑΔ Να δικαιολογήσετε την απάντησή σας. που τέμνει την προέκταση της ΓΑ στο Ε. Να αποδείξετε ότι ΕΓ = ΑΒ + ΑΓ. 87

ΕΥΚΛΕΙ∆ΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ 3. Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ με ΑΒ < ΑΓ και η 2. Από τα άκρα ευθύγραμμου τμήματος ΑΒ εξωτερική διχοτόμος του Αx. Από την κο- φέρουμε προς το ίδιο ημιεπίπεδο δύο πα- ρυφή Β φέρουμε ΒΔ//Αx που τέμνει την ΑΓ ράλληλες ημιευθείες Αx και Βy. Παίρνου- στο Δ. Να αποδείξετε ότι ΔΓ = ΑΓ – ΑΒ. με Γ τυχαίο σημείο του ΑΒ, και στις Αx, Βy τα σημεία Δ και Ε αντίστοιχα, ώστε 4. Από το έγκεντρο , τριγώνου ΑΒΓ φέρουμε ΑΔ = ΑΓ και ΒΕ = ΒΓ. Να αποδείξετε ότι ευθεία παράλληλη της ΒΓ που τέμνει τις η γωνία ΔΓ̂ Ε είναι ορθή. ΑΒ και ΑΓ στα σημεία Δ και Ε αντίστοιχα. Να αποδείξετε ότι ΔΕ = ΒΔ+ΓΕ. 3. Από το παράκεντρο α τριγώνου ΑΒΓ με ΑΒ < ΑΓ φέρουμε παράλληλη στην ΑΒ, 5. Από το έγκεντρο I τριγώνου ΑΒΓ φέρου- που τέμνει τις πλευρές ΒΓ και ΑΓ στα ση- με Δ//ΑΒ και Ε//ΑΓ. Να αποδείξετε ότι μεία Δ και Ε αντίστοιχα. Να αποδείξετε η περίμετρος του τριγώνου Δ Ε ισούται με ότι ΔΕ = ΑΕ – ΒΔ. τη ΒΓ. 4. Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ με ΑΒ < ΑΓ και Μ Α σημείο της πλευράς ΒΓ. Από το Μ φέρου- με παράλληλη προς τη διχοτόμο ΑΔ της Β Γ γωνίας Â, που τέμνει τις ΑΒ και ΑΓ στα σημεία Ε και Ζ αντίστοιχα. Να αποδείξετε ότι: ΔΕ i) Το τρίγωνο ΕΑΖ είναι ισοσκελές. Σύνθετα Θέµατα ii) ΒΕ + ΓΖ = σταθερό. 1. Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ, η διχοτόμος του ΒΔ iii) Αν Μ μέσο της ΒΓ τότε: και η εξωτερική διχοτόμος του Βx. Θεω- ρούμε δύο σημεία Ε και της πλευράς ΑΒ. α) ΒΕ = ΓΖ = ΑΓ + ΑB , Αν ο κύκλος (Ε, ΕΒ) τέμνει τη ΒΔ στο Ζ, 2 ενώ ο κύκλος ( , Β) τέμνει τη Βx στο Μ, να αποδείξετε ότι ΕΖ//Μ . β) ΑΕ = ΑΖ = ΑΓ – ΑB . 2 4.6 Άθροισµα γωνιών τριγώνου Η παραλληλία επιτρέπει να μεταφέρουμε τις γωνίες ενός τριγώνου, ώστε να έχουν κοινή κορυφή μια οποιαδήποτε κορυφή του τριγώνου και να σχηματίζουν ευθεία γωνία (σχ.18). Έτσι μπορούμε να υπολογίσουμε το άθροισμα των γωνιών του τριγώνου. * * * ΘΕΩΡΗΜΑ xA Το άθροισμα των γωνιών κάθε τριγώνου είναι 2 ορθές. → An Aaai ωφ iso µ E 7800 y ΑΠΟ∆ΕΙΞΗ Από μια κορυφή, π.χ. την Α, φέρουμε ευθεία xy//BΓ. Τότε ω = B̂ (1) και φ = Γ̂ (2), ως εντός και εναλλάξ των παραλλή- λων xy και ΒΓ με τέμνουσες ΑΒ και ΑΓ αντίστοιχα. Αλλά ω + Â + φ = 2⌊ (3). B Γ Από τις (1), (2) και (3) προκύπτει ότι Σχήµα 18 Â + B̂ + Γ̂ = 2⌊. 88

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4. ΠΑΡΑΛΛΗΛΕΣ ΕΥΘΕΙΕΣ TIPOEOXH ! ΠΟΡΙΣΜΑΤΑ Auto csevonpeaivel * * * i) άθε εξωτερική γωνία τριγώνου είναι ίση με το άθροισμα των δύο απέναντι εσωτερικών γωνιών του O' Ti Tateigwvoe τριγώνου. Eira , ira ! * * ii) Αν δύο τρίγωνα έχουν δύο γωνίες ίσες, μία προς μία, έχουν και τις τρίτες γωνίες τους ίσες. * * ¥ iii) ι οξείες γωνίες ενός ορθογώνιου τριγώνου είναι συμπληρωματικές. iv) άθε γωνία ισόπλευρου τριγώνου είναι 60ο. A tox 've , Teg = Itis ΑΠΟ∆ΕΙΞΗ B ← i) Έχουμε  + B̂ + Γ̂ = 2⌊ και Γ̂ εξ + Γ̂ = 2⌊, οπότε Γεξ x  + B̂ + Γ̂ = Γ̂ εξ + Γ̂ ή Γ̂ εξ =  + B̂ . Γ ii) – iv) ροφανή. Σχήµα 19 4.7 Γωνίες µε πλευρές κάθετες y * * ΘΕΩΡΗΜΑ A Δυο οξείες γωνίες που έχουν τις πλευρές τους κάθετες ω 1Γ Bx είναι ίσες. zθ y2 x ΑΠΟ∆ΕΙΞΗ Έστω οι γωνίες xÔy = ω και xʹÔʹyʹ= φ με x⊥Oʹxʹ και φ Oy⊥Oʹyʹ. θ Τα τρίγωνα ΑΓ και ʹΒΓ έχουν  = B̂ = 1⌊ και Γ̂ 1 = Γ̂ 2 (κατακορυφήν). z Άρα θα έχουν και τις άλλες γωνίες ίσες, οπότε ω = φ. Σχήµα 20 * * ΠΟΡΙΣΜΑΤΑ i) Δύο αμβλείες γωνίες που έχουν τις πλευρές τους κά- θετες είναι ίσες. ii) Δύο γωνίες που έχουν τις πλευρές τους κάθετες αλλά η μία είναι οξεία και η άλλη αμβλεία είναι παραπλη- ρωματικές. ΑΠΟ∆ΕΙΞΗ i) ράγματι, (σχ.20) είναι θ + ω = 2⌊, θʹ + φ = 2⌊, οπότε θ = θʹ, αφού ω = φ. ii) ράγματι, (σχ.20) είναι θ + ω = 2⌊, οπότε θ + φ = 2⌊, αφού ω = φ. 89

ΕΥΚΛΕΙ∆ΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ A 4.8 Άθροισµα γωνιών κυρτού ν-γώνου B Ας θεωρήσουμε κυρτό πεντάγωνο ΑΒΓΔΕ και τυχαίο εσωτε- Ε 5 1 ρικό σημείο του. Αν ενώσουμε το με τις κορυφές του πεντα- 4 2 γώνου, σχηματίζονται πέντε τρίγωνα. Το άθροισμα των γωνιών κάθε τριγώνου είναι 2 ορθές. Έτσι το άθροισμα των γωνιών 3 Γ και των πέντε τριγώνων είναι (2∙5) ορθές. Αν αφαιρέσουμε το άθροισμα των γωνιών Ô1 + Ô2 + Ô3 + Ô4 + Ô5 = 4 ορθές, θα Δ μείνει το άθροισμα των γωνιών του πενταγώνου, δηλαδή: Σχήµα 21 Â + B̂ + Γ̂ + Δ̂ + Ê = (2∙5 – 4) ορθές. Αν Αν-1 Όμοια, αν το κυρτό πολύγωνο έχει ν πλευρές και ενώσουμε Α1 ν ν-1 4 Α5 το με τις κορυφές του σχηματίζονται ν τρίγωνα. Το άθροι- 3 Α4 12 σμα των γωνιών των ν τριγώνων είναι 2ν ορθές. Αν αφαι- ρέσουμε το άθροισμα των γωνιών Ô1+Ô2+Ô3+ ... +Ôν = 4 ορθές έχουμε: Â1 + Â2 + Â3 +...+ Âν = (2ν – 4) ορθές. Α2 Α3 αταλήξαμε λοιπόν στο συμπέρασμα ότι πρέπει: ** Το άθροισμα των γωνιών κυρτού ν-γώνου να είναι 2ν – 4 I Afp 016µA zwviwr Σχήµα 22 ορθές. → Antony ' Eira , iso pee ( 2v - 4) . 900 Kuptou Άλλη απόδειξη. Ας θεωρήσουμε κυρτό πολύγωνο Α1Α2... Αν με ν πλευρές και ας φέρουμε από μια κορυφή του, π.χ. v - jcevou την Α1, όλες τις διαγωνίους που διέρχονται από αυτή. Έτσι Α1 Αν το πολύγωνο διαιρείται σε ν – 2 τρίγωνα, γιατί σε καθεμιά Α2 Αν-1 από τις πλευρές του, εκτός των Α1Α2 και Α1Αν που διέρχο- νται από την κορυφή Α1, αντιστοιχεί ένα τρίγωνο. Επειδή το άθροισμα των γωνιών των ν – 2 τριγώνων είναι 2(ν – 2) = Α3 (2ν – 4) ορθές και ισούται με το άθροισμα των γωνιών του Α4 Α5 πολυγώνου, προκύπτει ότι: Σχήµα 23 Το άθροισμα των γωνιών κυρτού ν-γώνου είναι 2ν – 4 ορθές. * * ΠΟΡΙΣΜΑ ' Το άθροισμα των εξωτερικών γωνιών κυρτού ν-γώνου AO-poiopeaefwteelkwvjwrlw.ir είναι 4 ορθές. → Antacid Eira , too fee 4.900=3600 Kuetou Α1 Αν v - juror ΑΠΟ∆ΕΙΞΗ Α2 ⎧ Â1εξ + Â1 = 2⌊ Α3 ⎪ Â2εξ + Â2 = 2⌊ Έχουμε ⎨ ... + ... = ... προσθέτουμε κατά μέλη οπότε: ⎪⎩ Âνεξ + Âν = 2⌊ (Â1εξ + Â2εξ + ... + Âνεξ) + (Â1 + Â2 + ... + Âν) = 2ν⌊ ή Α4 (Â1εξ + Â2εξ + ... + Âνεξ) + (2ν – 4)⌊ = 2v⌊ ή Σχήµα 24 Â1εξ + Â2εξ+ ... + Âνεξ = 4⌊. 90

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4. ΠΑΡΑΛΛΗΛΕΣ ΕΥΘΕΙΕΣ ΕΦΑΡΜΟΓΗ 1 η Θεωρούμε τρίγωνο ΑΒΓ και τη διχοτόμο Αx της εξωτερικής Α2ω x γωνίας Â του τριγώνου. Να αποδειχθεί ότι το τρίγωνο είναι 1ω ισοσκελές, αν και μόνο αν Αx//ΒΓ. Απόδειξη γβ i) Αν β = γ τότε B̂ = Γ̂ = ω. Βω ωΓ Όμως Âεξ = B̂ + Γ̂ = 2ω, οπότε Âεξ = ω ή Â1 = Γ̂ = ω. Άρα α 2 Αx//ΒΓ, αφού σχηματίζουν δύο εντός και εναλλάξ γωνίες ίσες. ii) Αν αΑυxτ/ά/ΒμΓέρτηό)τ.εΆAρ̂1α=B̂ Γ̂=(Γω̂ ς(αεφντοόύςAε̂ν1 α=λAλ̂ά2)ξ,)οκπαόιτAε̂2β==Bγ̂ .(ως εντός εκτός και επί τα ** ΕΦΑΡΜΟΓΗ 2 η Σε τρίγωνο ΑΒΓ φέρουμε τις εσωτερικές και εξωτερικές διχοτόμους των γωνιών EH MANTI KH του B̂ και Γ̂ . Να αποδειχθεί ότι To' TE : Ef APM OTH ! i) Η γωνία των δύο εσωτερικών διχοτόμων είναι ίση με 90º + Â . Nathu } I fete ! ii) 2 iii) Η γωνία μίας εσωτερικής και μίας εξωτερικής διχοτόμου είναι ίση με Â . 2 Η γωνία των δύο εξωτερικών διχοτόμων είναι ίση με 90º – Â . 2 Απόδειξη Α β ι εσωτερικές διχοτόμοι τέμνονται στο έγκεντρο I. ι εξωτερικές διχοτόμοι των εξωτερικών γωνιών B̂ και Γ̂ ττέημςνBο̂ νμταειτσητνοεπξαωρτάεκρεικντήρδοιχαοκτόαμι ηο εσωτερική διχοτόμος Β 2 2 της Γ̂ τέμνονται στο 1 1 παράκεντρο β. Γ i) Από το τρίγωνο Β Γ παίρνουμε: ΒÎΓ + B̂ 1 + Γ̂ 1 = 180° ή ΒÎΓ = 180° – B̂ 1 – Γ̂1 ή B̂ Γ̂ B̂ Γ̂ α 2 2 2 2 ΒÎΓ = 180° – – ή ΒÎΓ = 90° + 90° – – ή ΒÎΓ = 90° + Â (επειδή Â + B̂ + Γ̂ = 90°). (1) 2 2 2 2 ⑦ ii) Η εσωτερική και εξωτερική διχοτόμος μιας γωνίας τέμνονται κάθετα. Έτσι στο τρίγωνο Γ β είναι: Γ̂ = 90° και ΒÎΓ = 90° + Îβ (2) (ως εξωτερική γωνία). Â Από τις (1) και (2) προκύπτει ότι Îβ = 2 . (3) iii) Όμοια στο τρίγωνο IαΒ β είναι B̂ = 90°, οπότε Îα+ Îβ = 90° ή Îα = 90° – Îβ. (4) Â Από τις (3) και (4) προκύπτει ότι Îα = 90° – 2 . ④ Alo'T , eivai Eye }n 's Kou Magath new peat Ike 's juries 91 ( Kai a 81 xotopeol Tuo Eye } n' s Kae Macan An pwpeatlkwr jwvlwvtepevovtoec Koi )OETA

ΕΥΚΛΕΙ∆ΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ Ερωτήσεις Κατανόησης 5. Στο παρακάτω σχήμα είναι: 1. Να υπολογίσετε τη γωνία ω στο παρακά- Ax τω σχήμα. 108ο ω 50ο 120ο Δ BΓ 2. Αν AB = ΑΓ και Γx διχοτόμος της ΑΓ̂ Δ, να ΑΒ = ΑΓ = ΔΒ και xÂΓ = 108°. υπολογίσετε τη γωνία φ (βλ. σχήμα). Να υπολογισθεί η γωνία Δ̂ . A 6. Στο παρακάτω σχήμα είναι: Â = 90°, ΑΔ διχοτόμος, ΔΕ//ΑΒ. Αν η γωνία B̂ είναι φx 20° μεγαλύτερη από τη Γ̂ να υπολογίσετε τις γωνίες ω και φ. A 55ο BΓ Δ Ε 3. Υπάρχει κυρτό ν-γωνο τέτοιο, ώστε το ω άθροισμα των εσωτερικών γωνιών του φ να ισούται με το άθροισμα των εξωτερι- B Δ Γ κών γωνιών του; 7. Το άθροισμα των γωνιών κυρτού πολυγώ- 4. Να εξηγήσετε γιατί αν ένα ισοσκελές τρί- νου είναι 900°. Να βρεθεί το πλήθος των γωνο έχει μια γωνία 60° είναι ισόπλευρο. πλευρών του. 5. Το άθροισμα των εξωτερικών γωνιών Αποδεικτικές Ασκήσεις ενός τριγώνου είναι: α) 180° β) 270° γ) 360° 1. Σε τρίγωνο ΑΒΓ είναι B̂ εξ = 90° + Â . Να δ) 540° ε) κανένα από τα παραπάνω αποδείξετε ότι ΑΒ = ΑΓ. 2 Να δικαιολογήσετε την απάντησή σας. 2. Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ με B̂ > Γ̂ και η διχο- τόμος του ΑΔ. Να αποδείξετε ότι Ασκήσεις Εµπέδωσης 1. Σε ορθογώνιο τρίγωνο μια γωνία του εί- i) ΑΔ̂ Γ – ΑΔ̂ Β = B̂ – Γ̂ , ναι ίση με τα 2 μιας άλλης γωνίας του. ii) ΑΔ̂ Β = 90° – B̂ – Γ̂ , 3 2 Να υπολογισθούν όλες οι γωνίες του (δύο ΑΔ̂ Γ = 90° + B̂ – Γ̂ . περιπτώσεις). 2 2. Σε ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ (ΑΒ = ΑΓ) εί- 3. Σε τρίγωνο ΑΒΓ με B̂ > Γ̂ φέρουμε το ννααιυAπ̂ ο=λοB2γ̂ ι.σΑθνεί το έγκεντρο του τριγώνου ύψος ΑΔ και τη διχοτόμο ΑΕ. Να αποδεί- η γωνία BÎΓ. (Εφαρμογή B̂ Γ̂ . ξετε ότι ΔÂΕ = – 2 - §4.8) 2 3. Σε τρίγωνο ΑΒΓ η γωνία Â είναι τριπλά- 4. Αν οι διχοτόμοι των γωνιών Â, B̂ κυρτού σια της γωνίας B̂ . Αν Γε̂ ξ = 144° να βρεθεί το είδος του τριγώνου ως προς τις πλευρές τετραπλεύρου ΑΒΓΔ τέμνονται σε σημείο του. Γ̂ Δ̂ . Ε, να αποδείξετε ότι ΑÊB = + 2 4. Δίνεται ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ (Â = 90°) 5. Από τυχαίο σημείο Δ της βάσης ΒΓ ισο- και το ύψος του ΑΔ. Να αποδείξετε ότι σκελούς τριγώνου ΑΒΓ φέρουμε τη B̂ = ΔÂΓ και Γ̂ =ΔÂΒ. ΔΕ⊥ΑΓ. Να αποδείξετε ότι Â = 2ΕΔ̂ Γ. 92

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4. ΠΑΡΑΛΛΗΛΕΣ ΕΥΘΕΙΕΣ 6. Σε ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ (Â = 90°) το 4. Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ (ΑΒ = ΑΓ) ύψος του ΑΔ και η διχοτόμος του ΒΖ τέ- και το ύψος του ΒΔ. Φέρουμε ΔΗ⊥ΑΒ, μνονται σε σημείο Ε. Να αποδείξετε ότι το που τέμνει την προέκταση της ΒΓ στο Ε. τρίγωνο ΑΕΖ είναι ισοσκελές. Να αποδείξετε ότι: 7. Δίνεται ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ (Â = 90°). i) ΒΔ = ΔΕ, ii) ΒΓ > ΓΕ. Η διχοτόμος της γωνίας B̂ τέμνει την ΑΓ στο Ζ και την κάθετη στη ΒΓ στο σημείο 5. Σε τρίγωνο ΑΒΓ, προεκτείνουμε τα ύψη Γ, στο Η. Να αποδείξετε ότι ΖΓ = ΓΗ. του ΒΔ και ΓΕ, προς το μέρος των κορυ- φών και επί των προεκτάσεων παίρνουμε Σύνθετα Θέµατα τμήματα ΒΖ = ΑΓ και ΓΗ = ΑΒ αντίστοι- χα. Να αποδείξετε ότι i) ΑΖ = ΑΗ, ii) ΑΖ⊥ΑΗ. 1. Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ (ΑΒ = ΑΓ) 6. Θεωρούμε τετράπλευρο ΑΒΓΔ με Â > Γ̂ και τυχαίο σημείο Δ της πλευράς ΑΒ. Στην προέκταση της ΓΑ προς το Α, παίρνου- και ονομάζουμε φ την οξεία γωνία των με τμήμα ΑΕ = ΑΔ. Να αποδείξετε ότι διχοτόμων των γωνιών B̂ και Δ̂ . Να απο- ΔΕ⊥ΒΓ. Γ̂ . δείξετε ότι φ = Â – 2 2. Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ με B̂ > Γ̂ και η διχο- 7. Δύο επίπεδα κάτοπτρα 1, 2 είναι κά- θετα. Φωτεινή ακτίνα α προσπίπτει αρ- τόμος του ΑΔ. Από την κορυφή Β φέρουμε χικά στο 1 και μετά την ανάκλαση στο ευθεία κάθετη στην ΑΔ, που τέμνει την ΑΓ 2, εξέρχεται κατά την ακτίνα β. Τι πορεία B̂ Γ̂ στο Ε. Να αποδείξετε ότι EB̂ Γ = – . θα ακολουθήσει, σε σχέση με την αρχική 2 ακτίνα α; 3. Σε ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ προεκτεί- 1 νουμε την υποτείνουσα ΓΒ κατά τμήμα ΒΔ = ΑΒ. Φέρουμε κάθετη στη ΒΓ στο ωα σημείο Γ και παίρνουμε σε αυτή –προς το μέρος του Α– τμήμα ΓΕ = ΑΓ. Να αποδεί- ω β ξετε ότι τα σημεία Δ, Α, Ε είναι συνευθει- φ φ ακά. 2 93

ΕΥΚΛΕΙ∆ΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 1. Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ με Â = 60° και οι δι- ii) Η διάμεσος ΑΜ = μα σχηματίζει με τη χοτόμοι του ΒΔ και ΓΕ. Να αποδείξετε ότι μικρότερη πλευρά μεγαλύτερη γωνία. ΒΔ̂ Γ = ΓÊΑ. iii) Το ύψος υα και η διάμεσος μα βρί- 2. Θεωρούμε ισόπλευρο τρίγωνο ΑΒΓ σκονται εκατέρωθεν της διχοτόμου ΑΕ = δα. (ΑΒ = ΑΓ = ΒΓ = α) και τα σημεία Δ και 6. Τρεις κύκλοι με κέντρα 1, 2, 3 εφάπτο- Ε των πλευρών του ΑΒ και ΒΓ αντίστοιχα, νται εξωτερικά στα Α, Β, Γ. Να αποδείξετε ότι ο περιγεγραμμένος κύκλος του τριγώ- ώστε ΑΔ = ΒΕ = 1 a. Να αποδείξετε ότι νου ΑΒΓ είναι εγγεγραμμένος στο τρίγωνο ΔΕ⊥ΒΓ. 3 1 2 3. 3. Δίνεται ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ (Â = 90°) 7. Θεωρούμε τρίγωνο ΑΒΓ, τον εγγεγραμμένο και η διχοτόμος του ΑΔ. Φέρουμε Δx⊥ΒΓ, κύκλο του ( , ρ) και τον παρεγγεγραμμένο που τέμνει την ΑΒ στο Ε και την προέ- κύκλο του (Iα, ρα). Oνομάζουμε Δ, Ε, Ζ και κτασή της ΑΓ στο Ζ. Να αποδείξετε ότι Δʹ, Εʹ, Ζʹ τα σημεία επαφής των ( , ρ) και ΒΕ = ΖΓ. ( α, ρα) με τις ευθείες ΒΓ, ΓΑ, ΑΒ αντίστοιχα. 4. Θεωρούμε τετράπλευρο ΑΒΓΔ με Â = Γ̂ = 90° Να αποδείξετε ότι: και ΒΓ = ΓΔ. Στην προέκταση της ΑΔ παίρ- νουμε τμήμα ΔΕ = ΑΒ. Να αποδείξετε ότι i) ΑΖ = ΑΕ = τ – α, ΑΓ⊥ΓΕ. ΒΔ = ΒΖ = τ – β, ΓΔ = ΓΕ = τ – γ, 5. Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ με ΑΒ < ΑΓ. Να απο- δείξετε ότι: ii) ΑΖʹ = ΑΕʹ= τ, i) Το ύψος ΑΔ = υα σχηματίζει με τη μι- iii) ΖΖʹ = ΕΕʹ = α, ΔΔʹ = β – γ. κρότερη πλευρά μικρότερη γωνία. 94

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4. ΠΑΡΑΛΛΗΛΕΣ ΕΥΘΕΙΕΣ ∆ΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΕΣ 1. Να συμπληρώσετε τον πίνακα για κυρτά ν-γωνα. αριθµός άθροισµα γωνιών άθροισµα εξωτερικών γωνιών πλευρών κυρτού ν-γώνου κυρτού ν-γώνου 4 2ν – 4 ορθές 4 ορθές 5 6 7 . . . ν i) Τι παρατηρείτε για το άθροισμα των γωνιών κυρτού ν-γώνου; Εξαρτάται από τον αριθμό των πλευρών ν; Τι ισχύει όταν αυξάνεται το ν; ii) Τι παρατηρείτε για το άθροισμα των εξωτερικών γωνιών κυρτού ν-γώνου. Να σχολιάσετε τη σχέση του με τον αριθμό των πλευρών ν. 2. Να κατασκευάσετε δύο γωνίες με πλευρές παράλληλες (3 περιπτώσεις). Να εξετάσετε τι ισχύει για τις διχοτόμους τους (παράλληλες, κάθετες κτλ.) Να κάνετε το ίδιο για δύο γωνίες με πλευρές κάθετες. Εργασία Να υπολογίσετε τις γωνίες ισοσκελούς τριγώνου ΑΒΓ (ΑΒ = ΑΓ), το οποίο είναι δυνατόν να χωρι- σθεί σε δύο άλλα ισοσκελή τρίγωνα. Υπόδειξη: Η ευθεία που χωρίζει το ΑΒΓ σε δυο ισοσκελή τρίγωνα πρέπει να διέρχεται από μια κορυφή του τριγώνου. Να διακρίνετε δύο περιπτώσεις: i) με ευθεία ΑΔ από την κορυφή Α. ii) με ευθεία ΒΕ από την κορυφή Β. 95

ΕΥΚΛΕΙ∆ΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΙΣΤΟΡΙΚΟ ΣΗΜΕΙΩΜΑ (Ε10) Έστω α τυχούσα ευθεία και Α σημείο εκτός αυτής. Τότε στο επίπεδο που ορίζεται από Η θεωρία των παραλλήλων την ευθεία α και το σημείο Α υπάρχει όχι περισσότερες από μία ευθεία που διέρχεται Το αίτημα του Ευκλείδη. Στο Βιβλίο I των από το σημείο Α και δεν τέμνει την ευθεία «Στοιχείων» του ο Ευκλείδης ορίζει ως παράλ- α (Αξίωμα παραλληλίας). ληλες «τις ευθείες εκεί- Το αίτημα του Ευκλείδη ή κάποιο ισοδύναμό του νες που βρίσκονται στο καθορίζει τη φύση ολόκληρης της γεωμετρίας ίδιο επίπεδο και προε- και αποτελεί βάση για τα περισσότερα θεωρή- κτεινόμενες επ’ άπειρον ματα της Ευκλείδειας γεωμετρίας. και από τα δύο μέρη δε συναντώνται σε κανένα Η θεωρία των παραλλήλων στην αρχαιότητα απ’ αυτά» ( ρισμός 23). και το Βυζάντιο. Είναι πιθανό πριν τη διατύπω- Αμέσως μετά διατυπώ- ση του πέμπτου αιτήματος των «Στοιχείων» του νει πέντε αιτήματα, τα Ευκλείδη να υπήρξαν προσπάθειες να αποδειχθεί. τέσσερα πρώτα από τα Όμως οι διαθέσιμες μαρτυρίες είναι πενιχρότα- οποία εκφράζουν τις βα- τες και αποσπασματικές. Ενδείξεις υπάρχουν σικές ιδιότητες των γεωμετρικών κατασκευών με στα «Αναλυτικά Ύστερα» του Αριστοτέλη, όπου τη βοήθεια του κανόνα και του διαβήτη, ενώ το συνδέεται το πρόβλημα των παραλλήλων με την πέμπτο αποφαίνεται ότι: πρόταση (Ε3). Αριστοτέλης ασκεί κριτική στις προσπάθειες μαθηματικών (που δεν κατονομά- «Εάν μια ευθεία που τέμνει δύο ευθείες σχηματί- ζονται) να αποδείξουν το Ευκλείδειο αίτημα ότι ζει τις εντός και επί τα αυτά μέρη γωνίες μικρό- υποπίπτουν στο λογικό σφάλμα της «λήψης του τερες από δύο ορθές, τότε οι δύο ευθείες προε- ζητουμένου» (petitio principi), δηλαδή ότι κατά κτεινόμενες επ’ άπειρον συναντώνται στο μέρος την απόδειξη χρησιμοποιούν πρόταση ισοδύναμη που οι σχηματιζόμενες γωνίες είναι μικρότερες προς την αποδεικτέα. Άλλη πηγή είναι τα «Σχό- από δύο ορθές» (Αίτημα V). λια για τις δυσκολίες στην εισαγωγή του βιβλίου του Ευκλείδη» του μάρ Χαγιάμ όπου αναφέρει Το αίτημα αυτό αποδεικνύεται ισοδύναμο με τις ότι «η αιτία του λάθους των ύστερων επιστημό- εξής προτάσεις: νων στην απόδειξη αυτής της υπόθεσης είναι ότι δε λάμβαναν υπόψη τους τις αρχές του φιλοσό- (Ε1) Υπάρχει ευθεία α και σημείο Α εκτός αυτής φου [δηλαδή, του Αριστοτέλη]» και παραθέτει τέτοιο, ώστε από το Α διέρχεται μία μονα- πέντε αρχές, τέσσερις από τις οποίες απαντώνται δική ευθεία που δεν τέμνει την α. με λίγο διαφορετική διατύπωση στα «Φυσικά» και το « ερί υρανού». (Ε2) Υπάρχει τετράπλευρο με τέσσερις ορθές γωνίες. Το πρώτο γνωστό έργο της αρχαιότητας, που λί- γες μόλις δεκαετίες μετά τα «Στοιχεία» αναφέρε- (Ε3) Το άθροισμα των γωνιών τυχόντος τριγώ- ται στη θεωρία των παραλλήλων, είναι η χαμένη νου ισούται με δύο ορθές. πραγματεία του Αρχιμήδη « ερί παραλλήλων», που μνημονεύει ο βιβλιογράφος μπν αλ- αντίμ (Ε4) Υπάρχει τρίγωνο, το άθροισμα των γωνιών (πέθανε το 993) στο «Βιβλίο της βιβλιογραφίας του οποίου να ισούται με δύο ορθές. των επιστημών», μαζί με άλλα έργα του Αρχιμή- δη που διασώθηκαν μόνο στα Αραβικά. Το βιβλίο (Ε5) Αν μια ευθεία τέμνει δύο παράλληλες ευ- αυτό ήταν πιθανότατα γνωστό στον Θαμπίτ ιμπν θείες, οι αντίστοιχες γωνίες είναι ίσες. ούρρα (836-901), συγγραφέα δύο πραγματειών (Ε6) Τα σημεία που κείνται προς το ίδιο μέρος σχετικών με τη θεωρία των παραλλήλων. Σύμ- από δεδομένη ευθεία και σε μία και την φωνα με μαρτυρία του ρόκλου, ο οποίος θε- αυτή απόσταση, σχηματίζουν ευθεία. ωρεί ότι το αίτημα του Ευκλείδη είναι θεώρημα και επιχειρεί να δώσει μια δική του απόδειξη, (Ε7) Αν μια ευθεία τέμνει δύο άλλες ευθείες ο οσειδώνιος είχε προτείνει έναν ορισμό των και αυτές αποκλίνουν η μία από την άλλη από το ένα μέρος, τότε από το άλλο μέρος συγκλίνουν. (Ε8) Υπάρχουν όμοια τρίγωνα. (Ε9) Υπάρχουν τρίγωνα με οσοδήποτε μεγάλο μέγεθος. 96

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4. ΠΑΡΑΛΛΗΛΕΣ ΕΥΘΕΙΕΣ παραλλήλων, διαφορετικό από αυτόν του Ευ- προσπαθώντας να καταλήξει σε αντίφαση με τον κλείδη. αράλληλες ονομάζει τις ευθείες που ορισμό των παραλλήλων ως «ισαπεχουσών» ευ- βρίσκονται στο ίδιο επίπεδο, δε συγκλίνουν ούτε θειών. Η γεωμετρική προσέγγιση αναπτύχθηκε κυρίως από τον μαρ Χαγιάμ. εκινώντας από αποκλίνουν και όλες οι την απόδειξη της πρότασης (Ε2) και με συλλο- κάθετες από τα σημεία γισμούς συγγενείς με αυτούς του ρόκλου, απο- της μιας προς την άλλη δεικνύει το Ευκλείδειο αίτημα χωρίς να υποπέσει είναι ίσες μεταξύ τους. στο λογικό σφάλμα της «λήψης του ζητουμένου». ορισμός αυτός όμως εγκυκλοπαιδιστής φιλόσοφος, μαθηματικός βασίζεται στο ισοδύ- και αστρονόμος ασίρ αντ- τιν αλ-Τουσί (1201- ναμο αξίωμα (Ε6). 1274) στη δική του πρωτότυπη απόδειξη του αξιώματος των παραλλήλων ακολουθεί το ύφος ρόκλος αναφέρεται του μπν ούρρα και του μπν αλ-Χαϊθάμ, αλλά επίσης εκτεταμένα στις στηρίζεται σε αξίωμα που αποτελεί ισχυρότερη προσπάθειες του λαύ- μορφή του αιτήματος παραλληλίας. διου τολεμαίου και άλλων μαθηματικών, τους οποίους δεν κατονο- Στη διάρκεια του 13ου αι. συνεχίζονται οι ανα- μάζει, να αποδείξουν το Ευκλείδειο αίτημα. ζητήσεις απόδειξης του Ευκλείδειου αιτήματος. ε την απόδειξη του Ευκλείδειου αιτήματος αλ-Χαναφί, ακολουθώντας παλαιότερες τά- ασχολήθηκε ο Διόδωρος (1ος αι. π.Χ.). Στα Αρα- σεις που εκδηλώνονται στο έργο του αλ- ιντί, βικά διατηρήθηκαν και οι προσπάθειες κάποιου του αλ- πιρουνί (973-περ. 1050) και του μάρ Αγάνη και του Σιμπλίκιου που στηρίζονται στον Χαγιάμ, συνδέουν το πρόβλημα του Ευκλεί- ορισμό του οσειδωνίου και, επομένως, στο δειου αιτήματος με την έννοια της επ’ άπειρον αξίωμα (Ε6). διαιρετότητας των γεωμετρικών μεγεθών. δι- αίτερα διαδεδομένη ήταν η θεωρία των παραλ- Η θεωρία των παραλλήλων στα Αραβικά μα- λήλων του αλ-Αμπχαρί (ή αλ-Αμπαχρί, πέθανε θηματικά. Η πρώτη γνωστή προσπάθεια από- το 1263). Συγγενής προς αυτήν ήταν η θεωρία δειξης του Ευκλείδειου αιτήματος στα Αραβικά του αλ- αγκριμπί. Στις δύο τελευταίες θεωρίες μαθηματικά έγινε από τον αλ-Τζαουχαρί στο βρίσκει κανείς ίχνη του ύφους των συλλογισμών έργο του «Τελειοποίηση του βιβλίου των “Στοι- του Σιμπλίκιου. Στα τέλη του 13ου-αρχές 14ου χείων”», το περιεχόμενο του οποίου μεταφέρει ο αι. μια ακόμα αξιοσημείωτη προσπάθεια γίνεται από τον αντ- τιν ασ-Σιραζί (1236-1311), μαθη- ασίρ αντ- τιν αλ-Τουσί. Όμως στην απόδειξή τή του αλ-Τουσί. του χρησιμοποιεί την ισοδύναμη προς το απο- δεικτέο πρόταση ότι «αν μία ευθεία τέμνει δύο αρ’ όλες τις προσπάθειες που σκιαγραφήσαμε άλλες ευθείες έτσι ώστε οι εντός εναλλάξ γωνίες οι Άραβες μαθηματικοί ήταν πολύ μακριά από να είναι ίσες, τότε το ίδιο ισχύει όταν οι δύο ευ- την ιδέα ότι είναι δυνατή μια άλλη γεωμετρία. θείες τέμνονται από οποιαδήποτε άλλη ευθεία». Απλώς προσπαθούσαν να αποδείξουν το Ευ- κλείδειο αίτημα από υποθέσεις που θεωρούσαν ι πρώτες προσπάθειες αντικατάστασης του Ευ- πιο προφανείς. Στην πορεία των προσπαθειών κλείδειου αιτήματος με το αξίωμα της ύπαρξης τους απέδειξαν την ισοδυναμία του Ευκλείδειου «ισαπεχουσών» ευθειών ανάγονται στον αλ- α- αιτήματος με διάφορες προτάσεις που μπορούν ϊριζί και τον μπν Σίνα (Αβικέννα). να θεωρηθούν ισοδύναμες με το πέμπτο αίτη- μα, καθώς και πολλά θεωρήματα που σήμερα ι άραβες μαθηματικοί ανέπτυξαν δύο κυρίως εμπίπτουν στο πεδίο της Υπερβολικής και της προσεγγίσεις στην απόδειξη του Ευκλείδειου Ελλειπτικής Γεωμετρίας. αιτήματος, που εγκαινιάζονται στο έργο του Θα- μπίτ ιμπν ούρρα (908-946): τη γεωμετρική και Η θεωρία των παραλλήλων στην Ευρώπη από την κινηματική προσέγγιση. Η κινηματική προ- τον 13ο ως το 18ο αι. Η πρώτη γνωστή από- σέγγιση ακολουθεί το πνεύμα του Αρχιμήδη και πειρα απόδειξης του Ευκλείδειου αιτήματος στη αναπτύχθηκε από τον μπν αλ-Χαϊθάμ. Η πρω- μεσαιωνική Ευρώπη απαντάται το 13ο αι. στο τοτυπία της μεθόδου του αλ-Χαϊθάμ, την οποία σύγγραμμα του Βιτέλο (Vitelo, περίπου 1225- ακολούθησαν συχνά οι γεωμέτρες στη συνέχεια, 1280) « πτική» ή « ροοπτική» (1572). Βασική είναι ότι υποθέτει την ύπαρξη ενός τετραπλεύρου με τρεις ορθές γωνίες και εξετάζει τις περιπτώ- σεις η τέταρτη γωνία να είναι οξεία ή αμβλεία, 97

ΕΥΚΛΕΙ∆ΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ πηγή του Βιτέλο είναι το έργο του μπν αλ-Χα- περίπτωση της ορθής γωνίας ισχύει το πέμπτο αί- ϊθάμ. Ωστόσο, η απόδειξή του υστερεί ως προς τημα, δηλαδή επειδή αντιφάσκει στα αξιώματα το επίπεδο αυστηρότητας που είχαν φτάσει οι της συνήθους γεωμετρίας του Ευκλείδη. Στην πε- Άραβες μαθηματικοί. ρίπτωση της αμβλείας γωνίας ο Σακκέρι προχωρεί όσο κανείς άλλος πριν από αυτόν στην απόδειξη Δύο άλλες απόπειρες απαντώνται το 14ο αι. στα θεωρημάτων της σημερινής Υπερβολικής Γεω- «Σχόλια» του Γερσωνίδη (Levi ben Gerson ή μετρίας. Όμως διολισθαίνοντας σε λάθος συλλο- Gersonides, 1288-1344) και στο έργο κάποιου γισμό κατέληξε σε αντίφαση, οπότε συμπέρανε Αλφόνσο, ο οποίος εικάζεται ότι είναι ο σπανός ότι η περίπτωση της ορθής γωνίας (δηλαδή της ιατρός και συγγραφέας πολεμικών θρησκευτικών Ευκλείδειας γεωμετρίας) είναι η μόνη δυνατή. έργων Αλφόνσο του Βαλλαντολίντ (1270-1346). ιο σημαντική είναι η προσπάθεια του Γερμα- Στις αρχές του 16ου αι. η θεωρία παραλλήλων νού μαθηματικού άμπερτ (J.H. Lambert, 1728- εξετάζεται στο « άτοπτρο αστρονομικό που πε- 1777). εκινώντας από το ίδιο τετράπλευρο του ρικλείει την ανθρώπινη σοφία σε κάθε επιστήμη» του Φ. π. Γκρισογκόνο (1472-1538), που εκδί- μάρ Χαγιάμ και του Σακκέρι αποκλείει χωρίς δεται στη Βενετία το 1507. Το 1574 εμφανίζεται δυσκολία την υπόθεση της οξείας γωνίας, στη μία πρωτότυπη απόδειξη του πέμπτου αιτήματος βάση ότι στην περίπτωση αυτή δύο κάθετες στην από τον λάβιο (Clavius (Schlussel), 1537-1612) ίδια ευθεία τέμνονται, πράγμα που, κατά τη γνώ- που εργαζόταν στη ώμη και συμμετείχε στην μη του, δεν αντιφάσκει στο πέμπτο αίτημα, αλλά επεξεργασία του Γρηγοριανού ημερολογίου. Η στα υπόλοιπα αξιώματα της Γεωμετρίας του απόδειξη του λάβιου στηρίζεται στην πρόταση Ευκλείδη. Επίσης παρατηρεί ότι η υπόθεδη της (Ε6). Η απόδειξή του παρουσιάζει ομοιότητες με οξείας γωνίας ισχύει στην επιφάνεια της σφαίρας αυτές του μπν ούρρα και του μπν αλ-Χαϊθάμ, αν ως ευθείες ληφθούν οι μέγιστοι κύκλοι της τις οποίες ίσως γνώριζε από δεύτερο χέρι. σφαίρας. Εξετάζοντας την υπόθεση της αμβλείας γωνίας ο άμπερτ αποδεικνύει ακόμα περισσό- Τον 17ο αι. παρατηρείται κάποια ένταση των προ- τερα και από τον Σακκέρι θεωρήματα της σημε- σπαθειών στη θεωρία των παραλλήλων, η οποία ρινής Υπερβολικής Γεωμετρίας. ροσπαθώντας όμως δεν απέφερε ιδιαίτερα αξιόλογους καρπούς. να λάβει κάποια παράδοξα αποτελέσματα παρα- Δημοσιεύονται το 1603 στην πολόνια δύο το- δέχεται ότι δεν είναι εύκολο να αποκλεισθεί η μίδια του ιέτρο Α. ατάλντι (1548-1626), το υπόθεση της αμβλείας γωνίας. Αντίθετα με τον 1658 στην ίζα η επεξεργασμένη από τον Τζ.Α. Σακκέρι, ούτε υποπίπτει σε σφάλμα, ούτε συ- μπεραίνει ότι η υπόθεση της αμβλείας γωνίας πορέλλι (1608-1679) έκδοση των «Στοιχείων» οδηγεί σε αντίφαση. Αντίθετα, εκφράζοντας κά- του Ευκλείδη, και το 1680 ανάλογη έκδοση των ποια έκπληξη για τις «περίεργες» ιδιότητες των «Στοιχείων» από τον Βιτάλε Τζορντάνο (1633- σχημάτων στην περίπτωση αυτή (π.χ. ότι χάνεται 1711). Το 1693 δημοσιεύεται η πραγματεία του η έννοια της ομοιότητας και της αναλογίας των Τζ. υώλλις (J. Wallis, 1616-1703) «Το πέμπτο σχημάτων, ότι το άθροισμα των γωνιών ενός τρι- αίτημα και ο πέμπτος ορισμός του Βιβλίου V του γώνου αυξάνει όσο μειώνεται η επιφάνεια του Ευκλείδη», το δεύτερο μέρος της οποίας περιέχει τριγώνου, κ.α.) διατυπώνει την ιδιαίτερα βαθιά μετάφραση μιας απόδειξης που αποδίδεται στον και διορατική σκέψη ότι «η τρίτη υπόθεση ισχύει αλ-Τουσί, και στο τρίτο εκτίθεται απόδειξη του σε κάποια φανταστική σφαίρα». υώλλις, που βασίζεται στην πρόταση (Ε9), την Από τις προσπάθειες μετά τον άμπερτ, αξίζει οποία θεωρεί φυσική « οινή Έννοια». να αναφερθεί η «απόδειξη» του . περτράν (L. Bertrand, 1731-1812), μαθητή του Όυλερ, το Από την πραγματεία του υώλλις γνωρίστηκε 1778, του Α. . εζάντρ (1752-1833), που αφι- με την αποδιδόμενη στον αλ-Τουσί απόδειξη του έρωσε σαράντα χρόνια στις έρευνες στη θεωρία πέμπτου αιτήματος ο Τζιρόλαμο Σακκέρι (G.G. των παραλλήλων, του Σ.Ε. Γκούριεφ (1764- Saccheri, 1667-1733). Σακκέρι ξεκινώντας 1813), και του Φαρκάς πόλυαϊ (Farkas Bolyai, από το ισόπλευρο τετράπλευρο με τις δύο ορθές 1775-1856), του πατέρα του Γιάνος πόλυαϊ, του μάρ Χαγιάμ και του αλ-Τουσί αναλύει τις του μετέπειτα δημιουργού της μη Ευκλείδειας ίδιες τρεις υποθέσεις για τις άλλες δύο γωνίες. Γεωμετρίας. Αποκλείει την υπόθεση της οξείας γωνίας επειδή θεωρεί ότι στην περίπτωση αυτή, όπως και στην 98

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4. ΠΑΡΑΛΛΗΛΕΣ ΕΥΘΕΙΕΣ ΑΝΑΚΕΦΑΛΑΙΩΣΗ ∆ύο ευθείες ενός επιπέδου • ταυτίζονται όταν έχουν 2 κοινά σημεία. • τέμνονται όταν έχουν 1 κοινό σημείο. • είναι παράλληλες όταν δεν έχουν κοινό σημείο. Από σηµείο Α εκτός ευθείας ε • υπάρχει ευθεία εʹ//ε. Α ε ε Β • δεχόμαστε αξιωματικά ότι η εʹ είναι μοναδική. (Αίτημα παραλληλίας) ∆ύο ευθείες ε1 και ε2 είναι κάθετες στην ίδια ευθεία ε. είναι παράλληλες αν: είναι παράλληλες προς τρίτη ευθεία ε. τέμνονται από μια τρίτη ευθεία και σχηματίζουν: τις εντός εναλλάξ τις εντός εκτός και επί τα αυτά τις εντός και επί τα αυτά μέρη γωνίες τους ίσες. μέρη γωνίες τους ίσες. γωνίες τους παραπληρωματικές. ε ε1 ε2 Έστω ε1 //ε2 και ε µια Αν ε⊥ε1 τρίτη ευθεία. τότε ε⊥ε2. Αν η ε τέμνει την ε1 τότε θα τέμνει και την ε2 και θα σχηματίζει: τις εντός εναλλάξ τις εντός εκτός και επί τα αυτά τις εντός και επί τα αυτά μέρη γωνίες παραπληρωματικές. γωνίες ίσες. μέρη γωνίες ίσες. ίσες, αν είναι και οι δύο οξείες. και οι δύο αμβλείες. ∆ύο γωνίες που έχουν παράλληλες ή κάθετες παραπληρωματικές, αν η μία είναι οξεία και η άλλη αμβλεία. πλευρές είναι: 99

ΕΥΚΛΕΙ∆ΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Αξιοσηµείωτοι κύκλοι ερίκεντρο (σημείο τομής τριγώνου και κέντρα τους μεσοκαθέτων) Έγκεντρο (σημείο τομής εσωτερικών διχοτόμων) αράκεντρα (σημεία τομής δύο εξωτερικών και μιας εσωτερικής διχοτόμου) τριγώνου είναι άθε εξωτερική γωνία 2 ορθές, ισούται με το άθροισμα οπότε: των δύο απέναντι εσωτερικών. Το άθροισµα των εσωτερικών γωνιών Αν δύο τρίγωνα έχουν 2 γωνίες ίσες, έχουν και τις τρίτες γωνίες ίσες. ι οξείες γωνίες ορθογώνιου τριγώνου είναι συμπληρωματικές. άθε γωνία ισόπλευρου τριγώνου είναι 60º. κυρτού ν-γώνου είναι 2ν – 4 ορθές. 100