ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ - Κεφ.2 - Παράγραφος 2.1 (θεωρία)

Α΄ Λυκείου - Άλγεβρα Οι πραγµατικοί αριθµοί Παράγραφος 2.1 Οι πράξεις και οι ιδιότητές τους ΘΕΩΡΙΑ - ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ Νέα Μουδανιά • Νοέµβριος 2021

Ά λγε β ρ α Α ΄Λ υκε ί ου ΠΑΡΑΓΡΑΦΟΣ 1 Κεφάλαιο 2 • Οι πραγµατικοί αριθµοί Οι πράξεις και οι ιδιότητές τους ~ Περιεχόμενα παραγράφου 1 ~ 1. Μέθοδοι απόδειξης ..........................................................................................................................................................17 Πώς θα αναγνωρίσεις μια «αποδεικτική άσκηση» και ποια είναι η δομή της ..............................17 Πώς θα λύσεις μια «αποδεικτική άσκηση» (μέθοδοι απόδειξης) ........................................................19 Α. Ευθεία απόδειξη .........................................................................................................................................................19 Β. Μετασχηματισμός του ζητούμενο σε άλλο, ισοδύναμο ...................................................................20 Γ. Με χρήση αντιπαραδείγματος ...........................................................................................................................22 ∆. Μέθοδος της απαγωγής σε άτοπο (εις άτοπον απαγωγή) ...............................................................23 2. Πώς θα αποδείξεις μια ταυτότητα ..........................................................................................................................24 1ος τρόπος Ξεκινώντας από το ένα μέλος και καταλήγοντας στο άλλο .......................................24 2ος τρόπος Κάνοντας πράξεις χωριστά για κάθε μέλος της ζητούμενης ισότητας ...............25 3ος τρόπος Κάνοντας πράξεις ταυτόχρονα στα δύο μέλη και καταλήγοντας σε σχέση που ισχύει ..................................................................................27 Σχόλιο για τους τρεις τρόπους που προαναφέρθηκαν ............................................................................28 - 16 - Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηματικών • www.mathsteki.gr

Ά λγε β ρ α Α ΄Λ υκε ί ου Κεφάλαιο 2 • Οι πραγµατικοί αριθµοί Η πρώτη αυτή παράγραφος στο σχολικό βιβλίο φιλοξενεί μερικά βασικά στοιχεία από την Άλγεβρα του Γυμνασίου. Καλύτερη επανάληψη στα θέματα αυτά μπορείς ­και πρέπει!­ να κάνεις μέσω του ebook «Η επανάληψη του Γυμνασίου» που έχω γράψει για σένα και υπάρχει δωρεάν στην ιστοσελίδα μου. Ένα θέμα που αναπτύσσεται στο σχολικό βιβλίο (σελίδα 48) και αξίζει να αναλύσω περισσότερο, τίθεται υπό τον τίτλο «Μέθοδοι απόδειξης». Για αυτό θα διαβάσεις στην συνέχεια. 1. Μέθοδοι απόδειξης Οι ασκήσεις των Μαθηματικών ταξινομούνται σε δύο ομάδες ­ οικογένειες: • στις αποδεικτικές ασκήσεις και • στις ασκήσεις εύρεσης ­ υπολογισμού. Οι «αποδεικτικές ασκήσεις» είναι πάρα πολύ συνηθισμένες και ήδη έχεις αντιμετωπί- σει τέτοιες στο Γυμνάσιο, τόσο στην Άλγεβρα, όσο και στην Γεωμετρία. Τέτοιες ασκή- σεις θα αντιμετωπίσεις πάρα πολλές φορές και στο Λύκειο. Στην συνέχεια θα δεις πώς θα αναγνωρίσεις τέτοια άσκηση και πώς θα πρέπει να σκε- φτείς και να κινηθείς για να την λύσεις. Όσα θα διαβάσεις ισχύουν και εφαρμόζονται τόσο στην Άλγεβρα, όσο και στην Γεωμετρία. Σε όποια ομάδα και αν ανήκει μια άσκηση όμως, πάντα πρέπει να γνωρίζεις πολύ κα- λά την θεωρία (ορισμοί, ιδιότητες, θεωρήματα). Αρκετά μεγάλο ποσοστό ασκήσεων αντιμετωπίζεται με συγκεκριμένα βήματα (αυτό αποκαλούμε «μεθοδολογία»), οπότε και αυτά θα πρέπει να γνωρίζεις πολύ καλά. Πώς θα αναγνωρίσεις µια “αποδεικτική άσκηση” και ποια είναι η δοµή της Είναι πολύ εύκολο να την αναγνωρίσεις. Όταν δεις στην εκφώνησή της την έκφραση «να δείξετε ότι» ή «να αποδείξετε ότι», τότε έχεις αποδεικτική άσκηση. Η έκφραση αυτή συνήθως είναι γραμμένη στο τέλος της εκφώνησης, όμως θα την συναντήσεις και στην αρχή της. - 17 - Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηματικών • www.mathsteki.gr

Ά λγε β ρ α Α ΄Λ υκε ί ου Κεφάλαιο 2 • Οι πραγµατικοί αριθµοί Αυτό συνιστά και το ένα από τα δύο μέρη της δομής της άσκησης, το λεγόμενο «ζη- τούμενο». Το άλλο μέρος της άσκησης είναι το λεγόμενο «δεδομένο» (ή δεδομένα) ή, αλλιώς, «υπόθεση». Έτσι, μια αποδεικτική άσκηση θα την δεις να διατυπώνεται με έναν από τους παρακά- τω τρόπους: α) Αν ισχύει (δεδομένο ή δεδομένα), τότε να αποδείξετε ότι (ζητούμενο). β) Δίνεται ότι ισχύουν (δεδομένα). Να αποδείξετε ότι (ζητούμενο). γ) Να αποδείξετε ότι (ζητούμενο), αν ισχύει (δεδομένο ή δεδομένα). δ) Να αποδείξετε ότι (ζητούμενο), αν είναι γνωστό ότι (δεδομένο ή δεδομένα). Αυτή είναι η τυπική δομή μιας αποδεικτικής άσκησης. Θα συναντήσεις, όμως, τέτοιες ασκήσεις και με την «σκέτη» εκφώνηση «Να αποδείξε- τε ότι...» και εδώ θα χρειαστεί περισσότερη προσοχή, αφού το «δεδομένο» και το «ζητούμενο» δεν είναι πάντα ευδιάκριτα. Μερικά παραδείγματα φαίνονται στην συνέχεια και προέρχονται όλα από ασκήσεις που ήδη έχεις δει στο Γυμνάσιο (για να σε πείσω ότι όλο αυτό δεν είναι ένα νέο φαι- νόμενο που στο Λύκειο θα δεις πρώτη φορά). Παράδειγµα 15 Να αποδείξετε ότι το πολυώνυμο P(x) = (x − 3)2 + (3x + 1)2 − 10(x − 1)(x + 1) είναι σταθερό. Παράδειγµα 16 Να αποδείξετε ότι (α − β)(α + β)(α2 + β2)(α4 + β4) = α8 − β8 . Παράδειγµα 17 Αν Α = 2x και Β = x2 −1 , να αποδείξετε ότι Α2 + Β2 =1. x2 + 1 x2 + 1 - 18 - Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηματικών • www.mathsteki.gr

Ά λγε β ρ α Α ΄Λ υκε ί ου Κεφάλαιο 2 • Οι πραγµατικοί αριθµοί Παράδειγµα 18 Αν α, β πραγματικοί αριθμοί, με α ≠ 0 , να αποδείξετε ότι η εξίσωση αx2 − x + 1 − α = 0 έχει μία τουλάχιστον λύση. Παράδειγµα 19 Δίνεται η εξίσωση (α + γ)x2 − 2βx + α − γ = 0 , όπου α, β, γ είναι τα μήκη των πλευρών τριγώνου ΑΒΓ. Αν η εξίσωση έχει μία διπλή λύση, να αποδείξετε ότι το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ορθογώνιο. Πώς θα λύσεις µια “αποδεικτική άσκηση” (µέθοδοι απόδειξης) Σταθερή μέθοδος δεν υπάρχει και η αντιμετώπιση της άσκησης στηρίζεται σε πολλούς παράγοντες: στην θεωρία (πάντα!), στα δεδομένα της συγκεκριμένης (φυσικό δεν εί- ναι;), στην μεθοδολογία που ακολουθείται για το ζητούμενο της άσκησης (όταν αυτό υπόκειται σε συγκεκριμένη μεθοδολογία). Έτσι, το πώς θα λύσεις μια αποδεικτική άσκηση εξαρτάται από την άσκηση (δεδομένο και ζητούμενο). Γενικοί τρόποι είναι οι ακόλουθοι: Α. Ευθεία απόδειξη Με την μέθοδο αυτή, ξεκινάμε από το δεδομένο (ή τα δεδομένα) της άσκησης και, με κατάλληλα λογικά βήματα (τα οποία στηρίζονται στην θεωρία φυσικά), προσπαθούμε να καταλήξουμε στο ζητούμενο της άσκησης. Παράδειγµα 20 Να αποδείξετε ότι ισχύει (α + β)2 = α2 + 2αβ + β2 , για κάθε α , β ∈ ! . ~ Λύση ~ Πρόκειται, φυσικά, για την πασίγνωστη από το Γυμνάσιο ταυτότητα. Εδώ, ως «δεδομένο» θεωρούμε το αριστερό μέλος της ζητούμενης ισότητας και ως - 19 - Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηματικών • www.mathsteki.gr

Ά λγε β ρ α Α ΄Λ υκε ί ου Κεφάλαιο 2 • Οι πραγµατικοί αριθµοί «ζητούμενο» το δεξί. Γράφοντας την παράσταση (α + β)2 ως (α + β) ⋅ (α + β) και εκτελώντας τις απαραίτη- τες πράξεις, η πορεία που ακολουθούμε αποκαλείται «ευθεία απόδειξη». Έχουμε, επομένως: (α + β)2 = (α + β) ⋅ (α + β) = α2 + αβ + βα + β2 = α2 + 2αβ + β2 , για κάθε α , β ∈ ! . Παράδειγµα 21 Δίνονται οι πραγματικοί αριθμοί α και β, για τους οποίους ισχύει α2β + αβ2 = α + β . Να αποδείξετε ότι οι α, β είναι αντίθετοι ή αντίστροφοι. ~ Λύση ~ Από την σχέση α2β + αβ2 = α + β προκύπτει α2β + αβ2 − α − β = 0 ⇔ αβ(α + β) − (α + β) = 0 ⇔ (α + β)(αβ − 1) = 0 ⇔ ⇔ α + β = 0 ή αβ − 1 = 0 ⇔ α + β = 0 ή αβ = 1 , δηλαδή οι α, β είναι αντίθετοι ή αντίστροφοι. Η ευθεία απόδειξη είναι μεν μία γενική μέθοδος, αλλά έχει κάποιες αδυναμίες. Η κυ- ριότερη εξ αυτών είναι ότι πολλές φορές δεν μπορούμε εξαρχής να καταλάβουμε με ποιον τρόπο θα αξιοποιήσουμε ένα δεδομένο ή πώς θα συνδυάσουμε τα δεδομένα της άσκησης, όταν αυτά είναι αρκετά. Επίσης, είναι σύνηθες ένα δεδομένο να μπορούμε να το αξιοποιήσουμε με δύο ή περισσότερους τρόπους, κάτι που αυτομάτως δημιουργεί το ερώτημα «με ποιον από αυτούς τους τρόπους θα το αξιοποιήσω;». Η επόμενη μέθοδος απόδειξης είναι κάπως ισχυρότερη της πρώτης, πάντα υπό την προϋπόθεση ότι μπορεί να εφαρμοστεί. Β. Μετασχηµατισµός του ζητούµενου σε άλλο, ισοδύναµο Πολλές φορές συμβαίνει το ζητούμενο της άσκησης να «μεταφράζεται» (συγκράτησε αυτήν την λέξη) σε κάποια μαθηματική σχέση ή να πυροδοτεί την ανάπτυξη συγκεκρι- μένης μεθοδολογίας (συγκεκριμένα βήματα δηλαδή, τα οποία οδηγούν στην λύση). - 20 - Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηματικών • www.mathsteki.gr

Ά λγε β ρ α Α ΄Λ υκε ί ου Κεφάλαιο 2 • Οι πραγµατικοί αριθµοί Στο παράδειγμα 21 φερειπείν, οι λέξεις «αντίθετοι» και «αντίστροφοι» «μεταφράζο- νται» (σύμφωνα με την θεωρία) στις σχέσεις α + β = 0 και αβ = 1 αντίστοιχα. Με βάση αυτήν την «μετάφραση» επομένως, δες πώς αλλιώς μπορείς να παρουσιάσεις την λύση του παραδείγματος 21: Δεύτερος τρόπος παρουσίασης της λύσης του παραδείγματος 21 Αρκεί να δείξω ότι ισχύει α + β = 0 ή αβ = 1 . (Μπορείς, επίσης, να ξεκινήσεις έτσι την λύση: Ισοδύναμα θα δείξω ότι ισχύει α + β = 0 ή αβ = 1 ). Από την σχέση α2β + αβ2 = α + β προκύπτει α2β + αβ2 − α − β = 0 ⇔ αβ(α + β) − (α + β) = 0 ⇔ (α + β)(αβ − 1) = 0 ⇔ ⇔ α + β = 0 ή αβ − 1 = 0 ⇔ α + β = 0 ή αβ = 1 , οπότε αποδεικνύεται το ζητούμενο. Επομένως, όταν «μεταφράσεις», όταν μετασχηματίσεις το ζητούμενο σε άλλο, ισοδύ- ναμο με το αρχικό, τότε το νέο ζητούμενο θα είναι αυτό που προέκυψε από τον μετα- σχηματισμό συνεπώς, όταν αποδείξεις ότι αυτό ισχύει, η άσκηση έχει λυθεί και δεν χρειάζεται να πεις κάτι άλλο. Επίσης, αν αυτός ο μετασχηματισμός εμπεριέχει αλγεβρικές πράξεις σε κάποια αλγε- βρική παράσταση και καταλήξεις σε ισοδύναμη παράσταση η οποία αληθεύει (για λό- γους γενικώς αποδεκτούς ή λόγους που υπάρχουν στην συγκεκριμένη άσκηση), τότε θα έχεις αποδείξει το ζητούμενο. Στο ακόλουθο παράδειγμα θα δεις πώς εφαρμόζεται η μέθοδος μετασχηματισμού του ζητούμενο σε άλλο, ισοδύναμο. Παράδειγµα 22 Να αποδείξετε ότι (α2 + β2)(x2 + y2) = (αx + βy)2 + (αy − βx)2 , για κάθε α , β , x , y ∈ ! . ~ Λύση ~ - 21 - Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηματικών • www.mathsteki.gr

Ά λγε β ρ α Α ΄Λ υκε ί ου Κεφάλαιο 2 • Οι πραγµατικοί αριθµοί Ισοδύναμα θα δείξω ότι (α2 + β2)(x2 + y2) = (αx + βy)2 + (αy − βx)2 ⇔ ⇔ α2x2 + α2y2 + β2x2 + β2y2 = α2x2 + β2y2 + 2αβxy + α2y2 + β2x2 − 2αβxy ⇔ ⇔ 0 = 0 , το οποίο προφανώς ισχύει. Πήρα όλη την ζητούμενη σχέση, έκανα πράξεις ταυτόχρονα και στα δύο μέλη της και, με ισοδύναμα βήματα, κατέληξα σε σχέση που προφανώς ισχύει. Αυτό σημαίνει ότι και η αρχική ­ ζητούμενη σχέση ισχύει. Ακολουθώντας, όμως, την «ευθεία απόδειξη» στο παράδειγμα 22, η λύση πρέπει να παρουσιαστεί όπως θα δεις στην συνέχεια: Είναι = (αx + βy)2 + (αy − βx)2 = α2x2 + β2y2 + 2αβxy + α2y2 + β2x2 − 2αβxy = = α2x2 + β2y2 + α2y2 + β2x2 = α2(x2 + y2) + β2(x2 + y2) = (x2 + y2)(α2 + β2) . Στην «ευθεία απόδειξη» δηλαδή, ξεκίνησα από το ένα μέλος της ζητούμενης σχέσης, έκανα επιτρεπτές πράξεις και κατέληξα στο άλλο μέλος της σχέσης, οπότε έτσι απέ- δειξα το ζητούμενο. Τέτοιας μορφής ασκήσεις έχεις ήδη δει στο Γυμνάσιο και θα συνεχίσεις να βλέπεις στο Λύκειο, αφού είναι αγαπημένες και πολύ χαρακτηριστικές ασκήσεις. Γ. Με χρήση αντιπαραδείγµατος Η μέθοδος αυτή μπορεί να χρησιμοποιηθεί όταν θέλουμε να εξετάσουμε ή να αποδεί- ξουμε ότι ένας ισχυρισμός δεν είναι πάντα αληθής. Το λεγόμενο «αντιπαράδειγμα» είναι να βρούμε κατάλληλο παράδειγμα (αυτός είναι πολύ καλύτερος χαρακτηρισμός ­«κατάλληλο παράδειγμα»), για το οποίο ο ισχυρι- σμός δεν ισχύει. Παράδειγµα 23 Να εξετάσετε αν ισχύει α2 > α , για κάθε α > 0 . - 22 - Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηματικών • www.mathsteki.gr

Ά λγε β ρ α Α ΄Λ υκε ί ου Κεφάλαιο 2 • Οι πραγµατικοί αριθµοί ~ Λύση ~ Αν είναι α = 1 , τότε είναι α2 = ⎜⎜⎛⎝⎜ 1 ⎞⎠⎟⎟⎟⎟2 = 1 . 2 2 4 Όμως είναι 1 < 1 , δηλαδή α2 < α , συνεπώς δεν ισχύει α2 > α , για κάθε α > 0 . 4 2 Η μέθοδος χρήσης αντιπαραδείγματος («κατάλληλου παραδείγματος» ορθότερα) χρη- σιμοποιείται, αρκετά συχνά, σε ερωτήσεις τύπου «Σωστό ­ Λάθος». Ως αποδεικτική μέθοδος όμως, δεν είναι ιδιαιτέρως ισχυρή. Δ. Μέθοδος της απαγωγής σε άτοπο (εις άτοπον απαγωγή) Η μέθοδος αυτή κυρίως χρησιμοποιείται, όταν η άσκηση ζητάει να αποδείξουμε ότι κά- τι δεν ισχύει. Τότε η απόδειξη ξεκινάει υποθέτοντας το αντίθετο από αυτό που ζητείται. Στην συνέχεια, στηριζόμενοι στην θεωρία και στα δεδομένα της άσκησης, ακολουθούμε λογικά βήματα και επιδιώκουμε να καταλήξουμε σε ένα συμπέρασμα το οποίο, για κάποιον λόγο (ο οποίος θα προέρχεται από την θεωρία ή τα δεδομένα της άσκησης), δεν θα είναι σωστό. Το λανθασμένο αυτό συμπέρασμα είναι που αποκαλούμε «άτοπο». Επομένως, αφού το τελικό μας συμπέρασμα θα είναι λανθασμένο, αυτό θα σημαίνει ότι η αρχική μας υπόθεση (η οποία είπαμε ότι θα είναι η αντίθετη από το ζητούμενο της άσκησης) είναι λανθασμένη, οπότε έτσι επαληθεύεται ­ αποδεικνύεται η ισχύς της πρότασης που ζητήθηκε εξαρχής να αποδείξουμε. Το «άτοπο» (λανθασμένο συμπέρασμα δηλαδή), θα είναι ένα συμπέρασμα το οποίο: α) είναι φανερό ότι είναι λανθασμένο. Για παράδειγμα, αν τα λογικά μας βήματα (πάντα με αφετηρία την αρχική μας υπό- θεση ότι ισχύει το αντίθετο από αυτό που ζητείται) φέρουν ως τελικό αποτέλεσμα ότι ισχύει 0 = 1 , τότε αυτό προφανώς είναι άτοπο (λανθασμένο συμπέρασμα). - 23 - Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηματικών • www.mathsteki.gr

Ά λγε β ρ α Α ΄Λ υκε ί ου Κεφάλαιο 2 • Οι πραγµατικοί αριθµοί β) είναι αντίθετο με κάποια βασική γνώση των Μαθηματικών (ειδικότερα, της Άλγεβρας). Σε αυτήν την περίπτωση όμως, θα πρέπει να αιτιολογήσουμε γιατί το συμπέρασμά μας είναι λανθασμένο. Για παράδειγμα, αν τα λογικά μας βήματα (πάντα με αφετηρία την αρχική μας υπό- θεση ότι ισχύει το αντίθετο από αυτό που ζητείται) φέρουν ως τελικό αποτέλεσμα ότι ισχύει x2 + 1 = 0 , τότε αυτό είναι άτοπο (λανθασμένο συμπέρασμα), διότι είναι x2 + 1 > 0 , για κάθε x ∈ ! . γ) είναι αντίθετο με κάποιο από τα δεδομένα της άσκησης, οπότε και εδώ θα πρέ- πει να αιτιολογήσουμε γιατί το συμπέρασμά μας είναι λανθασμένο. Για παράδειγμα, αν τα λογικά μας βήματα (πάντα με αφετηρία την αρχική μας υπό- θεση ότι ισχύει το αντίθετο από αυτό που ζητείται) φέρουν ως τελικό αποτέλεσμα ότι ισχύει α = 0 και από τα δεδομένα της άσκησης έχουμε ότι είναι α ≠ 0 , τότε αυτό εί- ναι άτοπο (λανθασμένο συμπέρασμα). 2. Πώς θα αποδείξεις µια ταυτότητα Πολύ χαρακτηριστικές είναι οι αποδεικτικές εκείνες ασκήσεις (ήδη είδες τέτοιες στο Γυμνάσιο) στις οποίες ζητείται να αποδείξεις ότι ισχύει μια ισότητα, για οποιαδήποτε τιμή των μεταβλητών της (μια ταυτότητα, δηλαδή). Για παράδειγμα, Να αποδείξετε ότι (α2 + β2)(x2 + y2) = (αx + βy)2 + (αy − βx)2 , για κάθε α , β , x , y ∈ ! . (Είναι το παράδειγμα 22, σελίδα 21). Η γενική μορφή τέτοιων σχέσεων είναι Α = Β , όπου Α και Β είναι αλγεβρικές παρα- στάσεις, με την Α να είναι συνήθως πιο σύνθετη ­ «πλούσια» από την Β. Με τρεις τρόπους μπορείς να λύσεις τέτοια άσκηση. 1ος τρόπος Ξεκινώντας από το ένα µέλος και καταλήγοντας στο άλλο Αυτός είναι ο κλασικότερος τρόπος απόδειξης τέτοιας σχέσης και πρέπει να είναι η πρώτη σου σκέψη. - 24 - Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηματικών • www.mathsteki.gr

Ά λγε β ρ α Α ΄Λ υκε ί ου Κεφάλαιο 2 • Οι πραγµατικοί αριθµοί Ξεκίνα από την παράσταση που υπάρχει στο ένα μέλος της σχέσης (συνήθως είναι το αριστερό μέλος, αν και αυτό είναι σχετικό), κάνε πράξεις και κατάληξε στο άλλο μέ- λος. Παράδειγµα 24 Να αποδείξετε ότι (α2 + β2)(x2 + y2) = (αx + βy)2 + (αy − βx)2 , για κάθε α , β , x , y ∈ ! . ~ Λύση ~ Είναι = (αx + βy)2 + (αy − βx)2 = α2x2 + β2y2 + 2αβxy + α2y2 + β2x2 − 2αβxy = = α2x2 + β2y2 + α2y2 + β2x2 = α2(x2 + y2) + β2(x2 + y2) = (x2 + y2)(α2 + β2) . 2ος τρόπος Κάνοντας πράξεις χωριστά για κάθε µέλος της ζητούµενης ισότητας Πολλές φορές συμβαίνει το εξής: Ξεκινάς την με τον 1ο τρόπο που προαναφέρθηκε, αλλά οι πράξεις δεν οδηγούν στο άλλο μέλος της ζητούμενης ισότητας. Αυτό ανοίγει τρία ενδεχόμενα: α) έκανες κάποιο λάθος στις πράξεις, σε κάποιο σημείο. β) έκανες κάποια λάθος κίνηση, σε κάποιο σημείο. γ) όντως οι πράξεις από το μέλος που ξεκίνησες δεν οδηγούν στο άλλο μέλος. Αν συμβαίνει το (α) ή το (β), τότε βρίσκοντας και διορθώνοντας το λάθος (ενδεχόμενο (α)) ή κάνοντας κάποια άλλη κίνηση (ενδεχόμενο (β)), στο τέλος θα καταλήξεις στο άλλο μέλος της ζητούμενης σχέσης και η άσκηση τελείωσε. Όμως, αν προκύψει το ενδεχόμενο (γ), τότε αυτό σημαίνει ότι μπορείς να κάνεις πρά- ξεις και στο άλλο μέλος της ζητούμενης σχέσης και θα πρέπει να καταλήξεις στο ίδιο αποτέλεσμα που κατέληξες με τις πράξεις στο πρώτο μέλος. Σχηματικά, αυτό παριστάνεται ως εξής: «Να δείξετε ότι ισχύει Α = Β ». - 25 - Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηματικών • www.mathsteki.gr

Ά λγε β ρ α Α ΄Λ υκε ί ου Κεφάλαιο 2 • Οι πραγµατικοί αριθµοί Λύση Είναι Α = ... = ... = Γ . (Η παράσταση Γ δεν είναι η ζητούμενη, οπότε θα κάνω πράξεις και στην παράσταση Β του δεξιού μέλους της ζητούμενης ισότητας). Επίσης, Β = ... = ... = Γ . Άρα ισχύει Α = Β και αποδεικνύεται το ζητούμενο. Αυτό θα το καταλάβεις καλύτερα μέσω του ακόλουθου παραδείγματος. Παράδειγµα 25 Να αποδείξετε ότι (α2 + β2)(x2 + y2) = (αx + βy)2 + (αy − βx)2 , για κάθε α , β , x , y ∈ ! . ~ Λύση ~ Είναι = (αx + βy)2 + (αy − βx)2 = α2x2 + β2y2 + 2αβxy + α2y2 + β2x2 − 2αβxy = = α2x2 + β2y2 + α2y2 + β2x2 . (*) Επίσης, (α2 + β2)(x2 + y2) = α2x2 + α2y2 + β2x2 + β2y2 . Αφού τα δεξιά μέλη των παραπών σχέσεων είναι ίσα, αποδεικνύεται το ζητούμενο. Σχόλιο Ακολούθησα την παραπάνω μέθοδο, διότι στην ισότητα (*) δεν παρατήρησα ότι θα μπορούσα να συνεχίσω με παραγοντοποίηση. Αν το είχα παρατηρήσει, τότε θα είχα λύσει την άσκηση με τον τρόπο που φάνηκε στο παράδειγμα 24. - 26 - Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηματικών • www.mathsteki.gr

Ά λγε β ρ α Α ΄Λ υκε ί ου Κεφάλαιο 2 • Οι πραγµατικοί αριθµοί 3ος τρόπος Κάνοντας πράξεις ταυτόχρονα στα δύο µέλη και καταλήγοντας σε σχέση που ισχύει Σε αυτήν την περίπτωση, οπωσδήποτε γράψε στην αρχή της λύσης «Ισοδύναμα θα δείξω ότι ισχύει» και στην συνέχεια κάνε ισοδύναμες πράξεις σε όλη την ζητούμενη ισότητα. Ισοδύναμες πράξεις σημαίνει ότι, καθ’ όλη την πορεία τους, θα χρησιμοποιείς το σύμ- βολο της ισοδυναμίας ( ⇔ ), αρκεί βεβαίως κάθε βήμα να είναι ισοδύναμο με το άλλο. Ακολουθώντας αυτόν τον τρόπο, σκοπός σου πλέον είναι να καταλήξεις σε μια σχέση η οποία να ισχύει: α) γενικώς (π.χ. να καταλήξεις ότι 0 = 0 ή α = α ή x2 = x2 κ.ά.). β) λόγω πρότασης ­ ιδιότητας της θεωρίας. γ) λόγω κάποιου δεδομένου της άσκησης. Αυτό θα το καταλάβεις καλύτερα μέσω του ακόλουθου παραδείγματος. Παράδειγµα 26 Να αποδείξετε ότι (α2 + β2)(x2 + y2) = (αx + βy)2 + (αy − βx)2 , για κάθε α , β , x , y ∈ ! . ~ Λύση ~ Ισοδύναμα θα δείξω ότι (α2 + β2)(x2 + y2) = (αx + βy)2 + (αy − βx)2 ⇔ ⇔ α2x2 + α2y2 + β2x2 + β2y2 = α2x2 + β2y2 + 2αβxy + α2y2 + β2x2 − 2αβxy ⇔ ⇔ 0 = 0 , το οποίο προφανώς ισχύει. - 27 - Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηματικών • www.mathsteki.gr

Ά λγε β ρ α Α ΄Λ υκε ί ου Κεφάλαιο 2 • Οι πραγµατικοί αριθµοί Σχόλιο για τους τρεις τρόπους που προαναφέρθηκαν Ποιόν από τους τρεις τρόπους θα επιλέξεις, δεν το ξέρεις από την αρχή (με εξάσκηση όμως, θα μπορείς να το καταλαβαίνεις σε πολλές περιπτώσεις). • Ο 1ος τρόπος (σελίδα 24) συστήνω να είναι η πρώτη σου σκέψη, διότι αυτός συνή- θως οδηγεί στην λύση. • Ο 2ος τρόπος (σελίδα 25) να έρθει ως σκέψη, αν παρατηρήσεις ότι μπορείς να κά- νεις πράξεις για κάθε μέλος της ζητούμενης σχέσης. • Ο 3ος τρόπος (σελίδα 27) έχει πολλές πράξεις τις περισσότερες φορές και δεν την συστήνω ως πρώτη σκέψη. Παρέχει όμως περισσότερες δυνατότητες πράξεων, τις οποίες δεν παρέχει ο 1ος τρόπος (π.χ. μπορείς να κάνεις απαλοιφή παρονομαστών, να μεταφέρεις όρους από το ένα μέλος στο άλλο κ.λπ). - 28 - Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηματικών • www.mathsteki.gr



Μόνο εδώ θα βρεις τα αναλυτικότερα βιβλία Μαθηµατικών του διαδικτύου!