Άλγεβ ρ α Β΄ Λυ κεί ο υ • Κ Ε ΦΑ Λ Α Ι Ο 5 • Εκ θ ετι κ ή κ α ι λογα ρ ι θ μ ι κ ή συνά ρτηση Παράγραφος 3 • Λογαριθµική συνάρτηση • ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Άσκηση 245 Πρόσεξέ την πάρα πολύ! Να λύσετε την εξίσωση xℓn x = e2 . Λύση Πρέπει να είναι x > 0 . Τότε έχω xℓn x = e2 ⇔ ℓnxℓn x = ℓne2 ⇔ ℓn x ⋅ ℓnx = 2 ⇔ 1 ℓnx ⋅ ℓnx = 2 ⇔ ℓn2x = 4 ⇔ 2 ⇔ ℓnx = ± 4 ⇔ ℓnx = 2 ή ℓnx = −2 ⇔ x = e2 η x = e−2 = 1 . e2 Και εδώ έκανα την ίδια κίνηση που έκανα στην άσκηση 240: λογαρίθμισα τα δύο μέλη. Άσκηση 246 Πρόσεξέ την πάρα πολύ! Να λύσετε την εξίσωση x2ℓogx = x . Λύση Πρέπει να είναι x > 0 . Τότε έχω x2ℓogx = x ⇔ ℓogx2ℓogx = ℓog x ⇔ 2ℓogx ⋅ ℓogx = 1 ℓogx ⇔ 4ℓog2x = ℓogx ⇔ 2 ( )⇔ 4ℓog2x − ℓogx = 0 ⇔ ℓogx ⋅ 4ℓogx − 1 = 0 ⇔ ℓogx = 0 ή 4ℓogx − 1 = 0 ⇔ ⇔x=1 ή ℓogx = 1 ⇔x=1 1 . 4 ή x = 104 ⇔ x = 1 η x = 4 10 Και εδώ έκανα την ίδια κίνηση που έκανα στην άσκηση 240: λογαρίθμισα τα δύο μέλη. - 232 - Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηματικών • www.mathsteki.gr
Άλγεβ ρ α Β΄ Λυ κεί ο υ • Κ Ε ΦΑ Λ Α Ι Ο 5 • Εκ θ ετι κ ή κ α ι λογα ρ ι θ μ ι κ ή συνά ρτηση Παράγραφος 3 • Λογαριθµική συνάρτηση • ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Άσκηση 247 Πρόσεξέ την πάρα πολύ! Να λύσετε την εξίσωση xℓnx = e x3 . Λύση Πρέπει να είναι x > 0 . Τότε έχω ( )xℓnx = e 1 x3 ⇔ ℓnxℓnx = ℓn e x3 ⇔ ℓnx ⋅ ℓnx = ℓne + ℓn x3 ⇔ ℓn2x = 1+ 2 ℓnx3 ⇔ ⇔ ℓn2x = 1+ 3 ℓnx ⇔ 2ℓn2x = 2 + 3ℓnx . 2 Θέτω ℓnx = y και έχω την εξίσωση 2y2 = 2 + 3y ⇔ 2y2 − 3y − 2 = 0 , από όπου προκύπτει y = 2 ή y=− 1 . 2 α) Για y = 2 προκύπτει ℓnx = 2 ⇔ x = e2 . β) Για y=− 1 προκύπτει 2 ℓnx = − 1 ⇔ x = e− 1 = 1 = 1= e . 2 2 e e 1 e2 - 233 - Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηματικών • www.mathsteki.gr
Άλγεβ ρ α Β΄ Λυ κεί ο υ • Κ Ε ΦΑ Λ Α Ι Ο 5 • Εκ θ ετι κ ή κ α ι λογα ρ ι θ μ ι κ ή συνά ρτηση Παράγραφος 3 • Λογαριθµική συνάρτηση • ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Άσκηση 248 Πρόσεξέ την πάρα πολύ! ( ) ( )Να λύσετε την εξίσωση x + 1 ℓn(x+1) = e2 x + 1 . Λύση Πρέπει να είναι x + 1 > 0 ⇔ x > −1 . Τότε έχω ( ) ( ) ( ) ( )x + 1 ℓn(x+1) = e2 x + 1 ⇔ ℓn x + 1 ℓn(x+1) = ℓn ⎣⎡⎢e2 x + 1 ⎤⎥⎦ ⇔ ⇔ ℓn(x + 1) ⋅ ℓn(x + 1) = ℓne2 + ℓn(x + 1) . Θέτω ℓn(x + 1) = y και έχω την εξίσωση y ⋅ y = 2 + y ⇔ y2 − y − 2 = 0 , από όπου προκύπτει y = 2 ή y = −1 . α) Για y = 2 προκύπτει ( )ℓn x + 1 = 2 ⇔ x + 1 = e2 ⇔ x = e2 − 1 . β) Για y = −1 προκύπτει ( )ℓn = −1 ⇔ x + 1 = e−1 ⇔ x = 1 −1 ⇔ x = 1 − e x+1 e e . Θα ελέγξω αν αυτή η τιμή είναι δεκτή. Έστω ότι 1−e > −1 . e Τότε είναι 1 − e > − e ⇔ 1 > 0 , που ισχύει. Άρα ο αριθμός x= 1−e είναι επίσης λύση της εξίσωσης. e - 234 - Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηματικών • www.mathsteki.gr
Άλγεβ ρ α Β΄ Λυ κεί ο υ • Κ Ε ΦΑ Λ Α Ι Ο 5 • Εκ θ ετι κ ή κ α ι λογα ρ ι θ μ ι κ ή συνά ρτηση Παράγραφος 3 • Λογαριθµική συνάρτηση • ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Άσκηση 249 Πρόσεξέ την πάρα πολύ! Να λύσετε την εξίσωση xℓnx3 = e2x . Λύση Πρέπει να είναι x > 0 . Τότε έχω ( )xℓnx3 = e2x ⇔ ℓnxℓnx3 = ℓn e2x ⇔ ℓnx3 ⋅ ℓnx = ℓne2 + ℓnx ⇔ 3ℓnx ⋅ ℓnx = 2 + ℓnx ⇔ ⇔ 3ℓn2x − ℓnx − 2 = 0 . Θέτω ℓnx = y και έχω την εξίσωση 3y2 − y − 2 = 0 , από όπου προκύπτει y=1 ή y=− 2 . 3 α) Για y = 1 προκύπτει ℓnx = 1 ⇔ x = e . β) Για y=− 2 προκύπτει 3 ℓnx = − 2 ⇔ x = e− 2 = 1 = 1 = 1⋅ 3 e = 3e . 3 3 3 e2 3 e2 ⋅ 3 e e 2 e3 Άσκηση 250 Πρόσεξέ την πάρα πολύ! Να λύσετε την εξίσωση 3x−1 = e2−x . Λύση Από την εξίσωση προκύπτει ( )3x−1 = e2−x ⇔ ℓn3x−1 = ℓne2−x ⇔ x − 1 ⋅ ℓn3 = 2 − x ⇔ x ℓn3 − ℓn3 = 2 − x ⇔ ⇔ x + x ℓn3 = 2 + ℓn3 ⇔ (1 + ℓn3) ⋅ x = 2 + ℓn3 ⇔ x = 2 + ℓn3 . 1 + ℓn3 - 235 - Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηματικών • www.mathsteki.gr
Μόνο εδώ θα βρεις τα αναλυτικότερα βιβλία Μαθηµατικών του διαδικτύου!
Κεφάλαιο 5 - Εκθετική και λογαριθμική συνάρτηση Παράγραφος 5.3 - Λογαριθμική συνάρτηση Άσκηση 248 Να λύσετε την εξίσωση (x )+1 ℓn(x+1) = e2(x +1) . Πρέπει να είναι x +1>0 ⇔ x >−1. Τότε έχω (x )+1 ℓn(x+1) = e2(x +1) ⇔ ℓn(x )+1 ℓn(x+1) = ℓn⎣⎡e2(x +1)⎦⎤ ⇔ ⇔ ℓn(x +1)⋅ ℓn(x +1) = ℓne2 + ℓn(x +1) . Θέτω ℓn(x +1) = y και έχω την εξίσωση y⋅y =2+y ⇔ y2−y−2=0 , από όπου προκύπτει y = 2 ή y =−1. α) Για y = 2 προκύπτει ℓn(x +1) = 2 ⇔ x +1 = e2 ⇔ x = e2 −1 . β) Για y =−1 προκύπτει ℓn(x +1) = −1 ⇔ x +1 = e−1 ⇔ x = 1 −1 ⇔ x = 1−e . e e Θα ελέγξω αν αυτή η τιμή είναι δεκτή. Έστω ότι 1−e > −1 . e Τότε είναι 1− e >− e ⇔ 1>0 , που ισχύει. Άρα ο αριθμός x = 1−e είναι επίσης λύση της εξίσωσης. e - 213 - ∆ημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος • Μαθηματικό στέκι • www.mathsteki.gr
Κεφάλαιο 5 - Εκθετική και λογαριθμική συνάρτηση Παράγραφος 5.3 - Λογαριθμική συνάρτηση Άσκηση 249 Να λύσετε την εξίσωση xℓnx3 = e2x . Πρέπει να είναι x >0 . Τότε έχω ( )xℓnx3 = e2x ⇔ ℓnxℓnx3 = ℓn e2x ⇔ ℓnx3 ⋅ ℓnx = ℓne2 + ℓnx ⇔ 3ℓnx ⋅ ℓnx = 2+ ℓnx ⇔ ⇔ 3ℓn2x−ℓnx−2 = 0 . Θέτω ℓnx = y και έχω την εξίσωση 3y2 −y−2 = 0 , από όπου προκύπτει y =1 ή y = − 2 . 3 • Για y =1 προκύπτει ℓnx = 1 ⇔ x = e . • Για y =− 2 προκύπτει 3 ℓnx = − 2 ⇔ x = e− 2 = 1 = 1 = 1⋅ 3 e = 3e . 3 3 3 e2 3 e2 ⋅ 3 e e 2 e3 Άσκηση 250 Να λύσετε την εξίσωση 3x−1 = e2−x . Από την εξίσωση προκύπτει 3x−1 = e2−x ⇔ ℓn3x−1 = ℓne2−x ⇔(x−1)⋅ ℓn3 = 2−x ⇔ x ℓn3−ℓn3= 2−x ⇔ ⇔ x + xℓn3= 2+ ℓn3 ⇔ (1+ ℓn3)⋅ x = 2+ ℓn3 ⇔ x = 2+ ℓn3 . 1+ ℓn3 - 214 - ∆ημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος • Μαθηματικό στέκι • www.mathsteki.gr
Κεφάλαιο 5 - Εκθετική και λογαριθμική συνάρτηση Παράγραφος 5.3 - Λογαριθμική συνάρτηση Πηγές ασκήσεων ▶︎ 1η περίπτωση • Ευάγγελος Τόλης, Άλγεβρα Β' Λυκείου Το αρχείο το βρήκα στην διεύθυνση http://eisatopon.blogspot.gr/2015/09/blog-post_63.html Ασκήσεις 166 - 178 • Αλκιβιάδης Τζελέπης , Άλγεβρα Β’ Λυκείου Το αρχείο το βρήκα στην διεύθυνση http://eisatopon.blogspot.gr/2015/09/blog-post_63.html Ασκήσεις 179 - 181 • Μίλτος Παπαγρηγοράκης Άλγεβρα Β’ Λυκείου, 4ο Γενικό Λύκειο Χανίων, 2013 - 2014 Το αρχείο το βρήκα στην διεύθυνση http://parmenides51.blogspot.gr/p/blog-page_4.html Ασκήσεις 182 - 185 - 215 - ∆ημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος • Μαθηματικό στέκι • www.mathsteki.gr
Κεφάλαιο 5 - Εκθετική και λογαριθμική συνάρτηση Παράγραφος 5.3 - Λογαριθμική συνάρτηση • Πέτρος Τόγκας Άλγεβρα και συμπλήρωμα Άλγεβρας, τόμος Β’, 27η έκδοση, εκδοτικός οίκος Πέτρου Τόγκα, Αθήνα Ασκήσεις 186 - 195 • Γιώργος Μαυρίδης Άλγεβρα Β’ Λυκείου, εκδόσεις Μαυρίδη, Θεσσαλονίκη, 2010 Ασκήσεις 196 - 204 • Βασίλης Παπαδάκης Άλγεβρα Β’ Λυκείου, Β’ τεύχος, εκδόσεις Σαββάλας, Αθήνα, 2012 Ασκήσεις 205 - 210 ▶︎ 2η περίπτωση • Ευάγγελος Τόλης, Άλγεβρα Β' Λυκείου Το αρχείο το βρήκα στην διεύθυνση http://eisatopon.blogspot.gr/2015/09/blog-post_63.html Ασκήσεις 211 - 216 • Αλκιβιάδης Τζελέπης , Άλγεβρα Β’ Λυκείου Το αρχείο το βρήκα στην διεύθυνση http://eisatopon.blogspot.gr/2015/09/blog-post_63.html - 216 - ∆ημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος • Μαθηματικό στέκι • www.mathsteki.gr
Κεφάλαιο 5 - Εκθετική και λογαριθμική συνάρτηση Παράγραφος 5.3 - Λογαριθμική συνάρτηση Ασκήσεις 217 - 220 • Μίλτος Παπαγρηγοράκης Άλγεβρα Β’ Λυκείου, 4ο Γενικό Λύκειο Χανίων, 2013 - 2014 Το αρχείο το βρήκα στην διεύθυνση http://parmenides51.blogspot.gr/p/blog-page_4.html Ασκήσεις 221 - 223 • Βασίλης Παπαδάκης Άλγεβρα Β’ Λυκείου, Β’ τεύχος, εκδόσεις Σαββάλας, Αθήνα, 2012 Ασκήσεις 224 - 229 • Άγνωστη πηγή Ασκήσεις 230 - 235 ▶︎ 3η περίπτωση • Αλκιβιάδης Τζελέπης , Άλγεβρα Β’ Λυκείου Το αρχείο το βρήκα στην διεύθυνση http://eisatopon.blogspot.gr/2015/09/blog-post_63.html Ασκήσεις 236 - 242 - 217 - ∆ημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος • Μαθηματικό στέκι • www.mathsteki.gr
Κεφάλαιο 5 - Εκθετική και λογαριθμική συνάρτηση Παράγραφος 5.3 - Λογαριθμική συνάρτηση • Βασίλης Παπαδάκης Άλγεβρα Β’ Λυκείου, Β’ τεύχος, εκδόσεις Σαββάλας, Αθήνα, 2012 Ασκήσεις 243 - 247 • Άγνωστη πηγή Ασκήσεις 248 - 250 - 218 - ∆ημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος • Μαθηματικό στέκι • www.mathsteki.gr
Στο «Μαθηματικό στέκι» θα βρεις την αναλυτικότερη θεωρία - μεθοδολογία και τις αναλυτικότερα λυμένες ασκήσεις του διαδικτύου Μαθηματικό στέκι www.mathsteki.gr
Search
