ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ Β ΛΥΚΕΙΟΥ - Κωνικές τομές - Παράγραφος 1 (θεωρία)

Β’ ΛΥΚΕΙΟΥ - ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Κωνικές τομές Παράγραφος 1 Ο κύκλος Νέα Μουδανιά • Αύγουστος 2020



ΠΑΡΑΓΡΑΦΟΣ 1 Μαθηματικά Προσανατολισμού Β΄Λυκείου • ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 • Κωνικές τομές ΠΑΡΑΓΡΑΦΟΣ 1. Ο κύκλος Ο κύκλος Στο σχολικό βιβλίο η παράγραφος αυτή θέτει μόνο τα βασικά στοιχεία θεωρίας. Γι’ αυτό θα δεις πολλές συμπληρώσεις, παρατηρήσεις και υπενθυμίσεις από την Ευκλεί- δεια Γεωμετρία. Αντίστοιχα με την εξίσωση της ευθείας γραμμής, εδώ έχουμε την εξίσωση ενός κύκλου. Πρόταση Εξίσωση κύκλου. Ο µοναδιαίος κύκλος. α) Ο κύκλος που έχει κέντρο την αρχή των αξόνων και ακτίνα ρ, έχει εξίσωση c : x2 + y2 = ρ2 . Ειδικότερα, ο κύκλος με κέντρο την αρχή των αξόνων και ακτίνα 1 έχει εξίσωση x2 + y2 = 1 και ονομάζεται μοναδιαίος κύκλος. β) Ο κύκλος που έχει κέντρο το σημείο Κ(x0 , y0) , διάφορο του Ο(0 , 0) , και ακτίνα ρ έχει εξίσωση c : (x − x0)2 + (y − y0)2 = ρ2 . Παρατηρήσεις στην εξίσωση κύκλου ❖ Παρατήρηση 1η - Για την πρόταση (α) α) Ισχύει και αντίστροφα, δηλαδή όταν ένας κύκλος έχει εξίσωση της μορφής x2 + y2 = ρ2 , τότε έχει κέντρο την αρχή των αξόνων και ακτίνα ρ. Συμπερασματικά επομένως, ένας κύκλος έχει κέντρο την αρχή των αξόνων και ακτίνα ρ, αν και μόνο αν έχει εξίσωση x2 + y2 = ρ2 , όπου ρ > 0 . β) Το ίδιο ισχύει και για την εξίσωση x2 + y2 = 1 , δηλαδή από αυτήν προκύπτει ο κύκλος με κέντρο την αρχή των αξόνων και ακτίνα 1 (ο μοναδιαίος κύκλος). - 648 - Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηματικών • www.mathsteki.gr

Μαθηματικά Προσανατολισμού Β΄Λυκείου • ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 • Κωνικές τομές ΠΑΡΑΓΡΑΦΟΣ 1. Ο κύκλος γ) Την εξίσωση αυτής της μορφής θα την συναντάς ως x2 + y2 = α , όπου α > 0 , δηλαδή δεξιά δεν θα έχει εμφανές το τετράγωνο. Τότε η ακτίνα του είναι ίση με α και όχι με α. Δηλαδή γίνεται το λάθος να λέγεται, για παράδειγμα, ότι ο κύκλος x2 + y2 = 2 έχει κέντρο το Ο(0 , 0) και ακτίνα ρ = 2 , ενώ το σωστό είναι ότι έχει κέντρο το Ο(0 , 0) και ακτίνα ρ = 2 . δ) Στην εξίσωση x2 + y2 = α : • αν είναι α = 0 , τότε προκύπτει x2 + y2 = 0 , άρα είναι x = 0 και y = 0 , οπότε η εξίσωση παριστάνει το σημείο (0 , 0) . • αν είναι α < 0 , τότε η εξίσωση είναι αδύνατη. Επομένως, είναι απαραίτητη προϋπόθεση να είναι α > 0 , ώστε αυτή να παριστάνει κύκλο. ❖ Παρατήρηση 2η - Για την πρόταση (β) α) Ισχύει και αντίστροφα, δηλαδή όταν ένας κύκλος έχει εξίσωση της μορφής (x − x0)2 + (y − y0)2 = ρ2 , τότε έχει κέντρο το σημείο Κ(x0 , y0) και ακτίνα ρ. Συμπερασματικά επομένως, ένας κύκλος έχει κέντρο το σημείο Κ(x0 , y0) , διάφορο από Ο(0 , 0) , και ακτίνα ρ, αν και μόνο αν έχει εξίσωση (x − x0)2 + (y − y0)2 = ρ2 , όπου ρ > 0 . β) Την εξίσωση αυτής της μορφής θα την συναντάς ως (x − x0)2 + (y − y0)2 = α , α > 0 , από όπου προκύπτει ότι η ακτίνα του είναι ίση με α και όχι με α. γ) Στην εξίσωση (x − x0)2 + (y − y0)2 = α : • αν είναι α = 0 , τότε προκύπτει x − x0 = 0 και y − y0 = 0 ⇔ x = x0 και y = y0 , - 649 - Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηματικών • www.mathsteki.gr

Μαθηματικά Προσανατολισμού Β΄Λυκείου • ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 • Κωνικές τομές ΠΑΡΑΓΡΑΦΟΣ 1. Ο κύκλος οπότε η εξίσωση παριστάνει το σημείο (x0 , y0) . • αν είναι α < 0 , τότε η εξίσωση είναι αδύνατη. Επομένως, είναι απαραίτητη προϋπόθεση να είναι α > 0 , ώστε αυτή να παριστάνει κύκλο. “Να βρείτε την εξίσωση του κύκλου” Είναι μία από τις πλέον χαρακτηριστικές εκφωνήσεις στις ασκήσεις (οι λυμένες ασκή- σεις της κατηγορίας 1 που θα δεις είναι αφιερωμένες σε αυτό το θέμα) και εδώ βρί- σκουν άμεση εφαρμογή οι δύο εξισώσεις που είδες στην πρόταση της θεωρίας. Έτσι, όταν δεις να ζητείται να βρεις την εξίσωση ενός κύκλου, το πρώτο που πρέπει να ρωτήσεις είναι «Ποιο είναι το κέντρο του κύκλου;» • Αν στην άσκηση αναφέρεται ότι το κέντρο είναι η αρχή των αξόνων, τότε ο ζητούμε- νος κύκλος θα έχει εξίσωση x2 + y2 = ρ2 , ρ > 0 , οπότε το μόνο που θα έχεις να βρεις είναι η ακτίνα ρ. Σε αυτήν την περίπτωση δηλαδή, ένας μόνο άγνωστος υπάρχει στην άσκηση: ο αριθμός ρ. Τα στοιχεία της άσκησης επομένως, θα πρέπει να οδηγήσουν σε εξί- σωση με άγνωστο το ρ. • Αν στην άσκηση δεν αναφέρεται ότι το κέντρο είναι η αρχή των αξόνων ή αναφέρε- ται ότι έχει κέντρο σημείο διαφορετικό του Ο ή αν δεν αναφέρεται καν κάτι για το κέντρο, τότε ο κύκλος θα έχει εξίσωση (x − x0)2 + (y − y0)2 = ρ2 , ρ > 0 , οπότε θα πρέπει να βρεις το κέντρο του Κ(x0 , y0) και την ακτίνα ρ. Σε αυτήν την περίπτωση δηλαδή, στην άσκηση θα έχεις τρεις αγνώστους, τους αριθμούς x0 , y0 , ρ . Κάποιες φορές δίνεται το κέντρο ή η ακτίνα, αλλά τις περισσότερες οι άγνωστοι είναι τρεις. - 650 - Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηματικών • www.mathsteki.gr

Μαθηματικά Προσανατολισμού Β΄Λυκείου • ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 • Κωνικές τομές ΠΑΡΑΓΡΑΦΟΣ 1. Ο κύκλος Σε κάθε περίπτωση όμως, για το πώς θα βρεις τους αγνώστους δεν υπάρχει συνταγή, αφού εξαρτώνται από τα δεδομένα της άσκησης. Στις επόμενες σελίδες θα δεις μερι- κές πολύ χρήσιμες προτάσεις της Γεωμετρίας και πώς αυτές θα σε βοηθήσουν στις ασκήσεις. Φυσικά, στοιχεία από τα διανύσματα και τις ευθείες (κυρίως αυτές) θα σου χρειαστούν πολλές φορές. Πρόταση Η εξίσωση x2 + y2 + Ax + By + Γ = 0 Για να δούμε τι παριστάνει αυτή η εξίσωση, υπολογίζουμε τον αριθμό Δ = Α2 + Β2 − 4Γ . α) Αν είναι Δ > 0 , τότε η εξίσωση παριστάνει κύκλο με κέντρο το σημείο Κ ⎛⎜⎜⎜⎝− Α ,− Β ⎟⎠⎟⎟⎟⎞ και ακτίνα ρ= Δ . 2 2 2 β) Αν είναι Δ = 0 , τότε η εξίσωση παριστάνει το σημείο Κ⎜⎝⎜⎜⎛− Α ,− Β ⎟⎟⎞⎟⎟⎠ . 2 2 γ) Αν είναι Δ < 0 , τότε η εξίσωση είναι αδύνατη, δηλαδή δεν υπάρχουν σημεία των οποίων οι συντεταγμένες να την επαληθεύουν. Επομένως, Κάθε κύκλος έχει εξίσωση της μορφής x2 + y2 + Ax + By + Γ = 0 , με Α2 + Β2 − 4Γ > 0 , και αντιστρόφως, κάθε εξίσωση της μορφής αυτής παριστάνει κύκλο. Παρατηρήσεις στην εξίσωση x2 + y2 + Ax + By + Γ = 0 Ο αριθμός Δ = Α2 + Β2 − 4Γ είναι κάτι σαν «διακρίνουσα». Στο σχολικό βιβλίο ούτε γράφεται με το γράμμα Δ ούτε κατονομάζεται ως «διακρίνουσα». Αυτά γίνονται εδώ χάριν διευκόλυνσης και καλύτερης κατανόησης της μελέτης του θέματος. Δεν υπάρχει κανένα απολύτως πρόβλημα αν χρησιμοποιείς το Δ και εσύ στις ασκήσεις (αλλά μην γράψεις πουθενά για «διακρίνουσα»). Η πρόταση που αναφέρθηκε παραπάνω και οι τρεις περιπτώσεις της ισχύουν και αντί- στροφα, δηλαδή: - 651 - Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηματικών • www.mathsteki.gr

Μαθηματικά Προσανατολισμού Β΄Λυκείου • ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 • Κωνικές τομές ΠΑΡΑΓΡΑΦΟΣ 1. Ο κύκλος α) όταν γνωρίζεις ότι η εξίσωση αυτή παριστάνει κύκλο, τότε είναι Δ > 0 . β) όταν γνωρίζεις ότι η εξίσωση αυτή παριστάνει σημείο, τότε είναι Δ = 0 . γ) όταν γνωρίζεις ότι η εξίσωση αυτή είναι αδύνατη, τότε είναι Δ < 0 . Συμπερασματικά επομένως, η εξίσωση x2 + y2 + Ax + By + Γ = 0 , με Δ = Α2 + Β2 − 4Γ : Ι. παριστάνει κύκλο κέντρου Κ⎜⎜⎜⎝⎛− Α ,− Β ⎠⎞⎟⎟⎟⎟ και ακτίνας ρ = Δ , αν και μόνο αν 2 2 2 είναι Δ > 0 . ΙΙ. παριστάνει το σημείο K⎜⎝⎜⎛⎜− A ,− B ⎟⎟⎠⎟⎞⎟ , αν και μόνο αν είναι Δ = 0 . 2 2 ΙΙΙ. είναι αδύνατη, αν και μόνο αν είναι Δ < 0 . Αξίζει να αναλύσω περισσότερο αυτά τα συμπεράσματα. α) Αν θες να εξετάσεις τι παριστάνει η εξίσωση, τότε υπολόγισε τον αριθμό Δ. • Αν προκύψει θετικός, απάντησε ότι η εξίσωση παριστάνει κύκλο με κέντρο το Κ και ακτίνα ρ. • Αν προκύψει μηδέν, απάντησε ότι παριστάνει το σημείο Κ. • Αν προκύψει αρνητικός, απάντησε ότι η εξίσωση είναι αδύνατη. β) Αν θες να δείξεις ότι η εξίσωση: • παριστάνει κύκλο, τότε δείξε ότι ο αριθμός Δ είναι θετικός. • παριστάνει σημείο, τότε δείξε ότι ο αριθμός Δ είναι μηδέν. • είναι αδύνατη, τότε δείξε ότι ο αριθμός Δ είναι αρνητικός. γ) Αν γνωρίζεις ότι: • η εξίσωση παριστάνει κύκλο, τότε γνωρίζεις ότι ο αριθμός Δ είναι θετικός. • η εξίσωση παριστάνει σημείο, τότε γνωρίζεις ότι ο αριθμός Δ είναι μηδέν. • η εξίσωση είναι αδύνατη, τότε γνωρίζεις ότι ο αριθμός Δ είναι αρνητικός. - 652 - Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηματικών • www.mathsteki.gr

Μαθηματικά Προσανατολισμού Β΄Λυκείου • ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 • Κωνικές τομές ΠΑΡΑΓΡΑΦΟΣ 1. Ο κύκλος Αυτά χρησιμοποιούνται σε ασκήσεις που οι συντελεστές Α, Β, Γ της εξίσωσης αυτής (όχι όλοι απαραιτήτως όμως) είναι παραστάσεις κάποιας παραμέτρου. ΠΡΟΣΟΧΗ ! Θα συναντήσεις την εξίσωση αυτή και στην μορφή µx2 + µy2 + αx + βy + γ = 0 , δηλαδή τα x2 , y2 θα έχουν τον ίδιο συντελεστή και το μ θα είναι πραγματικός αριθμός ή κάποια παράμετρος. Τότε: α) αν ο μ είναι σταθερός αριθμός, διάφορος του μηδενός, διαίρεσε τα μέλη της εξίσω- σης με μ, ώστε αυτή να λάβει την μορφή x2 + y2 + Αx + Βy + Γ = 0 , Α , Β , Γ ∈ ! . β) αν μ είναι παράσταση παραμετρική, τότε μάλλον πρέπει να ελέγξεις αν μπορεί να μηδενίζεται ή όχι (αυτό σημαίνει διερεύνηση). - 653 - Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηματικών • www.mathsteki.gr

Μαθηματικά Προσανατολισμού Β΄Λυκείου • ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 • Κωνικές τομές ΠΑΡΑΓΡΑΦΟΣ 1. Ο κύκλος ΠΟΛΥ ΧΡΗΣΙΜΕΣ ΣΥΜΠΛΗΡΩΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΘΕΩΡΙΑ που βοηθούν καθοριστικά στις ασκήσεις Στις ασκήσεις κυρίαρχο είναι το θέμα εύρεσης της εξίσωσης ενός κύκλου. Φυσικά δεν είναι το μόνο, αφού και η εύρεση της εξίσωσης της εφαπτομένης είναι ένα ακόμη ση- μαντικό θέμα, όπως επίσης και άλλα γενικά θέματα στον κύκλο. Σε κάθε περίπτωση επομένως, όσα θα δεις στην συνέχεια είναι στοιχεία που προέρχονται από την Ευκλεί- δεια Γεωμετρία και πώς αυτά αξιοποιούνται γενικώς στις ασκήσεις αυτής της παρα- γράφου. ❖ Θέµα 1ο - Ευθεία εφάπτεται σε κύκλο (ισοδύναµα, κύκλος εφάπτεται σε ευθεία) Ας θεωρήσουμε έναν κύκλο κέντρου K(x0 , y0) και ακτίνας ρ και μια ευθεία (ε). Ο κύκλος μπορεί να έχει ως κέντρο και την αρχή των αξόνων, ενώ η εξίσωση της ευθείας μπορεί να δίνεται σε οποιαδήποτε από τις γνωστές μορφές. Τότε η ευθεία εφάπτεται στον κύκλο (ισοδύναμα ­διότι και έτσι συναντάται πολύ συχνά στις ασκήσεις­ ο κύκλος εφάπτεται της ευθείας), αν και μόνο αν d(Κ , ε) = ρ . Αυτό σημαίνει ότι: α) αν θες να εξετάσεις αν η ευθεία εφάπτεται στον κύκλο, τότε εξέτασε αν ισχύει d(Κ , ε) = ρ . β) αν θες να δείξεις ότι η ευθεία εφάπτεται στον κύκλο, τότε δείξε ότι ισχύει d(Κ , ε) = ρ . γ) αν γνωρίζεις ότι η ευθεία εφάπτεται στον κύκλο, τότε γνωρίζεις ότι ισχύει d(Κ , ε) = ρ . Η επαφή ευθείας και κύκλου είναι από τις πλέον συνηθι- σμένες συνθήκες στις ασκήσεις! - 654 - Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηματικών • www.mathsteki.gr

Μαθηματικά Προσανατολισμού Β΄Λυκείου • ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 • Κωνικές τομές ΠΑΡΑΓΡΑΦΟΣ 1. Ο κύκλος ❖ Θέµα 2ο - Ο κύκλος εφάπτεται σε κάποιον από τους άξονες (ή και στους δύο) Ας θεωρήσουμε έναν κύκλο κέντρου Κ(x0 , y0) και ακτίνας ρ. Τότε: α) ο κύκλος εφάπτεται στον άξονα x΄x, αν και μόνο αν ισχύει ρ = y0 . Αυτό σημαίνει ότι: • αν θες να εξετάσεις αν ο κύκλος εφάπτεται στον x΄x, τότε εξέτασε αν ισχύει ρ = y0 . • αν θες να δείξεις ότι ο κύκλος εφάπτεται στον x΄x, τότε δείξε ότι ισχύει ρ = y0 . • αν ξέρεις ότι ο κύκλος εφάπτεται στον x΄x, τότε ξέρεις ότι ισχύει ρ = y0 . Στην περίπτωση αυτή ξέρεις και ότι η επαφή γίνεται στο σημείο (x0 , 0) του άξονα x΄x. Σε κάθε περίπτωση, η απόλυτη τιμή μπαίνει διότι μπορεί να είναι y0 < 0 . β) ο κύκλος εφάπτεται στον άξονα y΄y, αν και μόνο αν ισχύει ρ = x0 . Αυτό σημαίνει ότι: • αν θες να εξετάσεις αν ο κύκλος εφάπτεται στον y΄y, τότε εξέτασε αν ισχύει ρ = x0 . • αν θες να δείξεις ότι ο κύκλος εφάπτεται στον y΄y, τότε δείξε ότι ισχύει ρ = x0 . • αν ξέρεις ότι ο κύκλος εφάπτεται στον y΄y, τότε ξέρεις ότι ισχύει ρ = x0 . Στην περίπτωση αυτή ξέρεις και ότι η επαφή γίνεται στο σημείο (0 , y0) του άξονα y΄y. - 655 - Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηματικών • www.mathsteki.gr

Μαθηματικά Προσανατολισμού Β΄Λυκείου • ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 • Κωνικές τομές ΠΑΡΑΓΡΑΦΟΣ 1. Ο κύκλος Σε κάθε περίπτωση, η απόλυτη τιμή μπαίνει διότι μπορεί να είναι x0 < 0 . γ) ο κύκλος εφάπτεται στον άξονα x΄x και στον άξονα y΄y, αν και μόνο αν ισχύουν ρ = y0 και ρ = x0 , δηλαδή αν και μόνο αν ρ = x0 = y0 . Αυτό σημαίνει ότι: • αν θες να εξετάσεις αν ο κύκλος εφάπτεται στον x΄x και στον y΄y, τότε εξέτασε αν ισχύει ρ = x0 = y0 . • αν θες να δείξεις ότι ο κύκλος εφάπτεται στον x΄x και στον y΄y, τότε δείξε ότι ισχύει ρ = x0 = y0 . • αν ξέρεις ότι ο κύκλος εφάπτεται στον x΄x και στον y΄y, τότε ξέρεις ότι ισχύει ρ = x0 = y0 . Στην περίπτωση αυτή ξέρεις ότι η επαφή γίνεται στο σημείο (x0 , 0) με τον άξονα x΄x και στο σημείο (0 , y0) με τον άξονα y΄y. Σε κάθε περίπτωση, η απόλυτη τιμή μπαίνει διότι μπορεί να είναι x0 < 0 ή/και y0 < 0 . ΠΡΟΣΟΧΗ ! Αν σε κάποια άσκηση κάνεις σχήμα και φαίνεται ότι ο κύκλος εφάπτεται σε κάποιον από τους άξονες (ή και στους δύο), δεν μπορείς να πεις «από το σχήμα προκύπτει ότι ο κύκλος εφάπτεται στον άξονα...»! Πρέπει να αποδείξεις την υποψία που προκύπτει από το σχήμα, αποδεικνύοντας ότι ισχύει ρ = y0 (για επαφή με τον x΄x) ή ρ = x0 (για επαφή με τον y΄y) ή ρ = x0 και ρ = y0 (για επαφή και με τους δύο άξονες). - 656 - Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηματικών • www.mathsteki.gr

Μαθηματικά Προσανατολισμού Β΄Λυκείου • ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 • Κωνικές τομές ΠΑΡΑΓΡΑΦΟΣ 1. Ο κύκλος ❖ Θέµα 3ο - Σχετική θέση σηµείου ως προς κύκλο Ας θεωρήσουμε έναν κύκλο κέντρου Κ(x0 , y0) και ακτίνας ρ και ένα σημείο Α του επιπέδου. Ο κύκλος μπορεί να έχει ως κέντρο και την αρχή των αξόνων. α) Το Α ανήκει στον κύκλο, αν και μόνο αν ισχύει (ΚΑ) = ρ . Αυτό σημαίνει ότι: • αν θες να εξετάσεις αν το Α ανήκει στον κύκλο, τότε εξέτασε αν ισχύει (ΚΑ) = ρ . • αν θες να δείξεις ότι το Α ανήκει στον κύκλο, τότε δείξε ότι ισχύει (ΚΑ) = ρ . • αν ξέρεις ότι το Α ανήκει στον κύκλο, τότε ξέρεις ότι ισχύει (ΚΑ) = ρ . Βέβαια ­και κατά τα γνωστά­ το Α ανήκει στον κύκλο, αν και μόνο αν οι συντεταγμέ- νες του επαληθεύουν την εξίσωση του κύκλου. Αυτός είναι ένας ακόμη τρόπος αντιμε- τώπισης του θέματος, κλασικός. β) Το Α είναι εσωτερικό σημείο του κύκλου, αν και μόνο αν ισχύει (ΚΑ) < ρ . Αυτό σημαίνει ότι: • αν θες να εξετάσεις αν το Α είναι εσωτερικό σημείο του κύκλου, τότε εξέτασε αν ισχύει (ΚΑ) < ρ . • αν θες να δείξεις ότι το Α είναι εσωτερικό σημείο του κύκλου, τότε δείξε ότι ισχύει (ΚΑ) < ρ . • αν ξέρεις ότι το Α είναι εσωτερικό σημείο του κύκλου, τότε ξέρεις ότι ισχύει (ΚΑ) < ρ . γ) Το Α είναι εξωτερικό σημείο του κύκλου, αν και μόνο αν ισχύει (ΚΑ) > ρ . Αυτό σημαίνει ότι: • αν θες να εξετάσεις αν το Α είναι εξωτερικό σημείο του κύκλου, τότε εξέτασε αν ισχύει (ΚΑ) > ρ . • αν θες να δείξεις ότι το Α είναι εξωτερικό σημείο του κύκλου, τότε δείξε ότι ισχύει (ΚΑ) > ρ . - 657 - Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηματικών • www.mathsteki.gr

Μαθηματικά Προσανατολισμού Β΄Λυκείου • ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 • Κωνικές τομές ΠΑΡΑΓΡΑΦΟΣ 1. Ο κύκλος • αν ξέρεις ότι το Α είναι εξωτερικό σημείο του κύκλου, τότε ξέρεις ότι ισχύει (ΚΑ) > ρ . ❖ Θέµα 4ο - Σχετική θέση ευθείας και κύκλου Ας θεωρήσουμε έναν κύκλο κέντρου Κ(x0 , y0) και ακτίνας ρ και μια ευθεία (ε). Ο κύκλος μπορεί να έχει ως κέντρο και την αρχή των αξόνων. α) Η ευθεία και ο κύκλος δεν έχουν κοινά σημεία, αν και μόνο αν d(Κ , ε) > ρ . Αυτό σημαίνει ότι: • αν θες να εξετάσεις αν η ευθεία και ο κύκλος δεν έχουν κοινά σημεία, τότε εξέτασε αν ισχύει d(Κ , ε) > ρ . • αν θες να δείξεις ότι η ευθεία και ο κύκλος δεν έχουν κοινά σημεία, τότε δείξε ότι ισχύει d(Κ , ε) > ρ . • αν ξέρεις ότι η ευθεία και ο κύκλος δεν έχουν κοινά σημεία, τότε ξέρεις ότι ισχύει d(Κ , ε) > ρ . β) Η ευθεία και ο κύκλος έχουν ένα μόνο κοινό σημείο (δηλαδή εφάπτονται), αν και μόνο αν d(Κ , ε) = ρ . Αυτό σημαίνει ότι: • αν θες να εξετάσεις αν η ευθεία και ο κύκλος έχουν ένα μόνο κοινό σημείο (δηλαδή αν εφάπτονται), τότε εξέτασε αν ισχύει d(Κ , ε) = ρ . • αν θες να δείξεις ότι η ευθεία και ο κύκλος έχουν ένα μόνο κοινό σημείο (δηλαδή ότι εφάπτονται), τότε δείξε ότι ισχύει d(Κ , ε) = ρ . • αν ξέρεις ότι η ευθεία και ο κύκλος έχουν ένα μόνο κοινό σημείο (δηλαδή ότι εφά- πτονται), τότε ξέρεις ότι ισχύει d(Κ , ε) = ρ . - 658 - Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηματικών • www.mathsteki.gr

Μαθηματικά Προσανατολισμού Β΄Λυκείου • ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 • Κωνικές τομές ΠΑΡΑΓΡΑΦΟΣ 1. Ο κύκλος γ) Η ευθεία και ο κύκλος έχουν δύο κοινά σημεία (δηλαδή τέμνονται), αν και μόνο αν d(Κ , ε) < ρ . Αυτό σημαίνει ότι: • αν θες να εξετάσεις αν η ευθεία και ο κύκλος έχουν δύο κοινά σημεία (δηλαδή αν τέμνονται), τότε εξέτασε αν ισχύει d(Κ , ε) < ρ . • αν θες να δείξεις ότι η ευθεία και ο κύκλος έχουν δύο κοινά σημεία (δηλαδή ότι τέμνονται), τότε δείξε ότι ισχύει d(Κ , ε) < ρ . • αν ξέρεις ότι η ευθεία και ο κύκλος έχουν δύο κοινά σημεία (δηλαδή ότι τέμνονται), τότε ξέρεις ότι ισχύει d(Κ , ε) < ρ . Βέβαια ­και κατά τα γνωστά­ η σχετική θέση ευθείας και κύκλου μπορεί να βρεθεί και λύνοντας το σύστημα των εξισώσεων της ευθείας και του κύκλου. Τότε: • η ευθεία και ο κύκλος δεν έχουν κοινά σημεία, αν και μόνο αν το σύστημα των εξι- σώσεών τους είναι αδύνατο. • η ευθεία και ο κύκλος έχουν ένα μόνο κοινό σημείο (δηλαδή εφάπτονται), αν και μόνο αν το σύστημα των εξισώσεών τους έχει μοναδική λύση. Τότε, η λύση του συστήματος δίνει τις συντεταγμένες του σημείου επαφής. • η ευθεία και ο κύκλος έχουν δύο κοινά σημεία (δηλαδή τέμνονται), αν και μόνο αν το σύστημα των εξισώσεών τους έχει δύο λύσεις. Τότε, οι λύσεις του συστήματος δίνουν τις συντεταγμένες των κοινών τους σημείων (σημείων τομής). ΠΡΟΣΟΧΗ ! Να αντιμετωπίσεις το θέμα λύνοντας το σύστημα, μόνο αν ζητούνται τα κοινά σημεία! Η επίλυση του συστήματος των εξισώσεων του κύκλου και της ευθείας (που είναι πά- ντα μη γραμμικό σύστημα), είναι ­όπως να το κάνουμε­ μια χρονοβόρα διαδικασία, ενίοτε με πολλές πράξεις. Επειδή­για την επίλυσή του­ πάντα λύνεις την εξίσωση της ευθείας ως προς x ή ως προς y και αντικαθιστάς αυτήν την σχέση στην εξίσωση του κύκλου, η διαδικασία μπορεί να γίνει αρκετά επίπονη, αν είτε ο συντελεστής του x εί- - 659 - Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηματικών • www.mathsteki.gr

Μαθηματικά Προσανατολισμού Β΄Λυκείου • ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 • Κωνικές τομές ΠΑΡΑΓΡΑΦΟΣ 1. Ο κύκλος τε ο συντελεστής του y δεν είναι 1 ή ­1. Βέβαια, αν ζητούνται τα κοινά σημεία ή αν είναι απαραίτητα για την συνέχιση της λύ- σης, τότε δεν μπορείς να αποφύγεις την επίλυση του συστήματος. Σε αυτήν την περί- πτωση, να είσαι ιδιαίτερα προσεκτικός στις πράξεις. ❖ Θέµα 5ο - Σχετική θέση δύο κύκλων (και οι κοινές τους εφαπτοµένες) Βασικά στοιχεία από την Γεωµετρία Θεωρούμε δύο κύκλους (Κ1 , ρ1) , (Κ2 , ρ2) . α) Οι κύκλοι εφάπτονται εξωτερικά, αν και μόνο αν ισχύει (Κ1Κ2) = ρ1 + ρ2 . Αυτό σημαίνει ότι: • αν θες να εξετάσεις αν οι κύκλοι εφάπτονται εξωτερικά, τότε εξέτασε αν ισχύει (Κ1Κ2) = ρ1 + ρ2 . • αν θες να δείξεις ότι οι κύκλοι εφάπτονται εξωτερικά, τότε δείξε ότι ισχύει (Κ1Κ2) = ρ1 + ρ2 . • αν ξέρεις ότι οι κύκλοι εφάπτονται εξωτερικά, τότε ξέρεις ότι ισχύει (Κ1Κ2) = ρ1 + ρ2 . Από την Γεωμετρία υπενθυμίζονται τα ακόλουθα: • αν οι κύκλοι εφάπτονται εξωτερικά, τότε έχουν δύο κοινές εξωτερικές εφαπτομένες, τις (ε1) , (ε2) , και μία κοινή εσωτερική εφαπτομένη, την (ε3) . • το τμήμα Κ1Κ2 λέγεται διάκεντρος των δύο κύκλων. • τα σημεία Α, Β, Γ, Δ, Ε λέγονται σημεία επαφής, το δε Ε σημείο επαφής των κύ- κλων. • τα σημεία Κ1 , Ε , Κ2 είναι συνευθειακά. • το τμήμα Κ1Κ2 και η (ε3) είναι κάθετες μεταξύ τους. Στην περίπτωση που οι κύκλοι είναι ίσοι (έχουν ίσες ακτίνες δηλαδή), η (ε3) είναι - 660 - Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηματικών • www.mathsteki.gr

Μαθηματικά Προσανατολισμού Β΄Λυκείου • ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 • Κωνικές τομές ΠΑΡΑΓΡΑΦΟΣ 1. Ο κύκλος μεσοκάθετος του Κ1Κ2 . β) Οι κύκλοι εφάπτονται εσωτερικά, αν και μόνο αν ισχύει (Κ1Κ2) = ρ1 − ρ2 . Αυτό σημαίνει ότι: • αν θες να εξετάσεις αν οι κύκλοι εφάπτονται εσωτερικά, τότε εξέτασε αν ισχύει (Κ1Κ2) = ρ1 − ρ2 . • αν θες να δείξεις ότι οι κύκλοι εφάπτονται εσωτερικά, τότε δείξε ότι ισχύει (Κ1Κ2) = ρ1 − ρ2 . • αν ξέρεις ότι οι κύκλοι εφάπτονται εσωτερικά, τότε ξέρεις ότι ισχύει (Κ1Κ2) = ρ1 − ρ2 . Από την Γεωμετρία υπενθυμίζεται ότι, όταν δύο κύκλοι εφάπτονται εσωτερικά, τότε έχουν μία κοινή εξωτερική εφαπτομένη, τα δε σημεία Κ1 , Κ2 , Α είναι συνευθειακά. γ) Οι κύκλοι τέμνονται, αν και μόνο αν ισχύει ρ1 − ρ2 < (Κ1Κ2) < ρ1 + ρ2 . Αυτό σημαίνει ότι: • αν θες να εξετάσεις αν οι κύκλοι τέμνονται, τότε εξέτασε αν ισχύει ρ1 − ρ2 < (Κ1Κ2) < ρ1 + ρ2 . • αν θες να δείξεις ότι οι κύκλοι τέμνονται, τότε δείξε ότι ισχύει ρ1 − ρ2 < (Κ1Κ2) < ρ1 + ρ2 . • αν ξέρεις ότι οι κύκλοι τέμνονται, τότε ξέρεις ότι ισχύει ρ1 − ρ2 < (Κ1Κ2) < ρ1 + ρ2 . Από την Γεωμετρία υπενθυμίζονται τα ακόλουθα: • αν οι κύκλοι τέμνονται, έχουν δύο κοινές εξωτερικές εφαπτομένες, τις (ε1) , (ε2) . - 661 - Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηματικών • www.mathsteki.gr

Μαθηματικά Προσανατολισμού Β΄Λυκείου • ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 • Κωνικές τομές ΠΑΡΑΓΡΑΦΟΣ 1. Ο κύκλος • το τμήμα ΑΒ λέγεται κοινή χορδή των δύο κύκλων. • το τμήμα Κ1Κ2 είναι η μεσοκάθετος του ΑΒ. Στην περίπτωση που οι κύκλοι είναι ίσοι (έχουν ίσες ακτίνες δηλαδή), τότε η ΑΒ είναι μεσοκάθετος του Κ1Κ2 . • τα σημεία Δ, Ε, Ζ, Η λέγονται σημεία επαφής. • τα σημεία Κ1 , Γ , Κ2 είναι συνευθειακά. Πώς θα βρεις την εξίσωση της κοινής χορδής δύο τεµνόµενων κύκλων Τουλάχιστον μία από τις εξισώσεις των δύο κύκλων θα είναι στην γενική μορφή x2 + y2 + Ax + By + Γ = 0 (αν, για παράδειγμα, ένας εκ των δύο έχει κέντρο την αρχή των αξόνων, τότε η εξίσω- σή του δεν θα είναι στην παραπάνω μορφή, αλλά αυτό δεν επηρεάζει το τι θα κάνεις). Αν κάποια (ή και οι δύο) είναι στην μορφή (x − x0)2 + (y − y0)2 = ρ2 , τότε κάνε τις πράξεις και φέρ' την στην μορφή που αναφέρεται παραπάνω. Ας ονομάσουμε Μ, Ν τα σημεία τομής των δύο κύκλων. Τότε οι συντεταγμένες τους θα επαληθεύουν τις εξισώσεις των δύο κύκλων. Αφαίρεσε κατά μέλη τις εξισώσεις των δύο κύκλων και θα προκύψει μία εξίσωση, η οποία θα παριστάνει ευθεία. Αυτή θα είναι η εξίσωση της κοινής χορδής. δ) οι κύκλοι είναι ο ένας εξωτερικά του άλλου, αν και μόνο αν ισχύει (Κ1Κ2) > ρ1 + ρ2 . Αυτό σημαίνει ότι: • αν θες να εξετάσεις αν ο ένας κύκλος είναι εξωτερικά του άλλου, τότε εξέτασε αν ισχύει (Κ1Κ2) > ρ1 + ρ2 . • αν θες να δείξεις ότι ο ένας κύκλος είναι εξωτερικά του άλλου, τότε δείξε ότι ισχύει (Κ1Κ2) > ρ1 + ρ2 . - 662 - Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηματικών • www.mathsteki.gr

Μαθηματικά Προσανατολισμού Β΄Λυκείου • ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 • Κωνικές τομές ΠΑΡΑΓΡΑΦΟΣ 1. Ο κύκλος • αν ξέρεις ότι ο ένας κύκλος είναι εξωτερικά του άλλου, τότε ξέρεις ότι ισχύει (Κ1Κ2) > ρ1 + ρ2 . Από την Γεωμετρία υπενθυμίζεται ότι, όταν ένας κύκλος είναι εξωτερικά ενός άλλου, τότε αυτοί έχουν δύο κοινές εξωτερικές εφαπτομένες, τις (ε1) , (ε2) , και δύο κοινές εσωτερικές εφαπτομένες, τις (ε3) , (ε4) . ε) δύο κύκλοι είναι ο ένας εσωτερικά του άλλου, αν και μόνο αν ισχύει (Κ1Κ2) < ρ1 − ρ2 . Αυτό σημαίνει ότι: • αν θες να εξετάσεις αν ο ένας κύκλος είναι εσωτερικά του άλλου, τότε εξέτασε αν ισχύει (Κ1Κ2) < ρ1 − ρ2 . • αν θες να δείξεις ότι ο ένας κύκλος είναι εσωτερικά του άλλου, τότε δείξε ότι ισχύει (Κ1Κ2) < ρ1 − ρ2 . • αν ξέρεις ότι ο ένας κύκλος είναι εσωτερικά του άλλου, τότε ξέρεις ότι ισχύει (Κ1Κ2) < ρ1 − ρ2 . Από την Γεωμετρία υπενθυμίζεται ότι, όταν ένας κύκλος είναι εσωτερικά ενός άλλου, τότε δεν έχουν κοινές εφαπτομένες. ❖ Θέµα 6ο - Ελάχιστη και µέγιστη απόσταση σηµείου από κύκλο Ας θεωρήσουμε κύκλο κέντρου K(x0 , y0) και ακτίνας ρ και ένα σημείο Α, εξωτερικό του κύκλου. Ενώνουμε το Α με το Κ και προεκτείνουμε, ώστε το τμήμα ΑΚ να κόψει τον κύκλο σε δύο σημεία, τα Β και Γ. Το τμήμα ΑΒ λέγεται απόσταση του Α από τον κύκλο. • Η ελάχιστη απόσταση του Α από τον κύκλο είναι ίση με (ΑΒ) = (ΑΚ) − (ΚΒ) ⇔ (ΑΒ) = (ΑΚ) − ρ . - 663 - Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηματικών • www.mathsteki.gr

Μαθηματικά Προσανατολισμού Β΄Λυκείου • ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 • Κωνικές τομές ΠΑΡΑΓΡΑΦΟΣ 1. Ο κύκλος • Η μέγιστη απόσταση του Α από τον κύκλο είναι ίση με (ΑΓ) = (ΑΚ) + (ΚΓ) ⇔ (ΑΓ) = (ΑΚ) + ρ . ΠΡΟΣΟΧΗ ! Αν το Α είναι εσωτερικό σημείο του κύκλου, τότε: • η ελάχιστη απόσταση είναι (ΑΒ) = (ΑΚ) − (ΚΑ) ⇔ (ΑΒ) = (ΑΚ) − ρ . • η μέγιστη απόσταση είναι (ΑΓ) = (ΑΚ) + (ΚΓ) ⇔ (ΑΓ) = (ΑΚ) + ρ . ❖ Θέµα 7ο - Ελάχιστη και µέγιστη απόσταση σηµείων κύκλου από ευθεία Ας θεωρήσουμε κύκλο κέντρου K(x0 , y0) και ακτίνας ρ και μια ευθεία (ε), η οποία δεν τέμνει τον κύκλο. Από το Κ φέρνουμε κάθετη προς την (ε), η οποία τέμνει τον κύκλο στα Α, Β και την (ε) στο Γ. • Η ελάχιστη απόσταση ενός σημείου της ευθείας από τον κύκλο (ισοδύναμα, ενός σημείου του κύκλου από την ευθεία) είναι ίση με (ΒΓ) = (ΚΓ) − (ΚΒ) ⇔ (ΒΓ) = d(Κ , ε) − ρ . • Η μέγιστη απόσταση ενός σημείου της ευθείας από τον κύκλο (ισοδύναμα, ενός ση- μείου του κύκλου από την ευθεία) είναι ίση με (ΑΓ) = (ΚΓ) + (ΚΑ) ⇔ (ΑΓ) = d(Κ , ε) + ρ . ❖ Θέµα 8ο - Ελάχιστη και µέγιστη απόσταση δύο κύκλων Ας θεωρήσουμε τους κύκλους (Κ1 , ρ1) και (Κ2 , ρ2) , οι οποίοι είναι ο ένας εξωτερικά του άλλου. Η διά- κεντρος Κ1Κ2 των δύο κύκλων τούς τέμνει στα Α, Β, Γ, Δ. - 664 - Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηματικών • www.mathsteki.gr

Μαθηματικά Προσανατολισμού Β΄Λυκείου • ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 • Κωνικές τομές ΠΑΡΑΓΡΑΦΟΣ 1. Ο κύκλος • Η ελάχιστη απόσταση ενός σημείου του (Κ1 , ρ1) από ένα σημείο του (Κ2 , ρ2) είναι ίση με (ΒΓ) = (Κ1Κ2) − (Κ1Β) − (Κ2Γ) ⇔ (ΒΓ) = (Κ1Κ2) − ρ1 − ρ2 . • Η μέγιστη απόσταση ενός σημείου του (Κ1 , ρ1) από ένα σημείο του (Κ2 , ρ2) είναι ίση με (ΑΔ) = (Κ1Κ2) + (Κ1Α) + (Κ2Γ) ⇔ (ΑΔ) = (Κ1Κ2) + ρ1 + ρ2 . Τα παραπάνω συμπεράσματα προσαρμόζονται ανάλογα για τις άλλες σχετικές θέσεις των δύο κύκλων (δεν θέλω να τις αναφέρω όλες, διότι θα εξαντληθούμε από την περι- πτωσιολογία που θα προκύψει). ❖ Θέµα 9ο - Οικογένειες κύκλων Δίνεται η εξίσωση x2 + y2 + Ax + By + Γ = 0 , όπου Α, Β, Γ είναι αλγεβρικές παραστά- σεις κάποιας παραμέτρου (συνήθως συμβολίζεται με κάποιο ελληνικό γράμμα). Τα συνήθη ζητούμενα είναι τα ακόλουθα: α) «Να δείξετε ότι παριστάνει κύκλο, για κάθε τιμή της παραμέτρου» Τότε αρκεί να δείξεις ότι είναι Α2 + Β2 − 4Γ > 0 , για κάθε τιμή της παραμέτρου. Παράδειγµα 49 Δίνεται η εξίσωση x2 + y2 + 2λx − (λ + 1)y − (λ + 1) = 0 . Να δείξετε ότι παριστάνει κύ- κλο, για κάθε λ ∈ ! . ~ Λύση ~ Αρκεί να δείξω ότι Δ = (2λ)2 + ⎡⎣⎢−(λ + 1)⎥⎤⎦2 − 4 ⋅ ⎣⎢⎡−(λ + 1)⎦⎥⎤ > 0 , για κάθε λ ∈ ! . Είναι Δ = 4λ2 + (λ + 1)2 + 4(λ + 1) = 4λ2 + λ2 + 1 + 2λ + 4λ + 4 = 5λ2 + 6λ + 5 . Το τριώνυμο αυτό έχει διακρίνουσα 62 − 4 ⋅ 5 ⋅ 5 = −64 < 0 , οπότε είναι 5λ2 + 6λ + 5 > 0 , για κάθε λ ∈ ! , άρα και Δ > 0 , για κάθε λ ∈ ! . - 665 - Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηματικών • www.mathsteki.gr

Μαθηματικά Προσανατολισμού Β΄Λυκείου • ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 • Κωνικές τομές ΠΑΡΑΓΡΑΦΟΣ 1. Ο κύκλος ΠΡΟΣΟΧΗ ! Στην πραγματικότητα, εξισώσεις τέτοιας μορφής (όπως αυτή του παραδείγματος ας πούμε) δεν παριστάνουν κύκλΟ, αλλά κύκλΟΥΣ! Πράγματι. Αφού θέτοντας τιμές στην παράμετρο κάθε φορά προκύπτει και ένας κύ- κλος, το σωστό είναι να λέμε ότι παριστάνει κύκλΟ για την τιμή της παραμέτρου που θέσαμε. Ακριβώς επειδή τέτοια εξίσωση παριστάνει κύκλΟΥΣ, έχουμε την αποκαλούμενη οικο- γένεια κύκλων. «Και τότε γιατί λέγεται/γράφεται το λάθος, ότι δηλαδή παριστάνει κύκλο, και όχι το σωστό, ότι δηλαδή παριστάνει κύκλους;». Ε, πρόκειται για μια «σιωπηρή» (ας την πω) «σύμβαση», «συμφωνία» (ας την πω και έτσι), που δεν δημιουργεί κάποια παρερμηνεία στις ασκήσεις. Το ίδιο, όπως θυμάσαι, σχολιάστηκε και στις δέσμες ευθειών (κεφάλαιο ευθειών, παράγραφος 2, σελίδα 498). β) «Να δείξετε ότι οι κύκλοι διέρχονται από δύο σταθερά σημεία (των οποίων να βρείτε τις συντεταγμένες)». γ) «Να δείξετε ότι οι κύκλοι διέρχονται από σταθερό σημείο (του οποίου να βρεί- τε τις συντεταγμένες)». Είναι δύο επίσης χαρακτηριστικά σενάρια που συνοδεύουν εξισώσεις της μορφής που αναφέρεται εδώ. Για να δείξω πώς μπορείς να αντιμετωπίσεις αυτό το θέμα θα χρησιμοποιήσω δύο πα- ραδείγματα (το ένα είναι το παράδειγμα 49 που προηγήθηκε). Θα δεις ότι η όλη δια- δικασία θα σου φανεί πολύ γνώριμη. - 666 - Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηματικών • www.mathsteki.gr

Μαθηματικά Προσανατολισμού Β΄Λυκείου • ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 • Κωνικές τομές ΠΑΡΑΓΡΑΦΟΣ 1. Ο κύκλος Παράδειγµα 50 (αντιστοιχεί στην εκφώνηση (β)) Αν η εξίσωση x2 + y2 + 2λx − (λ + 1)y − (λ + 1) = 0 , παριστάνει κύκλους για κάθε λ ∈ ! , να δείξετε ότι αυτοί διέρχονται από δύο σταθερά σημεία, τα οποία να βρείτε. ~ Λύση (1ος τρόπος) ~ 1ο βήμα Θέτω αυθαίρετα δύο τιμές στην παράμετρο και παίρνω τις εξισώσεις δύο κύκλων. Θέτω λ = 0 στην εξίσωση και έχω τον κύκλο c1 : x2 + y2 − y − 1 = 0 . Θέτω λ = −1 στην εξίσωση και έχω τον κύκλο c2 : x2 + y2 − 2x = 0 . 2ο βήμα Λύνω το σύστημα των εξισώσεων αυτών των κύκλων, ώστε να βρω τα κοινά τους σημεία. Αφαιρώντας την δεύτερη εξίσωση από την πρώτη, έχω 2x − y − 1 = 0 ⇔ y = 2x − 1 (1) Αντικαθιστώ την (1) στην εξίσωση του (c2) και έχω x2 + (2x − 1)2 − 2x = 0 ⇔ x2 + 4x2 + 1 − 4x − 2x = 0 ⇔ 5x2 − 6x + 1 = 0 ⇔ ⇔x=1 ή x= 1 . 5 3ο βήμα Αντικαθιστώ τις συντεταγμένες αυτών των σημείων στην εξίσωση της εκφώ- νησης. Πρέπει να προκύψει ότι οι συντεταγμένες τους την επαληθεύουν, το οποίο θα σημαίνει ότι τα σημεία που βρήκα είναι τα ζητούμενα. α) Για x = 1 , από την (1) έχω y = 1 , οπότε ένα σημείο τομής των δύο κύκλων είναι το A(1,1) . β) Για x = 1 , από την (1) έχω y= 2 −1= − 3 , οπότε δεύτερο σημείο τομής των 5 5 5 δύο κύκλων είναι το B⎝⎜⎜⎜⎛ 1 ,− 3 ⎟⎞⎠⎟⎟⎟ . 5 5 - 667 - Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηματικών • www.mathsteki.gr

Μαθηματικά Προσανατολισμού Β΄Λυκείου • ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 • Κωνικές τομές ΠΑΡΑΓΡΑΦΟΣ 1. Ο κύκλος • Για x = xA = 1 , y = yA = 1 , από την εξίσωση της εκφώνησης έχω 12 + 12 + 2λ ⋅1 − (λ + 1) ⋅1 − (λ + 1) = 0 ⇔ 2 + 2λ − λ − 1 − λ − 1 = 0 ⇔ 0 = 0 , δηλαδή οι συντεταγμένες του Α επαληθεύουν την εξίσωση της εκφώνησης, άρα κάθε κύκλος που αυτή παριστάνει διέρχεται από το Α. • Για x = xB = 1 , y = yB = − 3 , από την εξίσωση της εκφώνησης έχω 5 5 ⎜⎜⎛⎝⎜ 1 ⎟⎟⎟⎞⎠⎟2 + ⎜⎝⎛⎜⎜− 3 ⎟⎠⎞⎟⎟⎟2 + 2λ ⋅ 1 − (λ + 1) ⋅ −3 − (λ + 1) = 0 ⇔ 5 5 5 5 ⇔ 1 + 9 + 2λ + 3λ + 3 − λ −1 = 0 ⇔ 1 + 9 + 10λ + 5(3λ + 3) − 25λ − 25 = 0 ⇔ 25 25 5 5 ⇔ 10 + 10λ + 15λ + 15 − 25λ − 25 = 0 ⇔ 0 = 0 , δηλαδή οι συντεταγμένες του Β επαληθεύουν την εξίσωση της εκφώνησης, άρα κάθε κύκλος που αυτή παριστάνει διέρχεται από το Β. Τελικά, οι κύκλοι που η εξίσωση της εκφώνησης παριστάνει διέρχονται από τα σταθε- ρά σημεία Α(1 , 1) και Β⎝⎜⎜⎜⎛ 1 ,− 3 ⎟⎠⎟⎟⎞⎟ . 5 5 Λοιπόν; Δεν σου θύμισε κάτι η όλη διαδικασία; ~ Λύση (2ος τρόπος) ~ 1ο βήμα Κάνω πράξεις στην εξίσωση της εκφώνησης (επειδή είναι στην μορφή x2 + y2 + Ax + By + Γ = 0 ) και «την κατατάσσω ως προς την παράμετρο», δηλαδή θεωρώ την παράμετρο σαν μεταβλητή και τα x, y ως «γνωστούς» αριθμούς. Η εξίσωση της εκφώνησης ισοδύναμα γράφεται x2 + y2 + 2λx − λy − y − λ − 1 = 0 ⇔ (2x − y − 1)λ + (x2 + y2 − y − 1) = 0 (1) - 668 - Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηματικών • www.mathsteki.gr

Μαθηματικά Προσανατολισμού Β΄Λυκείου • ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 • Κωνικές τομές ΠΑΡΑΓΡΑΦΟΣ 1. Ο κύκλος 2ο βήμα Το σκεπτικό είναι αυτό που αναπτύσσεται στις αμέσως δύο επόμενες γραμ- μές, δηλαδή μηδενίζω τον συντελεστή του λ και τον σταθερό όρο στην (1). Λύνοντας το σύστημα που προκύπτει, βρίσκω τα σταθερά σημεία. Οι κύκλοι που η (1) παριστάνει θα διέρχονται από δύο σταθερά σημεία, αν υπάρχουν τιμές των x, y, ώστε η (1) να αληθεύει για κάθε λ ∈ ! , δηλαδή αν το σύστημα ⎪⎩⎪⎨⎪⎧⎪⎪ 2x − y − 1 = 0 ⎭⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎬ x2 + y2 − y −1 = 0 έχει δύο λύσεις. Από την πρώτη εξίσωση έχω y = 2x − 1 (2) , την οποία αντικαθιστώ στην δεύτερη εξίσωση και έχω x2 + (2x − 1)2 − 2x = 0 ⇔ x2 + 4x2 + 1 − 4x − 2x = 0 ⇔ 5x2 − 6x + 1 = 0 ⇔ ⇔x=1 ή x= 1 . 5 α) Για x = 1 , από την (1) έχω y = 1 , οπότε ένα από τα σταθερά σημεία είναι το A(1,1) . β) Για x = 1 , από την (1) έχω y= 2 −1= − 3 , οπότε το δεύτερο σημείο από τα 5 5 5 σταθερά σημεία είναι το B⎛⎜⎝⎜⎜ 1 ,− 3 ⎟⎟⎞⎠⎟⎟ . 5 5 Παράδειγµα 51 (αντιστοιχεί στην εκφώνηση (γ)) Αν η εξίσωση x2 + y2 + λx − 2y + λ = 0 , λ ≠ 2 , παριστάνει κύκλους, να δείξετε ότι αυ- τοί διέρχονται από το ίδιο σημείο. ~ Λύση (1ος τρόπος) ~ Θέτω λ = 0 στην εξίσωση και έχω τον κύκλο c1 : x2 + y2 − 2y = 0 . Θέτω λ = 1 στην εξίσωση και έχω τον κύκλο c2 : x2 + y2 + x − 2y + 1 = 0 . - 669 - Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηματικών • www.mathsteki.gr

Μαθηματικά Προσανατολισμού Β΄Λυκείου • ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 • Κωνικές τομές ΠΑΡΑΓΡΑΦΟΣ 1. Ο κύκλος Αφαιρώ την πρώτη εξίσωση από την δεύτερη και έχω x + 1 = 0 ⇔ x = −1 . Για x = −1 , από την εξίσωση του (c1) έχω (−1)2 + y2 − 2y = 0 ⇔ y2 − 2y + 1 = 0 ⇔ (y − 1)2 = 0 ⇔ y − 1 = 0 ⇔ y = 1 . Άρα οι (c1) , (c2) εφάπτονται στο σημείο Α(−1,1) . Θέτω x = −1 , y = 1 στην εξίσωση της εκφώνησης και έχω (−1)2 + 12 + λ ⋅ (−1) − 2 ⋅1 + λ = 0 ⇔ 1 + 1 − λ − 2 + λ = 0 ⇔ 0 = 0 , δηλαδή οι συντεταγμένες του Α επαληθεύουν την εξίσωση της εκφώνησης, το οποίο σημαίνει ότι όλοι οι κύκλοι που αυτή παριστάνει, διέρχονται από το Α. ~ Λύση (2ος τρόπος) ~ Η εξίσωση της εκφώνησης ισοδύναμα γράφεται (x + 1) ⋅ λ + (x2 + y2 − 2y) = 0 (1) Οι κύκλοι που η εξίσωση αυτή παριστάνει θα διέρχονται από σταθερό σημείο, αν υπάρχουν τιμές των x, y, ώστε η (1) να αληθεύει για κάθε λ ∈ ! , δηλαδή αν το σύστη- μα ⎪⎧⎪⎩⎪⎪⎨ ⎫⎪⎪⎪⎪⎭⎬ x+1= 0 x2 + y2 − 2y = 0 έχει λύση. Από την πρώτη εξίσωση έχω x = −1 , τιμή που αντικαθιστώ στην δεύτερη εξίσωση και έχω (−1)2 + y2 − 2y = 0 ⇔ y2 − 2y + 1 = 0 ⇔ (y − 1)2 = 0 ⇔ y − 1 = 0 ⇔ y = 1 . Άρα όλοι οι κύκλοι διέρχονται από το σταθερό σημείο A(−1,1) . - 670 - Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηματικών • www.mathsteki.gr

Μαθηματικά Προσανατολισμού Β΄Λυκείου • ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 • Κωνικές τομές ΠΑΡΑΓΡΑΦΟΣ 1. Ο κύκλος ❖ Θέµα 10ο - Σύνοψη βασικών προτάσεων της Γεωµετρίας περί κύκλων, που χρησιµοποιούνται συχνά στις ασκήσεις Ας γίνει και μια σύνοψη των προτάσεων που αναφέρθηκαν στις προηγούμενες σελίδες, οι οποίες χρησιμοποιούνται συχνά στις ασκήσεις των κύκλων. Επίσης, θα αναφερθούν και μερικές ακόμα, εξίσου χρήσιμες. 1. Έστω κύκλος (Κ, ρ) και ευθεία (ε), που εφάπτεται αυτού. Η ακτίνα που καταλήγει στο σημείο επαφής είναι κάθετη στην εφαπτομένη. 2. Έστω κύκλος (Κ, ρ) και (ε) μια χορδή αυτού. Η κάθετη που φέρνουμε από το Κ προς την (ε) λέγεται απόστημα της χορδής, είναι η μεσοκάθετος της χορδής και διχοτομεί και το αντίστοιχο τόξο. 3. Έστω κύκλος (Κ, ρ) και ΑΒ μια διάμετρός του. Τότε το Κ είναι το μέσο του ΑΒ, ενώ τα Α και Β λέγονται αντιδιαμετρικά σημεία του κύκλου. Μάλιστα, οι εφαπτομένες που φέρνουμε στα Α και Β είναι μεταξύ τους πα- ράλληλες. 4. Έστω οι κύκλοι (Κ, ρ) και (Λ, R). • Αν οι κύκλοι εφάπτονται, εσωτερικά ή εξωτερικά, τότε τα κέντρα τους και το ση- μείο επαφής τους είναι συνευθειακά. • Αν αυτοί τέμνονται, τότε η ευθεία που ενώνει τα κέντρα τους λέγεται διάκεντρος και είναι μεσοκάθετος της κοινής τους χορδής. 5. Έστω κύκλος (Κ, ρ) και σημείο Α εξωτερικό αυτού. • Τα τμήματα ΑΒ και ΑΓ λέγονται εφαπτόμενα τμήματα που άγονται από το Α. Ισχύει ΑΒ = ΑΓ. • Το τμήμα ΑΚ λέγεται διακεντρική ευθεία του σημείου Α. - 671 - Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηματικών • www.mathsteki.gr

Μαθηματικά Προσανατολισμού Β΄Λυκείου • ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 • Κωνικές τομές ΠΑΡΑΓΡΑΦΟΣ 1. Ο κύκλος ­ Το ΑΚ διχοτομεί την γωνία των ΑΒ και ΑΓ. ­ Το ΑΚ διχοτομεί την γωνία των ΚΒ και ΚΓ. ­ Το ΑΚ είναι η μεσοκάθετος του ΒΓ. • Το τμήμα ΑΔ λέγεται/είναι η απόσταση του Α από τον κύκλο. Πρόταση Εφαπτοµένη κύκλου που έχει κέντρο το Ο Όταν ο κύκλος έχει κέντρο την αρχή των αξόνων και φέρουμε την εφαπτομένη στο σημείο του Α(x1 , y1) , τότε αυτή έχει εξίσωση εϕ : x1x + y1y = ρ2 . Το Α ονομάζεται σημείο επαφής. Στην περίπτωση που το κέντρο του κύκλου δεν είναι το Ο, τα πράγματα είναι πιο μπελαλίδικα. Πρόταση Εφαπτοµένη κύκλου που δεν έχει κέντρο το Ο Όταν ο κύκλος δεν έχει κέντρο την αρχή των αξόνων, τότε για να βρεις την εξίσωσή της: 1ο βήμα Θεώρησε τυχαίο σημείο της ζητούμενης εφαπτομένης. (Ας το ονομάσουμε N(x , y) ). Γράψε ότι ισχύει (1) , !!!\" !!!\" !!!\" !!!\" ΚΑ ⊥ ΑΝ ⇔ ΚΑ ⋅ ΑΝ = 0 όπου: - 672 - Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηματικών • www.mathsteki.gr

Μαθηματικά Προσανατολισμού Β΄Λυκείου • ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 • Κωνικές τομές ΠΑΡΑΓΡΑΦΟΣ 1. Ο κύκλος • K(x0 , y0) είναι το κέντρο του κύκλου. • A(x1 , y1) είναι το σημείο του κύκλου στο οποίο φέρνεις την εφαπτομένη (που ονομάζεται σημείο επαφής). • N(x , y) είναι το τυχαίο σημείο της ζητούμενης εφαπτομένης που θεώρησες στο 1ο βήμα. 2ο βήμα !!!\" !!!\" Βρες τις συντεταγμένες των ΚΑ , ΑΝ και εκτέλεσε τις πράξεις στην (1). Θα καταλήξεις σε μια σχέση με x, y, που θα είναι η εξίσωση της ζητούμενης εφαπτο- μένης. Παρατηρήσεις στην εξίσωση εφαπτοµένης κύκλου ❖ Παρατήρηση 1η Όπως αναφέρθηκε στην θεωρία, όταν ο κύκλος έχει κέντρο την αρχή των αξόνων και ακτίνα ρ και πρέπει να βρεις την εξίσωση της εφαπτομένης στο σημείο του A(x1 , y1) , τότε αυτή έχει εξίσωση εϕ : x1x + y1y = ρ2 . Στις ασκήσεις όμως συνήθως δεν είναι γνωστό το σημείο επαφής Α, οπότε αυτό ακρι- βώς είναι και όλο το θέμα: να βρεις τους αριθμούς x1 , y1 . Ονόμασε Α(x1 , y1) το σημείο επαφής. Τότε, η ζητούμενη εφαπτομένη θα είναι η εϕ : x1x + y1y = ρ2 . Από την συνθήκη (ή συνθήκες) της άσκησης, δες πώς θα δημιουργήσεις δύο εξισώσεις με αγνώστους x1 , y1 . Βρίσκοντάς τους θα έχεις βρει την εφαπτομένη. Το παράδειγμα 52 είναι αντιπροσωπευτικό. - 673 - Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηματικών • www.mathsteki.gr

Μαθηματικά Προσανατολισμού Β΄Λυκείου • ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 • Κωνικές τομές ΠΑΡΑΓΡΑΦΟΣ 1. Ο κύκλος ❖ Παρατήρηση 2η Ένας ακόμη τρόπος για να βρεις την εξίσωση της εφαπτομένης, όταν ο κύκλος δεν έχει κέντρο την αρχή των αξόνων, είναι ο ακόλουθος: Αν A(x1 , y1) είναι το σημείο επαφής και Κ(x0 , y0) το κέντρο του κύκλου (διάφορο του Ο), τότε η εφαπτομένη στο Α θα έχει εξίσωση εϕ : y − yΑ = λεϕ(x − xΑ) ⇔ εϕ : y − y1 = λεϕ(x − x1) . Όμως, όπως είναι γνωστό από την Γεωμετρία, η ακτίνα που καταλήγει στο σημείο επαφής είναι κάθετη στην εφαπτομένη, οπότε ισχύει λ λεϕ ΚΑ = −1 . Αν είναι γνωστό το Α, τότε εύκολα υπολογίζεται ο λΚΑ , οπότε επίσης εύκολα υπολο- γίζεται και ο λεϕ από το παραπάνω γινόμενο. Παράδειγµα 52 Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης του κύκλου c : x2 + y2 = 10 , η οποία είναι παράλληλη στην ευθεία ε : y = −x + 1 . ~ Λύση ~ 1ο βήμα Ονομάζω Α(x1 , y1) το σημείο επαφής. (1) Έστω Α(x1 , y1) το σημείο επαφής. Τότε, η εφαπτομένη θα έχει εξίσωση εϕ : x1x + y1y = 10 2ο βήμα Αξιοποιώ την δοσμένη παραλληλία. Αφού είναι εϕ / / ε , ισχύει λεϕ = λε ⇔ −x1 = −1 . Πρόσεξε εδώ! y1 Αφού ορίζεται ο λε , θα ορίζεται και ο λεϕ , δηλαδή θα είναι y1 ≠ 0 . Τότε ισχύει - 674 - Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηματικών • www.mathsteki.gr

Μαθηματικά Προσανατολισμού Β΄Λυκείου • ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 • Κωνικές τομές ΠΑΡΑΓΡΑΦΟΣ 1. Ο κύκλος x1 =1⇔ x1 = y1 (2) y1 3ο βήμα Θέλω μία ακόμη σχέση με x1 , y1 . Αξιοποιώ το γεγονός ότι το Α, ως σημείο επαφής, είναι και σημείο του κύκλου. Το Α, ως σημείο επαφής, είναι και σημείο του κύκλου, οπότε ισχύει x12 + y12 = 10 . Αντικαθιστώντας εδώ την (2), έχω x12 + x12 = 10 ⇔ 2x12 = 10 ⇔ x12 = 5 ⇔ x1 = ± 5 ⇔ x1 = 5 ή x1 = − 5 . 4ο βήμα Τελείωσα! Αφού βρήκα τα x1 , y1 , επιστρέφω στην (1). α) Για x1 = 5 , από την (2) έχω και y1 = 5 , οπότε από την (1) έχω την εϕ1 : 5 x + 5 y = 10 . β) Για x1 = − 5 , από την (2) έχω και y1 = − 5 , οπότε από την (1) έχω την εϕ2 : − 5 x − 5 y = 10 ⇔ εϕ2 : 5 x + 5 y = −10 . Παράδειγµα 53 Να βρείτε την εφαπτομένη του κύκλου c : x2 + y2 − 2x − 4y + 1 = 0 στο σημείο του Α(−1, 2) . ~ Λύση ~ 1ο βήμα Θεωρώ τυχαίο σημείο Ν(x , y) της ζητούμενης εφαπτομένης. Έστω Ν(x , y) τυχαίο σημείο της ζητούμενης εφαπτομένης. Ο κύκλος έχει κέντρο το σημείο Κ ⎛⎝⎜⎜⎜− −2 ,− −4 ⎟⎠⎞⎟⎟⎟ ≡ Κ(1 , 2) . 2 2 Ισχύει - 675 - Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηματικών • www.mathsteki.gr

Μαθηματικά Προσανατολισμού Β΄Λυκείου • ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 • Κωνικές τομές ΠΑΡΑΓΡΑΦΟΣ 1. Ο κύκλος !!!\" !!!\" !!!\" !!!\" ΚΑ ⊥ ΑΝ ⇔ ΚΑ ⋅ ΑΝ = 0 (1) 2ο βήμα Βρίσκω τις συντεταγμένες των διανυσμάτων, τις αντικαθιστώ στην (1) και κάνω πράξεις. Αυτό θα με οδηγήσει στην ζητούμενη εφαπτομένη. • !!!\" = (xA − xK , yA − yK) = (−1 − 1 , 2 − 2) = (−2, 0) . ΚΑ !!!\" ( ) ( )• AN = xN − xA , yN − yA = x + 1 , y − 2 . Τότε, από την (1) έχω −2 ⋅ (x + 1) + 0 ⋅ (y − 2) = 0 ⇔ x + 1 = 0 ⇔ x = −1 , που είναι η εξίσωση της ζητούμενης εφαπτομένης. Οι κατηγορίες ασκήσεων στον κύκλο είναι οι εξής: 1η κατηγορία. Να βρείτε την εξίσωση του κύκλου. 2η κατηγορία. Η εξίσωση x2 + y2 + Ax + By + Γ = 0 (όπου Α , Β , Γ ∈ ! ή παραμετρικές παραστάσεις). 3η κατηγορία. Εφαπτομένη κύκλου. 4η κατηγορία. Γενικές ασκήσεις στον κύκλο. - 676 - Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηματικών • www.mathsteki.gr

Η ΨΗΦΙΑΚΗ ΤΟΥ ΜΟΡΦΗ ΠΑΡΕΧΕΤΑΙ ΓΙΑ ΔΩΡΕΑΝ ΜΕΛΕΤΗ ΑΠΟΚΛΕΙΣΤΙΚΑ ΑΠΟ ΤΗΝ ΙΣΤΟΣΕΛΙΔΑ “ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟ ΣΤΕΚΙ” - www.mathsteki.gr