Κεφάλαιο 3 - Παράγραφος 3.1

Κεφάλαιο 3ο ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ 3.1 ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΙ ΑΡΙθΜΟΙ ΓΩΝΙΑΣ Τριγωνομετρικοί αριθμοί οξείας γωνίας Έστω οξεία γωνία ω. Αν πάνω στη μία από τις Β Α δύο πλευρές της γωνίας πάρουμε τυχαία ση- Ν Μ μεία και και φέρουμε τις κάθετες MM1 και NN1 προς την △άλλη πλευρά της γωνίας, ω τότε τα τρίγωνα O MM1 και O N N1 θα είναι Μ1 Ν1 όμοια, οπότε θα ισχύει: Ο (MM1) = (NN1) , (OM1) = (ON1) και (MM1 ) = (NN1 ) (OM) (ON) (OM) (ON) (OM1 ) (ON1 ) Επομένως, για τη γωνία ω τα πηλίκα (MM1 ) , (OM1 ) και (MM1 ) (OM) (OM) (OM1 ) είναι σταθερά, δηλαδή ανεξάρτητα της θέσης του σημείου πάνω στην πλευ- ρά της γωνίας. Τα πηλίκα αυτά, όπως γνωρίζουμε από το Γυμνάσιο, ονομάζο- νται ημίτονο, συνημίτονο και εφαπτομένη της γωνίας ω και συμβολίζονται με ημω, συνω και εφω, αντιστοίχως. Δηλαδή, στο ορθογώνιο τρίγωνο M1 O M , ισχύει: 01 Teijwvofeeteikoi apnfuoi ( )απέναντι κάθετη otgeiasywvias , inws ✓ ηµω = (MM1 ) υποτείνουσα oeutoi Opistnkavoto Tupevoioio . (OM)

50 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3Ο: ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ συνω = (ΟM1 ) ( )προσκείμενη κάθετη 01 Teijwvopeeteikoi a plot (OM) υποτείνουσα µoi o}ei as jwvias , dnws ( )^ opiotnkavoto Tyuroi 610 . απέναντι κάθετη εϕω = (MM1 ) προσκείμενη κάθετη (OM1 ) Ορίζουμε ακόμα ως συνεφαπτομένη της οξείας γωνίας ω, την οποία συμβο- ^ λίζουμε με σφω, το σταθερό πηλίκο ( )σϕω = (ΟM1 ) (MΜ1 ) προσκείμενη κάθετη απέναντι κάθετη Τριγωνομετρικοί αριθμοί γωνίας ω, με 0ο£ ω £ 360ο Έστω Oxy ένα σύστημα συντεταγμένων στο επίπεδο, Ot μία ημιευθεία αυτού και ω η γωνία που παράγεται από τον ημιάξονα Ox αν περιστραφεί κατά τη θε- τική φορά γύρω από το Ο μέχρι να συμπέσει για πρώτη φορά με την ημιευθεία Ot (Σχ. α΄, β΄). Ο θετικός ημιάξονας Ox λέγεται αρχική πλευρά της γωνίας ω, ενώ η ημιευθεία Ot λέγεται τελική πλευρά της ω. y t y t Μ2 ρ Μ(x,y) Μ(x,y) Μ2 y ω ω ρ Μ1 Ο Ο x Μ1 x x Σχήμα α΄ Σχήμα β΄ Πάνω στην τελική πλευρά της γωνίας ω παίρνουμε τυχαίο σημείο (x, y) και φέρνουμε την κάθετη M 1 στον άξονα x'x (Σχ. α΄ και β΄). Αν η γωνία ω είναι οξεία (Σχ. α΄), τότε, όπως είδαμε παραπάνω, ισχύουν οι ισότητες: ηµω = (MM1 ) , συνω = (ΟM1 ) , εϕω = (MM1 ) και σϕω = (ΟM1 ) (OM) (OM) (OM1 ) (MΜ1 ) Όμως (ΟΜ1 ) = x , (Μ1M) = y και (OM) = x2 + y2 = ρ > 0 . Επομένως, οι παραπάνω ισότητες γράφονται: ηµω = y , συνω = x , εϕω = y και σϕω = x , όπου ρ = x2 + y2 > 0 . ρ ρx y

3.1 ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΓΩΝΙΑΣ 51 Γενικεύοντας τα παραπάνω, ορίζουμε με τον ίδιο τρόπο τους τριγωνομετρι- κούς αριθμούς οποιασδήποτε γωνίας ω (Σχήμα β΄). Σε κάθε λοιπόν περίπτωση έχουμε: ηµω = y , εϕω = y (εφόσον x¹0) ρ x , όπου ρ = x2 + y2 > 0 συνω = x , σϕω = x (εφόσον y¹0) ρ y όπου (x, y) οι συντεταγμένες οποιουδήποτε σημείου (διαφορετικού του Ο) της τελικής πλευράς της γωνίας ω και ρ = x2 + y2 > 0 η απόσταση του από το Ο. Τριγωνομετρικοί αριθμοί γωνιών μεγαλύτερων y t των 360ο και αρνητικών γωνιών 300 x Ας υποθέσουμε ότι ο ημιάξονας Ox ενός συ- Ο στήματος συντεταγμένων Oxy περιστρέφε- ται γύρω από το Ο κατά τη θετική φορά. Αν πραγματοποιήσει μια πλήρη περιστροφή και περιστραφεί επιπλέον και κατά γωνία μέτρου 30ο , τότε λέμε ότι ο Ox έχει διαγράψει γωνία ω = 360 + 30 = 390 . 3900 ε ανάλογο τρόπο ορίζονται οι γωνίες που είναι μεγαλύτερες των 360 , δηλαδή οι γω- y νίες της μορφής: –3900 ω = ν ⋅ 360 + µ , όπου ν ∈N* και 0o£ μ < 360o Ο 300 x t Αν τώρα ο ημιάξονας Ox, στρεφόμενος γύρω από το Ο κατά την αρνητική φορά, πραγματο- ποιήσει μια πλήρη περιστροφή και στη συνέ- χεια διαγράψει γωνία μέτρου 30 , τότε λέμε ότι ο ημιάξονας Ox έχει διαγράψει αρνητική γωνία 360ο + 30ο = 390ο ή αλλιώς γωνία: ω = −(360 + 30 ) = −390

52 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3Ο: ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ ε ανάλογο τρόπο ορίζονται οι αρνητικές γωνίες δηλαδή οι γωνίες της μορφής: ω = −(ν ⋅ 360 + µ ), όπου ν ∈N και 0 ≤ µ < 360 Οι τριγωνομετρικοί αριθμοί γωνιών που είναι μεγαλύτερες από 360o, καθώς και των αρνητικών γωνιών, ορίζονται όπως και οι τριγωνομετρικοί αριθμοί γωνιών από 0 μέχρι 360 . Δηλαδή, για κάθε γωνία ω, θετική ή αρνητική, ορίζουμε: ηµω = y , εϕω = y (εφόσον x¹0) ρx , όπου ρ = x2 + y2 > 0 συνω = x , σϕω = x (εφόσον y¹0) ρy όπου (x, y) οι συντεταγμένες οποιουδήποτε σημείου της τελικής πλευράς της γωνίας ω (διαφορετικού του Ο) και ρ = x2 + y2 > 0 η απόσταση του από το Ο. Ας θεωρήσουμε τώρα μια γωνία ω (θετική ή αρνητική) με αρχική πλευρά τον ημιάξονα Ox . Αν ο ημιάξονας Ox , στρεφόμενος γύρω από το Ο κατά τη θετική φορά, συ- μπληρώσει ν πλήρεις στροφές και στη συνέχεια διαγράψει τη γωνία ω, τότε θα έχει διαγράψει γωνία ν ⋅ 360 + ω, που έχει την ίδια τελική πλευρά με την ω. Αν όμως ο ημιάξονας Ox , στρεφόμενος γύρω από το Ο κατά την αρνητική φορά, συμπληρώσει ν πλήρεις στροφές και στη συνέχεια διαγράψει τη γωνία ω, τότε θα έχει διαγράψει γωνία −ν ⋅ 360 + ω, που έχει και αυτή την ίδια τε- λική πλευρά με την ω. Οι παραπάνω γωνίες, που είναι της μορφής k ⋅ 360 + ω, k ∈ , επειδή έχουν την ίδια τελική πλευρά θα έχουν και τους ίδιους τριγωνομετρικούς αριθμούς. Επομένως, για κάθε k ∈ θα ισχύει: ITW's uMo7o8i5ouµE '' ' 3600 . Tpljwvopeeteiko apiOµo ywvias µEya7u Teens Twv > εϕ(k ⋅ 360 + ω) = εϕω BAEIKOITYMOI ! ! ηµ(k ⋅ 360 + ω) = ηµω, EMECJN ' ' stlsoeskn - συν(k ⋅ 360 + ω) = συνω, σϕ(k ⋅ 360 + ω) = σϕω Geis JOUAE 'uouµE Mepiosoteoo µE rad nµ(2kn+w)=nµw Eq(2kntw)=E9° , gq(2kn+w)= ggw 6uv(2kntw)=suvw vatovs } EYETEETH ( KEZ Ravtoi )

3.1 ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΓΩΝΙΑΣ 53 ο τριγωνομετρικός κύκλος Για έναν κατά προσέγγιση, αλλά σύντομο, υπολογισμό των τριγωνομετρικών αριθμών, χρησιμοποιούμε το λεγόμενο τριγωνομετρικό κύκλο. Ο τριγωνομε- τρικός κύκλος θα μας εξυπηρετήσει και σε άλλους σκοπούς, όπως θα φανεί στις επόμενες παραγράφους. ;mpe 900=1 our 900=0 Eq9O° Jevoe if Tai , , ε κέντρο την αρχή Ο(0,0) ενός συστήματος συντεταγ- y oq9o°=O μένων και ακτίνα ρ = 1 γρά- 90o φουμε έναν κύκλο. Ο κύκλος nµ 18, 00ow=l 0181000o=-1100o 80o 70o αυτός λέγεται τριγωνομετρι- eql 800=0 60o , 120o 50o 69180° Jev 130o 40o N(α,β) oeifetal 140o β 30o ^ 150o κός κύκλος. 160o ω 20 o 0,1 Έστω τώρα ότι η τελική πλευ- 170o x Ο 0,1 350 10o > nµO°=O ρά μιας γωνίας, π.χ. της γωνί- 180o ας ω = 35 , τέμνει τον κύκλο 190o x1 our 00=1 αυτό στο σημείο (α, β). ¥0α 350o 200o Eq 00=0 210o 340o oogtseta 330o ' 220o y 320o tnµ 3600=0 240o250o260o270o280o290o Επειδή ηµ35 = β και ρ=1 Μ(x2,3y0) o 310o our 3600=1 ρ 300o Eq 3600=0 θα ισχύει ηµ35 = β 0,5 7 . r 693600 Jer Opi}ETal Ομοίως, επειδή συν35 = α nµ 2700=-1 , our 2700=0 , Eq 2700 sevoeisetai , 642700=0 ρ και ρ =1, θα ισχύει συν35 = α 0,8 2 . Γενικότερα, αν η τελική πλευρά μιας γωνίας ω τέμνει τον τριγωνομετρικό κύ- κλο στο σημείο (x, y), τότε ισχύει: συνω = x = τετμημένη του σημείου ημω = y = τεταγμένη του σημείου ' A }ova S nµiTo' vwr . ' A }o✓as 5uVnµiTdvwV . gΓια το λόγο αυτό ο άξονας x'x λέγεται και άξονας των συνημίτονων, ενώ ο άξονας y'y λέγεται και άξονας των ημίτονων. Άμεσες συνέπειες του παραπάνω συμπεράσματος είναι οι εξής: 1. Οι τιμές του συνω και του ημω μιας γωνίας ω δεν μπορούν να υπερβούν κατ’ απόλυτη τιμή την ακτίνα του τριγωνομετρικού κύκλου, που είναι ίση με 1. Δηλαδή ισχύει: kurwhq /nµwKe > # # , jioe onoiacn 'noTE MAPA MOAY −1 ≤ συνω ≤ 1 και −1 ≤ ηµω ≤ 1 EHMANTIKEEEXEEEIE !! ywvia W .

54 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3Ο: ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ 2. Τα πρόσημα των τριγωνομετρικών αριθμών μιας γωνίας ω, ανάλογα με το τεταρτημόριο στο οποίο βρίσκεται η τελική πλευρά της γωνίας αυτής, είναι ! όπως δείχνει ο παρακάτω πίνακας. - bah Ko'TEpn Xpntn Tou 1 2 34 ' Kiklou ! ημω + + – – Tpljwvoteetpikou DIVEI To tposnpeo TOU TPI - + – – +JWVOMETPIKOJ apio Mob συνω Miasywvias , avoiaoya HE εφω + – + – + – + –To TE Tapthfedpio JTO OIOIO σφω ' Aven Katadnyel . ο άξονας των εφαπτομένων Θεωρούμε τον τριγωνομετρικό y εt κύκλο και μια γωνία ω που η τε- λική της πλευρά τον τέμνει στο B σημείο M(x, y). Φέρνουμε την εφαπτομένη ε του τριγωνομετρι- M E(1,yE) κού κύκλου στο σημείο Α. Αν η τελική πλευρά της γωνίας A´ ω βρίσκεται στο 1 τεταρτημόριο O και η ευθεία Ο τέμνει την ε Ax στο Ε, τότε από το ορθογώνιο τρίγωνο ΑΟΕ θα έχουμε B´ εϕω = (ΑΕ) = (ΑΕ) = (ΑΕ) (ΟΑ) 1 Αν με yE παραστήσουμε την τεταγμένη του Ε, τότε θα ισχύει (AE)= yE , οπότε θα είναι εφω = yE. Στο ίδιο συμπέρασμα καταλήγουμε και όταν η τελική πλευρά της γωνίας ω βρίσκεται σε οποιοδήποτε άλλο τεταρτημόριο. Επομένως σε κάθε περίπτωση ισχύει: εφω = yE = τεταγμένη του σημείου Ε Για το λόγο αυτό η ευθεία ε, που έχει εξίσωση x = 1 , λέγεται άξονας των εφα- πτομένων.

3.1 ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΓΩΝΙΑΣ 55 % £€\" ⇒ (\" ✓ £%×° \" \" \" * \" \"° \"\" # \"\"° \" \"\" ✓ B \" \"✓ \" \"° \"\" (Το ακτίνιο ως μονάδα μέτρησης γωνιών :B Έχουμε γνωρίσει στο Γυμνάσιο το ακτίνιο ως μονάδα μέτρησης τόξων. Συγκεκριμένα, ένα τόξο AB ενός κύκλου (Ο, ρ) λέγεται τόξο ενός ρ ρ ακτινίου (ή 1rad), αν το τόξο αυτό έχει μήκος 1rad ίσο με την ακτίνα ρ του κύκλου. Επομένως, το O1ρ A 7 τόξο α ακτινίων (ή α rad) έχει μήκος S = α ⋅ ρ . It jwviaoeuth AGUE sci baive , X£8ETal EMIKE vtpn . Oto to }o AB Ορίζουμε τώρα το ακτίνιο και ως μονάδα μέ- τρησης των γωνιών ως εξής: . µ Mw's opi5ETae To akcivio , wspeoroicoe µE' tenons jwviwv . οΡ Σ οΣ Ακτίνιο (ή 1 rad ) είναι η γωνία η οποία, όταν γίνει επίκεντρη σε έναν κύκλο, βαίνει σε τόξο ενός ακτινίου (ή 1 rad). Από τον ορισμό αυτό προκύπτει και η σχέση μοίρας και ακτινίου ως μονά- δων μέτρησης γωνιών, ως εξής: Έστω ότι μια γωνία ω είναι µ και α rad . Επειδή το μήκος ενός κύκλου α- κτίνας ρ είναι 2πρ, η γωνία 360 είναι ίση με 2π rad. οπότε, η γωνία 1 rad είναι ίση με 360 μοίρες, Επομένως, 2π η γωνία α rad είναι ίση με α ⋅ 180 μοίρες. π Επειδή όμως η γωνία ω είναι µ , θα ισχύει µ = α ⋅ 180 , οπότε θα έχουμε: π > × @ 751 Medel 81 a Thu METATPOM 'n aktiviwv see Moi PES Kai Moipwv OE aktivia . Για παράδειγμα: BASIKOTATH EXEEH ! 9 Για να εκφράσουμε τη γωνία 60 σε ακτίνια, θέτουμε στον τύπο όπου µ = 60 και έχουμε α = 60 ⇔ α = π #the a=1 Exouµ{ t÷= ⇐>µ= 1,8¥ , Άρα είναι 60 = π rad. π 180 3 an ' O' MOUMPOKJMTEI del µ~= 57° 3 Dnaasi 1rad ± 570 ,.

56 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3Ο: ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ 9 Για να εκφράσουμε τη γωνία 5π rad σε μοίρες, θέτουμε στον τύπο 6 α = µ όπου α = 5π και έχουμε π 180 6 5π 6 = µ ⇔ 5 = µ ⇔ µ = 150 π 180 6 180 Άρα 5π rad = 150 . 6 Στον παρακάτω πίνακα επαναλαμβάνουμε τους τριγωνομετρικούς αριθμούς μερικών γωνιών που είχαμε υπολογίσει στο Γυμνάσιο και οι οποίοι είναι ιδιαί- τερα χρήσιμοι στις διάφορες εφαρμογές. > Γωνία ω Τριγωνομετρικοί αριθμοί BAEIKOTATOZ σε μοίρες σε rad MINAKAE ! ! 00 ημω συνω εφω σφω > π Δεν 30 6 ορίζεται ITS TIMES TWV π Tfljwv Oµ ETPI - 45 4 0 1 0 Kiev apiquwv π 60 3 TWV jwvcwv 1 33 π 2 23 Mou avaqdportai 90 2 3 'as 2 21 22 EJW va cites , 1 Oatis} EPETE Kae Match Modi Kadoi ! ! Xp Eiaste ITE Moipa MOAAES 31 33 22 3 qope 's !! 1 0 Δεν 0 ορίζεται ΣΗ Ε ΩΣΗ Στη συνέχεια, επειδή στον τριγωνομετρικό κύκλο το τόξο x rad έχει μήκος x, αντί να γράφουμε ημ(x rad), συν(x rad), εφ(x rad) και σφ(x rad), θα γράφουμε απλά ημx, συνx, εφx και σφx. Για παράδειγμα, αντί να γράφουμε π.χ. ηµ ⎛π rad ⎞ θα γράφουμε απλά ηµ π ⎜⎝ 3 ⎠⎟ 3 και αντί ημ(100rad ) θα γράφουμε απλά ημ100 .

3.1 ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΓΩΝΙΑΣ 57 ΕΦΑ ΓΕΣ K h 1η οι μετρήσεις που έκανε ένας μηχανικός για να βρει το ύψος h ενός καμπαναριού Γ φαίνονται στο διπλανό σχήμα. α υπολογιστεί το ύψος του καμπαναριού σε μέτρα με προσέγγιση ακέραιας μονάδας. ΛΥΣΗ 48ο 70ο Γ Α 20 m Β Από το σχήμα έχουμε: 4 εϕ48 = h , οπότε ΑΓ = h ΑΓ εϕ48 εϕ70 = h , οπότε ΒΓ = h ΒΓ εϕ70 AΓ – ΒΓ = ΑΒ = 20m Επομένως h − h = 20 , οπότε h = 20εϕ70 ⋅ εϕ48 . εϕ48 εϕ70 εϕ70 − εϕ48 ε τους τριγωνομετρικούς πίνακες ή με ένα κομπιουτεράκι βρίσκουμε ότι εϕ70 2,75 και εϕ48 1,11. Αντικαθιστούμε στην (1) και έχουμε: h 61,05 37 1, 64 Άρα το ύψος του καμπαναριού είναι περίπου 37m . 2η α υπολογιστούν οι τριγωνομετρικοί αριθμοί γωνίας 750 . ΛΥΣΗ Αν διαιρέσουμε το 750 με το 360 βρίσκουμε πηλίκο 2 και υπόλοιπο 30, έτσι έχουμε 750 = 2 ⋅ 360 + 30 Επομένως ηµ750 = ηµ(2 ⋅ 360 + 30 ) = ηµ30 = 1 συν750 = συν30 = 3 2 2 εϕ750 = εϕ30 = 3 σϕ750 = σϕ30 = 3 3

58 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3Ο: ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ 3η α υπολογιστούν οι τριγωνομετρικοί αριθμοί γωνίας 79π rad. 3 ΛΥΣΗ Είναι 79 π = 79 ⋅ 2 π. Αν τώρα διαιρέσουμε τον 79 με τον 6 βρίσκουμε πηλίκο 36 13 και υπόλοιπο 1. Επομένως είναι 79 π = 79 ⋅ 2π = ⎛ 1 3 + 1 ⎞ 2π = 1 3 ⋅ 2π + π , 3 6 ⎜⎝ 6 ⎟⎠ 3 οπότε θα έχουμε: ηµ 79π = ηµ ⎝⎜⎛ 13⋅ 2π + π ⎞ = ηµ π = 3 συν 79π = συν π = 1 3 3 ⎟⎠ 3 2 3 32 εϕ 79π = εϕ π = 3 σϕ 79π = σϕ π = 3 33 3 33 ΑΣΚΗΣΕΙΣ Α΄ ΑΔΑΣ A 1. Στο διπλανό σχήμα να υπολογίσετε τα μήκη 6x y x, y και τη γωνία ω . 300 ω B Δ 3Γ 4 2. α υπολογίσετε τις πλευρές του τριγώνου A του διπλανού σχήματος. 600 300 B2 Γ 3. ια επίκεντρη γωνία ω βαίνει σε τόξο S = 6cm. α εκφράσετε τη γωνία αυτή σε ακτίνια, αν η ακτίνα του κύκλου είναι: i) ρ = 1cm ii) ρ = 2cm iii) ρ = 3cm . 4. α εκφράσετε σε rad γωνία Ark n' Jets 4,5 : Eqapteojh Tou Tinou Tns oedicas 55 . i) 30 ii) 120 iii) 1260 iv) −1485 . 5. α μετατρέψετε σε μοίρες γωνία: i) π rad ii) 5π rad iii) 91π rad iv) 100rad . 10 6 3 * 6. α υπολογίσετε τους τριγωνομετρικούς αριθμούς γωνίας i) 1830 ii) 2940 iii) 1980 iv) 3600 .

3.1 ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΓΩΝΙΑΣ 59 Β΄ ΑΔΑΣ 1. Σε μικρά αεροδρόμια υπολο- N (Nέφος) γίζουν το ύψος των νεφών με τη βοήθεια μιας ισχυρής λάμπας εντός παραβολικού h κατόπτρου, η οποία βρίσκε- ω 7 00 ται σε απόσταση 1000 πόδια Π (Παρατηρητής) Δ Λ(Λάμπα) (1 πόδι 0,3 m) από το ση- 1.000 πόδια μείο του παρατηρητή. Η λάμπα είναι τοποθετημένη υπό σταθερή γωνία και ο παρατηρητής στρέφει το όργανο παρατήρησης στο σημείο ανάκλασης του φωτός από τα νέφη. i) α προσδιορίσετε το ύψος h για ω = και 60 . ii) Πόση είναι η γωνία ω, αν h=1000 πόδια; 2. ε τη βοήθεια του διπλανού σχήματος: Ε Γ i) α δείξετε ότι: (ΑΓ) = (ΒΓ) = 2ημ 45 = 2. Δ ii) α εξηγήσετε γιατί είναι A 22,5o Ο 45o B (ΕΒ) = 4 ⋅ ηµ22,5 . 1 1 3 iii) α υπολογίσετε το μήκος (ΓΕ). 3 iv) α δείξετε, χρησιμοποιώντας το τρίγωνο ΒΕΓ , ότι (ΕΒ) = 2 2 − 2 . v) α υπολογίσετε το ηµ22,5 . vi) Ποιων άλλων γωνιών μπορείτε να υπολογίσεται το ημίτονο και πώς πρέπει να συνεχιστεί η κατασκευή για το σκοπό αυτό; 3. α βρείτε την περίμετρο και το A εμβαδόν του τριγώνου ΑΓΔ του 300 διπλανού σχήματος. 6 BΔ 300 Γ 4. Η πιο αργή κίνηση που μπορεί να επισημάνει το ανθρώπινο μάτι είναι 1mm ανά δευτερόλεπτο. α βρείτε πόσο μήκος πρέπει να έχει ο λεπτο- δείκτης ενός ρολογιού για να μπορούμε να επισημάνουμε την κίνηση του άκρου του.