Άλγεβρα Α Λυκείου - Κεφάλαιο 5 - Παράγραφος 5.3 (θεωρία)

Α΄ Λυκείου - Άλγεβρα Πρόοδοι Παράγραφος 5.3 Γεωµετρική πρόοδος ΘΕΩΡΙΑ - ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ Νέα Μουδανιά • Δεκέµβριος 2021

~ Περιεχόμενα παραγράφου 3 ~ 1. Τι είναι γεωμετρική πρόοδος .....................................................................................................................................17 2. Πώς θα εξετάσεις αν μια ακολουθία είναι γεωμετρική πρόοδος ή όχι ............................................17 3. ν-οστός (γενικός) όρος μιας γεωμετρικής προόδου ....................................................................................19 4. Γεωμετρικός μέσος δύο αριθμών ∆ιαδοχικοί όροι γεωμετρικής προόδου .............................................................................................................20 5. Άθροισμα ν διαδοχικών όρων γεωμετρικής προόδου ..............................................................................21

Ά λγε β ρ α Α ΄Λ υκε ί ου ΠΑΡΑΓΡΑΦΟΣ 3 Κεφάλαιο 5 • Πρόοδοι Γεωµετρικήπρόοδος 1. Τι είναι γεωµετρική πρόοδος; Η γεωμετρική πρόοδος είναι ένα ακόμη ιδιαίτερο είδος ακολουθίας. Συγκεκριμένα, μια ακολουθία λέγεται γεωμετρική πρόοδος, αν κάθε όρος της προκύπτει από τον προηγούμενό του με πολλαπλασιασμό επί τον ίδιο πάντοτε μη μηδενικό αριθμό. Τον αριθμό αυτόν τον συμβολίζουμε με λ και τον λέμε λόγο της προόδου. Σε μια γεωμετρική πρόοδο (αν) υποθέτουμε πάντα ότι α1 ≠ 0 οπότε, αφού είναι και λ ≠ 0 , ισχύει αν ≠ 0 , για κάθε ν ∈ !* . Επομένως, η ακολουθία (αν) είναι γεωμετρική πρόοδος με λόγο λ, αν και μόνο αν ισχύει αν+1 = αν ⋅ λ ⇔ α ν+1 =λ. αν 2. Πώς θα εξετάσεις αν µια ακολουθία είναι γεωµετρική πρόοδος ή όχι Αν δίνεται ο ν-οστός όρος της ακολουθίας (αν) , δημιούργησε τον λόγο α ν+1 . αν • Αν το αποτέλεσμα προκύψει σταθερός αριθμός, διάφορος του μηδενός, τότε η ακο- λουθία είναι γεωμετρική πρόοδος. Μάλιστα, ο σταθερός αριθμός που θα έχει προκύψει θα δώσει και τον λόγο της προόδου. • Αν στο αποτέλεσμα δεν προκύψει σταθερός αριθμός αλλά μια παράσταση του ν, τότε η ακολουθία δεν είναι γεωμετρική πρόοδος. - 17 - Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηματικών • www.mathsteki.gr

Ά λγε β ρ α Α ΄Λ υκε ί ου Κεφάλαιο 5 • Πρόοδοι Αν ζητείται να δείξεις ότι η ακολουθία είναι γεωμετρική πρόοδος, τότε θα πρέπει ο λόγος α ν+1 να προκύψει σταθερός αριθμός. αν Παράδειγµα 13 Ας εξετάσουμε αν η ακολουθία αν = 4ν είναι γεωμετρική πρόοδος ή όχι. Είναι α ν+1 = 4ν+1 = 4ν ⋅ 41 =4, αν 4ν 4ν συνεπώς η (αν) είναι γεωμετρική πρόοδος. Μάλιστα, ο λόγος της προόδου είναι λ = 4 . Παράδειγµα 14 Ας εξετάσουμε αν η ακολουθία αν = ν2 είναι γεωμετρική πρόοδος ή όχι. Είναι ( )αν+1= ν+1 2 = ν2 + 2ν + 1 = ν2 + 2ν + 1 = 1+ 2 + 1 , ν2 ν2 ν2 ν2 ν2 ν ν2 αν συνεπώς η (αν) δεν είναι γεωμετρική πρόοδος (αφού ο παραπάνω λόγος δεν προέκυ- ψε να είναι σταθερός αριθμός, αλλά εξαρτάται από το ν). Στον λόγο α ν+1 θα στηριχθείς και αν πρέπει να βρεις τον λόγο μιας γεωμετρικής αν προόδου. - 18 - Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηματικών • www.mathsteki.gr

Ά λγε β ρ α Α ΄Λ υκε ί ου Κεφάλαιο 5 • Πρόοδοι 3. ν-οστός (γενικός) όρος µιας γεωµετρικής προόδου Σε μια γεωμετρική πρόοδο, αν γνωρίζεις τον πρώτο όρο της α1 και τον λόγο λ της προόδου, τότε ο αναδρομικός τύπος αν+1 = αν ⋅ λ δίνει, με διαδοχικά βήματα, οποιον- δήποτε όρο της προόδου. Όμως η ακόλουθη σχέση δίνει ευκολότερα τον επιθυμητό όρο της προόδου: Ο ν-οστός όρος μιας γεωμετρικής προόδου με πρώτο α1 και λόγο λ, είναι αν = α1 ⋅ λν−1 . Η σχέση αυτή μάς επιτρέπει να βρούμε οποιονδήποτε όρο της προόδου χρειαστεί. Αρκεί να γνωρίζουμε τον πρώτο όρο και τον λόγο της προόδου. Για παράδειγμα, στην γεωμετρική πρόοδο 3 ,− 6 ,12 ,− 24 ,... , η οποία έχει πρώτο όρο α1 = 3 και λόγο λ= −6 = −2 , ο ν-οστός όρος της είναι 3 ( )αν = 3 ⋅ −2 ν−1 . Έτσι: ( ) ( )• ο 5ος όρος της είναι α5 = 3 ⋅ −2 5−1 = 3 ⋅ −2 4 = 3 ⋅16 = 48 , ( ) ( )• ο 10ος όρος της είναι α10 = 3 ⋅ −2 10−1 = 3 ⋅ −2 9 = −3 ⋅ 512 = 1536 κ.ο.κ. Η σχέση αν = α1 ⋅ λν−1 είναι βασικότατη στις ασκήσεις της γεωμετρικής προόδου και θα την χρειαστείς πολλές φορές. - 19 - Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηματικών • www.mathsteki.gr

Ά λγε β ρ α Α ΄Λ υκε ί ου Κεφάλαιο 5 • Πρόοδοι 4. Γεωµετρικός µέσος δύο αριθµών Διαδοχικοί όροι γεωµετρικής προόδου Για τρεις όρους μιας γεωμετρικής προόδου, ισχύει το εξής: Οι α, β, γ είναι διαδοχικοί όροι μιας γεωμετρικής προόδου, αν και μόνο αν ισχύει β2 = α ⋅ γ ⇔ α ⋅ γ = β2 . (Να προτιμάς να χρησιμοποιείς την ισότητα α ⋅ γ = β2 ). O αριθμός α ⋅ γ λέγεται γεωμετρικός μέσος των α και γ. Στις ασκήσεις, η παραπάνω πρόταση αντιμετωπίζεται ως εξής: α) αν πρέπει να εξετάσεις αν τρεις αριθμοί α, β, γ είναι διαδοχικοί όροι γεωμετρικής προόδου, τότε πρέπει να εξετάσεις αν ισχύει α ⋅ γ = β2 . • Αν ισχύει α ⋅ γ = β2 , τότε οι τρεις αριθμοί είναι διαδοχικοί όροι. • Αν δεν ισχύει α ⋅ γ = β2 , τότε οι τρεις αριθμοί δεν είναι διαδοχικοί όροι. β) αν πρέπει να δείξεις ότι τρεις αριθμοί α, β, γ είναι διαδοχικοί όροι γεωμετρικής προόδου, τότε πρέπει να δείξεις ότι ισχύει α ⋅ γ = β2 . γ) αν δίνεται ότι (ξέρεις ότι) τρεις αριθμοί α, β, γ είναι διαδοχικοί όροι γεωμετρικής προόδου, τότε ξέρεις ότι ισχύει α ⋅ γ = β2 . Τι θα δώσει αυτή η σχέση και πώς θα την εκμεταλλευτείς στην άσκηση, εξαρτάται από την άσκηση φυσικά. Σύμφωνα με τον ορισμό της γεωμετρικής προόδου, τρεις αριθμοί α, β, γ είναι διαδοχι- κοί όροι γεωμετρικής προόδου και όταν ισχύουν β =λ και γ = λ, α β όπου λ ο λόγος της προόδου. - 20 - Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηματικών • www.mathsteki.gr

Ά λγε β ρ α Α ΄Λ υκε ί ου Κεφάλαιο 5 • Πρόοδοι 5. Άθροισµα ν διαδοχικών όρων γεωµετρικής προόδου Τα αθροίσματα όρων σε μια γεωμετρική πρόοδο είναι από τα χαρακτηριστικά θέματα στις ασκήσεις. Ισχύει το εξής: Το άθροισμα των πρώτων ν όρων γεωμετρικής προόδου (αν) με λόγο λ, είναι Sν = α1 ⋅ λν −1 . λ −1 Στην περίπτωση που ο λόγος της προόδου είναι λ = 1, τότε όλοι οι όροι της προ- όδου είναι ίσοι με α1 , οπότε το άθροισμα των όρων της είναι Sν = ν ⋅ α1 . Ο τύπος αυτός μπορεί να χρησιμοποιηθεί όταν γενικώς αναφέρεται άθροισμα όρων μιας γεωμετρικής προόδου σε μια άσκηση. Παράδειγµα 15 Ας πάρουμε την γεωμετρική πρόοδο 1, 3, 9, 27, ... και ας βρούμε το άθροισμα των 7 πρώτων όρων της. Στην πρόοδο αυτή είναι α1 = 1 και, επειδή είναι 3 =3 , 9 = 3 , ο λόγος της προόδου 1 3 είναι λ = 3 . Επομένως, θα είναι S7 = 1⋅ 37 − 1 = 2187 − 1 = 2186 = 1093 . 3−1 2 2 Παράδειγµα 16 Να υπολογίσετε το άθροισμα 1 + 1 + 1 + ... + 1 . 2 4 256 ~ Λύση ~ 1ο βήμα Πρέπει να διαπιστώσεις αν οι αριθμοί του αθροίσματος είναι όροι αριθμητικής ή γεωμετρικής προόδου. - 21 - Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηματικών • www.mathsteki.gr

Ά λγε β ρ α Α ΄Λ υκε ί ου Κεφάλαιο 5 • Πρόοδοι Όπως αναφέρθηκε σε όμοιο παράδειγμα στην προηγούμενη παράγραφο, πλέον καθί- σταται φανερό ότι πρέπει να διαπιστώσεις αν οι όροι του αθροίσματος είναι όροι αριθμητικής ή γεωμετρικής προόδου, διότι είναι διαφορετικός ο τύπος του αθροίσμα- τος που θα χρησιμοποιήσεις κατά περίπτωση. Επειδή είναι 1 1 1 2 1 2 4 2 2 = και 4 = = , 1 1 2 δηλαδή επειδή ο λόγος δύο ζευγών διαδοχικών όρων του αθροίσματος είναι σταθερή, οι όροι του αθροίσματος είναι διαδοχικοί όροι μιας γεωμετρικής προόδου. Έτσι, μέχρι στιγμής, για το άθροισμα, άρα και για το τι θα βάλεις και πού στον τύπο Sν = α1 ⋅ λν −1 , έχεις ότι: λ −1 • οι όροι του είναι όροι γεωμετρικής προόδου (βασικό για την συνέχεια), • είναι α1 = 1 και λ = 1 (το σταθερό πηλίκο που βρήκες πριν). 2 Να σημειώσω εδώ ότι το α1 = 1 δεν είναι κατ’ ανάγκη και ο πρώτος όρος της γεωμε- τρικής προόδου από την οποία προέρχονται οι όροι του αθροίσματος. Στον τύπο Sν = α1 ⋅ λν −1 λ −1 είναι ο πρώτος όρος του αθροίσματος. 2ο βήμα Πρέπει να βρεις πόσους όρους έχει το άθροισμα, δηλαδή να βρεις ποιον αριθμό θα βάλεις στην θέση του ν στον παραπάνω τύπο του αθροίσματος. Αυτό θα το βρεις από την σχέση αν = α1 ⋅ λν−1 , στην οποία θα θέσεις στην θέση του αν τον τελευταίο όρο του αθροίσματος, στην θέση του α1 τον πρώτο όρο του αθροίσματος και στην θέση του λ τον λόγο που βρήκες στο 1ο βήμα. Στο παράδειγμά μας επομένως, είναι αν = 1 , α1 = 1 , λ = 1 , οπότε 256 2 - 22 - Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηματικών • www.mathsteki.gr

Ά λγε β ρ α Α ΄Λ υκε ί ου Κεφάλαιο 5 • Πρόοδοι 1 = 1 ⋅ ⎜⎜⎜⎝⎛ 1 ⎟⎞⎟⎟⎠⎟ν−1 (1) 256 2 Ασήμαντη λεπτομέρεια Πώς θα λύσω την εξίσωση (1); Ο άγνωστος είναι στον εκθέτη! Η εξίσωση αποκαλείται εκθετική και θα διδαχθείς πώς λύνονται τέτοιες εξισώσεις, στην Άλγεβρα της Β΄ Λυκείου (όπως είπα πριν όμως, αυτή είναι μια ασήμαντη λεπτο- μέρεια). Οι βασικές εκθετικές εξισώσεις έχουν την μορφή αx1 = αx2 , όπου α > 0 και x1 , x2 παραστάσεις με τον άγνωστο ή με αριθμό σε έναν εκ των δύο εκθετών. Έχουμε ότι: αx1 = αx2 ⇔ x1 = x2 . Δηλαδή, την εξίσωση πρέπει να την φέρεις σε μορφή η οποία θα έχει και στα δύο μέλη την ίδια βάση και θα συνεχίσεις εξισώνοντας τους εκθέτες (και λύνοντας την εξίσωση που από εκεί θα προκύψει πλέον). Για παράδειγμα, για να λύσεις την εξίσωση 2ν−3 = 16 , πρέπει το 16 να το γράψεις ως δύναμη με βάση το 2 (είναι 16 = 24 ) και μετά να εξισώσεις τους εκθέτες: 2ν−3 = 16 ⇔ 2ν−3 = 24 ⇔ ν − 3 = 4 ⇔ ν = 7 . Όπως έγραψα και νωρίτερα όμως, ότι αυτό είναι θέμα της Άλγεβρας Β΄ Λυκείου είναι μια ασήμαντη λεπτομέρεια, οπότε ας δούμε πώς θα λύσουμε την εξίσωση (1): 1 = ⎜⎝⎛⎜⎜ 1 ⎟⎟⎟⎟⎠⎞ν−1 ⇔ 18 = ⎝⎜⎜⎛⎜ 1 ⎟⎟⎟⎟⎠⎞ν−1 ⇔ ⎜⎝⎛⎜⎜ 1 ⎞⎟⎟⎟⎠⎟8 = ⎜⎜⎝⎜⎛ 1 ⎠⎟⎟⎞⎟⎟ν−1 ⇔ 8 = ν −1 ⇔ ν = 9 . 256 2 28 2 2 2 Έτσι, το άθροισμα έχει 9 όρους, οπότε τελικά είναι ⎜⎜⎜⎛⎝ 1 ⎠⎟⎟⎟⎞⎟9 − 1 1 −1 − 511 2 ⋅ 511 511 2 512 512 512 256 S9 = 1⋅ = = = = . 1 1 1 2 −1 − 2 − 2 - 23 - Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηματικών • www.mathsteki.gr

Μόνο εδώ θα βρεις τα αναλυτικότερα βιβλία Μαθηµατικών του διαδικτύου!