ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ - Κεφ.3 - Παράγραφος 3.1 (θεωρία)

Β΄ Λυκείου - Άλγεβρα Τριγωνοµετρία Παράγραφος 1 Τριγωνοµετρικοί αριθµοί γωνίας ΘΕΩΡΙΑ Νέα Μουδανιά • Σεπτέµβριος 2021

ΠΑΡΑΓΡΑΦΟΣ 1 Άλγεβ ρ α Β΄ Λυ κεί ο υ • Κ ΕΦΑ Λ Α Ι Ο 3 • Τρ ι γωνομ ετρ ί α Παράγραφος 1 • Τριγωνοµετρικοί αριθµοί γωνίας • ΘΕΩΡΙΑ Τριγωνοµετρικοί αριθµοί γωνίας ~ Περιεχόμενα παραγράφου 1 ~ 1. Τριγωνομετρικοί αριθμοί οξείας γωνίας ................................................................................................................2 2. Τριγωνομετρικοί αριθμοί γωνίας ω, με 0ο ≤ ω ≤360ο ...................................................................................2 3. Τριγωνομετρικοί αριθμοί γωνιών μεγαλύτερων των 360ο και αρνητικών γωνιών ......................3 4. Ο τριγωνομετρικός κύκλος Πώς αξιοποιείται ο τριγωνομετρικός κύκλος .....................................................................................................5 5. Ο άξονας των εφαπτομένων .........................................................................................................................................7 6. Το ακτίνιο ως μονάδα μέτρησης γωνιών ...............................................................................................................8 α) Το ακτίνιο ως μονάδα μέτρησης τόξων. β) Το ακτίνιο (ή rad) ως μονάδα μέτρησης γωνιών. γ) Σχέση μοίρας και ακτινίου. δ) Πίνακας τριγωνομετρικών αριθμών βασικών γωνιών. -1 - Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηματικών • www.mathsteki.gr

Άλγεβ ρ α Β΄ Λυ κεί ο υ • Κ ΕΦΑ Λ Α Ι Ο 3 • Τρ ι γωνομ ετρ ί α Παράγραφος 1 • Τριγωνοµετρικοί αριθµοί γωνίας • ΘΕΩΡΙΑ 1. Τριγωνοµετρικοί αριθµοί οξείας γωνίας Στο Γυμνάσιο διδάχθηκαν οι παρακάτω ορισμοί για τους τριγωνομετρικούς αριθ- μούς μιας οξείας γωνίας ω σε ένα ορθογώνιο τρίγωνο: α) ηµω = απεναντι καθετη . β) συνω = προσκειµενη καθετη . υποτεινουσα υποτεινουσα γ) εϕω = απεναντι καθετη . δ) σϕω = προσκειµενη καθετη . προσκειµενη καθετη απεναντι καθετη Σχόλιο Οι παραπάνω ορισμοί χρησιμοποιούνται στις ασκήσεις, όταν σε αυτές δίνεται (ή περι- γράφεται) κάποιο γνωστό γεωμετρικό σχήμα, στο οποίο θα εμφανίζονται ορθογώνια τρίγωνα. 2. Τριγωνοµετρικοί αριθµοί γωνίας ω, µε 0º ≤ ω ≤ 360º Έστω Oxy ένα σύστημα συντεταγμέ- νων στο επίπεδο και M(x , y) ένα οποιοδήποτε σημείο του επιπέδου, διαφορετικό της αρχής των αξόνων. Ενώνουμε το Μ με το Ο και έχουμε το ευθύγραμμο τμήμα ΟΜ. Ονομάζουμε ω την γωνία που σχηματίζει ο ημιάξονας Ox, όταν περιστραφεί αντίθετα με την φορά κίνησης των δεικτών του ρολογιού (την φο- ρά αυτή την αποκαλούμε «θετική φορά»), μέχρι να συμπέσει με την ΟΜ. Ισχύουν τότε: α) ηµω = y . β) συνω = x . ρ ρ γ) εϕω = y (εφόσον είναι x ≠ 0 ). δ) σϕω = x (εφόσον είναι y ≠ 0 ), x y όπου (x , y) οι συντεταγμένες οποιουδήποτε σημείου Μ (διαφορετικού του Ο της -2 - Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηματικών • www.mathsteki.gr

Άλγεβ ρ α Β΄ Λυ κεί ο υ • Κ ΕΦΑ Λ Α Ι Ο 3 • Τρ ι γωνομ ετρ ί α Παράγραφος 1 • Τριγωνοµετρικοί αριθµοί γωνίας • ΘΕΩΡΙΑ τελικής πλευράς της γωνίας ω και ρ = x2 + y2 > 0 η απόσταση του Μ από το Ο. Σχόλιο Αν η φορά περιστροφής της παραπάνω γωνίας ήταν σύμφωνα με την φορά των δει- κτών του ρολογιού, τότε θα είχαμε την λεγόμενη «αρνητική φορά». 3. Τριγωνοµετρικοί αριθµοί γωνιών µεγαλύτερων των 360º και αρνητικών γωνιών Οι τριγωνομετρικοί αριθμοί γωνιών που είναι μεγαλύτερες από 360°, καθώς και των αρνητικών γωνιών (γωνιών δηλαδή, που σχηματίζονται με αρνητική φορά περι- στροφής), ορίζονται όπως και οι τριγωνομετρικοί αριθμοί γωνιών από 0° μέχρι 360°. Δηλαδή, για κάθε γωνία ω, θετική ή αρνητική, ορίζουμε: α) ηµω = y . β) συνω = x . ρ ρ γ) εϕω = y (εφόσον είναι x ≠ 0 ). δ) σϕω = x (εφόσον είναι y ≠ 0 ), x y όπου (x , y) οι συντεταγμένες οποιουδήποτε σημείου Μ (διαφορετικού του Ο της τελικής πλευράς της γωνίας ω και ρ = x2 + y2 > 0 η απόσταση του Μ από το Ο. Αν ο ημιάξονας Ox, στρεφόμενος γύρω από το Ο κατά την θετική φορά, συμπληρώ- σει ν πλήρεις στροφές και, στην συνέχεια, διαγράψει την γωνία ω, τότε έχει διαγρά- ψει γωνία ν ⋅ 360ο + ω , που έχει την ίδια τελική πλευρά με την γωνία ω. Αν όμως η στροφή γίνει κατά την αρνητική φορά, τότε θα έχει διαγράψει γωνία −ν ⋅ 360ο + ω , που έχει και αυτή την ίδια τελική πλευρά με την γωνία ω. Οι παραπάνω γωνίες, που είναι της μορφής κ ⋅ 360ο + ω , κ ∈ ! , επειδή έχουν την ίδια τελική πλευρά με την γωνία ω, θα έχουν και τους ίδιους τριγωνομετρικούς αριθμούς. -3 - Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηματικών • www.mathsteki.gr

Άλγεβ ρ α Β΄ Λυ κεί ο υ • Κ ΕΦΑ Λ Α Ι Ο 3 • Τρ ι γωνομ ετρ ί α Παράγραφος 1 • Τριγωνοµετρικοί αριθµοί γωνίας • ΘΕΩΡΙΑ Επομένως, για κάθε κ ∈ ! ισχύει: ( ) ( )α) ηµ κ ⋅ 360ο + ω = ηµω . β) συν κ ⋅ 360ο + ω = συνω . ( ) ( )γ) εϕ κ ⋅ 360ο + ω = εϕω . δ) σϕ κ ⋅ 360ο + ω = σϕω . Σχόλιο Με βάση τους παραπάνω τύπους, «μπακάλικα» μπορούμε να πούμε ότι κάνουμε το εξής, όταν έχουμε τον τριγωνομετρικό αριθμό γωνίας μεγαλύτερης των 360°: διαιρούμε την γωνία με το 360 και κρατάμε το υπόλοιπο της διαίρεσης. Παράδειγµα 1 ( )ηµ390ο = ηµ 360ο + 30ο = ηµ30ο = 1 . 2 Παράδειγµα 2 ( )συν765ο = συν 2 ⋅ 360ο + 45ο = συν45ο = 2 . 2 Παράδειγµα 3 ( )εϕ1140ο = εϕ 3 ⋅ 360ο + 60ο = εϕ60ο = 3 . Παράδειγµα 4 ( )σϕ1470ο = σϕ 4 ⋅ 360ο + 30ο = σϕ30ο = 3 . Οι τριγωνομετρικοί αριθμοί των γωνιών 30°, 45° και 60° των παραδειγμάτων αυτών, αναφέρονται στην παράγραφο υπό τον τίτλο «Πίνακας τριγωνομετρικών αριθμών βα- σικών γωνιών», στην συνέχεια. -4 - Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηματικών • www.mathsteki.gr

Άλγεβ ρ α Β΄ Λυ κεί ο υ • Κ ΕΦΑ Λ Α Ι Ο 3 • Τρ ι γωνομ ετρ ί α Παράγραφος 1 • Τριγωνοµετρικοί αριθµοί γωνίας • ΘΕΩΡΙΑ 4. Ο τριγωνοµετρικός κύκλος Έστω Oxy ένα σύστημα συντεταγμένων στο επί- πεδο. Με κέντρο το Ο και ακτίνα ρ = 1 , γράφουμε έναν κύκλο, ο οποίος λέγεται τριγωνομετρικός κύκλος. Με αρχή το Ο και στρεφόμενοι κατά την θετική φορά, διαγράφουμε μια γωνία ω. Έστω M(x, y) το σημείο στο οποίο η τελική πλευρά της γωνίας αυ- τής τέμνει τον κύκλο. Ισχύουν τότε: α) συνω = x . β) ηµω = y . Γι' αυτόν τον λόγο, ο άξονας x΄x λέγεται και άξονας των συνημιτόνων, ενώ ο άξο- νας y΄y λέγεται και άξονας των ημιτόνων. Άμεσες συνέπειες του παραπάνω συμπεράσματος είναι οι εξής: α) ισχύουν: − 1 ≤ ηµω ≤ 1 και − 1 ≤ συνω ≤ 1 , για οποιαδήποτε γωνία ω. β) από τον τριγωνομετρικό κύκλο προκύπτουν τα πρόσημα των τριγωνομετρικών αριθμών μιας γωνίας ω, ανάλογα με το τεταρτημόριο στο οποίο βρίσκεται η τελική πλευρά της γωνίας αυτής. Σχόλιο Με βάση την ιδιότητα της απόλυτης τιμής, x ≤ α ⇔ −α ≤ x ≤ α , για κάθε x ∈ ! και α > 0 , οι ιδιότητες που υπάρχουν στα παραπάνω πλαίσια γράφονται ισοδύναμα − 1 ≤ ηµω ≤ 1 ⇔ ηµω ≤ 1 και − 1 ≤ συνω ≤ 1 ⇔ συνω ≤ 1 . Πρέπει να τονιστεί ιδιαίτερα ότι ο τριγωνομετρικός κύκλος αποτελεί βασικό «εργα- λείο» για τα θέματα που αναπτύσσονται στην παράγραφο 3, «Αναγωγή στο 1ο τεταρ- τημόριο». -5 - Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηματικών • www.mathsteki.gr

Άλγεβ ρ α Β΄ Λυ κεί ο υ • Κ ΕΦΑ Λ Α Ι Ο 3 • Τρ ι γωνομ ετρ ί α Παράγραφος 1 • Τριγωνοµετρικοί αριθµοί γωνίας • ΘΕΩΡΙΑ Πώς αξιοποιείται ο τριγωνοµετρικός κύκλος Είναι από τα βασικότερα «εργαλεία» της Τριγωνομετρίας και η κύρια συνεισφορά του είναι η εύρεση του προσήμου ενός τριγωνομετρικού αριθμού, με βάση το τεταρτημό- ριο στο οποίο βρίσκεται το πέρας της γωνίας. Δηλαδή, δεν βοηθάει να βρεις την τιμή του ηµ120ο για παράδειγμα, αλλά να βρεις ότι είναι θετικό, αφού η γωνία 120ο καταλήγει στο δεύτερο τεταρτημόριο του κύκλου. Τα πρόσημα των τριγωνομετρικών αριθμών, ανάλογα με το τεταρτημόριο του κύκλου στο οποίο βρίσκονται, φαίνονται στο σχήμα που ακολουθεί. Μία ακόμη βασική συνεισφορά του τριγωνομετρικού κύκλου, είναι οι τιμές των τριγω- νομετρικών αριθμών συγκεκριμένων γωνιών, στα σημεία που ο κύκλος τέμνει τους άξονες των συνημιτόνων και ημιτόνων, δηλαδή των γωνιών 0 , π ,π, 3π , 2π . 2 2 Οι τιμές τους, που είναι βασικές, φαίνονται στο σχήμα που ακολουθεί. -6 - Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηματικών • www.mathsteki.gr

Άλγεβ ρ α Β΄ Λυ κεί ο υ • Κ ΕΦΑ Λ Α Ι Ο 3 • Τρ ι γωνομ ετρ ί α Παράγραφος 1 • Τριγωνοµετρικοί αριθµοί γωνίας • ΘΕΩΡΙΑ 5. Ο άξονας των εφαπτοµένων Θεωρούμε τον τριγωνομετρικό κύκλο και μια γωνία ω, η τελική πλευρά της οποίας τον τέμνει στο σημείο M(x , y) . Φέρνουμε την εφαπτομένη (ε) του κύκλου στο σημείο Α, που είναι το σημείο στο οποίο ο κύκλος τέμνει τον άξονα x΄x. Αν η τελική πλευρά της γωνίας ω τέμνει την ευθεία (ε) σε σημείο Ε(1, yΕ ) , τότε ισχύει εϕω = yΕ . Για τον λόγο αυτόν η ευθεία (ε), που έχει εξίσωση x = 1 , λέγεται άξονας των εφα- πτομένων. -7 - Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηματικών • www.mathsteki.gr

Άλγεβ ρ α Β΄ Λυ κεί ο υ • Κ ΕΦΑ Λ Α Ι Ο 3 • Τρ ι γωνομ ετρ ί α Παράγραφος 1 • Τριγωνοµετρικοί αριθµοί γωνίας • ΘΕΩΡΙΑ 6. Το ακτίνιο ως µονάδα µέτρησης γωνιών α) Το ακτίνιο ως μονάδα μέτρησης τόξων Ένα τόξο ενός κύκλου (Ο, ρ) λέγεται τόξο ενός ακτινίου (ή 1 rad), αν το τόξο αυ- τό έχει μήκος ίσο με την ακτίνα ρ του κύκλου. Το τόξο α ακτινίων (ή α rad) έχει μήκος S = α ⋅ ρ . β) Το ακτίνιο (ή rad) ως μονάδα μέτρησης γωνιών Ακτίνιο (ή 1 rad) είναι η γωνία η οποία, όταν γίνει επίκεντρη σε έναν κύκλο, βαίνει σε τόξο ενός ακτινίου (ή 1 rad). γ) Σχέση μοίρας και ακτινίου Έστω ότι μια γωνία ω είναι μ° και α rad. Ισχύει τότε α = µ . π 180 Μερικά σχόλια Μέχρι τώρα ήσουν εξοικειωμένος με την έννοια της μοίρας ως μονάδας μέτρησης γω- νιών. Με την εισαγωγή της έννοιας του ακτινίου ως μονάδας μέτρησης γωνιών δεν κα- ταργείται η έννοια της μοίρας, όμως στις ασκήσεις θα δουλεύεις (σχεδόν πάντα) με ακτίνια. Ο τύπος που αναφέρθηκε παραπάνω στο (γ), χρησιμεύει στην μετατροπή μοιρών σε ακτίνια και αντίστροφα. Ως επί το πλείστον, οι σε ακτίνια εκπεφρασμένες γωνίες φέρουν τον γνωστό αριθμό «π», που όμως δεν «μετράει» σαν 3,14 όταν είναι εντός τριγωνομετρικού αριθμού! Για να το πω σε ελεύθερη γλώσσα, αυτό το «π» το «μετράς» σαν 180°, όταν είναι εντός τριγωνομετρικού αριθμού. Έτσι, για παράδειγμα, ηµπ = ηµ180ο . Αυτό ουσιαστικά προκύπτει από τον τύπο (γ), αν θέσεις α = π (θα προκύψει µ = 180ο ). -8 - Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηματικών • www.mathsteki.gr

Άλγεβ ρ α Β΄ Λυ κεί ο υ • Κ ΕΦΑ Λ Α Ι Ο 3 • Τρ ι γωνομ ετρ ί α Παράγραφος 1 • Τριγωνοµετρικοί αριθµοί γωνίας • ΘΕΩΡΙΑ δ) Πίνακας τριγωνομετρικών αριθμών βασικών γωνιών Ο ακόλουθος πίνακας είναι πάρα πολύ βασικός στην Τριγωνομετρία!! Σημείωση Όταν γράφουμε ημx, συνx, εφx, σφx, η γωνία x εκφράζεται σε rad (αυτό δεν το ση- μειώνουμε, αλλά ούτε και διευκρινίζεται, στις ασκήσεις). Σχόλια Ο πίνακας αυτός αποτελεί την ραχοκοκκαλιά της Τριγωνομετρίας, αφού χρησιμο- ποιείται συνεχώς στις ασκήσεις! Τούτου λεχθέντος, περιττεύει κάθε άλλη επισήμανση περί της σπουδαιότητάς του. 0ο ή 30ο ή 45ο ή 60ο ή 90ο ή 0 rad π rad π rad π rad π rad 0 6 4 3 2 ημίτονο 1 2 3 1 2 2 2 συνημίτονο 1 3 2 1 0 2 2 2 Δεν εφαπτομένη 0 3 1 3 ορίζεται 3 0 συνεφα- Δεν 3 1 3 πτομένη ορίζεται 3 Τις τιμές αυτού του πίνακα πρέπει να τις ξέρεις «απ' την καλή» και «απ' την ανάποδη» άριστα, τόσο για γωνίες σε μοίρες, όσο και σε ακτίνια! • «Απ' την καλή» σημαίνει να απαντάς άμεσα πόσο κάνει ηµ π , συν π κ.λπ. 2 6 • «Απ' την ανάποδη» σημαίνει να μπορείς άμεσα να βρεις ποια γωνία έχει ημίτονο (για παράδειγμα) ίσο με 1 ή 3 κ.λπ. 2 2 -9 - Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηματικών • www.mathsteki.gr



Μόνο εδώ θα βρεις τα αναλυτικότερα βιβλία Μαθηµατικών του διαδικτύου!