ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ - Κεφ.3 - Παράγραφος 3.3 (θεωρία)

Β΄ Λυκείου - Άλγεβρα Τριγωνοµετρία Παράγραφος 3 Αναγωγή στο πρώτο τεταρτηµόριο ΘΕΩΡΙΑ - ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ Νέα Μουδανιά • Σεπτέµβριος 2021

ΠΑΡΑΓΡΑΦΟΣ 3 Άλγεβ ρ α Β΄ Λυ κεί ο υ • Κ ΕΦΑ Λ Α Ι Ο 3 • Τρ ι γωνομ ετρ ί α Παράγραφος 3 • Αναγωγή στο πρώτο τεταρτηµόριο • ΘΕΩΡΙΑ Αναγωγή στο πρώτο τεταρτηµόριο ~ Περιεχόμενα παραγράφου 3 ~ Τι σημαίνει «αναγωγή στο 1ο τεταρτημόριο» ; ......................................................................................................23 1. Η γωνία καταλήγει στο 1ο τεταρτημόριο ...........................................................................................................24 Πώς θα υπολογίσεις τριγωνομετρικό αριθμό γωνίας μεγαλύτερης των 360ο ............................25 2. Η γωνία καταλήγει στο 2ο τεταρτημόριο Οι γωνίες 120ο , 135ο , 150ο ..........................................................................................................................................27 3. Η γωνία καταλήγει στο 3ο τεταρτημόριο Οι γωνίες 210ο , 225ο , 240ο ........................................................................................................................................30 4. Η γωνία καταλήγει στο 4ο τεταρτημόριο Οι γωνίες 300ο , 315ο , 330ο ........................................................................................................................................34 - 21 - Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηματικών • www.mathsteki.gr

Άλγεβ ρ α Β΄ Λυ κεί ο υ • Κ ΕΦΑ Λ Α Ι Ο 3 • Τρ ι γωνομ ετρ ί α Παράγραφος 3 • Αναγωγή στο πρώτο τεταρτηµόριο • ΘΕΩΡΙΑ Ο υπολογισμός των τριγωνομετρικών αριθμών οποιασδήποτε γωνίας μπορεί να γί- νει με την βοήθεια των πινάκων που δίνουν τους τριγωνομετρικούς αριθμούς γωνι- ών από 0° μέχρι 90°. Ειδικότερα, ισχύουν τα ακόλουθα: α) Γωνίες αντίθετες Οι αντίθετες γωνίες έχουν το ίδιο συνημίτονο και αντίθετους τους άλλους τριγωνο- μετρικούς αριθμούς, δηλαδή ισχύουν: συν(−ω) = συνω , ηµ(−ω) = −ηµω , εϕ(−ω) = −εϕω , σϕ(−ω) = −σϕω . β) Γωνίες με άθροισμα 180º Οι γωνίες με άθροισμα 180° έχουν το ίδιο ημίτονο και αντίθετους τους άλλους τρι- γωνομετρικούς αριθμούς, δηλαδή ισχύουν ( ) ( )ηµ 180ο − ω = ηµω , συν 180ο − ω = −συνω , ( ) ( )εϕ 180ο − ω = −εϕω , σϕ 180ο − ω = −σϕω . γ) Γωνίες που διαφέρουν κατά 180º Οι γωνίες που διαφέρουν κατά 180° έχουν αντίθετο ημίτονο και συνημίτονο, ενώ έχουν την ίδια εφαπτομένη και συνεφαπτομένη, δηλαδή ισχύουν ( ) ( )ηµ 180ο + ω = −ηµω , συν 180ο + ω = −συνω , ( ) ( )εϕ 180ο + ω = εϕω , σϕ 180ο + ω = σϕω . δ) Γωνίες με άθροισμα 90º Αν δύο γωνίες έχουν άθροισμα 90°, τότε το ημίτονο της μιας ισούται με το συνημί- τονο της άλλης και η εφαπτομένη της μιας ισούται με την συνεφαπτομένη της άλ- λης, δηλαδή ισχύουν ( ) ( ) ( ) ( )ηµ 90ο − ω = συνω , συν 90ο − ω = ηµω , εϕ 90ο − ω = σϕω , σϕ 90ο − ω = εϕω . - 22 - Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηματικών • www.mathsteki.gr

Άλγεβ ρ α Β΄ Λυ κεί ο υ • Κ ΕΦΑ Λ Α Ι Ο 3 • Τρ ι γωνομ ετρ ί α Παράγραφος 3 • Αναγωγή στο πρώτο τεταρτηµόριο • ΘΕΩΡΙΑ Τι σηµαίνει “αναγωγή στο 1ο τεταρτηµόριο” ; Το θέμα αυτής της παραγράφου έχει μεγάλη πρακτική αξία στις ασκήσεις, διότι δίνει απάντηση στο εξής θεμελιώδες ερώτημα: «Αφού ο πίνακας των βασικών γωνιών της Τριγωνομετρίας δίνει μόνο τις τιμές των τριγωνομετρικών αριθμών των γωνιών 0°, 30°, 45°, 60° και 90°, πώς θα υπολογίσω τον τριγωνομετρικό αριθμό γωνίας άνω των 90° και μικρότερης των 360°;» (για γωνίες άνω των 360°, δες στην παρούσα ενότητα και την παράγραφο «Πώς θα υπολογίσεις τριγωνομετρικό αριθμό γωνίας μεγαλύτερης των 360°»). Θα συμπληρώσω το εξής: οι τριγωνομετρικοί πίνακες δίνουν τις τιμές των τριγωνομετρικών αριθμών όλων των γωνιών από 0° έως και 90°, μία προς μία (μπορείς να δεις το βιβλίο των Μαθηματικών της Γ΄ Γυμνασίου, τελευταίες σελίδες). Μέχρι εκεί, μέχρι και τις 90°. Τι σημαίνει αυτό; Σημαίνει ότι δεν χρειαζόμαστε παραπάνω γωνίες, άνω των 90° δηλαδή, αφού οι γωνίες 0° έως και 90° κάνουν την δουλειά. Επομένως, πρέπει να υπάρχει κάποιος τρόπος υπολογισμού οποιαδήποτε γωνίας άνω των 90°. Πράγματι, αυτός ο τρόπος θα αναλυθεί στην συνέχεια. Προλογικά, να πω το εξής: οι γωνίες που συναντώνται στις ασκήσεις είναι «βολικές» και προκύπτουν με πρόσθε- ση ή αφαίρεση των βασικών γωνιών 30°, 45° και 60° (συνήθως) στις τέσσερις βασικές γωνίες του τριγωνομετρικού κύκλου (90°, 180°, 270° και 360°). Δεν θα συναντήσεις, για παράδειγμα, την ανάγκη υπολογισμού του ηµ133ο ή συν199ο ή εϕ226ο ή σϕ344ο . Επίσης, αν και υπάρχουν (όχι στην Φύση) γωνίες άνω των 360°, δεν θα συναντήσεις την ανάγκη υπολογισμού του ηµ364ο ή συν462ο ή εϕ547ο ή σϕ639ο . Και οι γωνίες άνω των 360° θα είναι «βολικές» και θα προκύπτουν με την πρόσθεση ή αφαίρεση των βασικών γωνιών 30°, 45° και 60° (συνήθως). - 23 - Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηματικών • www.mathsteki.gr

Άλγεβ ρ α Β΄ Λυ κεί ο υ • Κ ΕΦΑ Λ Α Ι Ο 3 • Τρ ι γωνομ ετρ ί α Παράγραφος 3 • Αναγωγή στο πρώτο τεταρτηµόριο • ΘΕΩΡΙΑ Φυσικά, όλα τα παραπάνω αφορούν στο τι συνήθως συναντάται στις ασκήσεις Τριγω- νομετρίας του Λυκείου, αλλά πάντα υπάρχει η πιθανότητα και για πιο «περίεργες» γωνίες. Επομένως, με απλά λόγια, «αναγωγή στο 1ο τεταρτημόριο» σημαίνει «πώς θα υπολογίσω τον τριγωνομετρικό αριθμό γωνίας μεγαλύτερης των 90°». ΣΗΜΕΙΩΣΗ Στο τέλος της ενότητας θα δεις μερικά χαρακτηριστικά παραδείγματα για το πώς όλα όσα αναφέρονται σε αυτήν την ενότητα συναντώνται και αντιμετωπίζονται στις ασκή- σεις. 1. Η γωνία καταλήγει στο 1ο τεταρτηµόριο Πώς θα υπολογίσεις τριγωνοµετρικό αριθµό γωνίας µεγαλύτερης των 360° Όταν μια γωνία x καταλήγει στο 1ο τεταρτημόριο, τότε μπορεί να γραφεί υπό τις μορ- φές α) π −x (ισοδύναμα, 90o − x ) 2 ή β) 2π + x (γενικότερα, 2κπ + x , κ ∈ ! , ή, ισοδύναμα, 360ο + x ή 2κπ + x , κ ∈ ! ). Όταν η γωνία γραφεί υπό την μορφή π −x (ισοδύναμα, 90o − x ), τότε: 2 • το ημίτονο «μεταμορφώνεται» σε συνημίτονο. • το συνημίτονο «μεταμορφώνεται» σε ημίτονο. • η εφαπτομένη «μεταμορφώνεται» σε συνεφαπτομένη. • η συνεφαπτομένη «μεταμορφώνεται» σε εφαπτομένη. Δηλαδή ισχύουν: - 24 - Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηματικών • www.mathsteki.gr

Άλγεβ ρ α Β΄ Λυ κεί ο υ • Κ ΕΦΑ Λ Α Ι Ο 3 • Τρ ι γωνομ ετρ ί α Παράγραφος 3 • Αναγωγή στο πρώτο τεταρτηµόριο • ΘΕΩΡΙΑ ηµ ⎜⎜⎜⎛⎝ π2 − x⎟⎟⎟⎟⎠⎞ = συνx , συν ⎜⎜⎝⎛⎜ π − x⎟⎞⎟⎟⎠⎟ = ηµx , εϕ ⎝⎛⎜⎜⎜ π2 − x⎟⎟⎞⎟⎟⎠ = σϕx , σϕ ⎜⎜⎜⎛⎝ π2 − x⎟⎟⎟⎟⎠⎞ = εϕx . 2 Όταν η γωνία γραφεί υπό την μορφή 2π + x (γενικότερα, 2κπ + x , κ ∈ ! , ή, ισοδύναμα 360o + x ή 2κπ + x , κ ∈ ! ), τότε δεν υπάρχει καμία από τις προηγούμενες «μετα- μορφώσεις», το δε 2π δεν λαμβάνεται υπόψη, αφού «φεύγει». Ισχύουν επομένως: • ηµ(2π + x) = ηµx και γενικά ηµ(2κπ + x) = ηµx , κ ∈ ! . • συν(2π + x) = συνx και γενικά συν(2κπ + x) = συνx , κ ∈ ! . • εϕ(2π + x) = εϕx και γενικά εϕ(2κπ + x) = εϕx , κ ∈ ! . • σϕ(2π + x) = σϕx και γενικά σϕ(2κπ + x) = σϕx , κ ∈ ! . Οι τελευταίοι κανόνες εφαρμόζονται όταν η γωνία είναι μεγαλύτερη των 360° και αυ- τό δίνει απάντηση στο ακόλουθο σημαντικό θέμα. Πώς θα υπολογίσεις τριγωνοµετρικό αριθµό γωνίας µεγαλύτερης των 360° Με βάση τους προηγούμενους τύπους, κάνε το εξής: διαίρεσε την γωνία με το 360 και κράτα το υπόλοιπο της διαίρεσης. Παράδειγµα 18 ( )ηµ390ο = ηµ 360ο + 30ο = ηµ30ο = 1 . 2 Παράδειγµα 19 ( )συν765ο = συν 2 ⋅ 360ο + 45ο = συν45ο = 2 . 2 - 25 - Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηματικών • www.mathsteki.gr

Άλγεβ ρ α Β΄ Λυ κεί ο υ • Κ ΕΦΑ Λ Α Ι Ο 3 • Τρ ι γωνομ ετρ ί α Παράγραφος 3 • Αναγωγή στο πρώτο τεταρτηµόριο • ΘΕΩΡΙΑ Παράδειγµα 20 ( )εϕ1140ο = εϕ 3 ⋅ 360ο + 60ο = εϕ60ο = 3 . Παράδειγµα 21 ( )σϕ1470ο = σϕ 4 ⋅ 360ο + 30ο = σϕ30ο = 3 . Αν η γωνία είναι εκπεφρασμένη σε ακτίνια, το μόνο που αλλάζει είναι ο τρόπος με τον οποίο θα γράψεις την γωνία. Το σκεπτικό παραμένει ακριβώς το ίδιο, ενώ το πώς θα γράψεις την γωνία φαίνεται στα ακόλουθα παραδείγματα. Παράδειγµα 22 ηµ 13π = ηµ 12π + π = ηµ ⎜⎛⎝⎜⎜126π + 6π⎟⎠⎞⎟⎟⎟ = ηµ⎜⎛⎜⎜⎝2π + π ⎟⎠⎟⎟⎞⎟ = ηµ π = 1 . 6 6 6 6 2 «Σπάσε» το 13 έτσι, ώστε το πρώτο κλάσμα να δώσει άρτιο πολλαπλάσιο του π, όταν διαιρεθεί με το 6. Παράδειγµα 23 συν 17π = συν 16π + π = συν ⎜⎝⎛⎜⎜ 164π + π ⎟⎟⎟⎟⎞⎠ = συν⎜⎜⎝⎜⎛4π + π ⎞⎟⎟⎟⎟⎠ = συν π = 2 . 4 4 4 4 4 2 «Σπάσε» το 17 έτσι, ώστε το πρώτο κλάσμα να δώσει άρτιο πολλαπλάσιο του π, όταν διαιρεθεί με το 4. Παράδειγµα 24 εϕ 19π = εϕ 18π + π = εϕ ⎜⎜⎜⎝⎛183π + π3⎟⎞⎠⎟⎟⎟ = εϕ⎛⎝⎜⎜⎜6π + π ⎞⎠⎟⎟⎟⎟ = εϕ π = 3. 3 3 3 3 «Σπάσε» το 19 έτσι, ώστε το πρώτο κλάσμα να δώσει άρτιο πολλαπλάσιο του π, όταν διαιρεθεί με το 3. Παράδειγµα 25 σϕ 49π = σϕ 48π + π = σϕ ⎜⎜⎝⎜⎛ 486π + π ⎟⎟⎞⎠⎟⎟ = σϕ⎜⎜⎝⎜⎛8π + π ⎟⎟⎞⎠⎟⎟ = σϕ π = 3. 6 6 6 6 6 «Σπάσε» το 49 έτσι, ώστε το πρώτο κλάσμα να δώσει άρτιο πολλαπλάσιο του π, όταν διαιρεθεί με το 6. - 26 - Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηματικών • www.mathsteki.gr

Άλγεβ ρ α Β΄ Λυ κεί ο υ • Κ ΕΦΑ Λ Α Ι Ο 3 • Τρ ι γωνομ ετρ ί α Παράγραφος 3 • Αναγωγή στο πρώτο τεταρτηµόριο • ΘΕΩΡΙΑ 2. Η γωνία καταλήγει στο 2ο τεταρτηµόριο Οι γωνίες 120°, 135°, 150° Όταν μια γωνία x καταλήγει στο 2ο τεταρτημόριο, τότε μπορεί να γραφεί υπό τις μορ- φές α) π +x (ισοδύναμα, 90o + x ) 2 ή β) π − x (ισοδύναμα, 180o − x ). Όταν η γωνία γραφεί με την μορφή π +x (ισοδύναμα, 90o + x ), τότε: 2 • το ημίτονο «μεταμορφώνεται» σε συνημίτονο. • το συνημίτονο «μεταμορφώνεται» σε ημίτονο. • η εφαπτομένη «μεταμορφώνεται» σε συνεφαπτομένη. • η συνεφαπτομένη «μεταμορφώνεται» σε εφαπτομένη. Λαμβάνοντας υπόψη ότι στο 2ο τεταρτημόριο: • το ημίτονο είναι θετικό • το συνημίτονο είναι αρνητικό • η εφαπτομένη είναι αρνητική • η συνεφαπτομένη είναι αρνητική, ισχύουν: ηµ⎜⎛⎝⎜⎜π2 + x⎟⎟⎞⎟⎠⎟ = συνx , συν ⎜⎜⎜⎝⎛ π + x⎞⎠⎟⎟⎟⎟ = −ηµx , εϕ⎝⎜⎜⎜⎛π2 + x⎟⎟⎟⎠⎞⎟ = −σϕx , σϕ ⎝⎛⎜⎜⎜ π + x⎟⎟⎞⎟⎟⎠ = −εϕx . 2 2 Όταν η γωνία γραφεί με την μορφή π − x (ισοδύναμα, 180o − x ), τότε δεν υπάρχει κα- μία από τις προηγούμενες «μεταμορφώσεις». Πάλι, όμως, πρέπει να ληφθούν υπόψη τα περί προσήμων των τριγωνομετρικών αριθμών του 2ου τεταρτημορίου. Στην περίπτωση αυτή, ισχύουν: ηµ(π − x) = ηµx , συν(π − x) = −συνx , εϕ(π − x) = −εϕx , σϕ(π − x) = −σϕx . Τα παραπάνω βρίσκουν εφαρμογή στο ακόλουθο θέμα. - 27 - Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηματικών • www.mathsteki.gr

Άλγεβ ρ α Β΄ Λυ κεί ο υ • Κ ΕΦΑ Λ Α Ι Ο 3 • Τρ ι γωνομ ετρ ί α Παράγραφος 3 • Αναγωγή στο πρώτο τεταρτηµόριο • ΘΕΩΡΙΑ Οι τριγωνοµετρικοί αριθµοί των γωνιών 120°, 135° και 150° Οι χαρακτηριστικές γωνίες του 2ου τεταρτημορίου είναι 2π = 120ο , 3π = 135ο , 5π = 150ο 3 4 6 και το πώς θα βρεις τους τριγωνομετρικούς τους αριθμούς θα το δεις αναλυτικά στην συνέχεια. Γωνία 120° Πρώτος τρόπος ( )• 3 ηµ120ο = ηµ 90ο + 30ο = συν30ο = 2 . ( )• 1 συν120ο = συν 90ο + 30ο = −ηµ30ο = − 2 . ( )• εϕ120ο = εϕ 90ο + 30ο = −σϕ30ο = − 3 . ( )• = −εϕ30ο = − 3 σϕ120ο = σϕ 90ο + 30ο 3 . Δεύτερος τρόπος (προτεινόμενος) ( )• = ηµ60ο = 3 ηµ120ο = ηµ 180ο − 60ο 2 . ( )• −συν60ο 1 συν120ο = συν 180ο − 60ο = = − 2 . ( )• εϕ120ο = εϕ 180ο − 60ο = −εϕ60ο = − 3 . ( )• = −σϕ60ο = − 3 σϕ120ο = σϕ 180ο − 60ο 3 . - 28 - Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηματικών • www.mathsteki.gr

Άλγεβ ρ α Β΄ Λυ κεί ο υ • Κ ΕΦΑ Λ Α Ι Ο 3 • Τρ ι γωνομ ετρ ί α Παράγραφος 3 • Αναγωγή στο πρώτο τεταρτηµόριο • ΘΕΩΡΙΑ Γωνία 135° Πρώτος τρόπος ( )• 2 ηµ135ο = ηµ 90ο + 45ο = συν45ο = 2 . ( )• 2 συν135ο = συν 90ο + 45ο = −ηµ45ο = − 2 . ( )• εϕ135ο = εϕ 90ο + 45ο = −σϕ45ο = −1 . ( )• σϕ135ο = σϕ 90ο + 45ο = −εϕ45ο = −1 . Δεύτερος τρόπος (προτεινόμενος) ( )• = ηµ45ο = 2 ηµ135ο = ηµ 180ο − 45ο 2 . ( )• 2 συν135ο = συν 180ο − 45ο = −συν45ο = − 2 . ( )• εϕ135ο = εϕ 180ο − 45ο = −εϕ45ο = −1 . ( )• σϕ135ο = σϕ 180ο − 45ο = −σϕ45ο = −1 . Γωνία 150° Πρώτος τρόπος ( )• συν60ο 1 ηµ150ο = ηµ 90ο + 60ο = = 2 . ( )• = −ηµ60ο = − 3 συν150ο = συν 90ο + 60ο 2 . ( )• = −σϕ60ο = − 3 εϕ150ο = εϕ 90ο + 60ο 3 . ( )• σϕ150ο = σϕ 90ο + 60ο = −εϕ60ο = − 3 . - 29 - Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηματικών • www.mathsteki.gr

Άλγεβ ρ α Β΄ Λυ κεί ο υ • Κ ΕΦΑ Λ Α Ι Ο 3 • Τρ ι γωνομ ετρ ί α Παράγραφος 3 • Αναγωγή στο πρώτο τεταρτηµόριο • ΘΕΩΡΙΑ Δεύτερος τρόπος (προτεινόμενος) ( )• ηµ30ο 1 ηµ150ο = ηµ 180ο − 30ο = = 2 . ( )• = −συν30ο = − 3 συν150ο = συν 180ο − 30ο 2 . ( )• = −εϕ30ο = − 3 εϕ150ο = εϕ 180ο − 30ο 3 . ( )• σϕ150ο = σϕ 180ο − 30ο = −σϕ30ο = − 3 . Σχόλιο Τα βήματα είναι ακριβώς τα ίδια, αν η γωνία εκφράζεται σε ακτίνια (με την βοήθεια του «π»). Το μόνο που αλλάζει είναι ότι, αντί για μοίρες, γράφεις «π», δηλαδή, για π π παράδειγμα, αντί για 90° γράφεις 2 και αντί για 60° γράφεις 3 κ.ο.κ. 3. Η γωνία καταλήγει στο 3ο τεταρτηµόριο Οι γωνίες 210°, 225°, 240° Όταν μια γωνία x καταλήγει στο 3ο τεταρτημόριο, τότε μπορεί να γραφεί υπό τις μορ- φές α) π + x (ισοδύναμα, 180o + x ) ή β) 3π −x (ισοδύναμα, 270o − x ). 2 Όταν η γωνία γραφεί με την μορφή π + x (ισοδύναμα, 180o + x ), τότε λαμβάνοντας υπόψη ότι στο 3ο τεταρτημόριο: • το ημίτονο είναι αρνητικό • το συνημίτονο είναι αρνητικό • η εφαπτομένη είναι θετική • η συνεφαπτομένη είναι θετική, ισχύουν: - 30 - Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηματικών • www.mathsteki.gr

Άλγεβ ρ α Β΄ Λυ κεί ο υ • Κ ΕΦΑ Λ Α Ι Ο 3 • Τρ ι γωνομ ετρ ί α Παράγραφος 3 • Αναγωγή στο πρώτο τεταρτηµόριο • ΘΕΩΡΙΑ ηµ(π + x) = −ηµx , συν(π + x) = −συνx , εϕ(π + x) = εϕx , σϕ(π + x) = σϕx . Όταν η γωνία γραφεί με την μορφή 3π −x (ισοδύναμα, 270o + x ), τότε: 2 • το ημίτονο «μεταμορφώνεται» σε συνημίτονο. • το συνημίτονο «μεταμορφώνεται» σε ημίτονο. • η εφαπτομένη «μεταμορφώνεται» σε συνεφαπτομένη. • η συνεφαπτομένη «μεταμορφώνεται» σε εφαπτομένη. Λαμβάνοντας υπόψη και όσα αναφέρθηκαν για το πρόσημο των τριγωνομετρικών αριθμών γωνιών που καταλήγουν στο 3ο τεταρτημόριο, ισχύουν: ηµ⎜⎜⎛⎝⎜32π − x⎞⎟⎟⎟⎟⎠ = −συνx , συν ⎝⎛⎜⎜⎜ 3π − x⎟⎞⎟⎟⎟⎠ = −ηµx , εϕ⎛⎜⎝⎜⎜32π − x⎟⎞⎟⎟⎠⎟ = σϕx , σϕ⎜⎜⎜⎛⎝32π − x⎠⎟⎟⎟⎟⎞ = εϕx . 2 Τα παραπάνω βρίσκουν εφαρμογή στο ακόλουθο θέμα. Οι τριγωνοµετρικοί αριθµοί των γωνιών 210°, 225° και 240° Οι χαρακτηριστικές γωνίες του 3ου τεταρτημορίου είναι 7π = 210ο , 5π = 225ο , 4π = 240ο 6 4 3 και το πώς θα βρεις τους τριγωνομετρικούς τους αριθμούς θα το δεις αναλυτικά στην συνέχεια. Γωνία 210° Πρώτος τρόπος (προτεινόμενος) ( )• 1 ηµ210ο = ηµ 180ο + 30ο = −ηµ30ο = − 2 . ( )• 3 συν210ο = συν 180ο + 30ο = −συν30ο = − 2 . ( )• εϕ210ο = εϕ 180ο + 30ο = εϕ30ο = 3 . 3 ( )• σϕ210ο = σϕ 180ο + 30ο = σϕ30ο = 3 . - 31 - Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηματικών • www.mathsteki.gr

Άλγεβ ρ α Β΄ Λυ κεί ο υ • Κ ΕΦΑ Λ Α Ι Ο 3 • Τρ ι γωνομ ετρ ί α Παράγραφος 3 • Αναγωγή στο πρώτο τεταρτηµόριο • ΘΕΩΡΙΑ Δεύτερος τρόπος ( )• −συν60ο 1 ηµ210ο = ηµ 270ο − 60ο = = − 2 . ( )• = −ηµ60ο = − 3 συν210ο = συν 270ο − 60ο 2 . ( )• = σϕ60ο = 3 εϕ210ο = εϕ 270ο − 60ο 3 . ( )• σϕ210ο = σϕ 270ο − 60ο = εϕ60ο = 3 . Γωνία 225° Πρώτος τρόπος (προτεινόμενος) ( )• 2 ηµ225ο = ηµ 180ο + 45ο = −ηµ45ο = − 2 . ( )• = −συν45ο = − 2 συν225ο = συν 180ο + 45ο 2 . ( )• εϕ225ο = εϕ 180ο + 45ο = εϕ45ο = 1 . ( )• σϕ225ο = σϕ 180ο + 45ο = σϕ45ο = 1 . Δεύτερος τρόπος ( )• 2 ηµ225ο = ηµ 270ο − 45ο = −συν45ο = − 2 . ( )• = −ηµ45ο = − 2 συν225ο = συν 270ο − 45ο 2 . ( )• εϕ225ο = εϕ 270ο − 45ο = σϕ45ο = 1 . ( )• σϕ225ο = σϕ 270ο − 45ο = εϕ45ο = 1 . - 32 - Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηματικών • www.mathsteki.gr

Άλγεβ ρ α Β΄ Λυ κεί ο υ • Κ ΕΦΑ Λ Α Ι Ο 3 • Τρ ι γωνομ ετρ ί α Παράγραφος 3 • Αναγωγή στο πρώτο τεταρτηµόριο • ΘΕΩΡΙΑ Γωνία 240° Πρώτος τρόπος (προτεινόμενος) ( )• = −ηµ60ο = − 3 ηµ240ο = ηµ 180ο + 60ο 2 . ( )• 1 συν240ο = συν 180ο + 60ο = −συν60ο = − 2 . ( )• εϕ240ο = εϕ 180ο + 60ο = εϕ60ο = 3 . ( )• = σϕ60ο = 3 σϕ240ο = σϕ 180ο + 60ο 3 . Δεύτερος τρόπος ( )• 3 ηµ240ο = ηµ 270ο − 30ο = −συν30ο = − 2 . ( )• −ηµ30ο 1 συν240ο = συν 270ο − 30ο = = − 2 . ( )• εϕ240ο = εϕ 270ο − 30ο = σϕ30ο = 3 . ( )• 3 σϕ240ο = σϕ 270ο − 30ο = εϕ30ο = 3 . Σχόλιο Τα βήματα είναι ακριβώς τα ίδια, αν η γωνία εκφράζεται σε ακτίνια (με την βοήθεια του «π»). Το μόνο που αλλάζει, είναι ότι αντί για μοίρες, γράφεις «π», δηλαδή, για π παράδειγμα, αντί για 180° γράφεις π και αντί για 60° γράφεις 3 κ.ο.κ. - 33 - Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηματικών • www.mathsteki.gr

Άλγεβ ρ α Β΄ Λυ κεί ο υ • Κ ΕΦΑ Λ Α Ι Ο 3 • Τρ ι γωνομ ετρ ί α Παράγραφος 3 • Αναγωγή στο πρώτο τεταρτηµόριο • ΘΕΩΡΙΑ 4. Η γωνία καταλήγει στο 4ο τεταρτηµόριο Οι γωνίες 300°, 315°, 330° Όταν μια γωνία x καταλήγει στο 4ο τεταρτημόριο, τότε μπορεί να γραφεί υπό τις μορ- φές α) 3π +x (ισοδύναμα, 270o + x ) 2 ή β) 2π − x (γενικότερα, 2κπ − x , κ ∈ ! , ή, ισοδύναμα, 360o − x ή 2κπ − x , κ ∈ ! ). Όταν η γωνία γραφεί με την μορφή 3π +x (ισοδύναμα, 270o + x ), τότε: 2 • το ημίτονο «μεταμορφώνεται» σε συνημίτονο. • το συνημίτονο «μεταμορφώνεται» σε ημίτονο. • η εφαπτομένη «μεταμορφώνεται» σε συνεφαπτομένη. • η συνεφαπτομένη «μεταμορφώνεται» σε εφαπτομένη. Λαμβάνοντας υπόψη ότι στο 4ο τεταρτημόριο: • το ημίτονο είναι αρνητικό • το συνημίτονο είναι θετικό • η εφαπτομένη είναι αρνητική • η συνεφαπτομένη είναι αρνητική, ισχύουν: ηµ⎝⎜⎛⎜⎜32π + x⎠⎞⎟⎟⎟⎟ = −συνx , συν ⎜⎝⎜⎛⎜ 32π + x⎟⎟⎞⎠⎟⎟ = ηµx , εϕ ⎜⎜⎛⎝⎜ 3π + x⎞⎟⎟⎠⎟⎟ = −σϕx , σϕ⎜⎝⎜⎜⎛32π + x⎠⎞⎟⎟⎟⎟ = −εϕx . 2 Όταν η γωνία γραφεί με την μορφή 2π − x (γενικότερα, 2κπ − x , κ ∈ ! ή, ισοδύναμα, 360o − x ή 2κπ − x , κ ∈ ! ), τότε, λαμβάνοντας υπόψη ότι στο 4ο τεταρτημόριο: • το ημίτονο είναι αρνητικό • το συνημίτονο είναι θετικό • η εφαπτομένη είναι αρνητική • η συνεφαπτομένη είναι αρνητική, - 34 - Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηματικών • www.mathsteki.gr

Άλγεβ ρ α Β΄ Λυ κεί ο υ • Κ ΕΦΑ Λ Α Ι Ο 3 • Τρ ι γωνομ ετρ ί α Παράγραφος 3 • Αναγωγή στο πρώτο τεταρτηµόριο • ΘΕΩΡΙΑ ισχύουν: • ηµ(2π − x) = −ηµx . Γενικότερα, ισχύει ηµ(2κπ − x) = −ηµx , κ ∈ ! . • συν(2π − x) = συνx . Γενικότερα, ισχύει συν(2κπ − x) = συνx , κ ∈ ! . • εϕ(2π − x) = −εϕx . Γενικότερα, ισχύει εϕ(2κπ − x) = −εϕx , κ ∈ ! . • σϕ(2π − x) = −σϕx . Γενικότερα, ισχύει σϕ(2κπ − x) = −σϕx , κ ∈ ! . Τα παραπάνω βρίσκουν εφαρμογή στο ακόλουθο θέμα. Οι τριγωνοµετρικοί αριθµοί των γωνιών 300°, 315° και 330° Οι χαρακτηριστικές γωνίες του 4ου τεταρτημορίου είναι 5π = 300ο , 7π = 315ο , 11π = 330ο 3 4 6 και το πώς θα βρεις τους τριγωνομετρικούς τους αριθμούς θα το δεις αναλυτικά στην συνέχεια. Γωνία 300° Πρώτος τρόπος ( )• 3 ηµ300ο = ηµ 270ο + 30ο = −συν30ο = − 2 . ( )• ηµ30ο 1 συν300ο = συν 270ο + 30ο = = 2 . ( )• εϕ300ο = εϕ 270ο + 30ο = −σϕ30ο = − 3 . - 35 - Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηματικών • www.mathsteki.gr

Άλγεβ ρ α Β΄ Λυ κεί ο υ • Κ ΕΦΑ Λ Α Ι Ο 3 • Τρ ι γωνομ ετρ ί α Παράγραφος 3 • Αναγωγή στο πρώτο τεταρτηµόριο • ΘΕΩΡΙΑ ( )• 3 σϕ300ο = σϕ 270ο + 30ο = −εϕ30ο = − 3 . Δεύτερος τρόπος (προτεινόμενος) ( )• = −ηµ60ο = − 3 ηµ300ο = ηµ 360ο − 60ο 2 . ( )• 1 συν300ο = συν 360ο − 60ο = ηµ60ο = 2 . ( )• εϕ300ο = εϕ 360ο − 60ο = −εϕ60ο = − 3 . ( )• 3 σϕ300ο = σϕ 360ο − 60ο = −σϕ60ο = − 3 . Γωνία 315° Πρώτος τρόπος ( )• 2 ηµ315ο = ηµ 270ο + 45ο = −συν45ο = − 2 . ( )• = ηµ45ο = 2 συν315ο = συν 270ο + 45ο 2 . ( )• εϕ315ο = εϕ 270ο + 45ο = −σϕ45ο = −1 . ( )• σϕ315ο = σϕ 270ο + 45ο = −εϕ45ο = −1 . Δεύτερος τρόπος (προτεινόμενος) ( )• = −ηµ45ο = − 2 ηµ315ο = ηµ 360ο − 45ο 2 . ( )• = συν45ο = 2 συν315ο = συν 360ο − 45ο 2 . ( )• εϕ315ο = εϕ 360ο − 45ο = −εϕ45ο = −1 . ( )• σϕ315ο = σϕ 360ο − 45ο = −σϕ45ο = −1 . - 36 - Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηματικών • www.mathsteki.gr

Άλγεβ ρ α Β΄ Λυ κεί ο υ • Κ ΕΦΑ Λ Α Ι Ο 3 • Τρ ι γωνομ ετρ ί α Παράγραφος 3 • Αναγωγή στο πρώτο τεταρτηµόριο • ΘΕΩΡΙΑ Γωνία 330° Πρώτος τρόπος ( )• 1 ηµ330ο = ηµ 270ο + 60ο = −συν60ο = − 2 . ( )• 3 συν330ο = συν 270ο + 60ο = ηµ60ο = 2 . ( )• = −σϕ60ο = − 3 εϕ330ο = εϕ 270ο + 60ο 3 . ( )• σϕ330ο = σϕ 270ο + 60ο = −εϕ60ο = − 3 . Δεύτερος τρόπος (προτεινόμενος) ( )• 1 ηµ300ο = ηµ 360ο − 30ο = −ηµ30ο = − 2 . ( )• 3 συν300ο = συν 360ο − 30ο = συν30ο = 2 . ( )• 3 εϕ300ο = εϕ 360ο − 30ο = −εϕ30ο = − 3 . ( )• σϕ300ο = σϕ 360ο − 30ο = −σϕ30ο = − 3 . Σχόλιο Τα βήματα είναι ακριβώς τα ίδια, αν η γωνία εκφράζεται σε ακτίνια (με την βοήθεια του «π»). Το μόνο που αλλάζει, είναι ότι αντί για μοίρες, γράφεις «π», δηλαδή, για παράδειγμα, αντί για 90° γράφεις π και αντί για 60° γράφεις π κ.ο.κ. 2 3 Τα παραδείγματα που θα δεις στην συνέχεια αποτελούν αντιπροσωπευτικά θέματα των ασκήσεων της παραγράφου 3. - 37 - Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηματικών • www.mathsteki.gr

Άλγεβ ρ α Β΄ Λυ κεί ο υ • Κ ΕΦΑ Λ Α Ι Ο 3 • Τρ ι γωνομ ετρ ί α Παράγραφος 3 • Αναγωγή στο πρώτο τεταρτηµόριο • ΘΕΩΡΙΑ Παράδειγµα 26 Να απλοποιήσετε την παράσταση Α= ηµ⎜⎜⎛⎝⎜32π − θ⎟⎟⎟⎠⎞⎟ ⋅ συν⎜⎜⎛⎝⎜π2 + θ⎟⎟⎠⎟⎟⎞ ⋅ εϕ(2π − θ) . συν ⎜⎛⎝⎜⎜ 52π + θ⎟⎟⎟⎟⎞⎠ ⋅ σϕ (−θ) ⋅ σϕ ⎜⎛⎝⎜⎜ π + θ⎞⎟⎟⎟⎟⎠ 2 Λύση Αριθμητής • ηµ⎜⎜⎜⎝⎛32π − θ⎠⎟⎟⎟⎟⎞ = −συνθ . • συν ⎜⎛⎜⎜⎝ π + θ⎟⎟⎟⎠⎞⎟ = −ηµθ . 2 • εϕ(2π − θ) = −εϕθ . Παρονομαστής • συν ⎜⎜⎝⎛⎜ 52π + θ⎠⎟⎞⎟⎟⎟ = συν ⎝⎜⎜⎛⎜ 4π 2+ π + θ⎠⎟⎟⎟⎟⎞ = συν ⎝⎜⎜⎛⎜ 42π + π + θ⎟⎞⎟⎠⎟⎟ = συν ⎜⎜⎛⎝⎜2π + π + θ⎟⎟⎟⎠⎞⎟ = 2 2 = συν ⎛⎜⎜⎝⎜ π + θ⎟⎞⎠⎟⎟⎟ = −ηµθ . 2 • σϕ(−θ) = −σϕθ . • σϕ⎜⎛⎜⎜⎝π2 + θ⎞⎠⎟⎟⎟⎟ = −εϕθ . Άρα είναι Α= − συνθ ⋅ (−ηµθ) ⋅ (−εϕθ) = συνθ = συνθ = ηµθ . −ηµθ ⋅(−σϕθ)⋅ (−εϕθ) σϕθ συνθ ηµθ - 38 - Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηματικών • www.mathsteki.gr

Άλγεβ ρ α Β΄ Λυ κεί ο υ • Κ ΕΦΑ Λ Α Ι Ο 3 • Τρ ι γωνομ ετρ ί α Παράγραφος 3 • Αναγωγή στο πρώτο τεταρτηµόριο • ΘΕΩΡΙΑ Παράδειγµα 27 Να δείξετε ότι ισχύει ⎜⎜⎝⎛⎜ x⎟⎠⎟⎞⎟⎟ ( )ηµ2 ηµ2 3π 3π ⋅ 2π 2π − x + 2 + + εϕ 5 σϕ 5 =0. Λύση Ονομάζοντας Α την παράσταση του αριστερού μέλους, θα δείξω ότι A = 0 . • ηµ(2π − x) = −ηµx . • ηµ⎜⎜⎜⎝⎛32π + x⎟⎟⎟⎟⎠⎞ = −συνx . • Ισχύει 3π + 2π = 5π = π ⇔ 3π = π− 2π , οπότε είναι 5 5 5 5 5 εϕ 3π = εϕ⎜⎜⎛⎜⎝π − 25π ⎟⎟⎞⎟⎟⎠ = −εϕ 2π . 5 5 Άρα είναι ( ) ( )Α = 2 + ⎜⎜⎜⎝⎛−εϕ 25π⎟⎟⎟⎟⎠⎞ ⋅ σϕ 2π 2π 2π −ηµx 2 + −συνx 5 = ηµ2x + συν2x − εϕ 5 ⋅ σϕ 5 = 1−1= 0. Παράδειγµα 28 Να βρείτε την τιμή της παράστασης ηµ ⎛⎝⎜⎜⎜ 5π + x⎟⎞⎟⎟⎠⎟ + συν⎜⎛⎝⎜⎜227π + x⎟⎠⎟⎞⎟⎟ 2 Α= . ⎛⎝⎜⎜⎜ 23π − x⎟⎟⎠⎟⎟⎞ + συν⎜⎜⎜⎝⎛332π x⎟⎞⎟⎟⎟⎠ ηµ 2 + Λύση Αριθμητής • ηµ ⎜⎝⎜⎛⎜ 52π + x⎞⎠⎟⎟⎟⎟ = ηµ ⎝⎛⎜⎜⎜ 4π + π + x⎠⎟⎟⎟⎟⎞ = ηµ ⎜⎛⎝⎜⎜ 4π + π + x⎠⎟⎞⎟⎟⎟ = ηµ⎜⎝⎛⎜⎜2π + π + x⎠⎟⎟⎟⎞⎟ = ηµ⎜⎜⎜⎝⎛π2 + x⎟⎟⎟⎞⎠⎟ = 2 2 2 2 = συνx . - 39 - Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηματικών • www.mathsteki.gr

Άλγεβ ρ α Β΄ Λυ κεί ο υ • Κ ΕΦΑ Λ Α Ι Ο 3 • Τρ ι γωνομ ετρ ί α Παράγραφος 3 • Αναγωγή στο πρώτο τεταρτηµόριο • ΘΕΩΡΙΑ • συν ⎜⎜⎜⎝⎛ 227π + x⎟⎠⎞⎟⎟⎟ = συν⎜⎝⎜⎜⎛24π2+ 3π + x⎠⎟⎞⎟⎟⎟ = συν⎜⎜⎛⎜⎝242π + 3π + x⎟⎠⎞⎟⎟⎟ = συν⎜⎛⎝⎜⎜12π + 3π + x⎟⎠⎟⎞⎟⎟ = 2 2 = συν⎜⎜⎝⎜⎛32π + x⎟⎟⎟⎞⎟⎠ = ηµx . Παρονομαστής • ηµ ⎛⎜⎝⎜⎜ 232π − x⎟⎟⎟⎠⎞⎟ = ηµ⎝⎜⎜⎜⎛24π2− π − x⎟⎞⎠⎟⎟⎟ = ηµ ⎜⎛⎝⎜⎜ 242π − π − x⎠⎟⎟⎞⎟⎟ = ηµ⎝⎜⎜⎜⎛12π − π − x⎟⎞⎠⎟⎟⎟ = 2 2 = ηµ ⎝⎛⎜⎜⎜− π − x⎟⎠⎟⎟⎞⎟ = ηµ ⎡⎢⎢⎣⎢ − ⎛⎜⎝⎜⎜ π + x⎞⎟⎟⎠⎟⎟ ⎥⎥⎦⎥⎤ = −ηµ⎜⎜⎝⎛⎜π2 + x⎟⎟⎠⎟⎟⎞ = −συνx . 2 2 • συν ⎜⎜⎜⎝⎛ 332π + x⎠⎟⎟⎟⎟⎞ = συν⎛⎜⎜⎝⎜32π2+ π + x⎞⎠⎟⎟⎟⎟ = συν ⎜⎝⎛⎜⎜ 322π + π + x⎟⎟⎟⎟⎞⎠ = συν⎛⎜⎜⎝⎜16π + π + x⎟⎠⎞⎟⎟⎟ = 2 2 = συν ⎜⎜⎜⎝⎛ π + x⎟⎟⎟⎟⎞⎠ = −ηµx . 2 Άρα είναι Α= συνx + ηµx = ηµx + συνx = −1 . −συνx − ηµx − (ηµx + συνx) - 40 - Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηματικών • www.mathsteki.gr

Μόνο εδώ θα βρεις τα αναλυτικότερα βιβλία Μαθηµατικών του διαδικτύου!