Μαθηματικά Γ΄Λυκείου Επαναληπτικά θέματα με ερωτήματα τα οποία περιλαμβάνουν Ρυθμό Μεταβολής (1 - 10) ⇒ d′(t) = 256 t+8− 2 t. 256 t2 +16 t−8 t +1 Το πρόσημο της d′(t) καθορίζει την μονοτονία και τα πιθανά ακρότατα της d(t) , άρα αυτό πρέπει να προσδιορίσουμε. Επειδή είναι 256 t2 +16 t−8 t +1 >0 , για κάθε t > 0 , το πρόσημο της d′(t) εξαρτάται από το πρόσημο του αριθμητή της. Επειδή ο αριθμητής δεν είναι «απλή» παράσταση ώστε να μπορούμε εύκολα να προσ- διορίσουμε το πρόσημό του, θα χρησιμοποιήσουμε βοηθητική συνάρτηση. Θεωρούμε την συνάρτηση ϕ(t) = 256 t+8− 2 , t>0 , t η οποία είναι παραγωγίσιμη στο (0,+∞) , ως πράξεις παραγωγίσιμων συναρτήσεων, με παράγωγο ( )ϕ′(t) = 256−2 ⋅ − t′ = 256+2 ⋅ 1 = 256+ 1 >0 , για κάθε t > 0 . t2 2t tt t Άρα η φ είναι γνησίως αύξουσα στο (0,+∞) . Παρακάτω θα εστιάσουμε στο διάστημα ⎜⎝⎜⎜⎛0 , 1 ⎥⎥⎤⎦ ⊆ (0,+∞) , αφού αναζητούμε τιμή 4 t0 ∈⎝⎜⎜⎛⎜0 , 1 ⎞⎟⎟⎠⎟ . 4 Επιπλέον, ως παραγωγίσιμη, η φ είναι και συνεχής στο (0,+∞) , άρα και στο ⎝⎜⎜⎜⎛0 , 1 ⎤⎥⎦⎥ ⊆ (0,+∞) . 4 - 50 - Θανάσης Νικολόπουλος • Καθηγητής Μαθηματικών
Μαθηματικά Γ΄Λυκείου Επαναληπτικά θέματα με ερωτήματα τα οποία περιλαμβάνουν Ρυθμό Μεταβολής (1 - 10) Συνεπώς, ϕ⎜⎜⎛⎝⎜⎜⎛⎜⎜⎝0 , 1 ⎥⎥⎦⎤ ⎟⎟⎠⎞⎟ = ⎜⎜⎝⎜⎛ ℓ im ϕ( t) , ϕ⎛⎜⎝⎜⎜ 1 ⎟⎠⎞⎟⎟ ⎤⎥⎥⎦ , 4 4 t→0+ όπου: • ℓim ϕ( t ) = ℓt→im0+⎜⎛⎝⎜⎜256 t + 8 − 2 ⋅ 1 ⎟⎟⎞⎟⎠ = 256 ⋅ 0+8−2 ⋅(+∞) =−∞ . t t→0+ • ϕ⎜⎜⎜⎛⎝ 1 ⎟⎟⎟⎠⎞ = 256 ⋅ 1 +8− 2 = 64 +8−4 = 68 . 4 4 1 4 Άρα είναι ϕ⎝⎜⎜⎛⎜⎝⎛⎜⎜⎜0 , 1 ⎥⎥⎦⎤ ⎠⎟⎟⎟⎞ = (−∞ , 68 ] . 4 Επειδή η φ είναι συνεχής και το 0 ∈ ϕ⎝⎜⎜⎜⎛⎛⎝⎜⎜⎜0 , 1 ⎥⎥⎤⎦ ⎟⎟⎟⎞⎠ = (−∞ , 68 ] , θα υπάρχει t0 ∈ ⎜⎜⎛⎝⎜0 , 1 ⎠⎞⎟⎟⎟ , 4 4 ώστε ϕ(t0 ) = 0 , δηλαδή η φ έχει μία τουλάχιστον ρίζα t0 ∈⎛⎜⎜⎝⎜0 , 1 ⎞⎠⎟⎟⎟ . 4 Επιπλέον, επειδή η φ είναι γνησίως αύξουσα, η ρίζα αυτή θα είναι μοναδική. Για το πρόσημο της ϕ(t) , άρα και της d′(t) , έχουμε: • d′( t) > 0 ⇔ ϕ( t ) > 0 ⇔ ϕ( t) > ϕ( t0 ) ϕ↑ t > t0 ⇔ και • d′( t) < 0 ⇔ ϕ( t ) < 0 ⇔ ϕ( t) < ϕ( t0 ) ϕ↓ t < t0 . ⇔ Έτσι προκύπτει ο διπλανός πίνακας μονοτονίας t0 t0 1 +∞ της d(t) , από τον οποίο συμπεραίνουμε ότι η 4 d′(t) συνάρτηση d(t) είναι γνησίως φθίνουσα στο d(t) 2 + διάστημα [0, t0 ] , γνησίως αύξουσα στο [t0 ,+∞) 1 και παίρνει ελάχιστη τιμή για - 51 - Θανάσης Νικολόπουλος • Καθηγητής Μαθηματικών
Μαθηματικά Γ΄Λυκείου Επαναληπτικά θέματα με ερωτήματα τα οποία περιλαμβάνουν Ρυθμό Μεταβολής (1 - 10) t = t0 ∈⎛⎜⎝⎜⎜0 , 1 ⎟⎟⎞⎟⎠ . 4 Συνεπώς, υπάρχει χρονική στιγμή t0 ∈⎜⎝⎜⎜⎛0 , 1 ⎟⎟⎞⎠⎟ , κατά την οποία η απόσταση του παρα- 4 τηρητή από το κινητό γίνεται ελάχιστη. Παρατήρηση Το θέμα αυτό ήταν το Γ’ θέμα στις Επαναληπτικές Πανελλαδικές Εξετάσεις του 2011. Αναλυτικός σχολιασμός της εκφώνησης του θέματος Αφού είδαμε τις απαντήσεις στα ερωτήματα του θέματος, αξίζει να προσέξουμε μερι- κές λεπτομέρειες στην εκφώνηση. Αρχικά, μας δίνεται σχήμα, το οποίο δίνει πολλές χρήσιμες πληροφορίες. Μία βασική είναι η φορά κίνησης του σημείου Μ. Όπως έχουμε επισημάνει και στις παρατηρήσεις της μεθοδολογίας, αν δεν γνωρίζουμε το πρόσημο του εκάστοτε ρυθμού μεταβολής, δεν είμαστε βέβαιοι για το είδος της μεταβολής, οπότε δουλεύουμε με αριθμητικές τι- μές και χρησιμοποιούμε την γενική έκφραση «μεταβολή». Εδώ η εκφώνηση, εκτός του δεδομένου ρυθμού μεταβολής της τετμημένης του κινη- τού Μ, μας δίνει και την φορά κίνησης στο σχήμα με τα σημειωμένα βέλη, ώστε να εί- ναι ξεκάθαρο ότι ο ρυθμός μεταβολής είναι θετικός, καθώς η τετμημένη του Μ αυξά- νεται. Εκτός του σχήματος, άλλη μία σημαντική πληροφορία κρύβει η έκφραση «από την αρχή Ο», στην δεύτερη σειρά της εκφώνησης. Αυτή πρακτικά μας δηλώνει ότι η αρχή της κίνησης, δηλαδή η θέση του κινητού την χρονική στιγμή t = 0 , είναι το σημείο Ο. Το σχήμα, τέλος, μας δίνει άλλη μία χρήσιμη πληροφορία, που είναι η θέση της γραφι- κής παράστασης σε σχέση με την εφαπτόμενη ευθεία ΠΑ. Αν και η πληροφορία αυτή - 52 - Θανάσης Νικολόπουλος • Καθηγητής Μαθηματικών
Μαθηματικά Γ΄Λυκείου Επαναληπτικά θέματα με ερωτήματα τα οποία περιλαμβάνουν Ρυθμό Μεταβολής (1 - 10) μπορεί να βρεθεί και αλγεβρικά, ο υποψήφιος μπορεί να την εξάγει άμεσα και από το δεδομένο σχήμα και να την αξιοποιήσει χωρίς περαιτέρω αιτιολόγηση. Έχουμε πει ότι είναι ευθύνη του θεματοδότη η εκφώνηση να είναι πλήρης ως προς τις πληροφορίες που παρέχει για την λύση του θέματος. Εδώ βλέπουμε την καλή δουλειά που έχει γίνει, ώστε ο υποψήφιος να έχει όλα τα στοιχεία που χρειάζεται για να λύσει το θέμα. - 53 - Θανάσης Νικολόπουλος • Καθηγητής Μαθηματικών
Μαθηματικά Γ΄Λυκείου Επαναληπτικά θέματα με ερωτήματα τα οποία περιλαμβάνουν Ρυθμό Μεταβολής (1 - 10) Θέμα 10 ∆ίνεται η συνάρτηση f : ! → ! , με f(x) = x3 . α) Να αποδείξετε ότι η f είναι συνάρτηση 1-1 και να βρείτε την αντίστροφη συνάρτη- ση f −1 . β) Να αποδείξετε ότι, για κάθε x > 0 , ισχύει f(ηµx)> f⎛⎝⎜⎜⎜x− 1 x 3 ⎟⎟⎟⎞⎠ . 6 γ) Ένα σημείο Μ κινείται κατά μήκος της καμπύλης y = x3, x ≥ 0 , με x = x(t) και y = y(t) . Να βρείτε σε ποιο σημείο της καμπύλης ο ρυθμός μεταβολής της τεταγμένης y(t) του Μ είναι ίσος με τον ρυθμό μεταβολής της τετμημένης x(t) , αν υποτεθεί ότι x′(t) > 0 , για κάθε t ≥ 0 . δ) Αν g: ! → ! είναι συνεχής και άρτια συνάρτηση, να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα 1 ∫ f(x) ⋅ g(x)dx . −1 α) Η f είναι παραγωγίσιμη στο ! , στο οποίο είναι συνεχής και γνησίως αύξουσα, οπότε είναι 1-1. Για την αντίστροφή της, παρατηρούμε ότι y = f(x) ⇔ y = x3 ⇔ ⎪⎪⎪⎩⎪⎧⎪⎨⎪ x = 3 y , αν y ≥0 ⎪⎭⎬⎪⎪⎪⎪⎫⎪ , x =− 3 y , αν y <0 άρα - 54 - Θανάσης Νικολόπουλος • Καθηγητής Μαθηματικών
Μαθηματικά Γ΄Λυκείου Επαναληπτικά θέματα με ερωτήματα τα οποία περιλαμβάνουν Ρυθμό Μεταβολής (1 - 10) f −1(x) = ⎪⎨⎪⎪⎪⎩⎧⎪⎪ 3 x , αν x ≥0 . − 3 x , αν x <0 Σχόλιο Η μονοτονία της f μπορεί να βρεθεί και με τον κλασικό τρόπο, δηλαδή την χρήση της παραγώγου της f. Πράγματι, είναι f ′(x) = 3x2 >0 , για κάθε x ≠ 0 . Όμως, επειδή η f είναι συνεχής στο 0 (αφού είναι παραγωγίσιμη στο ! , είναι και συνεχής στο ! , άρα και στο 0), συμπεραί- νουμε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα στο ! , οπότε είναι και 1-1. Υπενθυμίζεται ότι, όταν η f ′(x) μηδενίζεται σε πεπερασμένου πλήθους σημεία (στις ασκήσεις που αντιμετωπίζουμε, αυτό συνήθως συμβαίνει σε ένα ή δύο, το πολύ, ση- μεία), στα οποία όμως η f είναι συνεχής και εκατέρωθεν αυτών η f ′(x) διατηρεί σταθε- ρό πρόσημο, τότε η μονοτονία της f είναι σταθερή. β) Αφού η f είναι γνησίως αύξουσα στο ! , η ζητούμενη ανισότητα ισοδύναμα γράφεται ηµx > x− 1 x3 ⇔ ηµx−x + 1 x3 >0 . 6 6 Να πούμε εδώ ότι, σύμφωνα με τις διδακτικές οδηγίες του Υπουργείου για το σχολικό έτος 2017-18, θεωρείται δεδομένη και χρησιμοποιείται χωρίς απόδειξη η πρόταση: Αν η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα σε διάστημα ∆, τότε για κάθε x1, x2 ∈Δ ισχύει η ισοδυναμία: x1 < x2 ⇔ f(x1) < f(x2 ) . - 55 - Θανάσης Νικολόπουλος • Καθηγητής Μαθηματικών
Μαθηματικά Γ΄Λυκείου Επαναληπτικά θέματα με ερωτήματα τα οποία περιλαμβάνουν Ρυθμό Μεταβολής (1 - 10) Θεωρούμε την συνάρτηση g(x) = ηµx−x + 1 x3 , x≥0 . 6 Τότε θα δείξουμε ότι g(x)>0 , για κάθε x >0 . Η συνάρτηση g μπορεί να οριστεί και σε όλο το ! , αλλά καθώς θέλουμε να αποδεί- ξουμε την ανισότητα (1) για κάθε x >0 , μπορούμε να περιοριστούμε για την g στο [0,+∞) . Η g είναι δύο φορές παραγωγίσιμη στο [0,+∞) , ως διαφορά παραγωγίσιμων συναρ- τήσεων, με g′(x) = συνx−1+ x2 ⇒ g′′(x) =−ηµx + x , x ≥0 . 2 Γνωρίζουμε ότι, για κάθε x ∈ ! , ισχύει |ηµx| ≤| x | , με την ισότητα να ισχύει μόνο για x=0 . Άρα, για κάθε x >0 , ισχύει 0 <ηµx < x ⇔−ηµx + x >0 . Τότε είναι g′′(x)>0 στο (0,+∞) , το οποίο σημαίνει ότι η g′ είναι γνησίως αύξουσα στο [0,+∞) . Άρα, για κάθε x >0 , ισχύει g′(x)>g′(0) ⇔ g′(x)>συν0−1+ 02 ⇔ g′(x)>0 . 2 Συνεπώς και η g είναι γνησίως αύξουσα στο [0,+∞) , οπότε για κάθε x >0 έχουμε g(x)>g(0) ⇔ g(x)>ηµ0−0+ 03 ⇔ g( x ) > 0 . 6 - 56 - Θανάσης Νικολόπουλος • Καθηγητής Μαθηματικών
Μαθηματικά Γ΄Λυκείου Επαναληπτικά θέματα με ερωτήματα τα οποία περιλαμβάνουν Ρυθμό Μεταβολής (1 - 10) γ) Αυτό είναι το ερώτημα του θέματος το οποίο αφορά Ρυθμό Μεταβολής. Από την εκφώνηση έχουμε ότι το σημείο Μ κινείται κατά μήκος της καμπύλης y = x3 , x ≥0 , με τις συντεταγμένες του να μεταβάλλονται συναρτήσει του χρόνου, δηλαδή να είναι της μορφής (x(t) , y(t)) , t ≥ 0 , με y(t) = x3(t) και x(t) ≥ 0 . Τότε, y′(t) = ⎡⎣x3(t)⎤⎦′ = 3x2(t) ⋅ x′(t) , t ≥ 0 . Έστω t0 η χρονική στιγμή κατά την οποία ο ρυθμός μεταβολής της τεταγμένης y(t) του Μ είναι ίσος με τον ρυθμό μεταβολής της τετμημένης του x(t) , όπου ισχύει επι- πλέον και x′(t)>0 , για κάθε t ≥ 0 . Άρα, ισχύουν: • y′(t0 ) = x′(t0 ) και • y′( t0 ) = 3x2( t0 ) ⋅ x′( t0 ) ⇒y′(t0 )= x′(t0 ) x′( t0 ) = 3x2( t0 ) ⋅ x′( t0 ) ⇒x′(t0 )>0 3x2( t0 ) =1. Επομένως, x2(t0 )= 1 ⇔x( t0 )>0 x( t0 ) = 1 = 1= 3 . 3 3 3 3 Τότε είναι y(t0 ) = x3(t0 ) = ⎜⎜⎜⎜⎛⎝ 3 ⎟⎠⎞⎟⎟⎟3 = 33 = 3 . 3 27 9 Συνεπώς, το ζητούμενο σημείο της καμπύλης στο οποίο ο ρυθμός μεταβολής της τεταγμένης του Μ είναι ίσος με τον ρυθμό μεταβολής της τετμημένης του, είναι το - 57 - Θανάσης Νικολόπουλος • Καθηγητής Μαθηματικών
Μαθηματικά Γ΄Λυκείου Επαναληπτικά θέματα με ερωτήματα τα οποία περιλαμβάνουν Ρυθμό Μεταβολής (1 - 10) Μ⎜⎜⎛⎝⎜⎜ 3 , 3 ⎟⎟⎟⎠⎞⎟ . 3 9 δ) Η συνάρτηση g: ! → ! είναι συνεχής και άρτια, άρα για κάθε x ∈Dg = ! , και το − x ∈Dg = ! , ενώ ισχύει και g(−x) = g(x) . 1ος τρόπος Το ζητούμενο ολοκλήρωμα γράφεται 1 101 ∫ ∫ ∫ ∫Ι = f(x) ⋅ g(x)dx = x3g(x)dx = x3g(x)dx+ x3g(x)dx . −1 −1 −1 0 Στο ολοκλήρωμα 0 θέτουμε u = − x . ∫Ι1 = x3g(x)dx −1 Τότε είναι x = − u , άρα dx = − du . Για x =−1 είναι u = 1, ενώ για x = 0 είναι u = 0 . Άρα, 00 0 συνεπώς ∫ ∫ ∫Ι1 = x3g(x)dx = (−u)3 g(−u)(−du)= u3g(u)du , −1 1 1 0101 1 ∫ ∫ ∫ ∫ ∫Ι = u3g(u)du+ x3g(x)dx = x3g(x)dx+ x3g(x)dx = x3g(x)dx = 0 ⇒ 10 10 1 - 58 - Θανάσης Νικολόπουλος • Καθηγητής Μαθηματικών
Μαθηματικά Γ΄Λυκείου Επαναληπτικά θέματα με ερωτήματα τα οποία περιλαμβάνουν Ρυθμό Μεταβολής (1 - 10) −1 ∫⇒ f(x)g(x)dx = 0 . −1 2ος τρόπος Πρόκειται πρακτικά για παραλλαγή του 1ου τρόπου. Εδώ αποφεύγουμε την διάσπαση του ολοκληρώματος. Έστω 1 το ζητούμενο ολοκλήρωμα. ∫Ι = f(x) ⋅ g(x)dx Θέτουμε u = − x . −1 Τότε είναι x = − u , άρα dx = − du , ενώ για x =−1 είναι u = 1 και για x =1 είναι u = −1, οπότε το ολοκλήρωμα γίνεται 1 −1 −1 g( −u) = g( u ) ∫ ∫ ∫Ι= (−u)3 g(−u)(−du) = f(x) ⋅ g(x)dx = f(−u) ⋅ g(−u)(−du) = −1 1 1 −1 1 1 ∫ ∫ ∫= u3g(u)du= − u3g(u)du ⇒ Ι =− x3g(x)dx =− Ι . 1 −1 −1 Συνεπώς, Ι =−Ι ⇔ 2⋅Ι = 0 ⇔ Ι = 0 , −1 ∫δηλαδή f(x) ⋅ g(x)dx = 0 . −1 - 59 - Θανάσης Νικολόπουλος • Καθηγητής Μαθηματικών
Μαθηματικά Γ΄Λυκείου Επαναληπτικά θέματα με ερωτήματα τα οποία περιλαμβάνουν Ρυθμό Μεταβολής (1 - 10) Παρατήρηση Το θέμα αυτό ήταν το Θέμα Γ’ στις Επαναληπτικές Πανελλαδικές Εξετάσεις του 2016. - 60 - Θανάσης Νικολόπουλος • Καθηγητής Μαθηματικών
ΤΟ ΒΙΒΛΙΟ ∆ΕΝ ΠΩΛΕΙΤΑΙ ΣΕ ΚΑΝΕΝΑ ΒΙΒΛΙΟΠΩΛΕΙΟ ! Αποτελεί την έντυπη έκδοση του αντίστοιχου έργου που διατίθεται ελεύθερα μέσω της ιστοσελίδας “Μαθηματικό στέκι”. Θα το βρείτε στην διεύθυνση www.mathsteki.gr
Search
