ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ - Κεφάλαιο 3

EHMEIQEH 3 845/0ME Earp'm pea Toe . * 6h feel ul Vo Vtol 01 on pea v Tiko TE @ ES Ipo Toi Itepisootepa * ohpeaivouv been media on eivae ΚΕΦΑΛΑΙΟ MOAI on pear Tiki 's . TPOSOXH ! ' ripotoioecsffewpnpeata Ter e' xo w * , Tev onufaivei be , Jer Tisciabafoupee otnvoewpia ! Oses ΤΡΙΓΩΝΑ I' TEV Eivoec on pear T Ike 's OTI Στο κεφάλαιο αυτό ασχολούμαστε με το πλέον θεμελιώδες σχήμα της Ευκλείδειας Γεωμετρίας, που είναι το τρίγωνο. Αρχικά δίνουμε τα κριτήρια ισότητας των τριγώνων. Ως εφαρμογή των κριτηρίων αυτών παρουσιάζουμε ιδιότητες των στοιχείων του κύκλου, των ισοσκελών τριγώ- νων, της μεσοκαθέτου ευθύγραμμου τμήματος και της διχοτόμου μιας γωνίας. Η μεσοκάθετος και η διχοτόμος εξετάζονται και ως βασικοί γεωμετρικοί τόποι. Στη συνέχεια αναφέρουμε συνοπτικά την έννοια της συμμετρίας ως προς κέντρο και άξονα και μελετάμε ανισοτικές σχέσεις στο τρίγωνο και τις εφαρμογές τους στη σύγκριση κάθετων και πλάγιων τμημάτων. Επίσης, παρουσιάζουμε τις σχετικές θέσεις ευθείας και κύκλου, καθώς και τις σχετικές θέσεις δύο κύκλων. Το κεφάλαιο κλείνει με κάποιες βασικές γεωμετρικές κατασκευές. Ο Θησαυρός των Αθηναίων στους Δελφούς, 508 π.Χ. Αναπαράσταση A. Tournaire 39

ΕΥΚΛΕΙ∆ΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ A 3.1 Στοιχεία και είδη τριγώνων γ β Ένα τρίγωνο ΑΒΓ (σχ.1) έχει τρεις κορυφές Α, Β, Γ, τρεις πλευρές ΒΓ, ΓΑ, ΑΒ και τρεις γωνίες ΒÂΓ, AB̂ Γ και ΒΓ̂ Α. Bα Γ Για ευκολία οι πλευρές ΒΓ, ΓΑ, ΑΒ συμβολίζονται με α, β, Moiaeivoec A Σχήµα 1 γ αντίστοιχα, και οι γωνίες ΒÂΓ, ΑB̂ Γ και ΒΓ̂ Α με Â, B̂ και Γ̂ . Οι πλευρές και οι γωνίες ενός τριγώνου λέγονται κύρια Takioeioe στοιχεία του τριγώνου. Το άθροισμα α + β + γ των πλευ- ρών του τριγώνου, δηλαδή η περίμετρός του συμβολίζεται OTOIXEioeE.ro 's συνήθως με 2τ. Συγκρίνοντας τις πλευρές ενός τριγώνου, μεταξύ τους, προκύπτουν τρία είδη τριγώνων: το σκαληνό, Tfljurou το ισοσκελές και το ισόπλευρο. Έτσι, ένα τρίγωνο λέγεται: σκαληνό Γ B Σχήµα 2 ' A • σκαληνό, όταν έχει όλες τις πλευρές του άνισες (σχ.2), Eton Kopugn ← • ισοσκελές, όταν έχει δύο πλευρές του ίσες (σχ.3). Σε ένα Tpigwvwr ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ με ΑΒ = ΑΓ η πλευρά ΒΓ λέγε- 1606K EX ou 's ται βάση του και το Α κορυφή του, wstlpos Teijwvou ισο- • ισόπλευρο, όταν έχει όλες τις πλευρές του ίσες (σχ.4). TIS M7EupEs σκελές Babu ou 's TOUS 1605K IB Γ Σχήµα 3 Tfljwvou Ένα τρίγωνο, ανάλογα με το είδος των γωνιών του, λέγεται A • οξυγώνιο, όταν έχει όλες τις γωνίες του οξείες (σχ.5), ισό- • ορθογώνιο, όταν έχει μια γωνία ορθή (σχ.6). Σε ένα ορ- Eion πλευρο θογώνιο τρίγωνο η πλευρά που βρίσκεται απέναντι από BΓ την ορθή γωνία λέγεται υποτείνουσα και οι άλλες δύο Tfcjwvwr λέγονται κάθετες πλευρές του τριγώνου, Σχήµα 4 wsoipos A TIS juries TOUS • αμβλυγώνιο, όταν έχει μια γωνία αμβλεία (σχ.7). B οξυγώνιο Γ ► ∆ευτερεύοντα στοιχεία τριγώνου Σχήµα 5 Διάμεσος ενός τριγώνου λέγεται το ευθύγραμμο τμήμα που ← ενώνει μια κορυφή με το μέσο της απέναντι πλευράς. Στο σχ.8 το ευθύγραμμο τμήμα Α είναι η διάμεσος που αντι- op@ ogwviou Γ Tiovopeasoyyoc στοιχεί στην πλευρά α του τριγώνου ΑΒΓ και συμβολίζεται 8cohµE608E με μα. Οι διάμεσοι που αντιστοιχούν στις πλευρές β και γ Tpiywvou συμβολίζονται με μβ και μγ αντίστοιχα. ' YMoteivouoa.gg Διχοτόμος μιας γωνίας ενός τριγώνου λέγεται το ευθύγραμ- ITPOECXH ! Koicetestileupe's Evateiywvo μο τμήμα της διχοτόμου της γωνίας, από την κορυφή της → ορθο- μέχρι την απέναντι πλευρά. Στο σχ.9 το ευθύγραμμο τμήμα - op9ogwviou B ΑΔ είναι η διχοτόμος της γωνίας Â του τριγώνου και συμβο- ✓A γώνιο Σχήµα 6 λίζεται με δα. Οι διχοτόμοι των γωνιών B̂ και Γ̂ του τριγώνου ltwssupebo - Tpcjwvou συμβολίζονται με δβ και δγ αντίστοιχα. Digital Oc 81480L ← lTPt ! Γ Tiovopeoinfoupee Itwsoyubo - 81×01-8140 Mlas Xi5oVTaI Ol 81×0501/401 juries see 've Tpijwvo αμβλυγώνιο AB Σχήµα 7 40

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3. ΤΡΙΓΩΝΑ A. ← And To Age'p✓w ( BYKoiOETnnposTnV Euforia (E) -1 ., A Tiovopeagoyue ← Ύψος τριγώνου λέγεται το κάθετο ευθύγραμμο τμήμα, που To AB To B i iluosseevoe φέρεται από μια κορυφή προς την ευθεία της απέναντι πλευ- ; 7685cal ράς. Τα ύψη που φέρονται από τις κορυφές Α, Β και Γ συμ- Tpigwro βολίζονται αντίστοιχα με υα, υβ και υγ. ITPOEOXH ! Tejera , i TOVA μα - ; 1706075 Γ card ITN's 84460 - -i tioivwothvce ) B IIXVOSStash , n' 7i3orToec Toe ' - Triska I , ' f Q E Tou 1700 Στο σχ.10 το ΑΔ είναι το ύψος από την κορυφή Α. Το σημείο July capo Σχήµα 8 Three ) f goipvw Δ λέγεται προβολή του Α πάνω στην ευθεία ΒΓ ή και ίχνος I 01176 ATO ocnu ( E ) της καθέτου, που φέρεται από το Α στην ευθεία ΒΓ. ToA Οι διάμεσοι, οι διχοτόμοι και τα ύψη ενός τριγώνου λέγο- Tloioeeivai Toe TEUTE TENIKA δα νται δευτερεύοντα στοιχεία του. B @EdoVToeGTo1XEioeErdsTpcycevouisiin.iΔ Γ Κριτήρια ισότητας τριγώνων Σχήµα 9 Είδαμε ότι δύο ευθύγραμμα σχήματα, επομένως και δύο τρί- γωνα, είναι ίσα αν μετά από κατάλληλη μετατόπιση ταυτί- ζονται. Συνεπώς: υα A (α) :OB Δ A FOUA(β) • Δύο ίσα τρίγωνα έχουν τις πλευρές τους και τις γωνίες : τους ίσες μία προς μία. Γ Tpiywvwv • Σε δύο ίσα τρίγωνα απέναντι από ίσες πλευρές βρί- σκονται ίσες γωνίες και αντίστροφα. Totes M7EopE's oropeoifovtoec Οι ίσες πλευρές που βρίσκονται απέναντι από ίσες γωνίες 014870 yes ' n υα λέγονται αντίστοιχες ή ομόλογες. OCVTIOTOIXES ocasio isoe Στην ενότητα αυτή θα δώσουμε προτάσεις, που θα μας εξα- Teigwvoe ΔB Γ σφαλίζουν την ισότητα δύο τριγώνων από την ισότητα τριών μόνο κατάλληλων στοιχείων τους. Σχήµα 10 Οι προτάσεις αυτές αποτελούν τα κριτήρια ισότητας τρι- γώνων. ΣΧΟΛΙΟ 3.2 1ο Κριτήριο ισότητας τριγώνων *** Η συντομογραφία ΠΓΠ σημαί- ΘΕΩΡΗΜΑ Ι (1 ο Κριτήριο – ΠΓΠ) νει πλευρά, γωνία, πλευρά. Αν δύο τρίγωνα έχουν δύο πλευρές ίσες μία προς μία και τις περιεχόμενες σε αυτές γωνίες ίσες, τότε είναι ίσα. A Γ ΑΠΟ∆ΕΙΞΗ Γʹ B Σχήµα 11 Ας υποθέσουμε ότι τα τρίγωνα ΑΒΓ και ΑʹΒʹΓʹ έχουν Aʹ ΑΒ = ΑʹΒʹ, ΑΓ = ΑʹΓʹ και Â = Âʹ (σχ.11). ετατοπίζουμε το τρίγωνο ΑʹΒʹΓʹ, ώστε το σημείο Αʹ να ταυτιστεί με το Α Bʹ και η ημιευθεία ΑʹΒʹ να ταυτιστεί με την ΑΒ. Επειδή Â = Âʹ και η ημιευθεία ΑʹΓʹ θα ταυτισθεί με την ΑΓ. Τότε, αφού ΑΒ = ΑʹΒʹ και ΑΓ = ΑʹΓʹ, το σημείο Βʹ ταυτίζεται με το Β και το Γʹ με το Γ. Επομένως τα δύο τρίγωνα συμπίπτουν, άρα είναι ίσα. 41

ΕΥΚΛΕΙ∆ΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ \" ' \" Meta geary Tns Ekg earns a- \" ( Exec and0 peeioon 5047. . I .. . . • •o ΠΟΡΙΣΜΑ Ι ** Σε κάθε ισοσκελές τρίγωνο: E Thu Xd }n \" '\" u Mode XEI y Evvoia BAE 're Ioane x El • Οι προσκείμενες στη βάση γωνίες είναι ίσες. swipe a Tns and seasons . M d xp I OTI 8µm 's E' xou ME • Η διχοτόμος της γωνίας της κορυφής είναι διάμεσος 12 και ύψος. 840 Elfin aerostat SEIS : a) ' Evo 's on peeiou and ' era oh 770 Ano stash on Mei o , mono in Eira i ion pie To µ 'm Kos Tou Eutfvgpoyupeou then yea Tos Mou Era 've Toe ΑΠΟ∆ΕΙΞΗ Sdo on peeioe . A B Έστω ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ με ΑΒ = ΑΓ (σχ.12). Mp I MEI VoeA 12 Kata Aoi Gou µ E. . ↳au Eira I 01 demo - Φέρουμε τη διχοτόμο του ΑΔ. Τα τρίγωνα ΑΔΒ και ΑΔΓ It and Ota on too A έχουν ΑΒ = ΑΓ, ΑΔ κοινή και Â1 = Â2 (ΠΓΠ), επομένως είναι ίσα, οπότε B̂ = Γ̂ . (and To B a Hoi 12 BΔ Γ Kai n and stash Από την ίδια ισότητα τριγώνων προκύπτει ότι ΒΔ = ΔΓ, οπό- Σχήµα 12 Tou B and To A) . b) ' ' and Moe eutfeia τε η ΑΔ είναι διάμεσος κ=α1ι8Δ̂01°=πΔρ̂ ο2.κΑύππτόετι ηόντιτΔε̂ λ1 ε=υΔτ̂α2ί=α ισό- Aro stash , τητα και επειδή Δ̂ 1 + Δ̂ 2 90°, Evo 's on pea ou monoid Eivoei ' Tou Koel OETOU οπότε συμπεραίνουμε ότι το ΑΔ είναι ύψος του τριγώνου. ion pee TO pen Kos Turi pea Tos now g EY route E and TO A neos Tn V E of Eia A. . } ΠΟΡΙΣΜΑ ΙIHeard→ stash Too onpeeiou A' Euoeia ano Thu • Οι γωνίες ισόπλευρου τριγώνου είναι ίσες. B CE ) . AIJOVT as \" To andloan Exel \" peeioon . .. - -- Gyu faire , To EJ n' s : ε ΠΟΡΙΣΜΑ III ** * peetpoupee Tio άθε σημείο της μεσοκαθέτου ενός ευθύγραμμου τμήμα- cias: t ::÷:i::÷τος ισαπέχει από τα άκρα του. O Moi ES BE ki voir V ' auto ; Evo 's Tpe n' pea Tos 0478 To safe Edo Tl on peas v El ένα ' 12 ΑΠΟ∆ΕΙΞΗ A BMou lavage petal Έστω ε η μεσοκάθετος ενός τμήματος ΑΒ (σχ.13) και potash6Th V 17 . Σχήµα 13 σημείο της. Τα τρίγωνα Α και Β έχουν Α = Β, κοινή και K̂ 1 = K̂ 2 = 90° (ΠΓΠ), επομένως είναι ίσα, stares auto 'u Tou on Eiou and µ οπότε Α = Β. Silo ai 7701 on peeioe is ol arose Todo Els ow Toil Too on peeiou and Sio Eu Fei ES n' av n µ ia and - ΠΟΡΙΣΜΑ ΙV stash Ei von Ouro b Tou only Eiou e'' Voe ol 770 Αν δύο τόξα ενός κύκλου είναι ίσα, τότε και οι χορδές ** τους είναι ίσες. Δ camo srnpeeio Koel n Ted Iepn and - stash Eira , n Γ 917861-964 ow Tout Ο ΑΠΟ∆ΕΙΞΗ TOU On pl oEu Eand B Έστω A͡ B και Γ͡ Δ δύο ίσα τόξα ενός κύκλου (Ο, ρ) (σχ.14). Τότε είναι ΑÔΒ = ΓÔΔ. Τα τρίγωνα ΟΑΒ και ΟΓΔ έχουν Mia eufeia A ΟΑ = ΟΓ(= ρ), ΟΒ = ΟΔ(= ρ) και ΑÔΒ = ΓÔΔ. Επομένως . Σχήµα 14 είναι ίσα, οπότε ΑΒ = ΓΔ. \"' 01701 ES AMO tis Mapam od Vw ARO - OTOH Els Kl AV Eivoei , peeta } I To us for Eira , ires . 42

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3. ΤΡΙΓΩΝΑ ΕΦΑΡΜΟΓΗ Δίνεται ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ, η μεσοκάθετός του ε Δ εΓ και σημείο της ε (σχ.15). Στις προεκτάσεις των Α και Β προς το παίρνουμε αντίστοιχα τα σημεία Γ, 12 Δ, ώστε Γ = Δ. α αποδείξετε ότι: AB i) MÂB = MB̂ A, ii) ΑΔ = ΒΓ. Λύση Σχήµα 15 i) Επειδή το είναι σημείο της μεσοκαθέτου ε του ΑΒ είναι Α = Β, επομένως το τρίγωνο ΑΒ είναι ισοσκελές, οπότε MÂB = MB̂ A. ii) Τα τρίγωνα ΑΔ και ΒΓ έχουν Α = Β, Γ = Δ (υπόθεση) και M̂ 1 = M̂ 2 (κατακορυφήν), άρα (ΠΓΠ) είναι ίσα, οπότε ΑΔ = ΒΓ. Anta Fi ' otar lui Jusee a desk non Tei Tai ra Fei Joya e bei Siro Turi poeta JuEivai ' ' bei Tuo yw vies Eira , i sees META } I is a peeta us y Tous y To , ΣΧΟΛΙΟ palm' peas s KEY n ripe'M El Voe Ei val va b poipre Silo Tei yuva H ισότητα τριγώνων είναι η βασι- To TE m n κή μέθοδος για την απόδειξη της ισότητας τμημάτων ή γωνιών. IMou Xouv us MAE ope's ' now peas evince Ipo w , Vca Va Toe Teen Mata Ta oujkpivoupee Kai ra b is a. To ' Te Kai Ta 5htoute Era TH n' pea Toe Qa eiva , is a . youu \"' Koel EVE pyo 'uµE , on 0£70 YUE Voe a noted }ouµE be , Oyola 8K Eq to peas TE Flo ywvieseiva , i res . MPOEOXH ! Yreodpxouv a p ke ' a' 7701 ' yea ra Sei fo u fee bee 8 do ' Toc Teo no , Tun pea Tani ' eivoec ! Silo gravies eiva , ira peeta }i ItTo us . ou pep , on Tel galvan pots EVAL ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ Ασκήσεις Εµπέδωσης Αποδεικτικές Ασκήσεις 1. Στις προεκτάσεις των πλευρών ΒΑ, ΓΑ 1. Έστω τρίγωνο ΑΒΓ και σημείο εξωτε- ρικό του τριγώνου. Αν στις προεκτάσεις ενός τριγώνου ΑΒΓ θεωρούμε τμήματα των Α , Β , Γ θεωρήσουμε τμήματα Δ = Α , Ε = Β , Ζ = Γ , να απο- ΑΔ = ΑΒ και ΑΕ = ΑΓ αντίστοιχα. α δείξετε ότι ΕΔ̂ Ζ = ΒÂΓ. αποδείξετε ότι ΒΕ = ΓΔ. 2. Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ. Στις προ- εκτάσεις των ίσων πλευρών του ΒΑ, ΓΑ 2. Σε ισόπλευρο τρίγωνο ΑΒΓ προεκτεί- θεωρούμε ίσα τμήματα ΑΔ, ΑΕ αντίστοιχα. Αν το μέσο της βάσης ΒΓ, να αποδείξετε νουμε τις πλευρές ΑΒ, ΒΓ, ΓΑ και στις ότι το τρίγωνο ΔΕ είναι ισοσκελές. προεκτάσεις τους θεωρούμε τμήματα 3. Δίνεται κύκλος κέντρου Ο και χορδή του ΑΒ. Προεκτείνουμε την ΑΒ και προς Β = Γ = Α . α αποδείξετε ότι το τρί- τα δύο της άκρα, κατά ίσα τμήματα ΑΓ και ΒΔ αντίστοιχα. α αποδείξετε ότι γωνο είναι ισόπλευρο. ΟΓ̂ Α = ΟΔ̂ Β. 3. α αποδείξετε ότι στις ομόλογες πλευρές δύο ίσων τριγώνων αντιστοιχούν ίσες διάμεσοι. 4. Έστω τρίγωνο ΑΒΓ και ΑΔ η διχοτό- μος της Â στην οποία θεωρούμε τμήματα ΑΕ = ΑΒ και ΑΖ = ΑΓ. α αποδείξετε ότι ΑΓ̂ Ε = ΑẐB. 43

ΕΥΚΛΕΙ∆ΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΣΧΟΛΙΟ 3.3 2ο Κριτήριο ισότητας τριγώνων Η συντομογραφία ΓΠΓ σημαίνει ε τη βοήθεια του 1ου κριτηρίου αποδεικνύουμε το 2ο και γωνία, πλευρά, γωνία. 3ο κριτήριο ισότητας τριγώνων. ΘΕΩΡΗΜΑ (2 ο Κριτήριο – ΓΠΓ) * ** A Αν δύο τρίγωνα έχουν μια πλευρά και τις προσκείμενες σε Δ αυτή γωνίες ίσες μία προς μία, τότε τα τρίγωνα είναι ίσα. B Γ ΑΠΟ∆ΕΙΞΗ Aʹ Έστω ότι τα τρίγωνα ΑΒΓ και ΑʹΒʹΓʹ (σχ.16) έχουν Bʹ Γʹ ΒΓ = ΒʹΓʹ, B̂ = B̂ ʹ και Γ̂ = Γ̂ ʹ. Σχήµα 16 Θα αποδείξουμε ότι έχουν και ΑΒ = ΑʹΒʹ. Έστω ότι ΑΒ ≠ ΑʹΒʹ, π.χ. ΑΒ > ΑʹΒʹ. Τότε υπάρχει σημείο Δ στην ΑΒ, ώστε να είναι ΒΔ = ΒʹΑʹ. Τα τρίγωνα ΔΒΓ και ΑʹΒʹΓʹ έχουν ΒΓ = ΒʹΓʹ, ΒΔ = ΒʹΑʹ και B̂ = B̂ ʹ, επομένως (ΠΓΠ) είναι ίσα, οπότε ΒΓ̂ Δ = Γ̂ ʹ. Αλλά Γ̂ ʹ = Γ̂ , οπότε ΒΓ̂ Δ = Γ̂ που είναι άτοπο, γιατί το Δ είναι εσωτερικό σημείο της γωνίας ΑΓ̂ Β και επομένως ΒΓ̂ Δ < Γ̂ . Οδηγηθήκαμε σε άτοπο γιατί υποθέσαμε ότι ΑΒ ≠ ΑʹΒʹ, άρα ΑΒ =ΑʹΒʹ. Τα τρίγωνα, λοι- πόν, ΑΒΓ και ΑʹΒʹΓʹ έχουν ΒΓ = ΒʹΓʹ, ΑΒ = ΑʹΒʹ και B̂ = B̂ ʹ, άρα (ΠΓΠ) είναι ίσα. * Σημείωση: Το παραπάνω θεώρημα μπορεί να αποδειχθεί και με τη μέθοδο της μετατόπισης, όπως το θεώρημα I (σελ. 41). ΣΧΟΛΙΟ 3.4 3ο Κριτήριο ισότητας τριγώνων Η συντομογραφία ΠΠΠ σημαί- νει πλευρά, πλευρά, πλευρά. Η ισότητα δύο τριγώνων εξασφαλίζεται και από την ισότητα των τριών πλευρών τους, μία προς μία, όπως μας βεβαιώνει A το επόμενο θεώρημα. 12 ΘΕΩΡΗΜΑ (3o Κριτήριο – ΠΠΠ) *** BΓ Αν δύο τρίγωνα έχουν τις πλευρές τους ίσες μία προς μία, τότε τα τρίγωνα είναι ίσα. 12 ΑΠΟ∆ΕΙΞΗ Δ Aʹ x Θεωρούμε τα τρίγωνα ΑΒΓ και ΑʹΒʹΓʹ με ΑΒ = ΑʹΒʹ, ΒΓ = ΒʹΓʹ, ΓΑ = ΓʹΑʹ (σχ.17). Αρκεί να αποδείξουμε ότι Bʹ Γʹ Â = Âʹ. Υποθέτουμε ότι τα τρίγωνα είναι οξυγώνια. 44 Σχήµα 17 Θεωρούμε την ημιευθεία Βx, ώστε ΓB̂ x = B̂ ʹ (σχ.17) και σημείο της Δ, ώστε ΒΔ = ΑʹΒʹ. Τα τρίγωνα ΔΒΓ και ΑʹΒʹΓʹ είναι ίσα, γιατί έχουν ΒΓ = ΒʹΓʹ, ΒΔ = ΑʹΒʹ και ΓB̂ Δ = B̂ ʹ. Από την ισότητα αυτή προκύπτει ότι ΓΔ = ΓʹΑʹ και Δ̂ = Âʹ.

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3. ΤΡΙΓΩΝΑ Επειδή ΒΔ = ΑʹΒʹ και ΑʹΒʹ = ΑΒ, το τρίγωνο ΑΒΔ είναι ισοσκελές, οπότε Â1 = Δ̂ 1 (1). Επίσης, αφού ΓΔ = ΑʹΓʹ και ΑʹΓʹ = ΑΓ, προκύπτει ότι Â2 = Δ̂ 2 (2). Επειδή τα τρίγωνα είναι οξυγώνια το τμήμα ΑΔ βρίσκεται στο εσωτερικό των γωνιών Â και Δ̂ , οπότε με πρόσθεση των (1) και (2) προκύπτει ότι Â = Δ̂ . Επειδή Δ̂ = Âʹ, έχουμε Â = Âʹ, που είναι το ζητούμενο. ∆ΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑ Εξετάστε τις άλλες δύο περιπτώσεις της απόδειξης του 3ου ριτηρίου: i) B̂ > 90° και B̂ ʹ > 90°. ii) B̂ = 90° και B̂ ʹ = 90°. ε τη βοήθεια του κριτηρίου ΠΠΠ αποδεικνύονται τα επό- μενα πορίσματα. ΠΟΡΙΣΜΑ Ι ** H διάμεσος ισοσκελούς τριγώνου, που αντιστοιχεί στη βάση του, είναι διχοτόμος και ύψος. ΑΠΟ∆ΕΙΞΗ A Έστω ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ με ΑΒ = ΑΓ και ΑΔ η διάμε- 1 2 σός του (σχ.18). Τα τρίγωνα ΑΒΔ και ΑΓΔ έχουν ΑΒ = ΑΓ, ΑΔ κοινή και ΒΔ = ΔΓ, άρα (ΠΠΠ) είναι ίσα, οπότε Â1 = Â2, και Δ̂ 1 = Δ̂ 2. Από τις ισότητες αυτές προκύπτει αντίστοιχα ότι 12 η ΑΔ είναι διχοτόμος και ύψος. Eivoel To artist pogo Tou Mop is µ a Tos Ill #B Γ Δ Tns sea iotas 42 Σχήµα 18 ΠΟΡΙΣΜΑ ΙI *** άθε σημείο που ισαπέχει από τα άκρα ενός τμήματος theKpc 10 W' OTE ανήκει στη μεσοκάθετό του. Eva on peeio Voe ' avg KE C ε ΑΠΟ∆ΕΙΞΗ µO Th V Eso Koel - OE To Evo 'S ' Έστω ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ (σχ.19), ένα σημείο, ώστε Then plato S Α = Β και το μέσο του ΑΒ. Τότε το τρίγωνο Α Β A KB είναι ισοσκελές και η διάμεσός του, οπότε, σύμφωνα με το προηγούμενο πόρισμα, η θα είναι και ύψος, δηλαδή Σχήµα 19 η είναι μεσοκάθετος του ΑΒ. 45

ΕΥΚΛΕΙ∆ΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Από το παραπάνω πόρισμα και το πόρισμα I I του θεωρήμα- τος I (§3.2) προκύπτει ότι η μεσοκάθετος ενός ευθύγραμ- μου τμήματος είναι ο γεωμετρικός τόπος των σημείων του επιπέδου που ισαπέχουν από τα άκρα του τμήματος. ∆ΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑ α βρεθεί σημείο που ισαπέχει από τις κορυφές ενός τριγώνου. Δ ΠΟΡΙΣΜΑ ΙΙΙ * Γ Αν οι χορδές δύο τόξων ενός κύκλου, μικρότερων του ημικυκλίου, είναι ίσες, τότε και τα τόξα είναι ίσα. Ο ΑΠΟ∆ΕΙΞΗ B Έστω δύο τόξα A͡ B και Γ͡ Δ ενός κύκλου (Ο, ρ) μικρότερα A του ημικυκλίου, με ΑΒ = ΓΔ. Τότε τα τρίγωνα ΟΑΒ και Σχήµα 20 ΟΓΔ (σχ.20) έχουν: ΟΑ = ΟΓ (= ρ), ΟΒ = ΟΔ (= ρ) και ΑΒ = ΓΔ, άρα (ΠΠΠ) είναι ίσα. Επομένως, ΑÔΒ = ΓÔΔ, ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ οπότε A͡ B = Γ͡ Δ. Από τα πορίσματα III και IV προκύπτει ότι για να κατασκευά- ΠΟΡΙΣΜΑ ΙV * σουμε ίσα τόξα πάνω σε έναν κύκλο ή σε ίσους κύκλους αρκεί Αν οι χορδές δύο τόξων ενός κύκλου μεγαλύτερων του να πάρουμε, με το διαβήτη, ίσες ημικυκλίου είναι ίσες, τότε και τα τόξα είναι ίσα. χορδές. ΑΝΑΚΕΦΑΛΑΙΩΣΗΌλες οι παραπάνω περιπτώσεις ισότητας τριγώνων διατυπώνονται συνοπτικά ως εξής: Δύο τρίγωνα είναι ίσα όταν έχουν: • δύο πλευρές ίσες μία προς μία και τις περιεχόμενες σε αυτές γωνίες ίσες (ΠΓΠ), • μια πλευρά και τις προσκείμενες σε αυτή γωνίες ίσες μία προς μία (ΓΠΓ), • και τις τρεις πλευρές ίσες μία προς μία (ΠΠΠ). 46

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3. ΤΡΙΓΩΝΑ ΕΦΑΡΜΟΓΗ 1 η Θεωρούμε γωνία xÔy και δύο κύκλους (Ο, ρ), Δy (Ο, R) με ρ < R (σχ.21). Αν ο πρώτος κύκλος τέμνει τις πλευρές Οx, Oy στα Α, Β, ο δεύτερος 1 δ στα Γ, Δ και είναι το σημείο τομής των ΑΔ, ΒΓ, να αποδειχθεί ότι: B2 i) τα τρίγωνα ΟΑΔ και ΟΒΓ είναι ίσα, 1 ii) τα τρίγωνα ΑΓ και ΒΔ είναι ίσα, 2 12 1 iii) τα τρίγωνα ΟΑ και ΟΒ είναι ίσα, Ο1 A Γx iv) η OM είναι η διχοτόμος της xÔy. Σχήµα 21 Απόδειξη i) Τα τρίγωνα ΟΑΔ και ΟΒΓ έχουν ΟΑ = ΟΒ (= ρ), ΟΓ = ΟΔ(= R) και Ô κοινή (ΠΓΠ), επομένως είναι ίσα. ii) Από την προηγούμενη ισότητα προκύπτει ότι Â1 = B̂ 1 ή 180° – Â2 = 180° – B=̂ 2B̂ ή2 κÂα2ι=Γ̂B1̂ 2=κΔα̂ ι1 Γ̂ 1 = Δ̂ 1. ΑΓ και ΒΔ έχουν ΑΓ = ΒΔ, Â2 (ΓΠΓ), Επομένως, τα τρίγωνα άρα είναι ίσα. iii) Από το (ii) προκύπτει ότι Α= Β, οπότε τα τρίγωνα ΟΑ και ΟΒ έχουν ΟΑ = ΟΒ, Α = Β και Ο κοινή (ΠΠΠ), άρα είναι ίσα. iv) Επειδή τα τρίγωνα ΟΑ και ΟΒ είναι ίσα, έχουμε ότι Ô1 = Ô2 , δηλαδή η Ο είναι η διχοτόμος της xÔy. ΣΧΟΛΙΟ H εφαρμογή 1 δίνει έναν τρόπο κατα- σκευής της διχοτόμου μιας γωνίας. ΕΦΑΡΜΟΓΗ 2 η Δύο τρίγωνα ΑΒΓ και ΑʹΒʹΓʹ A β Aʹ γ έχουν β = βʹ, γ = γʹ και μβ = μβʹ. βʹ ʹ α αποδείξετε ότι τα τρίγωνα γʹ είναι ίσα. Απόδειξη μβ μβʹ B Γ Bʹ Γʹ Εξετάζουμε πρώτα τα τρίγωνα Σχήµα 22 ΑΒ και ΑʹΒʹ ʹ (σχ.22). Αυτά έχουν ΑΒ = ΑʹΒʹ, Β = Βʹ ʹ (από την υπόθεση) και Α =Αʹ ʹ, ως μισά των ίσων πλευρών ΑΓ και ΑʹΓʹ. Άρα, τα τρίγωνα ΑΒ και ΑʹΒʹ ʹ είναι ίσα (ΠΠΠ), οπότε  = Âʹ. Επομένως, τα τρίγωνα ΑΒΓ και ΑʹΒʹΓʹ έχουν β = βʹ, γ = γʹ και  = Âʹ, άρα (ΠΓΠ) είναι ίσα. 47

ΕΥΚΛΕΙ∆ΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ Ερωτήσεις Κατανόησης Αποδεικτικές Ασκήσεις 1. Χαρακτηρίστε ως σωστή (Σ) ή λάθος ( ) 1. α αποδείξετε ότι οι διχοτόμοι των γωνι- καθεμία από τις επόμενες προτάσεις: ών της βάσης ισοσκελούς τριγώνου είναι ίσες. i) Ένα τρίγωνο είναι οξυγώνιο όταν μία γωνία του είναι οξεία. 2. Αν ΑΑʹ, ΒΒʹ και ΓΓʹ είναι τρεις διάμετροι κύκλου (βλ. σχήμα), να αποδείξετε ότι τα Σ τρίγωνα ΑΒΓ και ΑʹΒʹΓʹ είναι ίσα. ii) Ένα τρίγωνο είναι σκαληνό όταν δύο Αʹ πλευρές του είναι άνισες. Γʹ Βʹ Σ Ο 2. Διατυπώστε τα τρία κριτήρια ισότητας Β Γ τριγώνων. Α 3. Συμπληρώστε τα κενά: 3. Σε ένα κυρτό τετράπλευρο ΑΒΓΔ είναι ΑΒ = ΓΔ και B̂ = Γ̂ . α αποδείξετε ότι i) Σε κάθε ισοσκελές τρίγωνο η διχοτό- Â = Δ̂ . μος της γωνίας της κορυφής είναι Σύνθετα Θέµατα .............................................................. 1. Θεωρούμε δύο ίσα τρίγωνα ΑΒΓ και ii) Σε κάθε ισοσκελές τρίγωνο η διάμε- ΑʹΒʹΓʹ. Η διάμεσος Α και η διχοτόμος σος που αντιστοιχεί στη βάση του εί- ΒΔ του ΑΒΓ τέμνονται στο Θ, ενώ η αντί- ναι στοιχη διάμεσος Αʹ ʹ και η αντίστοιχη δι- χοτόμος ΒʹΔʹ του ΑʹΒʹΓʹ τέμνονται στο Θʹ. .............................................................. α αποδείξετε ότι: iii) Ένα σημείο βρίσκεται στη μεσο- i) ΒΔ = ΒʹΔʹ, κάθετο ενός τμήματος ΑΒ, όταν ii) ΒÂ = ΒʹÂʹ ʹ, .............................................................. iii) Τα τρίγωνα ΑΒΘ και ΑʹΒʹΘʹ είναι iv) Δύο τόξα ενός κύκλου είναι ίσα, όταν ίσα, ............................................................... iv) ΑΘ = ΑʹΘʹ και ΘΔ = ΘʹΔʹ. Ασκήσεις Εµπέδωσης 2. Δύο τμήματα ΑΒ και ΓΔ, που δεν έχουν τον ίδιο φορέα, έχουν την ίδια μεσοκάθε- 1. Δύο τρίγωνα ΑΒΓ και ΑʹΒʹΓʹ έχουν β = βʹ, το ε. Αν η ε και η μεσοκάθετος του ΑΓ τέ- γ = γʹ και Â = Âʹ. Αν I είναι το σημείο το- μνονται, να αποδείξετε ότι από το σημείο μής των διχοτόμων ΑΔ και ΒΕ του τριγώ- τομής τους διέρχεται και η μεσοκάθετος νου ΑΒΓ και Iʹ το σημείο τομής των διχο- του ΒΔ. τόμων ΑʹΔʹ και ΒΈʹ του ΑʹΒʹΓʹ να αποδεί- ξετε ότι: 3. Έστω ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ (ΑΒ = ΑΓ). Η μεσοκάθετος της πλευράς ΑΓ τέμνει την i) ΑΔ = ΑʹΔʹ και ΒΕ = ΒʹΕʹ προέκταση της ΓΒ στο Δ. Προεκτείνουμε τη ΔΑ κατά τμήμα ΑΕ = ΔΒ. α αποδεί- ii) Α = Αʹ ʹ και ΒI = Βʹ ʹ. ξετε ότι: 2. Δύο τρίγωνα ΑΒΓ και ΑʹΒʹΓʹ έχουν β = βʹ, i) το τρίγωνο ΔΑΓ είναι ισοσκελές, Â = Âʹ και δα = δαʹ. α αποδείξετε ότι: i) Γ̂ = Γ̂ ʹ, ii) το τρίγωνο ΓΔΕ είναι επίσης ισοσκε- λές. ii) α = αʹ και γ = γʹ. 3. Σε τρίγωνο ΑΒΓ προεκτείνουμε τη διάμε- σο Α κατά ίσο τμήμα Δ. α αποδείξε- τε ότι τα τρίγωνα ΑΒΓ και ΒΓΔ είναι ίσα. 48

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3. ΤΡΙΓΩΝΑ A 3.5 Ύπαρξη και µοναδικότητα καθέτου xʹ 1 Γ1 x Στο 2o κεφάλαιο αναφερθήκαμε στην κάθετη που φέρεται από σημείο σε ευθεία. Στην παρούσα παράγραφο θα μελε- 2 2 τήσουμε τη μοναδικότητα και την ύπαρξή της. Γ ΘΕΩΡΗΜΑ Από σημείο εκτός ευθείας διέρχεται μοναδική κάθετος στην ευθεία. ΑΠΟ∆ΕΙΞΗ B Έστω ευθεία xʹx, σημείο Α εκτός αυτής και σημείο της xʹx y (σχ.23). Αν η Α είναι κάθετη στην xʹx, τότε το θεώρημα ισχύει ως προς την ύπαρξη της καθέτου. Έστω ότι η Α δεν Σχήµα 23 είναι κάθετη στην xʹx. Στο ημιεπίπεδο που ορίζει η xʹx και δεν περιέχει το Α θεωρούμε την ημιευθεία y, ώστε να είναι xM̂ y = AM̂ x και πάνω σε αυτή σημείο Β, ώστε Α = Β. Επειδή τα σημεία Α, Β είναι εκατέρωθεν της xʹx, η xʹx τέμνει την ΑΒ σε ένα εσωτερικό σημείο, έστω . Αφού Α = Β και M̂ 1 = M̂ 2, η είναι διχοτόμος στο ισοσκελές τρίγωνο ΑΒ, άρα είναι και ύψος και επομένως ΑΒ⊥xʹx. Έστω ότι υπάρχει και άλλη ευθεία Α κάθετη στην xʹx . Τότε τα τρίγωνα Α και Β είναι ίσα, γιατί έχουν Β και M̂ 1 M̂ 2, οπότε θα ̂ 1= ̂ 2. κοινή, ̂ Α= άρα και ̂ = = 90°, οπότε είναι και 180° το Όμως 1= 90°, ̂ 1+ ̂ 2= 2 Γʹ οποίο σημαίνει ότι τα σημεία Α, , Β είναι συνευθειακά, δηλαδή η Α ταυτίζεται με την Α , που είναι άτοπο. 3.6 Κριτήρια ισότητας ορθογώνιων τριγώνων A B Aʹ Bʹ Επειδή δύο ορθογώνια τρίγωνα έχουν μια γωνία ίση, την Σχήµα 24 ορθή, από το 1ο (ΠΓΠ) και 2ο (ΓΠΓ) κριτήριο ισότητας τυχαίων τριγώνων προκύπτει άμεσα ότι: ::*Γ • Δύο ορθογώνια τρίγωνα, που έχουν τις κάθετες πλευ- Γʹ : ρές τους ίσες μία προς μία, είναι ίσα. (σχ.24) oifooywviwv • Δύο ορθογώνια τρίγωνα, που έχουν μια κάθετη πλευ- Tpljwvwr ρά και την προσκείμενη σε αυτή οξεία γωνία ίσες μία προς μία, είναι ίσα. (σχ.25) A B Aʹ Bʹ Η ισότητα ορθογώνιων τριγώνων εξασφαλίζεται ακόμη και Σχήµα 25 από τα επόμενα θεωρήματα. 49

ΕΥΚΛΕΙ∆ΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Γ Γʹ Kpi The 10 tooth Toes off ojwvlwv Tpljwvwv ** * ΘΕΩΡΗΜΑ Ι Αν δύο ορθογώνια τρίγωνα έχουν την υποτείνουσα και μία οξεία γωνία αντίστοιχα ίσες μία προς μία, τότε είναι ίσα. ΑΠΟ∆ΕΙΞΗ AΔ B Aʹ Bʹ Έστω δύο τρίγωνα ΑΒΓ και ΑʹΒʹΓʹ με Â = Âʹ = 90°, ΒΓ = ΒʹΓʹ και B̂ = B̂ ʹ (σχ.26). Θα αποδείξουμε ότι είναι και ΑΒ = ΑʹΒʹ. Σχήµα 26 Έστω ότι ΑΒ ≠ ΑʹΒʹ , π.χ. ΑΒ > ΑʹΒʹ. Τότε στην πλευρά ΒΑ υπάρχει σημείο Δ, ώστε ΒΔ = ΑʹΒʹ. Τα τρίγωνα ΔΒΓ και ΑʹΒʹΓʹ έχουν ΒΓ = ΒʹΓʹ, ΔΒ = ΑʹΒʹ και B̂ = B̂ ʹ, επομένως είναι ίσα, οπότε θα είναι Δ̂ = Âʹ = 90°, δη- λαδή ΓΔ⊥ΑΒ. Έτσι έχουμε ΓΑ⊥ΑΒ και ΓΔ⊥ΑΒ που είναι Γ άτοπο (μοναδικότητα καθέτου). Οδηγηθήκαμε σε άτοπο γιατί ΔA B υποθέσαμε ότι ΑΒ ≠ ΑʹΒʹ. Άρα ΑΒ = ΑʹΒʹ, οπότε τα τρίγωνα Γʹ ΑΒΓ και ΑʹΒʹΓʹ είναι ίσα, γιατί έχουν ΒΓ = ΒʹΓʹ, ΒΑ = ΒʹΑʹ και B̂ = B̂ ʹ (ΠΓΠ). Keith @ to 18 O' Tntoes op Oojwvlwv Teljwvwv ΘΕΩΡΗΜΑ ΙΙ * ** Αν δύο ορθογώνια τρίγωνα έχουν την υποτείνουσα και μία κάθετη πλευρά αντίστοιχα ίσες μία προς μία, τότε είναι ίσα. ΑΠΟ∆ΕΙΞΗ Έστω δύο τρίγωνα ΑΒΓ και ΑʹΒʹΓʹ (σχ.27) με Â = Âʹ = 90°, ΒΓ = ΒʹΓʹ και ΑΒ = ΑʹΒʹ. Θα αποδείξουμε ότι και B̂ = B̂ ʹ. Δʹ Aʹ Bʹ Στις προεκτάσεις των ΒΑ και ΒʹΑʹ θεωρούμε αντίστοιχα τα Σχήµα 27 σημεία Δ και Δʹ, ώστε να είναι ΑΔ = ΑΒ και ΑʹΔʹ = ΑʹΒʹ. Τότε η ΓΑ είναι μεσοκάθετος του ΔΒ και η ΓʹΑʹ μεσοκά- θετος του ΔʹΒʹ. Συμπεραίνουμε, λοιπόν, ότι ΓΔ = ΓΒ και ΓʹΔʹ = ΓʹΒʹ. Από τις τελευταίες ισότητες και την ΒΓ = ΒʹΓʹ προκύπτει ότι ΓΔ = ΓʹΔʹ. Έτσι τα τρίγωνα ΓΔΒ και ΓʹΔʹΒʹ έχουν ΓΔ = ΓʹΔʹ, ΒΓ = ΒʹΓʹ και ΔΒ = ΔʹΒʹ (ως διπλάσια των ίσων τμημάτων ΑΒ και ΑʹΒʹ), επομένως είναι ίσα, οπότε B̂ = B̂ ʹ. Τότε και τα αρχικά τρίγωνα είναι ίσα (ΠΓΠ). Masi HE To role is pea I 7ns odious → ΠΟΡΙΣΜΑ Ι ** 42 ' Tns GEA isas 45 Το ύψος ισοσκελούς τριγώνου που αντιστοιχεί στη βάση είναι διάμεσος και διχοτόμος της γωνίας της κορυφής. Koel To no @ qua I ' ' Koel ' Tei a' Ta camo TEA ou v pei a bad hen xp von MpoToi 8EwV GTO 1606 KEA Is Tpiywvo . ΠΟΡΙΣΜΑ ΙΙ Η κάθετος που φέρεται από το κέντρο ενός κύκλου προς μια ** * χορδή του διχοτομεί τη χορδή και το αντίστοιχο τόξο της. BAE 'RE ox n' pea 28 50

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3. ΤΡΙΓΩΝΑ Ynevoiipeion H Koi QE Tn and TO Ο ΑΠΟ∆ΕΙΞΗ KEV Tpo neo S Thr Xo psi's HEYE Tai 12 Ας θεωρήσουμε έναν κύκλο (Ο, ρ), μια χορδή του ΑΒ και την κάθετη Ο της ΑΒ, που τέμνει τον κύκλο στο σημείο and striped Tns y (σχ.28). Επειδή το τμήμα Ο είναι ύψος στο ισοσκελές τρί- γωνο ΟΑΒ (ΟΑ = ΟΒ = ρ), σύμφωνα με το προηγούμενο πό- X opsins . A ρισμα είναι διάμεσος και διχοτόμος, δηλαδή το είναι μέσο του ΑΒ και Ô1 = Ô2. Αφού Ô1 = Ô2 προκύπτει ότι A͡ = M͡ B. Eotw To Ok 7 I yctou B , Σχήµα 28 04765mmol Ths pfmXo 's AB . ΑΝΑΚΕΦΑΛΑΙΩΣΗ ** * Όλες οι παραπάνω περιπτώσεις ισότητας ορθογώνιων τριγώνων διατυπώνονται συνο- πτικά ως εξής: Siro 4h Keith piwv too Tutors Δύο ορθογώνια τρίγωνα είναι ίσα, όταν έχουν: • Δύο ομόλογες πλευρές τους ίσες μία προς μία. Off ojwviwv Tpiywvwv • ία πλευρά και την προσκείμενη σε αυτή οξεία γωνία αντίστοιχα ίσες μία προς μία. ' ΘΕΩΡΗΜΑ ΙΙΙ ** * Ava 7009 tewenpeatos ⇒ Av Sio xopcfe's Evo 's Kirk Aou eivoe , ← EiITES ' Δύο χορδές ενός κύκλου είναι ίσες αν και μόνο αν τα peat, ' Koei Toe camo 6Th od Tous volt Igoe αποστήματά τους είναι ίσα. . TO TE ⇒ )⇐ Av Toe cahoots 's Mata ohioxopcwv Evo 's \" tofu artist \" \"\" Koe , pogo K 'uk7ou Eivoe , Δ ΑΠΟ∆ΕΙΞΗ isa TETE Koel Ano' 8Th Maths ʹΕστω οι ίσες χορδές ΑΒ και ΓΔ ενός κύκλου (Ο, ρ) και , Ο , Ο τα αποστήματά τους αντίστοιχα (σχ.29). Τα τρί- xoecsn 's TD ↳ γωνα ΟΑ και ΟΓ, έχουν K̂ = ̂ = 90°, ΟΑ = ΟΓ (= ρ) 01 xof @ IS Ο Eivoec is es . → And 8Th pea Γ και Α = Γ (αφού ΑΒ = ΓΔ). Επομένως είναι ίσα, οπότε A B Ο = Ο .Tns Xo @ 8h 'S AB Αντίστροφα. Έστω ότι τα αποστήματα Ο και Ο είναι Σχήµα 29 ίσα. Τότε τα τρίγωνα ΟΑ και ΟΓ έχουν K̂ = ̂ = 90°, ΟΑ = ΟΓ και Ο = Ο , επομένως είναι ίσα, οπότε Α =Γ ή AB = ΓΔ ή ΑΒ = ΓΔ. 2 2 ΘΕΩΡΗΜΑ ΙV *** 1815in Toe Tns 81×0 - άθε σημείο της διχοτόμου μιας γωνίας ισαπέχει από τις Tolpeou Mlas ywvias πλευρές της και αντίστροφα κάθε εσωτερικό σημείο της Keith 'll O y γωνίας που ισαπέχει από τις πλευρές είναι σημείο της dW' OTE Voe B διχοτόμου. EOWTE @ 1K£ on peeio texas ΑΠΟ∆ΕΙΞΗ gwvioes via Ο δ Έστω μια γωνία xÔy και ένα σημείο της διχοτόμου της Οδ arrives other Ax (σχ.30). Φέρουμε MA⊥Ox και MB⊥Oy. Τότε τα ορθογώνια 81×0101/40 Tns Σχήµα 30 τρίγωνα ΑΟ και ΒΟ είναι ίσα γιατί έχουν Â = B̂ = 90°, juries Ο κοινή και ÔΑ = ÔΒ, επομένως Α = Β. 51

ΕΥΚΛΕΙ∆ΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Αντίστροφα. Έστω ένα εσωτερικό σημείο της γωνί- ας. Φέρουμε MA⊥Ox και MB⊥Oy και υποθέτουμε ότι Α = Β. Τότε τα τρίγωνα ΑΟ και ΒΟ είναι πάλι ίσα, αφού Â = B̂ = 90°, Ο κοινή και Α = Β και επομένως ÔΑ = ÔΒ, οπότε το είναι σημείο της διχοτόμου Οδ. Από το παραπάνω θεώρημα συμπεραίνουμε ότι: Η διχοτό- μος μιας γωνίας είναι ο γεωμετρικός τόπος των σημείων που ισαπέχουν από τις πλευρές της. ε τη βοήθεια του συμπεράσματος αυτού αντιμετωπίζεται η επόμενη δραστηριότητα. ∆ΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑ α βρεθεί σημείο που ισαπέχει από τις πλευρές ενός τριγώνου. ΕΦΑΡΜΟΓΗ 1 η Έστω τρίγωνο ΑΒΓ. Στην προέκτα- A 1Γ Θ ση της πλευράς ΑΒ (σχ.31) παίρνου- με σημείο Ε, ώστε ΒΕ = ΑΒ και στην Η B1 2 προέκταση της ΑΓ παίρνουμε σημείο 2Δ Ζ, ώστε ΓΖ = ΑΓ. Αν ΑΔ το ύψος του Ζ τριγώνου και ΕΗ, ΖΘ τα κάθετα Ε Σχήµα 31 τμήματα προς την ευθεία ΒΓ, τότε: i) να συγκριθούν τα τρίγωνα ΑΒΔ και ΕΒΗ, καθώς και τα ΑΓΔ και ΖΓΘ, ii) να αποδειχθεί ότι ΕΗ = ΖΘ. Λύση i) Τα τρίγωνα ΑΒΔ και ΕΒΗ είναι ορθογώνια (Δ̂ = Ĥ = 90°) και έχουν ΑΒ = ΒΕ (από υπόθεση) και B̂ 1 = B̂ 2 (κατακορυφήν). Άρα, είναι ίσα. Όμοια και τα τρίγωνα ΑΓΔ και ΖΓΘ είναι ίσα γιατί έχουν Δ̂ = Θ̂ = 90°, ΑΓ = ΓΖ και Γ̂ 1 = Γ̂ 2. ii) Από την ισότητα των τριγώνων ΑΒΔ και ΕΒΗ προκύπτει ότι ΕΗ = ΑΔ. Όμοια από την άλλη ισότητα των τριγώνων προκύπτει ΖΘ = ΑΔ. Επομένως ΕΗ = ΖΘ. 52

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3. ΤΡΙΓΩΝΑ ΕΦΑΡΜΟΓΗ 2 η Θεωρούμε δύο ίσους κύκλους με κέντρα , Δε και από το μέσο του ευθεία ε που τέ- Ζ μνει τους κύκλους (σχ.32) στα σημεία Α, Β και Γ Γ, Δ αντίστοιχα. α αποδειχθεί ότι ΑΒ = ΓΔ. 2 Απόδειξη 1 B Ε A Επειδή τα τμήματα ΑΒ και ΓΔ είναι χορδές Σχήµα 32 ίσων κύκλων, για να είναι ΑΒ = ΓΔ αρκεί τα αποστήματά τους Ε και Ζ, αντίστοιχα, να είναι ίσα. Τα τρίγωνα Ε και Ζ είναι ορθογώνια (Ê = Ẑ = 90°) και έχουν = , γιατί το είναι μέσο του και M̂ 1= M̂ 2 ως κατακορυφήν. Άρα είναι ίσα, οπότε Ε = Ζ. ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ Ερωτήσεις Κατανόησης 5. Συμπληρώστε τα κενά στην επόμενη πρό- 1. Έστω ευθεία ε και σημείο Α εκτός αυτής. ταση: Αν ΑΒ⊥ε και ΑΓ⊥ε (Β, Γ σημεία της ε) Ο φορέας του αποστήματος μιας χορδής τότε: q Auto ' To 0446070 είναι μεσοκάθετος της ............................... i) Β ≡ Γ Taba '5ETai Σ και διχοτομεί ............ ............ ①\" \" 6. Αν ΑΒ, ΓΔ είναι χορδές ενός κύκλου ( ) ii) Β ≢ Γ↳ Σ Tautiifetoe , Σ iii) ΑΒ = ΑΓ scaboifetoe και Ε, Ζ είναι αντίστοιχα τα αποστή- Αιτιολογήστε τ\"ηSνEVαTOπEάUνTτIJηEσTOήEσ, α\" ς. ματά τους τότε: Ε = 1 Ζ, a. AB = ΓΔ ⇔ 2 2. Έστω ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ (ΑΒ = ΑΓ), β. AB = ΓΔ ⇔ Ε > Ζ, Δ σημείο της βάσης και οι προτάσεις: γ. AB = ΓΔ ⇔ Ε = Ζ, π1: Το ΑΔ είναι ύψος του τριγώνου. π2: Το ΑΔ είναι διάμεσος του τριγώνου. δ. AB = ΓΔ ⇔ 1 Ε = 1 Ζ, π3: Το ΑΔ είναι διχοτόμος του τριγώνου. 2 3 Αν για το ΑΔ ισχύει μία από τις π1, π2, π3, τότε ισχύουν οι άλλες δύο προτάσεις; ε. AB = ΓΔ ⇔ Ε < Ζ. υκλώστε το γράμμα της σωστής απάντη- σης και αιτιολογήστε την απάντησή σας. 3. Διατυπώστε τις δύο ανακεφαλαιωτικές 7. Ποια είναι η χαρακτηριστική ιδιότητα των περιπτώσεις ισότητας ορθογώνιων τρι- σημείων της διχοτόμου μιας γωνίας; γώνων. 8. Δύο ορθογώνια τρίγωνα που έχουν δύο 4. Στο διπλανό πλευρές ίσες είναι πάντοτε ίσα; α δι- καιολογήσετε την απάντησή σας. σχήμα έχου- 5 με σχεδιάσει 4 4 30o οκτώ ορθο- 3 59o γώνια τρί- Ασκήσεις Εµπέδωσης 33 1. α αποδείξετε ότι τα ύψη ισοσκελούς τρι- γωνα. αθέ- 5 5 γώνου που αντιστοιχούν στις ίσες πλευρές 5 30o του είναι ίσα. να από αυτά 59o 3 2. α αποδείξετε ότι τα μέσα των ίσων πλευ- είναι ίσο με 3 3 ρών ισοσκελούς τριγώνου ισαπέχουν: ένα από τα υπόλοιπα. α βρείτε τα ζεύγη i) από τη βάση, των ίσων τριγώνων και να αναφέρετε το ii) από τις ίσες πλευρές. λόγο για τον οποίο είναι ίσα. 53

ΕΥΚΛΕΙ∆ΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ 3. α αποδείξετε ότι τα άκρα ενός τμήματος 5. Δίνεται κύκλος (Ο, R), οι ίσες χορδές του ισαπέχουν από κάθε ευθεία που διέρχεται ΑΒ, ΓΔ και τα αποστήματά τους Ο και από το μέσο του. Ο αντίστοιχα. Αν οι προεκτάσεις των ΒΑ και ΔΓ τέμνονται στο , να αποδείξετε 4. Αν δύο τρίγωνα είναι ίσα, να αποδείξετε ότι: ότι και τα ύψη τους που αντιστοιχούν στις ίσες πλευρές είναι ίσα. i) τα τρίγωνα Ο και Ο είναι ίσα, Αποδεικτικές Ασκήσεις ii) Α = Γ και Β = Δ. 1. Έστω ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ (ΑΒ = ΑΓ) Σύνθετα Θέµατα και το μέσο της βάσης του ΒΓ. α απο- δείξετε ότι: 1. Θεωρούμε τρίγωνο ΑΒΓ. Η διχοτόμος της γωνίας Â τέμνει τη μεσοκάθετο της ΒΓ i) το ισαπέχει από τις ίσες πλευρές στο σημείο Δ. Έστω Ε και Ζ οι προβολές του τριγώνου, του Δ στις πλευρές ΑΒ και ΑΓ αντίστοιχα. ii) η Α είναι διχοτόμος της γωνίας i) α συγκρίνετε τα τρίγωνα ΔΒΕ και που σχηματίζουν οι αποστάσεις του ΔΓΖ. από τις ίσες πλευρές μεταξύ τους. ii) α λύσετε το ίδιο πρόβλημα θεωρώ- 2. α αποδείξετε ότι αν σε δύο τρίγωνα ντας την εξωτερική διχοτόμο της Â, ΑΒΓ και ΑʹΒʹΓʹ είναι α = αʹ, υα = υαʹ και η οποία τέμνει τη μεσοκάθετο της ΒΓ μα = μαʹ, τότε τα τρίγωνα είναι ίσα. στο σημείο Δʹ, με προβολές τα σημεία Εʹ, Ζʹ στις πλευρές ΑΒ και ΑΓ αντί- 3. α αποδείξετε ότι αν σε δύο οξυγώνια τρί- στοιχα. γωνα ΑΒΓ και ΑʹΒʹΓʹ είναι α = αʹ, υβ = υβʹ και υγ = υγʹ, τότε τα τρίγωνα είναι ίσα. iii) α αποδείξετε ότι ΕΕʹ = ΑΓ και ΖΖʹ = ΑΒ. 4. Δίνεται ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ (Â = 1⌊) και η διχοτόμος του ΒΔ. Από το Δ φέρου- 2. Αν δύο ορθογώνια τρίγωνα ΑΒΓ, ΑʹΒʹΓʹ με ΔΕ⊥ΒΓ, που τέμνει την ΑΒ στο Ζ. α έχουν μία κάθετη πλευρά ίση και η περί- αποδείξετε ότι το τρίγωνο ΒΓΖ είναι ισο- μετρος του ενός είναι ίση με την περίμετρο σκελές. του άλλου, τότε τα τρίγωνα είναι ίσα. 54

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3. ΤΡΙΓΩΝΑ Βασικοί γεωµετρικοί τόποι Ο 3.7 Κύκλος - Μεσοκάθετος - ∆ιχοτόµος Όπως έχουμε αναφέρει, γεωμετρικός τόπος λέγεται το σύ- ' νολο όλων των σημείων, που έχουν μια (κοινή) χαρακτηρι- στική ιδιότητα. Ae E Tac yTi Επομένως: Σχήµα 33 j E a te E Tp I Ko 's ' T o To S ε • ο κύκλος (σχ.33) είναι ένας γεωμετρικός τόπος, αφού Tei a xaea - όλα τα σημεία του και μόνον αυτά έχουν την ιδιότητα K T n p I O T I K od να απέχουν μια ορισμένη απόσταση από ένα σταθερό iyyaIta e a of Toe σημείο. ÷:* • η μεσοκάθετος ενός τμήματος (σχ.34) είναι επίσης ένας A B γεωμετρικός τόπος, αφού όλα τα σημεία της και μόνον Σχήµα 34 αυτά έχουν την ιδιότητα να ισαπέχουν από τα άκρα του τμήματος. y • η διχοτόμος μιας γωνίας (σχ.35) είναι ένας άλλος γεω- B μετρικός τόπος, αφού όλα τα σημεία της και μόνον αυτά (από τα σημεία της γωνίας) ισαπέχουν από τις πλευρές της γωνίας. Ο z Η αντιμετώπιση ενός προβλήματος γεωμετρικού τόπου A απαιτεί μια ιδιαίτερη διαδικασία η οποία παρουσιάζεται στο Σχήµα 35 επόμενο παράδειγμα. ΠΑΡΑ∆ΕΙΓΜΑ α βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος των κέντρων των κύ- ε κλων, που διέρχονται από δύο σταθερά σημεία Α και Β. Λύση Έστω ένα σημείο του ζητούμενου γεωμετρικού τόπου, A B δηλαδή το κέντρο ενός κύκλου που διέρχεται από τα Α, Β (σχ.36). Τότε Α = Β, ως ακτίνες του ίδιου κύκλου και επομένως το ανήκει στη μεσοκάθετο ε του τμήματος ΑΒ. Αντίστροφα. Έστω ένα σημείο της μεσοκαθέτου ε του ΑΒ. Τότε θα είναι Α = Β, οπότε ο κύκλος ( , Α) διέρχεται και από το Β. Επομένως κάθε σημείο της ε είναι κέντρο κύκλου που Σχήµα 36 διέρχεται από τα Α, Β. Άρα ο ζητούμενος γεωμετρικός τόπος είναι η μεσοκάθετος ε του τμήματος ΑΒ. 55

ΕΥΚΛΕΙ∆ΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΣΧΟΛΙΟ Από το προηγούμενο παράδειγμα γίνεται φανερό ότι η λύση ενός προβλήματος γεωμετρικού τόπου ακολουθεί τα εξής στάδια: Θεωρούμε ένα τυχαίο σημείο του ζητούμενου γεωμετρικού τόπου και με βάση τη χαρακτηριστική ιδιότητα που έχει, προσδιορίζουμε τη γραμμή Γ πάνω στην οποία βρίσκεται. Στη συνέχεια κατασκευάζουμε με τον κανόνα και το διαβήτη τη γραμμή αυτή και εξετάζουμε αν το τυχαίο σημείο της γραμμής αυτής ικανοποιεί τη χαρακτηριστική ιδιότητα του ζητούμενου γεωμετρικού τόπου. Αν αυτό συμβαίνει, τότε η γραμμή Γ είναι ο ζητούμενος γεωμετρικός τόπος. ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ Ερωτήσεις Κατανόησης Ασκήσεις Εµπέδωσης 1. Συμπληρώστε τα κενά στις επόμενες προ- 1. α βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος των κο- τάσεις. ρυφών Α των τριγώνων ΑΒΓ, που έχουν σταθερή την πλευρά ΒΓ = α και τη διάμε- i) Ο γεωμετρικός τόπος των κορυφών σο Α με γνωστό μήκος. των ισοσκελών τριγώνων με γνωστή βάση είναι .......................................... 2. Δίνεται κύκλος (Ο, R). Αν τυχαίο ση- μείο του κύκλου και σημείο στην προέ- ii) Ο γεωμετρικός τόπος των σημείων κταση της Ο , ώστε Ο = , να βρεθεί που ισαπέχουν από δύο τεμνόμενες ο γεωμετρικός τόπος του , όταν το ευθείες είναι ....................................... διαγράφει τον κύκλο. MadgeTailed Val To ME'8ETai/Eivou To ' Tou A ' ' 6444 ET pi Ko 0 Συµµετρικά σχήµατα 6444 ET @ I Ko Too A WS MPOS TO I 1 WS Mpos To 0 A Ο Aʹ To ' TE 840 srxnlpeoetoe HIJO Vtol 5uµµETp1 Koi Ws Ngos Eva Eto exigua en ions T 3.8 Κεντρική συµµετρία qaivetoe , nuts Ady Etoile iron To KENPO Στην §2.10 είδαμε πότε δύο σημεία Α, Αʹ λέγονται συμμε- only Eio . beiokoupee oupyuetei as Σχήµα 37 a go.iegne! feef.notoero 's )τρικά ως προς κέντρο ένα σημείο Ο (σχ.37). KEVTCO onieeiouwsneosdra Γενικότερα δύο σχήματα Σ, Σʹ λέγονται συμμετρικά ως rupyueteias , For Voe Geo UME To ' Tou A us Ipos Evo 'S ' 0444 ETO KO oxn - TO 0 Eval route E ΣA προς ένα σημείο Ο (σχ.38), αν και μόνο αν κάθε σημείο MATOS . , του Σʹ είναι συμμετρικό ενός σημείου του Σ ως προς το Ο To A pee To O 180ο και αντίστροφα. Το σημείο Ο λέγεται κέντρο συμμετρίας peceuoojeoyupeo Ο TH n' pea Koel 17@ OEKT Eino YUE Aʹ Σʹ του σχήματος, που αποτελείται από τα συμμετρικά ως προς Σχήµα 38 To AO kata 180 Tpenlpeoe ' το Ο σχήματα Σ και Σʹ. Δηλαδή ένα σημείο Ο λέγεται κέ- OA . To' To ' ντρο συμμετρίας ενός σχήματος, όταν για κάθε σημείο Α του TE A Eivoel TO ,σχήματος το συμμετρικό του Αʹ, ως προς το Ο, είναι επίσης sropepeetplko Tor Aws Ipos To O . σημείο του σχήματος. Ένα σχήμα με κέντρο συμμετρίας λέμε ότι παρουσιάζει κεντρική συμμετρία. Ο A 180ο Aʹ Av στρέψουμε ένα σχήμα Σ, με κέντρο συμμετρίας το Ο (σχ.39), κατά 180ο γύρω από το Ο, θα πάρουμε ένα σχήμα Σχήµα 39 που θα συμπίπτει με το αρχικό. IT 'oTE Eva on peeio Adze Toei Kelutpo 56 oofyueteias Evo 's sxiyuatos

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3. ΤΡΙΓΩΝΑ αA Ο B Kdvtpaoupyuetpias re baoikoioxnpeatoe β x΄ Aʹ ΟA x Από τα γνωστά μας, μέχρι τώρα σχήματα: B A • Το ευθύγραμμο τμήμα έχει κέντρο συμμετρίας το μέσο γ Ο του (σχ.40α). • Η ευθεία έχει κέντρο συμμετρίας οποιοδήποτε σημείο της (σχ.40β). • Ο κύκλος έχει κέντρο συμμετρίας το κέντρο του (σχ.40γ). Aʹ Bʹ Σχήµα 40 ΕΦΑΡΜΟΓΗ Το συμμετρικό ευθύγραμμου τμήματος ως προς σημείο που δεν ανήκει στο φο- ρέα του, είναι τμήμα ίσο με αυτό. Απόδειξη AB Έστω ένα τμήμα ΑΒ (σχ.41), σημείο Ο που δεν ανήκει 1 στην ευθεία ΑΒ και Αʹ, Βʹ τα συμμετρικά των Α, Β ως Ο 2 προς το Ο αντίστοιχα. Επειδή ΟΑʹ = ΟΑ, OBʹ = OB και Bʹ ʹ Aʹ ΑʹÔΒʹ =ΑÔΒ, τα τρίγωνα ΑΟΒ και ΑʹΟΒʹ είναι ίσα, οπό- Σχήµα 41 τε ΑʹΒʹ = ΑΒ. Αρκεί να αποδείξουμε ότι τα τμήματα ΑΒ και ΑʹΒʹ είναι συμμετρικά ως προς το Ο. Έστω σημείο του ΑΒ και ʹ η τομή της Ο με το ΑʹΒʹ. Από την προηγούμενη ισότητα τριγώνων έχουμε ότι Â = Âʹ, οπότε τα τρίγωνα ΑΟ και ΑʹΟ ʹ είναι ίσα γιατί έχουν ΟΑʹ = ΟΑ, Â = Âʹ και Ô1 = Ô2. Επομένως Ο ʹ = Ο , που σημαίνει ότι το ʹ είναι συμμετρικό του . Όμοια το συμμετρικό κάθε σημείου ʹ του ΑʹΒʹ είναι σημείο του ΑΒ. Άρα τα ΑΒ, ΑʹΒʹ είναι συμμετρικά ως προς το Ο. Ady Etoile Ivar To oupyuetplko IgorTITE Flo OX n' tea Toe A Ay ' 3.9 Αξονική συµµετρία Toei Tou A us MPOS Tnr E /A EJE Tak Ei Vai O 6 upyuetelkoiws Neos prior ETO exited oigovassyupeeteias →ε Στην §2.14 είδαμε πότε δύο σημεία Α, Αʹ λέγονται συμμε- Eu Oei a . qaiv Etat I 3:&:τρικά ως προς (άξονα) την ευθεία ε (σχ.42). ' se:en Aʹ ÷::i:*÷t us Γενικότερα δύο σχήματα Σ, Σʹ (σχ.43) λέγονται συμμετρικά as ' Evo 'S n S Thu E ως προς την ευθεία ε, αν και μόνον αν κάθε σημείο του Σʹ Evo 's his pea-105. µ Ete , Ko Σχήµα 42 on peeiou είναι συμμετρικό ενός σημείου του Σ ως προς την ε και αντί- us a eospeiaeuoeia : tiara be ou'M E TO ε στροφα. Η ευθεία ε λέγεται άξονας συμμετρίας του σχήμα- 60 fufu Etf 146 TOU A τος που αποτελείται από τα σχήματα Σ και Σʹ. Δηλαδή μια WS Me OS Th v E , Σ Σʹ ευθεία ε λέγεται άξονας συμμετρίας ενός σχήματος, όταν για Gdp route E κάθε σημείο Α του σχήματος το συμμετρικό του Αʹ, ως προς Koi OCT n card To A )την ε, είναι επίσης σημείο του σχήματος. Ένα σχήμα με Neos Thu E Kou A Aʹ άξονα συμμετρίας λέμε ότι παρουσιάζει αξονική συμμετρία. Σχήµα 43 Αν ένα σχήμα έχει ως άξονα συμμετρίας μια ευθεία ε, τότε . η ε χωρίζει το σχήμα (σχ.44) σε δύο μέρη με τέτοιο τρόπο, . ¥÷÷÷÷÷m* Eira To supple Tpl KJ 57 TOU A WS Mfos Thr E Mo' TE Mia Eof Eia 7 e' get on od for as . oopyuetei as Evo 's 6×4 pea Tos

ΕΥΚΛΕΙ∆ΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ε ώστε, αν διπλώσουμε το φύλλο σχεδίασης κατά μήκος της ε, τα μέρη αυτά θα ταυτιστούν. f' ban Koi Από τα γνωστά μας σχήματα Azores oyupeeteias see 6×4 Mata • Το ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ έχει άξονες συμμετρίας τη με- σοκάθετό του μ και τον φορέα του ε (σχ.45α). • Η ευθεία xʹx έχει άξονα συμμετρίας κάθε ευθεία ε⊥xʹx και την ίδια τη xʹx (σχ.45β). Σχήµα 44 • Ο κύκλος έχει άξονα συμμετρίας το φορέα δ κάθε διαμέ- τρου του ΑΒ (σχ.45γ). • Το ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ (ΑΒ = ΑΓ) έχει άξονα συμ- μετρίας το φορέα μ του ύψους ΑΔ (σχ.45δ). • Το ισόπλευρο τρίγωνο έχει άξονα συμμετρίας τους φο- ρείς των τριών υψών του (σχ.45ε). μ (β) (γ) δ A (α) ε xʹ x Ο A B Aμ AB μ3 μ2 (δ) B Δ Γ BΓ (ε) μ1 Σχήµα 45 \"' ' AGE To 6×8710 Tapa Koitw *** ΕΦΑΡΜΟΓΗ t.ae/Έστω μια ευθεία ε και ένα τμήμα ΑΒ του οποίου το ένα B άκρο Α είναι σημείο της ε. α αποδειχθεί ότι το συμμετρι- A1 ε κό του ΑΒ ως προς την ε είναι το τμήμα ΑΒʹ ίσο με το ΑΒ, Δ 2 όπου Βʹ το συμμετρικό του Β ως προς την ε. ʹ Bʹ Απόδειξη Σχήµα 46 Το συμμετρικό του Α ως προς την ε είναι το ίδιο το Α, αφού το Α είναι σημείο της ε. Επειδή η ε είναι μεσοκάθετος του ΒΒʹ, είναι ΑΒʹ = ΑΒ. Στο ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΒʹ η ΑΔ είναι ύψος και διάμεσος, άρα είναι και διχοτόμος, δηλαδή Â1 = Â2. Έστω σημείο του ΑΒ. Φέρουμε ⊥ε η οποία όταν προεκταθεί τέμνει το ΑΒʹ στο ʹ. Στο τρίγωνο Α ʹ η Α είναι ύψος και διχοτόμος (αφού Â1 = Â2), άρα είναι και διάμεσος, δηλαδή ʹ = , οπότε το ʹ είναι συμμετρικό του . Όμοια αποδεικνύεται ότι το συμμετρικό κάθε σημείου του ΑΒʹ είναι σημείο του ΑΒ. Άρα τα ΑΒ, ΑΒʹ είναι συμμετρικά ως προς την ε. EXON O SI peg Wroe HE a a' yea ooh jia Tou Uno up yet ou fltlopouv Va xp not peottoiouvtoel , Xue is voi , 58 Mpd MEI ra camo Tel Xtouv Egappeojesfeapaceigpeatoe Tou 5×071 kob bib 7 iou ' ET , does Egappeoje 's , . & XOW * ' bono outvotes aoki secs . Akpibws EM Eloi yrieopouv EX Edo Epa Va Tls Mpo SE XETE 170748167 , Va Xp nape 017010 IV Toll n n potash \" Noe SEI XO Ei bei \" oevtlkaoiotoetouME Tnv A I Em \" TITE \" , .

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3. ΤΡΙΓΩΝΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ Ασκήσεις Εµπέδωσης 4. Να αποδείξετε ότι το συμμετρικό ενός τρι- γώνου ΑΒΓ ως προς την ευθεία ΒΓ είναι 1. Να σχεδιάσετε τους άξονες συμμετρίας τρίγωνο ίσο με το ΑΒΓ. των γραμμάτων: Α, Β, Δ, Η, Θ, Τ, Χ, Ψ. 5. Να αποδείξετε ότι η διχοτόμος μιας γωνί- 2. Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και σημείο Ο. Αν ας είναι άξονας συμμετρίας της. Αʹ, Βʹ, Γʹ είναι τα συμμετρικά των Α, Β, Γ ως προς το κέντρο Ο αντίστοιχα, να απο- 6. Έστω ε, εʹ δύο κάθετοι που τέμνονται στο δειχθεί ότι τα τρίγωνα ΑΒΓ, ΑʹΒʹΓʹ είναι Ο και ένα τυχαίο σημείο Μ. Αν Μʹ είναι συμμετρικά ως προς το Ο και ίσα. το συμμετρικό του Μ ως προς ε και Μʹʹ το συμμετρικό του Μʹ ως προς εʹ, τότε να 3. Αν xʹÂʹyʹ είναι η συμμετρική της γωνίας αποδείξετε ότι: xÂy, ως προς κέντρο συμμετρίας ένα ση- μείο Ο, εξωτερικό της xÂy, τότε να απο- i) ΟΜ = ΟΜʹʹ, δειχθεί ότι xʹÂʹyʹ = xÂy. ii) τα σημεία Μ, Ο, Μʹʹ είναι συνευθεια­ κά. Ανισοτικές σχέσεις Στην ενότητα αυτή αποδεικνύουμε την ανισοτική σχέση που ισχύει μεταξύ μιας εξωτερικής γωνίας ενός τριγώνου και των απέναντι γωνιών του και την ανισοτική σχέση πλευρών και γωνιών ενός τριγώνου. Επίσης, παρουσιάζουμε την τρι- γωνική ανισότητα. 3.10 Σχέση εξωτερικής και απέναντι γωνίας ΘΕΩΡΗΜΑ ** Κάθε εξωτερική γωνία ενός τριγώνου είναι μεγαλύτερη από καθεμία από τις απέναντι γωνίες του τριγώνου. ΑΠΟ∆ΕΙΞΗ x Έστω τρίγωνο ΑΒΓ. Φέρουμε τη διάμεσο ΒΔ (σχ.47) και στην προέκτασή της, προς το Δ, θεωρούμε σημείο Ε, ώστε A Ε ΔΕ = ΒΔ. Επειδή το Ε βρίσκεται στο εσωτερικό της γωνί- 2 ας ΓÂx έχουμε ΓÂΕ < ΓÂx = Âεξ. Όμως τα τρίγωνα ΒΔΓ και ΕΔΑ είναι ίσα γιατί έχουν: ΒΔ = ΔΕ, ΑΔ = ΔΓ και 1Δ B Γ ΓΔ̂ 1Â=ΕΔ̂<2,Aο̂πεξόπτρεοΓκ̂ ύ=πΓτAε̂ιΕό.τΑι Aπ̂όεξτ>ηΓν̂ .τΌελμεουιτααίααπιοσδόετιηκτναύεκτααιι την ότι και Âεξ > B̂ . Σχήµα 47 ΠΟΡΙΣΜΑΤΑ i) Κάθε τρίγωνο έχει το πολύ μια γωνία ορθή ή αμβλεία. * ii) Το άθροισμα δύο γωνιών κάθε τριγώνου είναι μικρό- τερο των 180°. 59

ΕΥΚΛΕΙ∆ΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ 3.11 Ανισοτικές σχέσεις πλευρών και γωνιών E To ox n' pea 48 5nA a En' isxuouv : ← ΘΕΩΡΗΜΑ ** )⇒ Av Eira , ABS AT , tote Eival IsKou Bh Σε κάθε τρίγωνο απέναντι από άνισες πλευρές βρίσκονται όμοια άνισες γωνίες και αντίστροφα. ⇐ . ) taps⇐ Av Eira , Tote Ei von Kai ABS AT . , ΑΠΟ∆ΕΙΞΗ Έστω τρίγωνο ΑΒΓ με β > γ (σχ.48). Τότε υπάρχει μοναδι- A κό εσωτερικό σημείο Δ της ΑΓ, ώστε ΑΔ = ΑΒ. Το τρίγωνο ω1 Δ ΑΒΔ είναι ισοσκελές με βάση ηΒμΔιεκυαθιεείαποτμηέςνγωωςνBί̂ α1ς=BΔ̂ ̂,1ε=ίνωαι. Επειδή η ΒΔ είναι εσωτερική B̂ > B̂ 1, ενώ η Δ̂ 1, B 1ω Γ είναι μεγαλύτερη ως εξωτερική γωνία του τριγώνου ΒΔΓ από τη Γ̂ , δηλαδή Δ̂ 1 > Γ̂ . Έτσι έχουμε B̂ > ω και ω > Γ̂ , επομένως B̂ > Γ̂ . Σχήµα 48 Αντίστροφα. Έστω τρίγωνο ΑΒΓ με B̂ > Γ̂ . Τότε θα είναι και β > γ, γιατί αν ήταν β = γ ή β < γ θα είχαμε B̂ = Γ̂ ή B̂ < Γ̂ αντίστοιχα, που είναι άτοπο. ΠΟΡΙΣΜΑΤΑ ** * ΣΧΟΛΙΟ i) Αν μια γωνία ενός τριγώνου είναι ορθή ή αμβλεία, τότε η απέναντι πλευρά της είναι η μεγαλύτερη πλευ- Το διπλανό πόρισμα (ii) είναι ρά του τριγώνου. το αντίστροφο του πορίσματος I ** * της §3.2. Τα δύο αυτά πορίσμα- ii) Αν ένα τρίγωνο έχει δύο γωνίες ίσες, τότε είναι ισο- Autnv τα συνοψίζονται στο εξής: ένα σκελές. τρίγωνο είναι ισοσκελές αν και μόνο αν έχει δύο γωνίες ίσες. iii) Αν ένα τρίγωνο έχει και τις τρεις γωνίες του ίσες, τότε είναι ισόπλευρο. i } I PETE ! 3.12 Τριγωνική ανισότητα Tnvtipotaonva Γνωρίζουμε ότι ο συντομότερος δρόμος μεταξύ δύο σημεί- ων είναι η ευθεία που τα συνδέει. Αυτό εκφράζεται από το επόμενο θεώρημα. ' # Telywvlky oeviootn Toe ΘΕΩΡΗΜΑ * * άθε πλευρά τριγώνου είναι μικρότερη από το άθροισμα Δ των δύο άλλων και μεγαλύτερη από τη διαφορά τους. β ΑΠΟ∆ΕΙΞΗ A γβ Έστω τρίγωνο ΑΒΓ. Θα αποδείξουμε αρχικά ότι α < β + γ (σχ.49). Γι’ αυτό προεκτείνουμε την πλευρά ΒΑ, προς το Α, 1 κατά τμήμα ΑΔ = ΑΓ. Τότε το τρίγωνο ΑΓΔ είναι ισοσκε- λές και η ΓΑ εσωτερική ημιευθεία της ΒΓ̂ Δ, οπότε έχουμε Bα Γ αντίστοιχα Δ̂ = Γ̂ 1 και Γ̂ 1 < ΒΓ̂ Δ. Από τις σχέσεις αυτές προ- Σχήµα 49 60

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3. ΤΡΙΓΩΝΑ ΣΧΟΛΙΟ κύπτει ότι Δ̂ < ΒΓ̂ Δ, από την οποία σύμφωνα με το προη- γούμενο θεώρημα συμπεραίνουμε ότι ΒΓ < ΒΔ ή α < β + γ. Γενικότερα ισχύει: Το ευθύγραμ- Όμοια προκύπτει ότι β < γ + α και γ < α + β. Από τις ανισό- μο τμήμα ΑΒ είναι μικρότερο τητες αυτές, αντίστοιχα προκύπτει ότι α > β – γ, αν β ≥ γ ή από κάθε τεθλασμένη γραμμή α > γ – β, αν γ ≥ β, δηλαδή και στις δύο περιπτώσεις ισχύει που έχει άκρα τα Α και Β. το ζητούμενο. Επομένως: β – γ < α < β + γ, β ≥ γ ΠΟΡΙΣΜΑ άθε χορδή κύκλου είναι μικρότερη ή ίση της διαμέτρου. ΕΦΑΡΜΟΓΗ 1 η Αν είναι ένα εσωτερικό σημείο ενός τριγώνου ΑΒΓ, να A Δ αποδειχθεί ότι: 1 i) ΒM̂ Γ > Â ii) Β + Γ < ΑΒ +ΑΓ. Απόδειξη i) Έστω Δ (σχ.50) το σημείο τομής της προέκτασης του Β B Γ με την ΑΓ. Η γωνία Β Γ είναι εξωτερική στο τρίγωνο Σχήµα 50 ΔΓ και επομένως ΒM̂ Γ θ>αΔ̂ε1ί.νΑαιλΔλ̂ ά1 η Δ̂ 1 είναι εξωτερική ΒM̂ Γ > Â. στο τρίγωνο ΑΒΔ, οπότε > Â. Άρα θα είναι και ii) ε εφαρμογή της τριγωνικής ανισότητας στα τρίγωνα ΑΒΔ και ΓΔ προκύ- πτουν αντίστοιχα οι ανισότητες Β + Δ < ΑΒ + ΑΔ και Γ < Δ + ΔΓ. Προσθέτοντας κατά μέλη βρίσκουμε: Β + Δ + Γ < ΑΒ + (ΑΔ + ΔΓ) + Δ ή Β + Γ < ΑΒ + ΑΓ. ** * ΕΦΑΡΜΟΓΗ 2 η Έστω τρίγωνο ΑΒΓ και σημείο Δ της πλευράς ΒΓ. Αν ισχύουν A δύο από τις επόμενες προτάσεις: MOXY 12 i) το τμήμα ΑΔ είναι διάμεσος, EHMANTIKO ii) το τμήμα ΑΔ είναι διχοτόμος, iii) το τμήμα ΑΔ είναι ύψος, Keith @ 10 τότε το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ισοσκελές με βάση ΒΓ. , ul OTE & voe B 1 Γ Tpijwvo Δ2 via Ei roll 15054 Is Λύση . Xpnripeo - Έστω ΑΔ διχοτόμος και διάμεσος του τριγώνου ΑΒΓ (σχ.51). Προ- Mol Ei Toll εκτείνουμε το ΑΔ κατά ίσο τμήμα ΔΕ. Τότε τα τρίγωνα ΑΒΔ και Ε ΔΓΕ είναι ίσα (ΒΔ = ΔΓ, ΑΔ = ΔΕ, Δ̂ 1= Δ̂ 2 ως κατακορυφήν). Άρα Σχήµα 51 6 uxvoi OTIS ΑΒ = ΓΕ (1) και Â1 = Ê. Από την Â1 = Ê προκύπτει ΑΓ = ΓΕ (2), αφού ΑΔ διχοτόμος, aoki 's secs ! οπότε Â1 = Â2 = Ê. Από τις σχέσεις (1) και (2) προκύπτει ότι ΑΒ = ΑΓ. Αν ΑΔ είναι ύψος και διάμεσος ή ύψος και διχοτόμος, τότε εύκολα αποδεικνύεται ότι τα τρίγωνα ΑΒΔ και ΑΔΓ είναι ίσα, οπότε ΑΒ = ΑΓ. 61

ΕΥΚΛΕΙ∆ΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ * * Αν δύο τρίγωνα έχουν δύο πλευρέςΕΦΑΡΜΟΓΗ 3η A Aʹ ίσες και τις περιεχόμενες γωνίες άνι- σες, τότε και οι τρίτες πλευρές θα εί- ναι όμοια άνισες και αντίστροφα. Απόδειξη Ας θεωρήσουμε τα τρίγωνα ΑΒΓ και B Ε Γ Bʹ ΑʹΒʹΓʹ με ΑΒ = ΑʹΒʹ, ΑΓ = ΑʹΓʹ και Â > Âʹ (σχ.55). Δx Γʹ Θα αποδείξουμε ότι BΓ > ΒʹΓʹ. Αφού Σχήµα 52 Â > Âʹ, υπάρχει εσωτερική ημιευθεία Ax της Â τέτοια, ώστε ΒÂx = Âʹ. Πάνω στην Αx θεωρούμε σημείο Δ, ώστε ΑΔ = ΑʹΓʹ. Τότε τα τρίγωνα ΑΒΔ και ΑʹΒʹΓʹ είναι ίσα (ΠΓΠ). Άρα, ΒΔ = ΒʹΓʹ. Φέρουμε κατόπιν τη διχοτόμο ΑΕ της γωνίας ΔÂΓ, οπότε σχηματίζονται δύο ίσα τρίγωνα, τα ΑΔΕ και ΑΓΕ, άρα ΕΔ = ΕΓ. Στο τρίγωνο ΒΔΕ, έχουμε από την τριγωνική ανισότητα ότι ΒΔ < ΒΕ + ΕΔ ή ΒΔ < ΒΕ + ΕΓ ή ΒʹΓʹ < ΒΓ. Αντίστροφα. Ας θεωρήσουμε ότι στα τρίγωνα ΑΒΓ και ΑʹΒʹΓʹ είναι ΑΒ = ΑʹΓʹ, ΑΓ = ΑʹΓʹ και ΒΓ > ΒʹΓʹ. Αν ήταν Â = Âʹ, τότε θα είχαμε ότι ΒΓ = ΒʹΓʹ, ενώ αν ήταν Â < Âʹ, θα είχαμε ότι ΒʹΓʹ < ΒΓ, που είναι άτοπο. Επομένως, Â > Âʹ. ΕΦΑΡΜΟΓΗ 4 η Δίνεται μια ευθεία ε, δύο σημεία Α, Β προς το ίδιο A B μέρος της και το συμμετρικό Αʹ του Α ως προς την ε 0ε (Σχ.53α). (α) Aʹ Σ i) Για οποιοδήποτε σημείο της ε, να αποδειχθεί ότι Γ Α + Β = Αʹ + Β ≥ ΑʹΒ. Πότε το άθροι- Aʹ B σμα Α + Β παίρνει τη μικρότερή του τιμή; (β) Σχήµα 53 A ii) Στα σημεία Α, Β, Γ (σχ.53β) βρίσκονται τρεις κωμοπόλεις. οντά σε αυτές διέρχεται σιδηρο- δρομική γραμμή, πάνω στην οποία πρόκειται να κατασκευασθεί σταθμός Σ. Σε ποιο σημείο πρέ- πει να κατασκευασθεί ο σταθμός, ώστε ο δρόμος ΑΣΓΒ να είναι ο ελάχιστος δυνατός; Λύση i) Επειδή το Αʹ είναι συμμετρικό του Α ως προς την ε, η ε είναι μεσοκάθετος του ΑΑʹ, οπότε Α = Αʹ και επομένως Α + Β = Αʹ + Β (1). Αν το δεν είναι σημείο του τμήματος ΑʹΒ από το τρίγωνο ΑʹΒ, έχουμε Αʹ + Β > ΑʹΒ (2), ενώ αν το είναι σημείο του ΑʹΒʹ έχουμε Αʹ + Β = ΑʹΒ (3). Από (1), (2) και (3) προκύπτει ότι Α + Β = Αʹ + Β ≥ ΑʹΒ και ότι το Α + Β παίρνει τη μικρότερή του τιμή ΑʹΒ, όταν = 0, όπου 0 το σημείο τομής της ε με το ΑʹΒ. ii) Όμοια με το i). 62

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3. ΤΡΙΓΩΝΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ Ερωτήσεις Κατανόησης 3. Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ με B̂ =Γ̂ . i) Τι είδους γωνία είναι η B̂ ; 1. Χαρακτηρίστε ως σωστή (Σ) ή λάθος ( ) καθεμία από τις επόμενες προτάσεις: ii) α αποδείξετε ότι το ύψος από την κορυφή Α τέμνει την ευθεία ΒΓ, σε i) Η εξωτερική γωνία Âεξ Σ εσωτερικό σημείο της πλευράς ΒΓ. τριγώνου ΑΒΓ είναι Σ μεγαλύτερη από τη Γ̂ . 4. Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και σημείο Δ της ημιευθείας Βx που περιέχει το Α. α απο- ii) Η εξωτερική γωνία B̂ εξ δείξετε ότι η γωνία ΒΔ̂ Γ είναι μεγαλύτε- τριγώνου ΑΒΓ είναι ρη, ίση ή μικρότερη της γωνίας ΒÂΓ, αν μικρότερη από τη Γ̂ . το σημείο Δ βρίσκεται μεταξύ των Β και Α, ταυτίζεται με το Α ή βρίσκεται μετά το iii) Το άθροισμα δύο γωνιών ενός Α, αντίστοιχα. τριγώνου είναι 180°. Σ 5. Αν σημείο της βάσης ΒΓ ισοσκε- λούς τριγώνου ΑΒΓ, να αποδείξετε ότι iv) Αν β > γ (σε τρίγωνο ΑΒΓ), τότε Α < ΑΒ. B̂ = Γ̂ και αντίστροφα. Σ 6. Σε ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ (Â =90°), η v) Αν β = γ (σε τρίγωνο ΑΒΓ), τότε διχοτόμος της γωνίας Γ̂ τέμνει την πλευ- B̂ = Γ̂ και αντίστροφα. Σ ρά ΑΒ στο Δ. α αποδείξετε ότι ΑΔ < ΔΒ. 2. Για το τρίγωνο του παρακάτω σχήματος 7. Έστω τρίγωνο ΑΒΓ και Ο σημείο στο ισχύει: εσωτερικό του τριγώνου. Οι ΒΟ και ΓΟ τέμνουν τις ΑΓ και ΑΒ στα σημεία και α. α = 7 β. α = 1 αντίστοιχα. Αν ισχύει ότι ΒΟ = ΓΟ και Ο = Ο να αποδείξετε ότι το τρίγωνο γ. 1 < α < 7 δ. α > 7 ε. 0 < α < 1. ΑΒΓ είναι ισοσκελές. υκλώστε το γράμμα της σωστής απάντησης 8. Έστω ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ (ΑΒ = ΑΓ) και αιτιολογήστε την απάντησή σας. και , τα μέσα των ΑΒ και ΑΓ αντί- στοιχα. α αποδείξετε ότι αν οι εξωτε- 34 ρικές διχοτόμοι των γωνιών του B̂ και Γ̂ τέμνονται στο σημείο Δ, τότε το τρίγωνο α Δ είναι ισοσκελές. 3. Υπάρχει τρίγωνο ΑΒΓ με a= γ και β= 3γ ; 9. Θεωρούμε ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ 3 5 (ΑΒ = ΑΓ) και I το σημείο τομής των δι- Δικαιολογήστε την απάντησή σας. χοτόμων των γωνιών B̂ , Γ̂ . α αποδείξε- τε ότι: Ασκήσεις Εµπέδωσης 1. Στο παρακάτω σχήμα είναι B̂ 1 > Γ̂ 1 . i) το τρίγωνο Β Γ είναι ισοσκελές, α αποδείξετε ότι B̂ 1 > 90°. ii) η Α είναι διχοτόμος της Â. Α 10. Οι κωμοπόλεις 1, 2, 3 απέχουν από την πόλη Π (παρακάτω σχήμα), απο- 12 21 στάσεις 7, 6 και 10 km αντίστοιχα. Ένα ΒΓ αυτοκίνητο ξεκινάει από την κωμόπο- λη 1 και ακολουθώντας τη διαδρομή 2. Αν σε κυρτό τετράπλευρο ΑΒΓΔ ισχύουν 1 2 3 1 επιστρέφει στην 1. Ο χιλιο- ΑΒ = ΒΓ και Â = Γ̂ , να αποδείξετε ότι μετρητής του γράφει ότι για αυτή τη δια- ΑΔ = ΓΔ. Τι συμπεραίνετε για τη ΒΔ; δρομή διήνυσε απόσταση 48 km. Είναι 63

ΕΥΚΛΕΙ∆ΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ αυτό δυνατόν; Δικαιολογήστε την απά- Αν A͡ B = 2Γ͡ Δ να αποδείξετε ότι ΑΒ < 2ΓΔ. ντησή σας. 7. α αποδείξετε ότι σε δύο άνισα τόξα ενός K2 κύκλου αντιστοιχούν χορδές όμοια άνισες και αντίστροφα. 6Km Σύνθετα Θέµατα 7Km 1. Έστω κυρτό τετράπλευρο ΑΒΓΔ και Ο Π εσωτερικό σημείο του. 10Km i) α αποδείξετε ότι K1 K3 ΟΑ + ΟΒ + ΟΓ + ΟΔ > ΑΒ+ΒΓ+ΓΔ+ ΔΑ. 2 ii) Για ποια θέση του Ο το άθροισμα Αποδεικτικές Ασκήσεις ιΓσ̂ .χύΤειιισμχa ύ<εια2ό,τνααν ΟΑ + ΟΒ + ΟΓ + ΟΔ γίνεται ελάχιστο; 1. Αν σε τρίγωνο ΑΒΓ απο- δείξετε ότι Â > B̂ + μa = 2. Σε τρίγωνο ΑΒΓ (ΑΒ < ΑΓ) προεκτείνουμε α α τις πλευρές ΒΑ και ΓΑ προς το μέρος του 2 ή μa > 2 ; Α κατά τμήματα ΑΔ = ΑΓ και ΑΕ = ΑΒ αντίστοιχα. Η ευθεία ΔΕ τέμνει την ευθεία 2. Έστω τρίγωνο ΑΒΓ με ΑΒ < ΑΓ και ΒΓ στο σημείο . α αποδείξετε ότι: το μέσο της ΒΓ. α αποδείξετε ότι i) το τρίγωνο ΒΕ είναι ισοσκελές, ΑM̂ Γ > ΑM̂ Β. ii) η διχοτόμος της ΒM̂ Ε διέρχεται από 3. Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ με ΑΒ < ΑΓ και η το σημείο Α. διάμεσος Α . α αποδείξετε ότι: 3. Έστω Ο το σημείο τομής των διαγωνίων i) ÂΒ > ÂΓ, ενός κυρτού τετραπλεύρου ΑΒΓΔ. α απο- δείξετε ότι: ii) β–γ < μa < β + γ , 2 2 i) κάθε διαγώνιος είναι μικρότερη της iii) μα+ μβ+ μγ < 2τ. ημιπεριμέτρου του τετραπλεύρου, 4. Έστω κύκλος (Ο, R) διαμέτρου ΑΒ και ii) ΑΓ + ΒΔ > ΑΒ + ΓΔ και ΑΓ + ΒΔ > ΑΔ + ΒΓ, t2xH ! ! σημείο Σ της ημιευθείας ΟΑ. Για κάθε σημείο του κύκλου να αποδειχθεί ότι iii) το άθροισμα των διαγωνίων είναι με- γαλύτερο της ημιπεριμέτρου του τε- •B ΣΑ ≤ Σ ≤ ΣΒ. (Το τμήμα ΣΑ λέγεται τραπλεύρου και μικρότερο της περι- μέτρου του τετραπλεύρου. O απόσταση του Σ από τον κύκλο). • Ao I 5. Έστω τρίγωνο ΑΒΓ. Αν η διχοτόμος δα τέ- μνει κάθετα τη διάμεσο μβ, να αποδείξετε . ότι: 4. Στο εσωτερικό ορθής γωνίας xÔy θεωρού- με σημείο Γ και στις πλευρές της Οx, Oy τα { σημεία Α, Β αντίστοιχα. α αποδείξετε ότι η περίμετρος του τριγώνου ΑΒΓ είναι με- And stash i) ΑΓ = 2ΑΒ, γαλύτερη από 2ΟΓ. Evo 's on peeiou ii) ΑΒ < ΒΓ. and Ivar 6. Έστω κύκλος (Ο, R) και δύο τόξα A͡ B, Γ͡ Δ. Kirk 70 -- Hamo 's torn A 3.13 Κάθετες και πλάγιες TO U only Eiou A { Έστω μια ευθεία ε (σχ.54) και ένα σημείο Α εκτός αυτής. Από το Α φέρουμε προς την ε την κάθετο δ και μια πλάγια ' Eu fed a E \\.B ε ζ. Οι ευθείες δ και ζ τέμνουν την ε στα και Β αντίστοιχα. Το , όπως είναι γνωστό, λέγεται προβολή του Α πάνω στην AMO TW ζ ε ή ίχνος της καθέτου δ πάνω στην ε. Το Β λέγεται ίχνος της Σχήµα 54 ευθείας ζ ή του τμήματος ΑΒ πάνω στην ε. #H npobo δ Tou A Moi Vw 5Th V E ' ixvos 64 ' ' n To Mou GE pvoupe E Keefe Tou Tns and To onpeeio A M @ OS Tnr ' Eof Ec a E

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3. ΤΡΙΓΩΝΑ A ΘΕΩΡΗΜΑ I Αν δύο πλάγια τμήματα είναι ίσα, τότε τα ίχνη τους ισα- BΓ πέχουν από το ίχνος της καθέτου, και αντίστροφα. Σχήµα 55 ΑΠΟ∆ΕΙΞΗ ΣΧΟΛΙΟ Έστω ΑΒ και ΑΓ δύο ίσα πλάγια τμήματα και Α το κά- Την ιδιότητα (i) του Θεωρήμα- θετο τμήμα (σχ.55). To τρίγωνο ΑΒΓ είναι ισοσκελές και τος II, που έχει το κάθετο τμήμα το Α ύψος του, επομένως θα είναι και διάμεσος, δηλαδή συνήθως εκφράζουμε και ως: η απόσταση ενός σημείου Α από Β = Γ. μία ευθεία ε είναι μικρότερη από την απόσταση του Α από τυχόν Αντίστροφα. Έστω ότι Β = Γ. Στο τρίγωνο ΑΒΓ το Α σημείο της ευθείας. είναι ύψος και διάμεσος, άρα (εφαρμογή §3.12) το τρίγωνο είναι ισοσκελές, δηλαδή ΑΒ = ΑΓ. A ΘΕΩΡΗΜΑ II B Αν από ένα σημείο εκτός ευθείας φέρουμε το κάθετο και Σχήµα 56 δύο πλάγια ευθύγραμμα τμήματα τότε: (i) Το κάθετο τμήμα είναι μικρότερο από κάθε πλάγιο. A (ii) Αν δύο πλάγια τμήματα είναι άνισα, τότε και οι απο- ΓB ε στάσεις των ιχνών τους από το ίχνος της καθέτου Σχήµα 57 είναι ομοιοτρόπως άνισες και αντίστροφα. ΑΠΟ∆ΕΙΞΗ i) Στο ορθογώνιο τρίγωνο Α Β (σχ.56), η γωνία K̂ είναι η μεγαλύτερη ως ορθή. Επομένως η πλευρά ΑΒ είναι η μεγαλύτερη πλευρά του τριγώνου και, άρα, ΑΒ > Α . ii) Έστω ευθεία ε και σημείο Α εκτός αυτής. Θεωρούμε την κάθετο Α στην ε και δύο πλάγια τμήματα ΑΒ, ΑΓ, όπου Β, Γ σημεία της ε (σχ.57). Χωρίς βλάβη της γενικότητας, μπορούμε να υποθέσουμε ότι και τα δύο ίχνη Β, Γ των πλάγιων τμημάτων ανήκουν στην ίδια ημιευθεία που ορίζει το σημείο . Ας υποθέσουμε ότι Γ > Β (σχ.57). Θα αποδείξουμε ότι ΑΓ > ΑΒ. Αφού το Β είναι μεταξύ των , Γ, η ΑB̂ Γ εί- ναι εξωτερική του ορθογώνιου τριγώνου ΑΒ, επομένως ΑB̂ Γ > K̂ = 1⌊, δηλαδή η ΑB̂ Γ είναι αμβλεία. Στο τρίγωνο ΑΒΓ η πλευρά ΑΓ βρίσκεται απέναντι από την ΑB̂ Γ, συνεπώς είναι η μεγαλύτερη πλευρά του τριγώνου, δηλαδή ΑΓ > ΑΒ. Αντίστροφα. Ας υποθέσουμε ότι ΑΓ > ΑΒ. Αν ήταν Γ = Β, τότε θα είχαμε ΑΓ = ΑΒ, που είναι άτοπο. Αν Γ < Β, τότε σύμφωνα με το προηγούμενο θα είχαμε ότι ΑΓ < ΑΒ, που είναι επίσης άτοπο. Επομένως Γ > Β. 65

ΕΥΚΛΕΙ∆ΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ Ερωτήσεις Κατανόησης 2. Στο παρακάτω σχήμα το ΑΗ είναι ύψος και διάμεσος του τριγώνου ΑΒΓ. α συ- Αν ΑΒ, ΑΓ πλάγια τμήματα ως προς μια γκρίνετε τα τμήματα ΑΒ, ΑΓ και ΑΔ. ευθεία ε και Α το κάθετο τμήμα, τότε: Α 1. Συμπληρώστε τις παρακάτω ισοδυναμίες Β Η ΓΔ 3. Δίνεται τμήμα ΑΒ, σημείο Ρ της μεσο- i) ΑΒ = ΑΓ ⇔ ................... καθέτου του και μία ευθεία ε που διέρχε- ii) ΑΒ > ΑΓ ⇔ ................... ται από το Α. 2. Χαρακτηρίστε ως σωστή (Σ) ή λάθος ( ) i) α συγκρίνετε τις αποστάσεις του Ρ καθεμία από τις παρακάτω σχέσεις και από την ευθεία ε και το σημείο Β. αιτιολογήστε την απάντησή σας. ii) Ποια πρέπει να είναι η θέση της ευ- i) ΑΒ > Α Σ θείας ε, ώστε οι αποστάσεις αυτές να είναι ίσες; ii) ΑΒ = Α Σ iii) ΑΒ < Α Σ Ασκήσεις Εµπέδωσης 1. Στις κάθετες πλευρές ΑΒ, ΑΓ ορθογώνιου τριγώνου ΑΒΓ θεωρούμε τα σημεία Δ, Ε αντίστοιχα. α αποδείξετε ότι: i) ΔΕ < ΕΒ, ii) ΔΕ < ΒΓ. Ευθεία και κύκλος Attach I xoupeeatostasu Evo 's onpeeiou (( Tou O ) and Mia Evo Eia x' x) ' Apa and . Thu To 0 Gdp Vogue Koi OETN 5Th V x' X . or α Y \" Ei%Eg: er ' J3.14 Σχετικές θέσεις ευθείας και κύκλου . A Eudocia x' x A 'E8ETm {Ο ' Θεωρούμε έναν κύκλο (Ο, R) μια ευθεία xʹx και την από- ' }δ R then pea Ae - σταση δ = ΟΑ του κέντρου Ο από την xʹx (σχ.58). εταξύ E }wTE @ 1km fetal carb Tov Kid KHOU Stash TOU A § and Tov Kirk XO των δ και R ισχύει μία από τις σχέσεις: δ > R, δ = R και x Ax δ < R. Θα εξετάσουμε τη γεωμετρική ερμηνεία καθεμίας Heutteioexx µsγβ από τις σχέσεις αυτές. Ο Hgwvia • Έστω δ > R (σχ.58α). Τότε το Α είναι εξωτερικό σημείο }Egan To 'µEVnXIJE Tac8=12 ' Eira , του κύκλου, οπότε και κάθε άλλο σημείο της ευθείας είναι εξωτερικό, αφού OM > OA > R. Επομένως, η xʹx TOU KIKA ou auth δεν έχει κανένα κοινό σημείο με τον κύκλο και λέγεται εξωτερική ευθεία του κύκλου. R=δ Opa's #x x A → Enpeeioeoiagn's Ynevoyui}ETai He EVO Eide Xl X 842 }{Ο O' Tl auto TO • Έστω δ = R (σχ.58β). Τότε το Α είναι κοινό σημείο της ευθείας με τον κύκλο, ενώ κάθε άλλο σημείο της xʹx X 'EjETa1 δR ' είναι εξωτερικό σημείο του (Ο, R), αφού Ο > ΟΑ = R. A Επομένως, η xʹx έχει ένα μόνο κοινό σημείο με τον κύ- T'EµV0u5a Tou xB Tien fear KOKA ou ! Egerton an 'ooThµa Bx ' xoefy 's BB Σχήµα 58 v 66 Enyeeioe topers 's

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3. ΤΡΙΓΩΝΑ κλο και λέγεται εφαπτομένη του κύκλου στο σημείο Α. Το σημείο Α λέγεται σημείο επαφής της ευθείας με τον κύκλο. Επίσης, στην περίπτωση αυτή λέμε ότι η ευθεία xʹx εφάπτεται του κύκλου (Ο, R) στο σημείο Α. Είναι φανερό ότι: * Η ακτίνα που καταλήγει στο σημείο επαφής είναι κάθετη * στην εφαπτομένη. * Η εφαπτομένη του κύκλου σε κάθε σημείο του είναι μο- ναδική. • Έστω δ < R (σχ.58γ). Τότε το Α είναι εσωτερικό σημείο του κύκλου. Πάνω στην ημιευθεία Αx θεωρούμε ένα ση- μείο , ώστε Α = R. Τότε το είναι εξωτερικό σημείο του κύκλου, αφού Ο > Α = R. Έτσι η ημιευθεία Αx, αφού διέρχεται από ένα εσωτερικό σημείο, το Α, και ένα εξωτερικό, το , είναι φανερό ότι έχει ένα μοναδικό κοι- νό σημείο με τον κύκλο, το Β. Όμοια και η ημιευθεία Αxʹ έχει ένα κοινό σημείο με τον κύκλο, το Βʹ. Επομένως, η xʹx έχει δύο κοινά σημεία με τον κύκλο. Στην περίπτωση αυτή η ευθεία xʹx, λέγεται τέμνουσα του κύκλου και τα κοινά της σημεία με τον κύκλο λέγονται σημεία το- μής της με τον κύκλο. Επίσης λέμε ότι η ευθεία τέμνει τον κύκλο. of OTE au TE 'S TIS Mpo Tais Els fee Ανακεφαλαιώνοντας έχουμε: in @ otoesecs AUTE 's µEuvoT n' pea 58 to ox 15×4 our Koel f • Αν δ > R, η ευθεία δεν έχει κοινά σημεία με τον κύκλο. • Αν δ = R, η ευθεία έχει ένα μόνο κοινό σημείο με τον artist po ga κύκλο. ε ζξ • Αν δ < R, η ευθεία έχει δύο κοινά σημεία με τον κύκλο. Ο ε τη μέθοδο της απαγωγής σε άτοπο αποδεικνύονται και A τα αντίστροφα των παραπάνω συμπερασμάτων. ε την ίδια επίσης μέθοδο αποδεικνύεται και το επόμενο θεώρημα. Γ B ΘΕΩΡΗΜΑ I Σχήµα 59 ια ευθεία και ένας κύκλος έχουν το πολύ δύο κοινά ΣΧΟΛΙΟ σημεία. Από το προηγούμενο θεώρημα ΑΠΟ∆ΕΙΞΗ προκύπτει ότι τρία οποιαδήπο- τε σημεία ενός κύκλου δεν είναι Ας υποθέσουμε ότι μια ευθεία ε και ένας κύκλος (Ο, ρ) έχουν συνευθειακά. Στην §4.5 θα δού- τρία κοινά σημεία, τα Α, Β, Γ (σχ. 59). Επειδή ΟΑ = ΟΒ (= ρ) με ότι από τρία μη συνευθειακά και ΟΒ = ΟΓ (= ρ), οι μεσοκάθετοι ξ, ζ των ΑΒ, ΒΓ αντί- σημεία διέρχεται ένας κύκλος, στοιχα, διέρχονται από το Ο. Έτσι από το σημείο Ο έχουμε που είναι και μοναδικός. δύο διαφορετικές κάθετες στην ε, τις ξ, ζ, που είναι άτοπο. 67

ΕΥΚΛΕΙ∆ΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ 3.15 Εφαπτόµενα τµήµατα Έστω ένας κύκλος (Ο, ρ) και ένα εξωτερικό του σημείο Ρ. Στην §6.7 θα δούμε ότι από το Ρ φέρονται δύο εφαπτόμε- νες του κύκλου. Αν Α, Β είναι τα σημεία επαφής αυτών με τον κύκλο (σχ.60), τότε τα τμήματα ΡΑ και ΡΒ λέγονται εφαπτόμενα τμήματα του κύκλου από το σημείο Ρ και η I ευθεία ΡΟ διακεντρική ευθεία του σημείου Ρ. σχύει το εξής ' ' To PT 7dg Eta , and - ' Toe AB θεώρημα: i , , PTo u ' , an o Tov :¥÷÷ Ji•t )Ki Kao ! AY ΘΕΩΡΗΜΑ ΙΙ ** * 1 -- - -- -- - --- 2 Τα εφαπτόμενα τμήματα κύκλου, που άγονται από σημείο εκτός αυτού είναι ίσα μεταξύ τους. Ta PA PB → 1 Ο , 2 ' Ρ : - kik Fou ΑΠΟ∆ΕΙΞΗ 7djovtoei.sn/yeiaEna6n's6T9OhTM n' µ a Toe TooP B Τα τρίγωνα ΑΟΡ και ΒΟΡ (σχ.60) έχουν Â= B̂ = 90°, ΟΡ and To 6h14 Edo κοινή και ΟΑ = ΟΒ (= ρ), άρα είναι ίσα, οπότε ΡΑ = ΡΒ. To Po 7dg Eta , Foe ' Eu KEVTPIKY ' on Mec ou To uΣχήµα 60OEI 'd P attenuataBe IT a Toe Egan to peer PA PB ΠΟΡΙΣΜΑ ** * , Αν Ρ είναι ένα εξωτερικό σημείο ενός κύκλου, τότε η 16×6 , be , PA =P B διακεντρική ευθεία του: . • Tia tnv Tia Keitel K'is Eof Eta PO too on fuel ou i) είναι μεσοκάθετος της χορδής του κύκλου με άκρα P' τα σημεία επαφής, loxu our : a) Ei von peeookoioetos Tns xopcfn's AB . ii) διχοτομεί τη γωνία των εφαπτόμενων τμημάτων και τη γωνία των ακτίνων που καταλήγουν στα σημεία b) E iron of Xo To 'µoS Tns AFB επαφής. . 8) eivaioxotopeos Tns AE B . Ερωτήσεις ΚατανόησηςΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ λάθος ( ) καθεμία από τις παρακάτω 1. Πότε μια ευθεία έχει δύο, ένα ή κανένα προτάσεις: κοινό σημείο με έναν κύκλο; Α 2. Είναι δυνατόν στο παρακάτω σχήμα να ΡΟ είναι ΟΑ = ΟΒ = ΟΓ; Δικαιολογήστε την απάντησή σας. Β Ο i) ΡΑ = ΡΒ. Σ ε ii) Η Ρ διέρχεται Σ Α ΒΓ από το Ο. 3. Στο παρακάτω σχήμα τα ΡΑ, ΡΒ είναι εφαπτόμενα τμήματα, η Ρ διχοτόμος iii) Η Ο διέρχεται Σ από τα Ρ, , . της ΑP̂ Β, τα , μέσα των τόξων ΑΛΒ , ΑΝΒ αντίστοιχα και το μέσο της χορ- iv) Η προέκταση του δής ΑΒ. Χαρακτηρίστε ως σωστή (Σ) ή διχοτομεί τις γωνίες ΑP̂ Β, ΑÔΒ 68 και το τόξο ΑΝΒ . Σ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3. ΤΡΙΓΩΝΑ Ασκήσεις Εµπέδωσης Αποδεικτικές Ασκήσεις 1. Αν έχουμε δύο ομόκεντρους κύκλους, να 1. α αποδείξετε ότι δύο σημεία μίας εφα- εξηγήσετε γιατί όλες οι χορδές του μεγά- πτομένης κύκλου, τα οποία ισαπέχουν από λου κύκλου που εφάπτονται στο μικρό κύ- το σημείο επαφής, απέχουν ίση απόσταση κλο είναι ίσες. από τον κύκλο. 2. Δίνεται κύκλος (Ο, ρ), μία διάμετρός του 2. Από σημείο εξωτερικό του κύκλου (Ο, ΑΒ και οι εφαπτόμενες ε1, ε2 του κύκλου R) φέρουμε τις εφαπτόμενες Α, Β του στα Α, Β. Αν μια τρίτη εφαπτομένη ε τέ- κύκλου. Προεκτείνουμε το ΟΒ κατά ίσο μνει τις ε1, ε2 στα Γ, Δ, να αποδείξετε ότι τμήμα ΒΓ. α αποδείξετε ότι η γωνία ΓÔΔ = 90°. ΑM̂ Γ είναι τριπλάσια της ΒM̂ Γ. 3. Από εξωτερικό σημείο Ρ κύκλου (Ο,R) 3. Από εξωτερικό σημείο Ρ ενός κύκλου κέ- φέρουμε τα εφαπτόμενα τμήματα ΡΑ και ντρου Ο, φέρουμε τα εφαπτόμενα τμήμα- ΡΒ. ία τρίτη εφαπτομένη στο σημείο τα ΡΑ και ΡΒ. Αν είναι ένα εσωτερικό Ε του κύκλου τέμνει τα ΡΑ και ΡΒ στα σημείο του ευθύγραμμου τμήματος ΟΡ να σημεία Γ, Δ αντίστοιχα. α βρεθεί η περί- αποδείξετε ότι ÂΡ = B̂ Ρ. μετρος του τριγώνου ΡΓΔ ως συνάρτηση των τμημάτων ΡΑ και ΓΔ. TL or quoi Jo YUE 3.16 Σχετικές θέσεις δύο κύκλων Sia KEV Tpo Silo Θεωρούμε δύο κύκλους ( , R) και ( , ρ) με R ≥ ρ. Οι σχε- KUKA ur τικές τους θέσεις φαίνονται στο παρακάτω σχήμα (σχ.61α). Το ευθύγραμμο τμήμα που ενώνει τα κέντρα δύο κύκλων λέγεται διάκεντρος των δύο κύκλων και συμβολίζεται με δ (σχ. 61β). Οι σχετικές θέσεις δύο κύκλων εξαρτώνται από τη σχέση της διακέντρου με το άθροισμα ή τη διαφορά των ακτίνων τους. Διακρίνουμε τις παρακάτω περιπτώσεις: δ Σχήµα 61α Σχήµα 61β 69

ΕΥΚΛΕΙ∆ΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ► Κύκλοι χωρίς κοινά σηµεία FR p- → (α) δ I i) Ο κύκλος ( , ρ) βρίσκεται στο εσωτερικό του ( , R), αν και μόνο αν δ < R – ρ (σχ.62α). ii) Οι κύκλοι ( , R) και ( , ρ) βρίσκεται ο ένας στο εξω- f- R - p → (β) δ 9 τερικό του άλλου, αν και μόνο αν δ > R + ρ (σχ.62ε). • ► Εφαπτόµενοι κύκλοι \" \" KM → (γ) R Aρ i) Οι κύκλοι εφάπτονται εσωτερικά, δηλαδή έχουν ένα δ κοινό σημείο και ο κύκλος ( , ρ) βρίσκεται στο εσω- B τερικό του ( , R), αν και μόνο αν δ = R – ρ (σχ.62β). E- Rtp → (δ) §¥•R ρ ii) Οι κύκλοι εφάπτονται εξωτερικά, δηλαδή έχουν ένα δ [yδ κοινό σημείο και ο ένας βρίσκεται στο εξωτερικό του , άλλου, αν και μόνο αν δ = R + ρ (σχ.62δ). Enpeeio 8 > Rtp → (ε) Το κοινό σημείο δύο εφαπτόμενων κύκλων λέγεται σημείο Ennen 's επαφής και είναι σημείο της διακέντρου. 800 ' Egan TO - Σχήµα 62 ' Πράγματι, αν το σημείο επαφής Α (σχ.63) δεν είναι ση- µEvwv ku Kfar μείο της διακέντρου, τότε από το τρίγωνο Α έχουμε < Α + Α , δηλαδή δ < R + ρ, που είναι άτοπο. R Aρ ← ► Τεµνόµενοι κύκλοι δ Οι κύκλοι τέμνονται, δηλαδή έχουν δύο κοινά σημεία, αν και μόνο αν R – ρ < δ < R + ρ (σχ.62γ). Το ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ που ενώνει τα κοινά σημεία λέγεται κοινή χορδή των δύο κύκλων. σχύει το επόμενο θεώρημα. Σχήµα 63 ΘΕΩΡΗΜΑ ** * Η διάκεντρος δύο τεμνόμενων κύκλων είναι μεσοκάθετος Bae 're της κοινής χορδής τους. Ari pea / 64^860To AB 785cal ' Koivnxopcn TWV toxic Toe }n 's : A TEµvo'µEVWV Rρ H KA Eivac Ku'k7wV ΑΠΟ∆ΕΙΞΗ MEGO KOIQETOS Έστω οι κύκλοι (K, R) και ( , ρ) του σχ.64 και Α, Β τα σημεία Tns AB Rρ τομής τους. Επειδή Α = Β = R, το σημείο είναι σημείο B της μεσοκαθέτου του ΑΒ. Όμοια από την Α = Β = ρ προκύ- πτει ότι και το είναι σημείο της μεσοκαθέτου του ΑΒ. Άρα, Σχήµα 64 η είναι μεσοκάθετος της κοινής χορδής ΑΒ του κύκλου. 01 Kirito , eivaiiool ! - - ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ * * * Στην περίπτωση που οι τεμνόμενοι κύκλοι ( , R) και ( , ρ) (σχ.65) I oxbow Tore }n 's : A a) It KA Eivoei B είναι ίσοι, δηλαδή έχουν R = ρ, τότε και η κοινή χορδή είναι μεσο- Σχήµα 65 κάθετος της διακέντρου. Hero Koi QETOS Πράγματι, επειδή R = ρ, θα είναι Α = Α και Β = Β . Άρα τα Α Tns AB και Β είναι σημεία της μεσοκαθέτου του και επομένως η κοινή . χορδή ΑΒ είναι μεσοκάθετος της διακέντρου . b) HAB eira , pecookoioe - Tos Tns KA . 70

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3. ΤΡΙΓΩΝΑ HEYE Toei Koivu EJWTE of 1km Egan Tope 'Evn Twr Silo K 'uK7wV *** ΕΦΑΡΜΟΓΗ Δύο κύκλοι εφάπτονται εξωτερικά στο Α (σχ.66). 9 ία ευθεία ε εφάπτεται και στους δύο κύκλους στα ζ Β, Γ αντίστοιχα, όπως στο σχ.66. αTαOTπE οδε1ι6χ60θWεί όTτoe ι:Effs : B i) Η εφαπτομένη ζ του ενός κύκλου στο Α είναι και εφαπτομένη του άλλου. Γε → Hodge Toei ii) Η ευθεία ζ διχοτομεί το τμήμα ΒΓ. A ' Απόδειξη Σχήµα 66 Kol V n ' E}wTEp1Kn Egan Topee 'm TWV Tio KI KAW ✓ i) Έστω ότι η ζ εφάπτεται στον κύκλο ( ) στο Α. Τότε ζ⊥ Α (1). Επειδή όμως οι κύκλοι εφάπτονται, το Α είναι σημείο της διακέντρου , οπότε από την (1) προκύπτει ότι ζ⊥Α , επομένως η ευθεία ζ είναι και εφαπτομένη του κύκλου ( ). ii) Έστω το σημείο τομής της ζ με την ε. Τότε Α = Β, ως εφαπτόμενα τμή- ματα του ( ) και Α = Γ, ως εφαπτόμενα τμήματα του ( ). Από τις ισότητες αυτές προκύπτει ότι Β = Γ. ΣΧΟΛΙΟ Koch's E}wTEp1Kn' Egan Totem - Karri EGWTE K'is Egan toluene Η ευθεία ε του παραπάνω σχήματος, που εφάπτεται και στους δύο κύκλους και τους αφήνει προς το ίδιο μέρος της λέγεται κοινή εξωτερική εφαπτομένη, ενώ η ευθεία ζ που έχει τους κύκλους στους οποίους εφάπτεται εκατέρωθεν αυτής λέγεται κοινή εσωτερική εφαπτομένη. ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ Ερωτήσεις Κατανόησης 2. Χαρακτηρίστε ως σωστή (Σ) ή λάθος ( ) 1. Αν ( , R) και ( , ρ) είναι δύο κύκλοι που καθεμία από τις επόμενες προτάσεις και έχουν διαφορετικά κέντρα και R > ρ, = δ, να αντιστοιχίσετε κάθε φράση της αιτιολογήστε την απάντησή σας. πρώτης στήλης με την αντίστοιχη σχέση στη δεύτερη στήλη. i) Η διάκεντρος δύο τεμνόμενων κύ- κλων είναι μεσοκάθετος της κοινής χορδής. Σ ΣΤΗ Η Α ΣΤΗ Η Β ii) Η κοινή χορδή δύο ίσων τεμνόμενων 1. δ > R + ρ α. Ο κύκλος ( , ρ) 2. δ = R + ρ κύκλων είναι μεσοκάθετος της διακέ- είναι εσωτερικός 3. δ = R – ρ του ( , R). 4. δ < R – ρ ντρου. Σ 5. 2δ = R – ρ β. Ο κύκλος ( , ρ) 6. ρ < δ < R iii) Το σημείο επαφής δύο εφαπτόμε- εφάπτεται εσωτε- 7. 2δ = Rρ ρικά του ( , R). 8. R–ρ<δ<R+ρ νων κύκλων είναι σημείο της διακέ- γ. Οι κύκλοι ( , R) ντρου. Σ και ( , ρ) τέμνο- νται. Ασκήσεις Εµπέδωσης δ. Οι κύκλοι εφάπτο- 1. α προσδιορισθούν οι σχετικές θέσεις νται εξωτερικά. των κύκλων (K, ρ) και ( , 2ρ) αν ε. άθε κύκλος είναι ρ εξωτερικός του i) = ρ2, , iv) = 3ρ, άλλου. ii) = ν) = 4ρ. iii) = 2ρ, 2. Δίνεται κύκλος (Ο, ρ) και μια ακτίνα του ΟΑ. Γράφουμε κύκλο με διάμετρο ΟΑ. Ποια είναι η σχετική θέση των δύο κύκλων; 71

ΕΥΚΛΕΙ∆ΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ 3. Δίνεται ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ και το μέσο i) Nα αποδείξετε ότι ο ένας βρίσκεται του Ο. Γράφουμε τον κύκλο (Α, ΑΟ) και στο εξωτερικό του άλλου. τον κύκλο με διάμετρο ΟΒ. Ποια είναι η σχετική θέση των δύο κύκλων; ii) Εστω ότι η διάκεντρος τέμνει τον (Ο1) στα σημεία , ʹ και τον (Ο2) Αποδεικτικές Ασκήσεις στα σημεία , ʹ αντίστοιχα με τα , μεταξύ των ʹ, ʹ. α αποδείξε- 1. Δίνεται κύκλος (Ο, R) και εξωτερικό ση- τε ότι ≤ ΑΒ ≤ ʹ ʹ, όπου Α, Β μείο του Ρ, ώστε ΟΡ <2R. Γράφουμε τον τυχαία σημεία των κύκλων (Ο1) και κύκλο (Ο, 2R). α αποδείξετε ότι: (Ο2) αντίστοιχα. i) ο κύκλος (O,2R) τέμνει τον κύκλο (Ρ, 3. Ένας κύκλος κέντρου είναι εξωτερικός ΡΟ) σε δύο σημεία Γ και Δ, ενός άλλου κύκλου κέντρου . ια κοινή εξωτερική εφαπτομένη και μια κοινή εσω- ii) τα ευθύγραμμα τμήματα ΟΓ και ΟΔ τερική εφαπτομένη των δύο κύκλων τέμνο- τέμνουν τον κύκλο (Ο, R) στα σημεία νται στο Ρ. α αποδείξετε ότι P̂ = 90°. Α και Β, 4. πορείτε να ζωγραφίσετε 12 κύκλους, ώστε iii) τα ΡΑ και ΡΒ εφάπτονται στον (Ο,R). ο καθένας από αυτούς να εφάπτεται σε 5 ακριβώς από τους δοσμένους κύκλους; 2. Δίνονται δύο κύκλοι (Ο1, R1) και (Ο2, R2) με Ο1Ο2 > R1+R2 >2R2. ΙΣΤΟΡΙΚΟ ΣΗΜΕΙΩΜΑ Οι γεωµετρικές κατασκευές Τα πρώτα προβλήματα γεωμετρικών κατασκευών απαντώνται στα «Στοιχεία» του Ευκλείδη. Οι μαθη- ματικές προτάσεις διαιρούνται σε «θεωρήματα», όπου ζητείται να αποδειχθεί ότι ένα αντικείμενο έχει μια ορισμένη ιδιότητα και σε «προβλήματα», όπου ζητείται να κατασκευασθεί κάποιο αντικείμενο που να έχει ορισμένη ιδιότητα. Στα «Στοιχεία» οι κατασκευές στηρίζονται στα τρία πρώτα αιτήματα του Βιβλίου I (βλ. Τα μη επιλύσιμα γεωμετρικά προβλήματα της αρχαιότητας). Ως τα τέλη του 4ου αι. πρέπει να είχε εδραιωθεί η πεποίθηση ότι ορισμένα προβλήματα, όπως π.χ. το πρόβλημα του διπλασιασμού του κύβου δεν είναι επιλύσιμο με τα επιτρεπτά τότε κατασκευαστικά ερ- γαλεία. Έτσι εμφανίζεται η πρώτη ιεράρχηση των προβλημάτων με βάση τα επιτρεπτά κατασκευαστικά εργαλεία επιλυσιμότητάς τους. Ως επίπεδα προβλήματα θεωρούνται αυτά που μπορούν να κατασκευ- αστούν με κανόνα και διαβήτη, στερεά προβλήματα είναι εκείνα που λύνονται με τη βοήθεια κωνικών τομών, και γραμμικά προβλήματα είναι όλα τα υπόλοιπα. Ο Πάππος μάλιστα θεωρούσε σοβαρό λάθος τη λύση ενός επίπεδου προβλήματος με τη βοήθεια κωνικών τομών. ΣΧΟΛΙΟ Γεωµετρικές κατασκευές Όταν η κατασκευή του ζητούμε- Στην §2.7 αναφέραμε την έννοια της γεωμετρικής κατα- νου σχήματος δεν είναι άμεσα σκευής. Η αντιμετώπιση ενός προβλήματος κατασκευής φανερή, τότε, πριν από την κα- ακολουθεί τα εξής στάδια: την κατασκευή (ή σύνθεση), τασκευή κάνουμε, ως βοηθητικό την απόδειξη και τη διερεύνηση. βήμα, και τη λεγόμενη ανάλυση. • Η κατασκευή είναι όλες εκείνες οι ενέργειες που οδη- Σε προβλήματα επόμενων κεφα- λαίων θα χρησιμοποιήσουμε και γούν στη σχεδίαση του σχήματος. την ανάλυση. • Η απόδειξη είναι η επιβεβαίωση ότι το σχήμα που κατα- σκευάστηκε έχει ως στοιχεία τα δοσμένα. • Η διερεύνηση είναι η αναγραφή όλων εκείνων των συν- θηκών, που πρέπει να ικανοποιούν τα δεδομένα, ώστε το πρόβλημα να έχει λύση. Στη διερεύνηση εξετάζεται επίσης και το πλήθος των λύσεων του προβλήματος. 72

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3. ΤΡΙΓΩΝΑ 3.17 Απλές γεωµετρικές κατασκευές Στην παράγραφο αυτή παρουσιάζουμε ορισμένες γεωμετρι- κές κατασκευές με τις οποίες κατοχυρώνουμε κατασκευα- στικά στοιχειώδη γεωμετρικά αντικείμενα και διαδικασίες. ΠΡΟΒΛΗΜΑ 1 Δίνεται γωνία xÔy και η ημιευθεία y y Οʹxʹ. α κατασκευασθεί γωνία B B ίση με τη xÔy η οποία έχει ως μια πλευρά, την Οʹxʹ και κορυφή το Οʹ. A xΟ Ax ατασκευή: αθιστούμε τη γωνία Ο xÔy (σχ.67) επίκεντρη γράφοντας κύκλο με κέντρο Ο και τυχαία ακτί- Σχήµα 67 να ρ. Έστω A͡ B το αντίστοιχο τόξο της. ε κέντρο Οʹ και ακτίνα την ίδια, γράφουμε άλλον κύκλο που τέμνει την Οʹxʹ στο Αʹ. Ακολούθως γράφουμε τον κύκλο (Αʹ, ΑΒ) του οποίου ένα κοινό σημείο με τον (Οʹ, ρ) είναι το Βʹ. Φέρουμε την ημιευθεία ΟʹΒʹ. Η γωνία xʹÔʹΒʹ, δηλαδή η xʹÔʹyʹ είναι η ζητούμενη. Απόδειξη: Οι γωνίες xÔy και xʹÔʹyʹ είναι ίσες, γιατί είναι επίκεντρες στους ίσους κύκλους (Ο, ρ), (Οʹ, ρ) και βαίνουν στα ίσα τόξα A͡ B και Α′Β′ αντίστοιχα. (§2.18) Διερεύνηση: Για να έχει το πρόβλημα λύση, θα πρέπει οι κύκλοι (Οʹ, ρ) και (Αʹ, ΑΒ) να τέμνονται. Αυτό όμως συμβαίνει πάντοτε, επειδή για τη διάκεντρό τους ΟʹΑʹ = ρ ισχύει: ρ – ΑΒ < ρ < ρ + ΑΒ (λόγω της τριγωνικής ανισότητας στο τρίγωνο ΟΑΒ). ια δεύτερη λύση του προβλήματος αντιστοιχεί στο δεύτερο κοινό σημείο των κύ- κλων (Οʹ, ρ) και (Αʹ, ΑΒ). ΠΡΟΒΛΗΜΑ 2 α κατασκευασθεί η μεσοκάθετος ενός ευθύγραμμου τμήματος. Γ ατασκευή: Έστω τμήμα ΑΒ (σχ.68). ε κέντρα τα άκρα του Α, Β και ακτίνα ρ > ΑΒ γράφουμε δύο ίσους κύκλους. Αν Γ, Δ είναι 2 τα κοινά σημεία των κύκλων αυτών, η ευθεία ε που ορίζουν είναι A B η ζητούμενη. Δ Απόδειξη: Η ευθεία ε είναι κοινή χορδή ίσων κύκλων, επομένως είναι κάθετη στη διάκεντρο ΑΒ (§3.16). ε Διερεύνηση: Για να έχει το πρόβλημα λύση θα πρέπει οι κύκλοι Σχήµα 68 (Α, ρ) και (Β, ρ) να τέμνονται. Αυτό όμως ισχύει, αφού η διάκεντρός τους ΑΒ ικα- νοποιεί την ρ – ρ < ΑΒ < ρ + ρ. Παρατήρηση: ε την παραπάνω κατασκευή βρίσκουμε και το μέσο ενός ευθύγραμμου τμήματος. Αρκετές φορές τα παραπάνω βήματα: κατασκευή, απόδειξη, διερεύνηση μπορεί να παρουσιάζονται ενοποιημένα. 73

ΕΥΚΛΕΙ∆ΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑ 3 Δίνεται ευθεία ε και σημείο Α. α κατασκευασθεί ευθεία που ζ ε να διέρχεται από το Α κάθετη στην ε, όταν: BA Γ i) το Α είναι σημείο της ευθείας ε, Σχήµα 69 ζA ε ii) το Α δεν είναι σημείο της ε. BΓ Λύση Σχήµα 70 i) ε κέντρο το Α (σχ.69) και τυχαία ακτίνα γράφουμε κύκλο, ο οποίος τέμνει την ε στα σημεία Β και Γ. Έτσι το Α έγινε μέσο του τμήματος ΒΓ και επομένως η ζητούμενη κάθε- τος είναι η μεσοκάθετος του τμήματος ΒΓ (προηγούμενη κατασκευή). ii) ε κέντρο το Α (σχ.70) και κατάλληλη ακτίνα γράφουμε κύκλο που τέμνει την ευθεία ε στα Β και Γ. Η μεσοκάθετος ζ του τμήματος ΒΓ, που κατασκευάζεται όπως προηγουμέ- νως, είναι η ζητούμενη κάθετος. Πράγματι, επειδή ΑΒ = ΑΓ, ως ακτίνες του ίδιου κύκλου, η μεσοκάθετος της χορδής ΒΓ διέρχεται από το Α. ΠΡΟΒΛΗΜΑ 4 α κατασκευασθεί η διχοτόμος μιας γωνίας. y Λύση Ο B δ Έστω γωνία xÔy (σχ.71). ε κέντρο το Ο και τυχαία ακτίνα, γράφουμε κύκλο, που τέμνει τις πλευρές της γωνίας στα Α, Ax Β αντίστοιχα. Φέρουμε τη μεσοκάθετο δ (Πρόβλημα 2) της Σχήµα 71 χορδής ΑΒ που είναι και η ζητούμενη διχοτόμος. Πράγματι η ευθεία δ, ως μεσοκάθετος χορδής κύκλου, διέρχεται από το κέντρο του κύκλου και διχοτομεί το αντίστοιχο τόξο A͡ B της γωνίας xÔy (§3.6). Επομένως είναι διχοτόμος της. α κατασκευασθεί η εφαπτομένη ενός κύκλου (Ο, ρ) σε έναΕΦΑΡΜΟΓΗ ΟB σημείο του Α. A Λύση ε Στην προέκταση της ακτίνας ΟΑ (σχ.72) παίρνουμε το σημείο Σχήµα 72 Β, ώστε να είναι ΑΒ = ΟΑ. Στη συνέχεια φέρουμε τη μεσοκά- θετο του ΟΒ που είναι η εφαπτομένη του κύκλου, γιατί είναι κάθετη στην ακτίνα στο άκρο της Α. Σηµείωση: Για την κατασκευή των εφαπτομένων από σημείο εκτός κύκλου βλέπε σελ. 142. 74

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3. ΤΡΙΓΩΝΑ 3.18 Βασικές κατασκευές τριγώνων Σε αντιστοιχία με τα τρία κριτήρια ισότητας τριγώνων (§3.2-3.4) έχουμε τις επόμενες γεωμετρικές κατασκευές. ΠΡΟΒΛΗΜΑ 1 α κατασκευαστεί τρίγωνο ΑΒΓ, του β A β οποίου δίνονται οι πλευρές ΑΒ = γ, γ γω ΑΓ = β και η περιεχόμενη γωνία Â = ω. B Λύση Γ ε πλευρά μια ημιευθεία Αx κατασκευά- ω x ζουμε (§3.17) γωνία xÂy = ω (σχ.73). Στις y πλευρές Αx, Ay παίρνουμε, με το διαβήτη, Σχήµα 73 τα σημεία Β, Γ αντίστοιχα, ώστε ΑΒ = γ και ΑΓ = β. Το τρίγωνο ΑΒΓ είναι το ζητούμενο. Πράγματι, από την κατασκευή, το τρίγωνο ΑΒΓ έχει ΑΓ = γ, ΑΓ = β και Â = ω. ε τον περιορισμό 0° < ω < 180° (§3.10 Πορίσματα (ii)) το πρόβλημα έχει πάντα μοναδική λύση. ΠΡΟΒΛΗΜΑ 2 α κατασκευασθεί τρίγωνο ΑΒΓ, του α yx οποίου δίνεται η πλευρά ΒΓ = α και A οι προσκείμενες σε αυτή γωνίες B̂ = ω και Γ̂ = φ. ω φ Bω φΓ Λύση Σχήµα 74 Θεωρούμε τμήμα ΒΓ = α και με κορυφές τα Β, Γ (σχ.74) κατασκευάζουμε, προς το ίδιο μέρος της ΒΓ, γωνίες ΓB̂ x = ω και ΒΓ̂ y = φ. Οι πλευρές Bx, Γy των γωνιών αυτών τέμνονται στο σημείο Α. Το τρίγωνο ΑΒΓ είναι το ζητούμενο. Πράγματι, από την κατασκευή, το τρίγωνο ΑΒΓ έχει ΒΓ = α, B̂ = ω και Γ̂ = φ. ε τον περιορισμό 0° < ω + φ < 180° (§3.10 Πορίσματα (ii)) το πρόβλημα έχει πάντα μονα- δική λύση. Στο επόμενο κεφάλαιο (§4.2) θα δούμε ότι ο περιορισμός ω + φ < 180° εξασφαλίζει την τομή των ημιευθειών Βx και Γy. ΠΡΟΒΛΗΜΑ 3 α κατασκευασθεί τρίγωνο ΑΒΓ, του οποίου α A Γ δίνονται οι πλευρές ΒΓ = α, ΑΓ = β και ΑΒ = γ. β γβ Λύση γ Bα Θεωρούμε τμήμα ΒΓ = α (σχ.75) και γράφουμε τους κύκλους (Β, γ) και (Γ, β). Αν οι κύκλοι τέ- μνονται και Α είναι το ένα από τα σημεία τομής τους, το τρίγωνο ΑΒΓ είναι το ζητούμενο. A΄ Πράγματι το τρίγωνο ΑΒΓ, από την κατασκευή, Σχήµα 75 έχει ΒΓ = α, ΑΒ = γ ως ακτίνα του (Β, γ) και ΑΓ = β ως ακτίνα του (Γ, β). Για να έχει λύση το πρόβλημα, πρέπει οι κύκλοι (Β, γ) και (Γ, β) να τέμνονται, το 75

ΕΥΚΛΕΙ∆ΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ οποίο συμβαίνει (§3.16) όταν β – γ < α < β + γ (β > γ). Αν Αʹ είναι το δεύτερο κοινό σημείο των κύκλων (Β, γ) και (Γ, β), το τρίγωνο ΑʹΒΓ είναι ίσο με το ΑΒΓ, επομένως δεν αποτελεί νέα λύση του προβλήματος, αφού τα τρίγωνα είναι ίσα. * * ΣΗΜΑΝΤΙΚΗ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ Από την παραπάνω κατασκευή προκύπτει ότι τρία τμήματα α, β, γ είναι πλευρές τριγώνου αν και μόνον αν ισχύει β – γ < α < β + γ (β ≥ γ). Αν υποθέσουμε ότι α > β και α > γ, η τελευταία διπλή ισότητα είναι ισοδύναμη με την α < β + γ. ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ Ερωτήσεις Κατανόησης Ασκήσεις Εµπέδωσης 1. Πώς θα χωρισθεί με κανόνα και διαβή- 1. α κατασκευάσετε γεωμετρικά γωνία 45°. τη ένα ευθύγραμμο τμήμα σε τέσσερα ίσα 2. α χωρίσετε δοσμένη γωνία σε τέσσερις τμήματα; ίσες γωνίες. 2. Πώς θα βρεθεί με κανόνα και διαβήτη το 3. α κατασκευάσετε ισόπλευρο τρίγωνο με πλευρά γνωστό τμήμα α. μέσο ενός τόξου δοσμένου κύκλου; 4. α κατασκευάσετε ισοσκελές τρίγωνο του 3. Πώς θα βρεθεί το κέντρο ενός κύκλου που οποίου δίνονται η βάση α και το αντίστοι- έχει γραφεί με ένα νόμισμα; χο σε αυτήν ύψος υ. 4. Τα τμήματα α, β, γ με α > β και α > γ είναι 5. α κατασκευάσετε ορθογώνιο τρίγωνο πλευρές τριγώνου όταν: ΑΒΓ με Â = 90°, όταν δίνονται: i) ΑΒ = γ και ΑΓ = β, α. α = β + γ β. α > β + γ ii) ΑΒ = γ και ΒΓ = α, όπου α, β, γ γνωστά τμήματα. γ. α < β + γ δ. α < 2(β + γ) ε. Τίποτε από τα προηγούμενα. Kυκλώστε το γράμμα της σωστής απάντησης και αιτιολογήστε την απάντησή σας. ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 1. Έστω τρίγωνα ΑΒΓ και ΑʹΒʹΓʹ τέτοια, ώστε ΑΓ = 2ΑΒ. α αποδείξετε ότι Γ̂ < Â . ΑΓ = ΑʹΓʹ, Γ̂ = Γ̂ ʹ και B̂ + B̂ ʹ = 2⌊. 2 ΒΓ i) α αποδείξετε ότι ΑΒ = ΑʹΒʹ, 6. Έστω τρίγωνο ΑΒΓ με ΑΒ = 2 και ii) Διατυπώστε λεκτικά την άσκηση αυτή. B̂ . α αποδείξετε ότι Â Γ̂ = 2 =1⌊. 2. Δίνεται ισόπλευρο τρίγωνο ΑΒΓ και με 7. α αποδείξετε ότι δύο τρίγωνα τα οποία πλευρές τις ΑΒ, ΒΓ, ΓΑ κατασκευάζουμε εξωτερικά του ΑΒΓ τρία ισόπλευρα τρί- έχουν δύο πλευρές ίσες μία προς μία και τις γωνα ΑʹΒΓ, ΑΒʹΓ και ΑΒΓʹ. α αποδείξετε αντίστοιχες διαμέσους που περιέχονται στις ότι ΑΑʹ = ΒΒʹ = ΓΓʹ. πλευρές αυτές ίσες μία προς μία είναι ίσα. 3. Αν Ο , Ο είναι αντίστοιχα τα αποστήμα- 8. Δίνεται μια γωνία xÔy και δύο εσωτερικά της σημεία Α και Β. Έστω Αʹ το συμμετρι- τα των χορδών ΑΒ, ΓΔ κύκλου (O, R), να κό του Α ως προς την Ox και Βʹ το συμμε- αποδείξετε ότι ΑΒ < ΓΔ, αν και μόνον αν τρικό του Β ως προς την Oy. Αν , είναι Ο >Ο . τυχαία σημεία των Ox, Oy αντίστοιχα, να αποδείξετε ότι 4. Δίνεται ισόπλευρο τρίγωνο ΑΒΓ και τα ση- μεία Δ, Ε, Ζ των πλευρών του ΑΒ, ΒΓ και ΓΑ αντίστοιχα, ώστε ΑΔ = ΒΕ = ΓΖ. Αν , Α + + Β = Αʹ + + Βʹ. , τα σημεία τομής των ΑΕ, ΓΔ και ΒΖ, ε τη βοήθεια της σχέσης αυτής να βρεί- τε τις θέσεις των , , για τις οποίες το να αποδείξετε ότι το τρίγωνο είναι άθροισμα Α + + Β είναι το μικρό- τερο δυνατό. ισόπλευρο. 5. Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ με B̂ <1⌊ και 76

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3. ΤΡΙΓΩΝΑ ΑΝΑΚΕΦΑΛΑΙΩΣΗ Τα τρίγωνα ταξινομούνται σε • Ο φορέας του αποστήματος μιας χορ- • σκαληνά, ισοσκελή και ισόπλευρα, δής: ως προς τις πλευρές τους. – διέρχεται από το κέντρο του κύκλου, • οξυγώνια, ορθογώνια, αμβλυγώνια, – είναι μεσοκάθετος της χορδής, ως προς τις γωνίες τους. Οι πλευρές και οι γωνίες ενός τριγώνου – διχοτομεί το αντίστοιχο τόξο της λέγονται κύρια στοιχεία του, ενώ οι χορδής. διάμεσοι, οι διχοτόμοι και τα ύψη του λέγονται δευτερεύοντα στοιχεία. Βασικοί γεωμετρικοί τόποι είναι: ο κύκλος, η μεσοκάθετος ευθύγραμμου Δύο τρίγωνα είναι ίσα όταν έχουν: τμήματος και η διχοτόμος γωνίας. • Δύο πλευρές ίσες μία προς μία και • Η μεσοκάθετος ενός ευθύγραμμου τις περιεχόμενες σε αυτές γωνίες ίσες τμήματος είναι ο γεωμετρικός τόπος (ΠΓΠ). των σημείων του επιπέδου, που ισα- • ία πλευρά και τις προσκείμενες σε πέχουν από τα άκρα του. αυτή γωνίες ίσες μία προς μία (ΓΠΓ). • αι τις τρεις πλευρές τους ίσες μία • Η διχοτόμος μιας γωνίας είναι ο γεω- προς μία (ΠΠΠ). μετρικός τόπος των σημείων της γωνί- ας, που ισαπέχουν από τις πλευρές της. Ειδικότερα δύο ορθογώνια τρίγωνα εί- ναι ίσα όταν έχουν: Δύο σχήματα Σ, Σ' λέγονται συμμετρι- • Δύο οποιεσδήποτε ομόλογες πλευρές κά ως προς ένα σημείο Ο ή μια ευθεία ε, όταν κάθε σημείο του Σ' είναι συμμε- τους ίσες μία προς μία. τρικό ενός σημείου του Σ, ως προς το Ο • ια πλευρά και την προσκείμενη σε ή την ε και αντίστροφα. αυτήν οξεία γωνία αντίστοιχα, ίσες μία Ανισοτικές σχέσεις στο τρίγωνο: προς μία. • άθε εξωτερική γωνία ενός τριγώνου Στο ισοσκελές τρίγωνο: είναι μεγαλύτερη από τις απέναντι γω- • Οι προσκείμενες στη βάση γωνίες εί- νίες του τριγώνου. ναι ίσες. • Απέναντι από άνισες πλευρές βρίσκο- • Η διχοτόμος της γωνίας της κορυφής νται όμοια άνισες γωνίες. είναι διάμεσος και ύψος. • άθε πλευρά τριγώνου είναι μικρότε- • Η διάμεσος που αντιστοιχεί στη βάση ρη από το άθροισμα των δύο άλλων και μεγαλύτερη από τη διαφορά τους. είναι ύψος και διχοτόμος. • Το ύψος, που αντιστοιχεί στη βάση, Βασική συνέπεια: • Αν σε ένα τρίγωνο ΑΒΓ είναι B̂ = Γ̂ , είναι διχοτόμος και διάμεσος. τότε θα είναι και β = γ. Στον κύκλο: • Αν δύο τόξα είναι ίσα, τότε και οι χορ- • Έστω τρίγωνο ΑΒΓ και σημείο Δ της βάσης ΒΓ. Αν η ΑΔ είναι διχοτόμος και δές τους είναι ίσες και αντίστροφα. διάμεσος ή διχοτόμος και ύψος ή διά- • Δύο χορδές είναι ίσες, αν και μόνον αν μεσος και ύψος, τότε το τρίγωνο είναι ισοσκελές. τα αποστήματά τους είναι ίσα. 77

ΕΥΚΛΕΙ∆ΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΑΝΑΚΕΦΑΛΑΙΩΤΙΚΟ ∆ΙΑΓΡΑΜΜΑ ΤΡΙΓΩΝΑ Είδη - Στοιχεία ριτήρια σότητας: • ΠΓΠ • ΓΠΓ • ΠΠΠ διότητες: • ισοσκελών τριγώνων • μεσοκαθέτου • χορδών - τόξων Κριτήρια ισότητας ορθογωνίων τριγώνων Σχέση χορδών και αποστηµάτων Βασικοί γεωµετρικοί τόποι: • κύκλος • μεσοκάθετος • διχοτόμος Συµµετρία ως προς κέντρο και άξονα Ανισοτικές σχέσεις - Κάθετες και πλάγιες Σχετικές θέσεις: • ευθείας και κύκλου • δύο κύκλων Απλές γεωµετρικές κατασκευές - Βασικές κατασκευές τριγώνων 78