Γ Λυκείου - Σχολικό βιβλίο

2950 ΥΠΟΔΕΙΞ=Ε0ΙΣκα-ι ΑfΠ(xΑ) +ΝxΤΗ– 1ΣΕ= Ι0ΣσΑτοΣ[Κ0ΗΣ] Εέ ΩουΝν 10. i) [–1, 0] ii) (0, 2) iii) [1, 2) 9. i) d = d (x) = (x − x0 )2 + ( f (x) − y0 )2 , iv) (1, 2]. x ∈ [α, β ] . § 1.8 B΄ Ομάδας ii) Να εφαρμόσετε το Θεώρημα μέγιστης και ελάχιστης τιμής για την d στο [α, β]. 1. κ = – 1. 2 ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 2. (α = 4, β = 1) ή (α = – 3, β = 8). 3. i) f (0) = lim f (x) = 0 § 2.1 A΄ Ομάδας x→0 1. i) 0 ii) – 2 iii) 0 ii) lim g(x) = 1, lim g(x) = 1, οπότε 2. i) 0 ii) Δεν παραγωγίζεται x→0+ x→0− iii) 1 iv) 1 g(0) = lim g (x) = 1. 3. g′(0) = f ( 0). x→0 4. i) Δεν είναι συνεχής στο 0 και άρα δεν πα- 4. Εφαρμόσετε Θεώρημα Bolzano για τη συ- ραγωγίζεται νάρτηση Φ(x) = f ( x) – g(x) στο [0, 1]. ii) Δεν παραγωγίζεται στο 1. 5. α) Θεώρημα Bolzano για τη συνάρτηση f(x) = (x – 2)(x4 + 1) + (x6 + 1)(x – 1) στο [1, 2]. β) Όμοια για τη συνάρτηση f ( x) = ex(x – 2) + (x – 1)ln x. 5. Από την άσκηση 1 i) y = 1 ii) y = – 2x + 3 iii) y = 0. 6. i) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση f(x) = g(x) Από την άσκηση 2 i) y = 0 ii) Δεν ορίζεται στο (0, +∞) έχει μια ακριβώς λύση. iii) y = x + 1 iv) y = x + 1. ii) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση f ( x) = g(x) στο (0, +∞) έχει μια ακριβώς λύση. 7. i) α) x = 1 ή – 1 § 2.1 Β΄ Ομάδας β) Η συνάρτηση f στο (– 1, 1) δεν μη- 1. f ′ (0) = – 1. δενίζεται και είναι συνεχής. 2. f ′ (1) = 3. γ) f (x) = 1 − x2 x∈[−1,1] ή 3. f ′ (0) = 1. f (x) = − 1 − x2 x∈ [−1,1] 4. f ′ (0) = 1/2. ii) α) x = 0 5. Με κριτήριο παρεμβολής βρίσκουμε ότι β) η f στο (−∞, 0) συνεχής και δεν μη- f ′ (0) = 1. δενίζεται. Ομοίως και στο (0, +∞) γ) 6. lim f (x) = 0 , οπότε f (0) = 0 και με κριτή- f(x) = x ή f(x) = – x ή f (x) =| x | ή x→0 f (x) = −| x |. ριο παρεμβολής βρίσκουμε f (0) = 1. 8. i) ΟΒ: y = x, ΑΓ : y = −x + 1 . 7. i) lim f (x) = 0 , οπότε f (0) = 0. ii) Να αποδείξετε ότι οι εξισώσεις f ( x) – x x→0 = 0 και f(x) + x – 1 = 0 στο [0, 1] έχουν κάποια λύση.

ΥΠρΟι ΔΕαΙρΞεμΕβΙοΣλ - ΑβΠρίΑκΝοΤυμΗεΣf Ε(0Ι)Σ ΑΣΚΗΣΕΩΝ 2κ5α1 8. i) Είναι § 2.2 B΄ Ομάδας f (x0 − h) − f (x0 ) = − f (x0 + (−h)) − f (x0 ) 1. α = – 1, β = π. h −h κ.τ.λ. 2. Η εξίσ. εφαπτ. της Cf στο (ξ, f ( ξ)) είναι y = 1 x + ξ η οποία διέρχεται από το ii) Είναι 2ξ 2 f (x0 + h) − f (x0 − h) = Β(– ξ, 0). h = f (x0 + h) − f (x0 ) − f (x0 − h) + f (x0 ) , 3. Ν(– 2α, – 8α3) και f ′(–2α) = 4 f ′(α). h κ.τ.λ. 4. i) Είναι Α(2ξ, 0), Β  0, 2  και Μ ξ , 1 . ξ ξ 9. i) το Β. ii) το Γ. ii) 2. iii) t = 2 αλλάζει το Β, t = 4 το Α και t = 5 το Β iv) το Α v) το Β vi) το Α. § 2.3 Α΄ Ομάδας § 2.2 Α΄ Ομάδας 1. i) f ′(x) = 7x6 x3 + 6 1. i) 4 ii) 1/6 ii) f ′(x) = 6x2 + 1 iii) − 1 iv) 1/e v) 2. x 2 iii) f ′(x) = x3 x2 + x 1 2. i) Δεν παραγωγίζεται στο 1. iv) f ′(x) = −ημx − 3συνx ii) f ′(x) = συνx, x <0. 2. i) f ′( x) = 3x2 6 x 1.  x≥0 ii) f ( x) = ex(ημx + συνx).  1, iii) Δεν παραγωγίζεται στο 2. iii) f ′( x) = −4x . (1 + x2 )2 iv) Δεν παραγωγίζεται στο 2/3. iv) f ′( x) = 1 − ημx + συνx . 3. f ′(x1) = f ′(x2 ) ⇔ x1 = x2 άτοπο αφού (1 + συνx)2 x1 ≠ x2 , ενώ για την f (x) = x3 υπάρχουν τα (x1, x13), (−x1,−x13). v) f ′(x) = x(ημ2x + xσυν2x)  1, x ∈ (−2,0) ex  ln x − 1  x ∈ (0, 2)  x   − 2, x ∈ (2, 4) . 3. i) f ′(x) = (ln .  0, x ∈ (4,6) x)2 4. f ′( x) =  x ∈ (6,9)  4, ii) f ′(x) = −4συν2 x .  ημ2 2x − 4 / 3, 5. Ευθ. τμήμα με κλίση 2 για x∈ [0, 2], ευθύ- iii) f ′(x) = συνx − ημx . γραμμο τμήμα με κλίση – 1, για x∈ [2, 4] και ex ευθ. τμήμα με κλίση 1 για x∈ [4, 8]. 4( x 2 + 1) iv) f ′(x) = (x2 − 1)2 .

252i ΥΠΟΔiΕii)ΙΞfΕ′(ΙxΣ) - ΑσυΠνΑ Ν1ΤΗΣΕΙΣ− ΑxΣΚΗΣΕΩΝ  4x + 3, x < 0 iv) f ′(x) = − (1 + x2) . f ′(x) = 6 x(1 − x2) 4. i) 1 + 1 x > 0, x v) f ′(x) = e−x2 (−2x). ενώ δεν παραγωγίζεται στο 0. 13. i) f ′(2) = 20. ii) f ′(x) = 2x + συνx, x ≤ 0. ii) f ′(4) = 5.  x>0 6  1, 5. i) ( 2, 4 ) και (2, 4). 1  . 12  ii)  1, 1 . iii) f ′ 1  = 6 + 3π  e 6 48 iii) ( 1, 2 ), (1, 2). iv) f (3) = 5. 6. f ′(x) = −4 , x ∈ R −{1} και 14. i) f ′(x) = xlnx 2ln x 1 . (x −1)2 x g′(x) = −4 , x ∈ [0, + ∞) − {1}. ii) f (x) = 25x 3 ·5ln2. (x −1)2 iii) f ′(x) = (ln x)x  ln(ln x) + 1  .  ln x  iv) f ′(x) = eσυνx(συνx ημ2x). Οι συναρτήσεις f ′ , g′ δεν είναι ίσες αφού δεν 15. f ′(x) = ημ2x και έχουν το ίδιο πεδίο ορισμού. f ″(x) = 2συν2x, οπότε ισχύει η ισότητα. 7. f ′(1)g′(1) = 2 − 1  = −1 .  2 8. α = 2. 9. i) ( 2, 3) και (2, 7). § 2.3 B΄ Ομάδας 1. Το κοινό σημείο είναι το (1, 1) και ισχύει ii)  2 3 , −10 3 + 45  και  3 9  f ′ (1)·g′(1) = – 1. − 23 , 10 3+ 45  . 2. Τα κοινά σημεία είναι (1, 1) 3 9  και (– 2, – 8). Η y = 3x – 2 εφάπτεται στο (1, 1). 10. y = 2x 1 και 3. α = 0, β = – 1. y = 2x 1. 11. α = 1, β = 1, γ = 0. 4. Η y = x + 1 εφάπτεται της Cg στο σημείο (– 1, 0). 12. i) f ′(x) = −24(x + 1) . x7 (3x + 4)3 5. f(x) = x3 – 4x2 – 9x + 4. ii) f ′(x) = 2 , x ∈ (1,+∞) . 6. Έστω ότι υπάρχει το f ( x) = αx2 + βx + γ και 33 x −1 καταλήγουμε σε αδύνατο σύστημα. iii) f ′( x) = συν 1  ⋅ −2x 7. i) Προσθέτουμε και αφαιρούμε στον αριθ-  1+ x2  (1 + x2 )2 μητή την ποσότητα x f ( α).

ΥΠΟΔΕΙΞΕΙΣ - ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ 253 ii) Προσθέτουμε και αφαιρούμε στον αριθ- 3. 0,75 m/s. μητή την ποσότητα exf ( α). Να λάβετε 4. 0,25 rad/min. υπόψιν ότι το lim ex − eα είναι η παρά- x→α x − α 5. 0,2 m/s. 6. 2 μονάδες μήκους . γωγος της h(x) = ex στο α. μονάδα χρόνου 8. π , 5π , 9π , 13π . 88 8 8 7. i) − 1 rad/sec. 25 9. i) f ′(x) = 23 x 2, x ≠ 0 και δεν παραγωγί- 3x 8. 3 3 m/s. ζεται στο 0. Η εξίσωση της εφαπτομένης στο (0, 0) είναι η x = 0. § 2.5 A΄ Ομάδας ii) f ′(x) = 4x 1. i) 1 ii) π ή π , x ≠ 0 και f ′ (0) = 0. Η εξί- 62 33 x 2 σωση της εφαπτομένης στο (0, 0) είναι η iii) π 2 y = 0. iv) δεν ισχύει. 10. Η εξίσωση της εφαπτομένης της Cf στο 2. i) 2 ii) π Α(1, f ( 1)) είναι η y = x – 1 + f ( 1) που εφά- 4 πτεται της Cg στο (0, g(0)). iii) ξ ∈ (−3,−1) και ξ = 1. 11. i) f ′ (0) = 1. 3. Έχουμε g′(x0) = 1 = ln β − ln α και ii) Η εξίσωση της εφαπτομένης είναι η y = x0 β−α x + 1 που σχηματίζει με τους άξονες ισο- σκελές τρίγωνο. 0 < α < x0 < β οπότε 1< 1 <1. β x0 α § 2.4 A΄ Ομάδας 1. E′(1) = – 48π cm2/s § 2.5 Β΄ Ομάδας V′(1) = – 72π cm3/s 1. i) Θ. Bolzano στα διαστήματα [– 1, 0] και 2. 25 cm/s. [0, 1]. 81π ii) Θ. Rolle στο [x1, x2] όπου x1, x2 οι ρίζες της ( )3. x ∈ 20 − 220, 20 + 220 . f στα διαστήματα (– 1, 0) και (0, 1). 4. i) x(t) = 15t, y(t) = 20t. 2. i) Θ. Rolle στο [0, 1]. ii) d′(t) = 25 km/h. ii) εφx = 1 − x ⇔ f ′(x) = 0 που έχει ρίζα στο 5. (2, 1). (0, 1). § 2.4 B΄ Ομάδας 3. i) Υποθέτουμε ότι η εξίσωση f ( x) – x = 0 1. 425 cm3/s. έχει 2 ρίζες x1, x2 και εφαρμόζουμε Θ. 2. (2ln5 + 2) cm2/s. Rolle για τη συνάρτηση g(x) = f ( x) – x, x∈ [x1, x2]. ii) Εφαρμογή του ερωτήματος i) με f (x) = ημ x . 2

254 ΥΠΟΔiΕii)ΙΞΤΕο Ι0Σ -ήΑΠει ΑτΝΤσύΗνΣολΕΙτΣι ΑώΣν ΚτωΗνΣσΕυνΩρΝ 4. i) x ≤ 1 ⇔ (| x |−1)2 ≥ 0. 6. i) f ′(x) = ex + 1 > 0. 1+ x2 2 1+ x ii) Θ.Μ.Τ. στο [α, β]. ii) f ( 0) = 0 και η f γνησίως αύξουσα. 5. Θ.Μ.Τ. στο [0, 4]. § 2.6 Β΄ Ομάδας 6. Δείξτε ότι f (0) ≤ 0 και f (0) ≥ 0 . 1. Με εφαρμογή του κριτηρίου παρεμβολής 7. Υποθέτουμε ότι έχουν τρία κοινά σημεία με βρίσκουμε ότι f ′(x0) = 0, x0 ∈ R. τετμημένες ρ1 < ρ2 < ρ3 και εφαρμόζουμε Θ. Rolle για την φ(x) = f ( x) – g(x) στα διαστή- 2. i) f ′ (x) = 3(x2 – 1) < 0 για κάθε x ∈ (−1,1). ματα [ρ1, ρ2], [ρ2, ρ3]. ii) [α – 2, α + 2] § 2.6 A΄ Ομάδας iii) Το 0 ανήκει στο σύνολο τιμών της f και είναι γνησίως φθίνουσα στο (– 1, 1). 1. φ′(x) = 0, x ∈ R, οπότε φ(x) = c. 3. i) t = 1 ή t = 4. 2. i) Γνησίως αύξουσα στο R. ii) Αριστερά όταν t ∈ (0, 4) και δεξιά όταν t ∈ (4,5). ii) Γνησίως αύξουσα στα διαστήματα (−∞, iii) Η ταχύτητα αυξάνεται στα διαστήματα [0, – 1], [2, +∞) και γνησίως φθίνουσα στο 1] και [3, 5] και μειώνεται στο διάστημα (1, 3). διάστημα [–1, 2]. iii) Γνησίως αύξουσα στo [–1, 1] και γνησίως 4. V ′(t) = − 100t < 0 (t + 2)3 φθίνουσα στα διαστήματα (−∞, –1] και [1, +∞). lim V (t) = 25 και το σύνολο τιμών της V εί- t →+∞ 4. i) Γνησίως αύξουσα στο διάστημα (−∞, 1] ναι το (25, 50]. και γνησίως φθίνουσα στο [1, +∞). ii) Γνησίως αύξουσα στο (0, 1] και γνησίως 5. i) f ′(x) = (x2 + 3)2 >0 για κάθε (x2 −1)2 φθίνουσα στο [1, +∞). x ∈ R − {−1,1}. 0, π , iii) Γνησίως αύξουσα στο 2 γνησίως ii) Όταν x ανήκει σε καθένα των διαστημά- φθίνουσα στο π , π  και σταθερή με τιμή των (−∞,−1) , ( −1, 1), (1,+∞) η f παίρνει  2  τιμές στο R και επειδή η εξίσωση γράφε- ται ισοδύναμα f ( x) = α με α∈ R, έχει 3 μηδέν στο [π, 2π]. ρίζες. 5. i) f ' (x) = 5(x4 + 1) > 0 και 6. α ≥ 3. g′(x) = 1 + 1 > 0 , x ∈ (0,+∞). x 7. i) f ′ (x) = xημx > 0, x ∈ 0, π .  2  ii) Η f έχει σύνολο τιμών το R, ενώ η g το διάστημα (–3, +∞). ii) Ισχύει f ( x) > f ( 0), x ∈ 0, π  αφού f  2 iii) Το 0 ανήκει στο σύνολο τιμών των συναρ- γνησίως αύξουσα στο 0, π . τήσεων και είναι γνησίως αύξουσες. 2  1

ΥΠΟΔγνΕηΙσΞί ΕΙαΣ -ξ ΑυΠσ ΑσΝτΤΗ0ΣπΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ 255 iii) f ′(x) = συνx ⋅ x − ημx < 0 7. Είναι Ε(x) = – x2 + 40x, x∈ (0,40) x2 και μέγιστο το Ε(20) = 400. λόγω του ερωτήματος ii). 8. 4 mgr. 8. i) f ′( x) = (συνx −1)2 (2συνx + 1) > 0 3 συν 2 x 9. i) (ΕΖ)2 = 2x2 – 4x + 4. ii) 1. για x ∈ 0, π .  2 10. 30 μονάδες. ii) Επειδή f ( 0) = 0 και η f είναι γνησίως αύ- § 2.7 Β΄ Ομάδας ξουσα στο 0, π , ισχύει f (x) ≥ f (0) . 2  § 2.7 Α΄ Ομάδας 1. i) Γνησίως αύξουσα στο 0, π  και γνησίως 3  1. Στο x = 1 τοπικό μέγιστο και στο x = 3 τοπικό  π π . ελάχιστο. φθίνουσα στο  3 , 2. α) i) Γνησίως αύξουσα στο R. ii) Μια ακριβώς ρίζα στο ii) Τοπικό μέγιστο το g(–1) = 4 και τοπικό 2. i) H f είναι γνησίως αύξουσα στο (0, +∞). ελάχιστο το g(1) = 0. ii) Γνησίως φθίνουσα στο (0, 1] και γνησίως iii) Τοπικό μέγιστο το h(0) = – 1 και τοπικό ελάχιστο το h(1) = – 2. αύξουσα στο [1, +∞). Ελάχιστο το φ(1) β) i) Μια ρίζα στο R ως συνεχής και γνησίως = 0. αύξουσα. iii) Κοινό σημείο (1, 0), κοινή εφαπτομένη ii) Μια ρίζα στο (−∞, –1], μια στο [–1, 1] την y = x – 1. και μια στο [1, +∞). 3. i) α) Η f ( x) = ex – x – 1 είναι γνησίως αύ- iii) Μια ρίζα στο [1, +∞). ξουσα στο [0, +∞) οπότε f ( x) > f ( 0). 3. i) Το f ( 0) = 0 τοπικό ελάχιστο, το f ( 1) = 1 β) Η ( ) = x −1 − − 1 2 είναι γνησίως τοπικό μέγιστο. 2 ii) Ελάχιστο το g(2) = – 1. αύξουσα στο [0, +∞). 4. i) Ελάχιστο το f ( 0) = 1. ii) α) Αν ( ) = συν 1 1 2, τότε f ″(x) = 2 1 – συνx + 1 οπότε η f ′ γνησίως αύξουσα ii) Ελάχιστο το f  1  =  1 e . e e στο R. 5. α = 1, β = 0, τοπικό μέγιστο το f ( – 1) = 3 και Άρα f ′(x) > f ′(0), οπότε και f γνησίως τοπικό ελάχιστο f ( 1) = –1. αύξουσα στο R. 6. Είναι p(x) = 2x + 400 , x > 0 και ελάχιστο β) Με τη βοήθεια του ερωτήματος  x α) βρίσκουμε ότι η g(x) = ημx + 1 x3 − x, το p(20) = 80. x∈R 6

256 ΥΠΟΔΕΙΞΕΙΣ - ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ είναι γνησίως αύξουσα στο [0, +∞). =k p + k ⋅ 8p , k ∈ R. x2 (12 − x)2 iii) α) Αν f(x) = (1 + x)ν – 1 – νx, x ≥ 0 τότε f ′(x) = ν[(1 + x)ν–1 – 1] > 0. Σε 4 km από το εργοστάσιο Ε1. β) Με τη βοήθεια του ερωτήματος α) § 2.8 Α΄ Ομάδας βρίσκουμε ότι η συνάρτηση g(x) = (1 + x)ν −1 − νx − ν(ν −1) x2 1. i) Κοίλη στο (−∞, 1], κυρτή στο [1, +∞) 2 και το (1, 0) σημείο καμπής. είναι γνησίως αύξουσα στο [0, +∞). ii) Κοίλη στα (−∞, –2], (0, 2], κυρτή στα [–2, 4. Η f ′ (x) = 0 είναι αδύνατη στο R. 0) και [2, +∞), ενώ τα σημεία καμπής εί- 5. Θεωρούμε την h(x) = f(x) – g(x), οπότε f (ξ) = g′(ξ) με ξ ∈ (x1, x2 ). ναι  − 2,− 5  και 2, 5 .  4  4 6. Είναι f ′ (α) = f ′ (β) = f ′ (γ) = 0 και Θ. Rolle στα διαστήματα [α, β] και [β, γ]. 2. i) Κοίλη στο (−∞, 2], κυρτή στο [2, +∞), 7. ii) x = 4 (9 − 4 3) ≅ 0,75 m. ενώ το  2, 2  είναι σημείο καμπής. 11  e 8. i) (MA)2 =  x − 9 2 + x και Μ(4, 2). ii) Κοίλη στο (0, e], κυρτή στο [e,+∞), ενώ  2 το (e, –3e2) είναι σημείο καμπής. ii) λεφ·λΑΜ = – 1. iii) Κοίλη στο (−∞, 0], [1,+∞), κυρτή στο 9. 200 και 100. π [0, 1], και τα (0, 1), (1, 3) σημεία καμπής. 10. Οι εισπράξεις είναι 3. i) Kυρτή στα  − ∞,− 2  ,  2 ,+∞  , Ε(x) = x(1500 5x ).    2  Ε′(x) = 0, οπότε x = 150. 2   11. i) t = 200 s ii) t ≅ 55,6 s.  2, 2  και τα κοίλη στο − 2 2  12. i) E = AB + ΓΔ ⋅ ΗΒ, όπου ΗΒ ύψος  2  τραπεζίου. Είναι ΗΒ = 2ημθ και ΗΓ  − 2 , e−1 / 2  ,  2 , e−1 / 2  σημεία καμπής. = 2συνθ.  2   2  ii) θ = π . ii) Κοίλη στο  − π , 0 και κυρτή στο 0, π , 3 2 2 13. ii) 75. ενώ το (0, 0) είναι σημείο καμπής. 14. Η πυκνότητα του καπνού είναι iii) Κοίλη στο (−∞, 0], κυρτή στο [0, +∞) και r = r1 + r2 το (0, 0) σημείο καμπής.

ΥΠΟΔΕΙΞΕΙΣ - ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ 257 iv) Κοίλη στο (−∞, 0], κυρτή στο [0, +∞) και 5. H f ″ δεν μηδενίζεται στο (–2, 2). το (0, 0) είναι σημείο καμπής. v) Kυρτή στο (−∞, 0], κοίλη στο [0, +∞) και § 2.9 Α΄ Ομάδας 1. i) x = 2. ii) x = − π , x = π . το (0, 0) σημείο καμπής. 22 4. • - γνησίως αύξουσα στα [–1, 1], [4, 8]. iii) δεν υπάρχουν iv) x = 0. - γνησίως φθίνουσα στα [1, 4], [8, 10]. 2. i) y = 1. ii) y = 0 στο +∞. ● - κοίλη στα [0, 2], [5, 6] και [7, 10]. 3. i) y = x, x = 1. - κυρτή στα [–1, 0], [2, 5] και [6, 7]. ii) y = x + 2, x = 2. • - Τα 1, 8 είναι θέσεις τοπικών μεγίστων. iii) y = x + 1 στο +∞ και - Τα –1, 4, 10 είναι θέσεις τοπικών ελαχίστων. 2 • - Τα 0, 2, 5, 6, 7 είναι θέσεις σημείων καμπής. y = −x − 1 στο −∞. 2 5. i) Όταν t∈ [0, t2] κινείται αριστερά και όταν t∈ [t2, +∞) δεξιά. 4. i) 1. ii) 1 . iii) 0. 2 ii) Η ταχύτητα αυξάνεται στο διάστημα [t1, t3] και μειώνεται σε καθένα από τα διαστήμα- § 2.9 B΄ Ομάδας 1. i) lim ( f (x) − (− x −1)) = 0, τα [0, t1] και [t3, +∞). x→−∞ § 2.8 Β΄ Ομάδας lim ( f (x) − ( x + 1)) = 0. 1. A− 3,− 3  , Β(0, 0) και Γ  3, 3 . 4  4 x→+∞ Τα Α, Γ έχουν αντίθετες συντεταγμένες. ii) H f είναι κυρτή στο R και άρα βρίσκεται πάνω από την ε1 κοντά στο −∞ και πάνω από την ε2 κοντά στο +∞. 2. i) y = 0. ii) y = 0. 3. α = 1, β = 1. 2. (α, 2 – α2). 4. Χρησιμοποιείστε τους κανόνες de L’ Ho- spital. 3. f ″(x) > 0 για κάθε x∈ R. 5. Χρησιμοποιείστε τους κανόνες de L’Hospital. 4. i) Τοπικό μέγιστο το f (0) = 2, τοπικό ελά- χιστο το f (2) = – 2 και σημείο καμπής το 6. i) 1, 0. iii) x = 0. (1, 0). § 2.10 Α΄ Ομάδας ii) λΑΒ = λΑΓ = – 2. 1. i) Είναι f ′ (x) = 3(x2 – 2x + 3), f ″ (x) = 6x – 6 και να κάνετε τον πίνακα μεταβολών της f.

258 ΥΠΟΔΕΙΞΕΙΣ - ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ii) f ′( x) = − 2 , 6. i) f ′(x) = 1 − ln x , f ′′(x) = 2ln x − 3 και (x −1)2 x2 x3 f ′′(x) = 4 , να κάνετε τον πίνακα μεταβολών της f. (x −1)3 ασύμπτωτες y = 1, x = 1 και να κάνετε τον πίνακα με- ii) H f είναι γνησίως φθίνουσα στο [e, +∞), ταβολών της f. οπότε 2. i) f ′(x) = x2 −1 , f ′′(x) = 2 , ασύμπτωτες f (α ) > f (α + 1) ⇔ α α +1 > (α + 1)α x x3 iii) Να λογαριθμήσετε την ισότητα 2x = x2. x = 0 και y = x και να κάνετε τον πίνακα μεταβολών της f. Η f είναι γνησίως αύξουσα στο (−∞,e], ii) Ομοίως. οπότε παίρνει την τιμή x = 2 μια φορά. 3. f ′ (x) = 1 + συνx, f ″(x) = – ημx και να κάνετε Ομοίως στο [e,+∞) παίρνει την τιμή x = τον πίνακα μεταβολών της f στο [–π, π]. 4 μια φορά. 7. i) Να πάρετε τη συνάρτηση f ( x) = αx + β x και να εφαρμόσετε το θεώρημα του Fermat. ii) Να πάρετε τη συνάρτηση f ( x) = αx – x – 1 και να εφαρμόσετε το Θ. Fermat. ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 8. i) f ′′(x) = ex > 0, g ′′( x) = − 1 < 0. 2oυ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ x2 ii) y = x + 1 και y = x – 1. Γ΄ Ομάδας iii) η f είναι κυρτή, ενώ η g είναι κοίλη. 1. i) f ′ (1) = g′(1). iv) Να πάρετε τη διαφορά f ( x) – g(x). ii) Να πάρετε τη διαφορά φ(x) = g(x) – f ( x) και να εξετάσετε το πρόσημό της. 9. i) λ(1 – lnλ). ii) λ = e iii) Θεωρείστε τη διαφορά g(x) – λx που εί- 2. Να πάρετε τη συνάρτηση φ(x) = f ( x) – g(x). ναι η f ( x). 3. Ε′(θ) = συν2θ + συνθ. 10. i) f ′(0) = 0 ii) x = 1 , κ ∈ *. κπ Μέγιστο το Ε  π  = 3 3 . 3 4 iii) lim ( f (x) − x) = 0 και x → +∞ 4. Το εμβαδόν του τομέα είναι Ε = 1 r 2θ ή lim ( f (x) − x) = 0. 2 x → −∞ Ε(r) = 10r – r2. Μέγιστο το Ε(5) = 25. 11. Α. i) ψ′(x) = 0, x∈ R, οπότε ψ(x) = c ii) φ′(x) = 0 και φ(x) = 0, x∈ R. 5. iii) θ= π και το μήκος της σκάλας είναι 4 Β. ii) Να λάβετε υπόψιν το ερώτημα Α. 2 2 ≅ 2,8 m.

ΥΠΟΔΕΙΞΕΙΣ - ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ 259 12. i) det(PM , PN ) = 0. § 3.1 Β΄ Ομάδας 1. T(t) = αe–kt + T0 ii) Να εφαρμόσετε τους κανόνες de L’ 2. 9.976 ευρώ. Hospital. 3. 814,4 ευρώ. 4. f ′ (x) = g′(x) + c1 κ.τ.λ. 13. A. i) Αν ΟΔ το ύψος του τριγώνου ΟΠΑ, τότε ημ θ = l 24 ii) S = υt, οπότε S = 4t B. l′(t) = 4συνt. § 3.2 Α΄ Ομάδας α) 2 km/h β) 0 km/h γ) –2 km/h. 1. i) e x(x2 + 2x + 2) + c ii) 1 e2x (6x2 −10x + 7) + c 14. Συνολικό κόστος 4 1000 K (x) = 600 + x + 10( x + 1). Πρέπει να προσλάβει 10 εργάτες. iii) 1 x4 ln x − x4 + c 4 16 3 ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ iv) ( x2 + 1/2)συν2x + xημ2x + c v) 2xημ2x + συν2x + c § 3.1 A΄ Ομάδας vi) x ln x − x + c 1. i) x4 − συνx + ημx + c vii) − ln x − 1 + c 4 xx ii) x2 + x + ln | x |+ c viii) 1 ex (συν2x + 2ημ2x) + c 2 5 iii) 6 x5 / 2 + c ix) 1 e x(ημ x− συνx) + c . 5 2 iv) x3 + x2 + 4x + c 2. i) − 1 συν3x + c 3 3 v) ex− 3ln | x |+ 1 ημ2x + c ii) 1 (4x2 −16x + 7)4 + c 2 32 vi) εφx + σφx + c iii) 6 ( x2 −1 x)3 + c vii) x + ln | x + 2 |+ c. +6 2. f (x) = 2 x − 5. iv) 2 (2 + x3)1/ 2 + c 3. f(x) = 3 x2 + 3x + 4. 3 2 v) 2 (x + 1)3 / 2 (3x − 2) + c. 4. f(x) = x4 + x2 3x + 2. 15 5. 19 εκατ. 3. i) συνex + c ii) ln(ex + 1) + c 6. K (x) = x3 + 5x2 + 100 . 32 7. 352 χιλ.

260 ΥΠΟΔΕΙΞΕΙΣ - ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ iii) 2 ln x + c ii) 1 x − 1 ημ2x + c . iv) ln(ln(ex + 1)) + c 2 4 v) συν 1 + c. iii) 1 x − 1 ημ4x + c. x 8 32 § 3.2 B΄ Ομάδας 6. i) 1 συνx − 1 συν3x + c 26 1 . i) ln(1 + συν2x) + c ii) − 1 [ln(συνx)]2 + c ii) 1 ημ2x + 1 ημ8 x+ c 2 iii) eημx + c. 4 16 iii) 1 ημ2x − 1 ημ6x + c. 4 12 2  x3 +1 3 / 2 7. i) ln | x2 − 3x + 2 |+ c 9 x3 x 2. i) − + c ii) −5ln | x −1 | +8ln | x − 2 |+ c  iii) 2x2−3x + ln | x +1 | + 4 ln | x +2 |+ c ii) x2 +1 + c iv) ln x −1 + c. iii) 1 (x2 + 1)[ln(x2 + 1) −1] + c . x +1 2 § 3.3 Α΄ Ομάδας 3. i) x3 (ln x2 − 2 ) + c 33 1. i) y = 1 ii) y2 x2 = c 2x2 + c iv) y = ln(ημx + c). ii) t(lnt)2 2tlnt + 2t + c iii) exημex + συνex + c. iii) y = cex2 4. i) − ln | συνx |+ c και 2. i) y = − 3 + ce2x ii) y = e x + ce 2 x xεφx + ln | συνx |+ c 2 ii) − 1 + c και iii) y = 2x + ce x + 2 ημx iv) y= ce−x2+ 1/ 2 . − σφx − 1 + c 3. y= −3 ημx 2x2 +1 iii) συν3x − συνx + c και 4. y = 2 . 3 3 ημx − ημ3x + c . 5. i) y = 1− 4 3 eεφx 5 . i) 1 x − 1 ημ2x + c ii) y = x ln x − x + 21 . 24 x +1

ΥΠΟΔΕΙΞΕΙΣ - ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ 261 §3.3 B΄ Ομάδας 2. Eφαρμόζουμε ιδιότητες. 1. I (t) = 1 (ημt − συνt) + 1 e−t. 4. 1 ii) − συν x 22 5. i) −ημx ⋅| ημx | 2x 6. i) 1 2. y2= 2x. 3. y = x2 + cx. x2 +1 x2 ii) χρησιμοποιείστε το (i). 4. y = e 2 . 5. y(t) = α β λ ⋅ 1 + c . §3.5 B΄ Ομάδας − eλt eαt 1. 10. 2. f ′(x) = 0. 6. ∂ (t) = T ∂0 T −κt . 3. Τοπ. ελάχιστο το f(2) = 0. 7. ii) P(t) = m +  p0 − m eκt , κ > 0. κ  κ x 8. i) dV = 100 π y′ ∫4. f (t)dt + xf (x) . dt 0 ii) y(t) =  − 5 t + 6 2 5. F (x) = 0, x ∈ (0, + ∞) .  100  6. De l’ Hospital. iii) t = 120 5 sec. 7. i) 4 2 − 2 3 ii) συν1. t −t1 8. i) 5 ii) 2 − π 2 iii) 11 . 3 26 9. E (t ) = E0e Rc . 10. i) α) I (t) = 5 + c , β) 5 9. i) 4 ii) e − 2 e3t e ii) I (t) = 5 (ημ3t − συν3t) + c . iii) 5ln10 − 9 ln 9 − 1 , iv) − 1 (eπ / 2 + 1) . 4 e3t 22 5 §3.4 A΄ Ομάδας 10. π 2 , 1 , π 2 + 1 , π 2 − 1 . 8 2 16 4 16 4 1. i) –11 ii) 4 iii) –2 iv)15. 2. ln 1 = ln1 − ln t. 11. f (0) = 1. t 12. κατά παράγοντες. 3. κ = 4. 4. i) 22 ii) –12 §3.6 Α΄ Ομάδας 1. f = 1. §3.5 A΄ Ομάδας iii) –1 iv) 29. 3. α + β . 1. i) 6 ii) 3 − 2 6 2 e

262 ΥΠΟΔΕΙΞΕΙΣ - ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ §3.6 B΄ Ομάδας 10. 1 . 2 1. f = α 2 + αβ + β 2 , g = 1 . 11. i) f (x) = x2 3x+2 ii) 1 τ.μ. 3 αβ 6 2.α) PR2 β) υμεγ = PR2 . 12. i) y = 2x+ 2 , y = 2x 6 6nl 4nl ii) E1 = 4 , E2 = 2 . 3 3 §3.7 Α΄ Ομάδας ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 3oυ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ 1. 14 τ.μ. 3 Γ΄ Ομάδας 2. i) 35 τ.μ. ii) 3 τ.μ. 1. ii) π ln 3. 4 4 3. 9 τ.μ. 2. i) − ln 3 ii) ln 3. 2 3. ln | u + 1 |− ln | u + 2 |+ c 4. 37 τ.μ. 12 i) ln | ημx + 1 |− ln | ημx + 2 |+ c 5. 125 τ.μ. ii) ln(ex + 1) ln ( ex+ 2) + c. 6 4. i) 1 §3.7 B΄ Ομάδας 2ν + 2 1. y = 6x 3, E = 1 τ.μ. ii) 1 ln 2 , 1 (1 − ln 2) , 1 ln 2 − 1 . 4 22 24 2. 4+ 8 2 τ.μ. 5. Τα μέλη της ισότητας έχουν ίσες παραγώ- 3 γους. 3. 11 τ.μ. 6. i) Df = [1, + ∞) DF = [1, + ∞) . 12 7. i) F(x) + G(x) = ex 1, 4. 1 τ.μ. F(x) − G(x) = ex (συν2x + 2ημ2x) − 1 6 55 5. i) 1 + e(lnλ 1 ) ii) +∞. ii) I = 3eπ (eπ −1) , J = 2eπ (eπ −1) . 55 6. 2 + 3 τ.μ. ln 3 2 8. α = 3 4. 7. 7 τ.μ. 9. i) 0 < λ < 1, Ε (λ) = 1 −1, 4 λ ii) π 2 − 2 . 8. i) y = x, y = x + π 4 λ > 1, Ε (λ) = 1 − 1 . λ 9. α) 1 τ.μ. β) x = − 3 + 6 . ii) λ = 2 iii) +∞ και 1. 33 β ∫10. i) ( f (x) − g(x))dx ≥ 0. α

ΥΠΟΔΕΙΞΕΙΣ - ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ 263

Βάσει του ν. 3966/2011 τα διδακτικά βιβλία του Δημοτικού, του Γυμνασίου, του Λυκείου, των ΕΠΑ.Λ. και των ΕΠΑ.Σ. τυπώνονται από το ΙΤΥΕ - ΔΙΟΦΑΝΤΟΣ και διανέμονται δωρεάν στα Δημόσια Σχολεία. Τα βιβλία μπορεί να διατίθενται προς πώληση, όταν φέρουν στη δεξιά κάτω γωνία του εμπροσθόφυλλου ένδειξη «ΔIΑΤΙΘΕΤΑΙ ΜΕ ΤΙΜΗ ΠΩΛΗΣΗΣ». Κάθε αντίτυπο που διατίθεται προς πώληση και δεν φέρει την παραπάνω ένδειξη θεωρείται κλεψίτυπο και ο παραβάτης διώκεται σύμφωνα με τις διατάξεις του άρθρου 7 του νόμου 1129 της 15/21 Μαρτίου 1946 (ΦΕΚ 1946,108, Α'). Απαγορεύεται η αναπαραγωγή οποιουδήποτε τμήματος αυτού του βιβλίου, που καλύπτεται από δικαιώματα (copyright), ή η χρήση του σε οποιαδήποτε μορφή, χωρίς τη γραπτή άδεια του Υπουργείου Παιδείας, Έρευνας και Θρησκευμάτων / IΤΥΕ - ΔΙΟΦΑΝΤΟΣ.

Κωδικός Βιβλίου: 0-22-0234 ISBN 978-960-06-5175-1 (01) 000000 0 22 0234 1