Γ Λυκείου - Ολοκληρωτικός Λογισμός - Ενότητα 2 (ασκήσεις Κ2-Ο1)

Ολοκληρωτικός { {Λογισμός 2η ενότητα Πώς θα υπολογίσεις ένα ορισμένο ολοκλήρωμα 2η κατηγορία ασκήσεων “Απλά” ολοκληρώματα Νέα Μουδανιά • Σεπτέμβριος 2020 Σελίδες 27 - 65 Ασκήσεις 14 - 44



2 η Ε Ν Ο Τ Η Τ ΑΜαθηματικά Γ΄Λυκείου • ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 • Ολοκληρωτικός Λογισμός 2η ΕΝΟΤΗΤΑ. Πώς θα υπολογίσεις ένα ορισµένο ολοκλήρωµα Πώς θα υπολογίσεις ένα ορισµένο ολοκλήρωµα ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΑΠΟ ΤΗΝ ΘΕΩΡΙΑ - ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΓΙΑ ΤΙΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Τι είναι το ολοκλήρωµα; Για να απαντηθεί με απλά λόγια αυτό το ερώτημα απαιτούνται λίγα παραδείγματα και μια σύνδεση με δύο χαρακτηριστικά θέματα που ήδη είδες στον Διαφορικό Λογι- σμό και τα οποία επαναλήφθηκαν στην 1η ενότητα. Για να σε προϊδεάσω, πρόκειται για την διαδικασία της αντιπαραγώγισης. Παράδειγµα 2 Στις ασκήσεις του θεωρήματος του Rolle, ένα από τα πλέον χαρακτηριστικά ζητούμενα είναι να δειχθεί ότι μία εξίσωση έχει μία, τουλάχιστον, ρίζα (σε ένα διάστημα). Αν η εξίσωση είναι η f′(x) = 2x + 1 , τότε αυτήν την γράφεις ισοδύναμα f′(x) − 2x − 1 = 0 ⇔ ⎣⎢⎡f(x) − x2 − x⎤⎦⎥′ = 0 και η συνάρτηση που θεωρείς στην άσκηση είναι η g(x) = f(x) − x2 − x , διότι είναι g′(x) = f′(x) − 2x − 1 . Θα μπορούσες να θεωρήσεις, όμως, και την συνάρτηση g(x) = f(x) − x2 − x + 1 ή και την g(x) = f(x) − x2 − x + 2 κ.ο.κ. Σύμφωνα με τον ορισμό της αρχικής συνάρτησης (βλέπε 1η ενότητα), πήρες μία αρχική της f′(x) − 2x − 1 . Παράδειγµα 3 Στις συνέπειες του Θ.Μ.Τ., ένα από τα πλέον χαρακτηριστικά ζητούμενα είναι να βρε- θεί ο τύπος μιας συνάρτησης, όταν είναι γνωστός ο τύπος της πρώτης της παραγώγου. Αν είναι f′(x) = 2x + 1 , τότε συνεχίζεις γράφοντας f′(x) = (x2 + x)′ ⇔ f(x) = x2 + x + c , όπου c ∈ ! σταθερός αριθμός. - 27 - Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηματικών • www.mathsteki.gr

Μαθηματικά Γ΄Λυκείου • ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 • Ολοκληρωτικός Λογισμός 2η ΕΝΟΤΗΤΑ. Πώς θα υπολογίσεις ένα ορισµένο ολοκλήρωµα Για να βρεις τον αριθμό c χρειάζεται μια τιμή της f και έτσι τελειώνει η άσκηση, ενώ και πάλι γράφοντας (x2 + x)′ πήρες μία αρχική της 2x + 1 . Και στα δύο παραδείγματα βρήκες μία αρχική της ζητούμενης συνάρτησης με την δια- δικασία που ονομάστηκε αντιπαραγώγιση. Ακριβώς επειδή πρόκειται για μία αρχική, γίνεται κατανοητό ότι υπάρχουν και άλλες, άπειρες για την ακρίβεια. Αυτό αναφέρε- ται στην ακόλουθη πρόταση (βλέπε 1η ενότητα): Πρόταση Μορφή παραγουσών µιας συνάρτησης Έστω f μια συνάρτηση, ορισμένη σε ένα διάστημα Δ. Αν F είναι μία παράγουσα της f στο Δ, τότε: • όλες οι συναρτήσεις της μορφής G(x) = F(x) + c , c ∈ ! , είναι παράγουσες της f στο Δ και • κάθε άλλη παράγουσα G της f στο Δ παίρνει την μορφή G(x) = F(x) + c , c ∈ ! . Έτσι οδηγούμαστε στον ακόλουθο ορισμό, ο οποίος θα δώσει μια πρώτη απάντηση ως προς το τι είναι το ολοκλήρωμα. Ορισµός Αόριστο ολοκλήρωµα συνάρτησης Το σύνολο όλων των παραγουσών (αρχικών) μιας συνάρτησης f σε ένα διάστημα Δ ∫ονομάζεται αόριστο ολοκλήρωμα της f στο Δ, συμβολίζεται f(x) dx και διαβάζε- ται «ολοκλήρωμα εφ του x ντε x». Δηλαδή είναι ∫ f(x) dx = F(x) + c , c ∈ ! , όπου F μία παράγουσα της f στο Δ. ΠΡΟΣΟΧΗ ! Ο ορισμός αυτός είναι εκτός ύλης! Είναι εντελώς απαραίτητος όμως για να μπορέσω να εξηγήσω τι είναι το ολοκλήρωμα. Επομένως, το ολοκλήρωμα και ο συμβολισμός του σηματοδοτούν πορεία αντίστροφη της παραγώγισης. Ως έννοια, το αόριστο ολοκλήρωμα (διότι υπάρχει και το ορισμένο - 28 - Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηματικών • www.mathsteki.gr

Μαθηματικά Γ΄Λυκείου • ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 • Ολοκληρωτικός Λογισμός 2η ΕΝΟΤΗΤΑ. Πώς θα υπολογίσεις ένα ορισµένο ολοκλήρωµα ολοκλήρωμα, το οποίο θα δεις στην συνέχεια) είναι το σύνολο εκείνων των συναρτήσε- ων, οι οποίες έχουν όλες την ίδια παράγωγο. Τώρα με την βοήθεια του τελευταίου ορισμού και της ακόλουθης ιδιότητας θα εξηγήσω πώς ό,τι φάνηκε στα παραδείγματα 2 και 3 και ό,τι έκανες στις ασκήσεις του θέματος «Να βρείτε τον τύπο της f» κυρίως, είναι ουσιαστικά η ίδια δουλειά αλλά με διαφορε- τικό συμβολισμό· αυτόν του αόριστου ολοκληρώματος. Ιδιότητα Για κάθε συνάρτηση f, παραγωγίσιμη σε ένα διάστημα Δ, ισχύει ∫ f′(x) dx = f(x) + c , c ∈ ! . ΠΡΟΣΟΧΗ ! Η ιδιότητα αυτή είναι εκτός ύλης! Είναι εντελώς απαραίτητη όμως για να μπορέσω να εξηγήσω τι σημαίνει «βρίσκω/υπο- λογίζω ένα ολοκλήρωμα». Έτσι, όταν πας «ανάποδα», παίρνεις μία από εκείνες τις συναρτήσεις τις οποίες όταν τις παραγωγίσεις παίρνεις την επιθυμητή παράγωγο. H διαδικασία αυτή είναι η ήδη γνωστή αντιπαραγώγιση και εδώ πλέον παίρνει και το δεύτερο (και κύριο) όνομά της: ολοκλήρωση. Επομένως, όταν βρίσκεις όλες τις αρχικές, στην ουσία βρίσκεις το αόριστο ολοκλήρωμα της αρχικής συνάρτησης, έστω και αν πλέον είναι «παράνομο» να το πούμε, μια και ο σχετικός ορισμός είναι ­δυστυχώς­ εκτός ύλης. Λέω «δυστυχώς», αφού το αόριστο ολοκλήρωμα και ο υπολογισμός αόριστων ολοκλη- ρωμάτων είναι θεμελιώδη θέματα του Ολοκληρωτικού Λογισμού και δεν λείπει από καμία σχολή της Τριτοβάθμιας Εκπαίδευσης η οποία έχει Μαθηματικά στο πρόγραμμα σπουδών της. Τουλάχιστον μέχρι την εποχή που γράφεται αυτό το βιβλίο (Φεβρουάριος 2019), το αόριστο ολοκλήρωμα εξακολουθεί να είναι εκτός διδακτέας ύλης στην Γ΄ Λυ- κείου και οι μελλοντικοί φοιτητές θα συναντήσουν δυσκολίες στις σπουδές τους. Ένα ακόμη παράδειγμα και θα πάμε μετά στο κυρίως θέμα. - 29 - Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηματικών • www.mathsteki.gr

Μαθηματικά Γ΄Λυκείου • ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 • Ολοκληρωτικός Λογισμός 2η ΕΝΟΤΗΤΑ. Πώς θα υπολογίσεις ένα ορισµένο ολοκλήρωµα Παράδειγµα 4 Το ζητούμενο «Να βρείτε τις αρχικές της συνάρτησης f(x) = ex + 2x » και το ζητούμενο ∫«Να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα (ex + 2x) dx » είναι πρακτικά το ίδιο! • Εύρεση των αρχικών της f(x) = ex + 2x Είναι f(x) = ex + 2x = (ex + x2)′ , οπότε οι αρχικές της f έχουν την μορφή F(x) = ex + x2 + c , c ∈ ! σταθερά. • Υπολογισμός ολοκληρώματος Είναι ∫ ∫(ex + 2x) dx = (ex + x2)′ dx = ex + x2 + c , c ∈ ! σταθερά. Πάμε τώρα στο κυρίως θέμα και σταματώ τις αναφορές σε θέματα εκτός ύλης (αν και ήταν απολύτως απαραίτητα για την κατανόηση του ολοκληρώματος). Τι είναι το ορισµένο ολοκλήρωµα Με λίγα και απλά λόγια: Στο «τσιγκέλι» που χρησιμοποιείται ως συμβολισμός αυτού που αποκαλέσαμε αόρι- στο ολοκλήρωμα, όταν στις δύο άκρες του υπάρχουν αριθμοί έχουμε το λεγόμενο ορι- σμένο ολοκλήρωμα. Έτσι, το β ∫ f(x) dx α είναι ένας πραγματικός αριθμός και ονομάζεται ορισμένο ολοκλήρωμα της συνάρτη- σης f(x) από το α στο β, οι δε αριθμοί α και β ονομάζονται όρια ολοκλήρωσης. Οι αριθμοί αυτοί δεν επηρεάζουν γενικά την όλη διαδικασία υπολογισμού, η οποία απο- - 30 - Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηματικών • www.mathsteki.gr

Μαθηματικά Γ΄Λυκείου • ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 • Ολοκληρωτικός Λογισμός 2η ΕΝΟΤΗΤΑ. Πώς θα υπολογίσεις ένα ορισµένο ολοκλήρωµα καλείται ολοκλήρωση. Η ακόλουθη πρόταση είναι πολύ σημαντική στην ολοκλήρωση: Πρόταση Θεµελιώδες θεώρηµα του Ολοκληρωτικού Λογισµού Έστω f μια συνεχής συνάρτηση σε ένα διάστημα ⎣⎡⎢α , β⎦⎤⎥ . Αν F είναι μία παράγουσα της f στο ⎣⎢⎡α , β⎤⎦⎥ , τότε β ∫ f(x) dx = ⎡⎣⎢F(x)⎥⎦⎤ β = F(β) − F(α) . α α Για παράδειγμα, είναι 3 ∫ 2x dx = ⎡⎣⎢x2 ⎥⎤⎦13 = 32 − 12 = 8 . 1 Επίσης, π ∫ ηµx dx = ⎣⎢⎡−συνx ⎤⎦⎥ π = −συνπ − (−συν0) = −(−1) +1 = 2 . 0 0 Παραθέτοντας ιδιότητες που συνοδεύουν το ορισμένο ολοκλήρωμα (και οι οποίες αξιο- ποιούνται γενικά κατά τους υπολογισμούς) θα «χτίσουμε» σιγά σιγά την απαραίτητη θεωρία και θα αποκτήσουμε τα εργαλεία που χρησιμοποιούνται για τον υπολογισμό ενός ορισμένου ολοκληρώματος. Η πρώτη ­και βασικότερη­ ιδιότητα είναι η ακόλουθη: Ιδιότητα 1 β ∫ f′(x) dx = ⎣⎡⎢ f(x)⎥⎤⎦ β = f(β) − f(α) α α ❖ Τι λέει η ιδιότητα 1 Όταν όλη η συνάρτηση που είναι εντός του ολοκληρώματος είναι «έτοιμη παράγωγος», τότε «φεύγει» το ολοκλήρωμα και ό,τι είναι «κάτω από τον τόνο» μπαίνει σε αγκύλες με τα όρια ολοκλήρωσης δεξιά της και με την ίδια σειρά με την οποία είναι στο ολο- κλήρωμα. - 31 - Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηματικών • www.mathsteki.gr

Μαθηματικά Γ΄Λυκείου • ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 • Ολοκληρωτικός Λογισμός 2η ΕΝΟΤΗΤΑ. Πώς θα υπολογίσεις ένα ορισµένο ολοκλήρωµα Έτσι, αν γίνουν αναλυτικότερα τα βήματα στα προηγούμενα παραδείγματα (αν και αυτό σε λίγες περιπτώσεις χρειάζεται να γίνεται στις ασκήσεις), έχουμε: 33 ∫ ∫• 2x dx = (x2)′ dx = ⎣⎡⎢x2⎦⎥⎤13 = 32 − 12 = 8 . 11 ππ ∫ ∫• (−συνx)′ dx ⎢⎣⎡−συνx ⎥⎦⎤ π −συνπ . ηµx dx = = 0 = − (−συν0) = −(−1) +1 = 2 00 Όπως αναφέρθηκε, οι αριθμοί α και β ονομάζονται όρια ολοκλήρωσης και συνήθως δεν επηρεάζουν την διαδικασία υπολογισμού. Είθισται να είναι α < β (δηλαδή κάτω ο μι- κρός αριθμός και πάνω ο μεγάλος), αλλά κάλλιστα μπορεί να είναι και α > β (δηλαδή κάτω ο μεγάλος αριθμός και πάνω ο μικρός). Στην περίπτωση που είναι α = β , ισχύει η ακόλουθη Ιδιότητα 2 α ∫ f(x) dx = 0 α ❖ Τι λέει η ιδιότητα 2 Όταν τα όρια ολοκλήρωσης είναι ίσα, τότε το ολοκλήρωμα είναι ίσο με 0. Επίσης, πολλές φορές χρησιμοποιείται η ακόλουθη Ιδιότητα 3 βα ∫ ∫f(x) dx = − f(x) dx αβ ❖ Τι λέει η ιδιότητα 3 Όταν αλλάξεις την σειρά στα όρια ολοκλήρωσης, τότε αλλάζει το πρόσημο του ολοκλη- ρώματος. Και οι επόμενες ιδιότητες χρησιμοποιούνται κατά κόρον στους υπολογισμούς ολοκληρωμάτων. - 32 - Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηματικών • www.mathsteki.gr

Μαθηματικά Γ΄Λυκείου • ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 • Ολοκληρωτικός Λογισμός 2η ΕΝΟΤΗΤΑ. Πώς θα υπολογίσεις ένα ορισµένο ολοκλήρωµα Ιδιότητα 4 β ∫ c dx = c ⋅ (β − α) , για οποιοδήποτε c ∈ ! . α ❖ Τι λέει η ιδιότητα 4 Όταν μέσα στο ολοκλήρωμα έχει έναν μόνο σταθερό αριθμό, τότε το αποτέλεσμα είναι ίσο με τον αριθμό αυτόν επί «το επάνω μείον το κάτω άκρο» ολοκλήρωσης. Έτσι, είναι περιττό (αν και σωστό βέβαια) να γράψεις β ∫ c dx = ⎢⎡⎣cx ⎦⎤⎥ β = cβ − cα = c ⋅ (β − α) . α α Ιδιότητα 5 Αν η συνάρτηση f είναι συνεχής στο ⎡⎢⎣α , β⎥⎦⎤ και λ ∈ ! , τότε ισχύει ββ ∫ ∫λ ⋅ f(x) dx = λ ⋅ f(x) dx . αα ❖ Τι λέει η ιδιότητα 5 Όταν η συνάρτηση που είναι μέσα στο ολοκλήρωμα πολλαπλασιάζεται με έναν αριθμό, τότε ο αριθμός αυτός βγαίνει μπροστά από το ολοκλήρωμα ως συντελεστής του. Θα θυμάσαι βέβαια ότι ανάλογη ιδιότητα υπάρχει και στα όρια, την οποία σίγουρα χρησιμοποίησες πολλές φορές κατά τους υπολογισμούς. - 33 - Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηματικών • www.mathsteki.gr

Μαθηματικά Γ΄Λυκείου • ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 • Ολοκληρωτικός Λογισμός 2η ΕΝΟΤΗΤΑ. Πώς θα υπολογίσεις ένα ορισµένο ολοκλήρωµα Ιδιότητα 6 Αν οι συναρτήσεις f, g είναι συνεχείς στο ⎣⎢⎡α , β⎤⎦⎥ , τότε ισχύει β ββ ∫ ∫ ∫⎢⎣⎡f(x) ± g(x)⎤⎥⎦ dx = f(x) dx ± g(x) dx . α αα Γενικά, αν λ , µ ∈ ! , τότε β ββ ∫ ∫ ∫⎡⎢⎣λ ⋅ f(x) ± µ ⋅ g(x)⎦⎤⎥ dx = λ ⋅ f(x) dx ± µ ⋅ g(x) dx . α αα ❖ Τι λέει η ιδιότητα 6 Όταν μέσα στο ολοκλήρωμα υπάρχει άθροισμα/διαφορά δύο (ή περισσοτέρων) συναρ- τήσεων, τότε το ολοκλήρωμα «σπάει» και δημιουργούνται τόσα ολοκληρώματα όσες είναι και οι συναρτήσεις. Η ιδιότητα αυτή αποδεικνύεται χρήσιμη όταν δεν μπορεί να βρεθεί άμεσα μία αρχική της συνάρτησης που είναι εντός του ολοκληρώματος και πρέπει να χρησιμοποιηθεί είτε κάποια ιδιαίτερη τεχνική ολοκλήρωσης είτε να γίνει κάποια αλγεβρική επεξεργασία, όπως φαίνεται στο ακόλουθο Παράδειγµα 5 ∫Ας πάρουμε το Ι =2 ⎜⎜⎜⎛⎝ x + 3x2 − 2 ⎞⎠⎟⎟⎟⎟ dx . x 1 Η τετραγωνική ρίζα δημιουργεί ένα μικρό πρόβλημα στην άμεση εύρεση μιας αρχικής της συνάρτησης που είναι εντός του ολοκληρώματος. Γι’ αυτό, κάνουμε τα εξής: 2 ∫x dx + 2 ⎜⎜⎝⎛⎜3x2 − 2x ⎟⎟⎟⎟⎞⎠dx ⇒ Ι = Ι1 + Ι2 (1) 1 ∫Ι = 1 όπου 2 ∫x dx , Ι2 = 2 ⎛⎜⎜⎜⎝3x2 − 2x ⎠⎟⎞⎟⎟⎟dx . 1 ∫Ι1 = 1 - 34 - Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηματικών • www.mathsteki.gr

Μαθηματικά Γ΄Λυκείου • ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 • Ολοκληρωτικός Λογισμός 2η ΕΝΟΤΗΤΑ. Πώς θα υπολογίσεις ένα ορισµένο ολοκλήρωµα 2 ∫x dx = 2 1 ⎣⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢ x1 +1 ⎥⎥⎦⎤⎥⎥⎥⎥12 = ⎢⎢⎢⎡⎣⎢⎢⎢ 3 ⎥⎥⎥⎥⎥⎤⎦⎥ 2 ⎡⎢⎢⎢⎣ 2 3 ⎥⎥⎦⎤⎥12 2 ⋅ ⎡⎣⎢ ⎥⎤⎦12 2 ⋅ ⎢⎣⎡x x ⎤⎦⎥12 = 1 2 1 3 3 3 ∫• Ι1 = x2 dx = x2 = x2 = x3 = 1 1 2 +1 3 2 ( ) ( )= 2 ⋅ 2 2 −1 1 ⇒ Ι1 = 2 2 2 −1 . 3 3 2 ⎜⎛⎝⎜⎜3x2 − 2x ⎟⎠⎟⎞⎟⎟dx = 2 ∫• 1 Ι2 = ⎡⎢⎣x3 − 2ℓnx ⎥⎤⎦ = 23 − 2ℓn2 − (13 − 2ℓn1) ⇒ Ι2 = 7 − 2ℓn2 . 1 Τελικά από την (1) προκύπτει ότι ( )2 2 2 −1 + 7 − 2ℓn2 = 4 2 −2 + 21 − 2ℓn2 ⇒ Ι= 4 2 + 19 − 2ℓn2 . 3 3 Ι= 3 Ο υπολογισμός θα μπορούσε να γίνει και έτσι: 22 22 2 2 ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫Ι = 2 1 x dx + 3x2 dx − x dx = x dx + 3x2 dx − 2 ⋅ x dx = ... 11 11 1 1 Σωστό μεν, αλλά το «σπάσιμο» σε πολλά ολοκληρώματα απαιτεί περισσότερο γράψι- μο και πράξεις, και πρέπει να αποφεύγεται. Αυτό φαίνεται καλύτερα στο επόμενο παράδειγμα, στο οποίο θα δοθεί και μία καλή συμβουλή για τους αριθμητικούς υπολο- γισμούς που συναντώνται στην διαδικασία ολοκλήρωσης. Παράδειγµα 6 2 ∫Για το Ι = (x3 − 4x2 + 5x − 2) dx έχουμε: 0 Α΄τρόπος (προτεινόμενος) ∫Ι = 2 (x3 − 4x2 + 5x − 2) dx = ⎢⎡⎢⎢⎣ x4 − 4x3 + 5x2 − 2x ⎤⎦⎥⎥⎥ 2 = 0 4 3 2 0 = 24 − 4 ⋅ 23 + 5 ⋅ 22 − 2 ⋅ 2 − ⎜⎜⎜⎜⎛⎝ 04 − 4 ⋅ 03 + 5 ⋅ 02 − 2 ⋅ 0⎠⎞⎟⎟⎟⎟ = 4 − 32 + 10 − 4 = 10 − 32 = 4 3 2 4 3 2 3 3 - 35 - Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηματικών • www.mathsteki.gr

Μαθηματικά Γ΄Λυκείου • ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 • Ολοκληρωτικός Λογισμός 2η ΕΝΟΤΗΤΑ. Πώς θα υπολογίσεις ένα ορισµένο ολοκλήρωµα = 30 − 32 ⇒ Ι = − 2 . 3 3 Β΄τρόπος (σωστός μεν, αλλά δεν προτείνεται) 2 2 2 22 ∫ ∫ ∫ ∫ ∫Ι = (x3 − 4x2 + 5x − 2) dx = x3 dx − 4 ⋅ x2 dx + 5 ⋅ x dx − 2dx = 0 0 0 00 = ⎣⎢⎢⎡⎢ x4 ⎥⎥⎤⎦⎥ 2 − 4 ⋅ ⎢⎡⎣⎢⎢ x3 ⎥⎥⎥⎤⎦ 2 +5⋅ ⎣⎢⎢⎢⎡ x2 ⎤⎥⎥⎦⎥ 2 − 2 ⋅ (2 − 0) = ... (πολλές πράξεις) 4 0 3 0 2 0 Η συμβουλή είναι η εξής: στον Α΄ τρόπο οι αριθμητικές πράξεις που γίνονται μπορούν να συμμαζευτούν έτσι: ∫Ι = 2 (x3 − 4x2 + 5x − 2) dx = ⎡⎢⎣⎢⎢ x4 − 4x3 + 5x2 − 2x ⎥⎥⎤⎥⎦ 2 = ⎢⎣⎡f(x)⎤⎦⎥ 2 = f(2) − f(0) , 0 4 3 2 0 0 όπου f(x) = x4 − 4x3 + 5x2 − 2x . 4 3 2 • f(2) = 24 − 4 ⋅ 23 + 5 ⋅ 22 −2⋅2 = 4− 32 + 10 − 4 = 10 − 32 =− 2 . 4 3 2 3 3 3 • f(0) = 04 − 4 ⋅ 03 + 5 ⋅ 02 −2⋅0 = 0 . 4 3 2 Άρα είναι I=− 2 −0 = − 2 . 3 3 Δηλαδή όταν βρεθεί μία αρχική της συνάρτησης που είναι εντός του ολοκληρώματος και αυτή είναι άθροισμα/διαφορά πολλών όρων (ειδικά όταν υπεισέρχονται και κλά- σματα), τότε καλό είναι να την ονομάζεις f(x), g(x), F(x), G(x) κ.τ.ό και να υπολογίζεις ξεχωριστά τις τιμές της. Αυτό συμμαζεύει αρκετά τους αριθμητικούς υπολογισμούς που γίνονται, δεν δημιουργεί αριθμητικές παραστάσεις­μακαρόνια και μικραίνει η πι- θανότητα αριθμητικού λάθους. Το επόμενο παράδειγμα θα δώσει την αφορμή για μερικές ιδιότητες ακόμη, οι οποίες είναι πολύ χρήσιμες στον υπολογισμό ενός ολοκληρώματος, στις αριθμητικές πράξεις - 36 - Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηματικών • www.mathsteki.gr

Μαθηματικά Γ΄Λυκείου • ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 • Ολοκληρωτικός Λογισμός 2η ΕΝΟΤΗΤΑ. Πώς θα υπολογίσεις ένα ορισµένο ολοκλήρωµα που γίνονται στην πορεία ή στο τέλος. Παράδειγµα 7 π ∫Για το Ι = (3ηµx − 2συνx) dx έχουμε: 0 π ∫Ι = (3ηµx − 2συνx) dx = ⎢⎣⎡−3συνx − 2ηµx ⎤⎥⎦ π = ⎡⎣⎢−(3συνx + 2ηµx)⎥⎤⎦ π = − ⎡⎣⎢3συνx + 2ηµx ⎥⎦⎤ π = 0 0 0 0 = ⎢⎡⎣3συνx + 2ηµx⎤⎥⎦ 0 = 3συν0 + 2ηµ0 − (3συνπ + 2ηµπ) = 3⋅1+ 2⋅0− ⎡⎢⎣3 ⋅ (−1) + 2 ⋅ 0⎤⎥⎦ = π = 3+3 ⇒ Ι = 6 . Έγιναν δύο κινήσεις στον συμβολισμό ⎣⎢⎡ f(x)⎥⎦⎤ β , οι οποίες στηρίζονται στις ακόλουθες α ιδιότητες: α) ισχύει ⎡⎣⎢ λ ⋅ f ( x ) ⎦⎥⎤ β = λ ⋅ ⎣⎡⎢ f ( x ) ⎥⎦⎤ β , λ∈! , α α δηλαδή αν η συνάρτηση μέσα στην αγκύλη πολλαπλασιάζεται με έναν αριθμό, τότε αυ- τός μπορεί να βγει έξω από την αγκύλη ως συντελεστής. β) ισχύει ⎢⎣⎡ f ( x ) ⎤⎥⎦ β = − ⎡⎣⎢ f ( x ) ⎦⎤⎥ α , α β δηλαδή αλλάζοντας την σειρά των αριθμών άνω δεξιά στην αγκύλη, αλλάζει το πρόση- μο μπροστά από την αγκύλη. ΠΡΟΣΟΧΗ ! Και οι δύο αυτές ιδιότητες δεν καταγράφονται στο σχολικό βιβλίο, αλλά μπορούν ελεύθερα να χρησιμοποιούνται κατά τον υπολογισμό ενός ολοκληρώματος (φυσικά αν χρειάζεται κάποια από τις δύο). Το γιατί ισχύουν φαίνεται στην συνέχεια: βα ∫ ∫α) ισχύει f(x) dx = − f(x) dx (ιδιότητα 3, σελίδα 32). αβ Έτσι, αν F είναι μία αρχική της f στο ⎣⎢⎡α , β⎦⎤⎥ , από την ισότητα αυτή έχουμε ότι ⎢⎡⎣F(x)⎤⎦⎥ β = − ⎣⎡⎢F(x)⎦⎤⎥ α , α β - 37 - Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηματικών • www.mathsteki.gr

Μαθηματικά Γ΄Λυκείου • ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 • Ολοκληρωτικός Λογισμός 2η ΕΝΟΤΗΤΑ. Πώς θα υπολογίσεις ένα ορισµένο ολοκλήρωµα βάσει της πρότασης της σελίδας 31 (Θεμελιώδες θεώρημα του Ολοκληρωτικού Λογι- σμού). ββ ∫ ∫β) ισχύει λ ⋅ f(x) dx = λ ⋅ f(x) dx (ιδιότητα 5, σελίδα 33). αα Έτσι, αν F είναι μία αρχική της f στο ⎣⎡⎢α , β⎦⎤⎥ , τότε η λ ⋅ F(x) είναι επίσης μία αρχική της, οπότε από την παραπάνω ισότητα έχουμε ⎡⎣⎢λ ⋅ F(x)⎦⎤⎥ β = λ ⋅ ⎡⎢⎣F(x)⎤⎦⎥ β , α α βάσει του θεωρήματος της σελίδας 31 (Θεμελιώδες θεώρημα του Ολοκληρωτικού Λογι- σμού). Ελπίζω όλα όσα αναφέρθηκαν μέχρι τώρα να κατάφεραν να εξηγήσουν τι είναι το λε- γόμενο ολοκλήρωμα και τι σημαίνει, τι πρέπει να κάνεις όταν ζητείται (πρέπει) να υπολογίσεις ένα ολοκλήρωμα. Στις ασκήσεις όμως οι συναρτήσεις εντός των ολοκληρωμάτων δεν είναι πάντα όσο απλές χρησιμοποιήθηκαν στα παραδείγματα που προηγήθηκαν, που σημαίνει ότι οι τεχνικές υπολογισμού (τεχνικές ολοκλήρωσης) που χρησιμοποιήθηκαν δεν είναι αρκε- τά ισχυρές για το θέμα μας. Για παράδειγμα, τα ολοκληρώματα β β β ℓnx dx , exηµx dx , α , β ∈ \" , α < β ∫ ∫ ∫ ∫β x+1 dx , xex dx , x2 − 4 αα α α (τα όρια ολοκλήρωσης δεν παίζουν ρόλο και γι’ αυτό τέθηκαν ως α, β) δεν υπολογίζο- νται με τις στοιχειώδεις τεχνικές των παραδειγμάτων που προηγήθηκαν. Οι τεχνικές ολοκλήρωσης (μέθοδοι ολοκλήρωσης) που χρησιμοποιούνται ταξινομούν (σε κάποιον βαθμό) τους τρόπους υπολογισμού ενός ολοκληρώματος. - 38 - Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηματικών • www.mathsteki.gr

Μαθηματικά Γ΄Λυκείου • ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 • Ολοκληρωτικός Λογισμός 2η ΕΝΟΤΗΤΑ. Πώς θα υπολογίσεις ένα ορισµένο ολοκλήρωµα Οι κυριότερες ομάδες που συναντώνται είναι οι εξής: ❖ 1η οµάδα «Απλά» ολοκληρώματα ❖ 2η οµάδα Μέθοδος ολοκλήρωσης κατά παράγοντες (παραγοντική ολοκλήρωση) ❖ 3η οµάδα Μέθοδος της αλλαγής μεταβλητής (μέθοδος της αντικατάστασης) ❖ 4η οµάδα Ολοκλήρωμα σύνθετης συνάρτησης (χρήση του διαφορικού μιας συνάρτησης) ❖ 5η οµάδα Ολοκλήρωμα ρητής συνάρτησης - 39 - Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηματικών • www.mathsteki.gr

1η ΟΜΑΔΑ Μαθηματικά Γ΄Λυκείου • ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 • Ολοκληρωτικός Λογισμός 2η ΕΝΟΤΗΤΑ. Πώς θα υπολογίσεις ένα ορισµένο ολοκλήρωµα “Απλά” ολοκληρώµατα Τα εισαγωγικά στην λέξη «απλά» μπήκαν όχι για να τονίσουν ότι είναι εύκολα (τότε δεν θα έβαζα καν εισαγωγικά), αλλά ότι δεν απαιτούν κάποια ιδιαίτερη τεχνική από την θεωρία των ολοκληρωμάτων. Ο υπολογισμός ενός «απλού» ολοκληρώματος στηρί- ζεται στις ιδιότητες που προαναφέρθηκαν, κυρίως όμως στις παραγώγους των βασικών συναρτήσεων και τους κανόνες παραγώγισης «από την ανάποδη». Επίσης, σε αρκετές περιπτώσεις απαιτείται η χρήση αλγεβρικών πράξεων και ιδιοτή- των της Άλγεβρας, ώστε η εντός του ολοκληρώματος συνάρτηση να λάβει πιο «βολική» μορφή (η οποία θα διευκολύνει στην εύρεση μιας αρχικής της ασφαλώς). Πώς θα καταλάβεις ότι το ολοκλήρωµα είναι “απλό” Όταν πρέπει να υπολογίσεις ένα ολοκλήρωμα, θα κάνεις μια συγκεκριμένη σειρά ερω- τήσεων. Η πρώτη ερώτηση που θα κάνεις είναι «Μήπως είναι “απλό”;». «Απλό» ίσως είναι ένα ολοκλήρωμα, όταν μέσα του εμφανίζονται: • αθροίσματα/διαφορές βασικών συναρτήσεων (οπότε μπορεί να βρεθεί μία αρχική συνάρτηση). • μία μόνο βασική συνάρτηση (βασική παράγωγος), χωρίς δηλαδή άθροισμα/διαφορά άλλων συναρτήσεων. • άθροισμα δύο γινομένων (μπορεί και διαφορά δύο γινομένων). Τότε ίσως η εντός του ολοκληρώματος συνάρτηση να είναι η παράγωγος ενός γινο- μένου. • πηλίκο (οπότε ίσως η εντός του ολοκληρώματος συνάρτηση να είναι η παράγωγος ενός πηλίκου). • κάποια σύνθετη συνάρτηση (οπότε ίσως η εντός του ολοκληρώματος συνάρτηση να είναι η παράγωγος μιας σύνθετης συνάρτησης). - 40 - Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηματικών • www.mathsteki.gr

Μαθηματικά Γ΄Λυκείου • ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 • Ολοκληρωτικός Λογισμός 2η ΕΝΟΤΗΤΑ. Πώς θα υπολογίσεις ένα ορισµένο ολοκλήρωµα Εντάξει, πολλά «ίσως» διάβασες και, όχι άδικα, να πεις «Μας φώτισες, δάσκαλε! Με “ίσως” και “μπορεί” θα κάνουμε δουλειά;» Έχεις δίκιο! Όμως, κάνε λίγη υπομονή. Θα δεις πώς αναγνωρίζεται το περιεχόμενο ενός ολοκληρώματος και το τι πρέπει να κάνεις και τότε τα «ίσως» δεν θα σου φαίνο- νται πλέον τόσο ασαφή. Δες τα επόμενα παραδείγματα και τα συνοδευτικά τους σχόλια και ίσως έτσι καταφέ- ρω να διώξω την «ομίχλη» που δημιουργούν τα «ίσως». Η ομάδα αυτή ολοκληρωμά- των δεν έχει συγκεκριμένη μεθοδολογία. Παράδειγµα 8 2 x2 +x −1 ∫Να υπολογιστεί το ολοκλήρωμα I = x dx . 1 ~ Λύση ~ Πώς κατάλαβα ότι το ολοκλήρωμα είναι «απλό»; Αναγνώρισα μια κίνηση που έκανα πάρα πολλές φορές στα όρια: το «σπάσιμο» του κλάσματος σε επιμέρους κλάσματα. Να τι εννοώ: 2 x2 +x − 1 2 ⎜⎜⎝⎛⎜⎜ x2 x 1 ⎟⎟⎟⎟⎟⎞⎠ 2 ⎜⎜⎜⎝⎛x + 1 − 1 ⎟⎞⎟⎟⎟⎠ ∫ ∫ ∫Ι = 1 x 1 x x x x dx = + − dx = dx . 1 Τώρα μέσα στο ολοκλήρωμα έχω τις παραγώγους βασικών συναρτήσεων, οπότε μπορώ εύκολα να βρω μία αρχική και τελείωσα. ∫Ι =2 ⎜⎝⎜⎛⎜x + 1 − 1 ⎟⎟⎞⎟⎟⎠ dx = ⎢⎢⎣⎢⎡ x2 + x − ℓnx⎥⎥⎥⎤⎦ 2 = 22 + 2 − ℓn2 − ⎛⎜⎜⎜⎝⎜ 12 + 1 − ℓn1⎟⎟⎠⎞⎟⎟ = 4 − ℓn2 − 3 ⇒ 1 x 2 1 2 2 2 ⇒ I = 5 − ℓn2 . 2 - 41 - Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηματικών • www.mathsteki.gr

Μαθηματικά Γ΄Λυκείου • ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 • Ολοκληρωτικός Λογισμός 2η ΕΝΟΤΗΤΑ. Πώς θα υπολογίσεις ένα ορισµένο ολοκλήρωµα Παράδειγµα 9 Να υπολογιστεί το ολοκλήρωμα I = 4 x + 1 dx . ∫x 1 ~ Λύση ~ Αυτή η ρίζα στον παρονομαστή φέρνει στον νου μου το κλάσμα 1 που, ως γνω- 2x στόν, είναι η παράγωγος της x . Πάλι βλέπω την δυνατότητα «σπασίματος» του κλάσματος σε δύο, στο ένα εκ των οποίων θα εμφανιστεί (σχεδόν) το παραπάνω κλάσμα 1 . Για δες: 2x 4 x + 1 dx = 4 ⎜⎛⎜⎜⎜⎝ x 1 ⎠⎟⎟⎟⎟⎞ dx 4 x dx + 4 1 dx = x x x x x ∫ ∫ ∫ ∫Ι = + = 11 11 2 4 4 x dx + x dx + 2 ⋅ 4 4 1 1 dx . = 2⋅ dx = ∫ ∫ ∫ ∫1 x 2x 1 1 2x 1 Το δεύτερο ολοκλήρωμα είναι «έτοιμο», αφού μέσα έχω έτοιμη παράγωγο. Το πρώτο έχει έναν κλασικό τρόπο αντιμετώπισης (γενικότερα, έτσι αντιμετωπίζω ολοκληρώματα με ρίζες μέσα, όχι μόνο τετραγωνικές): μετατροπή σε δύναμη και αυτό ήταν (το ίδιο έκανες και στην παραγώγιση ριζών σε κάποιες περιπτώσεις). Για δες την συνέχεια: 4 1 ⎣⎢⎡ (x ⎤⎥⎦14 = ⎢⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎢ x1 +1 ⎥⎥⎤⎦⎥⎥⎥⎥14 + 2 )1 = ⎢⎢⎣⎢⎡⎢⎢⎢ 3 ⎥⎤⎥⎥⎥⎥⎦⎥14 ⎢⎡⎣⎢⎢ 32 3 ⎤⎥⎦⎥⎥14 ∫Ι = 2 2 x dx + 2 ⋅ 4− x2 + 2 = ⋅ x2 + 2 = 1 1 2 +1 3 2 ( )=2 ⎢⎣⎡ x3 ⎦⎥⎤14 +2 2 ⋅ ⎡⎢⎣x x ⎤⎦⎥14 2 +2= 14 = 20 3 ⋅ = 3 +2= 3 ⋅ 4 4 −1 1 3 +2⇒ Ι 3 . Υπενθυμίζεται ότι ισχύει ⎣⎡⎢κ ⋅ f(x)⎦⎤⎥αβ = κ⋅ ⎣⎢⎡f(x)⎥⎦⎤ β . α Με αφορμή την εμφάνιση της τετραγωνικής ρίζας, γίνεται μια ωραία «πάσα» για το επόμενο παράδειγμα και την γενίκευση που ακολουθεί. - 42 - Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηματικών • www.mathsteki.gr

Μαθηματικά Γ΄Λυκείου • ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 • Ολοκληρωτικός Λογισμός 2η ΕΝΟΤΗΤΑ. Πώς θα υπολογίσεις ένα ορισµένο ολοκλήρωµα Παράδειγµα 10 2 ∫Να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα I = 3 x dx . 1 ~ Λύση ~ Είναι ∫ ∫Ι =2 2 1 ⎢⎢⎣⎢⎢⎢⎡⎢ x1 +1 ⎥⎦⎥⎤⎥⎥⎥⎥ 2 ⎢⎣⎢⎢⎡⎢⎢⎢ 4 ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎥⎥12 ⎡⎢⎢⎢⎣ 3 4 ⎥⎥⎥⎦⎤14 3 ⋅ ⎣⎢⎡ 3 x4 ⎦⎥⎤12 3 ⋅ ⎡⎢⎣ 3 ⋅ x ⎤⎥⎦12 1 1 3 1 4 3 4 4 3 x dx = x3 dx = = x3 = ⋅ x = = x3 = 1 3 +1 4 3 ( ) ( )=3⎣⎡⎢ ⎥⎤⎦ 2 3 2⋅ 3 3 4 ⋅ x ⋅ 3 x 1 = 4 ⋅ 2 −1⋅ 3 1 ⇒ Ι = 4 ⋅ 2⋅ 3 2 −1 . Πώς θα υπολογίσεις ολοκλήρωµα µόνο µε ρίζα Για το ολοκλήρωμα β ∫Ι = ν xµ dx , όπου µ ∈ ! , ν ∈ \" , ν ≥ 2 , α έχουμε: ∫Ι = β µ ⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎡ xµ +1 ⎥⎥⎥⎥⎤⎦⎥⎥ β ⎣⎢⎢⎡⎢ xκ ⎥⎤⎦⎥⎥ β 1 ⎢⎣⎡ ⎥⎤⎦ β µ α ν α κ α κ α ν xν dx = = = ⋅ x κ = ... , όπου κ = +1. µ +1 ν Δηλαδή μετάτρεψε την ρίζα σε δύναμη και το ολοκλήρωμα γίνεται «απλό», αφού μέσα του θα έχει μία δύναμη: ∫β xν dx = ⎢⎢⎢⎡⎣ x ν+1 ⎥⎥⎦⎥⎤ β = ... α ν+1 α - 43 - Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηματικών • www.mathsteki.gr

Μαθηματικά Γ΄Λυκείου • ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 • Ολοκληρωτικός Λογισμός 2η ΕΝΟΤΗΤΑ. Πώς θα υπολογίσεις ένα ορισµένο ολοκλήρωµα Παράδειγµα 11 ∫Να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα I = 2 ⎛⎝⎜⎜⎜x + 1 ⎟⎞⎟⎠⎟⎟2 dx . x 1 ~ Λύση ~ «Σκαλίζω» λίγο το ολοκλήρωμα αναπτύσσοντας την ταυτότητα και έχω 2 ⎛⎝⎜⎜⎜x + 1 ⎟⎟⎟⎠⎞⎟2 2 ⎛⎜⎝⎜⎜x2 + 1 + 2⎟⎟⎞⎟⎠⎟dx . ∫ ∫Ι = x x2 dx = 11 Παρατηρώ ότι όλοι οι όροι του αθροίσματος είναι παράγωγοι βασικών συναρτήσεων, οπότε το νέο ολοκλήρωμα είναι «έτοιμο». ∫Ι = 2 ⎜⎛⎝⎜⎜x2 + 1 + 2⎞⎟⎠⎟⎟⎟dx = ⎢⎢⎡⎣⎢ x3 − 1 + 2x ⎦⎤⎥⎥⎥12 = 23 − 1 + 2 ⋅ 2 − ⎜⎜⎝⎜⎜⎛ 13 − 1 + 2 ⋅1⎟⎟⎟⎠⎟⎞ = 1 x2 3 x 3 2 3 1 = 8 − 1 +4− 1 −1 = 16 − 3 − 2 + 18 ⇒ Ι = 29 . 3 2 3 6 6 Ακολουθώντας την συμβουλή του παραδείγματος 6 (σελίδα 35), ο υπολογισμός της τιμής του Ι θα γινόταν ασφαλέστερα έτσι: ∫Ι = 2 ⎜⎜⎜⎝⎛x2 + 1 + 2⎟⎟⎞⎟⎟⎠ dx = ⎡⎣⎢⎢⎢ x3 − 1 + 2x ⎦⎥⎤⎥⎥ 2 = ⎣⎢⎡f(x)⎦⎥⎤12 = f(2) − f(1) , 1 x2 3 x 1 όπου f(x) = x3 − 1 + 2x . 3 x • f(2) = 23 − 1 +2⋅2 = 8 − 1 +4 = 16 − 3 + 24 = 37 . 3 2 3 2 6 6 • f(1) = 13 − 1 +2⋅1 = 1 +1= 4 . 3 1 3 3 Επομένως, Ι= 37 − 4 = 37 − 8 = 29 . 6 3 6 6 - 44 - Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηματικών • www.mathsteki.gr

Μαθηματικά Γ΄Λυκείου • ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 • Ολοκληρωτικός Λογισμός 2η ΕΝΟΤΗΤΑ. Πώς θα υπολογίσεις ένα ορισµένο ολοκλήρωµα Παράδειγµα 12 π ∫Να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα I = ηµ3x dx . 0 ~ Λύση ~ Το ημίτονο είναι σύνθετο, οπότε υποπτεύομαι ότι η συνάρτηση που είναι μέσα στο ολοκλήρωμα είναι η παράγωγος σύνθετης συνάρτησης. Η μόνη υποψήφια συνάρτηση είναι η συν3x, που όμως δεν δίνει ακριβώς ημ3x, αφού (συν3x)′ = −ηµ3x ⋅ (3x)′ = −3ηµ3x . Έτσι η συνάρτηση εντός του ολοκληρώματος θέλει λίγη βοήθεια και θα έχω μετά έτοι- μη παράγωγο. Να πώς: π π −1 1 π 1 π 3 3 3 ∫ ∫ ∫ ∫Ι = (συν3x)′ dx = ηµ3x dx = ⋅ (−3ηµ3x) dx = − ⋅ (−ηµ3x) ⋅ (3x)′ dx = − ⋅ 00 0 0 = − 1 ⋅ ⎣⎡⎢συν3x ⎤⎦⎥ π = − 1 ⋅ (συν3π − συν0) = − 1 ⋅ ⎣⎡⎢συν(2π + π) − 1⎤⎥⎦ = − 1 ⋅ (συνπ − 1) = 3 0 3 3 3 = − 1 ⋅ (−1 − 1) ⇒ Ι = 2 . 3 3 Σημειώνεται ότι στο σημείο − 1 ⋅ ⎢⎡⎣συν3x ⎥⎦⎤ π θα μπορούσα να είχα αλλάξει την σειρά 3 0 στα όρια ολοκλήρωσης (τους αριθμούς στα δεξιά άκρα της αγκύλης) και να διώξω το “­”, δηλαδή θα μπορούσα να είχα γράψει στο επόμενο βήμα 1 ⋅ ⎣⎡⎢συν3x ⎥⎤⎦ 0 . 3 π Παράδειγµα 13 π/2 ∫Να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα I = (ηµx + x ⋅ συνx) dx . 0 ~ Λύση ~ Το γινόμενο x ⋅ συνx , που είναι όρος του αθροίσματος μέσα στο ολοκλήρωμα, με βάζει σε υποψίες: «Λες όλο το άθροισμα να είναι η παράγωγος γινομένου;». Δηλαδή σκέφτηκα όπως και στα θέματα του θεωρήματος Rolle και στις ασκήσεις με ζητούμενο «Να βρείτε τον τύπο της συνάρτησης». - 45 - Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηματικών • www.mathsteki.gr

Μαθηματικά Γ΄Λυκείου • ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 • Ολοκληρωτικός Λογισμός 2η ΕΝΟΤΗΤΑ. Πώς θα υπολογίσεις ένα ορισµένο ολοκλήρωµα Πράγματι, είναι η παράγωγος γινομένου, αφού π/2 π/2 π/2 ∫ ∫ ∫Ι = (ηµx + xσυνx) dx = ⎢⎣⎡(x)′ ⋅ ηµx + x ⋅ (ηµx)′⎦⎤⎥ dx = (x ⋅ ηµx)′ dx . 00 0 Αυτό ήταν! Τώρα η συνέχεια είναι εύκολη. Να πώς: ∫Ι = π/2 = ⎡⎣⎢ x ηµx⎦⎥⎤ π/2 = π ⋅ ηµ π − 0 ⋅ ηµ0 ⇒ Ι = π . 0 2 2 2 (x ⋅ ηµx)′ dx 0 Παράδειγµα 14 2 xex − ex ∫Να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα I = x2 dx . 1 ~ Λύση ~ Ας δούμε και ένα παράδειγμα με κλάσμα. Βλέποντας κλάσμα αναρωτιέμαι μήπως όλο είναι η παράγωγος κάποιου κλάσματος. Από την μορφή που αυτό έχει σκέφτομαι μήπως είναι η παράγωγος του ex . x Πράγματι, είναι 2 (ex )′ ⋅ x − ex ⋅ (x)′ 2 ⎜⎜⎜⎜⎝⎛ ex ⎠⎟⎟⎟⎞⎟′ ⎡⎢⎢⎢⎣ ex ⎥⎥⎤⎥⎦12 e2 e1 e2 − 2e ∫ ∫Ι =1 x2 dx = 1 x dx = x = 2 − 1 ⇒ Ι = 2 . Από τα παραδείγματα που παρατέθηκαν προκύπτει το συμπέρασμα ότι τα «απλά» ολοκληρώματα στηρίζονται (το λέω γι’ άλλη μία φορά) στις βασικές παραγώγους και τους κανόνες παραγώγισης «από την ανάποδη», καθώς και σε αλγεβρικές πράξεις. Δεν έχουν κάτι ιδιαίτερο από την θεωρία των ολοκληρωμάτων και δεν απαιτούν ιδιαί- τερη μεθοδολογία. - 46 - Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηματικών • www.mathsteki.gr

Λ Υ Μ Ε Ν Ε Σ Α Σ Κ Η Σ Ε Ι ΣΜαθηματικά Γ΄Λυκείου • 2 η κ α τ η γ ο ρ ί αΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 • Ολοκληρωτικός Λογισμός α σ κ ή σ ε ω ν 2η ΕΝΟΤΗΤΑ. Πώς θα υπολογίσεις ένα ορισµένο ολοκλήρωµα “Απλά” ολοκληρώµατα Εισαγωγικό σχόλιο Οι ασκήσεις αυτής της κατηγορίας είναι η πρώτη ουσιαστική επαφή με τους υπολογι- σμούς ολοκληρωμάτων. Όπως αναφέρθηκε στις προηγούμενες σελίδες όμως, δεν απαι- τείται κάποια εξειδικευμένη (άρα νέα, άγνωστη) τεχνική από την θεωρία των ολοκλη- ρωμάτων, αφού οι παράγωγοι των βασικών συναρτήσεων και οι κανόνες παραγώγισης «από την ανάποδη» είναι τα εργαλεία που χρησιμοποιούμε για τον υπολογισμό τέ- τοιων ολοκληρωμάτων. Σε όλες τις ασκήσεις που ακολουθούν το ζητούμενο είναι «Να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα» - 47 - Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηματικών • www.mathsteki.gr

Μαθηματικά Γ΄Λυκείου • ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 • Ολοκληρωτικός Λογισμός 2η ΕΝΟΤΗΤΑ. Πώς θα υπολογίσεις ένα ορισµένο ολοκλήρωµα Ασκήσεις 14 - 44 2 ⎛⎜⎜⎜⎝ 1 + ℓnx⎟⎠⎟⎟⎞⎟dx . ∫14. x Ι= e x 1 2 ⎜⎜⎝⎛⎜ 1 + ℓnx⎟⎠⎟⎞⎟⎟dx 2 ⎜⎛⎝⎜⎜ex 1 ⎟⎠⎟⎞⎟⎟ dx 2 ∫ ∫ ∫Ι = x x ex = ⋅ ℓnx + ex ⋅ = ⎡⎣⎢(ex )′ ⋅ ℓnx + ex ⋅ (ℓnx)′⎥⎤⎦ dx = 11 1 2 ∫= (exℓnx)′ dx = ⎡⎢⎣exℓnx⎤⎥⎦12 = e2ℓn2 − e1ℓn1 ⇒ Ι = e2ℓn2 . 1 Όπως είδες, έκανα μια απλή πράξη στην αρχική μορφή του ολοκληρώματος και παρα- τήρησα ότι εμφανίζεται ένα άθροισμα δύο γινομένων. Υποψιάζομαι ότι έχω παράγωγο γινομένου, το οποίο πράγματι συμβαίνει. Δεν έκανα τίποτε διαφορετικό από όσα έκανα στις σχετικές ασκήσεις του θεωρήματος Rolle και στις ασκήσεις στις οποίες έβρισκα τον τύπο της f από τον τύπο της f′ . Η μό- νη διαφορά είναι ότι τα έκανα μέσα στον συμβολισμό του ολοκληρώματος. Υπενθυμίζεται ότι ισχύει β ∫ f′(x) dx = ⎣⎢⎡f(x)⎦⎤⎥αβ = f(β) − f(α) . α 1 ∫15. Ι = (x4 − 2x3 + x + 1) dx . −1 ∫Ι = 1 (x4 − 2x3 + x + 1) dx = ⎢⎢⎡⎢⎣ x5 − 2x4 + x2 + x⎦⎥⎥⎤⎥−1 1 = ⎣⎢⎢⎡⎢ x5 − x4 + x2 + x⎦⎥⎤⎥⎥ 1 = ⎢⎡⎣f(x)⎥⎦⎤−1 1 ⇒ −1 5 4 2 5 2 2 −1 ⇒ Ι = f(1) − f(−1) , όπου f(x) = x5 − x4 + x2 +x. 5 2 2 Γενικώς τα ολοκληρώματα πολυωνύμων είναι εύκολα στην εύρεση μιας αρχικής, αλλά μπελαλίδικα στους τελικούς αριθμητικούς υπολογισμούς. Όπως είχε αναφερθεί και στην σελίδα 35 (παράδειγμα 6), «βαφτίζοντας» την συνάρτηση που προκύπτει από την ολοκλήρωση μπορώ να έχω καλύτερο έλεγχο των τελικών αριθμητικών πράξεων, μικραίνοντας σημαντικά το ποσοστό λάθους. Να την θυμάσαι αυτήν την κίνηση, θα σε - 48 - Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηματικών • www.mathsteki.gr

Μαθηματικά Γ΄Λυκείου • ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 • Ολοκληρωτικός Λογισμός 2η ΕΝΟΤΗΤΑ. Πώς θα υπολογίσεις ένα ορισµένο ολοκλήρωµα σώσει πολλές φορές. • f(1) = 15 − 14 + 12 +1= 1 − 1 + 1 +1= 1 +1 = 6 . 5 2 2 5 2 2 5 5 • f(−1) = (−1)5 − (−1)4 + (−1)2 −1 = − 1 − 1 + 1 −1 = − 6 . 5 2 2 5 2 2 5 Τελικά είναι Ι2 = 6 − −6 ⇔ Ι2 = 12 . 5 5 5 2 x2 ⎜⎛⎜⎝⎜x − 1 ⎟⎟⎟⎠⎞⎟2 ∫16. x Ι= dx . 1 2 x2 ⎜⎜⎝⎛⎜x − 1 ⎠⎟⎟⎟⎟⎞2 2 x2 ⎛⎝⎜⎜⎜x2 1 − 2⎟⎟⎟⎠⎞⎟dx 2 ⎣⎡⎢⎢⎢ x5 2x3 + x⎥⎥⎥⎤⎦12 ∫ ∫ ∫Ι =1 x dx = 1 + x2 = 1 (x4 + 1 − 2x2) dx = 5 − 3 = ⇒ Ι = f(2) − f(1) , όπου f(x) = x5 − 2x3 +x. 5 3 • f(2) = 25 − 2 ⋅ 23 +2= 32 − 16 +2= 96 − 80 + 30 = 46 . 5 3 5 3 15 15 • f(1) = 15 − 2 ⋅ 13 +1= 1 − 2 +1= 3 − 10 + 15 = 8 . 5 3 5 3 15 15 Τελικά είναι I= 46 − 8 ⇔ I= 38 . 15 15 15 Και εδώ έκανα τα ίδια με την άσκηση 15. «Σκάλιξα» λίγο το αρχικό ολοκλήρωμα (έκανα κάποιες πράξεις που είδα ότι μπορώ να κάνω δηλαδή) και στην πορεία εμφα- νίστηκε πολυώνυμο, οπότε η εύρεση μιας αρχικής είναι πλέον πολύ εύκολη υπόθεση. Στην συνέχεια εφάρμοσα την συμβουλή με την f(x) και είχα καλύτερο έλεγχο των αριθ- μητικών πράξεων. Το «σκάλισμα» του ολοκληρώματος είναι μια καλή σκέψη πάντα, αν και δεν είναι βέ- βαιο ότι θα φέρει καλό αποτέλεσμα. Αξίζει να δοκιμαστεί όμως. - 49 - Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηματικών • www.mathsteki.gr

Μαθηματικά Γ΄Λυκείου • ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 • Ολοκληρωτικός Λογισμός 2η ΕΝΟΤΗΤΑ. Πώς θα υπολογίσεις ένα ορισµένο ολοκλήρωµα 2 ⎛⎝⎜⎜⎜x2 + ex 1 ⎟⎞⎠⎟⎟⎟ dx ∫17. x Ι= + . 1 ∫Ι = 2 ⎜⎛⎜⎝⎜x2 + ex + 1 ⎟⎟⎟⎠⎞⎟ dx = ⎣⎢⎡⎢⎢ x3 + ex + ℓnx⎥⎤⎥⎥⎦12 = ⎢⎣⎡ f(x)⎦⎥⎤ 2 ⇒ Ι = f(2) − f(1) , 1 x 3 1 όπου f(x) = x3 + ex + ℓnx . 3 • f(2) = 23 + e2 + ℓn2 = 8 + e2 + ℓn2 . 3 3 • f(1) = 13 + e1 + ℓn1 = 1 +e. 3 3 Τελικά είναι Ι = 8 + e2 + ℓn2 − 1 −e ⇔ Ι = 7 + e2 − e + ℓn2 . 3 3 3 Η εντός του ολοκληρώματος συνάρτηση αποτελούνταν από παραγώγους βασικών συ- ναρτήσεων, οπότε η εύρεση μιας αρχικής είναι πανεύκολη. 1 ∫18. Ι = x(x − 1)2 dx . 0 ∫ ∫ ∫Ι =1 1 1 ⎢⎢⎣⎢⎡ x4 2x3 x2 ⎥⎤⎦⎥⎥ 1 0 x(x − 1)2 dx = 0 x(x2 − 2x + 1) dx = 0 (x3 − 2x2 + x) dx = 4 − 3 + 2 0 = = ⎣⎡⎢ f(x)⎥⎦⎤ 1 ⇒ Ι = f(1) − f(0) , όπου f(x) = x4 − 2x3 + x2 . 0 4 3 2 • f(1) = 14 − 2 ⋅ 13 + 12 = 1 − 2 + 1 = 3−8+6 = 1 . 4 3 2 4 3 2 12 12 • f(0) = 04 − 2 ⋅ 03 + 02 =0. 4 3 2 Τελικά είναι Ι= 1 −0 ⇔ Ι= 1 . 12 12 - 50 - Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηματικών • www.mathsteki.gr

Μαθηματικά Γ΄Λυκείου • ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 • Ολοκληρωτικός Λογισμός 2η ΕΝΟΤΗΤΑ. Πώς θα υπολογίσεις ένα ορισµένο ολοκλήρωµα 3 (x + 2)3 ∫19. x4 Ι= dx . 1 3 (x + 2)3 3 x3 + 6x2 + 12x + 8 3 ⎛⎜⎝⎜⎜ 1 6 12 8 ⎟⎟⎟⎟⎞⎠ dx x4 x4 x x2 x3 x4 ∫ ∫ ∫Ι = dx = dx = + + + = 11 1 ∫= 3 ⎛⎝⎜⎜⎜ 1 + 6 + 12x−3 + 8x−4⎟⎞⎟⎟⎠⎟dx = ⎡⎢⎢⎣⎢ℓnx − 6 + 12 ⋅ x−2 + 8 ⋅ x−3 ⎥⎥⎥⎤⎦13 = 1 x x2 x −2 −3 Μετέτρεψα τα δύο τελευταία κλάσματα σε δυνάμεις, διότι έτσι είναι εύκολο να βρω μία αρχική τους. Αυτή είναι κλασική κίνηση. = ⎣⎢⎡⎢ℓnx − 6 − 6 − 8 ⎦⎥⎤⎥13 = ⎡⎢⎣ f(x)⎥⎦⎤ 3 ⇒ Ι = f(3) − f(1) , x x2 3x3 1 όπου f(x) = ℓnx − 6 − 6 − 8 . x x2 3x3 • f(3) = ℓn3 − 6 − 6 − 8 = ℓn3 − 2 − 2 − 8 = ℓn3 − 162 + 54 + 8 = 3 32 3 ⋅ 33 3 81 81 = ℓn3 − 224 . 81 • f(1) = ℓn1 − 6 − 6 − 8 = −12 − 8 =− 44 . 1 12 3 ⋅ 13 3 3 Τελικά είναι Ι = ℓn3 − 224 + 44 = ℓn3 + 1188 − 224 ⇔ Ι = ℓn3 + 964 . 81 3 81 81 1 ∫20. Ι = (x2 + 1) dx . 0 ∫Ι = 1 (x2 + 1) dx = ⎢⎣⎢⎢⎡ x3 + x⎦⎤⎥⎥⎥10 = 13 + 1 − ⎜⎝⎜⎜⎜⎛ 03 + 0⎟⎞⎟⎟⎠⎟ ⇒ Ι = 4 . 0 3 3 3 3 Εδώ η συνάρτηση εντός της αγκύλης είναι απλή, το ίδιο και οι αριθμητικές πράξεις που ακολουθούν (ειδικά επειδή ο ένας αριθμός είναι το 0). Δεν χρειάζεται, επομένως, να την θέσω f(x). - 51 - Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηματικών • www.mathsteki.gr

Μαθηματικά Γ΄Λυκείου • ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 • Ολοκληρωτικός Λογισμός 2η ΕΝΟΤΗΤΑ. Πώς θα υπολογίσεις ένα ορισµένο ολοκλήρωµα 2 x2 + 1 ∫21. x Ι= dx . 1 ∫ ∫Ι = 2 x2 + 1 dx = 2 ⎜⎛⎝⎜⎜x + 1 ⎟⎟⎠⎞⎟⎟ dx = ⎢⎢⎣⎡⎢ x2 + ℓnx ⎦⎥⎥⎥⎤ 2 = 22 + ℓn2 − ⎜⎛⎜⎝⎜⎜122 + ℓn1⎟⎞⎟⎟⎟⎠ = 2 + ℓn2 − 1 ⇒ 1 x 1 x 2 1 2 2 ⇒ Ι = 3 + 2ℓn2 . 2 «Σπάσιμο» του αρχικού κλάσματος και εδώ, κίνηση κλασική. 1 ∫22. Ι = x2(x − 1)3 dx . 0 11 1 ∫ ∫ ∫Ι = x2(x − 1)3 dx = x2(x3 − 3x2 + 3x − 1) dx = (x5 − 3x4 + 3x3 − x2) dx = 00 0 = ⎣⎢⎢⎡⎢ x6 − 3x5 + 3x4 − x3 ⎥⎥⎥⎦⎤ 1 = ⎣⎢⎡f(x)⎥⎦⎤10 ⇒ Ι = f(1) − f(0) , 6 5 4 3 0 όπου f(x) = x6 − 3x5 + 3x4 − x3 . 6 5 4 3 • f(1) = 16 − 3 ⋅ 15 + 3 ⋅ 14 − 13 = 1 − 3 + 3 − 1 = 10 − 36 + 45 − 20 =− 1 . 6 5 4 3 6 5 4 3 60 60 • f(0) = 0 (προκύπτει εύκολα). Τελικά είναι Ι=− 1 −0 ⇔ Ι=− 1 . 60 60 - 52 - Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηματικών • www.mathsteki.gr

Μαθηματικά Γ΄Λυκείου • ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 • Ολοκληρωτικός Λογισμός 2η ΕΝΟΤΗΤΑ. Πώς θα υπολογίσεις ένα ορισµένο ολοκλήρωµα ∫23.Ι= 2 ⎝⎜⎜⎜⎛⎜3 x+ 1 ⎟⎞⎟⎠⎟⎟ dx . x 1 ∫ ∫Ι =2 ⎜⎜⎜⎛⎜⎝3 1 ⎟⎟⎠⎞⎟⎟ dx 2 ⎛⎜⎜⎝⎜⎜3x 1 1 ⎟⎟⎠⎟⎟⎟⎞ dx ⎢⎣⎢⎢⎢⎡⎢⎢3 x1 +1 ⎥⎥⎤⎥⎦⎥⎥⎥ 2 ⎣⎢⎢⎡⎢⎢⎢⎢ 3 ⎥⎥⎥⎥⎤⎥⎥⎦ 2 x 1 2 x 2 1 1 1 x+ = + 2 ⋅ = ⋅ +2 x = 3 ⋅ x2 +2 x = 2 1 2 +1 3 2 ( )= ⎣⎡⎢2 x3 + 2 x ⎦⎤⎥12 = ⎢⎡⎣2x x +2 x ⎤⎥⎦ 2 = 2⋅2⋅ 2+2 2 − 2⋅1⋅ 1+2 1 ⇒ 1 ⇒ I = 6 2−4 . Στο παράδειγμα 9 (σελίδα 42) και στην γενική μεθοδολογία της σελίδας 43 αναφέθηκε πώς υπολογίζεται ολοκλήρωμα το οποίο μέσα του έχει ρίζα. Η μετατροπή της ρίζας σε δύναμη (πιο συνηθισμένη περίπτωση είναι η τετραγωνική ρίζα) απλοποιεί πολύ την διαδικασία, διότι άμεσα βρίσκεται μία αρχική της (έστω και με «περίεργους» αριθ- μούς ως συντελεστή και εκθέτη). 0 ∫24. Ι = (συνx − 2ηµx) dx . −π 0 ∫Ι = (συνx − 2ηµx) dx = ⎡⎢⎣ηµx + 2συνx⎥⎦⎤−0π = ηµ0 + 2συν0 − ⎡⎢⎣ηµ(−π) + 2συν(−π)⎤⎦⎥ = −π = 2 − (−ηµπ + 2συνπ) = 2 − 2 ⋅ (−1) ⇒ Ι = 4 . Περιττό να σημειώσω ότι και πάλι η Τριγωνομετρία κρούει τον κώδωνα και στέλνει σήμα να κάνεις επανάληψη, αν δεν θυμάσαι τιμές τριγωνομετρικών αριθμών βασικών γωνιών! Υπενθυμίζεται ότι ισχύουν ηµ(−x) = −ηµx , συν(−x) = συνx . - 53 - Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηματικών • www.mathsteki.gr

Μαθηματικά Γ΄Λυκείου • ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 • Ολοκληρωτικός Λογισμός 2η ΕΝΟΤΗΤΑ. Πώς θα υπολογίσεις ένα ορισµένο ολοκλήρωµα 2 x + 1 ∫25. x4 Ι= dx . 1 2 x+ 1 2 ⎝⎜⎜⎜⎛ 1 1 ⎟⎠⎞⎟⎟⎟ dx 2 ⎡⎢⎢⎢⎣ x−2 x−3 ⎥⎦⎤⎥⎥ 2 ⎣⎢⎢⎡− 1 1 ⎥⎦⎤⎥ 2 ∫ ∫ ∫Ι = 1 x4 x3 x4 1 −2 −3 1 2x2 3x 1 dx = + = (x−3 + x−4 ) dx = + = − 3 = 1 = − ⎣⎡⎢⎢ 1 2 + 1 3 ⎥⎥⎦⎤ 2 = ⎢⎡⎢⎣ 1 + 1 ⎥⎤⎥⎦12 = ⎡⎣⎢f(x)⎥⎦⎤12 ⇒ Ι = f(1) − f(2) , 2x 3x 1 2x2 3x3 όπου f(x) = 1 + 1 . 2x2 3x3 Υπενθυμίζεται ότι ισχύει ⎢⎡⎣ f(x)⎦⎥⎤ β = − ⎢⎡⎣f(x)⎥⎤⎦ α . α β Με αυτήν την κίνηση έδιωξα το “­” που είχε βγει έξω από την δεύτερη αγκύλη της δεύτερης γραμμής της λύσης και κινδύνευα λιγότερο στις αριθμητικές πράξεις στην συνέχεια (ξέρεις καλά τι ζημιά μπορεί να κάνει ένα “­”). • f(1) = 1 + 1 = 1 + 1 = 5 . 2 ⋅ 12 3 ⋅ 13 2 3 6 • f(2) = 1 + 1 = 1 + 1 = 4 = 1 . 2 ⋅ 22 3 ⋅ 23 8 24 24 6 Τελικά είναι Ι = 5 − 1 = 4 ⇔ Ι = 2 . 6 6 6 3 - 54 - Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηματικών • www.mathsteki.gr

Μαθηματικά Γ΄Λυκείου • ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 • Ολοκληρωτικός Λογισμός 2η ΕΝΟΤΗΤΑ. Πώς θα υπολογίσεις ένα ορισµένο ολοκλήρωµα 2 x3 − 2x + 5 ∫26. x Ι= dx . 1 ∫ ∫Ι =2 x3 − 2x + 5 dx = 2 ⎛⎜⎜⎝⎜x2 − 2 + 5 ⎟⎠⎟⎞⎟⎟ dx = ⎡⎢⎣⎢⎢ x3 − 2x + 5ℓnx ⎥⎥⎤⎦⎥ 2 = ⎡⎣⎢f(x)⎥⎤⎦12 ⇒ 1 x 1 x 3 1 ⇒ Ι = f(2) − f(1) , όπου f(x) = x3 − 2x + 5ℓnx . 3 • f(2) = 23 − 2 ⋅ 2 + 5ℓn2 = 8 − 4 + 5ℓn2 = − 4 + 5ℓn2 . 3 3 3 • f(1) = 13 − 2 ⋅1 + 5ℓn1 = 1 −2 = − 5 . 3 3 3 Τελικά είναι Ι = − 4 + 5ℓn2 − −5 ⇔ Ι = 1 + 5ℓn2 . 3 3 3 2 x2 + 1 ∫27. x2 Ι= dx . 1 ∫ ∫Ι =2 x2 + 1 dx = 2 ⎝⎜⎜⎜⎛1 + 1 ⎟⎟⎟⎠⎟⎞ dx = ⎢⎢⎣⎡x − 1 ⎤⎦⎥⎥12 = 2− 1 −⎜⎛⎜⎝⎜1 − 1 ⎟⎟⎟⎠⎟⎞ ⇒ Ι = 3 . 1 x2 1 x2 x 2 1 2 2 ∫28. Ι = x x dx . 0 2 2 1 2 3 ⎢⎣⎡⎢⎢⎢⎢⎢ x3 +1 ⎥⎦⎥⎥⎥⎤⎥⎥ 2 ⎢⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎣ 5 ⎥⎤⎥⎥⎥⎥⎦⎥ 2 ⎢⎣⎡⎢⎢ 2 5 ⎥⎥⎥⎤⎦ 2 2 ⋅ ⎢⎡⎣ ⎥⎦⎤ 2 0 0 0 2 0 0 5 2 0 5 0 x ⋅ x2 dx = x2 x2 ∫ ∫ ∫Ι = x5 = x x dx = dx = 3 = 5 = ⋅ x = 2 +1 2 ( )=2 ⎡⎢⎣ 2 ⎥⎤⎦ 2 2 22 2 82 5 ⋅ x x 0 = 5 ⋅ 2 − 02 0 = 5 ⋅4 2⇒ Ι = 5 . - 55 - Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηματικών • www.mathsteki.gr

Μαθηματικά Γ΄Λυκείου • ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 • Ολοκληρωτικός Λογισμός 2η ΕΝΟΤΗΤΑ. Πώς θα υπολογίσεις ένα ορισµένο ολοκλήρωµα Από τις ιδιότητες των ριζών υπενθυμίζεται ότι, για α , β ≥ 0 και ν ∈ ! , ν ≥ 2 , ισχύει ν αν ⋅β = α ⋅ ν β . ∫ ( )1 2 29. Ι = 1 − x dx . 0 11 11 ∫ ( ) ∫ ( ) ∫ ∫Ι = 1− x dx = 1 + x − 2 x dx = (1 + x)dx − 22 x dx ⇒ I = I1 − 2 ⋅ I2 (1) 00 00 ∫•Ι1 = 1 (1 + x) dx = ⎣⎢⎡⎢⎢x + x2 ⎥⎥⎦⎥⎤ 1 = 1+ 12 −⎝⎜⎜⎛⎜⎜0 + 02 ⎠⎞⎟⎟⎟⎟ ⇒ Ι1 = 3 . 0 2 0 2 2 2 1 ∫x dx = 1 1 ⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎢⎡ x1 +1 ⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎥⎤ 1 ⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎡ 3 ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎥⎥10 ⎢⎡⎢⎣⎢ 2 3 ⎥⎦⎥⎤⎥ 1 2 ⋅ ⎢⎣⎡ ⎥⎦⎤ 1 2 ⎣⎢⎡x x ⎦⎤⎥10 = 0 2 0 3 2 0 3 0 3 ∫• Ι2 = x2 dx = = x2 = ⋅ x = x3 = ⋅ 0 1 2 +1 3 2 ( )=2 ⋅ ⇒ = 2 3 1⋅ 1−0⋅ 0 Ι2 3 . Τελικά από την (1) έχω ότι Ι = 3 − 2 ⋅ 2 = 3 − 4 ⇔ Ι = 1 . 2 3 2 3 6 1 ∫30. Ι = x2 3 x dx . 0 1 1 1 1 7 ⎣⎢⎢⎢⎡⎢⎢⎢ x7 +1 ⎥⎥⎥⎤⎦⎥⎥⎥10 = ⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣ 10 ⎥⎤⎦⎥⎥⎥⎥⎥ 1 ⎡⎣⎢⎢⎢ 3 10 ⎥⎤⎥⎦⎥ 1 0 0 0 3 0 10 3 0 x2 ⋅ x3 dx = x3 x3 ∫ ∫ ∫Ι = x2 3 x dx = dx = 7 10 = ⋅ x = 3 +1 3 3( )=⋅ ⎡⎣⎢ 3 x10 ⎥⎦⎤10 3 ⋅ ⎡⎣⎢ 3 ⋅ x ⎤⎥⎦10 3 ⋅ ⎢⎡⎣x3 3 ⎤⎦⎥ 1 3 13 3 ⋅3 3 10 = 10 (x3 )3 = 10 x 0 = 10 ⋅ ⋅ 1 − 03 0 ⇒ Ι = 10 . - 56 - Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηματικών • www.mathsteki.gr

Μαθηματικά Γ΄Λυκείου • ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 • Ολοκληρωτικός Λογισμός 2η ΕΝΟΤΗΤΑ. Πώς θα υπολογίσεις ένα ορισµένο ολοκλήρωµα 2 x2 x − x + 1 ∫31. x2 Ι= dx . 1 2 x2 x − x + 1 2 ⎜⎜⎜⎛⎝ 1 1 ⎟⎟⎟⎟⎠⎞ 2 2 ⎛⎜⎝⎜⎜ 1 1 ⎞⎠⎟⎟⎟⎟ ∫ ∫ ∫Ι = x2 x x2 ∫x dx + x2 x dx = x − + dx = − dx ⇒ 11 1 1 ⇒ Ι = Ι1 + Ι2 (1) 2 ∫x dx = 2 1 ⎢⎢⎣⎡⎢⎢⎢⎢ x1 +1 ⎥⎥⎥⎥⎦⎥⎤⎥12 = ⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡ 3 ⎥⎥⎥⎦⎥⎤⎥⎥ 2 ⎡⎢⎢⎣⎢ 32 3 ⎥⎦⎤⎥⎥ 2 2 ⋅ ⎢⎣⎡ ⎦⎥⎤12 2 ⋅ ⎢⎡⎣x x ⎥⎦⎤12 = 1 2 1 2 1 3 3 ∫• Ι1 = x2 dx = x2 = ⋅ x = x3 = 1 1 2 +1 3 2 ( ) ( )=2 ⇒ 2 3 ⋅ 2 2 −1 1 Ι1 = 3 ⋅ 2 2 −1 . ∫• Ι2 = 2 ⎜⎜⎝⎛⎜ 1 − 1 ⎟⎠⎞⎟⎟⎟ dx = ⎣⎢⎡⎢− 1 − ℓnx⎤⎦⎥⎥ 2 = − ⎢⎡⎣⎢ 1 + ℓnx⎦⎥⎥⎤12 = ⎡⎢⎢⎣ 1 + ℓnx⎥⎥⎤⎦12 = 1 x2 x x 1 x x = 1 + ℓn1 −⎛⎜⎝⎜⎜21 + ℓn2⎟⎟⎞⎟⎟⎠ = 1 − 1 − ℓn2 ⇒ Ι2 = 1 − ℓn2 . 1 2 2 Τελικά από την (1) έχω ότι ( )Ι =2 1 4 2 −2 1 8 2 −4 +3 3 ⋅ 2 2 −1 + 2 − ℓn2 = 3 + 2 − ℓn2 = 6 − ℓn2 ⇔ ⇔ Ι= 8 2 −1 − ℓn2 . 6 - 57 - Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηματικών • www.mathsteki.gr

Μαθηματικά Γ΄Λυκείου • ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 • Ολοκληρωτικός Λογισμός 2η ΕΝΟΤΗΤΑ. Πώς θα υπολογίσεις ένα ορισµένο ολοκλήρωµα 4 ⎛⎜⎜⎜⎜⎝ 1 3 1 ⎞⎠⎟⎟⎟⎟ dx ∫32. x x2 x Ι= − + . 1 4 ⎛⎜⎜⎜⎜⎝ 1 3 1 ⎟⎠⎞⎟⎟⎟ dx 4 ⎜⎜⎜⎜⎝⎛ 1 3 1 ⎟⎟⎟⎞⎠⎟ dx ⎢⎣⎡⎢ℓnx 3 ⎤⎦⎥⎥ 4 ∫ ∫Ι = x x2 x 1 x x2 2x x 1 − + = − + 2 ⋅ = + +2 x = ⎡⎢⎣f(x)⎦⎤⎥14 ⇒ 1 ⇒ I = f(4) − f(1) , όπου f(x) = ℓnx + 3 +2 x . x • f(4) = ℓn4 + 3 +2 4 = ℓn22 + 3 +4 = 2ℓn2 + 19 . 4 4 4 • f(1) = ℓn1 + 3 +2 1 =3+2=5. 1 Τελικά είναι Ι = 2ℓn2 + 19 −5 ⇔ Ι = 2ℓn2 − 1 . 4 4 ∫1 x − 1 dx . x +1 33. Ι = 0 1 (x −1) ( )(x −1) x −1 dx = ( )Ι = x +1 x −1 ∫ ∫ ( )( ) ∫0 x − 1 dx = 1 x −1 1 x +1 x −1 dx = 0 0 ∫ ( ) ∫1 ⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎢ 3 ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎤⎦ 1 0 = x2 1 1 1 1 ⎡⎢⎢⎣⎢ 32 3 ⎦⎥⎥⎥⎤10 0 3 x − 1 dx = 1dx = x2 x2 2 0 ∫ ∫x dx − dx − 1 ⋅ (1 − 0) = − 1 = ⋅ − 1 = 00 = 2 ⋅ ⎢⎣⎡ x3 ⎦⎥⎤10 −1 = 2 ⋅ ⎣⎡⎢x x ⎤⎦⎥10 − 1 = 3 3 β ∫Υπενθυμίζεται ότι c dx = c ⋅ (β − α) , όπου c ∈ ! σταθερός αριθμός. α ( )=2 2 1 3 ⋅ 1 1−0 0 −1 = 3 −1 ⇒ Ι = − 3 . - 58 - Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηματικών • www.mathsteki.gr

Μαθηματικά Γ΄Λυκείου • ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 • Ολοκληρωτικός Λογισμός 2η ΕΝΟΤΗΤΑ. Πώς θα υπολογίσεις ένα ορισµένο ολοκλήρωµα ∫34. Ι = 4 3x + 1 dx . x 1 4 3x + 1 dx = 4 ⎜⎛⎝⎜⎜⎜ 3x 1 ⎟⎟⎠⎟⎟⎞ dx 4 ⎜⎜⎜⎛⎝⎜⎜⎜3 x2 1 ⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎟⎟⎟ dx 4 ⎜⎜⎜⎜⎛⎝3 1 ⎟⎠⎞⎟⎟⎟ dx 1 x x x 1 x 2x x ∫ ∫ ∫ ∫Ι = + = +2⋅ = 1 x + 2⋅ 2 = 1 4 ∫4 1 dx ⇒ Ι = 3 ⋅ Ι1 + 2 ⋅ Ι2 (1) 2x ∫= 3 x dx + 2 1 1 4 ∫x dx = 4 1 dx = ⎢⎢⎢⎡⎣⎢⎢⎢ 3 ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤14 = ⎣⎢⎡⎢⎢ 2 ⋅ x 3 ⎦⎤⎥⎥⎥ 4 = 2 ⋅ ⎡⎢⎣ x3 ⎦⎤⎥14 = 2 ⋅ ⎣⎢⎡x x ⎦⎥⎤ 4 = 1 3 2 1 3 3 1 ∫• Ι1 = x2 x2 1 3 2 ( )= 2 14 3 ⋅ 4 4 −1 1 ⇒ Ι1 = 3 . 4 1 ⎡⎢⎣ x ⎦⎥⎤14 = ∫• x Ι2 = 2 dx = 4− 1⇒ Ι2 = 1 . 1 Τελικά από την (1) έχω ότι Ι = 3 ⋅ 14 + 2 ⋅1 ⇔ Ι = 16 . 3 16 ∫35. Ι = x x dx . 1 16 16 ∫1 16 16 ⎝⎜⎜⎜⎜⎛x ⎟⎟⎟⎟⎞⎠⎟21 16 3 ⎢⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎢ 7 ⎦⎥⎥⎤⎥⎥⎥⎥116 = ∫ ∫3 3 1 ∫Ι = ∫x x dx = x ⋅ x2 dx = 2 x4 dx x4 1 1 x2 1 dx = dx = = 7 1 4 ⎢⎣⎢⎢⎡ 47( )= 7 ⎥⎦⎤⎥⎥116 4 ⋅ ⎡⎢⎣ 4 x7 ⎦⎥⎤116 4 ⋅ ⎣⎡⎢ 4 ⎦⎤⎥ 16 4 ⎣⎡⎢ 4 ⎥⎦⎤ 16 4 ⋅ x 4 = 7 = 7 x4 ⋅ x3 1 = 7 ⋅ x ⋅ x3 1 = 7 ⋅ 16 ⋅ 4 163 − 1 ⋅ 4 13 = 4( ) ( )= 4 4 4 508 . 7 ⋅ 16 ⋅ 4 (24 )3 − 1 = 7 ⋅ 16 ⋅ 4 (23)4 − 1 = 7 ⋅ (16 ⋅ 23 − 1) = 7 ⋅ 127 ⇒ Ι = 7 - 59 - Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηματικών • www.mathsteki.gr

Μαθηματικά Γ΄Λυκείου • ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 • Ολοκληρωτικός Λογισμός 2η ΕΝΟΤΗΤΑ. Πώς θα υπολογίσεις ένα ορισµένο ολοκλήρωµα 1 ∫36. Ι = ⎢⎡⎣x2 + συν(πx)⎦⎤⎥ dx . 0 ∫ ∫ ∫ ∫Ι =1 1 1 ⎢⎡⎢⎣⎢ x3 ⎥⎥⎥⎤⎦10 1 1 0 ⎣⎡⎢x2 + συν(πx)⎤⎥⎦ dx = 0 x2 dx + 0 συν(πx) dx = 3 + π ⋅ 0 π ⋅ συν(πx) dx = 13 03 1 1 1 1 1 ⎢⎣⎡ηµ(πx)⎥⎤⎦′ dx 1 1 ∫ ∫=3 3 π 3 π 3 π − + ⋅ συν(πx) ⋅ (πx)′ dx = + ⋅ = + ⋅ ⎣⎡⎢ηµ(πx)⎥⎤⎦10 = 00 = 1 + 1 ⋅ (ηµπ − ηµ0) = 1 + 1 ⋅ (0 − 0) ⇒ Ι = 1 . 3 π 3 π 3 Στο ολοκλήρωμα αυτό εμφανίστηκε σύνθετη συνάρτηση. Θα πρότεινα τον ακόλουθο τρόπο υπολογισμού, ως ασφαλέστερο ως προς το θέμα των πράξεων. Δεύτερος τρόπος 1 11 (1) ∫ ∫ ∫Ι = ⎣⎡⎢x2 + συν(πx)⎤⎥⎦ dx = x2 dx + συν(πx) dx ⇒ Ι = Ι1 + Ι2 0 00 ∫• Ι1 = 1 x2 dx = ⎢⎡⎢⎢⎣ x3 ⎦⎤⎥⎥⎥ 1 = 13 − 03 ⇒ Ι1 = 1 . 0 3 0 3 3 3 1 1 1 1 1 ∫ ∫ ∫• π π Ι2 = συν(πx) dx = ⋅ π ⋅ συν(πx) dx = ⋅ συν(πx) ⋅ (πx)′ dx = 00 0 1 1 ⎡⎢⎣ηµ(πx)⎦⎤⎥′ dx = 1 1 1 ∫= π π π π ⋅ ⋅ ⎣⎢⎡ηµ(πx)⎥⎦⎤ 1 = ⋅ (ηµπ − ηµ0) = ⋅0 ⇒ Ι2 = 0 . 0 0 Τελικά από την (1) έχω ότι Ι= 1 +0⇒ Ι= 1 . 3 3 - 60 - Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηματικών • www.mathsteki.gr

Μαθηματικά Γ΄Λυκείου • ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 • Ολοκληρωτικός Λογισμός 2η ΕΝΟΤΗΤΑ. Πώς θα υπολογίσεις ένα ορισµένο ολοκλήρωµα π /4 ⎜⎝⎜⎜⎛ 1 − ηµ2x⎟⎟⎟⎠⎟⎞dx συν2x ∫37. Ι = . 0 π /4 ⎜⎛⎜⎝⎜ 1 − ηµ2x⎞⎠⎟⎟⎟⎟dx π/4 1 π/4 1 π/4 συν2x συν2x 2 ∫ ∫ ∫ ∫Ι= = = ⎡⎣⎢ εϕx⎥⎤⎦ π/4 + ⋅ (−2) ⋅ ηµ2x dx = dx − ηµ2x dx 0 0 00 0 π 1 π/4 1 π/4 1 ∫ ∫= 4 2 2 2 εϕ − εϕ0 + ⋅ (−ηµ2x) ⋅ (2x)′ dx = 1+ ⋅ (συν2x)′ dx = 1+ ⋅ ⎡⎢⎣συν2x ⎥⎦⎤ π/ 4 = 0 00 = 1+ 1 ⋅ ⎜⎜⎜⎝⎛συν 2π − συν0⎟⎟⎠⎟⎞⎟ = 1+ 1 ⋅ ⎜⎜⎜⎛⎝συν π − 1⎞⎟⎟⎟⎠⎟ = 1+ 1 ⋅ (0 − 1) = 1− 1 ⇒ Ι = 1 . 2 4 2 2 2 2 2 Και εδώ είχα σύνθετη συνάρτηση στο δεύτερο ολοκλήρωμα. π/3 1 ∫38. ηµ2x ⋅ συν2x Ι = dx . Πρόσεξέ το πάρα πολύ! π/6 π/3 1 π/3 ηµ2x + συν2x π/ 3 ⎝⎜⎜⎜⎛ 1 1 ⎟⎟⎟⎠⎟⎞ ⋅ συν2x ηµ2x ⋅ συν2x συν2x ηµ2x =∫ ∫ ∫Ι dx = dx = + dx = ⎢⎣⎡εϕx − σϕx ⎤⎥⎦ π /3 = ηµ2x π /6 π/6 π/6 π/6 = εϕ π − σϕ π − ⎛⎜⎜⎜⎝εϕ π − σϕ π ⎞⎠⎟⎟⎟⎟ = 3− 3 − ⎝⎜⎜⎜⎜⎜⎛ 3 − 3⎟⎟⎟⎟⎟⎞⎠ = 23 − −2 3 ⇒ Ι = 43 . 3 3 6 6 3 3 3 3 3 ∫39. Ι = π/3 ⎜⎜⎝⎜⎛συνx − 1 ⎞⎟⎟⎟⎟⎠2 dx . Πρόσεξέ το πάρα πολύ! συνx 0 π/3 ⎛⎜⎝⎜⎜συνx − 1 ⎟⎟⎟⎠⎟⎞2 π/3 ⎜⎛⎝⎜⎜συν2x + 1 − 2⎠⎟⎟⎟⎟⎞dx π/ 3 ⎜⎝⎜⎜⎛ 1 − ηµ2x − 1⎟⎟⎟⎞⎠⎟dx ∫ ∫ ∫Ι συνx συν2x συν2x = dx = = = 00 0 π/3 1 π/3 π/3 ⎛⎝⎜⎜⎜ π − 0⎟⎟⎞⎟⎠⎟ ∫ ∫ ∫= συν2x 3 dx − ηµ2x dx − 1 dx = ⎣⎢⎡εϕx ⎦⎥⎤ π /3 − Ι1 − 1 ⋅ = 0 0 00 = εϕ π − εϕ0 − Ι1 − π ⇒ Ι= 3 − Ι1 − π (1) 3 3 3 - 61 - Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηματικών • www.mathsteki.gr

Μαθηματικά Γ΄Λυκείου • ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 • Ολοκληρωτικός Λογισμός 2η ΕΝΟΤΗΤΑ. Πώς θα υπολογίσεις ένα ορισµένο ολοκλήρωµα Πρόσεξε πάρα πολύ πώς θα υπολογίσω το Ι1 . Είναι πολύ χαρακτηριστικό ολοκλήρωμα και ο τρόπος υπολογισμού του (ανεξάρτητα από τα όρια ολοκλήρωσης που αλλού θα συναντήσεις) είναι αυτός που θα δεις στην συνέχεια. Υπενθυμίζεται από την Τριγωνομετρία ότι ισχύει ηµ2x = 1 − συν2x . 2 π/3 π/3 1 − συν2x 1 π/3 2 2 ηµ2x dx = (1 − συν2x) dx = ∫ ∫ ∫• Ι1 = dx = 00 0 1 π/3 1 π/3 1 ⋅ ⎜⎝⎜⎛⎜ π − 0⎟⎠⎞⎟⎟⎟ − 1 1 π/3 2 2 2 3 2 2 1dx − συν2x dx = 2 ⋅ συν2x dx = ∫ ∫ ∫= ⋅ 00 0 π 1 π/3 π 1 π/3 6 4 6 4 συν2x ⋅ (2x)′ dx = (ηµ2x)′ dx = ∫ ∫= − − 00 = π − 1 ⋅ ⎣⎢⎡ηµ2x ⎥⎦⎤ π / 3 = π − 1 ⋅ ⎜⎜⎛⎝⎜ηµ 2π − ηµ0⎟⎟⎞⎟⎠⎟ = π − 1 ⋅ ηµ⎜⎛⎜⎜⎝π − π ⎟⎞⎟⎟⎟⎠ = 6 4 0 6 4 3 6 4 3 = π − 1 ⋅ ηµ π = π − 1 ⋅ 3 = π − 3 ⇒ Ι1 = 4π − 3 3 . 6 4 3 6 4 2 6 8 24 Τελικά, από την (1) έχω ότι ( )Ι = 3 − 4π − 3 3 − π = 24 3 − 4π + 3 3 − 8π = 3 9 3 − 4π ⇔ 24 3 24 24 ⇔ Ι= 9 3 − 4π . 8 ΠΡΟΣΟΧΗ ! β ∫Με παρόμοιο τρόπο υπολογίζεται και το «αδελφό» ολοκλήρωμα Ι = συν2x dx . α Να πώς: επειδή από την Τριγωνομετρία ισχύει συν2x = 1 + συν2x , είναι 2 - 62 - Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηματικών • www.mathsteki.gr

Μαθηματικά Γ΄Λυκείου • ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 • Ολοκληρωτικός Λογισμός 2η ΕΝΟΤΗΤΑ. Πώς θα υπολογίσεις ένα ορισµένο ολοκλήρωµα ββ 1 + συν2x 1 β 1 ββ 2 2 2 1 ∫ ∫ ∫ ∫ ∫Ι = συν2x dx = 2 dx = (1 + συν2x) dx = 1dx + συν2x dx = αα α αα 1 1 1 β β−α 1 β 2 2 2 2 4 ∫ ∫= συν2x ⋅ (2x)′ dx = ⋅1 ⋅ (β − α) + ⋅ 2 ⋅ συν2x dx = + αα β−α 1 β β−α 1 2 4 2 4 ∫= + (ηµ2x)′ dx = + ⋅ ⎡⎣⎢ηµ2x⎥⎦⎤ β = ... α α π/3 συν2x ∫40. ηµ2x ⋅ συν2x Ι = dx . π/6 π/3 συν2x π/3 συν2x − ηµ2x π / 3 ⎛⎜⎜⎝⎜ 1 1 ⎟⎠⎟⎟⎞⎟ ηµ2x ⋅ συν2x ηµ2x ⋅ συν2x ηµ2x συν2x ∫ ∫ ∫Ι= dx = dx = − dx = ⎣⎢⎡−σϕx − εϕx⎦⎥⎤ π/3 = π/6 π/6 π/6 π/6 = − ⎢⎡⎣εϕx + σϕx⎤⎦⎥ π/3 = ⎡⎣⎢εϕx + σϕx ⎤⎦⎥ π /6 = εϕ π + σϕ π − ⎜⎛⎜⎝⎜εϕ π + σϕ π3⎞⎟⎟⎟⎠⎟ = π/6 π /3 6 6 3 = 3 + 3 −⎝⎜⎜⎛⎜⎜⎜ 3 + 3 ⎟⎞⎠⎟⎟⎟⎟ ⇒ Ι=0 . 3 3 1 ex + e2x + e3x ∫41. e4x Ι= dx . 0 1 ex + e2x + e3x 1 ⎜⎝⎛⎜⎜ 1 1 1 ⎟⎟⎠⎞⎟⎟ dx 1 ∫ ∫ ∫Ι = e4x e3x e2x ex dx = + + = (e−3x + e−2x + e−x ) dx = 00 0 111 (1) ∫ ∫ ∫= e−3x dx + e−2x dx + e−x dx ⇒ Ι = Ι1 + Ι2 + Ι3 000 1 1 1 1 1 ∫ ∫ ∫• 3 3 Ι1 = e−3x dx = − ⋅ e−3x ⋅ (−3) dx = − ⋅ e−3x ⋅ (−3x)′ dx = 00 0 - 63 - Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηματικών • www.mathsteki.gr

Μαθηματικά Γ΄Λυκείου • ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 • Ολοκληρωτικός Λογισμός 2η ΕΝΟΤΗΤΑ. Πώς θα υπολογίσεις ένα ορισµένο ολοκλήρωµα 1 1 1 ⎤⎥⎦10 1 ⎥⎦⎤10 1 ∫= 3 3 3 3 − ⋅ (e−3x )′ dx =− ⋅ ⎢⎣⎡e−3x = ⋅ ⎣⎡⎢e−3x = ⋅ (e−3⋅0 − e−3⋅1) = 0 = 1 ⋅ (1 − e−3) = 1 ⋅⎜⎜⎝⎜⎛1 − 1 ⎟⎟⎟⎞⎟⎠ = 1 ⋅ e3 − 1 ⇒ Ι1 = e3 − 1 . 3 3 e3 3 e3 3e3 1 1 1 1 1 ∫ ∫ ∫• 2 2 Ι2 = e−2x dx = − ⋅ e−2x ⋅ (−2) dx = − ⋅ e−2x ⋅ (−2x)′ dx = 00 0 1 1 1 1 1 ⎤⎦⎥10 1 ∫= 2 2 0 2 2 − ⋅ (e−2x )′ dx =− ⋅ ⎢⎣⎡e−2x ⎤⎥⎦ = ⋅ ⎡⎢⎣ e−2x = ⋅ (e−2⋅0 − e−2⋅1) = 0 = 1 ⋅ (1 − e−2) = 1 ⋅ ⎜⎜⎝⎛⎜1 − 1 ⎟⎠⎞⎟⎟⎟ = 1 ⋅ e2 − 1 ⇒ Ι2 = e2 − 1 . 2 2 e2 2 e2 2e2 11 11 ∫ ∫ ∫ ∫• Ι3 = e−x dx = − (e−x ) ⋅ (−1) dx = − e−x ⋅ (−x)′ dx = − (e−x )′ dx = − ⎣⎢⎡e−x ⎦⎥⎤10 = 00 00 = ⎢⎣⎡e−x ⎥⎤⎦10 = e0 − e−1 = 1− 1 ⇒ Ι3 = e−1 . e e Τελικά, από την (1) έχω ότι Ι = e3 − 1 + e2 − 1 + e−1 = 2e3 − 2 + 3e3 − 3e + 6e3 − 6e2 ⇒ 3e3 2e2 e 6e3 ⇒ Ι = 11e3 − 6e2 − 3e −2 . 6e3 - 64 - Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηματικών • www.mathsteki.gr

Μαθηματικά Γ΄Λυκείου • ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 • Ολοκληρωτικός Λογισμός 2η ΕΝΟΤΗΤΑ. Πώς θα υπολογίσεις ένα ορισµένο ολοκλήρωµα π/2 ∫42. Ι = (ηµx + x ⋅ συνx) dx . 0 π/2 π/2 π/2 ∫ ∫ ∫Ι = (ηµx + x ⋅ συνx) dx = ⎢⎡⎣(x)′ ⋅ ηµx + x ⋅ (ηµx)′⎥⎤⎦ dx = (x ⋅ ηµx)′ dx = ⎡⎣⎢x ⋅ ηµx ⎤⎥⎦ π / 2 = 0 00 0 = π ⋅ ηµ π − 0 ⋅ ηµ0 ⇒ Ι = π . 2 2 2 1 1− x ∫43. ex Ι= dx . 0 1 1 − x 1 1 1 ex (e−x − xe−x ) dx = ∫ ∫ ∫ ∫Ι = ⎣⎡⎢(x)′ ⋅ e−x + x ⋅ e−x ⋅ (−x)′⎤⎥⎦ dx = dx = (1 − x)e−x dx = 00 0 0 11 1 1 ∫ ∫= 0 e ⎣⎢⎡(x)′ ⋅ e−x + x ⋅ (e−x )′⎥⎦⎤ dx = (xe−x )′ dx = ⎢⎡⎣ xe−x ⎤⎥⎦ = 1e−1 − 0e0 ⇒ Ι = e−1 = . 00 π ⎜⎜⎜⎛⎝ℓnxσυνx + ηµx ⎞⎟⎟⎟⎟⎠ dx x ∫44. Ι= . π/2 π ⎜⎝⎛⎜⎜ℓnxσυνx + ηµx ⎞⎠⎟⎟⎟⎟ dx π ⎜⎜⎜⎝⎛ 1 συνx⎠⎟⎟⎟⎟⎞ dx π x x ∫ ∫ ∫Ι = = ⋅ ηµx + ℓnx ⋅ = ⎡⎣⎢(ℓnx)′ ⋅ ηµx + ℓnx ⋅ (ηµx)′⎥⎤⎦ dx = π/2 π/2 π/2 π π π π 2 2 2 ∫= (ℓnx ⋅ ηµx)′ dx = ⎢⎡⎣ℓnx ⋅ ηµx⎤⎦⎥ π = ℓnπ ⋅ ηµπ − ℓn ⋅ ηµ ⇒ Ι = −ℓn . π/2 π/2 Από τις ιδιότητες του νεπέριου λογάριθμου υπενθυμίζεται ότι ℓnxκ = κ ⋅ ℓnx . - 65 - Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηματικών • www.mathsteki.gr

Η ΨΗΦΙΑΚΗ ΤΟΥ ΜΟΡΦΗ ΠΑΡΕΧΕΤΑΙ ΓΙΑ ΔΩΡΕΑΝ ΜΕΛΕΤΗ ΑΠΟΚΛΕΙΣΤΙΚΑ ΑΠΟ ΤΗΝ ΙΣΤΟΣΕΛΙΔΑ “ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟ ΣΤΕΚΙ” - www.mathsteki.gr