ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ - Κεφ.3 - Παράγραφος 3.4 (θεωρία)

Β΄ Λυκείου - Άλγεβρα Τριγωνοµετρία Παράγραφος 4 Οι τριγωνοµετρικές συναρτήσεις ΘΕΩΡΙΑ Νέα Μουδανιά • Σεπτέµβριος 2021

ΠΑΡΑΓΡΑΦΟΣ 4 Άλγεβ ρ α Β΄ Λυ κεί ο υ • Κ ΕΦΑ Λ Α Ι Ο 3 • Τρ ι γωνομ ετρ ί α Παράγραφος 4 • Οι τριγωνοµετρικές συναρτήσεις • ΘΕΩΡΙΑ Οι τριγωνοµετρικές συναρτήσεις ~ Περιεχόμενα παραγράφου 4 ~ 1. Περιοδικές συναρτήσεις ................................................................................................................................................42 2. Τριγωνομετρικές συναρτήσεις πραγματικών αριθμών .............................................................................42 3. Μελέτη της συνάρτησης f(x) = ηµx ......................................................................................................................43 4. Μελέτη της συνάρτησης f(x) = συνx ...................................................................................................................44 5. Μελέτη της συνάρτησης f(x) = εϕx ......................................................................................................................45 6. Συνάρτηση της μορφής f(x) = ρ ⋅ ηµωx , όπου ρ , ω > 0 ..........................................................................46 7. Ποια στοιχεία θεωρίας από τις τριγωνομετρικές συναρτήσεις πρέπει να συγκρατήσεις ..................................................................................................................................................46 - 41 - Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηματικών • www.mathsteki.gr

Άλγεβ ρ α Β΄ Λυ κεί ο υ • Κ ΕΦΑ Λ Α Ι Ο 3 • Τρ ι γωνομ ετρ ί α Παράγραφος 4 • Οι τριγωνοµετρικές συναρτήσεις • ΘΕΩΡΙΑ 1. Περιοδικές συναρτήσεις Μια συνάρτηση f, με πεδίο ορισμού το Α, λέγεται περιοδική, όταν υπάρχει πραγ- ματικός αριθμός T > 0 τέτοιος, ώστε για κάθε x ∈ A να ισχύει: Ι. x + T ∈ A , x − T ∈ A και ΙΙ. f (x + T) = f (x − T) = f(x) . Ο πραγματικός αριθμός Τ λέγεται περίοδος της συνάρτησης f. 2. Τριγωνοµετρικές συναρτήσεις πραγµατικών αριθµών Οι τριγωνομετρικές συναρτήσεις πραγματικής μεταβλητής είναι: α) η συνάρτηση ημίτονο, που συμβολίζεται με ημ. • Ορίζουμε να είναι ηµx = ηµ(x rad). • Είναι περιοδική με περίοδο 2π. β) η συνάρτηση συνημίτονο, που συμβολίζεται με συν. • Ορίζουμε να είναι συνx = συν(x rad). • Είναι περιοδική με περίοδο 2π. γ) η συνάρτηση εφαπτομένη, που συμβολίζεται με εφ και ορίζεται ως εξής: εϕx = ηµx . συνx { }• Το πεδίο ορισμού της είναι το σύνολο !1 = x / συνx ≠ 0 . • Επειδή, για κάθε x ∈ !1 , ισχύει εϕ(x + π) = εϕ(x − π) = εϕx , είναι περιοδική συνάρτηση με περίοδο π. δ) η συνάρτηση συνεφαπτομένη, που συμβολίζεται με σφ και ορίζεται ως εξής: σϕx = συνx . ηµx - 42 - Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηματικών • www.mathsteki.gr

Άλγεβ ρ α Β΄ Λυ κεί ο υ • Κ ΕΦΑ Λ Α Ι Ο 3 • Τρ ι γωνομ ετρ ί α Παράγραφος 4 • Οι τριγωνοµετρικές συναρτήσεις • ΘΕΩΡΙΑ { }• Το πεδίο ορισμού της είναι το σύνολο ! 2 = x / ηµx ≠ 0 . • Είναι περιοδική με περίοδο π. 3. Μελέτη της συνάρτησης f(x) = ηµx Επειδή η συνάρτηση f(x) = ηµx είναι περιοδική, με περίοδο 2π, αρκεί να την μελε- τήσουμε σε ένα διάστημα πλάτους 2π, π.χ. το ⎢⎡⎣0 , 2π⎦⎤⎥ . Έχουμε ότι: • είναι γνησίως αύξουσα στο διάστημα ⎣⎢⎡⎢0 , π ⎦⎥⎥⎤ . 2 • είναι γνησίως φθίνουσα στο διάστημα ⎣⎡⎢⎢ π , π⎦⎤⎥⎥ . 2 • είναι γνησίως φθίνουσα στο διάστημα ⎡⎢⎢⎣π , 3π ⎤⎦⎥⎥ . 2 • είναι γνησίως αύξουσα στο διάστημα ⎣⎢⎢⎡ 3π , 2π⎥⎤⎥⎦ . 2 • παρουσιάζει μέγιστο για x = π , το ηµ π = 1. 2 2 • παρουσιάζει ελάχιστο για x = 3π , το ηµ 3π = −1 . 2 2 Η γραφική της παράσταση στο διάστημα ⎢⎣⎡0 , 2π⎤⎦⎥ φαίνεται στο σχήμα δεξιά. Επειδή η συνάρτηση είναι περιοδική, με πε- ρίοδο 2π, η γραφική της παράσταση έχει την ίδια μορφή στα διαστήματα ⎡⎢⎣2π , 4π⎦⎤⎥ , ⎣⎢⎡4π , 6π⎦⎤⎥ κ.τλ, καθώς και στα διαστήματα ⎡⎣⎢−2π , 0⎦⎤⎥ , ⎣⎢⎡−4π ,− 2π⎤⎦⎥ κ.τλ. - 43 - Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηματικών • www.mathsteki.gr

Άλγεβ ρ α Β΄ Λυ κεί ο υ • Κ ΕΦΑ Λ Α Ι Ο 3 • Τρ ι γωνομ ετρ ί α Παράγραφος 4 • Οι τριγωνοµετρικές συναρτήσεις • ΘΕΩΡΙΑ Έτσι έχουμε την γραφική παράσταση της συνάρ- τησης ημίτονο (σχήμα δεξιά), η οποία λέγεται ημιτονοειδής καμπύλη. Γνωρίζουμε ότι οι αντίθετες γωνίες έχουν αντίθετα ημίτονα. Άρα, για κάθε x ∈ ! , ισχύει ηµ(−x) = −ηµx Αυτό σημαίνει ότι η συνάρτηση είναι περιττή, επομένως η γραφική της παράσταση έχει κέντρο συμμετρίας την αρχή Ο(0 , 0) των αξόνων. 4. Μελέτη της συνάρτησης f(x) = συνx Επειδή η συνάρτηση f(x) = συνx είναι περιοδική, με περίοδο 2π, αρκεί να την με- λετήσουμε σε ένα διάστημα πλάτους 2π, π.χ. το ⎢⎣⎡0 , 2π⎦⎤⎥ . Από την μελέτη αυτή προκύπτουν τα συμπερά- σματα του πίνακα δεξιά και έτσι μπορούμε να σχεδιάσουμε την γραφική παράσταση της y = συνx , για 0 ≤ x ≤ 2π , η οποία φαίνεται στο σχήμα δεξιά. Επειδή η συνάρτηση είναι περιοδική, με περίοδο 2π, η γραφική της παράσταση στο ! είναι αυτή του παρακάτω σχήματος. Γνωρίζουμε ότι οι αντίθετες γωνίες έχουν το ίδιο συνημίτονο. Άρα, για κάθε x ∈ ! , ( )ισχύει συν −x = συνx . Αυτό σημαίνει ότι η συνάρτηση είναι άρτια και, επομένως, η γραφική της παράσταση έχει άξονα συμμετρίας τον άξονα y΄y. - 44 - Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηματικών • www.mathsteki.gr

Άλγεβ ρ α Β΄ Λυ κεί ο υ • Κ ΕΦΑ Λ Α Ι Ο 3 • Τρ ι γωνομ ετρ ί α Παράγραφος 4 • Οι τριγωνοµετρικές συναρτήσεις • ΘΕΩΡΙΑ 5. Μελέτη της συνάρτησης f(x) = εφx Επειδή η συνάρτηση f(x) = εϕx είναι περιοδική, με περίοδο π, αρκεί να την μελετή- σουμε σε ένα διάστημα πλάτους π, π.χ. το ⎜⎜⎛⎝⎜− π , π ⎟⎞⎠⎟⎟⎟ (το διάστημα είναι ανοικτό, 2 2 αφού η συνάρτηση εφ δεν ορίζεται στα − π , π ). 2 2 Έχουμε ότι: • είναι γνησίως αύξουσα στο διάστημα ⎝⎛⎜⎜⎜− π , π ⎠⎟⎞⎟⎟⎟ . 2 2 • όταν ο x «τείνει» στο − π από μεγαλύτερες τιμές, η εφx «τείνει» στο −∞ . 2 Γι' αυτό λέμε ότι η ευθεία x=− π είναι κατακόρυφη ασύμπτωτη της γραφι- 2 κής παράστασης της f. • όταν ο x «τείνει» στο π από μικρότερες τιμές, η εφx τείνει στο +∞ . Γι' αυτό 2 λέμε ότι και η ευθεία x = π είναι κατακόρυφη ασύμπτωτη της γραφικής 2 παράστασης της f. Η γραφική της παράσταση φαίνεται στο διπλανό σχήμα, από το οποίο γίνεται φα- νερό ότι η συνάρτηση έχει κέντρο συμμε- τρίας το Ο, αφού ισχύει εϕ(−x) = −εϕx (δηλαδή είναι περιττή συνάρτηση). - 45 - Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηματικών • www.mathsteki.gr

Άλγεβ ρ α Β΄ Λυ κεί ο υ • Κ ΕΦΑ Λ Α Ι Ο 3 • Τρ ι γωνομ ετρ ί α Παράγραφος 4 • Οι τριγωνοµετρικές συναρτήσεις • ΘΕΩΡΙΑ 6. Συνάρτηση της µορφής f(x) = ρ· ηµωx, όπου ρ, ω > 0 Σε μια συνάρτηση της μορφής f(x) = ρ ⋅ ηµωx , όπου ρ , ω > 0 : α) το ρ καθορίζει την μέγιστη τιμή της, που είναι ίση με ρ, και την ελάχιστη τιμή της, που είναι ίση με ­ρ. β) το ω καθορίζει την περίοδο της συνάρτησης, που είναι ίση με 2π . ω Τα ίδια συμπεράσματα ισχύουν και για μια συνάρτηση της μορφής f(x) = ρ ⋅ συνωx , όπου ρ , ω > 0 . 7. Ποια στοιχεία θεωρίας από τις τριγωνοµετρικές συναρτήσεις πρέπει να συγκρατήσεις α) Πότε μια συνάρτηση λέγεται περιοδική. β) Από την συνάρτηση του ημιτόνου: • την μορφή που έχει η γραφική της παράσταση. • ότι είναι περιοδική (με περίοδο 2π). • ότι είναι περιττή συνάρτηση και, εξ αυτού, ότι η γραφική παράσταση έχει κέντρο συμμετρίας την αρχή των αξόνων. γ) Από την συνάρτηση του συνημιτόνου: • την μορφή που έχει η γραφική της παράσταση. • ότι είναι περιοδική (με περίοδο 2π). • ότι είναι άρτια συνάρτηση και, εξ αυτού, ότι η γραφική παράσταση έχει άξονα συμμετρίας τον άξονα y΄y. - 46 - Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηματικών • www.mathsteki.gr

Άλγεβ ρ α Β΄ Λυ κεί ο υ • Κ ΕΦΑ Λ Α Ι Ο 3 • Τρ ι γωνομ ετρ ί α Παράγραφος 4 • Οι τριγωνοµετρικές συναρτήσεις • ΘΕΩΡΙΑ δ) Από την συνάρτηση της εφαπτομένης: • την μορφή που έχει η γραφική της παράσταση. • ότι είναι περιοδική (με περίοδο π). • ότι είναι περιττή συνάρτηση και, εξ αυτού, ότι η γραφική παράσταση έχει κέντρο συμμετρίας την αρχή των αξόνων. - 47 - Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηματικών • www.mathsteki.gr



Μόνο εδώ θα βρεις τα αναλυτικότερα βιβλία Μαθηµατικών του διαδικτύου!