Κεφάλαιο 3 - Παράγραφος 3.3

* ' µ Etaqpoi }ETa1 0 TITAOS T.ms Iapaypd GOU ! Oa JEITE Jndacfi TIMOUS Kou TEXNKE 's Mou Jeixvouv ME no , ov , , Etoi , TCSIO vMofoji5ovTai 01 Tpijwvopietplkoi aplduoi 01701965N' MOTE gwvias , 6Th P 150'µEv0l µdv0 GTIS juries ' Too Mpw Too Tetaetnluopiou , ' ywviivv and 00 EWS Kai 90 ? 3.3 ΑΝΑΓΩΓΗ ΣΤΟ 1Ο ΤΕΤΑΡΤΗΜΟΡΙΟ Jndoicn 65 3.3 ΑΝΑΓΩΓΗ ΣΤΟ 1o ΤΕΤΑΡΤΗΜΟΡΙΟ * Ο υπολογισμός των τριγωνομετρικών αριθμών οποιασδήποτε γωνίας μπορεί * να γίνει, όπως θα δούμε στη συνέχεια, με τη βοήθεια πινάκων που δίνουν τους τριγωνομετρικούς αριθμούς γωνιών από 0 μέχρι 90 . Ας θεωρήσουμε δύο γωνίες ω και ω' που οι τελικές πλευρές τους τέμνουν τον τριγωνομετρικό κύκλο στα σημεία και ' αντιστοίχως. Γωνίες αντίθετες yt Αν οι γωνίες ω και ω' είναι αντίθετες, Β δηλαδή αν ω' = −ω , τότε, όπως φαί- Μ(x,y) νεται στο διπλανό σχήμα, τα σημεία και ΄ είναι συμμετρικά ως προς τον A´ ω A άξονα x'x. Επομένως τα σημεία αυτά Ο –ω x έχουν την ίδια τετμημένη και αντίθε- τες τεταγμένες. Μ´(x,–y) Β´ Έχοντας υπόψη τους ορισμούς των t' τριγωνομετρικών αριθμών, συμπεραί- νουμε ότι: \" \" fyaivei MPOEOXH ! Eva's sea npeitovo, eqantotievn , sruveqantopeevn To - p ηµ(−ω) = −ηµω &}w, ' Jevsuplbaivei συν(−ω) = συνω GTO auto εϕ(−ω) = −εϕω σϕ(−ω) = −σϕω ovvnfeitovo ! ! Δηλαδή: οι αντίθετες γωνίες έχουν το ίδιο συνημίτονο και αντίθετους τους άλλους τριγωνομετρικούς αριθμούς. Για παράδειγμα: 9 Έχουμε: ηµ(−30 ) = −ηµ(30 ) = − 1 συν(−30 ) = συν(30 ) = 3 2 2 εϕ(−30 ) = −εϕ(30 ) = − 3 σϕ(−30 ) = −σϕ(30 ) = − 3 3 9 Επίσης, έχουμε: ηµ ⎜⎝⎛− π ⎞⎟⎠= −ηµ π = − 2 συν ⎜⎛⎝− π ⎟⎞⎠= συν π = 2 4 4 2 4 4 2 εϕ⎜⎛⎝− π ⎠⎞⎟= −εϕ π = −1 σϕ⎜⎛⎝− π ⎞⎟⎠= −σϕ π = −1 4 4 4 4

66 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3Ο: ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ Γωνίες με άθροισμα 180o Αν οι γωνίες ω και ω' έχουν άθροι- t’ y t σμα 180 , δηλαδή αν ω' = 180 − ω, Μ’(–x,y) B Μ(x,y) τότε, όπως φαίνεται στο διπλανό σχήμα, τα σημεία και ' είναι A’ 1800−ω Ax συμμετρικά ως προς τον άξονα y'y . ω Επομένως τα σημεία αυτά έχουν την ίδια τεταγμένη και αντίθετες τε- Ο τμημένες. Έχοντας υπόψη τους ορισμούς των B’ τριγωνομετρικών αριθμών, συμπε- ραίνουμε ότι: )οι γωνίες με άθροισμα 180 έχουν το ίδιο ημίτονο και αντίθετους τουςΔηλαδή: . ybnaasinapananewluatikesrwries άλλους τριγωνομετρικούς αριθμούς. Για παράδειγμα: EMEISN' Fis oesrknlrels JOUAEIOUME HE 9 Επειδή 150 = 180 − 30 , έχουμε: told ( nodinepioobtepo an ' o' Ti µoipEs ) , ηµ150 = ηµ(180 − 30 ) = ηµ30 = 1 Va jvwei }ETE Tous TJMOUS auto 'us dtsl : 2 w)=nµw (multi - w)=our I - - suvw ,, συν150 = συν(180 − 30 ) = −συν30 = − 3 ( ) EqwEG Ti - w ( ) 69W69 Ti - w 2 =- =- . , εϕ150 = εϕ(180 − 30 ) = −εϕ30 = − 3 3 σϕ150 = σϕ(180 − 30 ) = −σϕ30 = − 3 9 Επειδή 2 π = π − π , έχουμε: 33 ηµ ⎛2π ⎞⎠⎟= ηµ ⎜⎝⎛π − π ⎟⎠⎞= ηµ π = 3 ⎝⎜ 3 3 3 2

3.3 ΑΝΑΓΩΓΗ ΣΤΟ 1Ο ΤΕΤΑΡΤΗΜΟΡΙΟ 67 συν ⎛2π ⎞⎟⎠= συν ⎜⎝⎛π − π ⎠⎞⎟= −συν π = − 1 ⎜⎝ 3 3 3 2 εϕ⎜⎛⎝23π ⎟⎞⎠= εϕ⎜⎛⎝π − π ⎠⎞⎟= −εϕ π = − 3 3 3 σϕ⎝⎛⎜23π ⎟⎞⎠= σϕ⎜⎝⎛π − π ⎞⎟⎠= −σϕ π = − 3 3 3 3 Γωνίες που διαφέρουν κατά 180o Αν οι γωνίες ω και ω' διαφέρουν κατά 180 y t δηλαδή αν ω' = 180 + ω, τότε, όπως φαί- B Μ(x,y) νεται στο διπλανό σχήμα, τα σημεία και 1800+ω ω A ' είναι συμμετρικά ως προς την αρχή των A’ x αξόνων. Επομένως τα σημεία αυτά έχουν αντίθετες τετμημένες και αντίθετες τεταγ- Μ’(–x,–y) Β’ μένες. t’ Έχοντας υπόψη τους ορισμούς των τριγω- νομετρικών αριθμών, συμπεραίνουμε ότι: Δηλαδή: οι γωνίες που διαφέρουν κατά 180 έχουν αντίθετο ημίτονο και συνημί- 7τονο, ενώ έχουν την ίδια εφαπτομένη και συνεφαπτομένη. Για παράδειγμα: EMEISN' Fis ask n' Jets Jovdeiou HE HE rad ( Modine @ ' ' o' h µoipEs ) , an ooo Tepo 9 Επειδή 210 = 180 + 30 , έχουμε: Va jvwei }ETE Tous TJMOUS auto is Etsl : ηµ210 = ηµ(180 + 30 ) = −ηµ30 = − 1 nµ( ) suvfitwTitw )= - oww 2 =- , npew , 3 qttw{ ) = Eqw , Gq ( ) 6GWttw = . 2 συν210 = συν(180 + 30 ) = −συν30 =− εϕ210 = εϕ(180 + 30 ) = εϕ30 = 3 3 σϕ210 = σϕ(180 + 30 ) = σϕ30 = 3

68 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3Ο: ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ 9 Επειδή 4 π = π + π , έχουμε: 33 ηµ ⎛4π ⎞⎟⎠= ηµ ⎛⎜⎝π + π ⎟⎠⎞= −ηµ π = − 3 ⎝⎜ 3 3 3 2 συν ⎛4π ⎞⎟⎠= συν ⎝⎜⎛π + π ⎠⎟⎞= −συν π = − 1 ⎜⎝ 3 3 3 2 εϕ⎜⎛⎝43π ⎠⎟⎞= εϕ⎜⎛⎝π + π ⎟⎞⎠= εϕ π = 3 3 3 σϕ ⎛4π ⎞⎠⎟= σϕ⎜⎛⎝π + π ⎟⎠⎞= σϕ π = 3 ⎜⎝ 3 3 3 3 Γωνίες με άθροισμα 90o A’ y t’ Αν οι γωνίες ω και ω' έχουν άθροισμα B Μ’(y,x) y=x 90 , δηλαδή ω' = 90 − ω, τότε, όπως φαίνεται στο διπλανό σχήμα, τα σημεία t Μ(x,y) και ' είναι συμμετρικά ως προς τη ω 900–ω O Ax διχοτόμο της γωνίας xOˆ y. B’ Επομένως η τετμημένη του καθενός ισούται με την τεταγμένη του άλλου. Έχοντας υπόψη τους ορισμούς των τρι- γωνομετρικών αριθμών, συμπεραίνου- με ότι: ηµ(90 − ω) = συνω συν(90 − ω) = ηµω εϕ(90 − ω) = σϕω σϕ(90 − ω) = εϕω Δηλαδή, 7Αν δύο γωνίες έχουν άθροισμα 90 , τότε το ημίτονο της μιας ισούται με το συνημίτονο της άλλης και η εφαπτομένη της μιας ισούται με τη συνεφα- πτομένη της άλλης. Για παράδειγμα, επειδή 60 = 90 − 30 , έχουμε:pAnIaFheiroee6ufendnpw1uaTiKISjwviEs.rEMEl8nl5TlsoesKn5EisoovAEu0ufuEfeEradf7odvME@i65dTEpoatioTifeoipEshVajvwpi3ETETovsTinousauTouSET5io.n ηµ60 = συν30 = 3 , συν60 = ηµ30 = 1 , 2 2 µ(±z )w- ouvw σϕ60 = εϕ30 = 3 = , 3 εϕ60 = σϕ30 = 3 και ( Is ) nµwourw-= , eq ( Is )w. = sqw , )rq(z± . w = eqw .

3.3 ΑΝΑΓΩΓΗ ΣΤΟ 1Ο ΤΕΤΑΡΤΗΜΟΡΙΟ 69 ΣΧο ο Από τα προηγούμενα καταλαβαίνουμε ότι δεν χρειάζεται να έχουμε πίνακες τριγωνομετρικών αριθμών όλων των γωνιών, αλλά μόνο των γωνιών από 0 μέχρι 90 . ΕΦΑ ΓΕΣ 1η Δίνεται ότι συν36 = 1 + 5. α υπολογιστούν οι τριγωνομετρικοί αριθ- 4 μοί της γωνίας 54 . ΛΥΣΗ Επειδή 54 = 90 − 36 , έχουμε = 1+ 5 4 ηµ54 = συν36 Σύμφωνα με την ταυτότητα ηµ2ω + συν2ω = 1 ισχύει ηµ254 + συν254 = 1 , οπότε: συν2 54 = 1 − ηµ2 54 = 1 − ⎛⎜⎝⎜1 + 5 ⎞2 =1− 6+2 5 = 10 − 2 5, 4 ⎠⎟⎟ 16 16 οπότε: συν54 = 10 − 2 5 4 Επομένως είναι: εϕ54 = ηµ54 = 1+ 5 και σϕ54 = συν54 = 10 − 2 5 . συν54 10 − 2 5 ηµ54 1+ 5 2η α υπολογιστούν με τη βοήθεια της γωνίας ω οι τριγωνομετρικοί αριθ- > NAOEQPEITAI μοί των γωνιών: TNIETH ! α) 90 + ω, β) 270 − ω και γ) 270 + ω ΛΥΣΗ TENIKA : nµ(±ztw)- ouvw , ouv(±ztw)= - npew , i) Επειδή 90 + ω = 90 − (−ω), έχουμε: eq(±ztw)= - oqw , 5q(±ztw)= Eqw- . q ηµ(90 + ω) = ηµ(90 − (−ω)) = συν(−ω) = συνω. Ομοίως υπολογίζονται οι υπόλοιποι τριγωνομετρικοί αριθμοί της γωνίας 90 + ω.

mf( w)=TENIKA : 6uv( 3ft - w)= - nfew , 321 - - ruvw , 70 eq( 3¥ . w)=oqw , oG( Et - a) =eqw . ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3Ο: ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ ii) Επειδή 270 − ω = 180 + (90 − ω) , έχουμε: ηµ(270 − ω) = ηµ(180 + (90 − ω)) = −ηµ(90 − ω) = −συνω . Ομοίως υπολογίζονται οι υπόλοιποι τριγωνομετρικοί αριθμοί της γωνίας :270 −ω. iii) Επειδή 270 + ω = 360 − 90 + ω = 360 + (ω − 90 ), έχουμε: εϕ(270 + ω) = εϕ(ω − 90 ) = −εϕ(90 − ω) = −σϕω . ✓ Ομοίως υπολογίζονται οι υπόλοιποι τριγωνομετρικοί αριθμοί της γωνίας TENIKA : 270 + ω. mµ(3ft+w)= - ouvw rur(3Fttw)= - nµw , eq(3¥+w)=6qw , sq(3z±tw)=eqw . , ΑΣΚΗΣΕΙΣ Α΄ ΑΔΑΣ 1. α βρείτε τους τριγωνομετρικούς αριθμούς της γωνίας: i) 1200 ii) −2850 . 2. α βρείτε τους τριγωνομετρικούς αριθμούς της γωνίας i) 187π rad ii) 21π rad. 6 4 3. Σε κάθε τρίγωνο ΑΒΓ να αποδείξετε ότι: i) ηµΑ = ηµ(Β + Γ) ii) συνΑ + συν(Β + Γ) = 0 iii) ηµ Α = συν Β + Γ iv) συν Α = ηµ Β + Γ . 2 2 22 * 4. α απλοποιήσετε την παράσταση συν(−α) ⋅ συν(180 + α) . ηµ(−α) ⋅ ηµ(90 + α) εϕ(π − x) ⋅ συν(2π + x) ⋅ συν ⎛ 9π + x ⎞ ⎝⎜ 2 ⎠⎟ * 5. α αποδείξετε ότι: = −1. σϕ⎜⎛⎝ 21π ⎞ ηµ(13 π + x) ⋅ συν(−x) ⋅ 2 − x ⎟⎠ * 6. α δείξετε ότι έχει σταθερή τιμή η παράσταση: ηµ2 (π − x ) + συν(π − x)συν(2π − x ) + 2ηµ 2 ⎛ π − x ⎞⎟⎠. ⎝⎜ 2

3.3 ΑΝΑΓΩΓΗ ΣΤΟ 1Ο ΤΕΤΑΡΤΗΜΟΡΙΟ 71 Β΄ ΑΔΑΣ * 1. α υπολογίσετε την τιμή της παράστασης: ηµ495 ⋅ συν120 + συν495 ⋅ συν(−120 ) . εϕ(−120 ) + εϕ495 * 2. α αποδείξετε ότι: ηµ(5π + ω) ⋅ συν(7 π − ω) ⋅ ηµ ⎛ 5π − ω⎠⎟⎞ ⋅ συν ⎛ 7π + ω⎞⎠⎟ ⎜⎝ 2 ⎝⎜ 2 = ηµ2 ω −1 . ⎛ 5π − ω⎞⎠⎟ ⋅ σϕ⎛⎜⎝ 7π ω⎠⎟⎞ σϕ(5π + ω) ⋅ ηµ(7 π − ω) ⋅ συν ⎜⎝ 2 2 + 3. Αν εϕ⎜⎝⎛π3 − x ⎠⎞⎟+ εϕ⎜⎛⎝π6 + x ⎟⎠⎞= 5 , να υπολογίσετε την τιμή της παράστα- σης: ⎛π ⎟⎞⎠+ ⎛π ⎠⎞⎟. εϕ2 ⎝⎜ 3 − x εϕ2 ⎝⎜6 + x 4. α αποδείξετε ότι: 0 < εϕ(π + x) < 1 . εϕx + σϕ(π + x) ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ I) Σε καθεμιά από τις παρακάτω περιπτώσεις να κυκλώσετε το γράμμα Α, αν ο ισχυρισμός είναι αληθής και το γράμμα Ψ, αν ο ισχυρισμός είναι ψευδής. 1. Αν ημω = 1, τότε υποχρεωτικά θα είναι συνω = 0 . ΑΨ 2. Αν συνω = 0 , τότε υποχρεωτικά θα είναι ημω = 1. ΑΨ 3. Υπάρχει γωνία ω με ημω + συνω = 2 . ΑΨ 4. Για κάθε γωνία ω ισχύει ηµω = 1− συν2ω ΑΨ 5. ηµ2 20 + ηµ2 70 = 1 ΑΨ 6. Για κάθε x ∈ ισχύει ηµ(x − π) = −ηµx ΑΨ 7. Για κάθε x ∈ ισχύει ηµ2x = ηµx2 ΑΨ 8. Αν συν ⎜⎛⎝x − π ⎟⎞⎠+ ηµx = 0 , τότε ηµx = 0 ΑΨ 2 9. Για κάθε x ∈ ισχύει συν ⎛⎜⎝x − π ⎞⎟⎠− ηµ ⎛π + x ⎟⎞⎠= 0 Α Ψ 6 ⎜⎝ 3

72 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3Ο: ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ II. α αντιστοιχίσετε καθένα από τους τριγωνομετρικούς αριθμούς της Α΄ ομάδας με τον ίσο του από τη Β΄ ομάδα. Α´ ο ΑΔΑ Β´ ο ΑΔΑ 1 ηµ120 Α −3 2 συν150 3 ηµ210 Β −3 4 συν300 2 5 εϕ210 6 σϕ300 Γ − 3 7 εϕ300 3 8 σϕ210 Δ −1 2 Ε1 2 Ζ3 3 Η3 2 Θ3 III. Σε καθεμιά από τις παρακάτω περιπτώσεις να επιλέξετε τη σωστή απά- ντηση. 1. Αν ένα τρίγωνο ΑΒΓ είναι ορθογώνιο ( Α = 90 ) και όχι ισοσκελές, τότε: Α) ηµ2Β + ηµ2Γ = 1 , Β) ηµ2Β + συν2Γ = 1 , Γ) εφΒ=1. 2. Αν ένα τρίγωνο ΑΒΓ δεν είναι ορθογώνιο τότε: Α) συν(Β + Γ) = συνΑ , Β) ημ(Β + Γ) = ημΑ , Γ) εφ(Β + Γ) = εφΑ . 3. Αν ένα τρίγωνο ΑΒΓ δεν είναι ορθογώνιο τότε: Α) Β) συν ⎛Β + Γ ⎞⎠⎟= συν Α , Γ) εϕ ⎛Β + Γ ⎠⎟⎞= εϕ Α . ⎜⎝ 2 2 ⎝⎜ 2 2