Μαθηματικά Προσανατολισμού Β΄Λυκείου • ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 • Η ευθεία στο επίπεδο ΠΑΡΑΓΡΑΦΟΣ 3. Εµβαδόν τριγώνου γ. Αφού (ΒΓ) = 20 , είναι (ΒΓ)2 = 202 ⇔ (xΓ − xB)2 + (yΓ − yB)2 = 400 . Αφού το Μ(5, 3) είναι το μέσο του ΒΓ, ισχύουν ⎪⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎩⎪⎪⎪⎪ xM = xB + xΓ ⎪⎭⎪⎪⎪⎪⎬⎪⎪⎪⎫⎪⎪ ⇔ ⎪⎨⎪⎪⎩⎪⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪ 5= xB + xΓ ⎪⎫⎬⎪⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎪⎪ ⇔ ⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧ xB + xΓ = 10 ⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎪⎪⎭ ⇔ ⎨⎪⎪⎪⎧⎪⎪⎩⎪ xΓ = 10 − xB (1) ⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⎪ . yM = 2 3= 2 yB + yΓ = 6 yΓ = 6 − yΒ (2) yB + yΓ yB + yΓ 2 2 Λόγω των (1) και (2), είναι (10 − xB − xB)2 + (6 − yB − yB)2 = 400 ⇔ (10 − 2xB)2 + (6 − 2yB)2 = 400 ⇔ ⇔ ⎣⎡⎢−2(xB − 5)⎤⎥⎦2 + ⎢⎣⎡−2(yB − 3)⎦⎤⎥2 = 400 ⇔ 4 (xB − 5)2 + 4 (yB − 3)2 = 400 ⇔ ⇔ (xB − 5)2 + (yB − 3)2 = 100 (3) Το Β ανήκει στην ΒΓ, οπότε ισχύει 4xB − 3yB − 11 = 0 ⇔ 3yB = 4xB − 11 ⇔ yB = 4xB − 11 (4) 3 Είναι και yB − 3 = 4xB − 11 −3 = 4xB − 11 − 9 = 4xB − 20 = 4(xB − 5) , 3 3 3 3 οπότε από την (3) έχω (xB − 5)2 + ⎢⎢⎣⎢⎡ 4(xB − 5) ⎥⎤⎦⎥⎥2 = 100 . 3 Θέτοντας xB − 5 = α ∈ ! , έχω α2 + ⎜⎜⎜⎛⎝ 4α ⎟⎟⎞⎠⎟⎟2 = 100 ⇔ α2 + 16α2 = 100 ⇔ 9α2 + 16α2 = 9 ⋅ 100 ⇔ 25α2 = 9 ⋅ 100 ⇔ 3 9 ⇔ α2 = 9 ⋅ 4 ⇔ α2 = 36 ⇔ α = ± 36 ⇔ α = 6 ή α = −6 . Ι. Για α = 6 , είναι xB − 5 = 6 ⇔ xB = 11 και από την (4) έχω yB = 4 ⋅11 − 11 = 3 ⋅11 = 11 , 3 3 - 585 - Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηματικών • www.mathsteki.gr
Μαθηματικά Προσανατολισμού Β΄Λυκείου • ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 • Η ευθεία στο επίπεδο ΠΑΡΑΓΡΑΦΟΣ 3. Εµβαδόν τριγώνου οπότε είναι Β(11,11) . Από τις (1) και (2) έχω τότε ⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎪ xΓ = 10 − 11 = −1 ⎬⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎫ , οπότε είναι Γ(−1,− 5) . yΓ = 6 − 11 = −5 ΙΙ. Για α = −6 , είναι xB − 5 = −6 ⇔ xB = −1 και από την (4) έχω yB = 4 ⋅ (−1) − 11 = −15 = −5 , 3 3 οπότε είναι Β(−1,− 5) . Από τις (1) και (2) έχω τότε ⎪⎨⎩⎪⎪⎧⎪⎪⎪ xΓ = 10 + 1 = 11 ⎪⎪⎪⎭⎬⎪⎫⎪⎪ , οπότε είναι Γ(11 , 11) . yΓ = 6 + 5 = 11 Άσκηση 398 Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας που είναι παράλληλη στην ευθεία 3x − 4y + 3 = 0 και απέχει από το σημείο Α(1,− 2) απόσταση ίση με 3 μονάδες. Λύση Αν (ε1) είναι η ζητούμενη ευθεία και ε : 3x − 4y + 3 = 0 , τότε αφού είναι ε1 / / ε ισχύει λε1 = λε = −3 = 3 , συνεπώς είναι −4 4 ε1 : y = 3 x + β , β ∈ ! ⇔ ε1 : 4y = 3x + 4β ⇔ ε1 : 3x − 4y + 4β = 0 (1) 4 Ισχύει d(Α , ε1) = 3 , από όπου έχω 3 ⋅1 − 4 ⋅ (−2) + 4β 4β + 11 = 3 ⇔ 5 = 3 ⇔ 4β + 11 = 15 ⇔ 32 + (−4)2 ⇔ 4β + 11 = 15 ή 4β + 11 = −15 ⇔ 4β = 4 ή 4β = −26 . α) Για 4β = 4 , από την (1) έχω την ευθεία ε1 : 3x − 4y + 4 = 0 . β) Για 4β = −26 , από την (1) έχω την ευθεία ε1 : 3x − 4y − 26 = 0 . - 586 - Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηματικών • www.mathsteki.gr
Μαθηματικά Προσανατολισμού Β΄Λυκείου • ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 • Η ευθεία στο επίπεδο ΠΑΡΑΓΡΑΦΟΣ 3. Εµβαδόν τριγώνου Άσκηση 399 Πρόσεξέ την πάρα πολύ! Να βρείτε τις εξισώσεις των ευθειών που είναι κάθετες στην ευθεία δ : 3x − 2y + 5 = 0 και σχηματίζουν με τους άξονες τρίγωνο εμβαδού 3 τ.μ. Λύση Ας είναι (ε) η ζητούμενη ευθεία. Αφού είναι ε ⊥ δ , ισχύει λελδ = −1 ⇔ λε ⋅ −3 = −1 ⇔ λε = − 2 , −2 3 οπότε θα είναι ε:y=− 2 x + β , β ∈ ! ⇔ ε : 3y = −2x + 3β ⇔ 3 ⇔ ε : 2x + 3y − 3β = 0 (1) Αν η (ε) τέμνει τους άξονες x΄x και y΄y στα σημεία Α και Β αντίστοιχα (βλέπε σχήμα), τότε το σχηματιζόμενο τρίγωνο είναι το ΟΑΒ και ισχύει !!!\" !!!\" !!!\" !!!\" det ΟΑ , ΟΒ det ΟΑ , ΟΒ = 6 ( ) ( )(ΟΑΒ) = 3 ⇔ 1 ⋅ 2 =3⇔ (2) Θα ήταν καλύτερο να έγραφες έτσι το (ΟΑΒ): (ΟΑΒ) = 1 ⋅ (ΟΑ) ⋅ (ΟΒ) = 1 ⋅ xA ⋅ yB , 2 2 δηλαδή με τον τρόπο που είδες στις ασκήσεις της κατηγορίας 1. Δεν χρησιμοποίησα αυτόν τον τύπο, για να δείξω πώς θα λύσεις την άσκηση με τον τύπο του εμβαδού τριγώνου που είδες σε αυτήν την παράγραφο. Θέτω y = 0 στην (1) και έχω 2x − 3β = 0 ⇔ 2x = 3β ⇔ x = 3β = xA , 2 οπότε είναι Α⎛⎝⎜⎜⎜ 3β , 0⎞⎠⎟⎟⎟⎟ , άρα και !!!\" = ⎜⎜⎝⎛⎜ 3β , 0⎟⎠⎟⎟⎟⎞ . 2 ΟΑ 2 Θέτω x = 0 στην (1) και έχω 3y − 3β = 0 ⇔ 3 y = 3β ⇔ y = β = yB , - 587 - Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηματικών • www.mathsteki.gr
Μαθηματικά Προσανατολισμού Β΄Λυκείου • ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 • Η ευθεία στο επίπεδο ΠΑΡΑΓΡΑΦΟΣ 3. Εµβαδόν τριγώνου !!!\" οπότε είναι Β(0 , β) , άρα και ΟΒ = (0 , β) . Τότε είναι ( )!!!\" !!!\" 3β 0 = 3β ⋅β−0⋅0 = 3β2 β 2 2 det ΟΑ , ΟΒ = 2 0 και από την (2) έχω 3β2 =6⇔ 3 β2 =6⇔ β2 = 2 ⇔ β2 = 4 ⇔ β = ± 4 ⇔β=2 ή β = −2 . 2 2 2 α) Για β = 2 , από την (1) έχω την ευθεία ε : 2x + 3y − 3 ⋅ 2 = 0 ⇔ ε : 2x + 3y − 6 = 0 . β) Για β = −2 , από την (1) έχω την ευθεία ε : 2x + 3y − 3 ⋅ (−2) = 0 ⇔ ε : 2x + 3y + 6 = 0 . Άσκηση 400 Πρόσεξέ την πάρα πολύ! Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας που είναι κάθετη στην ευθεία δ : x + 2y − 1 = 0 και σχηματίζει με τους άξονες τρίγωνο με εμβαδόν 1 τ.μ. Λύση Ας είναι (ε) η ζητούμενη ευθεία. Αφού είναι ε ⊥ δ , ισχύει λελδ = −1 ⇔ λε ⋅ −1 = −1 ⇔ λε = 2 , 2 οπότε θα είναι ε : y = 2x + β , β ∈ ! ⇔ ε : 2x − y + β = 0 (1) Αν η (ε) τέμνει τους άξονες x΄x και y΄y στα σημεία Α και Β αντίστοιχα (βλέπε σχήμα), τότε το σχηματιζόμενο τρίγωνο είναι το ΟΑΒ και ισχύει !!!\" !!!\" !!!\" !!!\" ΟΑ , ΟΒ det ΟΑ , ΟΒ = 2 ( ) ( )(ΟΑΒ) = 1 ⇔1⋅ 2 det =1⇔ (2) Θα ήταν καλύτερο να έγραφες έτσι το (ΟΑΒ): - 588 - Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηματικών • www.mathsteki.gr
Μαθηματικά Προσανατολισμού Β΄Λυκείου • ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 • Η ευθεία στο επίπεδο ΠΑΡΑΓΡΑΦΟΣ 3. Εµβαδόν τριγώνου (ΟΑΒ) = 1 ⋅ (ΟΑ) ⋅ (ΟΒ) = 1 ⋅ xA ⋅ yB , 2 2 δηλαδή με τον τρόπο που είδες στις ασκήσεις της κατηγορίας 1. Δεν χρησιμοποίησα πάλι αυτόν τον τύπο, για να δείξω άλλη μια φορά πώς θα λύσεις την άσκηση με τον τύπο του εμβαδού τριγώνου που είδες σε αυτήν την παράγραφο. Θέτω y = 0 στην (1) και έχω 2x + β = 0 ⇔ 2x = −β ⇔ x = − β = xA , 2 οπότε είναι Α⎜⎜⎝⎛⎜− β , 0⎟⎟⎟⎠⎞⎟ , άρα και !!!\" = ⎜⎛⎜⎜⎝− β , 0⎠⎟⎟⎟⎟⎞ . 2 ΟΑ 2 Θέτω x = 0 στην (1) και έχω −y + β = 0 ⇔ y = β = yB , !!!\" οπότε είναι Β(0 , β) , άρα και ΟΒ = (0 , β) . Τότε είναι ( )!!!\" !!!\" − β 0 =− β ⋅β−0⋅0 =− β2 2 β 2 2 det ΟΑ , ΟΒ = 0 και από την (2) έχω − β2 =2⇔ β2 = 2 ⇔ β2 = 4 ⇔ β = ± 4 ⇔β=2 ή β = −2 . 2 2 α) Για β = 2 , από την (1) έχω την ευθεία ε : 2x − y + 2 = 0 . β) Για β = −2 , από την (1) έχω την ευθεία ε : 2x − y − 2 = 0 . - 589 - Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηματικών • www.mathsteki.gr
Η ΨΗΦΙΑΚΗ ΤΟΥ ΜΟΡΦΗ ΠΑΡΕΧΕΤΑΙ ΓΙΑ ΔΩΡΕΑΝ ΜΕΛΕΤΗ ΑΠΟΚΛΕΙΣΤΙΚΑ ΑΠΟ ΤΗΝ ΙΣΤΟΣΕΛΙΔΑ “ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟ ΣΤΕΚΙ” - www.mathsteki.gr
Search
