ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ Β ΛΥΚΕΙΟΥ - Ευθείες - Παράγραφος 4 (ασκήσεις Κ4)

Β’ ΛΥΚΕΙΟΥ - ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Η ευθεία στο επίπεδο Παράγραφος 4 Γεωμετρικοί τόποι στις ευθείες ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Κατηγορία 4 Νέα Μουδανιά • Αύγουστος 2020



ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 4η κατηγορία ασκήσεων Μαθηματικά Προσανατολισμού Β΄Λυκείου • ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 • Η ευθεία στο επίπεδο ΠΑΡΑΓΡΑΦΟΣ 4. Γεωµετρικοί τόποι στις ευθείες Γεωµετρικοί τόποι στις ευθείες Εισαγωγικό σχόλιο Να δώσεις περισσότερη βαρύτητα στις ασκήσεις όπου δίνεται σημείο με παραμετρικές συντεταγμένες και ζητείται να βρεθεί ο γεωμετρικός του τόπος. Αυτό, διότι είναι το πιο συνηθισμένο σενάριο και διότι θα το συναντήσεις σε ασκήσεις της Γ΄ Λυκείου. - 597 - Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηματικών • www.mathsteki.gr

Μαθηματικά Προσανατολισμού Β΄Λυκείου • ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 • Η ευθεία στο επίπεδο ΠΑΡΑΓΡΑΦΟΣ 4. Γεωµετρικοί τόποι στις ευθείες Άσκηση 401 ( )Τα σημεία M 2t − 1 , 5 − 6t , t ∈ ! , ανήκουν όλα σε μια ευθεία. Να βρείτε την εξίσωσή της. Λύση Θέτω ⎪⎧⎨⎪⎪⎩⎪ x = 2t − 1 ⎪⎪⎪⎫⎬⎭⎪ , από όπου θα απαλείψω την παράμετρο t. y = 5 − 6t Πρώτος τρόπος (προτεινόμενος) Ισχύουν ⎪⎪⎨⎧⎩⎪⎪ 3x = 6t − 3 ⎪⎭⎫⎬⎪⎪⎪ , από όπου με κατά μέλη πρόσθεση προκύπτει y = −6t + 5 3x + y = 2 ⇔ 3x + y − 2 = 0 , εξίσωση η οποία παριστάνει ευθεία, που είναι ο ζητούμενος γεωμετρικός τόπος. Δεύτερος τρόπος Από την εξίσωση x = 2t − 1 έχω 2t = x + 1 ⇔ t = x + 1 . 2 Αντικαθιστώντας στην εξίσωση y = 5 − 6t , έχω y = 5 − 6 ⋅ x + 1 ⇔ y = 5 − 3(x + 1) ⇔ y = 5 − 3x − 3 ⇔ 3x + y − 2 = 0 , 2 εξίσωση η οποία παριστάνει ευθεία, που είναι ο ζητούμενος γεωμετρικός τόπος. - 598 - Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηματικών • www.mathsteki.gr

Μαθηματικά Προσανατολισμού Β΄Λυκείου • ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 • Η ευθεία στο επίπεδο ΠΑΡΑΓΡΑΦΟΣ 4. Γεωµετρικοί τόποι στις ευθείες Άσκηση 402 Δίνονται τα σημεία Α(2 , 0) , Β(−1,1) , Γ(3 ,− 1) . Να βρείτε τον γεωμετρικό τόπο των σημείων M(x , y) , για τα οποία ισχύει 3(ΜΑ)2 + (ΜΒ)2 − 4(ΜΓ)2 = 2 . Λύση Είναι: • (ΜΑ)2 = (xΑ − xΜ)2 + (yΑ − yΜ)2 = (2 − x)2 + (0 − y)2 = 4 + x2 − 4x + y2 = = x2 + y2 − 4x + 4 . • (ΜΒ)2 = (xΒ − xΜ)2 + (yΒ − yΜ)2 = (−1 − x)2 + (1 − y)2 = 1 + x2 + 2x + 1 + y2 − 2y = = x2 + y2 + 2x − 2y + 2 . • (ΜΓ)2 = (xΓ − xΜ)2 + (yΓ − yΜ)2 = (3 − x)2 + (−1 − y)2 = = 9 + x2 − 6x + 1 + y2 + 2y = x2 + y2 − 6x + 2y + 10 . Έτσι, από την σχέση της εκφώνησης προκύπτει 3(x2 + y2 − 4x + 4) + x2 + y2 + 2x − 2y + 2 − 4(x2 + y2 − 6x + 2y + 10) = 2 ⇔ ⇔ 3x2 + 3y2 − 12x + 12 + x2 + y2 + 2x − 2y − 4x2 − 4y2 + 24x − 8y − 40 − 2 = 0 ⇔ ⇔ 14x − 10y − 30 = 0 ⇔ 7x − 5y − 15 = 0 , εξίσωση η οποία παριστάνει ευθεία, που είναι ο ζητούμενος γεωμετρικός τόπος. - 599 - Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηματικών • www.mathsteki.gr

Μαθηματικά Προσανατολισμού Β΄Λυκείου • ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 • Η ευθεία στο επίπεδο ΠΑΡΑΓΡΑΦΟΣ 4. Γεωµετρικοί τόποι στις ευθείες Άσκηση 403 Να δείξετε ότι ο γεωμετρικός τόπος των σημείων M(x , y) του επιπέδου, για τα οποία ισχύει (ΜΑ)2 − (ΜΒ)2 = 12 , όπου Α(4 , 0) , Β(0 , 2) , είναι ευθεία που διέρχεται από την αρχή των αξόνων και είναι κάθετη στην ΑΒ. Λύση Είναι: • (ΜΑ)2 = (xΑ − xΜ)2 + (yΑ − yΜ)2 = (4 − x)2 + (0 − y)2 = 16 + x2 − 8x + y2 = = x2 + y2 − 8x + 16 . • (ΜΒ)2 = (xΒ − xΜ)2 + (yΒ − yΜ)2 = (0 − x)2 + (2 − y)2 = x2 + 4 + y2 − 4y = = x2 + y2 − 4y + 4 . Έτσι, από την σχέση της εκφώνησης προκύπτει x2 + y2 − 8x + 16 − (x2 + y2 − 4y + 4) = 12 ⇔ ⇔ x2 + y2 − 8x + 16 − x2 − y2 + 4y − 4 − 12 = 0 ⇔ −8x + 4y = 0 ⇔ ⇔ 2x − y = 0 , εξίσωση η οποία παριστάνει ευθεία διερχόμενη από την αρχή των αξόνων, που είναι ο ζητούμενος γεωμετρικός τόπος. Η κλίση αυτής της ευθείας είναι −2 = 2 , ενώ της ΑΒ είναι −1 λΑΒ = yΒ − yΑ = 2−0 = 2 =− 1 . xΒ − xΑ 0−4 −4 2 Ισχύει 2 ⋅ −1 = −1 , οπότε η παραπάνω ευθεία είναι κάθετη στην ΑΒ. 2 - 600 - Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηματικών • www.mathsteki.gr

Μαθηματικά Προσανατολισμού Β΄Λυκείου • ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 • Η ευθεία στο επίπεδο ΠΑΡΑΓΡΑΦΟΣ 4. Γεωµετρικοί τόποι στις ευθείες Άσκηση 404 Να βρείτε τον γεωμετρικό τόπο των σημείων Α(2κ − 3 , 3κ + 1) , κ ∈ ! . Λύση Θέτω ⎩⎪⎨⎧⎪⎪⎪ x = 2κ − 3 ⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫ , από όπου έχω ⎨⎪⎧⎪⎪⎩⎪ 3x = 6κ − 9 ⎬⎭⎪⎪⎪⎪⎫ . y = 3κ + 1 −2y = −6κ − 2 Με κατά μέλη πρόσθεση, προκύπτει 3x − 2y = −11 ⇔ 3x − 2y + 11 = 0 , εξίσωση η οποία παριστάνει ευθεία, που είναι ο ζητούμενος γεωμετρικός τόπος. Άσκηση 405 Δίνονται τα σημεία Α(5, 6) , Β(−2 ,1) . Να βρείτε τον γεωμετρικό τόπο των σημείων Μ !!!\" !!!\" !!!\" του επιπέδου, για τα οποία ισχύει ΟΜ = 2ΟΑ + λΟΒ , λ ∈ # . Λύση Αν είναι M(x , y) , τότε είναι !!!\" !!!\" !!!\" ΟΜ = (x , y) , ΟΑ = (5, 6) , ΟΒ = (−2 ,1) και από την σχέση της εκφώνησης προκύπτει (x , y) = 2 ⋅ (5 , 6) + λ ⋅ (−2 ,1) ⇔ (x , y) = (10 ,12) + (−2λ , λ) ⇔ ⇔ (x , y) = (10 − 2λ , 12 + λ) , οπότε ισχύουν ⎪⎧⎨⎪⎪⎩⎪ x = 10 − 2λ ⎬⎪⎪⎫⎭⎪⎪ ⇔ ⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎩ x = 10 − 2λ ⎪⎪⎪⎭⎬⎪⎫ . y = 12 + λ 2y = 24 + 2λ Με κατά μέλη πρόσθεση, προκύπτει x + 2y = 34 ⇔ x + 2y − 34 = 0 , εξίσωση η οποία παριστάνει ευθεία, που είναι ο ζητούμενος γεωμετρικός τόπος. - 601 - Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηματικών • www.mathsteki.gr

Μαθηματικά Προσανατολισμού Β΄Λυκείου • ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 • Η ευθεία στο επίπεδο ΠΑΡΑΓΡΑΦΟΣ 4. Γεωµετρικοί τόποι στις ευθείες Άσκηση 406 Να βρείτε τον γεωμετρικό τόπο του βαρύκεντρου του τριγώνου ΑΒΓ, όταν είναι Α(3 − λ , λ) , Β(2λ , 4 + 3λ) , Γ(λ + 2 , 1 − λ) , λ ∈ ! . Λύση Αν ονομάσω Δ το βαρύκεντρο του ΑΒΓ, τότε αυτό έχει συντεταγμένες Δ⎛⎜⎜⎜⎜⎝ xΑ + xΒ + xΓ , yΑ + yΒ + yΓ ⎟⎟⎞⎠⎟⎟⎟ ≡ Δ⎜⎜⎜⎝⎛3 − λ + 2λ + λ + 2 , λ + 4 + 3λ + 1 − λ ⎟⎟⎟⎟⎠⎞ ≡ 3 3 3 3 ≡ Δ⎜⎜⎝⎜⎛2λ3+ 5 , 3λ + 5⎞⎠⎟⎟⎟⎟ . 3 Θέτω ⎨⎪⎪⎪⎧⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪ x = 2λ + 5 ⎪⎬⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎫⎪⎭ , από όπου έχω 3 y = 3λ + 5 3 ⎧⎪⎪⎪⎪⎩⎨ 3x = 2λ + 5 ⎪⎪⎬⎫⎭⎪⎪ ⇔ ⎪⎪⎧⎪⎨⎩⎪ 9x = 6λ + 15 ⎬⎫⎪⎪⎪⎭⎪ . 3y = 3λ + 5 −6y = −6λ − 10 Με κατά μέλη πρόσθεση, προκύπτει 9x − 6y = 5 ⇔ 9x − 6y − 5 = 0 , εξίσωση η οποία παριστάνει ευθεία, που είναι ο ζητούμενος γεωμετρικός τόπος. - 602 - Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηματικών • www.mathsteki.gr

Μαθηματικά Προσανατολισμού Β΄Λυκείου • ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 • Η ευθεία στο επίπεδο ΠΑΡΑΓΡΑΦΟΣ 4. Γεωµετρικοί τόποι στις ευθείες Άσκηση 407 Τρίγωνο ΑΒΓ έχει εμβαδόν 10 τετραγωνικές μονάδες και κορυφές Α, Β τα σημεία (3 ,− 1) , (−2 , 4) αντίστοιχα. Να βρείτε τον γεωμετρικό τόπο του Γ. Λύση Ισχύει !!!\" !!!\" !!!\" !!!\" ΑΒ , ΑΓ det ΑΒ , ΑΓ = 20 ( ) ( )(ΑΒΓ) = 10 ⇔ 1 2 ⋅ det = 10 ⇔ (1) • !!!\" = (xΒ − xΑ , yΒ − yΑ) = (−2 − 3 , 4 + 1) = (−5,5) . ΑΒ !!!\" ( ) ( )• ΑΓ = xΓ − xΑ , yΓ − yΑ = xΓ − 3 , yΓ + 1 . ( )!!!\" !!!\" −5 5 = −5(yΓ + 1) − 5(xΓ − 3) = −5(yΓ + 1 + xΓ − 3) = xΓ − 3 yΓ + 1 • det ΑΒ , ΑΓ = = −5(xΓ + yΓ − 2) . Τότε, από την (1) έχω ότι ισχύει −5(xΓ + yΓ − 2) = 20 ⇔ 5 xΓ + yΓ − 2 = 20 ⇔ xΓ + yΓ − 2 = 4 ⇔ ⇔ xΓ + yΓ − 2 = 4 ή xΓ + yΓ − 2 = −4 ⇔ xΓ + yΓ − 6 = 0 ή xΓ + yΓ + 2 = 0 . Από τις τελευταίες σχέσεις προκύπτει ότι οι συντεταγμένες του Γ επαληθεύουν την εξίσωση της ευθείας x + y − 6 = 0 ή της ευθείας x + y + 2 = 0 , συνεπώς ο ζητούμενος γεωμετρικός τόπος είναι η ευθεία x + y − 6 = 0 ή η ευθεία x + y + 2 = 0 . - 603 - Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηματικών • www.mathsteki.gr

Μαθηματικά Προσανατολισμού Β΄Λυκείου • ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 • Η ευθεία στο επίπεδο ΠΑΡΑΓΡΑΦΟΣ 4. Γεωµετρικοί τόποι στις ευθείες Άσκηση 408 Πρόσεξέ την πάρα πολύ! Θεωρούμε την ευθεία ε : 2x + 5y = 10 . Αν Α, Β είναι οι προβολές τυχαίου σημείου Μ της (ε) πάνω στους άξονες x΄x και y΄y αντίστοιχα και Ν είναι το μέσο του ΑΒ, να δεί- ξετε ότι το Ν διαγράφει μια ευθεία, όταν το Μ διαγράφει την (ε). Λύση Αφού το Μ είναι σημείο της (ε), θέτω x = xM , y = yM στην εξίσωση της (ε) και έχω ότι 2xΜ + 5yΜ = 10 ⇔ 5yΜ = 10 − 2xΜ ⇔ ⇔ yM = 10 − 2xM (1) 5 Αφού τα Α, Β είναι οι προβολές του Μ πάνω στους x΄x, y΄y αντίστοιχα, είναι Α(xM , 0) και B(0 , yM) . Τότε είναι ⎜⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝ ⎟⎟⎟⎟⎠⎟⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟ ≡ Ν⎛⎜⎝⎜⎜⎜ xΑ + xΒ , yΑ + yΒ ⎠⎟⎟⎞⎟⎟⎟ ≡ Ν ⎝⎜⎜⎜⎜⎛ xΜ + 0 , 0 + yΜ ⎠⎟⎟⎟⎟⎟⎞ ≡ Ν⎛⎝⎜⎜⎜⎜ xΜ , yΜ ⎟⎟⎠⎞⎟⎟⎟ (1) Ν xΜ , 10 − 2xΜ 2 2 2 2 2 2 2 5 ≡ 2 ≡ Ν⎜⎜⎜⎜⎝⎜⎛ xΜ , 2 (5 − xΜ ) ⎟⎠⎟⎟⎟⎞⎟ ≡ Ν⎜⎜⎜⎛⎝⎜ xΜ , 5 −x Μ ⎟⎟⎟⎟⎞⎠⎟ . 2 5 ⋅2 2 5 Θέτω ⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎧⎨⎪⎪⎪⎪ x = xΜ ⎪⎭⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎫⎬⎪ και θα απαλείψω το xM . 2 y = 5 − xΜ 5 Είναι ⎪⎨⎪⎩⎪⎪⎧⎪⎪ 2x = xM ⎪⎪⎪⎫⎭⎪⎪⎪⎬ , από όπου με κατά μέλη πρόσθεση προκύπτει 5y = 5 − xM 2x + 5y = 5 ⇔ 2x + 5y − 5 = 0 , εξίσωση η οποία παριστάνει ευθεία, που είναι ο ζητούμενος γεωμετρικός τόπος. - 604 - Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηματικών • www.mathsteki.gr

Μαθηματικά Προσανατολισμού Β΄Λυκείου • ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 • Η ευθεία στο επίπεδο ΠΑΡΑΓΡΑΦΟΣ 4. Γεωµετρικοί τόποι στις ευθείες Άσκηση 409 Πρόσεξέ την πάρα πολύ! Να δείξετε ότι, όταν το λ μεταβάλλεται στο ! , τότε τα σημεία με συντεταγμένες της μορφής ⎜⎝⎛⎜⎜11 − λ , λ + 51 ⎞⎟⎟⎠⎟⎟ κινούνται σε ευθεία, της οποίας να βρείτε την εξίσωση. + λ λ + Λύση Πάλι εδώ έχουμε σημείο με παραμετρικές συντεταγμένες και ο σκοπός είναι ο ίδιος, μόνο που οι αλγεβρικές πράξεις είναι πιο στριφνές. Είναι 1 + λ ≠ 0 ⇔ λ ≠ −1 , διότι αλλιώς δεν θα ορίζονταν τα σημεία. Θέτω x = 1−λ , y = λ + 5 . 1+ λ λ + 1 Από την πρώτη εξίσωση προκύπτει (1 + λ)x = 1 − λ ⇔ x + λx = 1 − λ ⇔ λx + λ = 1 − x ⇔ λ(x + 1) = 1 − x (1) Αν ήταν x + 1 = 0 ⇔ x = −1 , τότε θα είχα ότι λ ⋅ 0 = 1 − (−1) ⇔ λ ⋅ 0 = 2 , άτοπο. Άρα είναι x + 1 ≠ 0 ⇔ x ≠ −1 , οπότε από την (1) προκύπτει λ= 1−x , σχέση που 1+ x λ+5 αντικαθιστώ στην εξίσωση y = λ+1 και έχω 1−x +5 1 − x + 5(1 + x) 1+ x y= ⇔y= 1+ x ⇔ y = 1−x + 5 + 5x ⇔ 2y = 4x + 6 ⇔ 1−x+1+ x 2 1−x +1 1+ x 1+ x ⇔ 4x − 2y + 6 = 0 ⇔ 2x − y + 3 = 0 , εξίσωση η οποία παριστάνει ευθεία. Για x = −1 , από την ευθεία προκύπτει 2 ⋅ (−1) − y + 3 = 0 ⇔ y = 1 , άρα το σημείο Α(−1,1) . Όμως αφού είναι x ≠ −1 , είναι και y ≠ 1 , οπότε από την παραπάνω ευθεία εξαιρείται το σημείο της Α(−1,1) . - 605 - Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηματικών • www.mathsteki.gr

Μαθηματικά Προσανατολισμού Β΄Λυκείου • ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 • Η ευθεία στο επίπεδο ΠΑΡΑΓΡΑΦΟΣ 4. Γεωµετρικοί τόποι στις ευθείες Τελικά, ο ζητούμενος γεωμετρικός τόπος είναι η ευθεία 2x − y + 3 = 0 , με εξαίρεση το σημείο της Α(−1,1) . Αυτό ήταν και το πιο λεπτό σημείο της λύσης! Άσκηση 410 Δίνονται οι ευθείες ε1 : y = λx + λ + 2 , ε2 : y = x + 4 . α. Να δείξετε ότι τέμνονται, όταν είναι λ ≠ 1 . β. Να δείξετε ότι το σημείο τομής τους κινείται σε σταθερή ευθεία, της οποίας να βρείτε την εξίσωση. Λύση α. Αρκεί να δείξω ότι το σύστημα των εξισώσεών τους έχει μοναδική λύση, όταν είναι λ ≠1. Είναι ⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎪ ⎪⎪⎬⎪⎪⎭⎪⎪⎫ ⇔ ⎪⎨⎩⎪⎪⎧⎪⎪ ε1 : y = λx + λ + 2 λx − y = −λ − 2 ⎭⎪⎪⎫⎪⎬⎪⎪ . ε2 : y = x + 4 x − y = −4 Η ορίζουσα του συστήματος είναι D= λ −1 = λ ⋅ (−1) − 1 ⋅ (−1) = 1 − λ . 1 −1 Το σύστημα έχει μοναδική λύση, αν και μόνο αν D ≠ 0 ⇔ 1−λ ≠ 0 ⇔ λ ≠ 1 . β. Είναι: • Dx = −λ − 2 −1 = −(−λ − 2) − (−4) ⋅ (−1) = λ + 2 − 4 = λ − 2 −4 −1 • Dy = λ −λ − 2 = −4λ − (−λ − 2) = −4λ + λ + 2 = 2 − 3λ . 1 −4 Άρα η μοναδική λύση του παραπάνω συστήματος, που δίνει και τις συντεταγμένες του σημείου τομής των ευθειών, είναι - 606 - Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηματικών • www.mathsteki.gr

Μαθηματικά Προσανατολισμού Β΄Λυκείου • ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 • Η ευθεία στο επίπεδο ΠΑΡΑΓΡΑΦΟΣ 4. Γεωµετρικοί τόποι στις ευθείες x = Dx = λ−2 , y = Dy = 2 − 3λ , D 1−λ D 1−λ δηλαδή το σημείο τομής έχει συντεταγμένες ⎜⎜⎜⎛⎝ λ−2 , 2 − 3λ ⎟⎟⎞⎟⎟⎠ , με λ ≠1. 1−λ 1−λ Θέτοντας x = λ−2 , y= 2 − 3λ , από την πρώτη σχέση έχω 1−λ 1−λ (1 − λ)x = λ − 2 ⇔ x − λx = λ − 2 ⇔ λx + λ = x + 2 ⇔ λ(x + 1) = x + 2 . Αν ήταν x + 1 = 0 ⇔ x = −1 , θα είχα ότι λ ⋅ 0 = −1 + 2 ⇔ λ ⋅ 0 = 1 , άτοπο. Άρα είναι x + 1 ≠ 0 ⇔ x ≠ −1 , οπότε έχω λ = x+2 , σχέση που αντικαθιστώ στην x+1 y= 2 − 3λ και έχω 1−λ y= 2−3⋅ x+2 ⇔y= 2(x + 1) − 3(x + 2) ⇔y= 2x + 2 − 3x − 6 ⇔ x+1 x+1 −1 x+2 1− x+1 x +1− x −2 x+1 ⇔ −y = −x − 4 ⇔ x + y + 4 = 0 , εξίσωση η οποία παριστάνει ευθεία. Για x = −1 , από την ευθεία προκύπτει −1 + y + 4 = 0 ⇔ y = −3 , δηλαδή το σημείο Α(−1,− 3) . Όμως αφού είναι x ≠ −1 , είναι και y ≠ −3 , οπότε από την παραπάνω ευθεία εξαιρεί- ται το σημείο της Α(−1,− 3) . Τελικά, ο ζητούμενος γεωμετρικός τόπος είναι η ευθεία x + y + 4 = 0 , με εξαίρεση το σημείο της Α(−1,− 3) . Αυτό ήταν και το πιο λεπτό σημείο της λύσης! - 607 - Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηματικών • www.mathsteki.gr

Η ΨΗΦΙΑΚΗ ΤΟΥ ΜΟΡΦΗ ΠΑΡΕΧΕΤΑΙ ΓΙΑ ΔΩΡΕΑΝ ΜΕΛΕΤΗ ΑΠΟΚΛΕΙΣΤΙΚΑ ΑΠΟ ΤΗΝ ΙΣΤΟΣΕΛΙΔΑ “ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟ ΣΤΕΚΙ” - www.mathsteki.gr