Γ Λυκείου - Όρια - Περιεχόμενα του βιβλίου

∆ημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος Καθηγητής Μαθηματικών Mαθηματικά Γ’ Λυκείου Ό,τι χρειάζεσαι στα ΟΡΙΑ Περιεχόμενα βιβλίου θεωρίας - μεθοδολογίας Νέα Μουδανιά • Αύγουστος 2021

Μαθηματικά Γ΄ Λυκείου • Όριο - συνέχεια συνάρτησης Περιεχόμενα ~ Περιεχόμενα ~ Ενότητα 1 Συναρτήσεις Παράγραφος 1 Θεμελιώδεις έννοιες των συναρτήσεων Ορισμός Τι ονομάζουμε συνάρτηση Ορισμός Τι ονομάζουμε σύνολο τιμών μιας συνάρτησης Συντομογραφία συνάρτησης ▶︎ Παρατηρήσεις - συμπληρώσεις στον ορισμό της συνάρτησης 1. Όταν μια συνάρτηση δίνεται υπό την μορφή f : Α → Β 2. Όταν μια συνάρτηση δίνεται μέσω του τύπου της 3. Γράμματα που χρησιμοποιούμε σε μια συνάρτηση 4. Αν είναι α = β , τότε είναι και f(α) = f(β) - όχι αντιστρόφως 5. Αν είναι f(α) = f(β) , τότε είναι και f( f(α) )= f( f(β) ) 6. Πώς ορίζεται η δύναμη μιας συνάρτησης ∆ημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος • Μαθηματικό στέκι • www.mathsteki.gr

Μαθηματικά Γ΄ Λυκείου • Όριο - συνέχεια συνάρτησης Περιεχόμενα ▶︎ Μεθοδολογία για τις ασκήσεις Πώς θα βρεις το πεδίο ορισμού μιας συνάρτησης, όταν δίνεται ο τύπος της 1η περίπτωση Αν ο τύπος της συνάρτησης έχει κλάσμα 2η περίπτωση Αν ο τύπος της συνάρτησης έχει τετραγωνική ρίζα Αν ο τύπος έχει ρίζα άλλης τάξης Αν η ρίζα είναι μόνη της σε παρονομαστή 3η περίπτωση Αν ο τύπος της συνάρτησης έχει νεπέριο λογάριθμο (ℓn ) Αν ο τύπος έχει δεκαδικό λογάριθμο 4η περίπτωση Αν ο τύπος της συνάρτησης έχει την μορφή [f(x)]g(x) 5η περίπτωση µ Αν ο τύπος της συνάρτησης έχει την μορφή [f(x)] ν , µ,ν ∈ !∗ 6η περίπτωση Αν ο τύπος της συνάρτησης έχει την μορφή [ f ( x )]− µ , µ,ν∈ !∗ ν ▶︎ Παρατηρήσεις - συμπληρώσεις στο πεδίο ορισμού 1. Συνδυασμοί περιορισμών 2. Απλοποίηση του τύπου της συνάρτησης 3. Πεδίο ορισμού και τιμές της συνάρτησης «Σύνθετα f» (f(x +1) , f(3x) κ.λπ ) ∆ημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος • Μαθηματικό στέκι • www.mathsteki.gr

Μαθηματικά Γ΄ Λυκείου • Όριο - συνέχεια συνάρτησης Περιεχόμενα 4. Εξισώσεις και ανισώσεις οι οποίες έχουν f(x) ή «σύνθετα f» 1η περίπτωση Στην εξίσωση/ανίσωση υπάρχει η f(x) 2η περίπτωση Στην εξίσωση/ανίσωση υπάρχει (και) πιο «σύνθετη» μορφή της f 5. Ρίζες μιας συνάρτησης - Η εξίσωση f(x) = 0 Πώς θα βρεις τις ρίζες της f Πώς θα εξετάσεις αν κάποιος αριθμός είναι ρίζα της f Πώς θα δείξεις ότι κάποιος αριθμός είναι ρίζα της f Τι να κάνεις, όταν ξέρεις ότι κάποιος αριθμός είναι ρίζα της f ▶︎ Μεθοδολογία για τις ασκήσεις Πώς θα βρεις το σύνολο τιμών μιας συνάρτησης ▶︎ Συναρτήσεις διπλού τύπου 1ο θέμα Πώς θα βρεις το πεδίο ορισμού μιας συνάρτησης διπλού τύπου 2ο θέμα Πώς θα βρεις τιμή μιας συνάρτησης διπλού τύπου Ποιες μορφές δεν είναι συναρτήσεις διπλού τύπου 3ο θέμα Πώς θα βρεις το σύνολο τιμών μιας συνάρτησης διπλού τύπου 4ο θέμα Πώς θα λύσεις εξίσωση/ανίσωση με συνάρτηση διπλού τύπου ∆ημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος • Μαθηματικό στέκι • www.mathsteki.gr

Μαθηματικά Γ΄ Λυκείου • Όριο - συνέχεια συνάρτησης Περιεχόμενα ▶︎ Όταν δεν δίνεται ο τύπος της f Συναρτησιακές σχέσεις 1η ομάδα Συναρτησιακές σχέσεις με μία μεταβλητή 1ο σταθερό δικαίωμα Μπορείς να θέσεις στο x όποιον αριθμό θέλεις 2ο σταθερό δικαίωμα Μπορείς να θέσεις στο x κάποια άλλη παράσταση του x Πώς θα βρεις τον τύπο μιας συνάρτησης μέσω μιας συναρτησιακής σχέσης με μία μεταβλητή 2η ομάδα Συναρτησιακές σχέσεις με δύο μεταβλητές ▶︎ Προτεινόμενες ασκήσεις Κατηγορία 1 Θεμελιώδεις έννοιες των συναρτήσεων 1η ομάδα Πεδίο ορισμού συνάρτησης 2η ομάδα Σύνολο τιμών συνάρτησης 3η ομάδα Συναρτησιακές σχέσεις 4η ομάδα Προβλήματα - Συνδυαστικές ασκήσεις ∆ημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος • Μαθηματικό στέκι • www.mathsteki.gr

Μαθηματικά Γ΄ Λυκείου • Όριο - συνέχεια συνάρτησης Περιεχόμενα Παράγραφος 2 Γραφική παράσταση συνάρτησης Ορισμός Τι ονομάζουμε γραφική παράσταση συνάρτησης Θεωρία Πώς θα βρεις το πεδίο ορισμού και το σύνολο τιμών μιας συνάρτησης, μέσω της γραφικής της παράστασης Πρόταση Η γραφική παράσταση της συνάρτησης −f Πρόταση Η γραφική παράσταση της συνάρτησης f ▶︎ Παρατηρήσεις - συμπληρώσεις στις γραφικές παραστάσεις 1. Μετατοπίσεις γραφικών παραστάσεων (κατακόρυφες και οριζόντιες) α) Η γραφική παράσταση της συνάρτησης f(x)+c β) Η γραφική παράσταση της συνάρτησης f(x)−c γ) Η γραφική παράσταση της συνάρτησης f(x +c) δ) Η γραφική παράσταση της συνάρτησης f(x−c) 2. Συμμετρίες γραφικών παραστάσεων ως προς τους άξονες x΄x και y΄y α) Η γραφική παράσταση της συνάρτησης −f(x) β) Η γραφική παράσταση της συνάρτησης f(−x) ▶︎ Μερικές βασικές συναρτήσεις Οι γραφικές παραστάσεις των βασικών συναρτήσεων 1. Η πολυωνυμική συνάρτηση f(x) = α x +β (α ,β ∈ !) Η σταθερή συνάρτηση f(x) = β (β ∈ !) Η μηδενική συνάρτηση f(x) = 0 Η γραφική παράσταση της συνάρτησης f(x) = | x | ∆ημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος • Μαθηματικό στέκι • www.mathsteki.gr

Μαθηματικά Γ΄ Λυκείου • Όριο - συνέχεια συνάρτησης Περιεχόμενα 2. Η πολυωνυμική συνάρτηση f(x) = α x2 (α ≠ 0) 3. Η πολυωνυμική συνάρτηση f(x) = α x2 +βx + γ (α ,β ≠ 0 , γ ∈ !) 4. Η πολυωνυμική συνάρτηση f(x) = α x3 (α ≠ 0) 5. Η ρητή συνάρτηση f(x) = α (α ≠ 0) x 6. Οι συναρτήσεις f(x) = x και g(x) = | x | 7. Η τριγωνομετρική συνάρτηση f(x) = ηµx 8. Η τριγωνομετρική συνάρτηση f(x) = συνx 9. Η τριγωνομετρική συνάρτηση f(x) = εϕx 10. Η τριγωνομετρική συνάρτηση f(x) = σϕx 11. Η εκθετική συνάρτηση f(x) = αx (α >0 , α ≠1) Η εκθετική συνάρτηση f(x) = ex Η εκθετική συνάρτηση f(x) = e−x 12. Η λογαριθμική συνάρτηση f(x) = ℓog α x (α >0 , α ≠1) Η λογαριθμική συνάρτηση f(x) = ℓnx ▶︎ Μεθοδολογία για τις ασκήσεις Γραφική παράσταση συνάρτησης 1. Σημείο μίας γραφικής παράστασης 1ο θέμα - «Βρες» Πώς θα βρεις τις συντεταγμένες ενός σημείου της Cf α) Αν γνωρίζεις την τετμημένη του σημείου β) Αν γνωρίζεις την τεταγμένη του σημείου ∆ημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος • Μαθηματικό στέκι • www.mathsteki.gr

Μαθηματικά Γ΄ Λυκείου • Όριο - συνέχεια συνάρτησης Περιεχόμενα 2ο θέμα - «Εξέτασε» Πώς θα εξετάσεις αν ένα σημείο ανήκει ή όχι στην Cf . Ισοδύναμα, πώς θα εξετάσεις αν η Cf διέρχεται ή όχι από ένα σημείο 3ο θέμα - «∆είξε» Πώς θα δείξεις ότι ένα σημείο ανήκει στην Cf . Ισοδύναμα, πώς θα δείξεις ότι η Cf διέρχεται από ένα σημείο 4ο θέμα - «Ξέρεις» Τι να κάνεις, όταν ξέρεις ότι ένα σημείο ανήκει στην Cf . Ισοδύναμα, τι να κάνεις όταν ξέρεις ότι η Cf διέρχεται από ένα σημείο 2. Κοινά σημεία μίας γραφικής παράστασης με τον άξονα x΄x 1ο θέμα - «Βρες» Πώς θα βρεις τα κοινά σημεία της Cf με τον άξονα x΄x 2ο θέμα - «Εξέτασε» Πώς θα εξετάσεις αν ένα σημείο είναι κοινό σημείο της Cf με τον άξονα x΄x 3ο θέμα - «∆είξε» Πώς θα δείξεις ότι ένα σημείο είναι κοινό σημείο της Cf με τον άξονα x΄x 4ο θέμα - «Ξέρεις» Τι να κάνεις, όταν ξέρεις ότι ένα σημείο είναι κοινό σημείο της Cf με τον άξονα x΄x ∆ημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος • Μαθηματικό στέκι • www.mathsteki.gr

Μαθηματικά Γ΄ Λυκείου • Όριο - συνέχεια συνάρτησης Περιεχόμενα 3. Σημείο τομής μίας γραφικής παράστασης με τον άξονα y΄y 1ο θέμα - «Βρες» Πώς θα βρεις το σημείο τομής της Cf με τον άξονα y΄y 2ο θέμα - «Εξέτασε» Πώς θα εξετάσεις αν ένα σημείο είναι το σημείο τομής της Cf με τον άξονα y΄y 3ο θέμα - «∆είξε» Πώς θα δείξεις ότι ένα σημείο είναι το σημείο τομής της Cf με τον άξονα y΄y 4ο θέμα - «Ξέρεις» Τι να κάνεις, όταν ξέρεις ότι ένα σημείο είναι το σημείο τομής της Cf με τον άξονα y΄y 4. Μία γραφική παράσταση πάνω ή κάτω από τον άξονα x΄x 1ο θέμα - «Βρες» Πώς θα βρεις τα διαστήματα στα οποία η Cf είναι: α) πάνω από τον άξονα x΄x β) κάτω από τον άξονα x΄x 2ο θέμα - «∆είξε» Πώς θα δείξεις ότι η Cf είναι σε κάποιο διάστημα: α) πάνω από τον άξονα x΄x β) κάτω από τον άξονα x΄x 3ο θέμα - «Ξέρεις» Τι να κάνεις, όταν ξέρεις ότι η Cf είναι σε κάποιο διάστημα: α) πάνω από τον άξονα x΄x β) κάτω από τον άξονα x΄x ∆ημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος • Μαθηματικό στέκι • www.mathsteki.gr

Μαθηματικά Γ΄ Λυκείου • Όριο - συνέχεια συνάρτησης Περιεχόμενα 4ο θέμα Πώς θα βρεις την σχετική θέση της Cf ως προς τον άξονα x΄x 5. Κοινά σημεία δύο γραφικών παραστάσεων 1ο θέμα - «Βρες» Πώς θα βρεις τα κοινά σημεία των Cf και Cg 2ο θέμα - «Εξέτασε» Πώς θα εξετάσεις αν ένα σημείο είναι κοινό σημείο των Cf και Cg 3ο θέμα - «∆είξε» Πώς θα δείξεις ότι ένα σημείο είναι κοινό σημείο των Cf και Cg α) Αν γνωρίζεις τις συντεταγμένες του σημείου β) Αν γνωρίζεις την τετμημένη του σημείου Πώς θα δείξεις ότι οι Cf και Cg έχουν κοινό σημείο, το οποίο βρίσκεται πάνω σε μια κατακόρυφη ευθεία 4ο θέμα - «Ξέρεις» Τι να κάνεις, όταν ξέρεις ότι ένα σημείο είναι κοινό σημείο των Cf και Cg 6. Μία γραφική παράσταση πάνω ή κάτω από μία άλλη γραφική παράσταση 1ο θέμα - «Βρες» Πώς θα βρεις τα διαστήματα στα οποία η Cf είναι: α) πάνω από την Cg β) κάτω από την Cg ∆ημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος • Μαθηματικό στέκι • www.mathsteki.gr

Μαθηματικά Γ΄ Λυκείου • Όριο - συνέχεια συνάρτησης Περιεχόμενα 2ο θέμα - «∆είξε» Πώς θα δείξεις ότι η Cf είναι σε κάποιο διάστημα: α) πάνω από την Cg β) κάτω από την Cg 3ο θέμα - «Ξέρεις» Τι να κάνεις, όταν ξέρεις ότι η Cf είναι σε κάποιο διάστημα: α) πάνω από την Cg β) κάτω από την Cg 4ο θέμα Πώς θα βρεις την σχετική θέση των Cf και Cg 7. Κοινά σημεία μίας γραφικής παράστασης με μία ευθεία 1ο θέμα - «Βρες» Πώς θα βρεις τα κοινά σημεία της Cf με μια ευθεία (ε) Αν η ευθεία είναι κατακόρυφη 2ο θέμα - «Εξέτασε» Πώς θα εξετάσεις αν ένα σημείο είναι κοινό σημείο της Cf με μια ευθεία (ε) 3ο θέμα - «∆είξε» Πώς θα δείξεις ότι ένα σημείο είναι κοινό σημείο της Cf με μια ευθεία (ε) α) Αν γνωρίζεις τις συντεταγμένες του σημείου β) Αν γνωρίζεις την τετμημένη του σημείου ∆ημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος • Μαθηματικό στέκι • www.mathsteki.gr

Μαθηματικά Γ΄ Λυκείου • Όριο - συνέχεια συνάρτησης Περιεχόμενα 4ο θέμα - «Ξέρεις» Τι να κάνεις, όταν ξέρεις ότι ένα σημείο είναι κοινό σημείο της Cf με μια ευθεία (ε) 8. Μία γραφική παράσταση πάνω ή κάτω από μία ευθεία 1ο θέμα - «Βρες» Πώς θα βρεις τα διαστήματα στα οποία η Cf είναι: α) πάνω από την ευθεία (ε) β) κάτω από την ευθεία (ε) 2ο θέμα - «∆είξε» Πώς θα δείξεις ότι η Cf είναι σε κάποιο διάστημα: α) πάνω από την ευθεία (ε) β) κάτω από την ευθεία (ε) 3ο θέμα - «Ξέρεις» Τι να κάνεις, όταν ξέρεις ότι η Cf είναι σε κάποιο διάστημα: α) πάνω από την ευθεία (ε) β) κάτω από την ευθεία (ε) 4ο θέμα Πώς θα βρεις την σχετική θέση των Cf και (ε) 9. Πώς θα κάνεις την γραφική παράσταση συνάρτησης διπλού τύπου 10. Πώς θα αντλήσεις πληροφορίες από μια γραφική παράσταση ∆ημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος • Μαθηματικό στέκι • www.mathsteki.gr

Μαθηματικά Γ΄ Λυκείου • Όριο - συνέχεια συνάρτησης Περιεχόμενα ▶︎ Προτεινόμενες ασκήσεις Κατηγορία 2 Γραφική παράσταση συνάρτησης 1η ομάδα Γραφική παράσταση μίας συνάρτησης 2η ομάδα Γραφικές παραστάσεις δύο συναρτήσεων 3η ομάδα Γραφική παράσταση μίας συνάρτησης και μία ευθεία Παράγραφος 3 Άρτια - περιττή - περιοδική συνάρτηση Ορισμός Πότε μια συνάρτηση λέγεται άρτια Ορισμός Πότε μια συνάρτηση λέγεται περιττή Ορισμός Πότε μια συνάρτηση λέγεται περιοδική ▶︎ Μεθοδολογία για τις ασκήσεις Άρτια - περιττή συνάρτηση 1. Άρτια συνάρτηση 1ο θέμα - «Εξέτασε» Πώς θα εξετάσεις αν μια συνάρτηση είναι άρτια 2ο θέμα - «∆είξε» Πώς θα δείξεις ότι μια συνάρτηση είναι άρτια 3ο θέμα - «Ξέρεις» Τι να κάνεις, όταν ξέρεις ότι μια συνάρτηση είναι άρτια ∆ημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος • Μαθηματικό στέκι • www.mathsteki.gr

Μαθηματικά Γ΄ Λυκείου • Όριο - συνέχεια συνάρτησης Περιεχόμενα 2. Περιττή συνάρτηση 1ο θέμα - «Εξέτασε» Πώς θα εξετάσεις αν μια συνάρτηση είναι περιττή 2ο θέμα - «∆είξε» Πώς θα δείξεις ότι μια συνάρτηση είναι περιττή 3ο θέμα - «Ξέρεις» Τι να κάνεις, όταν ξέρεις ότι μια συνάρτηση είναι περιττή ▶︎ Προτεινόμενες ασκήσεις Κατηγορία 3 Άρτια - περιττή συνάρτηση Παράγραφος 4 Ισότητα συναρτήσεων Ορισμός Πότε δύο συναρτήσεις είναι ίσες Ορισμός Πότε δύο συναρτήσεις είναι ίσες σε ένα σύνολο ▶︎ Παρατηρήσεις - συμπληρώσεις στην ισότητα συναρτήσεων 1. Άλλο είναι ο συμβολισμός f(x) = g(x) και άλλο είναι η εξίσωση f(x) = g(x) 2. Αν είναι f 2(x) = g2(x) , τότε δεν προκύπτει ότι f(x) = g(x) ή f(x) =−g(x) 3. Αν είναι f(x) = g(x) , τότε δεν προκύπτει ότι οι συναρτήσεις είναι ίσες ∆ημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος • Μαθηματικό στέκι • www.mathsteki.gr

Μαθηματικά Γ΄ Λυκείου • Όριο - συνέχεια συνάρτησης Περιεχόμενα ▶︎ Μεθοδολογία για τις ασκήσεις Ισότητα συναρτήσεων 1ο θέμα - «Εξέτασε» α) Πώς θα εξετάσεις αν δύο συναρτήσεις είναι ίσες β) Πώς θα εξετάσεις αν δύο συναρτήσεις είναι ίσες σε ένα σύνολο 2ο θέμα - «∆είξε» Πώς θα δείξεις ότι δύο συναρτήσεις είναι ίσες 3ο θέμα - «Ξέρεις» Τι να κάνεις, όταν ξέρεις ότι δύο συναρτήσεις είναι ίσες ▶︎ Προτεινόμενες ασκήσεις Κατηγορία 4 Ισότητα συναρτήσεων Παράγραφος 5 Πράξεις με συναρτήσεις: άθροισμα, διαφορά, γινόμενο και πηλίκο Ορισμός Πώς ορίζεται το άθροισμα, η διαφορά, το γινόμενο, το πηλίκο δύο συναρτήσεων α) Πώς ορίζεται το άθροισμα δύο συναρτήσεων β) Πώς ορίζεται η διαφορά δύο συναρτήσεων γ) Πώς ορίζεται το γινόμενο δύο συναρτήσεων Πώς ορίζεται το γινόμενο ενός αριθμού με μια συνάρτηση Πώς ορίζεται η δύναμη μιας συνάρτησης δ) Πώς ορίζεται το πηλίκο δύο συναρτήσεων ∆ημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος • Μαθηματικό στέκι • www.mathsteki.gr

Μαθηματικά Γ΄ Λυκείου • Όριο - συνέχεια συνάρτησης Περιεχόμενα ▶︎ Παρατηρήσεις - συμπληρώσεις στις πράξεις με συναρτήσεις 1. Αν ισχύει f(x)⋅g(x) = 0 , τότε δεν προκύπτει ότι f(x) = 0 ή g(x) = 0 2. Πρώτα βρίσκεις το πεδίο ορισμού και μετά τον τύπο της πράξης ▶︎ Μεθοδολογία για τις ασκήσεις Πράξεις με συναρτήσεις ▶︎ Προτεινόμενες ασκήσεις Κατηγορία 5 Άθροισμα, διαφορά, γινόμενο και πηλίκο συναρτήσεων Παράγραφος 6 Σύνθεση συναρτήσεων Ορισμός Πώς ορίζεται η σύνθεση δύο συναρτήσεων Πώς ορίζεται η σύνθεση g!f Πώς ορίζεται η σύνθεση f !g Σχόλια στην σύνθεση συναρτήσεων 1. Γενικώς, δεν ισχύει g!f = f !g 2. Πώς ορίζεται η σύνθεση τριών συναρτήσεων ▶︎ Παρατηρήσεις - συμπληρώσεις στην σύνθεση συναρτήσεων 1. Πώς θα βρεις το πεδίο ορισμού των f !g , g!f , f !f 2. «Σύνθετα f» : πώς θα βρεις πού ορίζονται τέτοιες συναρτήσεις ∆ημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος • Μαθηματικό στέκι • www.mathsteki.gr

Μαθηματικά Γ΄ Λυκείου • Όριο - συνέχεια συνάρτησης Περιεχόμενα 3. Όταν οι f , g ορίζονται στο ! , τότε ποιες άλλες συνθέσεις ορίζονται στο ! 4. Ιδιομορφίες του περιορισμού g(x)∈Df ή του f(x)∈Dg Αντί του ! , μπορεί να υπάρχει κάποιο διάστημα ▶︎ Μεθοδολογία για τις ασκήσεις Σύνθεση συναρτήσεων 1ο θέμα Πώς θα βρεις την σύνθεση δύο συναρτήσεων, όταν είναι γνωστοί οι τύποι τους Σημαντικό σχόλιο Το πεδίο ορισμού της σύνθεσης δεν «συμφωνεί» κατ’ ανάγκη με τον τύπο της σύνθεσης 2ο θέμα ∆ίνεται ο τύπος κάποιας σύνθεσης δύο συναρτήσεων και ζητείται να βρεις τον τύπο μιας εκ των δύο συναρτήσεων α) Όταν είναι γνωστός ο τύπος της πρώτης συνάρτησης της σύνθεσης και ζητείται να βρεις τον τύπο της δεύτερης συνάρτησης β) Όταν είναι γνωστός ο τύπος της δεύτερης συνάρτησης της σύνθεσης και ζητείται να βρεις τον τύπο της πρώτης συνάρτησης ▶︎ Προτεινόμενες ασκήσεις Κατηγορία 6 Σύνθεση συναρτήσεων ∆ημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος • Μαθηματικό στέκι • www.mathsteki.gr

Μαθηματικά Γ΄ Λυκείου • Όριο - συνέχεια συνάρτησης Περιεχόμενα Παράγραφος 7 Μονοτονία και ακρότατα συνάρτησης Ορισμός Πότε μια συνάρτηση λέγεται γνησίως αύξουσα Ορισμός Πότε μια συνάρτηση λέγεται αύξουσα Ορισμός Πότε μια συνάρτηση λέγεται γνησίως φθίνουσα Ορισμός Πότε μια συνάρτηση λέγεται φθίνουσα Ορισμός Πότε μια συνάρτηση λέγεται γνησίως μονότονη σε ένα διάστημα Ορισμός Πότε μια συνάρτηση λέγεται γνησίως μονότονη ▶︎ Παρατηρήσεις - συμπληρώσεις στην γνησίως αύξουσα και γνησίως φθίνουσα συνάρτηση 1. Οι ορισμοί ισχύουν/εφαρμόζονται και αντίστροφα 2. Οι ορισμοί ισχύουν σε διάστημα, όχι σε ένωση διαστημάτων Ορισμός Πότε μια συνάρτηση παρουσιάζει (ολικό) μέγιστο Ορισμός Πότε μια συνάρτηση παρουσιάζει (ολικό) ελάχιστο Ορισμός Ολικά ακρότατα μιας συνάρτησης ▶︎ Παρατηρήσεις - συμπληρώσεις στα ακρότατα ▶︎ Μεθοδολογία για τις ασκήσεις Μονοτονία και ακρότατα συνάρτησης 1. Πώς θα βρεις την μονοτονία μιας συνάρτησης 1η περίπτωση Όταν ξέρεις τον τύπο της συνάρτησης ∆ημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος • Μαθηματικό στέκι • www.mathsteki.gr

Μαθηματικά Γ΄ Λυκείου • Όριο - συνέχεια συνάρτησης Περιεχόμενα 2η περίπτωση Όταν δεν ξέρεις τον τύπο της συνάρτησης Πώς ο ορισμός της γνησίως αύξουσας/φθίνουσας συνάρτησης σε βοηθάει στις ασκήσεις, όταν η μονοτονία είναι γνωστή 3η περίπτωση Όταν ξέρεις ότι η συνάρτηση είναι γνησίως μονότονη 2. Τι μπορείς να αντιμετωπίσεις με την βοήθεια της μονοτονίας 1ο θέμα Πώς θα βρεις το πρόσημο μιας συνάρτησης 2ο θέμα Πώς θα συγκρίνεις δύο τιμές μιας συνάρτησης 3ο θέμα Πώς θα λύσεις εξίσωση της μορφής f(x) = 0 4ο θέμα Πώς θα λύσεις εξίσωση της μορφής ϕ(x) = α , α ∈ ! 5ο θέμα Πώς θα λύσεις εξίσωση της μορφής ϕ(x) = ψ(x) 6ο θέμα Πώς θα δείξεις ότι μια εξίσωση έχει μοναδική ρίζα 7ο θέμα Πώς θα λύσεις ανίσωση της μορφής f(x)>0 8ο θέμα Πώς θα λύσεις ανίσωση της μορφής ϕ(x)>α , α ∈ ! 9ο θέμα Πώς θα λύσεις ανίσωση της μορφής ϕ(x)> ψ(x) 10ο θέμα Πώς θα λύσεις ανίσωση της μορφής f( ϕ(x) )> f( ψ(x) ) 3. Πώς θα βρεις τα ακρότατα μιας συνάρτησης, με χρήση του ορισμού ▶︎ Προτεινόμενες ασκήσεις Κατηγορία 7 Μονοτονία και ακρότατα συνάρτησης 1η ομάδα Να βρείτε την μονοτονία μιας συνάρτησης 2η ομάδα Μονοτονία και εξισώσεις 3η ομάδα Μονοτονία και ανισώσεις ∆ημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος • Μαθηματικό στέκι • www.mathsteki.gr

Μαθηματικά Γ΄ Λυκείου • Όριο - συνέχεια συνάρτησης Περιεχόμενα 4η ομάδα Ακρότατα συνάρτησης Παράγραφος 8 Συνάρτηση 1 - 1 (ένα προς ένα) Αντίστροφη συνάρτηση Ορισμός Πότε μια συνάρτηση λέγεται 1-1 (ένα προς ένα) Πρόταση για μια συνάρτηση 1-1: Η f είναι 1-1, αν και μόνο αν ισχύει: αν f(x1) = f(x2 ) , τότε x1 = x2 Πρόταση για μια συνάρτηση 1-1: Αν η f είναι γνησίως μονότονη, τότε είναι 1-1 (όχι αντίστροφα) Συνέπειες του ορισμού συνάρτησης 1-1 ▶︎ Παρατηρήσεις - συμπληρώσεις στην συνάρτηση 1-1 1. Ο ορισμός της συνάρτησης 1-1 δεν ισχύει σε ένωση διαστημάτων 2. Η ιδιότητα 1-1 χρησιμεύει πολύ σε επίλυση εξισώσεων: Αν η f είναι 1-1, τότε η εξίσωση f(x) = α , α ∈ ! , έχει το πολύ μία λύση Ορισμός Τι ονομάζουμε αντίστροφη μιας συνάρτησης Πρόταση για τις γραφικές παραστάσεις δύο αντίστροφων συναρτήσεων: Οι γραφικές παραστάσεις των f και f −1 είναι συμμετρικές ως προς την ευθεία y = x ▶︎ Παρατηρήσεις - συμπληρώσεις στην αντίστροφη συνάρτηση 1. Πώς θα αξιοποιήσεις τις ιδιότητες του ορισμού της αντίστροφης: ∆ημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος • Μαθηματικό στέκι • www.mathsteki.gr

Μαθηματικά Γ΄ Λυκείου • Όριο - συνέχεια συνάρτησης Περιεχόμενα Οι ιδιότητες f(x) = y ⇔ f −1(y) = x και f −1( f(x) )= x και f ( f −1(y) )= y 2. Το −1 στον συμβολισμό της f −1 δεν είναι εκθέτης 3. Συνάρτηση 1-1 και αντίστροφη συνάρτηση 4. Μονοτονία της αντίστροφης συνάρτησης ▶︎ Μεθοδολογία για τις ασκήσεις Συνάρτηση 1-1. Αντίστροφη συνάρτηση 1. Συνάρτηση 1-1 1ο θέμα Πώς θα εξετάσεις αν μια συνάρτηση είναι 1-1 Αν η συνάρτηση είναι διπλού τύπου 2ο θέμα Πώς θα δείξεις ότι μια συνάρτηση είναι 1-1 3ο θέμα Τι να κάνεις, όταν ξέρεις ότι μια συνάρτηση είναι 1-1 Πώς θα λύσεις εξίσωση της μορφής f( g(x) )= f(h(x) ) 2. Αντίστροφη συνάρτηση 1ο θέμα Πώς θα βρεις την αντίστροφη μιας συνάρτησης 2ο θέμα Κοινά σημεία της Cf με την Cf−1 Κοινά σημεία της Cf με την ευθεία y = x Κοινά σημεία της Cf−1 με την ευθεία y = x ▶︎ Προτεινόμενες ασκήσεις Κατηγορία 8 Συνάρτηση 1-1. Αντίστροφη συνάρτηση 1η ομάδα Συνάρτηση 1-1 2η ομάδα Αντίστροφη συνάρτηση ∆ημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος • Μαθηματικό στέκι • www.mathsteki.gr

Μαθηματικά Γ΄ Λυκείου • Όριο - συνέχεια συνάρτησης Περιεχόμενα Ενότητα 2 Όριο συνάρτησης - «Υπολογιστικά» θέματα ορίων Παράγραφος 1 Τι είναι όριο μιας συνάρτησης Η απροσδιοριστία «μηδέν διά μηδέν» Εισαγωγή στην έννοια του ορίου μιας συνάρτησης Η έννοια του πλευρικού ορίου μιας συνάρτησης Πρόταση Πότε μια συνάρτηση έχει όριο σε έναν αριθμό Η έκφραση «το όριο της f στο x0 υπάρχει στο ! » Πρόταση Πότε υπάρχει το όριο μιας συνάρτησης Τι σημαίνει «καλώς ορισμένο όριο» Πώς θα υπολογίσεις ένα όριο Πρόταση Όριο ταυτοτικής συνάρτησης. Όριο σταθερής συνάρτησης Θεώρημα Πώς κάνεις πράξεις με όρια Πρόταση Όριο πολυωνύμου. Όριο ρητής συνάρτησης Πρόταση Όριο σύνθετης συνάρτησης Πρόταση Όριο των τριγωνομετρικών συναρτήσεων ημx και συνx Τι είναι «απροσδιόριστη μορφή» ▶︎ Μεθοδολογία για τις ασκήσεις Πώς θα υπολογίσεις όριο με απροσδιοριστία «μηδέν διά μηδέν» 1. Πώς θα υπολογίσεις όριο «μηδέν διά μηδέν» με ρητή συνάρτηση Χρήσιμη παρατήρηση για την παραγοντοποίηση τριωνύμου ∆ημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος • Μαθηματικό στέκι • www.mathsteki.gr

Μαθηματικά Γ΄ Λυκείου • Όριο - συνέχεια συνάρτησης Περιεχόμενα Πώς θα υπολογίσεις όριο συνάρτησης διπλού τύπου 2. Πώς θα υπολογίσεις όριο «μηδέν διά μηδέν» με ρίζες α) Αν η ρίζα είναι μόνο στον αριθμητή β) Αν η ρίζα είναι μόνο στον παρονομαστή γ) Αν η ρίζα είναι και στον αριθμητή και στον παρονομαστή δ) Αν υπάρχει κυβική ρίζα (τρίτη ρίζα) 3. Πώς θα υπολογίσεις τριγωνομετρικό όριο «μηδέν διά μηδέν» Πρόταση στα τριγωνομετρικά όρια: ℓim ηµx =1 , ℓim συνx −1 =0 x→0 x x x→0 1η περίπτωση Τριγωνομετρικά όρια στα οποία εμφανίζεται το κλάσμα ηµx x 2η περίπτωση Τριγωνομετρικά όρια τα οποία υπολογίζονται με αλλαγή μεταβλητής • 1η μορφή Όρια της μορφής ℓim ηµα x , ℓim ηµα x , ℓim εϕα x , ℓim εϕα x x ηµ β x x x→0 εϕ β x x→0 x→0 x→0 Πώς θα κάνεις αλλαγή μεταβλητής σε ένα όριο Πώς θα κάνεις αλλαγή μεταβλητής σε πλευρικό όριο α) Πώς θα υπολογίσεις όριο της μορφής ℓim ηµα x x x→0 β) Πώς θα υπολογίσεις όριο της μορφής ℓim ηµα x ηµ β x x→0 γ) Πώς θα υπολογίσεις όριο της μορφής ℓim εϕα x x x→0 δ) Πώς θα υπολογίσεις όριο της μορφής ℓim εϕα x εϕ β x x→0 ∆ημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος • Μαθηματικό στέκι • www.mathsteki.gr

Μαθηματικά Γ΄ Λυκείου • Όριο - συνέχεια συνάρτησης Περιεχόμενα • 2η μορφή Όρια τα οποία έχουν τριγωνομετρικό αριθμό (συνήθως ημίτονο), ο οποίος έχει ως γωνία ένα πολυώνυμο του x (συνήθως πρώτου ή δεύτερου βαθμού) 3η περίπτωση Ιδιαίτερα τριγωνομετρικά όρια Πρόταση Ισχύει ηµx ≤ x Θεώρημα Κριτήριο παρεμβολής α) Όριο της μορφής ℓx→im0 ⎝⎜⎜⎛⎜xνηµ α ⎟⎠⎟⎟⎞ , α≠0 , ν ∈ \"∗ x β) Όριο της μορφής ℓx→im0 ⎝⎜⎛⎜⎜xνσυν α ⎞⎟⎠⎟⎟ , α≠0 , ν ∈ \"∗ x γ) Όριο της μορφής ℓim[ f(x)⋅ηµg(x) ] ή της μορφής ℓim[ f(x)⋅συνg(x) ] x→ x0 x→ x0 4. Πώς θα υπολογίσεις όριο «μηδέν διά μηδέν» με απόλυτες τιμές Θεώρημα Όριο και διάταξη α) Αν το περιεχόμενο της απόλυτης τιμής δεν έδωσε αποτέλεσμα μηδέν β) Αν το περιεχόμενο της απόλυτης τιμής έδωσε αποτέλεσμα μηδέν ▶︎ Προτεινόμενες ασκήσεις Κατηγορία 9 Η απροσδιοριστία «μηδέν διά μηδέν» 1η ομάδα Με ρητή συνάρτηση 2η ομάδα Με ρίζες 3η ομάδα Με τριγωνομετρικές παραστάσεις (τριγωνομετρικά όρια) 4η ομάδα Με απόλυτες τιμές ∆ημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος • Μαθηματικό στέκι • www.mathsteki.gr

Μαθηματικά Γ΄ Λυκείου • Όριο - συνέχεια συνάρτησης Περιεχόμενα Παράγραφος 2 Η απροσδιοριστία «αριθμός διά μηδέν» Πότε ένα όριο χαρακτηρίζεται/ονομάζεται «πεπερασμένο όριο στο x0 ∈ ! » . Αλλιώς, πότε λέμε ότι «το όριο υπάρχει στο ! » Πότε ένα όριο χαρακτηρίζεται/ονομάζεται «μη πεπερασμένο όριο στο x0 ∈ ! ». Αλλιώς, πότε λέμε ότι «το όριο δεν υπάρχει στο ! » Πρόταση στο μη πεπερασμένο όριο στο x0 ∈ ! Ιδιότητες για τα μη πεπερασμένα όρια Σημαντικές παρατηρήσεις στις ιδιότητες για τα μη πεπερασμένα όρια Επιτρεπτές και μη επιτρεπτές πράξεις με το +∞ και το −∞ ▶︎ Μεθοδολογία για τις ασκήσεις Πώς θα υπολογίσεις όριο με απροσδιοριστία «αριθμός διά μηδέν» ▶︎ Προτεινόμενες ασκήσεις Κατηγορία 10 Η απροσδιοριστία «αριθμός διά μηδέν» ∆ημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος • Μαθηματικό στέκι • www.mathsteki.gr

Μαθηματικά Γ΄ Λυκείου • Όριο - συνέχεια συνάρτησης Περιεχόμενα Παράγραφος 3 Όριο συνάρτησης στο άπειρο Τι σημαίνει «όριο συνάρτησης στο άπειρο» Προτάσεις για το όριο συνάρτησης στο άπειρο ▶︎ Παρατηρήσεις - συμπληρώσεις στο όριο συνάρτησης στο άπειρο 1. Πράξεις με δυνάμεις του απείρου 2. «Αριθμός διά άπειρο» και «αριθμός διά μηδέν» 3. Επιτρεπτές και μη επιτρεπτές πράξεις με το άπειρο ▶︎ Μεθοδολογία για τις ασκήσεις Πώς θα υπολογίσεις όριο στο άπειρο 1. Πώς θα υπολογίσεις όριο στο άπειρο με πολυώνυμο ή ρητή συνάρτηση Πρόταση Όριο στο άπειρο ενός πολυωνύμου Πρόταση Όριο στο άπειρο ρητής συνάρτησης 2. Πώς θα υπολογίσεις όριο στο άπειρο με απόλυτες τιμές 3. Η απροσδιοριστία «άπειρο διά άπειρο» με ρίζες 4. Η απροσδιοριστία «συν άπειρο πλην άπειρο» με ρίζες 5. Εκθετικά όρια στο άπειρο 1η περίπτωση Κλάσματα τα οποία έχουν εκθετικούς όρους σε αριθμητή και παρονομαστή 2η περίπτωση Όρια της μορφής ℓim αf(x) x→±∞ ∆ημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος • Μαθηματικό στέκι • www.mathsteki.gr

Μαθηματικά Γ΄ Λυκείου • Όριο - συνέχεια συνάρτησης Περιεχόμενα 3η περίπτωση Όρια με αθροίσματα/διαφορές που περιλαμβάνουν και εκθετικές συναρτήσεις και εμφανίζουν απροσδιοριστία «συν άπειρο πλην άπειρο» 6. Λογαριθμικά όρια στο άπειρο 7. Τριγωνομετρικά όρια στο άπειρο 1ο όριο ℓim ηµx =0 x x→+∞ Όρια της μορφής ℓim ηµα x , ℓim συνα x , ℓim συνα x P( x ) xν P( x ) x→±∞ x→±∞ x→±∞ 2ο όριο xℓ→i+m∞⎜⎜⎜⎛⎝xηµ x1⎟⎟⎟⎞⎠ =1 ▶︎ Προτεινόμενες ασκήσεις Κατηγορία 11 Όριο συνάρτησης στο άπειρο 1η ομάδα Με πολυώνυμο ή ρητή συνάρτηση 2η ομάδα Με απόλυτες τιμές 3η ομάδα Η απροσδιοριστία «άπειρο διά άπειρο» με ρίζες 4η ομάδα Η απροσδιοριστία «συν άπειρο πλην άπειρο» με ρίζες 5η ομάδα Εκθετικά όρια στο άπειρο 6η ομάδα Λογαριθμικά όρια στο άπειρο 7η ομάδα Τριγωνομετρικά όρια στο άπειρο ∆ημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος • Μαθηματικό στέκι • www.mathsteki.gr

Μαθηματικά Γ΄ Λυκείου • Όριο - συνέχεια συνάρτησης Περιεχόμενα Ενότητα 3 Όριο συνάρτησης - «Θεωρητικά» θέματα ορίων Παράγραφος 1 Πεπερασμένο όριο συνάρτησης σε σημείο Σημαντικές παρατηρήσεις Ποια είναι τα «θεωρητικά» θέματα στα όρια; ▶︎ Παρατηρήσεις - συμπληρώσεις σε προτάσεις και ιδιότητες των ορίων 1. Ο συμβολισμός f(x) μέσα στο ζητούμενο όριο και τι να κάνεις 2. Αν υπάρχουν τα επιμέρους όρια, τότε εφαρμόζεται κάποια ιδιότητα α) Αν υπάρχει το όριο κάποιας πράξης συναρτήσεων, δεν σημαίνει κατ’ ανάγκη ότι θα υπάρχουν και τα όρια των συναρτήσεων που συμμετέχουν στην πράξη αυτή β) Αν δεν υπάρχει το όριο κάποιας εκ των συναρτήσεων που συμμετέχουν σε μια πράξη, δεν σημαίνει κατ’ ανάγκη ότι δεν υπάρχει το όριο της πράξης αυτής ▶︎ Μεθοδολογία για τις ασκήσεις «Θεωρητικά» θέματα στο πεπερασμένο όριο συνάρτησης σε σημείο 1ο θέμα Πώς θα υπολογίσεις ένα όριο, όταν μέσα σε αυτό υπάρχει μόνο ο συμβολισμός f(x) και είναι γνωστό το ℓimf(x) x→ x0 ∆ημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος • Μαθηματικό στέκι • www.mathsteki.gr

Μαθηματικά Γ΄ Λυκείου • Όριο - συνέχεια συνάρτησης Περιεχόμενα 2ο θέμα Πώς θα υπολογίσεις ένα όριο, όταν μέσα σε αυτό δεν υπάρχει μόνο ο συμβολισμός f(x) , αλλά και άλλες αλγεβρικές παραστάσεις, και είναι γνωστό το ℓimf(x) x→ x0 3ο θέμα Πώς θα υπολογίσεις ένα όριο, όταν μέσα σε αυτό δεν υπάρχει μόνο ο συμβολισμός f(x) , αλλά και άλλες αλγεβρικές παραστάσεις, και είναι γνωστό ένα όριο μέσα στο οποίο είναι η f(x) , χωρίς να είναι γνωστό το ℓimf(x) x→ x0 4ο θέμα Πώς θα υπολογίσεις ένα όριο, όταν δίνεται μια ιδιότητα που έχει η συνάρτηση (συναρτησιακή σχέση) 5ο θέμα Πώς θα υπολογίσεις ένα όριο, όταν υπάρχουν «σύνθετα f» (π.χ. f(2x) , f(x +3) κ.τ.ό.), σε κάποια συναρτησιακή σχέση ή σε κάποιο όριο Πρόταση Ισχύει: ℓimf(x) = ℓ ⇔ ℓim f (x 0 + h) = ℓ x→ x0 h→0 6ο θέμα Τι να κάνεις σε ένα όριο, όταν ξέρεις ότι η συνάρτηση είναι άρτια ή περιττή α) Αν η συνάρτηση είναι άρτια β) Αν η συνάρτηση είναι περιττή 7ο θέμα Πώς θα βρεις την τιμή μιας παραμέτρου, όταν δίνεται ότι ένα όριο υπάρχει ή όταν ζητείται ένα όριο να έχει γνωστή τιμή ∆ημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος • Μαθηματικό στέκι • www.mathsteki.gr

Μαθηματικά Γ΄ Λυκείου • Όριο - συνέχεια συνάρτησης Περιεχόμενα 1η περίπτωση ∆ίνεται συνάρτηση διπλού τύπου και σε έναν τουλάχιστον από τους κλάδους της υπάρχει παράμετρος (συνήθως μία ή δύο παράμετροι) α) Αν ζητείται η παράμετρος ώστε να υπάρχει το όριο β) Αν ζητείται η παράμετρος ώστε το όριο να έχει συγκεκριμένη τιμή 2η περίπτωση ∆ίνεται ένα όριο, συνήθως με κλασματική μορφή, στο οποίο υπάρχουν παράμετροι (συνήθως δύο) και ζητούνται οι τιμές των παραμέτρων ώστε το όριο να έχει συγκεκριμένη τιμή 8ο θέμα Πώς θα βρεις το όριο μιας συνάρτησης, όταν αυτή είναι μέσα σε ένα άλλο όριο το οποίο έχει γνωστή τιμή Ευκολότερη περίπτωση Όταν στο γνωστό όριο υπάρχει μόνο η f(x) και κάποιος αριθμός να προστίθεται ή να αφαιρείται Όταν δίνονται δύο όρια με γνωστή τιμή και μέσα τους έχουν δύο συναρτήσεις 1η περίπτωση Αν κάθε συνάρτηση βρίσκεται μόνη της σε κάθε όριο 2η περίπτωση Αν και οι δύο συναρτήσεις είναι μαζί και στα δύο όρια 9ο θέμα Πώς θα βρεις το όριο μιας συνάρτησης, όταν δίνεται διπλή ανισότητα ή όταν δίνεται μονή ανισότητα 1η περίπτωση Όταν δίνεται διπλή ανισότητα (εννιά στις δέκα φορές, είναι ανισοϊσότητα) ∆ημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος • Μαθηματικό στέκι • www.mathsteki.gr

Μαθηματικά Γ΄ Λυκείου • Όριο - συνέχεια συνάρτησης Περιεχόμενα Πολύ σημαντικές και χρήσιμες προτάσεις 1η πρόταση Αν ℓim f(x) = 0 , τότε και ℓimf(x) = 0 x→ x0 x→ x0 2η πρόταση Αν ℓimf 2(x) = 0 , τότε και ℓimf(x) = 0 x→ x0 x→ x0 3η πρόταση Αν ℓim ⎣⎡ f 2(x)+ g2 ( x ) ⎦⎤ = 0 , τότε ℓim f (x) = 0 και ℓimg(x) = 0 x→ x0 x→ x0 x→ x0 2η περίπτωση Όταν δίνεται μονή ανισότητα Θεώρημα Αν f(x)≤g(x) , τότε ℓimf(x) ≤ ℓimg(x) x→ x0 x→ x0 Προτάσεις α) Αν f(x)≤g(x) και ℓimf(x) = +∞ , τότε και ℓimg(x) = +∞ x→ x0 x→ x0 β) Αν f(x)≤g(x) και ℓimg(x) =−∞ , τότε και ℓimf(x) =−∞ x→ x0 x→ x0 ▶︎ Προτεινόμενες ασκήσεις Κατηγορία 12 «Θεωρητικά» θέματα στο πεπερασμένο όριο συνάρτησης σε σημείο 1η ομάδα Γενικά θέματα στα «θεωρητικά» όρια 2η ομάδα Να βρείτε την τιμή μιας παραμέτρου ώστε ένα όριο να υπάρχει ή να έχει συγκεκριμένη τιμή 3η ομάδα Να βρείτε το όριο μιας συνάρτησης, η οποία βρίσκεται μέσα σε όριο με γνωστή τιμή 4η ομάδα Να βρείτε το όριο μιας συνάρτησης, όταν δίνεται διπλή ανισότητα ή όταν δίνεται μονή ανισότητα ∆ημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος • Μαθηματικό στέκι • www.mathsteki.gr

Μαθηματικά Γ΄ Λυκείου • Όριο - συνέχεια συνάρτησης Περιεχόμενα Παράγραφος 2 Μη πεπερασμένο όριο συνάρτησης σε σημείο Σημαντικές παρατηρήσεις ▶︎ Παρατηρήσεις - συμπληρώσεις σε προτάσεις στο μη πεπερασμένο όριο σε σημείο 1. Πρόσημο ενός ορίου και πώς θα το αξιοποιήσεις 2. «Αριθμός διά άπειρο» και «αριθμός διά μηδέν» 3. Χαρακτηριστικές εκφράσεις που θέλουν προσοχή α) «Το όριο υπάρχει» και «Το όριο υπάρχει στο ! » . β) «Το όριο δεν υπάρχει» και «Το όριο δεν υπάρχει στο ! ». 4. Παραμετρικά μη πεπερασμένα όρια ▶︎ Προτεινόμενες ασκήσεις Κατηγορία 13 «Θεωρητικά» θέματα στο μη πεπερασμένο όριο συνάρτησης σε σημείο Παράγραφος 3 Όριο συνάρτησης στο άπειρο Σημαντικές παρατηρήσεις ▶︎ Παρατηρήσεις - συμπληρώσεις σε προτάσεις στο όριο συνάρτησης στο άπειρο 1. Κριτήριο παρεμβολής και όρια στο άπειρο ∆ημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος • Μαθηματικό στέκι • www.mathsteki.gr

Μαθηματικά Γ΄ Λυκείου • Όριο - συνέχεια συνάρτησης Περιεχόμενα 2. Παραμετρικά όρια στο άπειρο ▶︎ Προτεινόμενες ασκήσεις Κατηγορία 14 «Θεωρητικά» θέματα στο όριο συνάρτησης στο άπειρο Ενότητα 4 Συνέχεια συνάρτησης Παράγραφος 1 Συνέχεια συνάρτησης σε σημείο Ορισμός Πότε μια συνάρτηση λέγεται συνεχής σε ένα σημείο Πρόταση Πότε μια συνάρτηση δεν είναι συνεχής σε ένα σημείο ▶︎ Παρατηρήσεις - συμπληρώσεις στον ορισμό της συνέχειας συνάρτησης σε σημείο 1. Ο ορισμός ισχύει και αντίστροφα 2. Όταν η συνάρτηση ορίζεται σε διάστημα της μορφής (α , x0 ] ή [α , x0 ] 3. Όταν η συνάρτηση ορίζεται σε διάστημα της μορφής [x0 ,β) ή [x0 ,β] ∆ημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος • Μαθηματικό στέκι • www.mathsteki.gr

Μαθηματικά Γ΄ Λυκείου • Όριο - συνέχεια συνάρτησης Περιεχόμενα Παράγραφος 2 Συνέχεια συνάρτησης σε διάστημα Ορισμός Πότε μια συνάρτηση λέγεται συνεχής Πρόταση Γνωστές συνεχείς συναρτήσεις Θεώρημα Πράξεις με συνεχείς συναρτήσεις Θεώρημα Συνέχεια σύνθεσης συναρτήσεων Ορισμός Πότε μια συνάρτηση λέγεται συνεχής σε ένα ανοικτό διάστημα Ορισμός Πότε μια συνάρτηση λέγεται συνεχής σε ένα κλειστό διάστημα ▶︎ Παρατηρήσεις - συμπληρώσεις στον ορισμό της συνέχειας συνάρτησης σε διάστημα 1. Πότε μια συνάρτηση είναι συνεχής σε διάστημα [α,β) 2. Πότε μια συνάρτηση είναι συνεχής σε διάστημα (α,β] 3. Μία πολύ λεπτή ιδιομορφία του ορισμού συνέχειας σε κλειστό διάστημα 4. Πώς θα αιτιολογήσεις ότι μια συνάρτηση είναι συνεχής 5. Σε όριο με f(x) μπορείς να βάλεις στο x αριθμό, αν η f είναι συνεχής ▶︎ Μεθοδολογία για τις ασκήσεις Συνέχεια συνάρτησης (σε σημείο ή σε διάστημα) 1ο θέμα - «Εξέτασε» Πώς θα εξετάσεις αν μια συνάρτηση είναι συνεχής (σε σημείο ή σε διάστημα) α) Συνέχεια σε σημείο β) Συνέχεια σε διάστημα ∆ημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος • Μαθηματικό στέκι • www.mathsteki.gr

Μαθηματικά Γ΄ Λυκείου • Όριο - συνέχεια συνάρτησης Περιεχόμενα 2ο θέμα - «∆είξε» Πώς θα δείξεις ότι μια συνάρτηση είναι συνεχής (σε σημείο ή σε διάστημα) α) Συνέχεια σε σημείο β) Συνέχεια σε διάστημα Συνέχεια και συναρτησιακές σχέσεις της μορφής f(x + y) ή f(x⋅y) 3ο θέμα - «Ξέρεις» Τι να κάνεις, όταν ξέρεις ότι μια συνάρτηση είναι συνεχής (σε σημείο ή σε διάστημα) 4ο θέμα Πώς θα βρεις την τιμή μιας παραμέτρου, ώστε μια συνάρτηση να είναι συνεχής (σε σημείο ή σε διάστημα) α) Συνέχεια σε σημείο β) Συνέχεια σε διάστημα ▶︎ Προτεινόμενες ασκήσεις Κατηγορία 15 Συνέχεια συνάρτησης 1η ομάδα Να εξετάσετε/να δείξετε/ξέρετε ότι μια συνάρτηση είναι συνεχής (σε σημείο ή σε διάστημα) 2η ομάδα Να βρείτε την τιμή μιας παραμέτρου, ώστε μια συνάρτηση να είναι συνεχής (σε σημείο ή σε διάστημα) ∆ημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος • Μαθηματικό στέκι • www.mathsteki.gr

Μαθηματικά Γ΄ Λυκείου • Όριο - συνέχεια συνάρτησης Περιεχόμενα Ενότητα 5 Θεωρήματα στην συνέχεια συνάρτησης Παράγραφος 1 Βασικά θεωρήματα στην συνέχεια συνάρτησης Θεώρημα Θεώρημα του Bolzano ▶︎ Μεθοδολογία για τις ασκήσεις Πώς θα βρεις το πρόσημο μιας συνάρτησης Πρόταση «Η f διατηρεί σταθερό πρόσημο» Πρόταση για το πρόσημο μιας συνάρτησης, όταν αυτή μηδενίζεται Πώς θα βρεις το πρόσημο μιας συνάρτησης, όταν αυτή μηδενίζεται ▶︎ Παρατηρήσεις - συμπληρώσεις στην μέθοδο προσδιορισμού του προσήμου μιας συνάρτησης 1. Είναι μία μέθοδος, όχι η μοναδική 2. Πώς θα επιλέξεις αριθμό από κάθε διάστημα 3. Πώς θα βρεις το πρόσημο της f, όταν ξέρεις ότι είναι f(x) ≠ 0 ▶︎ Μεθοδολογία για τις ασκήσεις Πώς θα βρεις τον τύπο μιας συνεχούς συνάρτησης, όταν δίνεται σχέση με f 2(x) Προεργασία ∆ημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος • Μαθηματικό στέκι • www.mathsteki.gr

Μαθηματικά Γ΄ Λυκείου • Όριο - συνέχεια συνάρτησης Περιεχόμενα 1η περίπτωση Η σχέση να έχει εξαρχής ή να λάβει την μορφή f 2(x) = g(x) , όπου g(x) μπορεί να είναι σταθερός θετικός αριθμός ή θετική παράσταση του x 2η περίπτωση Η σχέση να λάβει την μορφή [ f(x)±α ]2 = g(x) , όπου α ∈ ! και g(x) σταθερός θετικός αριθμός ή θετική παράσταση του x 3η περίπτωση Η σχέση να λάβει την μορφή [ f(x)±g(x) ]2 =h(x) , όπου g(x) σταθερός θετικός αριθμός ή παράσταση του x και h(x) θετική παράσταση του x 4η περίπτωση Η σχέση να έχει εξαρχής ή να λάβει την μορφή f 2(x) = g(x) ή να λάβει την μορφή [ f(x)±α ]2 =h(x) ή [ f(x)±g(x) ]2 =h(x) , όπου α ∈ ! , g(x) σταθερός αριθμός ή παράσταση του x και h(x) παράσταση του x η οποία μπορεί και να μηδενιστεί α) Η παράσταση του δεξιού μέλους μηδενίζεται στα άκρα κλειστού διαστήματος β) Η παράσταση του δεξιού μέλους μηδενίζεται σε εσωτερικό σημείο του διαστήματος ▶︎ Πώς θα βρεις το σύνολο τιμών μιας συνάρτησης Θεώρημα Θεώρημα ενδιάμεσων τιμών Πρόταση Εικόνα διαστήματος Θεώρημα Θεώρημα μέγιστης και ελάχιστης τιμής Πρόταση Πώς θα βρεις το σύνολο τιμών μιας συνεχούς συνάρτησης ∆ημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος • Μαθηματικό στέκι • www.mathsteki.gr

Μαθηματικά Γ΄ Λυκείου • Όριο - συνέχεια συνάρτησης Περιεχόμενα ▶︎ Προτεινόμενες ασκήσεις Κατηγορία 16 Βασικά θεωρήματα στην συνέχεια συνάρτησης 1η ομάδα Πρόσημο συνάρτησης 2η ομάδα Να βρείτε τον τύπο της f από σχέση με f 2(x) 3η ομάδα Σύνολο τιμών συνάρτησης - Γενικές ασκήσεις Παράγραφος 2 Θεώρημα του Bolzano. Θεώρημα ενδιάμεσων τιμών Θεώρημα Θεώρημα του Bolzano Γεωμετρική ερμηνεία του θεωρήματος Bolzano ▶︎ Παρατηρήσεις - συμπληρώσεις στο θεώρημα του Bolzano 1. Πρέπει να ισχύουν όλες οι προϋποθέσεις για να το εφαρμόσεις 2. Πώς αλλιώς διατυπώνεται το συμπέρασμα του θεωρήματος ▶︎ Μεθοδολογία για τις ασκήσεις Θεώρημα του Bolzano 1η έκφραση Να δείξετε ότι η εξίσωση έχει μία τουλάχιστον ρίζα (σε ένα ανοικτό διάστημα) Χαρακτηριστικές γεωμετρικές εκφράσεις στο ζητούμενο ∆ημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος • Μαθηματικό στέκι • www.mathsteki.gr

Μαθηματικά Γ΄ Λυκείου • Όριο - συνέχεια συνάρτησης Περιεχόμενα α) Να δείξετε ότι η γραφική παράσταση της f τέμνει τον άξονα x΄x μία τουλάχιστον φορά στο διάστημα (α,β) . β) Να δείξετε ότι η γραφική παράσταση της f και ο άξονας x΄x έχουν ένα τουλάχιστον κοινό σημείο στο διάστημα (α,β) . γ) Να δείξετε ότι η γραφική παράσταση της f και η γραφική παράσταση της g έχουν ένα τουλάχιστον κοινό σημείο, με τετμημένη που ανήκει στο διάστημα (α ,β) . δ) Να δείξετε ότι η γραφική παράσταση της f και η ευθεία (ε) έχουν ένα τουλάχιστον κοινό σημείο στο διάστημα (α,β) . Τι να κάνεις, αν δεν αναφέρεται διάστημα Τι να κάνεις, αν ζητούνται δύο τουλάχιστον ρίζες σε ένα διάστημα 2η έκφραση Να δείξετε ότι υπάρχει ένας τουλάχιστον αριθμός (ενός ανοικτού διαστήματος) ο οποίος ικανοποιεί μια σχέση 3η έκφραση Να δείξετε ότι η εξίσωση έχει μία τουλάχιστον ρίζα ή να δείξετε ότι υπάρχει τουλάχιστον ένας αριθμός ο οποίος ικανοποιεί μια σχέση, αλλά το ζητούμενο διάστημα να είναι κλειστό (σε ένα τουλάχιστον από τα άκρα του) 4η έκφραση Να δείξετε ότι η εξίσωση έχει μοναδική ρίζα (σε ένα ανοικτό διάστημα) Ισοδύναμα, να δείξετε ότι υπάρχει μοναδικός αριθμός (ενός ανοικτού διαστήματος), ο οποίος ικανοποιεί μια σχέση ∆ημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος • Μαθηματικό στέκι • www.mathsteki.gr

Μαθηματικά Γ΄ Λυκείου • Όριο - συνέχεια συνάρτησης Περιεχόμενα ▶︎ Μεθοδολογία για τις ασκήσεις Θεώρημα ενδιάμεσων τιμών ▶︎ Προτεινόμενες ασκήσεις Κατηγορία 17 Θεώρημα του Bolzano. Θεώρημα ενδιάμεσων τιμών 1η ομάδα Να δείξετε ότι η εξίσωση έχει μία τουλάχιστον ρίζα (σε ένα ανοικτό διάστημα) Περιλαμβάνονται και ασκήσεις με ζητούμενο «δύο τουλάχιστον ρίζες» και «μοναδική ρίζα» 2η ομάδα Να δείξετε ότι υπάρχει αριθμός (ενός ανοικτού διαστήματος) ο οποίος ικανοποιεί μια σχέση 3η ομάδα Να δείξετε ότι η εξίσωση έχει μία τουλάχιστον ρίζα ή να δείξετε ότι υπάρχει αριθμός ο οποίος ικανοποιεί μια σχέση, αλλά το ζητούμενο διάστημα να είναι κλειστό (σε ένα τουλάχιστον από τα άκρα του)    Γενικές ασκήσεις σε όλο το κεφάλαιο Βιβλιογραφία ∆ημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος • Μαθηματικό στέκι • www.mathsteki.gr



Ίσως το αναλυτικότερο βιβλίο που θα διαβάσεις στα όρια