Επανάληψη Γυμνασίου - Ενότητα 2 - Δυνάμεις και διάταξη αριθμών (Θ)

Η επανάληψη του Γυµνασίου Ενότητα 2 Δυνάµεις αριθµών Διάταξη αριθµών Θεωρία - Μεθοδολογία Νέα Μουδανιά • Ιούνιος 2022 www.mathsteki.gr

~ Περιεχόμενα ενότητας 2 ~ 1. Ορισμός δύναμης ...............................................................................................................................................19 2. Ιδιότητες των δυνάμεων ................................................................................................................................20 3. ∆ύναμη με βάση αρνητικό αριθμό .........................................................................................................24 4. Οι βασικές ταυτότητες της Άλγεβρας ....................................................................................................26 5. ∆ιάταξη πραγματικών αριθμών (ανισότητες) ...................................................................................27 Πώς θα εξετάσεις αν ένας αριθμός είναι θετικός ή αρνητικός ................................................28 Πώς θα εξετάσεις αν ένας αριθμός είναι μεγαλύτερος ή μικρότερος από έναν άλλον αριθμό ..................................................................................................................................29 Πάρα πολύ σημαντικές προτάσεις ...........................................................................................................30 6. Ιδιότητες της διάταξης ....................................................................................................................................31

Η επανάληψη του Γυμνασίου Ενότητα 2 - ∆υνάμεις αριθμών. ∆ιάταξη αριθμών ~ Ενότητα 2 ~ Δυνάμεις αριθμών. Διάταξη αριθμών 1. Ορισμός δύναμης Το γινόμενο α ⋅α ⋅α ⋅... ⋅α , που έχει ν παράγοντες ίσους με α, λέγεται δύναμη του α στην ν (ή νιοστή δύναμη του α) και συμβολίζεται με αν , δηλαδή είναι αν = α!#⋅#α###⋅\"α#⋅#..#. ⋅##α$ . ν παραγοντες Ο αριθμός α λέγεται βάση της δύναμης και το ν λέγεται εκθέτης, ο οποίος είναι ακέ- ραιος αριθμός, μεγαλύτερος του 1. Ορίζουμε : α) α1 = α , για κάθε πραγματικό αριθμό α. β) α0 =1 , για κάθε α ≠ 0 . γ) α−ν = 1 , για κάθε α ≠ 0 . αν Η ιδιότητα (γ) ερμηνεύεται (και μπορεί να χρησιμοποιηθεί) με τους εξής τρόπους: • όταν μια δύναμη έχει αρνητικό εκθέτη, τότε μπορείς να δημιουργήσεις ένα κλάσμα στον αριθμητή του οποίου βάζεις το 1 και στον παρονομαστή την δύναμη που είχες, αλλά με τον αντίστοιχο θετικό εκθέτη. - 19 - ∆ημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος • Μαθηματικό στέκι • www.mathsteki.gr

Η επανάληψη του Γυμνασίου Ενότητα 2 - ∆υνάμεις αριθμών. ∆ιάταξη αριθμών • επειδή ισχύει α−ν = α−ν , 1 η ιδιότητα αυτή γράφεται και υπό την μορφή α−ν = 1 1 αν και σου δίνει την δυνατότητα να μεταφέρεις μια δύναμη από τον αριθμητή ενός κλάσματος στον παρονομαστή του ή και αντίστροφα, αλλάζοντας το πρόσημο του εκθέτη (αυτό το συμπέρασμα προκύπτει είτε διαβάσεις την ιδιότητα από τα αριστε- ρά προς τα δεξιά είτε από τα δεξιά προς τα αριστερά). 2. Ιδιότητες των δυνάμεων Οι ιδιότητες των δυνάμεων είναι πάρα πολύ σημαντικές και χρειάζονται πολλές φορές στις διάφορες πράξεις που κάνεις σε μια άσκηση. ▶︎ Ιδιότητα 1 αµ ⋅αν = αµ+ν . Τι λέει η ιδιότητα Όταν πολλαπλασιάζεις δυνάμεις με την ίδια βάση, τότε προσθέτεις τους εκθέτες τους. • Η ιδιότητα αυτή χρησιμοποιείται όταν κάνεις επιμεριστικούς πολλαπλασιασμούς σε πράξεις με αλγεβρικές παραστάσεις. • Η ιδιότητα ισχύει και για περισσότερες από δύο δυνάμεις, δηλαδή γενικώς ισχύει αν1 ⋅ αν2 ⋅ αν3 ⋅ ... ⋅ ανκ = αν1+ ν2 + ν3 + ... + νκ . - 20 - ∆ημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος • Μαθηματικό στέκι • www.mathsteki.gr

Η επανάληψη του Γυμνασίου Ενότητα 2 - ∆υνάμεις αριθμών. ∆ιάταξη αριθμών • Γράφοντας την ιδιότητα «από την ανάποδη», δηλαδή αµ+ν = αµ ⋅αν , προκύπτει το συμπέρασμα ότι, όταν ο εκθέτης μιας δύναμης γραφεί ως άθροισμα δύο (τουλάχιστον) προσθετέων, τότε μπορείς να «σπάσεις» την δύναμη σε δύο δυ- νάμεις, καθεμία εκ των οποίων έχει ως εκθέτη έκαστο εκ των όρων του αθροίσμα- τος. ▶︎ Ιδιότητα 2 αµ = αµ−ν . αν Τι λέει η ιδιότητα Όταν διαιρείς δυνάμεις με την ίδια βάση, αφαιρείς από τον εκθέτη του αριθμητή τον εκθέτη του παρονομαστή. • Η ιδιότητα αυτή χρησιμοποιείται όταν κάνεις απλοποιήσεις δυνάμεων σε κλάσματα. • Γράφοντας την ιδιότητα αυτή «από την ανάποδη», δηλαδή αµ−ν = αµ , αν προκύπτει το συμπέρασμα ότι, όταν ο εκθέτης μιας δύναμης γραφεί ως διαφορά δύο όρων, τότε μπορείς να δημιουργήσεις ένα κλάσμα στον αριθμητή του οποίου θα έχεις δύναμη με εκθέτη τον πρώτο όρο της διαφοράς και στον παρονομαστή θα έχεις δύναμη με εκθέτη τον δεύτερο όρο της διαφοράς. ▶︎ Ιδιότητα 3 (α ⋅ β)ν = αν ⋅ βν . Τι λέει η ιδιότητα Όταν ένα γινόμενο δύο αριθμών υψώνεται σε έναν εκθέτη, τότε ο εκθέτης «πάει» πάνω σε κάθε αριθμό. - 21 - ∆ημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος • Μαθηματικό στέκι • www.mathsteki.gr

Η επανάληψη του Γυμνασίου Ενότητα 2 - ∆υνάμεις αριθμών. ∆ιάταξη αριθμών • Η ιδιότητα αυτή ισχύει και για περισσότερους από δύο αριθμούς, δηλαδή γενικώς ισχύει (α1 ⋅ α2 ⋅ α3 ⋅ ... ⋅ ακ )ν = α1ν ⋅ α2ν ⋅ α3ν ⋅ ... ⋅ ακν . • Γράφοντας την ιδιότητα αυτή «από την ανάποδη», δηλαδή αν ⋅ βν =(α ⋅ β)ν , προκύπτει το συμπέρασμα ότι, όταν δύο δυνάμεις έχουν τον ίδιο εκθέτη, τότε μπο- ρείς να βάλεις μέσα σε μια παρένθεση το γινόμενο των βάσεών τους και ως εκθέτη τον κοινό εκθέτη που έχουν οι δύο δυνάμεις. ▶︎ Ιδιότητα 4 ⎜⎝⎜⎜⎛ α ⎞⎟⎟⎠⎟ν = αν . β βν Τι λέει η ιδιότητα Όταν ένα κλάσμα υψώνεται σε έναν εκθέτη, τότε ο εκθέτης «πάει» στον αριθμητή και στον παρονομαστή. • Γράφοντας την ιδιότητα αυτή «από την ανάποδη», δηλαδή αν = ⎜⎝⎜⎜⎛ α ⎞⎟⎟⎟⎠ν , βν β προκύπτει το συμπέρασμα ότι, όταν στον αριθμητή και τον παρονομαστή ενός κλάσματος έχεις δυνάμεις με τον ίδιο εκθέτη, τότε μπορείς να βάλεις τις βάσεις σε μια παρένθεση και ως εκθέτη τον κοινό εκθέτη που έχουν οι δύο δυνάμεις. - 22 - ∆ημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος • Μαθηματικό στέκι • www.mathsteki.gr

Η επανάληψη του Γυμνασίου Ενότητα 2 - ∆υνάμεις αριθμών. ∆ιάταξη αριθμών ▶︎ Ιδιότητα 5 ⎜⎝⎛⎜⎜ α ⎟⎟⎞⎠⎟−ν = ⎜⎜⎝⎜⎛ β ⎞⎟⎟⎟⎠ν . β α Τι λέει η ιδιότητα Όταν ένα πηλίκο έχει αρνητικό εκθέτη, τότε αντίστρεψε το κλάσμα της βάσης της δύναμης και κάνε τον εκθέτη θετικό. • Η ιδιότητα αυτή ερμηνεύεται και ως εξής: Όταν αντιστρέψεις τους όρους ενός κλάσματος, τότε άλλαξε το πρόσημο του εκθέ- τη. ▶︎ Ιδιότητα 6 ( )αµ ν = αµ ⋅ν . Τι λέει η ιδιότητα Όταν μια δύναμη έχει στην βάση της άλλη δύναμη, τότε προκύπτει δύναμη με εκθέτη το γινόμενο των δύο εκθετών. • Γράφοντας την ιδιότητα αυτή «από την ανάποδη», δηλαδή ( )αµ ⋅ν = αµ ν , προκύπτει το συμπέρασμα ότι, όταν ο εκθέτης μιας δύναμης γραφεί ως γινόμενο δύο παραγόντων, τότε μπορείς να κάνεις μια δύναμη, στην βάση της οποίας θα έχεις δύναμη με εκθέτη τον πρώτο παράγοντα του γινομένου των εκθετών και επιπλέον εκθέτη τον δεύτερο παράγοντα του γινομένου. • Επειδή ισχύει µ ⋅ ν = ν ⋅ µ , η προηγούμενη μορφή της ιδιότητας αυτής γράφεται και με τον εξής τρόπο: ( )αν⋅µ = αν µ . - 23 - ∆ημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος • Μαθηματικό στέκι • www.mathsteki.gr

Η επανάληψη του Γυμνασίου Ενότητα 2 - ∆υνάμεις αριθμών. ∆ιάταξη αριθμών • Άρα, γενικώς ισχύει ( ) ( )αµ⋅ν = αµ ν = αν µ , δηλαδή «στην μέσα» δύναμη μπορείς να βάλεις όποιον από τους δύο παράγοντες του γινομένου θέλεις και «απ' έξω» να βγάλεις τον άλλο παράγοντα. 3. ∆ύναμη με βάση αρνητικό αριθμό Αν η βάση μιας δύναμης είναι αρνητικός αριθμός, τότε έλεγξε τον εκθέτη. α) Αν ο εκθέτης είναι άρτιος, το « − » της βάσης γίνεται « + ». Παράδειγμα 6 • (−2)2 = +22 = 4 . • (−3)4 = +34 = 81. β) Αν ο εκθέτης είναι περιττός, το « − » της βάσης παραμένει « − ». Παράδειγμα 7 • (−2)3 =−23 =−8 . • (−3)3 =−33 =−27 . Σε κάθε περίπτωση, ο εκθέτης πάει «πάνω» στον αριθμό μόνο, ανεξάρτητα αν έχει μείνει ή όχι το πρόσημο. - 24 - ∆ημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος • Μαθηματικό στέκι • www.mathsteki.gr

Η επανάληψη του Γυμνασίου Ενότητα 2 - ∆υνάμεις αριθμών. ∆ιάταξη αριθμών Πρόσεξε το εξής ! Ένα σύνηθες λάθος που γίνεται είναι το εξής: −22 = +4 , −32 = +9 , −14 = +1, δηλαδή μια δύναμη να έχει μπροστά της « − » και εκθέτη άρτιο αριθμό και το « − » να γίνεται « + ». Το λάθος που γίνεται είναι ότι θεωρείται πως το « − » είναι μαζί με τον αριθμό της βάσης (οπότε ο άρτιος εκθέτης θα το κάνει « + » μετά). Για τα προηγούμενα παραδείγματα δηλαδή: • για την δύναμη −22 θεωρείται ότι το −2 υψώνεται στο τετράγωνο (ενώ δεν είναι έτσι). • για την δύναμη −32 θεωρείται ότι το −3 υψώνεται στο τετράγωνο (ενώ δεν είναι έτσι). • για την δύναμη −14 θεωρείται ότι το −1 υψώνεται στην τετάρτη (ενώ δεν είναι έτσι). Το σωστό είναι το εξής: • −22 =−2 ⋅ 2 =−4 , δηλαδή το τετράγωνο «πιάνει» μόνο το 2, όχι και το « − ». • −32 =−3 ⋅ 3=−9 , δηλαδή το τετράγωνο «πιάνει» μόνο το 3, όχι και το « − ». • −14 =−1⋅1⋅1⋅1= −1, δηλαδή το 4 «πιάνει» μόνο το 1, όχι και το « − ». Αυτό, δηλαδή, που πρέπει να προσέχεις, όταν υπάρχει « − » στην βάση μιας δύ- ναμης, είναι το εξής: α) αν το πλην είναι μέσα σε παρένθεση μαζί με την βάση, τότε αυτό θα γίνει « + » ή θα παραμείνει « − » ανάλογα με το αν ο εκθέτης είναι άρτιος ή περιττός, όπως ανα- φέρθηκε προηγουμένως. - 25 - ∆ημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος • Μαθηματικό στέκι • www.mathsteki.gr

Η επανάληψη του Γυμνασίου Ενότητα 2 - ∆υνάμεις αριθμών. ∆ιάταξη αριθμών β) αν το πλην δεν είναι μέσα σε παρένθεση μαζί με την βάση, τότε το « − » αυτό θα παραμείνει και το είδος του εκθέτη (άρτιος ή περιττός δηλαδή) δεν έχει καμία ση- μασία. 4. Οι βασικές ταυτότητες της Άλγεβρας Οι ιδιότητες των δυνάμεων που αναλύθηκαν προηγουμένως βοηθούν όταν υπάρχει γινόμενο ή πηλίκο, αλλά όχι άθροισμα ή διαφορά στην βάση της δύναμης, και αυτό πρέπει να το προσέξεις πάρα πολύ! Ταυτότητα λέγεται κάθε ισότητα που περιέχει μεταβλητές και επαληθεύεται για όλες τις τιμές των μεταβλητών αυτών. Οι βασικές ταυτότητες της Άλγεβρας, οι οποίες παρατίθενται στην συνέχεια, έρχονται να καλύψουν μερικώς το κενό των ιδιοτήτων των δυνάμεων, όταν η βάση είναι άθροι- σμα ή διαφορά. Μαζί με τις ιδιότητες των δυνάμεων, οι βασικές ταυτότητες της Άλγεβρας αποτελούν δύο από τα βασικότερα και σημαντικότερα εργαλεία που παρέχει η Άλγεβρα, αφού χρησιμοποιούνται διαρκώς στις ασκήσεις των Μαθηματικών όλων των επιπέδων εκ- παίδευσης. Οι βασικές ταυτότητες και τα αναπτύγματά τους φαίνονται στην συνέχεια (η παρά- σταση που υπάρχει στο δεύτερο μέλος των ταυτοτήτων λέγεται ανάπτυγμα των ταυ- τοτήτων). 1. (α +β)2 = α2 +β2 +2αβ . 2. (α−β)2 = α2 +β2 −2αβ . 3. (α +β)3 = α3 +3α2 β+3αβ2 +β3 . - 26 - ∆ημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος • Μαθηματικό στέκι • www.mathsteki.gr

Η επανάληψη του Γυμνασίου Ενότητα 2 - ∆υνάμεις αριθμών. ∆ιάταξη αριθμών 4. (α−β)3 = α3 −3α2 β+3αβ2 −β3 . 5. (α +β)(α−β) = α2 −β2 . 6. (α +β)(α2 −αβ+β2)= α3 +β3 . 7. (α−β)(α2 +αβ+β2)= α3 −β3 . 8. (α +β+ γ)2 = α2 +β2 + γ2 +2αβ+2βγ +2γα . Επίσης, είναι πολύ σημαντικό να θυμάσαι τις ταυτότητες «από την «ανάποδη», διότι τις χρειάζεσαι πολλές φορές σε παραγοντοποίηση αλγεβρικών παραστάσεων. 5. ∆ιάταξη αριθμών (ανισότητες) Έστω δύο αριθμοί α και β. Λέμε ότι: α) ο αριθμός α είναι μεγαλύτερος από τον αριθμό β, όταν η διαφορά α−β είναι θετικός αριθμός. Τότε γράφουμε α>β ⇔ α−β>0 . Επίσης, ισοδύναμα λέμε ότι ο αριθμός β είναι μικρότερος από τον αριθμό α. Στην περίπτωση που ισχύει α >β ή α = β , τότε λέμε ότι ο αριθμός α είναι μεγαλύ- τερος ή ίσος του β και γράφουμε α ≥β . β) ο αριθμός α είναι μικρότερος από τον αριθμό β, όταν η διαφορά α−β είναι αρνητικός αριθμός. Τότε γράφουμε α<β ⇔ α−β<0 . - 27 - ∆ημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος • Μαθηματικό στέκι • www.mathsteki.gr

Η επανάληψη του Γυμνασίου Ενότητα 2 - ∆υνάμεις αριθμών. ∆ιάταξη αριθμών Επίσης, ισοδύναμα λέμε ότι ο αριθμός β είναι μεγαλύτερος από τον αριθμό α. Στην περίπτωση που ισχύει α <β ή α = β , τότε λέμε ότι ο αριθμός α είναι μικρότε- ρος ή ίσος του β και γράφουμε α ≤β . ΣΗΜΑΝΤΙΚΟ ΣΧΟΛΙΟ ! Οι ορισμοί αυτοί παρέχουν έναν αρκετά καλό τρόπο ελέγχου για το αν ένας αριθμός: α) είναι θετικός ή αρνητικός. β) είναι μεγαλύτερος ή μικρότερος από έναν άλλο. Πώς γίνεται ο έλεγχος αυτός; Και στις δύο περιπτώσεις, η αρχή είναι η ίδια. Πώς θα εξετάσεις αν ένας αριθμός είναι θετικός ή αρνητικός Υπόθεσε αυθαίρετα ότι ο αριθμός είναι θετικός (αν υποθέσεις ότι είναι αρνητικός, δεν έχει καμία σημασία, το ίδιο κάνει). Στην συνέχεια, εκτέλεσε επιτρεπτές πράξεις και δες πού θα σε οδηγήσουν. • Αν το τελικό συμπέρασμα είναι σωστό, τότε η αρχική σου υπόθεση ήταν σωστή και ο αριθμός είναι θετικός (αντίστοιχα αρνητικός, αν αυτό υπέθεσες εξαρχής). • Αν το τελικό συμπέρασμα δεν είναι σωστό, τότε η αρχική σου υπόθεση δεν ήταν σωστή και ο αριθμός είναι αρνητικός (αντίστοιχα θετικός). Παράδειγμα 8 O αριθμός 7 − 5 είναι θετικός ή αρνητικός; 3 4 - 28 - ∆ημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος • Μαθηματικό στέκι • www.mathsteki.gr

Η επανάληψη του Γυμνασίου Ενότητα 2 - ∆υνάμεις αριθμών. ∆ιάταξη αριθμών Υποθέτω αυθαίρετα ότι είναι θετικός. Τότε θα είναι και 7 − 5 > 0 ⇔ 7 > 5 ⇔ 7 ⋅ 4 > 3 ⋅ 5 ⇔ 28 >15 , 3 4 3 4 το οποίο ισχύει. Άρα ο αριθμός 7 − 5 είναι πράγματι θετικός. 3 4 Aν είχα υποθέσει ότι είναι αρνητικός, τότε πάλι τις ίδιες ακριβώς πράξεις θα έκανα, μό- νο που στο τέλος θα συμπέραινα ότι 28 <15 , το οποίο προφανώς είναι λάθος. Αυτό θα σήμαινε ότι η υπόθεσή μου δεν ήταν σωστή, δηλαδή ο αριθμός είναι θετικός. Πώς θα εξετάσεις αν ένας αριθμός είναι μεγαλύτερος ή μικρότερος από έναν άλλον αριθμό Υπόθεσε αυθαίρετα ότι ο πρώτος αριθμός είναι μεγαλύτερος από τον δεύτερο (αν υποθέσεις ότι ο πρώτος είναι μικρότερος από τον δεύτερο δεν αλλάζει τίποτα, το ίδιο κάνει). Στην συνέχεια, εκτέλεσε επιτρεπτές πράξεις και δες πού θα σε οδηγήσουν. • Αν το τελικό συμπέρασμα είναι σωστό, τότε η αρχική σου υπόθεση ήταν σωστή και ο πρώτος αριθμός είναι όντως μεγαλύτερος από τον δεύτερο (αντίστοιχα, ο πρώτος είναι μικρότερος από τον δεύτερο, αν αυτό είχες υποθέσει εξαρχής). • Αν το τελικό συμπέρασμα δεν είναι σωστό, τότε η αρχική σου υπόθεση δεν ήταν σωστή και ο πρώτος αριθμός είναι μικρότερος από τον δεύτερο τελικά. Παράδειγμα 9 O αριθμός 7 είναι μεγαλύτερος ή μικρότερος από τον 5 ; 3 4 Υποθέτω αυθαίρετα ότι είναι 7 < 5 . 3 4 - 29 - ∆ημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος • Μαθηματικό στέκι • www.mathsteki.gr

Η επανάληψη του Γυμνασίου Ενότητα 2 - ∆υνάμεις αριθμών. ∆ιάταξη αριθμών Τότε θα είναι και 7 ⋅ 4 < 3 ⋅ 5 ⇔ 28 <15 , το οποίο προφανώς είναι λάθος. Άρα είναι 7 > 5 . 3 4 Aν είχα υποθέσει ότι ο πρώτος αριθμός είναι μεγαλύτερος από τον δεύτερο, τότε πάλι τις ίδιες ακριβώς πράξεις θα έκανα, μόνο που στο τέλος θα συμπέραινα ότι 28 >15 , το οποίο προφανώς είναι σωστό. Αυτό θα σήμαινε ότι η αρχική μου υπόθεση ήταν σωστή, δηλαδή ο πρώτος αριθμός είναι μεγαλύτερος από τον δεύτερο. Από τον τρόπο που γίνονται οι πράξεις της πρόσθεσης και του πολλαπλασιασμού, προκύπτουν οι εξής πάρα πολύ σημαντικές προτάσεις: ▶︎ Πρόταση 1 α , β ομόσημοι ⇔α⋅β>0 ⇔ α >0. β ▶︎ Πρόταση 2 α , β ετερόσημοι ⇔ α ⋅ β < 0 ⇔ α <0. β ▶︎ Πρόταση 3 - Πάρα πολύ σημαντική ιδιότητα! Ισχύει α2 ≥ 0 , για κάθε αριθμό α. Ειδικότερα, είναι: Ι. α2 > 0 ⇔ α ≠ 0 . ΙΙ. α2 = 0 ⇔ α = 0 . - 30 - ∆ημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος • Μαθηματικό στέκι • www.mathsteki.gr

Η επανάληψη του Γυμνασίου Ενότητα 2 - ∆υνάμεις αριθμών. ∆ιάταξη αριθμών Από την (3) προκύπτει και η ακόλουθη πολύ σημαντική σχέση: α2 +β2 ≥ 0 , για οποιουσδήποτε αριθμούς α, β. Ειδικότερα, είναι: Ι. α2 +β2 = 0 ⇔ α = 0 και β = 0 . ΙΙ. α2 +β2 > 0 ⇔ α ≠ 0 ή β ≠ 0 . 6. Ιδιότητες της διάταξης Είτε σε μία ανισότητα είτε μεταξύ δύο ανισοτήτων υπάρχουν κάποιες επιτρεπτές και μη επιτρεπτές πράξεις, τις οποίες θα δεις στις ιδιότητες που ακολουθούν. Να θυμάσαι το εξής βασικότατο! Όταν πρόκειται να κάνεις μια ενέργεια πάνω σε μια ανισότητα, θέσε τα ακόλου- θα ερωτήματα (ακριβώς με την σειρά που είναι γραμμένα): Ι. Επιτρέπεται να το κάνω; ΙΙ. Μπορώ να το κάνω ελεύθερα ή υπό προϋποθέσεις; ΙΙΙ. Αλλάζει η φορά της ανισότητας ή όχι; ▶︎ Ιδιότητα 1 - Μεταβατική ιδιότητα Αν ⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎧⎩ α >β και ⎭⎪⎪⎪⎪⎬⎫⎪ , τότε α > γ . β>γ - 31 - ∆ημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος • Μαθηματικό στέκι • www.mathsteki.gr

Η επανάληψη του Γυμνασίου Ενότητα 2 - ∆υνάμεις αριθμών. ∆ιάταξη αριθμών ▶︎ Ιδιότητα 2 α>β ⇔α+γ>β+γ . Τι λέει η ιδιότητα Στα μέλη μιας ανισότητας μπορείς να προσθέσεις τον ίδιο αριθμό (αυτό προκύπτει από την φορά ⇒ ). Επίσης, από τα μέλη μιας ανισότητας μπορείς να αφαιρέσεις τον ίδιο αριθμό (αυτό προκύπτει από την φορά ⇐ ). ▶︎ Ιδιότητα 3 Αν γ >0 , τότε: α >β ⇔ α ⋅ γ > β ⋅ γ . Τι λέει η ιδιότητα Τα μέλη μιας ανισότητας μπορείς να τα πολλαπλασιάσεις με τον ίδιο θετικό αριθμό και η φορά της ανισότητας δεν αλλάζει (αυτό προκύπτει από την φορά ⇒ ). Επίσης, τα μέλη μιας ανισότητας μπορείς να τα διαιρέσεις με τον ίδιο θετικό αριθμό και η φορά της ανισότητας δεν αλλάζει (αυτό προκύπτει από την φορά ⇐ ). ▶︎ Ιδιότητα 4 Αν γ <0 , τότε: α >β ⇔ α ⋅ γ < β ⋅ γ . Τι λέει η ιδιότητα Τα μέλη μιας ανισότητας μπορείς να τα πολλαπλασιάσεις με τον ίδιο αρνητικό αριθμό και η φορά της ανισότητας αλλάζει (αυτό προκύπτει από την φορά ⇒ ). Επίσης, τα μέλη μιας ανισότητας μπορείς να τα διαιρέσεις με τον ίδιο αρνητικό αριθμό και η φορά της ανισότητας αλλάζει (αυτό προκύπτει από την φορά ⇐ ). Οι ιδιότητες 3 και 4 εφαρμόζονται κατά κόρον στην επίλυση ανισώσεων. - 32 - ∆ημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος • Μαθηματικό στέκι • www.mathsteki.gr

Η επανάληψη του Γυμνασίου Ενότητα 2 - ∆υνάμεις αριθμών. ∆ιάταξη αριθμών ▶︎ Ιδιότητα 5 Αν ⎩⎨⎧⎪⎪⎪⎪⎪ α >β και ⎪⎫⎪⎪⎬⎭⎪⎪ , τότε α + γ > β+δ . γ>δ Τι λέει η ιδιότητα ∆ύο ανισότητες της ίδιας φοράς μπορείς να τις προσθέσεις κατά μέλη. Πρόσεξε το εξής ! ∆εν μπορείς να τις αφαιρέσεις κατά μέλη! Η ιδιότητα αυτή ισχύει και για περισσότερες από δύο ανισότητες. ▶︎ Ιδιότητα 6 Αν α, β, γ, δ είναι θετικοί αριθμοί και ⎪⎩⎪⎨⎪⎪⎪⎧ α >β και ⎪⎪⎪⎭⎪⎫⎬⎪ , τότε α ⋅ γ > β ⋅ δ . γ>δ Τι λέει η ιδιότητα ∆ύο ανισότητες της ίδιας φοράς και μεταξύ θετικών αριθμών μπορείς να τις πολλαπλα- σιάσεις κατά μέλη. Πρόσεξε το εξής ! ∆εν μπορείς να τις διαιρέσεις κατά μέλη! Η ιδιότητα αυτή ισχύει και για περισσότερες από δύο ανισότητες. - 33 - ∆ημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος • Μαθηματικό στέκι • www.mathsteki.gr

Στο «Μαθηματικό στέκι» θα βρεις την αναλυτικότερη θεωρία - μεθοδολογία και τις αναλυτικότερα λυμένες ασκήσεις του διαδικτύου www.mathsteki.gr