ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ - Κεφ.6 - Παράγραφος 6.3 (επιπλέον ασκήσεις)

Α΄ Λυκείου • Άλγεβρα Κεφάλαιο 6 Βασικές έννοιες των συναρτήσεων Παράγραφος 6.3 Η συνάρτηση f(x) = αx + β 4 Περισσότερες λυμένες ασκήσεις Μαθηματικό στέκι www.mathsteki.gr Νέα Μουδανιά • Μάρτιος 2022

Κεφάλαιο 6 - Βασικές έννοιες των συναρτήσεων Παράγραφος 6.3 - Η συνάρτηση f(x) = αx + β ~ Παράγραφος 6.3 ~ Η συνάρτηση f(x) = αx + β Επιπλέον λυμένες ασκήσεις Άσκηση 21 ∆ίνεται η ευθεία ε: y = λ−2 ⋅x+ 3(2−λ) . λ λ Να προσδιοριστεί ο λ, ώστε η (ε) : α) να είναι παράλληλη στην ευθεία y =−2 . β) να είναι παράλληλη στην ευθεία x + y = 5 . γ) να διέρχεται από το σημείο (3,−1) . Αν ήταν λ = 0 , τότε δεν θα ορίζονταν το κλάσμα λ−2 . λ Το κλάσμα αυτό, όμως, δίνει τον συντελεστή διεύθυνσης της ευθείας, οπότε δεν θα ορίζονταν ο συντελεστής διεύθυνσης της ευθείας, συνεπώς η ευθεία θα ήταν κάθετη στον άξονα x’x. Η εξίσωσή της τότε θα ήταν της μορφής x = α , α ∈ ! σταθερός αριθμός, το οποίο είναι άτοπο όμως, όπως εύκολα προκύπτει από την εξίσωση της (ε) που δίνε- ται στην εκφώνηση. - 37 - ∆ημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος • Μαθηματικό στέκι • www.mathsteki.gr

Κεφάλαιο 6 - Βασικές έννοιες των συναρτήσεων Παράγραφος 6.3 - Η συνάρτηση f(x) = αx + β Επομένως, είναι λ ≠ 0 . α) Η ευθεία ζ : y =−2 είναι παράλληλη στον άξονα x’x, οπότε έχει συντελεστή διεύθυν- σης λζ = 0 . Για να είναι η (ε) παράλληλη στην (ζ), θα πρέπει να ισχύει λε = λζ = 0 , δηλαδή λ−2 =0 ⇔ λ−2=0 ⇔ λ=2 . λ β) Η ευθεία η : x + y = 5 ⇔ η : y =−x +5 έχει συντελεστή διεύθυνσης λη =−1. Για να είναι η (ε) παράλλη στην (η), θα πρέπει να ισχύει λε = λη =−1, δηλαδή λ−2 =−1⇔ λ−2 =−λ ⇔ 2λ = 2 ⇔ λ =1 . λ γ) Για να διέρχεται η (ε) από το σημείο Α(3,−1) , θα πρέπει οι συντεταγμένες του Α να επαληθεύουν την εξίσωση της (ε), δηλαδή να ισχύει −1= λ−2 ⋅3+ 3(2−λ) ⇔−λ = 3(λ−2)+3(2−λ)⇔−λ = 3(λ−2)−3(λ−2)⇔ λ λ ⇔−λ = 0 ⇔ λ = 0 , τιμή η οποία απορρίπτεται όμως, όπως φάνηκε στην αρχή της λύσης της άσκησης. Επομένως, δεν υπάρχει τιμή του λ, ώστε η (ε) να διέρχεται από το σημείο Α. - 38 - ∆ημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος • Μαθηματικό στέκι • www.mathsteki.gr

Κεφάλαιο 6 - Βασικές έννοιες των συναρτήσεων Παράγραφος 6.3 - Η συνάρτηση f(x) = αx + β Άσκηση 22 Για την ευθεία ε: y= λ+4 ⋅x + 5 , να βρείτε: λ −1 α) τις τιμές του λ, ώστε η ευθεία (ε) να είναι παράλληλη προς την ευθεία δ : y = 6x +1. β) τις τιμές του λ, ώστε το σημείο Α(2,−3) να ανήκει στην γραφική παράσταση της ευθείας (ε). γ) τις τιμές του λ, ώστε η ευθεία (ε) να είναι παράλληλη προς τον άξονα x’x. δ) τα σημεία τομής της (ε) με τους άξονες. Αν ήταν λ−1= 0 ⇔ λ =1, τότε δεν θα ορίζονταν το κλάσμα λ+4 . λ −1 Το κλάσμα αυτό, όμως, δίνει τον συντελεστή διεύθυνσης της ευθείας, οπότε δεν θα ορίζονταν ο συντελεστής διεύθυνσης της ευθείας, συνεπώς η ευθεία θα ήταν κάθετη στον άξονα x’x. Η εξίσωσή της τότε θα ήταν της μορφής x = α , α ∈ ! σταθερός αριθμός, το οποίο είναι άτοπο όμως, όπως εύκολα προκύπτει από την εξίσωση της (ε) που δίνε- ται στην εκφώνηση. Επομένως, είναι λ ≠ 1. α) Για να είναι η (ε) παράλληλη στην (δ), θα πρέπει να ισχύει λε = λδ = 6 , δηλαδή - 39 - ∆ημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος • Μαθηματικό στέκι • www.mathsteki.gr

Κεφάλαιο 6 - Βασικές έννοιες των συναρτήσεων Παράγραφος 6.3 - Η συνάρτηση f(x) = αx + β λ+4 = 6 ⇔ λ+ 4 = 6(λ−1)⇔ λ+ 4 = 6λ−6 ⇔ 5λ =10 ⇔ λ=2 . λ −1 β) Για να ανήκει το σημείο Α(2,−3) στην ευθεία (ε), θα πρέπει οι συντεταγμένες του να επαληθεύουν την εξίσωση της (ε), δηλαδή να ισχύει −3 = λ+4 ⋅2+5 ⇔−3(λ−1)= 2(λ+ 4)+5(λ−1)⇔−3λ+3= 2λ+8+5λ−5 ⇔ λ −1 ⇔−3λ+ 3 = 7λ+ 3 ⇔10λ = 0 ⇔ λ = 0 . γ) Για να είναι η (ε) παράλληλη στον άξονα x’x, θα πρέπει να ισχύει λε = 0 , δηλαδή λ+4 =0⇔λ+4=0⇔ λ =−4 . λ −1 δ) Σημείο τομής με τον άξονα x’x Θέτω y = 0 στην εξίσωση της (ε) και έχω λ+4 ⋅x+5= 0 ⇔ λ+4 ⋅x =−5 ⇔ (λ+ 4)⋅x =−5(λ−1) (1) λ −1 λ −1 Αν ήταν λ+ 4 = 0 ⇔ λ =−4 , τότε η (ε) θα ήταν παράλληλη στον άξονα x’x, όπως βρήκα στο (γ), συνεπώς δεν θα μπορούσε να τέμνει τον x’x. Άρα είναι λ+ 4 ≠ 0 ⇔ λ ≠ −4 - 40 - ∆ημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος • Μαθηματικό στέκι • www.mathsteki.gr

Κεφάλαιο 6 - Βασικές έννοιες των συναρτήσεων Παράγραφος 6.3 - Η συνάρτηση f(x) = αx + β και από την (1) έχω ότι x= −5(λ −1) , λ+4 οπότε η (ε) τέμνει τον άξονα x’x στο σημείο Β⎜⎛⎝⎜⎜ −5(λ −1) , 0⎟⎠⎞⎟⎟⎟. λ+4 Σημείο τομής με τον άξονα y’y Θέτω x = 0 στην εξίσωση της (ε) και έχω y= λ+4 ⋅0+5⇔ y = 5, λ −1 οπότε η (ε) τέμνει τον άξονα y’y στο σημείο Γ(0,5) . Άσκηση 23 Έστω η συνάρτηση f(x) = λ x +2 , λ <0 . Να βρείτε: α) τα σημεία τομής της γραφικής της παράστασης με τους άξονες. β) το εμβαδόν του τριγώνου που σχηματίζεται από την γραφική παράσταση και τους άξονες. γ) την τιμή του λ, ώστε το εμβαδόν του παραπάνω τριγώνου να είναι 2 τ.μ. α) Η f έχει πεδίο ορισμού το ! . Σημείο τομής με τον άξονα x’x Από την εξίσωση f(x) = 0 προκύπτει λ x +2 = 0 ⇔ λ x =−2 λ<0 x=− 2 , λ ⇔ - 41 - ∆ημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος • Μαθηματικό στέκι • www.mathsteki.gr

Κεφάλαιο 6 - Βασικές έννοιες των συναρτήσεων Παράγραφος 6.3 - Η συνάρτηση f(x) = αx + β οπότε η Cf τέμνει τον άξονα x’x στο σημείο Α⎜⎜⎝⎛⎜− 2 , 0⎠⎟⎞⎟⎟ . λ Σημείο τομής με τον άξονα y’y Είναι f(0)= λ⋅0+2= 2 , οπότε η Cf τέμνει τον άξονα y’y στο σημείο Β(0,2) . β) Όταν μια ευθεία τέμνει τους άξονες x’x και y’y, τότε σχηματίζει με αυτούς ένα τρίγωνο, το οποίο είναι ορθογώνιο. Έτσι, αν η ευθεία τέμνει τον άξονα x’x στο σημείο Α και τον y’y στο σημείο Β, τότε το τρίγωνο που αυτή σχηματίζει με τους άξονες είναι το ΟΑΒ και, επειδή είναι ορθογώ- νιο, έχει εμβαδόν (ΟΑΒ) = 1 ⋅(ΟΑ) ⋅(ΟΒ) = 1 ⋅| xΑ |⋅| yΒ |. 2 2 Υπενθυμίζω ότι: • όταν ένα σημείο Α(xΑ ,0) ανήκει στον άξονα x’x, τότε η απόστασή του από την αρχή των αξόνων Ο είναι (ΟΑ)= | xΑ | . • όταν ένα σημείο Β(0, yΒ) ανήκει στον άξονα y’y, τότε η απόστασή του από την αρχή των αξόνων Ο είναι (ΟΒ) = | yΒ |. Το αναφερόμενο τρίγωνο είναι το ΟΑΒ, το οποίο είναι ορθογώνιο και έχει εμβαδόν (ΟΑΒ)= 1 ⋅(ΟΑ)⋅(ΟΒ)= 1 ⋅| xΑ |⋅| yΒ | = 1 ⋅ − 2 ⋅|2|= 1 ⋅ 2 ⋅2 = 2 . 2 2 2 λ 2 |λ| |λ| Επειδή είναι λ <0 όμως, είναι | λ | = −λ , συνεπώς - 42 - ∆ημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος • Μαθηματικό στέκι • www.mathsteki.gr

Κεφάλαιο 6 - Βασικές έννοιες των συναρτήσεων Παράγραφος 6.3 - Η συνάρτηση f(x) = αx + β (ΟΑΒ)= 2 ⇔ (ΟΑΒ)= − 2 . −λ λ γ) Στην εκφώνηση, «τ.μ.» σημαίνει «τετραγωνικές μονάδες» και όχι τετραγωνικά μέτρα. Αναφερόμαστε σε «τετραγωνικές μονάδες», διότι δεν χρησιμοποιούμε μονάδες μέτρη- σης. Για να είναι (ΟΑΒ)= 2 , θα πρέπει − 2 = 2 ⇔− 1 = 1⇔ λ =−1 . λ λ Άσκηση 24 Έστω τα σημεία Α(κ,2) και Β(1,2κ) , όπου κ∈ ! . α) Να αποδείξετε ότι (ΑΒ)= 5 κ−1 . β) Αν (ΑΒ)≤ 5 , να βρείτε τις τιμές του κ. γ) Αν κ = 0 , να αποδείξετε ότι η ευθεία με εξίσωση y =−2x +2 διέρχεται από τα Α και Β. α) Είναι (ΑΒ)= (xΒ −xΑ)2 +(yΒ −yΑ)2 = (1−κ)2 +(2κ−2)2 = = 1+κ2 −2κ+ 4κ2 + 4−8κ = 5κ2 −10κ+5 = 5(κ2 −2κ+1) = 5(κ−1)2 ⇔ ⇔ (ΑΒ)= 5 ⋅ κ−1 . - 43 - ∆ημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος • Μαθηματικό στέκι • www.mathsteki.gr

Κεφάλαιο 6 - Βασικές έννοιες των συναρτήσεων Παράγραφος 6.3 - Η συνάρτηση f(x) = αx + β β) Λόγω του (α), από την σχέση (ΑΒ)≤ 5 προκύπτει +1 5 κ−1 ≤ 5 ⇔ κ−1 ≤1⇔−1≤κ−1≤1 ⇔ −1+1≤κ− 1+ 1 ≤1+1⇔ 0 ≤κ ≤2 ⇔ ⇔ κ∈[0,2] . γ) Για κ = 0 είναι Α(0,2) και Β(1,0) . • Θέτω x = xΑ = 0 , y = yΑ = 2 στην εξίσωση της ευθείας y =−2x +2 και έχω ότι 2 =−2⋅0+2 ⇔ 2 = 2 , το οποίο ισχύει. Αυτό σημαίνει ότι η ευθεία διέρχεται από το σημείο Α(0,2) . • Θέτω x = xΒ =1, y = yΒ = 0 στην εξίσωση της ευθείας y =−2x +2 και έχω ότι 0 =−2⋅1+2 ⇔ 0 = 0 , το οποίο ισχύει. Αυτό σημαίνει ότι η ευθεία διέρχεται και από το σημείο Β(1,0) . - 44 - ∆ημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος • Μαθηματικό στέκι • www.mathsteki.gr

Κεφάλαιο 6 - Βασικές έννοιες των συναρτήσεων Παράγραφος 6.3 - Η συνάρτηση f(x) = αx + β Άσκηση 25 ∆ίνεται η συνάρτηση f(x) = α x +β , με α , β ∈ ! , για την οποία ισχύει f(0) = 5 και f(1) = 3 . α) Να δείξετε ότι α =−2 και β = 5 . β) Να βρείτε τα σημεία στα οποία η γραφική παράσταση της f τέμνει τους άξονες x’x και y’y. γ) Να σχεδιάσετε την γραφική παράσταση της f. α) Από την σχέση f(0) = 5 προκύπτει α⋅0+β= 5⇔ β= 5 . Από την σχέση f(1) = 3 προκύπτει β=5 α⋅1+β = 3 ⇔ α +5= 3 ⇔ α =−2 . β) Για α =−2 , β = 5 είναι f(x) =−2x +5 , με πεδίο ορισμού το ! . Σημείο τομής με τον άξονα x’x Από την εξίσωση f(x) = 0 έχω ότι −2x +5= 0 ⇔ 2x = 5 ⇔ x = 5 , 2 συνεπώς η Cf τέμνει τον άξονα x’x στο σημείο Α⎜⎝⎜⎜⎛ 5 , 0⎟⎟⎟⎠⎞ . 2 - 45 - ∆ημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος • Μαθηματικό στέκι • www.mathsteki.gr

Κεφάλαιο 6 - Βασικές έννοιες των συναρτήσεων Παράγραφος 6.3 - Η συνάρτηση f(x) = αx + β Σημείο τομής με τον άξονα y’y Είναι f(0) = 5 , όπως δόθηκε στην εκφώνηση, οπότε η Cf τέμνει τον άξονα y’y στο ση- μείο Β(0,5). γ) Ενώνοντας τα σημεία Α και Β που βρήκα στο (β) και προ- εκτείνοντας το τμήμα ΑΒ προς τις δύο μεριές του προκύπτει το διπλανό σχήμα, στο οποίο φαίνεται η γραφική παράστα- ση της συνάρτησης f. Άσκηση 26 ∆ίνονται οι συναρτήσεις f(x) = x3 και g(x) = x , x ∈ ! . α) Να δείξετε ότι οι γραφικές παραστάσεις των f, g τέμνονται σε τρία σημεία, τα οποία να βρείτε. β) Αν Α, Ο, Β είναι τα σημεία τομής των παραπάνω γραφικών παραστάσεων, όπου Ο(0,0) , να αποδείξετε ότι τα Α, Β είναι συμμετρικά ως προς το Ο. α) Αρκεί να δείξω ότι η εξίσωση f(x) = g(x) έχει τρεις ρίζες. Είναι f(x) = g(x) ⇔ x3 = x ⇔ x3 −x = 0 ⇔ x(x2 −1)= 0 ⇔ x = 0 ή x2 −1= 0 ⇔ ⇔ x = 0 ή x2 =1⇔ x = 0 ή x =± 1 ⇔ x = 0 ή x =1 ή x =−1, και αποδεικνύεται το πρώτο ζητούμενο. - 46 - ∆ημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος • Μαθηματικό στέκι • www.mathsteki.gr

Κεφάλαιο 6 - Βασικές έννοιες των συναρτήσεων Παράγραφος 6.3 - Η συνάρτηση f(x) = αx + β • Για x = 0 είναι g(0) = 0 , οπότε το ένα σημείο τομής είναι το Ο(0,0) . • Για x =1 είναι g(1) =1, οπότε το δεύτερο σημείο τομής είναι το Α(1,1) . • Για x =−1 είναι g(−1) =−1, οπότε το τρίτο σημείο τομής είναι το Β(−1,−1) . β) Υπενθυμίζω ότι, αν Α(α ,β) είναι ένα σημείο του επιπέδου, τότε το συμμετρικό του ως προς την αρχή των αξόνων Ο είναι το σημείο Α′(−α,−β) . Επειδή είναι xΒ =−xΑ και yΒ =−yΑ , τα Α και Β είναι συμμετρικά ως προς το Ο. Άσκηση 27 Έστω η συνάρτηση f, με f(x) = 2x2 −6| x | . 2| x | −6 α) Να προσδιορίσετε το πεδίο ορισμού Α της f. β) Να αποδείξετε ότι f(x) = | x | , x ∈Α . γ) Να χαράξετε την γραφική παράσταση της συνάρτησης f, για x >0 . α) Πρέπει να είναι 2| x | −6 ≠ 0 ⇔ 2| x | ≠ 6 ⇔ | x | ≠ 3 ⇔ x ≠ 3 και x ≠−3 . Άρα, πεδίο ορισμού της f είναι το Α = !−{−3,3} . β) Για κάθε x ∈Α , είναι f(x)= 2x2 −6| x | = 2| x |2 − 6 | x | = 2 | x| (| x|−3) =|x|. 2| x | −6 2 (| x|−3) 2(| x | −3) - 47 - ∆ημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος • Μαθηματικό στέκι • www.mathsteki.gr

Κεφάλαιο 6 - Βασικές έννοιες των συναρτήσεων Παράγραφος 6.3 - Η συνάρτηση f(x) = αx + β γ) Για x >0 είναι | x | = x , οπότε είναι f(x) = x . Η ευθεία y = x είναι, ως γνωστόν, η διχοτόμος της γωνίας πρώτου και τρίτου τεταρτημορίου των αξόνων. Όμως, επειδή είναι: • x >0 , έχουμε μόνο το τμήμα της ευθείας y = x το οποίο βρίσκεται στο πρώτο τεταρτημόριο, δηλαδή έχουμε ημιευθεία, χωρίς την αρχή της Ο. • x ≠ 3 από το πεδίο ορισμού, από την ημιευθεία αυτή πρέπει να εξαιρεθεί και το σημείο της Β(3,3) . Με βάση τα παραπάνω, η γραφική παράσταση της f, για x >0 , φαίνεται στο σχήμα. - 48 - ∆ημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος • Μαθηματικό στέκι • www.mathsteki.gr

Κεφάλαιο 6 - Βασικές έννοιες των συναρτήσεων Παράγραφος 6.3 - Η συνάρτηση f(x) = αx + β Άσκηση 28 ∆ίνεται η συνάρτηση f, με f(x) = x +2 . 9−x2 α) Να προσδιορίσετε το πεδίο ορισμού της f. β) Αν Α και Β είναι τα σημεία τομής της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f με τους άξονες x’x και y’y αντίστοιχα, να βρείτε την εξίσωση της ευθείας που ορί- ζεται από τα Α και Β. α) Πρέπει να είναι 9−x2 >0 ⇔ x2 −9<0 . Μην ξεχνάς ότι όταν η ρίζα είναι στον παρονομαστή, τότε το υπόρριζο πρέπει να είναι θετικό και όχι μεγαλύτερο ή ίσο του μηδενός. Είναι x2 −9 = 0 ⇔ x2 = 9 ⇔ x =± 9 ⇔ x = 3 ή x =−3 , δηλαδή το τριώνυμο έχει δύο άνισες ρίζες, x −∞ −3 3 +∞ οπότε το πρόσημό του φαίνεται στον διπλανό x2 −9 πίνακα και για την ανίσωση έχω ότι +- + x ∈(−3,3). Άρα, πεδίο ορισμού της f είναι το Δ =(−3,3) . β) Από την εξίσωση f(x) = 0 , x ∈Δ , προκύπτει x +2 = 0 ⇔ x +2 = 0 ⇔ x =−2 ∈Δ , 9−x2 οπότε η Cf τέμνει τον άξονα x’x στο σημείο Α(−2,0) . - 49 - ∆ημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος • Μαθηματικό στέκι • www.mathsteki.gr

Κεφάλαιο 6 - Βασικές έννοιες των συναρτήσεων Παράγραφος 6.3 - Η συνάρτηση f(x) = αx + β Είναι και f(0)= 0+2 = 2 = 2 , 9−02 9 3 οπότε η Cf τέμνει τον άξονα y’y στο σημείο Β⎛⎝⎜⎜⎜0 , 2 ⎠⎞⎟⎟⎟ . 3 Η ευθεία που ορίζεται από τα Α και Β είναι η ΑΒ: y = α x +β , α ,β ∈ ! (1) και: • επειδή διέρχεται από το Α, θέτω x =−2 , y = 0 στην (1) και προκύπτει 0 = α⋅(−2)+β ⇔ −2α +β = 0 (2) • επειδή διέρχεται από το Β, θέτω x = 0 , y = 2 στην (1) και προκύπτει 3 2 =α⋅0+β ⇔ β= 2 . 3 3 Για β = 2 , από την (2) έχω ότι 3 −2α + 2 :2 1 =0⇔α= 1 . 3 3 3 = 0 ⇔ −α+ Τελικά, η ζητούμενη ευθεία έχει εξίσωση ΑΒ: y = 1 x+ 2 . 3 3 - 50 - ∆ημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος • Μαθηματικό στέκι • www.mathsteki.gr

Κεφάλαιο 6 - Βασικές έννοιες των συναρτήσεων Παράγραφος 6.3 - Η συνάρτηση f(x) = αx + β Άσκηση 29 ∆ίνονται οι συναρτήσεις f και g, με f(x) = x2 −2x , x ∈ ! , και g(x) = 3x−4 , x ∈ ! . α) Να βρείτε τα κοινά σημεία των γραφικών παραστάσεων των συναρτήσεων f και g. β) Να βρείτε τα διαστήματα στα οποία η γραφική παράσταση της f είναι κάτω από εκείνη της g. γ) Να αποδείξετε ότι κάθε ευθεία της μορφής y = α , α <−1, βρίσκεται κάτω από την γραφική παράσταση της f. α) Οι τετμημένες των κοινών σημείων των Cf ,Cg προκύπτουν λύνοντας την εξίσωση f(x) = g(x) , x ∈ ! . f(x) = g(x) ⇔ x2 −2x = 3x−4 ⇔ x2 −5x + 4 = 0 . Η διακρίνουσα της εξίσωσης είναι (−5)2 −4⋅1⋅4 = 25−16 = 9 , οπότε αυτή έχει δύο άνισες ρίζες, τις x1,2 = 5± 9 = 5±3 ⇔ x1 = 4 , x2 =1. 2⋅1 2 • Για x = 4 είναι g(4) = 3⋅4−4 =12−4 = 8 , οπότε ένα κοινό σημείο των Cf ,Cg είναι το Α(4 ,8) . • Για x =1 είναι g(1) = 3⋅1−4 = 3−4 =−1, οπότε δεύτερο κοινό σημείο των Cf ,Cg είναι το Β(1,−1) . - 51 - ∆ημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος • Μαθηματικό στέκι • www.mathsteki.gr

Κεφάλαιο 6 - Βασικές έννοιες των συναρτήσεων Παράγραφος 6.3 - Η συνάρτηση f(x) = αx + β β) Για να βρω τα ζητούμενα διαστήματα, θα λύσω την ανίσωση f(x)<g(x) . f(x)<g(x) ⇔ x2 −2x <3x−4 ⇔ x2 −5x + 4 <0 . Το τριώνυμο έχει ρίζες τους αριθμούς x −∞ 1 4 +∞ 1 και 4, όπως βρήκα στο (α), οπότε το πρόσημό του φαίνεται στον διπλανό x2 −5x + 4 + - + πίνακα και για την ανίσωση έχω ότι x ∈(1,4). Επομένως, η Cf είναι κάτω από την Cg στο διάστημα (1, 4) . γ) Αρκεί να δείξω ότι ισχύει α < f(x) ⇔ f(x)−α >0 , για κάθε x ∈ ! , α <−1, δηλαδή ότι η ανίσωση x2 −2x−α >0 , αληθεύει για κάθε x ∈ ! και α <−1. Αυτό θα ισχύει, αν και μόνο αν ισχύει Δ<0 , όπου ∆ η διακρίνουσα του τριωνύμου. Είναι Δ =(−2)2 −4⋅1⋅(−α)= 4 + 4α = 4(1+α)<0 , αφού είναι α <−1, οπότε αποδεικνύεται το ζητούμενο. - 52 - ∆ημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος • Μαθηματικό στέκι • www.mathsteki.gr

Κεφάλαιο 6 - Βασικές έννοιες των συναρτήσεων Παράγραφος 6.3 - Η συνάρτηση f(x) = αx + β Άσκηση 30 Έστω η συνάρτηση f(x) = x2 + x +1 , x ∈ ! . α) Να αποδείξετε ότι η Cf δεν τέμνει τον άξονα x’x. β) Να βρείτε τις τετμημένες των σημείων της Cf , οι οποίες βρίσκονται κάτω από την ευθεία y = 2x +3 . γ) Έστω Μ(x, y) σημείο της Cf . Αν για την τετμημένη x του Μ ισχύει 2x−1 < 3 , τότε να δείξετε ότι το σημείο αυτό βρίσκεται κάτω από την ευθεία y = 2x +3 . α) Αρκεί να δείξω ότι η εξίσωση f(x) = 0 είναι αδύνατη στο ! . Η εξίσωση είναι η x2 + x +1= 0 , με διακρίνουσα 12 −4⋅1⋅1=1−4 =−3, το οποίο σημαίνει ότι η εξίσωση είναι όντως αδύνατη στο ! . β) Θα πρέπει να λύσω την ανίσωση f(x)<2x+3 , x∈! . f(x)<2x +3 ⇔ x2 + x +1<2x +3 ⇔ x2 −x−2<0 . Το τριώνυμο αυτό έχει διακρίνουσα (−1)2 −4⋅1⋅(−2)= 1+8 = 9 , οπότε έχει δύο άνισες ρίζες, τις x1,2 = 1± 9 = 1± 3 ⇔ x1 = 2 , x2 =−1 2⋅1 2 - 53 - ∆ημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος • Μαθηματικό στέκι • www.mathsteki.gr

Κεφάλαιο 6 - Βασικές έννοιες των συναρτήσεων Παράγραφος 6.3 - Η συνάρτηση f(x) = αx + β και το πρόσημό του φαίνεται στον x −∞ −1 2 +∞ διπλανό πίνακα. x2 −x−2 +- + Για την ανίσωση τότε προκύπτει x ∈(−1,2), οπότε η Cf βρίσκεται κάτω από την ευθεία στο διάστημα (−1,2) . γ) Από την ανισότητα 2x−1 <3 προκύπτει −3<2x−1<3 ⇔−3+1<2x− 1+ 1 <3+1⇔−2<2x < 4 ⇔−1< x <2 ⇔ x ∈(−1,2), δηλαδή η τετμημένη του σημείου Μ της Cf ανήκει στο διάστημα στο οποίο η Cf είναι κάτω από την ευθεία y = 2x +3 , άρα και το Μ θα είναι κάτω από την ευθεία, οπότε αποδεικνύεται το ζητούμενο. Πηγή ασκήσεων Μίλτος Παπαγρηγοράκης Α’ Λυκείου Άλγεβρα, 2019-2020, Χανιά Το φυλλάδιο το βρήκα στην διεύθυνση http://users.sch.gr/mipapagr - 54 - ∆ημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος • Μαθηματικό στέκι • www.mathsteki.gr

Στο «Μαθηματικό στέκι» θα βρεις την αναλυτικότερη θεωρία - μεθοδολογία και τις αναλυτικότερα λυμένες ασκήσεις του διαδικτύου Μαθηματικό στέκι www.mathsteki.gr