ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ - Κεφ.3 - Παράγραφος 3.3 (ασκήσεις Κ4)

Β΄ Λυκείου - Άλγεβρα Τριγωνοµετρία ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Κατηγορία 4 Αναγωγή στο πρώτο τεταρτηµόριο Νέα Μουδανιά • Σεπτέµβριος 2021

ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 4η κατηγορία ασκήσεων Άλγεβ ρ α Β΄ Λυ κεί ο υ • Κ ΕΦΑ Λ Α Ι Ο 3 • Τρ ι γωνομ ετρ ί α Παράγραφος 3 • Αναγωγή στο πρώτο τεταρτηµόριο • ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Αναγωγή στο πρώτο τεταρτηµόριο Άσκηση 91 Να δείξετε ότι ( ) ( ) ( ) ( )ηµ 90ο − ω ⋅ συν 180ο − ω + συν 90ο − ω ⋅ ηµ 180ο − ω = 1 − 2συν2ω . Λύση Είναι: ( )• ηµ 90ο − ω = συνω . ( )• συν 180ο − ω = −συνω . ( )• συν 90ο − ω = ηµω . ( )• ηµ 180ο − ω = ηµω . Άρα, το αριστερό μέλος της ζητούμενης σχέσης δίνει ( )συνω ⋅ −συνω + ηµω ⋅ ηµω = ηµ2ω − συν2ω = 1 − συν2ω − συν2ω = 1 − 2συν2ω . Άσκηση 92 Να δείξετε ότι ( ) ( ) ( ) ( )ηµ 180ο − ω ⋅ συν 90ο − ω − συν 180ο − ω ⋅ ηµ 90ο − ω = 1 . Λύση Είναι: ( )• ηµ 180ο − ω = ηµω . ( )• συν 90ο − ω = ηµω . ( )• συν 180ο − ω = −συνω . ( )• ηµ 90ο − ω = συνω . - 62 - Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηματικών • www.mathsteki.gr

Άλγεβ ρ α Β΄ Λυ κεί ο υ • Κ ΕΦΑ Λ Α Ι Ο 3 • Τρ ι γωνομ ετρ ί α Παράγραφος 3 • Αναγωγή στο πρώτο τεταρτηµόριο • ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Άρα, το αριστερό μέλος της ζητούμενης σχέσης δίνει ( )ηµω ⋅ ηµω − −συνω ⋅ συνω = ηµ2ω + συν2ω = 1 . Άσκηση 93 Να δείξετε ότι ισχύει συν⎜⎜⎜⎛⎝π2 + θ⎠⎟⎟⎞⎟⎟ ⋅ συνθ + ηµθ ⋅ ηµ⎜⎜⎝⎛⎜π2 + θ⎟⎟⎞⎠⎟⎟ = 0 . Λύση Είναι: • συν ⎝⎜⎜⎜⎛ π + θ⎟⎞⎟⎟⎠⎟ = −ηµθ . 2 • ηµ⎜⎝⎜⎜⎛π2 + θ⎟⎠⎞⎟⎟⎟ = συνθ . Άρα, το αριστερό μέλος της ζητούμενης σχέσης δίνει −ηµθ ⋅ συνθ + ηµθ ⋅ συνθ = 0 . Άσκηση 94 Να δείξετε ότι συνθ + ηµ⎜⎜⎜⎝⎛32π + θ⎞⎠⎟⎟⎟⎟ + συν(π + θ) − ηµ⎜⎝⎛⎜⎜32π − θ⎟⎞⎟⎟⎠⎟ = 0 . Λύση Είναι: • ηµ⎜⎜⎜⎝⎛32π + θ⎠⎟⎟⎟⎟⎞ = −συνθ . • συν(π + θ) = −συνθ . • ηµ⎜⎜⎛⎜⎝32π − θ⎟⎟⎟⎟⎠⎞ = −συνθ . Άρα, το αριστερό μέλος της ζητούμενης σχέσης δίνει συνθ − συνθ − συνθ −(−συνθ) = −συνθ + συνθ = 0 . - 63 - Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηματικών • www.mathsteki.gr

Άλγεβ ρ α Β΄ Λυ κεί ο υ • Κ ΕΦΑ Λ Α Ι Ο 3 • Τρ ι γωνομ ετρ ί α Παράγραφος 3 • Αναγωγή στο πρώτο τεταρτηµόριο • ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Άσκηση 95 Να υπολογίσετε την παράσταση Α = συν ⎛⎝⎜⎜⎜ π2 − θ⎟⎠⎟⎟⎟⎞ ⋅ ηµθ + ηµ ⎜⎜⎜⎛⎝ π − θ⎟⎟⎟⎟⎠⎞ ⋅ συνθ . 2 Λύση Είναι: • συν ⎝⎜⎛⎜⎜ π − θ⎟⎟⎟⎠⎞⎟ = ηµθ . 2 • ηµ⎜⎜⎝⎛⎜π2 − θ⎟⎞⎟⎟⎟⎠ = συνθ . Άρα είναι Α = ηµθ ⋅ ηµθ + συνθ ⋅ συνθ = ηµ2θ + συν2θ ⇔ Α = 1 . Άσκηση 96 Να δείξετε ότι η παράσταση Α = εϕ ⎛⎜⎜⎜⎝ π − x⎟⎟⎟⎠⎟⎞ ⋅ εϕx − σϕx ⋅ σϕ ⎜⎜⎜⎝⎛ π − x⎟⎞⎟⎟⎠⎟ 2 2 είναι ανεξάρτητη του x. Λύση Είναι: • εϕ⎛⎝⎜⎜⎜π2 − x⎟⎟⎟⎟⎠⎞ = σϕx . • σϕ⎝⎛⎜⎜⎜π2 − x⎟⎠⎞⎟⎟⎟ = εϕx . Άρα είναι Α = σϕx ⋅ εϕx − σϕx ⋅ εϕx = 0 , δηλαδή είναι ανεξάρτητη του x. - 64 - Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηματικών • www.mathsteki.gr

Άλγεβ ρ α Β΄ Λυ κεί ο υ • Κ ΕΦΑ Λ Α Ι Ο 3 • Τρ ι γωνομ ετρ ί α Παράγραφος 3 • Αναγωγή στο πρώτο τεταρτηµόριο • ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Άσκηση 97 Να βρείτε την τιμή της παράστασης Α = ηµ 5π ⋅ συν 7π ⋅ εϕ 4π . 4 6 3 Λύση Είναι: • ηµ 5π = ηµ⎛⎝⎜⎜⎜π + π4 ⎞⎠⎟⎟⎟⎟ = −ηµ π =− 2 . 4 4 2 • συν 7π = συν⎝⎜⎜⎛⎜π + 6π ⎞⎟⎠⎟⎟⎟ = −συν π =− 3 . 6 6 2 • εϕ 4π = εϕ⎜⎜⎜⎝⎛π + π3⎟⎟⎟⎟⎠⎞ = εϕ π = 3. 3 3 Άρα είναι Α=− 2 ⋅ −3 ⋅ 3⇔ Α = 32 . 2 2 4 Άσκηση 98 Να απλοποιήσετε την παράσταση Α= εϕ⎝⎜⎜⎜⎛32π + ω⎞⎟⎠⎟⎟⎟ ⋅ ηµ(π − ω) . εϕ(ω − 2π) ⋅ ηµ ⎜⎜⎜⎝⎛ π − ω⎟⎞⎟⎟⎠⎟ 2 Λύση Αριθμητής • εϕ⎝⎜⎜⎜⎛32π + ω⎟⎟⎟⎞⎠⎟ = −σϕω . • ηµ(π − ω) = ηµω . Παρονομαστής • εϕ(ω − 2π) = εϕ ⎡⎢⎣ −(2π − ω) ⎤⎥⎦ = −εϕ(2π − ω) = −εϕ(−ω) = εϕω . - 65 - Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηματικών • www.mathsteki.gr

Άλγεβ ρ α Β΄ Λυ κεί ο υ • Κ ΕΦΑ Λ Α Ι Ο 3 • Τρ ι γωνομ ετρ ί α Παράγραφος 3 • Αναγωγή στο πρώτο τεταρτηµόριο • ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Όταν έχουμε τέτοιας μορφής γωνία μέσα σε τριγωνομετρικό αριθμό, θέλουμε πρώτα να έχουμε π ,π, 3π , 2π και μετά να έχουμε ± θ . Γι’ αυτό έκανα ό,τι έκανα παρα- 2 2 πάνω στην εϕ(ω − 2π) . • ηµ⎛⎜⎝⎜⎜π2 − ω⎟⎟⎟⎞⎠⎟ = συνω . Άρα είναι Α= −σϕω ⋅ ηµω =− σϕω ⋅ ηµω =− σϕω ⋅ εϕω ⇔ Α = −σϕω . εϕω ⋅ συνω εϕω συνω εϕω Άσκηση 99 Να δείξετε ότι ισχύει ( ) ( ) ( )σϕ 90ο − ω ⋅ συν ω − 360ο ⋅ ηµ 180ο − ω ( )= −εϕ 90ο + ω . ( )εϕ 180ο + ω ⋅ ηµ2ω Λύση Αριθμητής ( )• σϕ 90ο − ω = εϕω . ( ) ( ) ( )• συν ω − 360ο = συν ⎡⎣⎢ − 360ο − ω ⎦⎥⎤ = συν 360ο − ω = συνω . ( )• ηµ 180ο − ω = ηµω . ( )Για τον παρονομαστή έχω ότι εϕ 180ο + ω = εϕω , οπότε το κλάσμα του αριστερού μέ- λους της ζητούμενης ισότητας δίνει εϕω ⋅ συνω ⋅ ηµω = συνω = σϕω . εϕω ⋅ ηµ 2 ω ηµω Επίσης, είναι −εϕ(90ο + ω) = −(−σϕω) = σϕω και έτσι αποδεικνύεται η ισχύς της ζητούμενης σχέσης. - 66 - Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηματικών • www.mathsteki.gr

Άλγεβ ρ α Β΄ Λυ κεί ο υ • Κ ΕΦΑ Λ Α Ι Ο 3 • Τρ ι γωνομ ετρ ί α Παράγραφος 3 • Αναγωγή στο πρώτο τεταρτηµόριο • ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Άσκηση 100 Να δείξετε ότι η παράσταση εϕ(π − θ) ⋅ 1 ⋅ συν ⎜⎛⎜⎜⎝ π + θ⎟⎟⎟⎟⎞⎠ 2 Α= συν(−θ) ⋅ σϕ⎜⎜⎛⎝⎜32π θ⎟⎟⎠⎞⎟⎟ ⋅ ηµ(π 1 − + θ) συνθ έχει σταθερή τιμή, την οποία και να βρείτε. Λύση Αριθμητής • εϕ(π − θ) = −εϕθ . • συν(−θ) = συνθ . • συν ⎛⎜⎜⎜⎝ π + θ⎟⎟⎞⎟⎠⎟ = −ηµθ . 2 Παρονομαστής • σϕ⎜⎜⎝⎛⎜32π − θ⎠⎟⎟⎟⎟⎞ = εϕθ . • ηµ(π + θ) = −ηµθ . Άρα είναι − εϕθ ⋅ 1 ⋅ (−ηµθ) συνθ Α= ⇔ Α = −1 , 1 συνθ ⋅ εϕθ ⋅ (−ηµθ) δηλαδή έχει σταθερή τιμή. - 67 - Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηματικών • www.mathsteki.gr

Άλγεβ ρ α Β΄ Λυ κεί ο υ • Κ ΕΦΑ Λ Α Ι Ο 3 • Τρ ι γωνομ ετρ ί α Παράγραφος 3 • Αναγωγή στο πρώτο τεταρτηµόριο • ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Άσκηση 101 Αν εϕθ =− 2 , π <θ<π, να δείξετε ότι 3 2 εϕ ⎜⎝⎜⎜⎛ π + θ⎟⎟⎠⎞⎟⎟ + συν(π + θ) = 2+ 13 . 2 2− 13 ηµ⎛⎜⎜⎜⎝32π − θ⎟⎟⎞⎠⎟⎟ − σϕ(−θ) Λύση Αριθμητής • εϕ⎜⎛⎜⎜⎝π2 + θ⎠⎟⎟⎟⎟⎞ = −σϕθ . • συν(π + θ) = −συνθ . Παρονομαστής • ηµ⎜⎜⎜⎝⎛32π − θ⎟⎟⎠⎞⎟⎟ = −συνθ . • σϕ(−θ) = −σϕθ . Άρα, αν ονομάσω Α το κλάσμα του αριστερού μέλους της ζητούμενης, θα είναι Α= −σϕθ − συνθ = −(σϕθ + συνθ) ⇔ A = συνθ + σϕθ (1) συνθ − σϕθ − συνθ −(−σϕθ) σϕθ − συνθ Είναι εϕθ ⋅ σϕθ =1⇔ σϕθ = 1 ⇔ σϕθ = − 3 . εϕθ 2 Από την σχέση συν2θ = 1 έχω 1 + εϕ2θ συν2θ = 1 = 1 = 1 = 9 ⇔ συνθ = ± 9 ⇔ συνθ = ± 3⇔ 13 13 13 13 1 + ⎛⎜⎝⎜⎜− 2 ⎟⎠⎞⎟⎟⎟2 1+ 4 9 3 9 ⇔ συνθ =± 3 13 . 13 - 68 - Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηματικών • www.mathsteki.gr

Άλγεβ ρ α Β΄ Λυ κεί ο υ • Κ ΕΦΑ Λ Α Ι Ο 3 • Τρ ι γωνομ ετρ ί α Παράγραφος 3 • Αναγωγή στο πρώτο τεταρτηµόριο • ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Αφού π < θ < π , είναι συνθ < 0 , οπότε συνθ = − 3 13 . 2 13 Έτσι, από την (1) έχω ότι 3 13 3 −6 13 − 39 13 2 = 26 −6 13 + 39 26 ( )Α = − − − 3 2 13 + 13 = 2 13 + 13 = = 2 13 − 13 3 13 − 2 13 ( )− 3 13 + 3 13 2 = 2 13 + 2 ( )13 ⋅ 2 + 13 ⇔ Α = 2 + 13 . 13 ( )13 ⋅ 2 − 13 2 − 13 = 2 2 13 − 13 Άσκηση 102 Να δείξετε ότι ισχύει συν 5π ⋅ ηµ 7π ⋅ εϕ 4π = 6 . 4 6 3 4 Λύση Είναι: • συν 5π = συν⎜⎜⎜⎛⎝π + π4 ⎠⎟⎞⎟⎟⎟ = −συν π = − 2 . 4 4 2 • ηµ 7π = ηµ⎜⎜⎝⎜⎛π + π ⎠⎟⎟⎟⎟⎞ = −ηµ π =− 1 . 6 6 6 2 • εϕ 4π = εϕ⎜⎛⎜⎜⎝π + π3⎟⎟⎠⎟⎟⎞ = εϕ π = 3. 3 3 Άρα, το αριστερό μέλος της ζητούμενης σχέσης δίνει − 2 ⋅ −1 ⋅ 3= 6 . 2 2 4 - 69 - Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηματικών • www.mathsteki.gr

Άλγεβ ρ α Β΄ Λυ κεί ο υ • Κ ΕΦΑ Λ Α Ι Ο 3 • Τρ ι γωνομ ετρ ί α Παράγραφος 3 • Αναγωγή στο πρώτο τεταρτηµόριο • ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Άσκηση 103 Να δείξετε ότι ηµ150ο ⋅ συν240ο − συν300ο ⋅ ηµ210ο = 0 . Λύση Είναι: ( )• 1 ηµ150ο = ηµ 180ο − 30ο = ηµ30ο = 2 . ( )• −συν60ο 1 συν240ο = συν 180ο + 60ο = = − 2 . ( )• 1 συν300ο = συν 360ο − 60ο = συν60ο = 2 . ( )• 1 ηµ210ο = ηµ 180ο + 30ο = −ηµ30ο = − 2 . Άρα, το αριστερό μέλος της ζητούμενης σχέσης δίνει 1 ⋅ −1 − 1 ⋅ −1 =− 1 + 1 = 0. 2 2 2 2 2 2 Δεύτερος τρόπος (δεν συστήνεται) Είναι: ( )• συν60ο 1 ηµ150ο = ηµ 90ο + 60ο = = 2 . ( )• 1 συν240ο = συν 270ο − 30ο = −ηµ30ο = − 2 . ( )• ηµ30ο 1 συν300ο = συν 270ο + 30ο = = 2 . ( )• 1 ηµ210ο = ηµ 270ο − 60ο = −συν60ο = − 2 . Άρα, το αριστερό μέλος της ζητούμενης σχέσης δίνει 1 ⋅ −1 − 1 ⋅ −1 =− 1 + 1 = 0. 2 2 2 2 2 2 - 70 - Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηματικών • www.mathsteki.gr

Άλγεβ ρ α Β΄ Λυ κεί ο υ • Κ ΕΦΑ Λ Α Ι Ο 3 • Τρ ι γωνομ ετρ ί α Παράγραφος 3 • Αναγωγή στο πρώτο τεταρτηµόριο • ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Άσκηση 104 Να βρείτε την τιμή της παράστασης Α = εϕ⎜⎜⎛⎜⎝2π − π ⎠⎟⎟⎟⎟⎞ ⋅ σϕ 5π − εϕ 5π ⋅ σϕ 3π . 4 4 4 4 Λύση Είναι: • εϕ⎜⎜⎜⎝⎛2π − π ⎞⎠⎟⎟⎟⎟ = −εϕ π = −1 . 4 4 • σϕ 5π = σϕ⎜⎝⎛⎜⎜π + π ⎟⎟⎞⎟⎟⎠ = εϕ π = 1 . 4 4 4 • εϕ 5π = εϕ⎜⎝⎛⎜⎜π + π4 ⎟⎟⎞⎟⎠⎟ = εϕ π =1. 4 4 • σϕ 3π = σϕ⎜⎜⎛⎝⎜π − π ⎟⎟⎟⎟⎞⎠ = −σϕ π = −1 . 4 4 4 Άρα είναι Α = −1 ⋅1 − 1 ⋅ (−1) = −1 + 1 ⇔ Α = 0 . Άσκηση 105 Να δείξετε ότι εϕ225ο + εϕ150ο = 3− 3. 1 − εϕ225ο ⋅ εϕ150ο 3+ 3 Λύση Είναι: ( )• εϕ225ο = εϕ 180ο + 45ο = εϕ45ο = 1 . ( )• 3 εϕ150ο = εϕ 180ο − 30ο = −εϕ30ο = − 3 . Άρα, το κλάσμα του αριστερού μέλους της ζητούμενης σχέσης δίνει - 71 - Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηματικών • www.mathsteki.gr

Άλγεβ ρ α Β΄ Λυ κεί ο υ • Κ ΕΦΑ Λ Α Ι Ο 3 • Τρ ι γωνομ ετρ ί α Παράγραφος 3 • Αναγωγή στο πρώτο τεταρτηµόριο • ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 1+ −3 = 1− 3 3− 3 = 3− 3 . 3 3 =3 3+ 3 1 − 1 ⋅ − 3 1+ 3 3+ 3 3 3 3 Άσκηση 106 Να βρείτε την τιμή της παράστασης Α = ηµ150ο ⋅ συν315ο + ηµ315ο ⋅ συν150ο . Λύση Είναι: ( )• ηµ30ο 1 ηµ150ο = ηµ 180ο − 30ο = = 2 . ( )• = συν45ο = 2 συν315ο = συν 360ο − 45ο 2 . ( )• = −ηµ45ο = − 2 ηµ315ο = ηµ 360ο − 45ο 2 . ( )• = −συν30ο = − 3 συν150ο = συν 180ο − 30ο 2 . Άρα είναι Α = 1 ⋅ 2 + −2 ⋅ −3 = 2+ 2⋅ 3⇔ Α= ( )2 ⋅ 1 + 3 . 2 2 2 2 4 4 - 72 - Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηματικών • www.mathsteki.gr

Άλγεβ ρ α Β΄ Λυ κεί ο υ • Κ ΕΦΑ Λ Α Ι Ο 3 • Τρ ι γωνομ ετρ ί α Παράγραφος 3 • Αναγωγή στο πρώτο τεταρτηµόριο • ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Άσκηση 107 Να αποδείξετε ότι ηµ 3π ⋅ συν 7π ⋅ εϕ 4π = − 32 . 4 6 3 4 Λύση Είναι: • ηµ 3π = ηµ⎛⎜⎜⎝⎜π − π ⎞⎠⎟⎟⎟⎟ = ηµ π = 2 . 4 4 4 2 • συν 7π = συν⎜⎜⎛⎝⎜π + π6 ⎟⎟⎟⎠⎟⎞ = −συν π =− 3 . 6 6 2 • εϕ 4π = εϕ⎜⎜⎛⎝⎜π + π3⎟⎟⎟⎞⎠⎟ = εϕ π = 3. 3 3 Άρα, το αριστερό μέλος της ζητούμενης σχέσης δίνει 2 ⋅ −3 ⋅ 3 = − 32 . 2 2 4 Άσκηση 108 Να αποδείξετε ότι: α) ηµ120ο ⋅ ηµ135ο ⋅ ηµ150ο = 6 . β) εϕ210ο ⋅ εϕ225ο ⋅ εϕ240ο = 1 . 8 Πηγή: Γιώργος Μαυρίδης, Άλγεβρα Β΄ Λυκείου, εκδόσεις Μαυρίδη, Θεσσαλονίκη, 2010. Λύση α. Είναι: ( )• = ηµ60ο = 3 ηµ120ο = ηµ 180ο − 60ο 2 . ( )• 2 ηµ135ο = ηµ 180ο − 45ο = ηµ45ο = 2 . ( )• ηµ30ο 1 ηµ150ο = ηµ 180ο − 30ο = = 2 . - 73 - Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηματικών • www.mathsteki.gr

Άλγεβ ρ α Β΄ Λυ κεί ο υ • Κ ΕΦΑ Λ Α Ι Ο 3 • Τρ ι γωνομ ετρ ί α Παράγραφος 3 • Αναγωγή στο πρώτο τεταρτηµόριο • ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Άρα, το αριστερό μέλος της ζητούμενης σχέσης δίνει 3 ⋅ 2 ⋅ 1 = 6 . 2 2 2 8 Δεύτερος τρόπος (δεν συστήνεται) Είναι: ( )• = συν30ο = 3 ηµ120ο = ηµ 90ο + 30ο 2 . ( )• = συν45ο = 2 ηµ135ο = ηµ 90ο + 45ο 2 . ( )• 1 ηµ150ο = ηµ 90ο + 60ο = συν60ο = 2 . Άρα, το αριστερό μέλος της ζητούμενης σχέσης δίνει 3 ⋅ 2 ⋅ 1 = 6 . 2 2 2 8 β. Είναι: ( )• = εϕ30ο = 3 εϕ210ο = εϕ 180ο + 30ο 3 . ( )• εϕ225ο = εϕ 180ο + 45ο = εϕ45ο = 1 . ( )• εϕ240ο = εϕ 180ο + 60ο = εϕ60ο = 3 . Άρα, το αριστερό μέλος της ζητούμενης σχέσης δίνει 3 ⋅1⋅ 3 = 3 = 1. 3 3 Δεύτερος τρόπος (δεν συστήνεται) Είναι: ( )• 3 εϕ210ο = εϕ 270ο − 60ο = σϕ60ο = 3 . ( )• εϕ225ο = εϕ 270ο − 45ο = σϕ45ο = 1 . ( )• εϕ240ο = εϕ 270ο − 30ο = σϕ30ο = 3 . - 74 - Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηματικών • www.mathsteki.gr

Άλγεβ ρ α Β΄ Λυ κεί ο υ • Κ ΕΦΑ Λ Α Ι Ο 3 • Τρ ι γωνομ ετρ ί α Παράγραφος 3 • Αναγωγή στο πρώτο τεταρτηµόριο • ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Άρα το αριστερό μέλος της ζητούμενης σχέσης δίνει 3 ⋅1⋅ 3 = 3 = 1. 3 3 Άσκηση 109 Να αποδείξετε ότι: α. ηµ450ο + εϕ190ο + σϕ80ο = 1 + 2εϕ10ο . β. ηµ220ο + 2συν50ο + εϕ240ο = 3 + ηµ40ο . Πηγή: Γιώργος Μαυρίδης, Άλγεβρα Β΄ Λυκείου, εκδόσεις Μαυρίδη, Θεσσαλονίκη, 2010. Λύση α. Είναι: ( )• ηµ450ο = ηµ 360ο + 90ο = ηµ90ο = 1 . ( )• εϕ190ο = εϕ 180ο + 10ο = εϕ10ο . ( )• σϕ80ο = σϕ 90ο − 10ο = εϕ10ο . Άρα, το αριστερό μέλος της ζητούμενης σχέσης δίνει 1 + εϕ10ο + εϕ10ο = 1 + 2εϕ10ο . β. Είναι: ( )• ηµ220ο = ηµ 180ο + 40ο = −ηµ40ο . ( )• συν50ο = συν 90ο − 40ο = ηµ40ο . ( )• εϕ240ο = εϕ 180ο + 60ο = εϕ60ο = 3 . Άρα, το αριστερό μέλος της ζητούμενης σχέσης δίνει −ηµ40ο + 2ηµ40ο + 3 = 3 + ηµ40ο . - 75 - Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηματικών • www.mathsteki.gr

Άλγεβ ρ α Β΄ Λυ κεί ο υ • Κ ΕΦΑ Λ Α Ι Ο 3 • Τρ ι γωνομ ετρ ί α Παράγραφος 3 • Αναγωγή στο πρώτο τεταρτηµόριο • ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Άσκηση 110 Πρόσεξέ την πάρα πολύ! Να αποδείξετε ότι: α) ηµ2 π + ηµ2 3π = 1. β) εϕ ⎜⎝⎛⎜⎜θ + π ⎠⎟⎟⎟⎟⎞ ⋅ εϕ ⎜⎜⎜⎝⎛ 6π − θ⎟⎠⎟⎟⎟⎞ = 1 . 8 8 3 Πηγή: Γιώργος Μαυρίδης, Άλγεβρα Β΄ Λυκείου, εκδόσεις Μαυρίδη, Θεσσαλονίκη, 2010. Λύση α. Παρατηρώ ότι π + 3π = 4π ⇔ π + 3π = π , 8 8 8 8 8 2 οπότε είναι 3π = π − π , άρα 8 2 8 ηµ 3π = ηµ ⎜⎜⎜⎝⎛ π − π ⎟⎟⎞⎠⎟⎟ = συν π . 8 2 8 8 Συνεπώς, ηµ2 π + ηµ2 3π = ηµ2 π + συν2 π = 1. 8 8 8 8 β. Θέτω ω = θ+ π , ϕ = π −θ και θα δείξω ότι ισχύει εϕω ⋅ εϕϕ = 1 . 3 6 Παρατηρώ ότι ω+ϕ= θ + π + π − θ ⇔ ω+ϕ= 3π ⇔ ω+ϕ = π . 3 6 6 2 Άρα είναι ϕ = π − ω , οπότε 2 εϕω ⋅ εϕϕ = εϕω ⋅ εϕ⎜⎜⎜⎛⎝π2 − ω⎠⎟⎟⎟⎟⎞ = εϕω ⋅ σϕω = 1 . - 76 - Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηματικών • www.mathsteki.gr

Άλγεβ ρ α Β΄ Λυ κεί ο υ • Κ ΕΦΑ Λ Α Ι Ο 3 • Τρ ι γωνομ ετρ ί α Παράγραφος 3 • Αναγωγή στο πρώτο τεταρτηµόριο • ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Άσκηση 111 Πρόσεξέ την πάρα πολύ! Να αποδείξετε ότι, σε κάθε τρίγωνο ΑΒΓ, ισχύουν οι σχέσεις: α) ηµ(Β + Γ) = ηµΑ . β) εϕ Β + Γ = σϕ Α . γ) συν(2Α + Β + Γ) + συνΑ = 0 . 2 2 Πηγή: Γιώργος Μαυρίδης, Άλγεβρα Β΄ Λυκείου, εκδόσεις Μαυρίδη, Θεσσαλονίκη, 2010. Λύση Στην άσκηση θα δεις τα χαρακτηριστικά βήματα που γίνονται, όταν σε αυτήν αναφέ- ρεται τρίγωνο. α. Στο τρίγωνο ΑΒΓ ισχύει Α + Β + Γ = 180ο , από όπου έχω Β + Γ = 180ο − Α . Άρα είναι ( )ηµ(Β + Γ) = ηµ 180ο − Α = ηµΑ . β. Από την σχέση Β + Γ = 180ο − Α έχω Β+Γ = 180ο − Α = 180o − A ⇔ Β+Γ = 90ο − Α , 2 2 2 2 2 2 οπότε είναι εϕ Β + Γ = εϕ ⎜⎛⎝⎜⎜90ο − Α ⎟⎟⎟⎟⎞⎠ = σϕ Α . 2 2 2 γ. Στην σχέση Α + Β + Γ = 180ο , προσθέτω την γωνία Α στα δύο μέλη και έχω Α + Α + Β + Γ = 180ο + Α ⇔ 2Α + Β + Γ = 180ο + Α , οπότε είναι ( )( )συν 2Α + Β + Γ + συνΑ = συν 180ο + Α + συνΑ = −συνΑ + συνΑ = 0 . - 77 - Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηματικών • www.mathsteki.gr

Άλγεβ ρ α Β΄ Λυ κεί ο υ • Κ ΕΦΑ Λ Α Ι Ο 3 • Τρ ι γωνομ ετρ ί α Παράγραφος 3 • Αναγωγή στο πρώτο τεταρτηµόριο • ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Άσκηση 112 Πρόσεξέ την πάρα πολύ! Να βρείτε τις τιμές των παραστάσεων: α) Α= ηµ 29π ⋅ σϕ 43π . β) Β= 2ηµ 31π + 2 ⋅ συν 35π − 2συν 23π . 3 6 6 4 3 21π 26π 39π 53π 34π εϕ 4 + συν 3 σϕ 4 + 3 ⋅ εϕ 6 − 2συν 3 Πηγή: Βασίλης Παπαδάκης, Άλγεβρα Β΄ Λυκείου, Α΄ τεύχος, εκδόσεις Σαββάλας, Αθήνα, 2012. Λύση α. Αριθμητής • ηµ 29π = ηµ 30π − π = ηµ ⎜⎜⎛⎜⎝ 30π − π ⎟⎞⎠⎟⎟⎟ = ηµ⎝⎜⎜⎜⎛10π − π ⎟⎟⎟⎟⎞⎠ = ηµ ⎜⎜⎝⎜⎛− π ⎟⎟⎞⎠⎟⎟ = −ηµ π =− 3 . 3 3 3 3 3 3 3 2 • σϕ 43π = σϕ 42π + π = σϕ ⎜⎛⎝⎜⎜ 426π + π ⎟⎟⎟⎞⎟⎠ = σϕ⎜⎜⎜⎝⎛7π + 6π⎟⎟⎞⎠⎟⎟ = σϕ⎜⎝⎜⎛⎜6π + π + π6⎟⎟⎠⎞⎟⎟ = 6 6 6 = σϕ⎜⎜⎜⎝⎛π + π ⎠⎟⎟⎟⎟⎞ = σϕ π = 3. 6 6 Παρονομαστής • εϕ 21π = εϕ 20 + π = εϕ ⎛⎜⎜⎜⎝ 204π + π ⎞⎟⎟⎟⎟⎠ = εϕ⎜⎜⎝⎛⎜5π + π ⎟⎟⎟⎠⎞⎟ = εϕ⎜⎛⎜⎜⎝4π + π + π4 ⎞⎟⎠⎟⎟⎟ = εϕ⎜⎜⎝⎛⎜π + π ⎟⎟⎠⎟⎞⎟ = 4 4 4 4 4 = εϕ π = 1. 4 • συν 26π = συν 24π + 2π = συν⎜⎜⎜⎛⎝243π + 2π ⎠⎟⎟⎟⎟⎞ = συν⎛⎜⎝⎜⎜8π + 2π ⎟⎠⎟⎟⎞⎟ = συν 2π = συν⎝⎜⎛⎜⎜π − π ⎞⎟⎟⎠⎟⎟ = 3 3 3 3 3 3 = −συν π = − 1 . 3 2 Άρα είναι − 3 ⋅ 3 −3 2 2 Α= −1 = 1 ⇔ Α = −3 . 2 1+ 2 - 78 - Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηματικών • www.mathsteki.gr

Άλγεβ ρ α Β΄ Λυ κεί ο υ • Κ ΕΦΑ Λ Α Ι Ο 3 • Τρ ι γωνομ ετρ ί α Παράγραφος 3 • Αναγωγή στο πρώτο τεταρτηµόριο • ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ β. Αριθμητής • ηµ 31π = ηµ 30π + π = ηµ ⎝⎜⎜⎜⎛ 306π + π ⎟⎞⎟⎟⎟⎠ = ηµ⎝⎜⎜⎛⎜5π + π ⎞⎠⎟⎟⎟⎟ = ηµ⎜⎜⎝⎛⎜4π + π + 6π⎞⎟⎟⎟⎟⎠ = ηµ⎜⎜⎝⎜⎛π + π ⎠⎟⎟⎟⎟⎞ = 6 6 6 6 6 = −ηµ π =− 1 . 6 2 • συν 35π = συν 36π − π = συν ⎜⎜⎜⎝⎛ 364π − π ⎠⎟⎟⎟⎞⎟ = συν⎜⎝⎛⎜⎜9π − π4 ⎟⎞⎠⎟⎟⎟ = συν⎜⎜⎜⎝⎛8π + π − π ⎟⎟⎠⎟⎞⎟ = 4 4 4 4 = συν⎝⎛⎜⎜⎜π − π ⎟⎞⎠⎟⎟⎟ = −συν π =− 2 . 4 4 2 • συν 23π = συν 24π − π = συν⎝⎜⎜⎜⎛243π − π3⎠⎟⎞⎟⎟⎟ = συν⎛⎜⎜⎝⎜8π − π ⎟⎟⎟⎟⎞⎠ = συν ⎜⎛⎜⎝⎜− π ⎟⎟⎞⎠⎟⎟ = συν π = 1 . 3 3 3 3 3 2 Παρονομαστής • σϕ 39π = σϕ 40π − π = σϕ ⎛⎜⎜⎜⎝ 404π − π4 ⎟⎟⎞⎟⎠⎟ = σϕ⎜⎜⎛⎜⎝10π − π4 ⎞⎟⎟⎟⎠⎟ = σϕ ⎜⎜⎜⎛⎝− π4 ⎟⎟⎟⎟⎠⎞ = −σϕ π = −1 . 4 4 4 • εϕ 53π = εϕ 54π − π = εϕ ⎝⎛⎜⎜⎜ 564π − π6⎟⎟⎟⎞⎟⎠ = εϕ⎜⎜⎛⎝⎜9π − 6π⎟⎠⎞⎟⎟⎟ = εϕ⎜⎝⎜⎜⎛8π + π − π6⎞⎟⎟⎟⎟⎠ = εϕ⎜⎜⎜⎝⎛π − 6π⎟⎞⎟⎟⎠⎟ = 6 6 = −εϕ π =− 3 . 6 3 • συν 34π = συν 33π + π = συν ⎜⎝⎜⎜⎛ 33π + π3⎟⎞⎠⎟⎟⎟ = συν⎛⎜⎝⎜⎜11π + π3⎞⎟⎟⎟⎠⎟ = συν⎜⎜⎜⎛⎝10π + π + π3⎟⎟⎟⎟⎠⎞ = 3 3 3 = συν⎜⎜⎛⎝⎜π + π ⎟⎟⎠⎟⎞⎟ = −συν π =− 1 . 3 3 2 Άρα είναι 2 ⋅ −1 + 2 ⋅ −2 − 2 ⋅ 1 = −1 − 1 − 1 ⇔ Β = 3 . 2 2 2 −1 − 1 + 1 Β= −3 ⋅ −1 −1 + 3 ⋅ 3 − 2 2 - 79 - Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηματικών • www.mathsteki.gr

Άλγεβ ρ α Β΄ Λυ κεί ο υ • Κ ΕΦΑ Λ Α Ι Ο 3 • Τρ ι γωνομ ετρ ί α Παράγραφος 3 • Αναγωγή στο πρώτο τεταρτηµόριο • ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Άσκηση 113 Πρόσεξέ την πάρα πολύ! Να βρείτε την τιμή της παράστασης Α= ηµ 3π + εϕ 17π ⋅ ⎜⎜⎜⎛⎝ηµ2 π + ηµ2 38π⎟⎟⎠⎞⎟⎟ . 7 7 8 4π συν 7 Πηγή: Βασίλης Παπαδάκης, Άλγεβρα Β΄ Λυκείου, Α΄ τεύχος, εκδόσεις Σαββάλας, Αθήνα, 2012. Λύση Παρατηρώ ότι 3π + 4π = 7π ⇔ 3π + 4π = π, 7 7 7 7 7 οπότε είναι 4π = π− 3π , άρα 7 7 συν 4π = συν⎜⎜⎜⎝⎛π − 37π ⎞⎟⎟⎠⎟⎟ = −συν 3π . 7 7 Επίσης, είναι εϕ 17π = εϕ 14π + 3π = εϕ ⎛⎜⎝⎜⎜147π + 3π ⎞⎟⎠⎟⎟⎟ = εϕ⎜⎜⎛⎝⎜2π + 3π ⎞⎟⎟⎟⎟⎠ = εϕ 3π . 7 7 7 7 7 Ακόμη, παρατηρώ ότι π + 3π = 4π ⇔ π + 3π = π , 8 8 8 8 8 2 οπότε 3π = π − π , άρα 8 2 8 ηµ 3π = ηµ ⎝⎜⎜⎜⎛ π − π ⎟⎟⎟⎞⎟⎠ = συν π . 8 2 8 8 Έτσι, είναι ηµ2 π + ηµ2 3π = ηµ2 π + συν2 π = 1. 8 8 8 8 Τελικά έχω ότι Α= ηµ 3π + εϕ 3π ⋅ 1 = −εϕ 3π + εϕ 3π ⇔ Α=0 . 7 7 7 7 3π − συν 7 - 80 - Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηματικών • www.mathsteki.gr

Άλγεβ ρ α Β΄ Λυ κεί ο υ • Κ ΕΦΑ Λ Α Ι Ο 3 • Τρ ι γωνομ ετρ ί α Παράγραφος 3 • Αναγωγή στο πρώτο τεταρτηµόριο • ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Άσκηση 114 Πρόσεξέ την πάρα πολύ! Αν Α, Β, Γ είναι γωνίες τριγώνου ΑΒΓ, να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης Λ = συν Α ⋅ σϕ Β + Γ − συν Β+ Γ . 2 2 2 Πηγή: Βασίλης Παπαδάκης, Άλγεβρα Β΄ Λυκείου, Α΄ τεύχος, εκδόσεις Σαββάλας, Αθήνα, 2012. Λύση Στο τρίγωνο ΑΒΓ ισχύει Α + Β + Γ = 180ο , από όπου έχω Β + Γ = 180ο −Α ⇔ Β+Γ = 180ο − Α = 180o − A ⇔ Β+Γ = 90ο − Α . 2 2 2 2 2 2 Τότε είναι: • σϕ Β+Γ = σϕ ⎜⎜⎜⎝⎛90ο − Α ⎟⎟⎠⎞⎟⎟ = εϕ Α . 2 2 2 • συν Β + Γ = συν ⎜⎛⎝⎜⎜90ο − Α2 ⎞⎟⎟⎠⎟⎟ = ηµ Α . 2 2 Επομένως, Λ = συν Α ⋅ εϕ Α − ηµ Α = συν Α ⋅ ηµ Α − ηµ Α = ηµ Α − ηµ Α ⇔ Λ=0 . 2 2 2 2 2 2 2 2 συν Α 2 Άσκηση 115 Πρόσεξέ την πάρα πολύ! Αν Α, Β, Γ είναι γωνίες τριγώνου, να αποδείξετε ότι συν Α + Β + 2Γ + ηµ Γ = 0. 2 2 Πηγή: Βασίλης Παπαδάκης, Άλγεβρα Β΄ Λυκείου, Α΄ τεύχος, εκδόσεις Σαββάλας, Αθήνα, 2012. Λύση Στο τρίγωνο ΑΒΓ ισχύει Α + Β + Γ = 180ο , από όπου έχω Α+Β+Γ+Γ = 180ο +Γ ⇔ Α + Β + 2Γ = 180ο +Γ ⇔ Α + Β + 2Γ = 180ο + Γ ⇔ 2 2 ⇔ Α + Β + 2Γ = 90ο + Γ . 2 2 - 81 - Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηματικών • www.mathsteki.gr

Άλγεβ ρ α Β΄ Λυ κεί ο υ • Κ ΕΦΑ Λ Α Ι Ο 3 • Τρ ι γωνομ ετρ ί α Παράγραφος 3 • Αναγωγή στο πρώτο τεταρτηµόριο • ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Άρα είναι συν ⎜⎛⎝⎜⎜90ο ⎟⎟⎟⎠⎞⎟ συν Α + Β+ 2Γ + ηµ Γ = + Γ + ηµ Γ = −ηµ Γ + ηµ Γ = 0. 2 2 2 2 2 2 - 82 - Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηματικών • www.mathsteki.gr



Μόνο εδώ θα βρεις τα αναλυτικότερα βιβλία Μαθηµατικών του διαδικτύου!